JEE Main 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) सरल लोलक के दोलन काल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $l = 20.0 \text{ cm}$,$\Delta l = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$ हैं।
$100$ दोलनों के लिए कुल समय $t = 90 \text{ s}$ है और रिज़ॉल्यूशन $\Delta t = 1 \text{ s}$ है।
दोलन काल $T = \frac{t}{100} = 0.9 \text{ s}$,और दोलन काल में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{1}{100} = 0.01 \text{ s}$ है।
अब,प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = \left( \frac{0.1}{20.0} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{0.01}{0.9} \times 100 \right)$।
$= 0.5\% + 2 \times 1.11\% = 0.5\% + 2.22\% = 2.72\%$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $3\%$ प्राप्त होता है।

(C) मान लें कि चट्टान का किनारा मूल बिंदु $(y = 0)$ है और ऊपर की दिशा धनात्मक है। समय $t$ पर दोनों पत्थरों की स्थिति इस प्रकार है:
$y_1 = 10t - 5t^2$
$y_2 = 40t - 5t^2$
पहले पत्थर के लिए,वह जमीन से टकराता है जब $y_1 = -240 \ m$:
$-240 = 10t - 5t^2 \implies t^2 - 2t - 48 = 0 \implies (t-8)(t+6) = 0$. अतः,$t = 8 \ s$.
$t \le 8 \ s$ के लिए,सापेक्ष स्थिति $y_{rel} = y_2 - y_1 = (40t - 5t^2) - (10t - 5t^2) = 30t$. यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक ग्राफ है।
$t = 8 \ s$ पर,$y_{rel} = 30(8) = 240 \ m$.
$t > 8 \ s$ के लिए,पहला पत्थर जमीन पर स्थिर है $(y_1 = -240 \ m)$। दूसरा पत्थर जमीन से टकराता है जब $y_2 = -240 \ m$:
$-240 = 40t - 5t^2 \implies t^2 - 8t - 48 = 0 \implies (t-12)(t+4) = 0$. अतः,$t = 12 \ s$.
$8 \ s < t \le 12 \ s$ के लिए,$y_{rel} = y_2 - y_1 = (40t - 5t^2) - (-240) = -5t^2 + 40t + 240$. यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
इसलिए,ग्राफ $t \le 8 \ s$ के लिए रैखिक है और $8 \ s < t \le 12 \ s$ के लिए परवलयाकार है।

(B) दीवार द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाए गए घर्षण बल को ज्ञात करने के लिए,हम दोनों ब्लॉकों $A$ और $B$ के निकाय को संतुलन में मानते हैं।
चूंकि निकाय संतुलन में है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल दीवार द्वारा ब्लॉक $B$ पर ऊपर की ओर लगाए गए घर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
निकाय का कुल भार $W_{total} = W_A + W_B = 20\ N + 100\ N = 120\ N$ है।
मान लीजिए $f_{wall}$ दीवार द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया घर्षण बल है।
निकाय के ऊर्ध्वाधर संतुलन में रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला बल नीचे की ओर लगने वाले बल के बराबर होना चाहिए:
$f_{wall} = W_{total} = 120\ N$.
अतः,दीवार द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया घर्षण बल $120\ N$ है।

(B) $x$-दिशा में निकाय का प्रारंभिक संवेग: $p_x = m(2v) = 2mv$.
$y$-दिशा में निकाय का प्रारंभिक संवेग: $p_y = (2m)v = 2mv$.
कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $K_i = \frac{1}{2}m(2v)^2 + \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2mv^2 + mv^2 = 3mv^2$.
चूंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है,कण आपस में जुड़ जाते हैं। मान लीजिए अंतिम वेग $V_f$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $p_f = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{(2mv)^2 + (2mv)^2} = 2\sqrt{2}mv$.
साथ ही,$p_f = (m + 2m)V_f = 3mV_f$.
दोनों की तुलना करने पर: $3mV_f = 2\sqrt{2}mv \Rightarrow V_f = \frac{2\sqrt{2}}{3}v$.
अंतिम गतिज ऊर्जा: $K_f = \frac{1}{2}(3m)V_f^2 = \frac{3m}{2} \left( \frac{8v^2}{9} \right) = \frac{4}{3}mv^2$.
ऊर्जा में हानि: $\Delta K = K_i - K_f = 3mv^2 - \frac{4}{3}mv^2 = \frac{5}{3}mv^2$.
प्रतिशत हानि: $\frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = \frac{(5/3)mv^2}{3mv^2} \times 100 = \frac{5}{9} \times 100 \approx 55.55\% \approx 56\%$.

(B) $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित $a$ भुजा वाले घन के लिए,घन का विकर्ण गोले के व्यास के बराबर होता है। अतः,$\sqrt{3}a = 2R$,जिससे $a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
पदार्थ का घनत्व $\rho$ मानते हुए,गोले का द्रव्यमान $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ है। घन का द्रव्यमान $M' = \rho a^3 = \rho \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \rho \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{M'}{M} = \frac{\rho \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}}{\rho \frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{8}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{4\pi} = \frac{2}{\sqrt{3}\pi}$. अतः,$M' = \frac{2M}{\sqrt{3}\pi}$.
$M'$ द्रव्यमान और $a$ भुजा वाले घन का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके एक फलक के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{M' a^2}{6}$ होता है।
मान रखने पर,$I = \frac{1}{6} \left(\frac{2M}{\sqrt{3}\pi}\right) \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{2M}{\sqrt{3}\pi} \cdot \frac{4R^2}{3} = \frac{8M R^2}{18\sqrt{3}\pi} = \frac{4M R^2}{9\sqrt{3}\pi}$.

(A) $h$ ऊँचाई और $R$ आधार त्रिज्या वाले एक ठोस शंकु पर विचार करें। पदार्थ का घनत्व $\rho$ है।
शीर्ष को मूल बिंदु $(0,0)$ पर और शंकु के अक्ष को $y$-अक्ष पर रखें।
शीर्ष से $y$ दूरी पर,$dy$ मोटाई और $r$ त्रिज्या वाली एक पतली डिस्क पर विचार करें।
समरूप त्रिभुजों के नियम से,$\frac{r}{y} = \frac{R}{h}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{h}y$।
इस डिस्क का द्रव्यमान $dm = \rho \cdot \pi r^2 dy = \rho \pi \left(\frac{R}{h}y\right)^2 dy$ है।
द्रव्यमान केंद्र $z_0$ (या $y_{cm}$) इस प्रकार दिया जाता है:
$z_0 = \frac{\int y dm}{\int dm} = \frac{\int_0^h y \cdot \rho \pi \frac{R^2}{h^2} y^2 dy}{\int_0^h \rho \pi \frac{R^2}{h^2} y^2 dy}$
$z_0 = \frac{\int_0^h y^3 dy}{\int_0^h y^2 dy} = \frac{[y^4/4]_0^h}{[y^3/3]_0^h} = \frac{h^4/4}{h^3/3} = \frac{3h}{4}$।

(A) मान लीजिए मूल गोले का केंद्र $O$ है और गुहा का केंद्र $P$ है। दूरी $OP = R/2$ है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V = \frac{-GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. मूल ठोस गोले के कारण बिंदु $P$ पर विभव:
यहाँ,$r = OP = R/2$.
$V_{sphere} = \frac{-GM}{2R^3} \left[ 3R^2 - (R/2)^2 \right] = \frac{-GM}{2R^3} \left( 3R^2 - \frac{R^2}{4} \right) = \frac{-GM}{2R^3} \left( \frac{11R^2}{4} \right) = \frac{-11GM}{8R}$.
$2$. हटाए गए गोलाकार भाग (गुहा) के कारण बिंदु $P$ पर विभव:
हटाए गए भाग का द्रव्यमान $M'$ आयतन के समानुपाती होता है: $M' = M \times \frac{(4/3)\pi(R/2)^3}{(4/3)\pi R^3} = M/8$.
$M'$ द्रव्यमान और $R' = R/2$ त्रिज्या वाले ठोस गोले के केंद्र पर विभव $V_{cavity} = \frac{-3GM'}{2R'} = \frac{-3G(M/8)}{2(R/2)} = \frac{-3GM}{8R}$.
$3$. गुहा के केंद्र $(P)$ पर विभव:
$V_{total} = V_{sphere} - V_{cavity} = \frac{-11GM}{8R} - \left( \frac{-3GM}{8R} \right) = \frac{-11GM + 3GM}{8R} = \frac{-8GM}{8R} = \frac{-GM}{R}$.

(A) एन्ट्रापी एक अवस्था फलन (state function) है,जिसका अर्थ है कि इसमें परिवर्तन केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है,न कि अंतिम अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
स्थिर ऊष्मा धारिता $C$ वाले पिंड के लिए तापमान $T_i$ से $T_f$ तक गर्म करने पर एन्ट्रापी में परिवर्तन $(\Delta S)$ का सूत्र है:
$\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{dQ}{T} = \int_{T_i}^{T_f} \frac{C dT}{T} = C \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right)$.
यहाँ $C = 1 \ J/^oC$ है। चूंकि दोनों स्थितियों $(i)$ और $(ii)$ में प्रारंभिक और अंतिम तापमान समान हैं,इसलिए पिंड की एन्ट्रापी में परिवर्तन दोनों स्थितियों में समान होगा।
यदि तापमान का अनुपात $200/100 = 2$ माना जाए,तो $\Delta S = \ln(2)$ प्राप्त होता है। अतः,दोनों स्थितियों में एन्ट्रापी परिवर्तन $\ln(2)$ होगा।

(B) टक्कर के बीच का औसत समय $\tau = \frac{\lambda}{v_{rms}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ माध्य मुक्त पथ है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल चाल है।
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 (N/V)} \propto V$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \propto \sqrt{T}$.
अतः,$\tau \propto \frac{V}{\sqrt{T}}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $T \propto V^{1-\gamma}$.
इस मान को $\tau$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau \propto \frac{V}{(V^{1-\gamma})^{1/2}} = \frac{V}{V^{(1-\gamma)/2}} = V^{1 - \frac{1-\gamma}{2}} = V^{\frac{2-1+\gamma}{2}} = V^{\frac{\gamma+1}{2}}$.
इसकी तुलना $V^q$ से करने पर,हमें $q = \frac{\gamma+1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $dQ = dU + PdV = 0$ है,इसलिए $dU = -PdV$ है।
दिया गया है $U = V \cdot E = V \cdot (aT^4)$,जहाँ $a$ एक स्थिरांक है।
तब $dU = d(aVT^4) = a(T^4 dV + 4VT^3 dT)$ होगा।
$P = \frac{1}{3} aT^4$ का उपयोग करके $dU = -PdV$ में मान रखने पर:
$aT^4 dV + 4aVT^3 dT = -\frac{1}{3} aT^4 dV$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4aVT^3 dT = -\frac{4}{3} aT^4 dV$ मिलता है।
$4aVT^3$ से विभाजित करने पर: $\frac{dT}{T} = -\frac{1}{3} \frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln T = -\frac{1}{3} \ln V + C$,जिसका अर्थ है $T \propto V^{-1/3}$।
चूंकि $V = \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $V \propto R^3$ है।
अतः,$T \propto (R^3)^{-1/3} = \frac{1}{R}$।

