દ્વિપદી વિસ્તરણ $\left( 1 - \frac{1}{x} + 3x^5 \right) \left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^8$ માં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ કયું છે?

$(1+x)^{21}+(1+x)^{22}+\ldots+(1+x)^{30}$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ નો સહગુણક શોધો.

ધારો કે $(3+6x)^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં,$6x$ ની વધતી જતી ઘાતોમાં,$x=\frac{3}{2}$ માટે $9$ મું પદ સૌથી મોટું છે. જો $n_{0}$ એ $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય જેના માટે આ શરત સાચી પડે,અને $k$ એ $x^{6}$ ના સહગુણક અને $x^{3}$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર હોય,તો $k + n_{0}$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)}$ ના વિસ્તરણમાં $x^4$ નો સહગુણક શું છે?

ધારો કે $a$ અને $b$ બે શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. જો $(ax^2 + \frac{70}{27bx})^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ નો સહગુણક એ $(ax - \frac{1}{bx^2})^7$ ના વિસ્તરણમાં $x^{-5}$ ના સહગુણક જેટલો હોય,તો $2b$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha > 0$ એ સૌથી નાની સંખ્યા છે જેથી $(x^{2/3} + 2x^{-3})^{30}$ ના વિસ્તરણમાં $\beta x^{-\alpha}$ પદ મળે,જ્યાં $\beta \in \mathbb{N}$. તો $\alpha$ ની કિંમત $.............$ છે.