JEE Main 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना मीनार की ऊँचाई $ED = h$ है।
$\triangle EDC$ में,$\tan(60^o) = \frac{ED}{CD} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{CD} \implies CD = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle EDB$ में,$\tan(45^o) = \frac{ED}{BD} \implies 1 = \frac{h}{BD} \implies BD = h$.
$\triangle EDA$ में,$\tan(30^o) = \frac{ED}{AD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{AD} \implies AD = h\sqrt{3}$.
अब,$BC = BD - CD = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)$.
$AB = AD - BD = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3}-1)$.
अतः,अनुपात $\frac{AB}{BC} = \frac{h(\sqrt{3}-1)}{h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)} = \sqrt{3} : 1$.

(D) दिया गया है कि $\left|\frac{z_1 - 2z_2}{2 - z_1 \overline{z_2}}\right| = 1$.
इसका अर्थ है $|z_1 - 2z_2|^2 = |2 - z_1 \overline{z_2}|^2$.
$|w|^2 = w \overline{w}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$(z_1 - 2z_2)(\overline{z_1} - 2\overline{z_2}) = (2 - z_1 \overline{z_2})(2 - \overline{z_1} z_2)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$|z_1|^2 + 4|z_2|^2 = 4 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$|z_1|^2 - |z_1|^2 |z_2|^2 + 4|z_2|^2 - 4 = 0$.
$(|z_1|^2 - 4)(1 - |z_2|^2) = 0$.
यह दिया गया है कि $z_2$ यूनीमॉड्यूलर नहीं है,इसलिए $|z_2| \neq 1$,जिसका अर्थ है $1 - |z_2|^2 \neq 0$.
अतः,$|z_1|^2 = 4$,जिसका अर्थ है $|z_1| = 2$.
यह $2$ त्रिज्या का एक वृत्त दर्शाता है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(41,0)$ और $(0,41)$ हैं।
$(41,0)$ और $(0,41)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y = 41$ है।
हमें ऐसे पूर्णांक युग्म $(x, y)$ खोजने हैं जिनके लिए $x > 0$,$y > 0$ और $x + y < 41$ हो।
एक निश्चित $x$ के लिए,$y$ के संभावित मान $1, 2, \dots, 40-x$ हैं।
दिए गए $x$ के लिए ऐसे बिंदुओं की संख्या $40-x$ है।
$x = 1$ से $39$ तक योग करने पर:
$\sum_{x=1}^{39} (40-x) = 39 + 38 + \dots + 1$.
योग सूत्र $\frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर $(n=39)$:
$\frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$.

(B) मान लीजिए $n(A) = 4$ और $n(B) = 2$ है।
तब $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = 4 \times 2 = 8$ है।
$A \times B$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^8 = 256$ है।
हमें कम से कम $3$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह कुल उपसमुच्चयों में से $0, 1,$ या $2$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या घटाने पर प्राप्त होता है।
$0$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $\binom{8}{0} = 1$ है।
$1$ अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $\binom{8}{1} = 8$ है।
$2$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ है।
$3$ से कम अवयवों वाले कुल उपसमुच्चयों की संख्या = $1 + 8 + 28 = 37$ है।
अतः,कम से कम $3$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $256 - 37 = 219$ है।