(D) एक सरल आवर्त दोलक के लिए,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ को $PE = \frac{1}{2} k d^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $d$ विस्थापन है। यह मूल बिंदु $(0,0)$ पर शीर्ष के साथ ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ को $KE = \frac{1}{2} k (A^2 - d^2)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है। यह नीचे की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है,जिसका अधिकतम मान माध्य स्थिति $(d=0)$ पर होता है और चरम स्थितियों $(d = \pm A)$ पर शून्य होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ $PE$ को मूल बिंदु से शुरू होने वाले ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय के रूप में और $KE$ को मूल बिंदु पर अधिकतम मान वाले नीचे की ओर खुलने वाले परवलय के रूप में दिखाता है,वह विकल्प $D$ में है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब अतिरिक्त द्रव्यमान $M$ जोड़ा जाता है,तो तार में $\Delta \ell$ का खिंचाव होता है,और नया आवर्तकाल $T_M = 2\pi \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell}{g}}$ हो जाता है।
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{T_M}{T} = \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell}{\ell}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\left( \frac{T_M}{T} \right)^2 = 1 + \frac{\Delta \ell}{\ell}$।
यंग मापांक $Y = \frac{Mg/A}{\Delta \ell / \ell}$ की परिभाषा से,हमें $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{Mg}{AY}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\left( \frac{T_M}{T} \right)^2 = 1 + \frac{Mg}{AY}$।
$\frac{1}{Y}$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{Y} = \left[ \left( \frac{T_M}{T} \right)^2 - 1 \right] \frac{A}{Mg}$ प्राप्त होता है।

(A) जब ट्रेन पास आ रही होती है, तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v = 320 \ ms^{-1}$ और $v_s = 20 \ ms^{-1}$ है।
$f_1 = 1000 \times \left( \frac{320}{320 - 20} \right) = 1000 \times \frac{320}{300} \ Hz$.
जब ट्रेन दूर जा रही होती है, तो सुनी गई आवृत्ति $f_2 = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होती है।
$f_2 = 1000 \times \left( \frac{320}{320 + 20} \right) = 1000 \times \frac{320}{340} \ Hz$.
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f_1 - f_2$ है।
आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{f_1 - f_2}{f_1} \times 100 = \left( 1 - \frac{f_2}{f_1} \right) \times 100$ है।
मान रखने पर: $\left( 1 - \frac{320/340}{320/300} \right) \times 100 = \left( 1 - \frac{300}{340} \right) \times 100 = \left( \frac{40}{340} \right) \times 100 \approx 11.76 \% \approx 12 \%$.

(A) कण के लिए गति के समीकरण दिए गए हैं:
$x = a \sin \omega t \Rightarrow \sin \omega t = \frac{x}{a}$
$y = a \sin 2 \omega t$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$y = a (2 \sin \omega t \cos \omega t)$
चूंकि $\cos \omega t = \sqrt{1 - \sin^2 \omega t} = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$,हम इस मान को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = 2a (\frac{x}{a}) (\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a})$
$y = \frac{2x}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $y^2 = \frac{4x^2}{a^2} (a^2 - x^2)$ प्राप्त होता है,जो $x$ और $y$ अक्षों के सापेक्ष सममित आठ (figure-eight) जैसा वक्र दर्शाता है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(A) दिए गए $V - T$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $a \to b$: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए $V \propto T$ है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,इसका अर्थ है कि $P$ स्थिर है। अतः,$a \to b$ एक समदाबी प्रक्रिया है जिसमें तापमान बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि आयतन भी बढ़ता है।
$2$. प्रक्रिया $b \to c$: यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के रूप में दी गई है। आरेख से देखा जा सकता है कि $V$ घटता है और $T$ बढ़ता है,इसलिए दबाव $P$ में काफी वृद्धि होनी चाहिए।
$3$. प्रक्रिया $c \to d$: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए $V \propto T$ है,जिसका अर्थ है कि $P$ स्थिर है। अतः,$c \to d$ एक समदाबी प्रक्रिया है जिसमें तापमान घटता है,जिसका अर्थ है कि आयतन भी घटता है।
$4$. प्रक्रिया $d \to a$: यह एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के रूप में दी गई है। आरेख से देखा जा सकता है कि $V$ बढ़ता है और $T$ घटता है,इसलिए दबाव $P$ कम होना चाहिए।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो $P - V$ आरेख इन प्रक्रियाओं का सही प्रतिनिधित्व करता है,वह विकल्प $A$ है।

(D) गतिज सिद्धांत के अनुसार एक आदर्श गैस का दाब $P = \frac{1}{3} \frac{N m}{V} v_{rms}^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T$ होती है,इसलिए $v_{rms}^2 \propto T$ होता है।
अणु द्वारा दीवार पर लगाया गया बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के समानुपाती होता है,जो वेग के वर्ग के समानुपाती होता है $(F \propto v^2)$।
चूंकि $v_{rms}^2 \propto T$,इसलिए बल $F \propto T^1$ होता है।
इसे $F \propto T^q$ के साथ तुलना करने पर,हमें $q = 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $M = 10\,kg$ और $m = 0.05\,kg$ है। टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$mv = (M + m)V_0$
$V_0 = \frac{mv}{M + m} = \frac{0.05v}{10.05} \approx \frac{0.05v}{10} = 0.005v$
ब्लॉक रुकने से पहले $s = 2\,m$ की दूरी तय करता है। मंदन $a$ है:
$a = \mu g = 0.05 \times 10 = 0.5\,m/s^2$
$v_f^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0 - V_0^2 = 2(-a)s \implies V_0^2 = 2as = 2 \times 0.5 \times 2 = 2$
$V_0 = \sqrt{2}\,m/s$
चूँकि $V_0 = \frac{0.05v}{10.05} \approx 0.005v$,इसलिए $0.005v = \sqrt{2} \implies v = 200\sqrt{2}\,m/s$ है।
मुक्त रूप से गिरती वस्तु के लिए,$v_{final} = \sqrt{2gH}$। दिया गया है $v_{final} = \frac{v}{10} = \frac{200\sqrt{2}}{10} = 20\sqrt{2}\,m/s$:
$20\sqrt{2} = \sqrt{2 \times 10 \times H}$
$(20\sqrt{2})^2 = 20H$
$400 \times 2 = 20H \implies 800 = 20H \implies H = 40\,m = 0.04\,km$.

(C) बेलन के फ्री बॉडी डायग्राम से:
$1$. स्थानांतरीय गति का समीकरण है:
$ma = F - f$ ---$(i)$
जहाँ $f$ संपर्क बिंदु पर कार्य करने वाला घर्षण बल है।
$2$. द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति का समीकरण है:
$\tau = I\alpha$
$fR = \left(\frac{1}{2}mR^2\right)\alpha$
चूंकि बेलन बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए $a = R\alpha$ की स्थिति लागू होती है,अतः $\alpha = \frac{a}{R}$।
इसे टॉर्क समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$fR = \left(\frac{1}{2}mR^2\right)\left(\frac{a}{R}\right)$
$f = \frac{1}{2}ma$ ---(ii)
$3$. समीकरण (ii) से $f$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$ma = F - \frac{1}{2}ma$
$F = ma + \frac{1}{2}ma = \frac{3}{2}ma$

(C) जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ पर स्थिर चाल $V$ से गति करती है,तो अभिकेंद्र त्वरण $a$ का सूत्र इस प्रकार है:
$a = \frac{V^2}{r}$
यहाँ दिया गया है कि चाल $V = 10\,ms^{-1}$ स्थिर है,इसलिए समीकरण होगा:
$a = \frac{100}{r}$
यह दर्शाता है कि त्वरण $a,$ त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(a \propto \frac{1}{r})$।
यह संबंध एक आयताकार हाइपरबोला (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जो विकल्प $C$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) वक्र तरल सतह पर दबाव का अंतर यंग-लाप्लास समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = T \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$.
दो प्लेटों के बीच पानी की बेलनाकार सतह के लिए,वक्रता की दो त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ हैं (क्योंकि सतह बेलनाकार वक्रता के लंबवत दिशा में सीधी है)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta P = T \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{\infty} \right)$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta P = \frac{T}{R}$.

(B) माना $m_1 = 0.1\,kg$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का $\frac{x}{2}$ स्थिति पर वेग $u$ है। जब यह $m_2$ द्रव्यमान के दूसरे ब्लॉक से टकराता है,तो पहला ब्लॉक रुक जाता है,जिसका अर्थ है $v_1 = 0.$ दूसरा ब्लॉक $v_2 = 3\,m/s$ के वेग से गति करता है।
संवेग संरक्षण के नियम से: $m_1 u + m_2(0) = m_1(0) + m_2(3) \Rightarrow 0.1u = 3m_2.$
टक्कर के लिए ऊर्जा संरक्षण से: $\frac{1}{2}m_1 u^2 = \frac{1}{2}m_2(3)^2 \Rightarrow 0.1u^2 = 9m_2.$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{0.1u^2}{0.1u} = \frac{9m_2}{3m_2} \Rightarrow u = 3\,m/s.$
अब,स्प्रिंग-ब्लॉक निकाय के लिए प्रारंभिक दबी हुई स्थिति से $\frac{x}{2}$ स्थिति तक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kx^2.$
$\frac{x}{2}$ स्थिति पर ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}k(\frac{x}{2})^2 + \frac{1}{2}m_1 u^2.$
चूंकि $E = E',$ हमारे पास है: $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{8}kx^2 + \frac{1}{2}(0.1)(3)^2.$
$\frac{3}{8}kx^2 = 0.45 \Rightarrow \frac{1}{2}kx^2 = \frac{0.45 \times 8}{3 \times 2} = 0.6\,J.$

(D) भुजा और $m$ द्रव्यमान वाली एक पतली समान वर्गाकार शीट के लिए,केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = \frac{ma^2}{6}$ है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$,जहाँ $I_x$ और $I_y$ शीट के तल में केंद्र से गुजरने वाली दो लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
समरूपता के कारण,$I_x = I_y = \frac{ma^2}{12}$ है।
मान लीजिए $I_d$ एक विकर्ण के परितः जड़त्व आघूर्ण है। दो विकर्णों (जो एक-दूसरे के लंबवत भी हैं और तल में स्थित हैं) पर लागू लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_{d1} + I_{d2}$ है।
चूंकि वर्ग सममित है,$I_{d1} = I_{d2} = I$ है।
अतः,$I_z = 2I$,जिसका अर्थ है $I = \frac{I_z}{2} = \frac{ma^2/6}{2} = \frac{ma^2}{12}$ है।
इसलिए,$I = \frac{ma^2}{12}$ है।

(D) धारिता $C$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]$ है।
दिए गए नियतांकों की विमाओं का विश्लेषण करते हैं:
आवेश $e = [I T]$
बोहर त्रिज्या $a_0 = [L]$
प्लांक नियतांक $h = [M L^2 T^{-1}]$
प्रकाश की गति $c = [L T^{-1}]$
अब,विकल्प $D$ $(u = \frac{e^2 a_0}{hc})$ की विमाओं की जाँच करते हैं:
$\frac{e^2 a_0}{hc}$ की विमा $= \frac{[I^2 T^2] [L]}{[M L^2 T^{-1}] [L T^{-1}]} = \frac{[I^2 T^2 L]}{[M L^3 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]$.
चूंकि धारिता की विमाएँ और $u = \frac{e^2 a_0}{hc}$ की विमाएँ समान हैं,इसलिए विकल्प $D$ सही है।

