વિકલ સમીકરણ $ydx - (x + 2y^2)dy = 0$ નો ઉકેલ $x = f(y)$ છે. જો $f(-1) = 1$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f :(0, \infty) \rightarrow R$ એક વિધેય છે જે તેના પ્રદેશના તમામ બિંદુઓ પર વિકલનીય છે અને શરત $x^2 f^{\prime}(x)=2 x f(x)+3$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $f(1)=4$ છે. તો $2 f(2)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$,$(x > 1)$ નો ઉકેલ છે. જો $2y(2) = \ln 4 - 1$ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ $f(0)=1$ સાથેનું વિકલનીય વિધેય છે અને તે તમામ $x, y \in R$ માટે સમીકરણ $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ નું પાલન કરે છે. તો,$\log _e(f(4))$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ હોય,તો $x$ ના વિધેય તરીકે $y$ શું થાય?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.