(B) माना $f(x) = (1 - 2\sqrt{x})^{50} = \sum_{r=0}^{50} {^{50}C_r} (-2\sqrt{x})^r$.
सामान्य पद $T_{r+1} = {^{50}C_r} (-2)^r x^{r/2}$ है।
$x$ की घात पूर्णांक होने के लिए,$r$ एक सम संख्या होनी चाहिए। माना $r = 2k$,जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \dots, 25\}$।
$x$ के पूर्णांक घातों वाले पदों के गुणांकों का योग $S = \sum_{k=0}^{25} {^{50}C_{2k}} 2^{2k}$ है।
$(1+2)^{50}$ और $(1-2)^{50}$ के विस्तार पर विचार करने पर:
$(1+2)^{50} + (1-2)^{50} = 2 \sum_{k=0}^{25} {^{50}C_{2k}} 2^{2k}$।
$3^{50} + 1 = 2S$।
अतः,$S = \frac{3^{50} + 1}{2}$।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n (2k-1)}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ और प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$ है।
अतः,$T_n = \frac{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2}{n^2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^2} = \frac{(n+1)^2}{4}$.
हमें प्रथम $9$ पदों का योग ज्ञात करना है,$S_9 = \sum_{n=1}^9 T_n = \sum_{n=1}^9 \frac{(n+1)^2}{4}$.
$S_9 = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^9 (n+1)^2 = \frac{1}{4} (2^2 + 3^2 + \dots + 10^2)$.
$1^2$ जोड़ने और घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $S_9 = \frac{1}{4} \left[ \sum_{k=1}^{10} k^2 - 1^2 \right]$.
सूत्र $\sum_{k=1}^m k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,$m=10$ के लिए:
$S_9 = \frac{1}{4} \left[ \frac{10(11)(21)}{6} - 1 \right] = \frac{1}{4} [385 - 1] = \frac{384}{4} = 96$.

(C) दिया गया है $m = \frac{l+n}{2}$,अतः $2m = l+n$.
चूंकि $G_1, G_2, G_3$ $l$ और $n$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य हैं,अनुक्रम $l, G_1, G_2, G_3, n$ एक $G.P.$ में है।
मान लीजिए सार्व अनुपात $r$ है। तब $n = l r^4$,अर्थात $r^4 = \frac{n}{l}$।
पद $G_1 = lr, G_2 = lr^2, G_3 = lr^3$ हैं।
हमें $G_1^4 + 2G_2^4 + G_3^4 = (lr)^4 + 2(lr^2)^4 + (lr^3)^4$ का मान ज्ञात करना है।
$= l^4r^4 + 2l^4r^8 + l^4r^{12} = l^4r^4(1 + 2r^4 + r^8) = l^4r^4(1 + r^4)^2$.
$r^4 = \frac{n}{l}$ रखने पर:
$= l^4 \left(\frac{n}{l}\right) \left(1 + \frac{n}{l}\right)^2 = l^3n \left(\frac{l+n}{l}\right)^2 = l^3n \frac{(l+n)^2}{l^2} = ln(l+n)^2$.
चूंकि $l+n = 2m$,हमें $ln(2m)^2 = 4lm^2n$ प्राप्त होता है।

(D) माना $P = (2, 3)$ दिया गया बिंदु है और $P' = (h, k)$ रेखा $L_k: (2x - 3y + 4) + k(x - 2y + 3) = 0$ में इसका प्रतिबिंब है।
रेखा $L_k$,$L_1: 2x - 3y + 4 = 0$ और $L_2: x - 2y + 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है।
$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर,हमें $x = 1, y = 2$ प्राप्त होता है। माना यह बिंदु $A = (1, 2)$ है।
चूंकि $P'$,$L_k$ में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए रेखा $AP$,$AP'$ के लंबवत है और $AP = AP'$ है।
$AP$ की ढाल $m_{AP} = \frac{3-2}{2-1} = 1$ है।
माना $P' = (x, y)$ है। $AP'$ की ढाल $m_{AP'} = \frac{y-2}{x-1}$ है।
चूंकि $AP \perp AP'$,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,इसलिए $\frac{y-2}{x-1} = -1 \implies y - 2 = -(x - 1) \implies x + y = 3$।
साथ ही,दूरी $AP = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2}$ है।
चूंकि $AP = AP'$,इसलिए $(x-1)^2 + (y-2)^2 = AP^2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $(1, 2)$ केंद्र और $\sqrt{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(D) प्रथम वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ के लिए,केंद्र $c_{1} = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ है।
द्वितीय वृत्त ${x^2} + {y^2} + 6x + 18y + 26 = 0$ के लिए,केंद्र $c_{2} = (-3, -9)$ और त्रिज्या $r_{2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2 - 26} = \sqrt{9 + 81 - 26} = \sqrt{64} = 8$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $c_{1}c_{2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-9))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
चूंकि $c_{1}c_{2} = r_{1} + r_{2} = 5 + 8 = 13$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है,अतः $a = 3$ और $b = \sqrt{5}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं।
नाभिलंब के अंत्य बिंदु $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ हैं।
बिंदु $(2, \frac{5}{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ अर्थात $2x + 3y = 9$ है।
यह रेखा x-अक्ष को $R(\frac{9}{2}, 0)$ और y-अक्ष को $Q(0, 3)$ पर काटती है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल चार समान त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग है।
प्रथम चतुर्थांश में त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ है।
कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{27}{4} = 27$ वर्ग इकाई।