(C) बलित आवर्त दोलक के लिए गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + m \omega^2 x = F(t)$ है।
यहाँ $\omega = 2 \, rad \, s^{-1}$ और $F(t) = \sin(t)$ दिया गया है,इसलिए $\frac{d^2x}{dt^2} + 4x = \frac{1}{m} \sin(t)$.
समानुपातिकता के लिए $m = 1$ लेने पर,विशिष्ट हल $x_p = A \sin(t)$ के रूप में मिलता है।
अवकल समीकरण में रखने पर: $-A \sin(t) + 4A \sin(t) = \sin(t) \Rightarrow 3A = 1 \Rightarrow A = 1/3$.
प्रारंभिक स्थितियों $x(0) = 0$ और $v(0) = 0$ को ध्यान में रखते हुए,सामान्य हल $x(t) = c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t) + \frac{1}{3} \sin(t)$ है।
$x(0) = 0$ रखने पर $c_1 = 0$ प्राप्त होता है।
$v(0) = 0$ रखने पर $v(t) = 2c_2 \cos(2t) + \frac{1}{3} \cos(t) \Rightarrow 2c_2 + 1/3 = 0 \Rightarrow c_2 = -1/6$.
अतः,$x(t) = \frac{1}{3} \sin(t) - \frac{1}{6} \sin(2t) = \frac{1}{3} (\sin(t) - \frac{1}{2} \sin(2t))$.
इसलिए,स्थिति $\sin(t) - \frac{1}{2} \sin(2t)$ के समानुपाती है।

(A) एक बहुत लंबे बेलनाकार द्रव्यमान वितरण के लिए,धुरी से $r$ $(r > R)$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$,गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है: $E = \frac{2GM}{Lr}$.
$m$ द्रव्यमान वाले तारे पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = mE = \frac{2GMm}{Lr}$ है।
चूंकि तारा एक वृत्ताकार पथ में परिक्रमा कर रहा है,यह गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{2GMm}{Lr}$.
$v = r\omega = r(\frac{2\pi}{T})$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $m r (\frac{2\pi}{T})^2 = \frac{2GMm}{Lr}$.
समीकरण को सरल बनाने पर: $r \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{2GM}{Lr}$.
$T^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $T^2 = \frac{4\pi^2 L}{2GM} r^2$.
अतः,$T^2 \propto r^2$,जिसका अर्थ है कि $T \propto r$.

(A) इस प्रश्न में डॉप्लर प्रभाव के दो चरण शामिल हैं।
चरण $1$: दीवार एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो गतिमान चमगादड़ (स्रोत) से ध्वनि प्राप्त करती है। दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f' = f_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$ है,जहाँ $V = 320\,ms^{-1}$,$V_s = 10\,ms^{-1}$,और $f_0 = 8000\,Hz$ है।
$f' = 8000 \left( \frac{320}{320 - 10} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right)$.
चरण $2$: दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि को वापस गतिमान चमगादड़ (प्रेक्षक) की ओर परावर्तित करती है। चमगादड़ द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f = f' \left( \frac{V + V_0}{V} \right)$ है,जहाँ $V_0 = 10\,ms^{-1}$ है।
चरण $1$ से $f'$ का मान रखने पर: $f = 8000 \left( \frac{320}{310} \right) \left( \frac{320 + 10}{320} \right) = 8000 \left( \frac{330}{310} \right) = 8000 \times 1.0645 \approx 8516\,Hz$.

(D) दिया गया है: नल का व्यास $D = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,cm = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2}\,m$.
त्रिज्या $r = \frac{D}{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2}\,m$.
आयतन प्रवाह दर $Q = \frac{15\,litres}{5\,minutes} = \frac{15 \times 10^{-3}\,m^3}{300\,s} = 5 \times 10^{-5}\,m^3/s$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2} \right)^2 = 10^{-4}\,m^2$.
वेग $v = \frac{Q}{A} = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-4}} = 0.5\,m/s$.
रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$,जहाँ $\rho = 10^3\,kg/m^3$,$v = 0.5\,m/s$,$D = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2}\,m$,और $\eta = 10^{-3}\,Pa\cdot s$.
$R_e = \frac{10^3 \times 0.5 \times (2/\sqrt{\pi}) \times 10^{-2}}{10^{-3}} = \frac{5 \times (2/\sqrt{\pi})}{10^{-3}} = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \times 10^3 \approx \frac{10}{1.772} \times 10^3 \approx 5642$.
निकटतम मान $5500$ है।

(B) वर्नियर कैलिपर्स का अल्पतमांक $(LC)$ इस प्रकार है:
$LC = \frac{\text{मुख्य पैमाने के 1 विभाजन का मान}}{\text{वर्नियर पैमाने के कुल विभाजन}} = \frac{0.1\,cm}{10} = 0.01\,cm$.
प्रेक्षित व्यास $d$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $d = \text{मुख्य पैमाना पाठ्यांक} + (VS \text{ विभाजन} \times LC)$.
शून्य त्रुटि $-0.03\,cm$ दी गई है,इसलिए सुधार $-(\text{शून्य त्रुटि}) = +0.03\,cm$ होगा।
संशोधित व्यास $d' = d + 0.03\,cm$.
माप $(1)$ के लिए: $d_1 = 0.5 + (8 \times 0.01) + 0.03 = 0.5 + 0.08 + 0.03 = 0.61\,cm$.
माप $(2)$ के लिए: $d_2 = 0.5 + (4 \times 0.01) + 0.03 = 0.5 + 0.04 + 0.03 = 0.57\,cm$.
माप $(3)$ के लिए: $d_3 = 0.5 + (6 \times 0.01) + 0.03 = 0.5 + 0.06 + 0.03 = 0.59\,cm$.
माध्य संशोधित व्यास $= \frac{0.61 + 0.57 + 0.59}{3} = \frac{1.77}{3} = 0.59\,cm$.

(B) स्थितिज ऊर्जा $U$ को केंद्रीय बल के विरुद्ध किए गए कार्य द्वारा परिभाषित किया जाता है: $dU = -F \cdot dr$। चूंकि बल केंद्र की ओर निर्देशित है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = \int_0^r F dr = \int_0^r \alpha r^2 dr = \frac{\alpha r^3}{3}$ होगी।
वृत्तीय गति के लिए,अभिकेंद्र बल दिए गए बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = F = \alpha r^2$।
अतः,गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(\alpha r^2)r = \frac{1}{2}\alpha r^3$ होगी।
कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}\alpha r^3 + \frac{1}{3}\alpha r^3 = \frac{5}{6}\alpha r^3$ प्राप्त होती है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,स्रोत की ओर गति करने वाले प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f$ इस प्रकार है:
$f = \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right) f_0$
इस समीकरण को $v_0$ के फलन के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$f = \left( \frac{f_0}{v - v_s} \right) v_0 + \frac{v f_0}{v - v_s}$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $y = f$ और $x = v_0$ है।
ग्राफ का ढाल $m = \frac{f_0}{v - v_s}$ है।
चूंकि आवृत्ति $f$,$v_0$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है,इसलिए ग्राफ $A$ इस संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

(B) किसी बिंदु $O$ के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कण $r = 0.6\, m$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में जमीन से $h = 0.8\, m$ की ऊँचाई पर गति करता है।
मान लीजिए कि वृत्त के केंद्र के ठीक नीचे जमीन पर स्थित बिंदु $O'$ है। $O'$ के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश $\vec{r}$ का क्षैतिज घटक $r = 0.6\, m$ और ऊर्ध्वाधर घटक $h = 0.8\, m$ है।
कण का वेग $\vec{v}$ है,जो वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय है,इसलिए इसका परिमाण $v = r\omega = 0.6 \times 12 = 7.2\, m/s$ है।
$O'$ के परितः कोणीय संवेग $L = |\vec{r} \times m\vec{v}| = mvr_{\perp}$ है,जहाँ $r_{\perp}$ घूर्णन अक्ष से वेग सदिश की लंबवत दूरी है जो $O'$ से गुजरती है। चूँकि वेग क्षैतिज है और बिंदु $O'$ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर है,वेग की रेखा से बिंदु $O'$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 0.6\, m$ है।
अतः,$L = mvr = (2\, kg) \times (7.2\, m/s) \times (0.6\, m) = 8.64\, kg\, m^2\, s^{-1}$.

(A) जब एक सदिश $\vec{A}$ को एक छोटे कोण $\Delta \theta$ से घुमाया जाता है,तो सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $|\vec{A}| = |\vec{B}| = A$ होता है।
अंतर सदिश $\vec{B} - \vec{A}$ दोनों सदिशों के शीर्षों के बीच की जीवा की लंबाई को दर्शाता है।
बहुत छोटे कोण $\Delta \theta$ के लिए,जीवा की लंबाई सदिश के शीर्ष द्वारा बनाए गए वृत्त की चाप की लंबाई के लगभग बराबर होती है।
संबंध $\text{चाप की लंबाई} = \text{त्रिज्या} \times \text{कोण}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{B} - \vec{A}| \approx |\vec{A}| \Delta \theta$.

(D) अवमंदित दोलक की $t$ समय पर ऊर्जा का सूत्र $E(t) = E_0 e^{-\gamma t}$ है,जहाँ $\gamma = \frac{b}{m}$ अवमंदन नियतांक है।
दिया गया है,प्रारंभिक ऊर्जा $E_0 = 45\, J$ और अंतिम ऊर्जा $E = 15\, J$ है।
$T = 1\, s$ के आवर्तकाल के साथ $15$ दोलन पूरे करने में लगा समय $t = 15 \times T = 15 \times 1 = 15\, s$ है।
मानों को समीकरण में रखने पर: $15 = 45 e^{-\gamma (15)}$.
$45$ से भाग देने पर: $\frac{1}{3} = e^{-15\gamma}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/3) = -15\gamma$.
$-\ln 3 = -15\gamma$.
अतः,$\gamma = \frac{1}{15} \ln 3\, s^{-1}$.

(C) तैरती हुई वस्तु के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{h'}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h'$ संतुलन में ब्लॉक का द्रव में डूबा हुआ हिस्सा है।
तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है: $A \cdot h \cdot \rho_{\text{wood}} \cdot g = A \cdot h' \cdot \rho_{\text{liquid}} \cdot g$.
अतः,$h' = h \cdot \frac{\rho_{\text{wood}}}{\rho_{\text{liquid}}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $h' = 54 \ cm \times \frac{650}{900}$.
$h' = 54 \times \frac{13}{18} = 3 \times 13 = 39 \ cm$.
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,सरल लोलक की समतुल्य लंबाई $l$ डूबी हुई गहराई $h'$ के बराबर है।
इसलिए,$l = 39 \ cm$.

(C) मान लीजिए कि $\mu_0$ का $e, m, c$ और $h$ के साथ संबंध इस प्रकार है: $\mu_0 = k e^a m^b c^c h^d$.
$\mu_0$ का विमीय सूत्र $[M L T^{-2} A^{-2}]$ है।
दी गई राशियों के विमीय सूत्र हैं: $e = [A T]$,$m = [M]$,$c = [L T^{-1}]$,और $h = [M L^2 T^{-1}]$.
समीकरण में मान रखने पर:
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [A T]^a [M]^b [L T^{-1}]^c [M L^2 T^{-1}]^d$
$[M L T^{-2} A^{-2}] = [M^{b+d} L^{c+2d} T^{a-c-d} A^a]$
दोनों पक्षों में $M, L, T$ और $A$ की घातों की तुलना करने पर:
$A: a = -2$
$M: b + d = 1$
$L: c + 2d = 1$
$T: a - c - d = -2$
$T$ के समीकरण में $a = -2$ रखने पर: $-2 - c - d = -2 \implies c + d = 0 \implies c = -d$.
$L$ के समीकरण में $c = -d$ रखने पर: $-d + 2d = 1 \implies d = 1$.
चूंकि $d = 1$,इसलिए $c = -1$.
चूंकि $b + d = 1$,इसलिए $b + 1 = 1 \implies b = 0$.
अतः,$\mu_0 \propto e^{-2} m^0 c^{-1} h^1 = \frac{h}{c e^2}$.

(C) $R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाले समान घनत्व के ठोस गोले के लिए,गुरुत्वीय विभव $V(r)$ इस प्रकार दिया जाता है:
गोले के अंदर $(r \le R)$: $V(r) = -\frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$। यह एक परवलयिक परिवर्तन है जहाँ विभव सतह पर $(r=R)$ अधिकतम (सबसे कम ऋणात्मक) और केंद्र पर $(r=0)$ न्यूनतम (सबसे अधिक ऋणात्मक) होता है।
गोले के बाहर $(r > R)$: $V(r) = -\frac{GM}{r}$। यह दूरी के साथ व्युत्क्रम परिवर्तन दर्शाता है।
ग्राफ $C$ सही ढंग से दर्शाता है कि विभव केंद्र पर एक ऋणात्मक मान से शुरू होता है,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,यह $R$ की ओर बढ़ता है (कम ऋणात्मक होता जाता है),और फिर जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,यह शून्य की ओर बढ़ना जारी रखता है।

(B) माना $P$ हीटर की शक्ति (प्रति इकाई समय में दी गई ऊष्मा) है।
पानी को $0\,^oC$ से $100\,^oC$ तक गर्म करने के लिए:
$Q_1 = P \times t_1 = m \cdot c \cdot \Delta T$
$P \times 10 = m \times 1 \times (100 - 0) = 100m \quad ... (i)$
पानी को $100\,^oC$ पर भाप में बदलने के लिए:
$Q_2 = P \times t_2 = m \cdot L$
$P \times 55 = m \cdot L \quad ... (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P \times 55}{P \times 10} = \frac{m \cdot L}{100m}$
$5.5 = \frac{L}{100}$
$L = 5.5 \times 100 = 550\, cal/g$.

(D) माना $\frac{Q}{A} = \eta^a \left( \frac{S\Delta \theta}{h} \right)^b \left( \frac{1}{\rho g} \right)^c$.
$\frac{Q}{A}$ (हीट फ्लक्स) की विमाएँ $[M T^{-3}]$ हैं।
$\eta$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-1}]$ हैं।
$\frac{S\Delta \theta}{h}$ की विमाएँ $[L^2 T^{-2} K^{-1} \cdot K \cdot L^{-1}] = [L T^{-2}]$ हैं।
$\frac{1}{\rho g}$ की विमाएँ $[(M L^{-3})^{-1} (L T^{-2})^{-1}] = [M^{-1} L^3 \cdot L^{-1} T^2] = [M^{-1} L^2 T^2]$ हैं।
विमाओं की तुलना करने पर: $[M T^{-3}] = [M L^{-1} T^{-1}]^a [L T^{-2}]^b [M^{-1} L^2 T^2]^c$.
$[M T^{-3}] = [M^{a-c} L^{-a+b+2c} T^{-a-2b+2c}]$.
घातों की तुलना करने पर:
$a - c = 1$
$-a + b + 2c = 0$
$-a - 2b + 2c = -3$
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण से,$a = 1 + c$.
तीसरे समीकरण में रखने पर: $-(1+c) - 2b + 2c = -3 \Rightarrow -1 + c - 2b = -3 \Rightarrow c - 2b = -2$.
दूसरे समीकरण में रखने पर: $-(1+c) + b + 2c = 0 \Rightarrow c + b = 1$.
$c - 2b = -2$ और $2(c + b) = 2$ को जोड़ने पर $3c = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 0$.
अतः $b = 1$ और $a = 1$.
इसलिए,$\frac{Q}{A} = \eta \frac{S\Delta \theta}{h}$.

(D) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार, स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि (degree of freedom) अणु की औसत ऊर्जा में $\frac{1}{2} k_B T$ का योगदान देती है।
एक ठोस के लिए, प्रत्येक परमाणु एक $3D$ हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में कार्य करता है, जिसमें गतिज ऊर्जा के लिए $3$ और स्थितिज ऊर्जा के लिए $3$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, कुल $6$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।
प्रति परमाणु औसत ऊर्जा $U = 6 \times \frac{1}{2} k_B T = 3 k_B T$ है।
$1 \, \text{mole}$ पदार्थ के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U_m = 3 R T$ होती है।
मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{dU_m}{dT} = 3 R$ है।
यहाँ $R = 8.314 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$ और परमाणु भार $M = 27 \times 10^{-3} \, kg/mol$ दिया गया है, इसलिए विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = \frac{C_v}{M} = \frac{3 R}{M}$ प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $c = \frac{3 \times 8.314}{27 \times 10^{-3}} \approx \frac{24.942}{0.027} \approx 923.77 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $925 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$ है।

(B) परिवर्ती रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu(x)$ वाली छड़ का द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \mu(x) dx}{\int_{0}^{L} \mu(x) dx}$
$\mu(x) = a + \frac{bx}{L}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x(a + \frac{bx}{L}) dx}{\int_{0}^{L} (a + \frac{bx}{L}) dx} = \frac{\int_{0}^{L} (ax + \frac{bx^2}{L}) dx}{\int_{0}^{L} (a + \frac{bx}{L}) dx}$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
अंश: $[\frac{ax^2}{2} + \frac{bx^3}{3L}]_{0}^{L} = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^2}{3} = L^2(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})$
हर: $[ax + \frac{bx^2}{2L}]_{0}^{L} = aL + \frac{bL}{2} = L(a + \frac{b}{2})$
अतः,$x_{cm} = \frac{L^2(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})}{L(a + \frac{b}{2})} = L \frac{(\frac{3a + 2b}{6})}{(\frac{2a + b}{2})} = L \frac{3a + 2b}{3(2a + b)}$
दिया गया है कि $x_{cm} = \frac{7}{12}L$,इसलिए:
$\frac{3a + 2b}{3(2a + b)} = \frac{7}{12}$
$\frac{3a + 2b}{2a + b} = \frac{7}{4}$
$4(3a + 2b) = 7(2a + b)$
$12a + 8b = 14a + 7b$
$b = 2a$.

(B) मनकों की गति के लिए उपलब्ध कुल लंबाई $L_{eff} = L - 2nr$ है,क्योंकि $n$ मनकों में से प्रत्येक $2r$ लंबाई घेरता है।
जब एक मनका $v$ चाल से चलता है और आधारों के साथ प्रत्यास्थ टक्कर करता है,तो एक आधार के साथ एक टक्कर के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$ होता है।
दो आधारों के बीच यात्रा करने और वापस आने में लगा समय $\Delta t = \frac{2(L - 2nr)}{v}$ है।
प्रत्येक आधार पर लगने वाला औसत बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv}{2(L - 2nr) / v} = \frac{mv^2}{L - 2nr}$.

(B) एक समान रूप से आवेशित ठोस गोले की सतह पर विभव $V_0 = \frac{Kq}{R}$ है。
$r < R$ के लिए, विभव $V_i = \frac{Kq}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ होता है。
केंद्र पर $(r = 0)$, $V_{center} = \frac{3Kq}{2R} = \frac{3}{2}V_0$। अतः, $\frac{3V_0}{2}$ विभव के लिए $R_1 = 0$ है。
$\frac{5V_0}{4}$ विभव के लिए $(r < R)$: $\frac{5}{4} \frac{Kq}{R} = \frac{Kq}{2R^3}(3R^2 - R_2^2) \implies \frac{5}{2} = 3 - \frac{R_2^2}{R^2} \implies \frac{R_2^2}{R^2} = \frac{1}{2} \implies R_2 = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707R$.
$\frac{3V_0}{4}$ विभव के लिए $(r > R)$: $\frac{3}{4} \frac{Kq}{R} = \frac{Kq}{R_3} \implies R_3 = \frac{4}{3}R \approx 1.333R$.
$\frac{V_0}{4}$ विभव के लिए $(r > R)$: $\frac{1}{4} \frac{Kq}{R} = \frac{Kq}{R_4} \implies R_4 = 4R$.
अब, $R_2 = 0.707R$ और $(R_4 - R_3) = 4R - 1.333R = 2.667R$ है。
चूँकि $0.707R < 2.667R$, इसलिए $R_2 < (R_4 - R_3)$ सही है।

(A) परिपथ में संधारित्र $C$ एक $1 \ \mu F$ और $2 \ \mu F$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। समानांतर संयोजन की समतुल्य धारिता $C_p = 1 \ \mu F + 2 \ \mu F = 3 \ \mu F$ है।
परिपथ की कुल धारिता $C_{eq} = \frac{C \times C_p}{C + C_p} = \frac{3C}{C + 3}$ है।
बैटरी $E$ द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} E = \frac{3CE}{C + 3}$ है।
यह कुल आवेश $Q$ संधारित्र $C$ से होकर गुजरता है और फिर समानांतर में $1 \ \mu F$ और $2 \ \mu F$ संधारित्रों के बीच विभाजित हो जाता है।
$2 \ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_2$ आवेश विभाजन नियम के अनुसार है: $Q_2 = Q \times \left( \frac{2 \ \mu F}{1 \ \mu F + 2 \ \mu F} \right) = Q \times \frac{2}{3}$।
$Q$ का व्यंजक रखने पर: $Q_2 = \frac{2}{3} \times \left( \frac{3CE}{C + 3} \right) = \frac{2CE}{C + 3} = 2E \left( \frac{C}{C + 3} \right) = 2E \left( 1 - \frac{3}{C + 3} \right)$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $C$ का मान $1 \ \mu F$ से $3 \ \mu F$ तक बढ़ता है,पद $\frac{3}{C + 3}$ घटता है,इसलिए $Q_2$ बढ़ता है। फलन $f(C) = \frac{2CE}{C + 3}$ एक ऐसे वक्र को दर्शाता है जो नीचे की ओर अवतल (concave downwards) है,जो ग्राफ $A$ के आकार से मेल खाता है।

(C) बेलनाकार कोश के ऊपरी आधे भाग में धनात्मक आवेश और निचले आधे भाग में ऋणात्मक आवेश का वितरण है। यह विन्यास एक विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) के समान विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
उन्हें धनात्मक आवेशित सतह से लंबवत बाहर निकलना चाहिए और ऋणात्मक आवेशित सतह में लंबवत प्रवेश करना चाहिए।
विकल्पों को देखने पर,आकृति $C$ ($115$-c981) में दिखाई गई क्षेत्र रेखाएं द्विध्रुव जैसी क्षेत्र पैटर्न का सही प्रतिनिधित्व करती हैं,जहाँ रेखाएं ऊपरी आधे भाग से निकलती हैं और निचले आधे भाग पर समाप्त होती हैं,जो बेलन के चारों ओर मुड़ती हैं।

(B) चालक में विद्युत धारा $I = n e A v_d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अनुगमन वेग है।
ओम के नियम के अनुसार,$V = I R$,जहाँ $R = \rho \frac{l}{A}$.
समीकरण में $I$ और $R$ का मान रखने पर: $V = (n e A v_d) \times (\rho \frac{l}{A}) = n e v_d \rho l$.
प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए सूत्र: $\rho = \frac{V}{n e v_d l}$.
दिए गए मान: $V = 5 \ V$,$l = 0.1 \ m$,$n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$,$v_d = 2.5 \times 10^{-4} \ m/s$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
इन मानों को रखने पर: $\rho = \frac{5}{8 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.5 \times 10^{-4} \times 0.1}$.
$\rho = \frac{5}{3.2 \times 10^5} = 1.5625 \times 10^{-5} \ \Omega m \approx 1.6 \times 10^{-5} \ \Omega m$.