(D) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {3 + \cos x} \right)}}{{x\tan 4x}}$
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin^2 x(3 + \cos x)}}{{x \tan 4x}}$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने के लिए $x$ और $4x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{x^2}{x \cdot \frac{\tan 4x}{4x} \cdot 4x} \cdot (3 + \cos x) \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot \frac{\tan 4x}{4x}} \cdot (3 + \cos x) \right)$
$x = 0$ रखने पर:
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot 1} \cdot (3 + \cos 0)$
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + 1) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 2$

(A) दिया गया है कि $16$ अवलोकनों का माध्य $16$ है,अतः अवलोकनों का योग:
$\sum_{i=1}^{16} x_i = 16 \times 16 = 256$.
$16$ मान वाले अवलोकन को हटाने और $3, 4, 5$ मान वाले तीन नए अवलोकन जोड़ने के बाद,अवलोकनों का नया योग:
$\text{नया योग} = 256 - 16 + 3 + 4 + 5 = 252$.
अवलोकनों की नई संख्या $16 - 1 + 3 = 18$ है।
नया माध्य:
$\text{नया माध्य} = \frac{252}{18} = 14$.

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 6x - 2 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = 6$ और $\alpha\beta = -2$ है।
साथ ही,$\alpha^2 = 6\alpha + 2$ और $\beta^2 = 6\beta + 2$ है।
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ दिया गया है,अतः व्यंजक का मान होगा:
$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2 - 2) - \beta^8(\beta^2 - 2)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$\alpha^2 - 2 = 6\alpha$ और $\beta^2 - 2 = 6\beta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\alpha^8(6\alpha) - \beta^8(6\beta)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6(\alpha^9 - \beta^9)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6}{2} = 3$.

(A) दिया गया वक्र $x^2 + 2xy - 3y^2 = 0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 3xy - xy - 3y^2 = 0 \Rightarrow x(x + 3y) - y(x + 3y) = 0 \Rightarrow (x + 3y)(x - y) = 0$.
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x - y = 0$ और $x + 3y = 0$.
बिंदु $(1,1)$ रेखा $x - y = 0$ पर स्थित है। इस रेखा की ढाल $m = 1$ है।
$(1,1)$ पर वक्र का अभिलंब उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होता है। चूंकि वक्र रेखाओं का एक युग्म है,इसलिए $(1,1)$ पर अभिलंब रेखा $x - y = 0$ के लंबवत है।
अभिलंब की ढाल $m' = -1/m = -1$ है।
$(1,1)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - 1) = -1(x - 1) \Rightarrow y - 1 = -x + 1 \Rightarrow x + y = 2$ है।
यह पता लगाने के लिए कि यह अभिलंब वक्र को फिर से कहाँ काटता है,हम $x + y = 2$ और दूसरी रेखा $x + 3y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x + 3y = 0$ से,हमें $x = -3y$ प्राप्त होता है।
$x + y = 2$ में मान रखने पर: $-3y + y = 2 \Rightarrow -2y = 2 \Rightarrow y = -1$.
तब $x = -3(-1) = 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -1)$ है।
चूंकि $x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए बिंदु $(3, -1)$ $4^{th}$ चतुर्थांश में स्थित है।

(A) माना कि दिया गया व्यंजक $P = \sim s \vee (\sim r \wedge s)$ है।
हम इसका निषेध $\sim P = \sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$ ज्ञात करना चाहते हैं।
डी मॉर्गन के नियम $\sim (A \vee B) = \sim A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर:
$\sim P = \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
डी मॉर्गन के नियम को पुनः लागू करने पर,यह $s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\sim P = s \wedge (r \vee \sim s)$.
वितरण नियम $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ का उपयोग करने पर:
$\sim P = (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
चूंकि $(s \wedge \sim s)$ एक व्याघात (False) है,इसलिए:
$\sim P = (s \wedge r) \vee F = s \wedge r$.