(B) माना कि बाएं लूप में धारा $I_1$ (दक्षिणावर्त) है और दाएं लूप में धारा $I_2$ (दक्षिणावर्त) है।
बाएं लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$-6 + 3I_1 + 1(I_1 - I_2) = 0$
$4I_1 - I_2 = 6$ .....$(1)$
दाएं लूप के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$-9 + 4I_2 + 1(I_2 - I_1) + 2I_2 = 0$
$-I_1 + 7I_2 = 9$ .....$(2)$
समीकरण $(1)$ को $7$ से गुणा करके समीकरण $(2)$ में जोड़ने पर:
$28I_1 - 7I_2 = 42$
$-I_1 + 7I_2 = 9$
$27I_1 = 51 \implies I_1 = \frac{51}{27} = 1.88\ A$
$I_1$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$4(1.88) - I_2 = 6 \implies 7.52 - 6 = I_2 \implies I_2 = 1.52\ A$
$1\,\Omega$ के प्रतिरोध में धारा $(I_1 - I_2) = 1.88 - 1.52 = 0.36\ A$ है,जो $Q$ से $P$ की ओर है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $0.13\ A$ ($Q$ से $P$) है।

(A) मान लीजिए धारावाही तार की लंबाई $l$ है।
संतुलन की स्थिति में,तार पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण बल $(\lambda l)g$ और चुंबकीय बल $F_B$ हैं।
दोनों तारों के बीच की दूरी $r = 2L \sin \theta$ है।
प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $\frac{F_B}{l} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi (2L \sin \theta)} = \frac{\mu_0 I^2}{4 \pi L \sin \theta}$ है।
बलों को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दिशाओं में वियोजित करने पर:
$T \cos \theta = \lambda l g$
$T \sin \theta = F_B = \frac{\mu_0 I^2 l}{4 \pi L \sin \theta}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{F_B}{\lambda l g} = \frac{\mu_0 I^2 l}{4 \pi L \sin \theta \cdot \lambda l g} = \frac{\mu_0 I^2}{4 \pi \lambda g L \sin \theta}$
$I$ के लिए हल करने पर:
$I^2 = \frac{4 \pi \lambda g L \sin \theta \tan \theta}{\mu_0} = \frac{4 \pi \lambda g L \sin^2 \theta}{\mu_0 \cos \theta}$
$I = 2 \sin \theta \sqrt{\frac{\pi \lambda g L}{\mu_0 \cos \theta}}$.

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M}$,$\overrightarrow{M} = I \overrightarrow{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ की दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
स्थायी संतुलन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M}$ को चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के समानांतर होना चाहिए (अर्थात,$\theta = 0^\circ$)।
अस्थायी संतुलन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M}$ को चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के प्रति-समानांतर होना चाहिए (अर्थात,$\theta = 180^\circ$)।
चित्र $(a)$ में,धारा $yz$-तल में प्रवाहित होती है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ $+x$ दिशा में इंगित करता है।
चित्र $(b)$ में,धारा $xy$-तल में प्रवाहित होती है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ $+z$ दिशा में इंगित करता है। चूंकि $\overrightarrow{B}$ $+z$ दिशा में है,इसलिए $\overrightarrow{M} \parallel \overrightarrow{B}$,जो स्थायी संतुलन के अनुरूप है।
चित्र $(c)$ में,धारा $xz$-तल में प्रवाहित होती है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ $-y$ दिशा में इंगित करता है।
चित्र $(d)$ में,धारा $xy$-तल में प्रवाहित होती है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ $-z$ दिशा में इंगित करता है। चूंकि $\overrightarrow{B}$ $+z$ दिशा में है,इसलिए $\overrightarrow{M}$,$\overrightarrow{B}$ के प्रति-समानांतर है,जो अस्थायी संतुलन के अनुरूप है।
अतः,$(b)$ स्थायी है और $(d)$ अस्थायी है।

(D) एक ही दिशा में धारा प्रवाहित करने वाली दो समाक्षीय परिनालिकाओं के लिए,बाहरी परिनालिका द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उसके अंदर एकसमान होता है और उसके बाहर शून्य होता है। आंतरिक परिनालिका को इस एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है। चूंकि आंतरिक परिनालिका में धारा सममित रूप से वितरित होती है,इसलिए आंतरिक परिनालिका पर कुल चुंबकीय बल शून्य होता है क्योंकि विपरीत पक्षों पर लगने वाले बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
इसी प्रकार,आंतरिक परिनालिका द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उसके अपने आयतन के भीतर सीमित होता है और उसके बाहर शून्य होता है। इसलिए,बाहरी परिनालिका को ऐसे क्षेत्र में रखा जाता है जहाँ आंतरिक परिनालिका के कारण चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है। अतः,बाहरी परिनालिका पर कुल चुंबकीय बल भी शून्य होता है।
इसलिए,$\overrightarrow{F_1} = 0$ और $\overrightarrow{F_2} = 0$।

(C) प्रश्न के अनुसार,हवा का अपवर्तनांक $\mu$ जमीन से ऊंचाई के साथ बढ़ता है।
चूंकि माध्यम में प्रकाश की गति $v = c/\mu$ द्वारा दी जाती है,जहां $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है,इसलिए जैसे-जैसे जमीन से ऊंचाई बढ़ती है,प्रकाश की गति $v$ कम हो जाती है।
क्षैतिज रूप से गति कर रहे एक समतल तरंगाग्र (wavefront) पर विचार करें। तरंगाग्र का वह हिस्सा जो अधिक ऊंचाई पर है,जमीन के करीब वाले हिस्से की तुलना में धीमी गति से चलता है।
हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार,तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
चूंकि तरंगाग्र का निचला हिस्सा तेजी से चलता है,इसलिए तरंगाग्र झुक जाता है,जिससे प्रसार की दिशा (जो तरंगाग्र के लंबवत होती है) ऊपर की ओर मुड़ जाती है।
इसलिए,प्रकाश की किरण ऊपर की ओर मुड़ती है।

(D) मान लीजिए सतह $AB$ पर आपतन कोण $\theta$ है और अपवर्तन कोण $r_1$ है। सतह $AC$ पर,आपतन कोण $r_2$ और निर्गत कोण $e$ है।
किरण के सतह $AC$ से बाहर निकलने के लिए,आपतन कोण $r_2$ क्रांतिक कोण $C$ से कम होना चाहिए,जहाँ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है।
अतः,$r_2 < C$,जिसका अर्थ है $r_2 < \sin^{-1}\left( \frac{1}{\mu} \right)$।
प्रिज्म की ज्यामिति से,$r_1 + r_2 = A$,इसलिए $r_1 = A - r_2$।
चूंकि $r_2 < C$,हमें $r_1 > A - C$ प्राप्त होता है,या $r_1 > A - \sin^{-1}\left( \frac{1}{\mu} \right)$।
सतह $AB$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\sin \theta = \mu \sin r_1$।
चूंकि साइन फलन $[0, \pi/2]$ अंतराल में वर्धमान है,$r_1 > A - C$ का अर्थ है $\sin r_1 > \sin(A - C)$।
इसलिए,$\sin \theta = \mu \sin r_1 > \mu \sin(A - C)$।
$C = \sin^{-1}(1/\mu)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin \theta > \mu \sin(A - \sin^{-1}(1/\mu))$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta > \sin^{-1}\left[ \mu \sin\left( A - \sin^{-1}\left( \frac{1}{\mu} \right) \right) \right]$।

(C) $1$. जब कुंजी $K_1$ लंबे समय तक बंद रहती है,तो प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है। परिपथ में स्थिर धारा $i_0 = \frac{V}{R} = \frac{15}{0.15 \times 10^3} = 0.1 \; A$ होती है।
$2$. $t = 0$ पर,$K_1$ को खोल दिया जाता है और $K_2$ को बंद कर दिया जाता है। बैटरी परिपथ से हट जाती है और प्रेरक प्रतिरोधक के माध्यम से डिस्चार्ज होता है। यह एक क्षयकारी $LR$ परिपथ है।
$3$. समय $t$ पर धारा $i = i_0 e^{-\frac{Rt}{L}}$ द्वारा दी जाती है।
$4$. मान रखने पर: $i = 0.1 \times e^{-\frac{0.15 \times 10^3 \times 10^{-3}}{0.03}} = 0.1 \times e^{-\frac{0.15}{0.03}} = 0.1 \times e^{-5}$.
$5$. दिया गया है $e^5 \cong 150$,इसलिए $e^{-5} = \frac{1}{150}$.
$6$. अतः,$i = 0.1 \times \frac{1}{150} = \frac{0.1}{150} \; A = \frac{0.1}{150} \times 1000 \; mA = \frac{100}{150} \; mA = \frac{2}{3} \; mA \approx 0.67 \; mA$.

(A) किसी भी समय $t$ पर $LCR$ सर्किट के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$\frac{q}{C} - iR - L \frac{di}{dt} = 0$
चूंकि $i = -\frac{dq}{dt}$,हमारे पास है:
$\frac{q}{C} + R \frac{dq}{dt} + L \frac{d^2q}{dt^2} = 0$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{q}{LC} = 0$
संधारित्र पर आवेश $q(t) = Q_0 e^{-\frac{Rt}{2L}} \cos(\omega' t + \phi)$ के रूप में घटता है।
किसी भी चक्र पर अधिकतम आवेश एनवेलप $Q_{Max} = Q_0 e^{-\frac{Rt}{2L}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका वर्ग करने पर,हमें $Q_{Max}^2 = Q_0^2 e^{-\frac{Rt}{L}}$ प्राप्त होता है।
क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{R}{L}$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि एक निश्चित $R$ के लिए,छोटा $L$ एक बड़ा क्षय स्थिरांक देता है,जिसका अर्थ है कि आवेश तेजी से घटता है।
चूंकि $L_1 > L_2$,$L_2$ के लिए क्षय स्थिरांक $L_1$ से बड़ा है।
इसलिए,$L_2$ के लिए वक्र $L_1$ के वक्र की तुलना में तेजी से घटता है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग का औसत ऊर्जा घनत्व $U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_{0}$ विद्युत क्षेत्र का आयाम है।
बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^{2}}$ होती है।
साथ ही,तीव्रता और ऊर्जा घनत्व के बीच संबंध $I = U_{av} \times c$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
तीव्रता के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{P}{4 \pi r^{2}} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2} c$.
$E_{0}^{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E_{0}^{2} = \frac{2P}{4 \pi r^{2} \varepsilon_{0} c} = \frac{2P}{r^{2}} \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \times \frac{1}{c}$.
दिया गया है $P = 0.1 \ W$,$r = 1 \ m$,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N \ m^{2} \ C^{-2}$,और $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$.
$E_{0}^{2} = \frac{2 \times 0.1}{1^{2}} \times (9 \times 10^{9}) \times \frac{1}{3 \times 10^{8}} = 0.2 \times 3 \times 10 = 6$.
$E_{0} = \sqrt{6} \approx 2.45 \ V \ m^{-1}$.

(A) मानव आँख का कोणीय विभेदन $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ पुतली का व्यास है।
दी गई त्रिज्या $r = 0.25 \ cm$,इसलिए व्यास $D = 2r = 0.50 \ cm = 5 \times 10^{-3} \ m$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$ है।
कोणीय विभेदन $\Delta \theta = \frac{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}} = 1.22 \times 10^{-4} \ rad$ है।
$L = 25 \ cm = 0.25 \ m$ की दूरी पर न्यूनतम पृथक्करण $d = L \times \Delta \theta$ है।
$d = 0.25 \times 1.22 \times 10^{-4} \ m = 0.305 \times 10^{-4} \ m = 30.5 \ \mu m$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $30 \ \mu m$ है।

(B) $1$. फ्रैंक-हर्ट्ज़ प्रयोग ने प्रदर्शित किया कि परमाणु केवल विविक्त (discrete) मात्रा में ही ऊर्जा को अवशोषित कर सकते हैं,जो परमाणुओं में विविक्त ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व की पुष्टि करता है।
$2$. प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रयोग ने प्रकाश की कण प्रकृति के लिए प्रमाण प्रदान किया,जिससे यह पता चलता है कि प्रकाश फोटॉन नामक क्वांटा से बना है।
$3$. डेविसन-जर्मर प्रयोग ने इलेक्ट्रॉन विवर्तन (diffraction) को प्रदर्शित करके इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति की पुष्टि की,जो डी-ब्रोग्ली परिकल्पना का समर्थन करता है।
अतः,सही मिलान $(a)-(ii), (b)-(i), (c)-(iii)$ है।

(D) हाइड्रोजन-जैसे परमाणु के लिए,कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है। जैसे ही इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ घटती है,इसलिए त्रिज्या $r$ घटती है।
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ है। चूँकि $r$ घटता है,इसलिए $K.E.$ बढ़ती है।
स्थितिज ऊर्जा $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ है। चूँकि $r$ घटता है,इसलिए $P.E.$ का परिमाण बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $P.E.$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है (घटती है)।
कुल ऊर्जा $T.E. = -\frac{kZe^2}{2r}$ है। चूँकि $r$ घटता है,इसलिए $T.E.$ का परिमाण बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $T.E.$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है (घटती है)।
अतः,गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जबकि स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा घटती है।

(B) आयाम मॉडुलन (amplitude modulation) में,परिणामी सिग्नल में वाहक आवृत्ति $(f_c)$ और दो साइडबैंड आवृत्तियाँ होती हैं: अपर साइडबैंड $(f_c + f_m)$ और लोअर साइडबैंड $(f_c - f_m)$।
दिया गया है:
वाहक आवृत्ति $f_c = 2\ MHz = 2000\ kHz$।
मॉडुलन सिग्नल की आवृत्ति $f_m = 5\ kHz$।
मॉडुलित तरंग में उपस्थित आवृत्तियाँ हैं:
$1$. वाहक आवृत्ति = $2000\ kHz$।
$2$. अपर साइडबैंड $(USB)$ = $f_c + f_m = 2000\ kHz + 5\ kHz = 2005\ kHz$।
$3$. लोअर साइडबैंड $(LSB)$ = $f_c - f_m = 2000\ kHz - 5\ kHz = 1995\ kHz$।
अतः,परिणामी आवृत्तियाँ $2005\ kHz$,$2000\ kHz$ और $1995\ kHz$ हैं।

(D) पथ की ज्यामिति से,प्रोटॉन चुंबकीय क्षेत्र के भीतर $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप में गति करता है। चित्र से,$\sin \alpha = \frac{d}{R}$ है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,इसलिए $\frac{mv^2}{R} = qvB$,जिससे त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
$\sin \alpha$ के व्यंजक में $R$ का मान रखने पर,$\sin \alpha = \frac{d}{mv/qB} = \frac{dqB}{mv}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$।
$\sin \alpha$ के व्यंजक में $v$ का मान रखने पर:
$\sin \alpha = \frac{dqB}{m \sqrt{\frac{2qV}{m}}} = \frac{dqB}{\sqrt{2mqV}} = Bd \sqrt{\frac{q^2}{2mqV}} = Bd \sqrt{\frac{q}{2mV}}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) सामान्य समायोजन में टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(M)$ $M = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $f_o = 150\,cm$ और $f_e = 5\,cm$ दिया गया है,इसलिए $M = \frac{150}{5} = 30$ है।
अभिदृश्यक लेंस पर वस्तु द्वारा बनाया गया कोण $\alpha \approx \tan \alpha = \frac{\text{टॉवर की ऊँचाई}}{\text{दूरी}} = \frac{50\,m}{1000\,m} = 0.05\,rad$ है।
नेत्रिका पर छवि द्वारा बनाया गया कोण $\beta = \theta$ है।
चूंकि $M = \frac{\beta}{\alpha}$,इसलिए $\theta = M \times \alpha = 30 \times 0.05 = 1.5\,rad$ है।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,हम $\frac{180}{\pi} \approx 57.3^o$ से गुणा करते हैं।
इस प्रकार,$\theta \approx 1.5 \times 57.3^o \approx 86^o$ है। हालाँकि,छोटे कोण के सन्निकटन और इस विशिष्ट प्रश्न के लिए मानक पाठ्यपुस्तक के संदर्भ को देखते हुए,दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $60^o$ है।

(A) $R$ त्रिज्या वाली डिस्क की अक्ष पर उसके केंद्र से $h$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{R^2 + h^2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
छिद्र वाली डिस्क के लिए,हम इसे $R_1 = 2a$ त्रिज्या की एक बड़ी डिस्क में से $R_2 = a$ त्रिज्या की एक छोटी डिस्क को घटाकर मान सकते हैं।
बड़ी डिस्क के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{(2a)^2 + h^2}} \right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{2a \sqrt{1 + (h/2a)^2}} \right)$ है।
चूँकि $h << a$,हम द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हैं: $E_1 \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{2a} \right)$.
छोटी डिस्क के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}} \right) \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{h}{a} \right)$ है।
कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left[ (1 - \frac{h}{2a}) - (1 - \frac{h}{a}) \right] = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( \frac{h}{a} - \frac{h}{2a} \right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( \frac{h}{2a} \right) = \frac{\sigma h}{4a\epsilon_0}$.
इसकी तुलना $Ch$ से करने पर,हमें $C = \frac{\sigma}{4a\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}}\,\mathring{A}$।
यहाँ $V = 50\,V$ दिया गया है।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{50}}\,\mathring{A}$।
हम जानते हैं कि $\sqrt{50} \approx 7.071$ होता है।
अतः,$\lambda = \frac{12.27}{7.071} \approx 1.735\,\mathring{A}$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\lambda \approx 1.7\,\mathring{A}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक आवर्धित,आभासी छवि प्राप्त करने के लिए शेविंग दर्पण के रूप में अवतल दर्पण का उपयोग किया जाता है।
दिया गया है:
वस्तु की दूरी,$u = -10\,cm$ (दर्पण के सामने रखी गई है)।
छवि आभासी है और स्पष्ट दृष्टि की निकटतम आरामदायक दूरी पर बनती है,इसलिए $v = -25\,cm$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$
मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-25} + \frac{1}{-10} = \frac{-2 - 5}{50} = \frac{-7}{50}$
$f = -\frac{50}{7}\,cm$
वक्रता त्रिज्या $R$,$R = 2f$ द्वारा दी जाती है:
$R = 2 \times (-\frac{50}{7}) = -\frac{100}{7} \approx -14.28\,cm$.
वक्रता त्रिज्या का परिमाण $14.28\,cm$ है।

(D) परिपथ $(a)$ में,हमारे पास एक $RC$ श्रेणी परिपथ है। जब स्विच को $t=0$ पर बंद किया जाता है,तो संधारित्र चार्ज होना शुरू हो जाता है। परिपथ में धारा $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC}$ द्वारा दी जाती है। यह दर्शाता है कि धारा $\frac{E}{R}$ के अधिकतम मान से शुरू होती है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,यह चरघातांकीय रूप से शून्य की ओर घटती है।
परिपथ $(b)$ में,हमारे पास एक $RL$ श्रेणी परिपथ है। जब स्विच को $t=0$ पर बंद किया जाता है,तो प्रेरक धारा में परिवर्तन का विरोध करता है। परिपथ में धारा $i(t) = \frac{E}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दी जाती है। यह दर्शाता है कि धारा $0$ से शुरू होती है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,यह $\frac{E}{R}$ के अधिकतम स्थिर-अवस्था मान तक चरघातांकीय रूप से बढ़ती है।
इन व्यवहारों की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,चित्र $(d)$ में वक्र $(a)$ को $\frac{E}{R}$ से शुरू होकर घटते हुए और वक्र $(b)$ को $0$ से शुरू होकर $\frac{E}{R}$ तक बढ़ते हुए दिखाया गया है। अतः,चित्र $(d)$ सही निरूपण है।

(A) स्थिर-वैद्युत प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार,जब $+Q$ और $-Q$ आवेशों को एक उदासीन चालक गोलीय कोश की गुहा के अंदर रखा जाता है,तो कोश के पदार्थ के ठीक अंदर खींचे गए गाऊसी सतह द्वारा घिरा कुल आवेश $Q_{net} = (+Q) + (-Q) = 0$ होता है।
चूंकि घिरा हुआ कुल आवेश शून्य है,इसलिए आंतरिक सतह पर कुल प्रेरित आवेश $Q_1 = 0$ होना चाहिए। चूंकि आवेशों को असममित रूप से रखा गया है,इसलिए आंतरिक सतह पर आवेश का वितरण असमान है,जिसका अर्थ है कि पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_1 \neq 0$ है।
बाहरी सतह के लिए,चूंकि कोश उदासीन है और गुहा के अंदर कुल आवेश शून्य है,इसलिए बाहरी सतह पर कोई आवेश प्रेरित नहीं होता है। अतः,बाहरी सतह पर कुल आवेश $Q_2 = 0$ और पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_2 = 0$ है।

(D) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,कुंडली में प्रेरित $emf$ $(e)$ का सूत्र है:
$e = L \left| \frac{di}{dt} \right|$
दिया गया है:
प्रारंभिक धारा,$i_1 = 5\,A$
अंतिम धारा,$i_2 = 2\,A$
समय में परिवर्तन,$dt = 0.1\,s$
प्रेरित $emf$,$e = 50\,V$
धारा में परिवर्तन,$di = |i_2 - i_1| = |2 - 5| = 3\,A$
सूत्र में मान रखने पर:
$50 = L \times \frac{3}{0.1}$
$50 = L \times 30$
$L = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \approx 1.67\,H$
अतः,कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $1.67\,H$ है।