(D) दिया गया शांकव $y - 6 = x^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 10)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 2(2) = 4$ है।
$(2, 10)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 10 = 4(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $4x - y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा वृत्त $x^2 + y^2 + 8x - 2y = k$ को $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श करती है,इसलिए बिंदु $(\alpha, \beta)$ स्पर्श रेखा पर स्थित है,अतः $4\alpha - \beta + 2 = 0$,या $\beta = 4\alpha + 2$ है।
वृत्त के बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $x^2 + y^2 + 8x - 2y = k$ का अवकलन करने पर प्राप्त होती है,जो $2x + 2y \frac{dy}{dx} + 8 - 2 \frac{dy}{dx} = 0$ है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{-(x + 4)}{y - 1}$ है।
$(\alpha, \beta)$ पर ढाल $4$ है,इसलिए $\frac{-(\alpha + 4)}{\beta - 1} = 4$,जिसका अर्थ है $-\alpha - 4 = 4\beta - 4$,या $\alpha = -4\beta$ है।
$\alpha = -4\beta$ को $\beta = 4\alpha + 2$ में रखने पर,$\beta = 4(-4\beta) + 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\beta = -16\beta + 2$,जो $17\beta = 2$ देता है,अतः $\beta = \frac{2}{17}$ है।
तब $\alpha = -4 \left( \frac{2}{17} \right) = -\frac{8}{17}$ है।
अतः,बिंदु $(\alpha, \beta)$ का मान $\left( -\frac{8}{17}, \frac{2}{17} \right)$ है।

(D) हमें योग $S = \sum\limits_{r = 16}^{30} {(r^2 - r - 6)}$ का मूल्यांकन करना है।
योग के गुणों का उपयोग करते हुए,$S = \sum\limits_{r = 16}^{30} r^2 - \sum\limits_{r = 16}^{30} r - \sum\limits_{r = 16}^{30} 6$.
याद रखें कि $\sum\limits_{r = 1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum\limits_{r = 1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
$\sum\limits_{r = 16}^{30} r^2 = \sum\limits_{r = 1}^{30} r^2 - \sum\limits_{r = 1}^{15} r^2 = \frac{30(31)(61)}{6} - \frac{15(16)(31)}{6} = 9455 - 1240 = 8215$.
$\sum\limits_{r = 16}^{30} r = \sum\limits_{r = 1}^{30} r - \sum\limits_{r = 1}^{15} r = \frac{30(31)}{2} - \frac{15(16)}{2} = 465 - 120 = 345$.
$\sum\limits_{r = 16}^{30} 6 = 6 \times (30 - 16 + 1) = 6 \times 15 = 90$.
अतः,$S = 8215 - 345 - 90 = 7780$.

(C) मान लीजिए $P$ फोन वाले परिवारों का समुच्चय है और $C$ कार वाले परिवारों का समुच्चय है।
दिया गया है: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$,और $n(P' \cap C') = 65\%$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$.
अतः,कथन $(B)$ सही है।
अब,$n(P \cap C) = 25\% + 15\% - 35\% = 5\%$.
अतः,कथन $(A)$ सही है।
यह दिया गया है कि कुल परिवारों $x$ का $5\%$,$2,000$ है,इसलिए $0.05x = 2,000$.
$x = 40,000$.
अतः,कथन $(C)$ सही है।
इसलिए,सभी कथन $(A), (B)$ और $(C)$ सही हैं।

(B) चूँकि बहुपद $2x^3 - 9x^2 + kx - 13 = 0$ के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया है कि एक मूल $\alpha = 2 + 3i$ है,तो दूसरा सम्मिश्र मूल $\beta = 2 - 3i$ होगा।
माना वास्तविक मूल $\gamma$ है।
त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 2$ और $d = -13$ है,इसलिए मूलों का गुणनफल $-\frac{-13}{2} = \frac{13}{2}$ होगा।
ज्ञात मूलों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2 + 3i)(2 - 3i) \gamma = \frac{13}{2}.$
$(2^2 + 3^2) \gamma = \frac{13}{2}.$
$(4 + 9) \gamma = \frac{13}{2}.$
$13 \gamma = \frac{13}{2}.$
$\gamma = \frac{1}{2}.$
अतः,वास्तविक मूल का अस्तित्व है और यह $\frac{1}{2}$ के बराबर है।