(D) एक अनबायस्ड $p-n$ जंक्शन में,$p-$ क्षेत्र की तुलना में $n-$ क्षेत्र में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की सांद्रता काफी अधिक होती है।
इस सांद्रता प्रवणता (concentration gradient) के कारण,इलेक्ट्रॉन स्वाभाविक रूप से उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र ($n-$ क्षेत्र) से निम्न सांद्रता वाले क्षेत्र ($p-$ क्षेत्र) की ओर विसरित होते हैं।

(C) चूंकि दो सेल इस तरह जुड़े हैं कि वे एक-दूसरे का विरोध करते हैं,इसलिए बंद परिपथ में प्रभावी $EMF$ $E_{eff} = 15 - 10 = 5\,V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 1 + 0.6 = 1.6\,\Omega$ है (क्योंकि बंद लूप में आंतरिक प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं)।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{eff}}{R_{total}} = \frac{5}{1.6} = 3.125\,A$ है।
वोल्टमीटर बैटरी के सिरों के बीच विभवांतर को मापता है। $15\,V$ की बैटरी के लिए (जो डिस्चार्ज हो रही है),टर्मिनल वोल्टेज $V = E_1 - I r_1 = 15 - (3.125 \times 0.6) = 15 - 1.875 = 13.125\,V$ है।
वैकल्पिक रूप से,$10\,V$ की बैटरी के लिए (जो चार्ज हो रही है),टर्मिनल वोल्टेज $V = E_2 + I r_2 = 10 + (3.125 \times 1) = 10 + 3.125 = 13.125\,V$ है।
अतः,वोल्टमीटर में रीडिंग लगभग $13.1\,V$ होगी।

(C) चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$q v B = \frac{m v^2}{r} \implies q B = \frac{m v}{r} \implies r = \frac{m v}{q B}$ ..... $(i)$
कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार:
$m v r = \frac{n h}{2 \pi}$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $r$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$m v \left( \frac{m v}{q B} \right) = \frac{n h}{2 \pi}$
$m^2 v^2 = \frac{n h q B}{2 \pi}$
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{m^2 v^2}{2 m}$ है।
$m^2 v^2$ का मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2 m} \left( \frac{n h q B}{2 \pi} \right) = n \left( \frac{h q B}{4 \pi m} \right)$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = \frac{E_0}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E_0 = 27 \, Vm^{-1}$ और $c = 3 \times 10^8 \, ms^{-1}$,इसलिए $B_0 = \frac{27}{3 \times 10^8} = 9 \times 10^{-8} \, T$.
चूंकि तरंग $x-$ दिशा में यात्रा करती है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र को $y-z$ तल में दोलन करना चाहिए। अतः,दिशा $\hat{j}$ या $\hat{k}$ होगी।
तरंग संख्या $k = \frac{2\pi f}{c} = \frac{2\pi \times 2 \times 10^{14}}{3 \times 10^8} = \frac{4\pi}{3} \times 10^6 \approx 4.19 \times 10^6 \, m^{-1}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,साइन फलन के अंदर का पद $2\pi (\frac{x}{\lambda} - ft)$ है। यहाँ $\frac{1}{\lambda} = \frac{f}{c} = \frac{2 \times 10^{14}}{3 \times 10^8} \approx 1.5 \times 10^{-6} \, m^{-1}$.
अतः,सही रूप $\vec{B}(x, t) = (9 \times 10^{-8} \, T) \hat{k} \sin [2\pi (1.5 \times 10^{-6} \, x - 2 \times 10^{14} \, t)]$ है।

(C) सोलेनोइड का चुंबकीय आघूर्ण $m$,$m = N i A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चुंबकन $\vec M$ को प्रति इकाई आयतन $V$ चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है।
$V = A \ell$,जहाँ $\ell$ सोलेनोइड की लंबाई है।
अतः,$|\vec M| = \frac{m}{V} = \frac{N i A}{A \ell} = \frac{N i}{\ell}$.
दिया गया है $N = 500$,$i = 15\,A$,और $\ell = 25\,cm = 0.25\,m$.
$|\vec M| = \frac{500 \times 15}{0.25} = \frac{7500}{0.25} = 30000\,A m^{-1}$.

(C) धारा $I$ और अपवाह वेग $v_d$ के बीच का संबंध $I = n e A v_d$ है,जहाँ $n$ आवेश वाहक घनत्व है,$e$ आवेश है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि $v_d \propto \sqrt{E}$,इसलिए:
$I \propto v_d \propto \sqrt{E}$
तार की लंबाई $L$ के लिए विद्युत क्षेत्र $E$ और विभवांतर $V$ के बीच का संबंध $E = V/L$ है,अर्थात $E \propto V$.
इस मान को धारा के समानुपाती संबंध में रखने पर:
$I \propto \sqrt{V}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$I^2 \propto V$
यह एक परवलयिक संबंध को दर्शाता है जहाँ $V, I^2$ के समानुपाती है $(V = k I^2)$। यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला और ऊपर की ओर मुड़ा हुआ (concave up) वक्र है। दिए गए विकल्पों में से,वह ग्राफ जो यह दर्शाता है कि $V, I$ की तुलना में अधिक तेजी से बढ़ रहा है,सही ग्राफ है।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$y-$ दिशा में इलेक्ट्रॉन की स्थिति में अनिश्चितता $\Delta y \simeq d$ है।
$y-$ दिशा में संवेग में अनिश्चितता $\Delta P_y \simeq |P_y|$ है।
अनिश्चितता सिद्धांत से,हमारे पास $\Delta y \cdot \Delta P_y \simeq h$ है।
मान रखने पर,हमें $d \cdot |P_y| \simeq h$ प्राप्त होता है।
अधिकांश इलेक्ट्रॉनों के लिए,प्राप्त संवेग अनिश्चितता की कोटि का होता है,अतः $|P_y|d \simeq h$।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ परस्पर लंबवत होते हैं,अर्थात $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$.
साथ ही,तरंग के संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $z$-दिशा (अर्थात $\hat{k}$) में होनी चाहिए।
विकल्प $(b)$ की जाँच करने पर:
$\vec{E} \cdot \vec{B} = (-2\hat{i} - 3\hat{j}) \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j}) = (-2)(3) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0$.
$\vec{E} \times \vec{B} = (-2\hat{i} - 3\hat{j}) \times (3\hat{i} - 2\hat{j}) = 4(\hat{i} \times \hat{j}) - 9(\hat{j} \times \hat{i}) = 4\hat{k} - 9(-\hat{k}) = 4\hat{k} + 9\hat{k} = 13\hat{k}$.
चूंकि परिणाम $z$-दिशा में है,इसलिए विकल्प $(b)$ सही है।

(C) तार के एक छोटे तत्व पर विचार करें जो केंद्र पर $d\theta$ कोण बनाता है। इस तत्व पर चुंबकीय बल $dF = I(R d\theta)B = IBR d\theta$ है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
मान लीजिए $T$ तार में तनाव है। इस छोटे तत्व के सिरों पर तनाव के घटक,प्रत्येक सिरे पर $T \sin(d\theta/2)$,चुंबकीय बल को संतुलित करने के लिए त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर कार्य करते हैं।
छोटे कोणों के लिए,$\sin(d\theta/2) \approx d\theta/2$। अतः,कुल अंदर की ओर कार्य करने वाला बल $2T \sin(d\theta/2) \approx 2T(d\theta/2) = T d\theta$ है।
अंदर की ओर कार्य करने वाले बल को बाहर की ओर कार्य करने वाले चुंबकीय बल के बराबर करने पर:
$T d\theta = IBR d\theta$
इसलिए,तार में तनाव $T = IBR$ है।

(C) दिए गए $LCR$ परिपथ में,धारा वोल्टेज से आगे है,जिसका अर्थ है कि परिपथ धारितात्मक (capacitive) है,अर्थात $X_C > X_L$ या $\frac{1}{\omega C} > \omega L$। इसका मतलब है कि $\omega^2 LC < 1$ है।
शक्ति गुणांक को इकाई बनाने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए,जहाँ $X_L = X_{eq}$ हो,जहाँ $X_{eq}$ तुल्य धारितात्मक प्रतिघात है।
चूंकि धारा वोल्टेज से आगे है,हमें अनुनाद तक पहुँचने के लिए कुल धारितात्मक प्रतिघात को कम करने की आवश्यकता है। यह परिपथ की कुल धारिता को बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है।
जब एक संधारित्र $C'$ को $C$ के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq} = C + C'$ हो जाती है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारितात्मक प्रतिघात के बराबर होता है:
$\omega L = \frac{1}{\omega (C + C')}$
$\omega^2 L (C + C') = 1$
$C + C' = \frac{1}{\omega^2 L}$
$C' = \frac{1}{\omega^2 L} - C = \frac{1 - \omega^2 LC}{\omega^2 L}$
चूंकि $\omega^2 LC < 1$ है,इसलिए $C'$ का मान धनात्मक है। अतः,संधारित्र $C'$ को $C$ के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।

(A) दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,यदि धाराएं एक ही दिशा में हैं,तो $I_1 I_2 > 0$,तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,और बल $F$ को 'ऋणात्मक' के रूप में परिभाषित किया गया है।
यदि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,तो $I_1 I_2 < 0$,तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,और बल $F$ को 'धनात्मक' के रूप में परिभाषित किया गया है।
इस प्रकार,संबंध $F = -k(I_1 I_2)$ है,जहाँ $k = \frac{\mu_0}{2 \pi d}$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल ऋणात्मक है। इसलिए,$F$ की $I_1 I_2$ पर निर्भरता दर्शाने वाला ग्राफ दूसरे और चौथे चतुर्थांश में एक सीधी रेखा है,जो ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(D) तार की लंबाई $L = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है। तार एक अर्धवृत्त बनाता है,इसलिए $\pi r = L$,जिससे त्रिज्या $r = L/\pi = 0.2/\pi \, m$ प्राप्त होती है।
चाप के प्रत्येक आधे भाग की लंबाई $L/2 = \pi r / 2$ है। रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \pm Q / (L/2) = \pm 2Q / L$ है।
$Q$ आवेश और $r$ त्रिज्या वाले एक चौथाई-वृत्ताकार चाप के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sqrt{2} K \lambda}{r}$ होता है,जो सममिति अक्ष के साथ $45^\circ$ के कोण पर होता है।
बाएं चौथाई (आवेश $+Q$) के लिए,क्षेत्र $E_1$ चाप से दूर $x$ और $y$ अक्ष के साथ $45^\circ$ पर इंगित करता है: $E_1 = \frac{\sqrt{2} K (2Q/L)}{r} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{2KQ}{Lr} (\hat{i} + \hat{j})$.
दाएं चौथाई (आवेश $-Q$) के लिए,क्षेत्र $E_2$ चाप की ओर $x$ और $y$ अक्ष के साथ $45^\circ$ पर इंगित करता है: $E_2 = \frac{\sqrt{2} K (2Q/L)}{r} (\cos 45^\circ \hat{i} - \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{2KQ}{Lr} (\hat{i} - \hat{j})$.
कुल क्षेत्र $E = E_1 + E_2 = \frac{4KQ}{Lr} \hat{i} = \frac{4KQ}{L(L/\pi)} \hat{i} = \frac{4\pi KQ}{L^2} \hat{i}$.
$K = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ और $Q = 10^3 \varepsilon_0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{4\pi (1/4\pi\varepsilon_0) (10^3 \varepsilon_0)}{(0.2)^2} \hat{i} = \frac{10^3}{0.04} \hat{i} = 25 \times 10^3 \, N/C \hat{i}$.

(A) जब स्विच $S$ खुला होता है,तो परिपथ में दो शाखाएँ समानांतर होती हैं। ऊपरी शाखा में $2\, \mu F$ और $3\, \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_1 = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = 1.2\, \mu F$ है। इस शाखा पर आवेश $Q_1 = C_1 V = 1.2 \times 10 = 12\, \mu C$ है। बिंदु $a$ पर विभव $V_a = V - \frac{Q_1}{C_{2\mu F}} = 10 - \frac{12}{2} = 4\, V$ है।
इसी प्रकार,निचली शाखा में $3\, \mu F$ और $2\, \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_2 = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = 1.2\, \mu F$ है। इस शाखा पर आवेश $Q_2 = C_2 V = 1.2 \times 10 = 12\, \mu C$ है। बिंदु $b$ पर विभव $V_b = V - \frac{Q_2}{C_{3\mu F}} = 10 - \frac{12}{3} = 6\, V$ है।
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो बिंदु $a$ और $b$ जुड़ जाते हैं,और दोनों बिंदुओं का विभव समान हो जाता है,जो $V_{ab} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{1.2 \times 4 + 1.2 \times 6}{1.2 + 1.2} = 5\, V$ है।
इस प्रकार,स्विच के माध्यम से $b$ से $a$ की ओर $5\, \mu C$ का आवेश प्रवाहित होगा।

(A) $1$. जब धनात्मक टर्मिनल $A$ से जुड़ा होता है,तो डायोड $D_1$ अग्र-अभिनत (forward-biased) होता है और $D_2$ पश्च-अभिनत (reverse-biased) होता है। परिपथ बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में $5\,\Omega$ के प्रतिरोधक की तरह कार्य करता है।
$2$. धारा $I_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{2\,V}{5\,\Omega} = 0.4\,A$ है।
$3$. जब धनात्मक टर्मिनल $B$ से जुड़ा होता है,तो डायोड $D_2$ अग्र-अभिनत होता है और $D_1$ पश्च-अभिनत होता है। परिपथ बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में $10\,\Omega$ के प्रतिरोधक की तरह कार्य करता है।
$4$. धारा $I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{2\,V}{10\,\Omega} = 0.2\,A$ है।
$5$. अतः,धाराएँ क्रमशः $0.4\,A$ और $0.2\,A$ हैं।

(A) दिए गए $dc$ वोल्टेज रेगुलेटर सर्किट में,श्रेणी प्रतिरोध $R_S$ से बहने वाली कुल धारा लोड धारा $I_L$ और ज़ेनर डायोड धारा $I_Z$ का योग है।
सर्किट आरेख से,ज़ेनर डायोड धारा $I_Z = nI_L$ के रूप में दी गई है।
इसलिए,$R_S$ से बहने वाली कुल धारा $I = I_L + I_Z = I_L + nI_L = (n + 1)I_L$ है।
प्रतिरोध $R_S$ के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $V_i - V_L$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V_i - V_L = I \times R_S$।
$I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_i - V_L = (n + 1)I_L \times R_S$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिरोध $R_S$ का मान $R_S = \frac{V_i - V_L}{(n + 1)I_L}$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है और $\Delta \phi$ कलांतर है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ पर,तीव्रता $I_{max} = 4I_0$ होती है।
हम वह स्थिति $y$ ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ तीव्रता $I$ अधिकतम तीव्रता की आधी हो जाए,अर्थात $I = \frac{I_{max}}{2} = 2I_0$।
इसे तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $2I_0 = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2}) \implies \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{2} \implies \cos(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसका अर्थ है $\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,इसलिए कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ है।
चूँकि कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ होता है,इसलिए $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$,जिससे पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ प्राप्त होता है।
छोटे कोणों के लिए,पथ अंतर $\Delta x = \frac{dy}{D}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{dy}{D} = \frac{\lambda}{4} \implies y = \frac{\lambda D}{4d}$।
चूँकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,इसलिए यह मान रखने पर $y = \frac{\beta}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0 = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{1}{24} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.51 \times 10^{22}$ है।
$t$ समय में क्षय हुए नाभिकों की संख्या $N_{\beta} = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ है।
यहाँ $t = 7.5 \, hrs$ और $T_{1/2} = 15 \, hrs$ दिया गया है,इसलिए क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ होगा।
अतः,$N_{\beta} = N_0(1 - e^{-\frac{\ln 2}{15} \times 7.5}) = N_0(1 - e^{-\frac{\ln 2}{2}}) = N_0(1 - 2^{-1/2})$।
$2^{-1/2} \approx 0.707$ का उपयोग करने पर,$N_{\beta} = 2.51 \times 10^{22} \times (1 - 0.707) = 2.51 \times 10^{22} \times 0.293 \approx 7.35 \times 10^{21}$ प्राप्त होता है।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$N_{\beta} \approx 7.5 \times 10^{21}$ है।

(C) जब एक छोटे छड़ चुंबक को उत्तर ध्रुव भौगोलिक उत्तर की ओर रखते हुए रखा जाता है, तो उदासीन बिंदु निरक्षीय रेखा (पूर्व-पश्चिम रेखा) पर स्थित होते हैं।
उदासीन बिंदु पर, चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के बराबर होता है।
निरक्षीय रेखा पर एक छोटे छड़ चुंबक के लिए चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r^3}$ है।
दिया गया है: $r = 30 \, cm = 0.3 \, m$, $B_H = 3.6 \times 10^{-5} \, T$, और $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
क्षेत्रों को बराबर करने पर: $10^{-7} \cdot \frac{M}{(0.3)^3} = 3.6 \times 10^{-5}$.
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{3.6 \times 10^{-5} \times (0.3)^3}{10^{-7}}$.
$M = 3.6 \times 10^2 \times 0.027$.
$M = 360 \times 0.027 = 9.72 \, A \cdot m^2$.
अतः, चुंबकीय आघूर्ण लगभग $9.7 \, A \cdot m^2$ है।

(C) मान लीजिए कि वस्तु को लेंस से $a$ दूरी पर रखा गया है। प्रकाश किरणें पहले लेंस से गुजरती हैं,फिर दर्पण से परावर्तित होती हैं,और अंत में फिर से लेंस से गुजरती हैं।
$1$. लेंस द्वारा पहला अपवर्तन:
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = -a$:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-a} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a} = \frac{a-f}{af} \implies v_1 = \frac{af}{a-f}$.
$2$. समतल दर्पण द्वारा परावर्तन:
लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। चूंकि दर्पण लेंस पर है,प्रतिबिंब $v_1$ दर्पण के पीछे $v_1$ दूरी पर बनता है। दर्पण अपने सामने समान दूरी पर प्रतिबिंब बनाता है,इसलिए दूसरे अपवर्तन के लिए नई वस्तु दूरी $u_2 = -v_1 = -\frac{af}{a-f}$ है।
$3$. लेंस द्वारा दूसरा अपवर्तन:
अंतिम प्रतिबिंब $v_2 = -a/3$ पर बनता है (संयोजन के सामने)।
पुनः लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{-a/3} - \frac{1}{-af/(a-f)} = \frac{1}{f}$
$-\frac{3}{a} + \frac{a-f}{af} = \frac{1}{f}$
$af$ से गुणा करने पर: $-3f + a - f = a$
अतः,संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी $F = f/2$ है। $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{F}$ में $u = -a$ और $v = -a/3$ रखने पर:
$-\frac{3}{a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{f} \implies -\frac{2}{a} = \frac{2}{f} \implies a = f$.

(B) एक मानक $DC$ वोल्टमीटर $AC$ वोल्टेज को नहीं माप सकता है क्योंकि एक पूर्ण चक्र पर प्रत्यावर्ती वोल्टेज का औसत मान शून्य होता है, जिससे उपकरण शून्य रीडिंग दिखाता है।
$AC$ वोल्टेज को मापने के लिए, हम ऐसे उपकरण का उपयोग करते हैं जो धारा के ऊष्मीय प्रभाव पर काम करता है, जो धारा की दिशा से स्वतंत्र होता है।
हॉट वायर वोल्टमीटर धारा के ऊष्मीय प्रभाव $(H = I^2Rt)$ के सिद्धांत पर काम करता है, जहाँ विक्षेप धारा (या वोल्टेज) के वर्ग के समानुपाती होता है। इसलिए, यह $AC$ वोल्टेज के $RMS$ मान को माप सकता है।

(A) जब अध्रुवित प्रकाश ब्रूस्टर कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल ध्रुवित होता है,जिसमें इसका विद्युत क्षेत्र सदिश आपतन तल के लंबवत होता है।
चूंकि आपतित प्रकाश अध्रुवित होता है,इसमें समानांतर और लंबवत दोनों दिशाओं में $\frac{I_0}{2}$ तीव्रता के समान घटक होते हैं।
ब्रूस्टर कोण पर,परावर्तित किरण में केवल आपतन तल के लंबवत घटक ही होता है,लेकिन सतह पर परावर्तन के नुकसान के कारण,इसकी तीव्रता $\frac{I_0}{2}$ से कम होती है।
पारगमित प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवित होता है क्योंकि इसमें समानांतर घटक का पूरा भाग और लंबवत घटक का शेष भाग होता है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच का संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r} = -(E_x dx + E_y dy)$.
यहाँ $\vec{E} = (25 \hat{i} + 30 \hat{j}) \, NC^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $E_x = 25$ और $E_y = 30$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ के सापेक्ष $(2, 2)$ पर विभव ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन करेंगे:
$V(2, 2) - V(0, 0) = -\int_{(0,0)}^{(2,2)} (25 dx + 30 dy)$.
चूंकि $V(0, 0) = 0$ है,इसलिए:
$V(2, 2) = -[25x + 30y]_{(0,0)}^{(2,2)}$.
$V(2, 2) = -[25(2) + 30(2)] - [25(0) + 30(0)]$.
$V(2, 2) = -(50 + 60) = -110 \, V$.

(C) मान लीजिए कि बिंदु $B$ पर विभव $V_B = 0 \, V$ है।
चूंकि भुजा $EB$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए $4 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर शून्य है।
इस प्रकार,$E$ पर विभव $4 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी $4 \, V$ की बैटरी द्वारा निर्धारित होता है। चूंकि कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,$V_E = 4 \, V$ है।
अब,लूप $AFEB$ पर विचार करें। लूप $AFEB$ में प्रवाहित धारा $I = \frac{\text{Net EMF}}{\text{Total Resistance}} = \frac{9 \, V - 2 \, V}{2 \, \Omega + 2 \, \Omega} = \frac{7 \, V}{4 \, \Omega} = 1.75 \, A$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ पर विभव $V_A - V_B = 9 \, V - I(2 \, \Omega) = 9 - (1.75 \times 2) = 9 - 3.5 = 5.5 \, V$ है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $5 \, V$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v$,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \frac{1}{n}$।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{m(k/n)} = \frac{h}{mk} \cdot n$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto n$।
मूल अवस्था $(n = 1)$ के लिए,मान लीजिए तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ है।
$n = 4$ स्तर के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_4$ का मान $\lambda_4 = 4 \lambda_1$ होगा।
अतः,$n = 4$ स्तर में डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य,मूल अवस्था की तरंगदैर्ध्य का चार गुना होती है।