(C) दिया गया है कि पहला पद $a_1 = 10$ है और पहले तीन पदों का योग $39$ है।
$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 39$
$3a_1 + 3d = 39$
$3(10) + 3d = 39$ $\Rightarrow 30 + 3d = 39$ $\Rightarrow 3d = 9$ $\Rightarrow d = 3.$
मान लीजिए कि पदों की संख्या $n$ है। अंतिम चार पद $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ हैं।
उनका योग $4a_1 + ( (n-4) + (n-3) + (n-2) + (n-1) )d = 178$ है।
$4(10) + (4n - 10)3 = 178$
$40 + 12n - 30 = 178$ $\Rightarrow 12n + 10 = 178$ $\Rightarrow 12n = 168$ $\Rightarrow n = 14.$
$n$ पदों वाली $A.P.$ की माध्यिका पहले और अंतिम पद का औसत होती है: $\frac{a_1 + a_n}{2}.$
$a_n = a_1 + (n-1)d = 10 + (14-1)3 = 10 + 39 = 49.$
माध्यिका $= \frac{10 + 49}{2} = \frac{59}{2} = 29.5.$

(C) मान लीजिए कि रात की पाली के कर्मचारी का औसत वेतन $x$ है।
कुल कर्मचारियों की संख्या $70 + 30 = 100$ है।
दिन की पाली के कर्मचारियों के वेतन का योग $70 \times 54 = 3780$ है।
सभी कर्मचारियों के वेतन का योग $100 \times 60 = 6000$ है।
रात की पाली के कर्मचारियों के वेतन का योग $30 \times x$ है।
हमें समीकरण प्राप्त होता है: $3780 + 30x = 6000$.
$30x = 6000 - 3780 = 2220$.
$x = \frac{2220}{30} = 74$.
अतः,रात की पाली के कर्मचारियों का औसत वेतन $Rs. 74$ है।

(A) मान लीजिए रेखा $L$ के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं। रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि अंतःखंड $P(1, 2)$ पर समद्विभाजित होता है,इसलिए $\frac{a}{2} = 1 \implies a = 2$ और $\frac{b}{2} = 2 \implies b = 4$ है।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$ है,जो $2x + y = 4 \quad (1)$ में सरल होता है।
रेखा $L$ की ढाल $m = -2$ है। $L$ के लंबवत रेखा $L_1$ की ढाल $m_1 = -\frac{1}{m} = \frac{1}{2}$ है।
$L_1$,$(-2, 1)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 2) \implies x - 2y = -4 \quad (2)$ है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$x = \frac{4}{5}$ और $y = \frac{12}{5}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{4}{5}, \frac{12}{5} \right)$ है।

(C) माना तीन क्रमिक पद $T_{r+1}, T_{r+2},$ और $T_{r+3}$ हैं। उनके गुणांक $^{n}C_{r}, ^{n}C_{r+1},$ और $^{n}C_{r+2}$ हैं।
दिया गया अनुपात $^{n}C_{r} : ^{n}C_{r+1} : ^{n}C_{r+2} = 1 : 7 : 42$ है।
$\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_{r}} = \frac{7}{1}$ से,$\frac{n-r}{r+1} = 7 \implies n = 8r+7$ प्राप्त होता है।
$\frac{^{n}C_{r+2}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{42}{7} = 6$ से,$\frac{n-(r+1)}{r+2} = 6 \implies n = 7r+13$ प्राप्त होता है।
$n$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $8r+7 = 7r+13 \implies r = 6.$
अतः,पहला पद $T_{r+1} = T_{6+1} = T_{7}$ है,जो कि $7^{th}$ पद है।

(D) घात समुच्चय $P(X)$ में अवयवों की कुल संख्या $2^{10}$ है।
चूंकि $A$ और $B$ को प्रतिस्थापन के साथ चुना जाता है,इसलिए $(A, B)$ के युग्म को चुनने के कुल तरीके $(2^{10}) \times (2^{10}) = 2^{20}$ हैं।
मान लीजिए $n(A) = k$ और $n(B) = k$,जहाँ $k$ का मान $0$ से $10$ तक हो सकता है।
$10$ अवयवों के समुच्चय से $k$ अवयवों वाला उपसमुच्चय चुनने के तरीके $^{10}C_k$ हैं।
अतः,$A$ और $B$ को इस प्रकार चुनने के तरीके कि $n(A) = n(B) = k$ हो,$(^{10}C_k) \times (^{10}C_k) = (^{10}C_k)^2$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $\sum_{k=0}^{10} (^{10}C_k)^2$ है।
सर्वसमिका $\sum_{k=0}^{n} (^{n}C_k)^2 = ^{2n}C_n$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{k=0}^{10} (^{10}C_k)^2 = ^{20}C_{10}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{^{20}C_{10}}{2^{20}}$ है।

(B) $15$ पुरुषों और $15$ महिलाओं में से $15$ टीमें बनाने के लिए,जिनमें प्रत्येक में एक पुरुष और एक महिला हो,हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:
$1$. पहली टीम के लिए,$15$ पुरुषों में से $1$ पुरुष को $15$ तरीकों से और $15$ महिलाओं में से $1$ महिला को $15$ तरीकों से चुना जा सकता है। कुल तरीके = $15 \times 15$.
$2$. दूसरी टीम के लिए,शेष $14$ पुरुषों में से $1$ और शेष $14$ महिलाओं में से $1$ महिला को चुना जा सकता है। कुल तरीके = $14 \times 14$.
$3$. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,टीमें बनाने के कुल तरीके प्रत्येक टीम को बनाने के तरीकों का गुणनफल है:
कुल तरीके = $(15 \times 15) \times (14 \times 14) \times \dots \times (1 \times 1)$
कुल तरीके = $(15 \times 14 \times \dots \times 1) \times (15 \times 14 \times \dots \times 1)$
कुल तरीके = $(15!)^2$.

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 4^2$ है, इसलिए त्रिज्या $r = 4$ है।
बिंदु $P(0, h)$ से खींची गई स्पर्श रेखा $y-$अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाती है, इसलिए $\sin \alpha = \frac{r}{OP} = \frac{4}{h}$।
मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $x-$अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है, तो $\theta = 90^\circ - \alpha$, इसलिए $\cos \theta = \sin \alpha = \frac{4}{h}$।
$B$ का $x-$निर्देशांक $OB = \frac{r}{\sin \theta} = \frac{4}{\cos \alpha} = \frac{4h}{\sqrt{h^2 - 16}}$ है।
$\Delta APB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{\text{आधार}} \times \text{\text{ऊंचाई}} = \frac{1}{2} \times (2 \cdot OB) \times h = OB \times h = \frac{4h^2}{\sqrt{h^2 - 16}}$।
क्षेत्रफल को न्यूनतम करने के लिए, $f(h) = \frac{16h^4}{h^2 - 16}$ का अवकलन करने पर $h^2 = 32$ प्राप्त होता है।
अतः, $h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$।

(D) वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2 + y^2 - 30x = 0$ है और जीवा $L \equiv y + 3x = 0$ है।
$S = 0$ और $L = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
$x^2 + y^2 - 30x + \lambda(y + 3x) = 0$
$x^2 + y^2 + (3\lambda - 30)x + \lambda y = 0$
इस वृत्त के लिए,जीवा $y + 3x = 0$ व्यास है। वृत्त का केंद्र $\left( -\frac{3\lambda - 30}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ है।
चूंकि केंद्र जीवा $y + 3x = 0$ पर स्थित होना चाहिए,इसलिए केंद्र के निर्देशांकों को जीवा के समीकरण में रखने पर:
$-\frac{\lambda}{2} + 3\left( -\frac{3\lambda - 30}{2} \right) = 0$
$-\lambda - 9\lambda + 90 = 0$
$-10\lambda = -90 \implies \lambda = 9$
$\lambda = 9$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 + (3(9) - 30)x + 9y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x + 9y = 0$

(C) माना बिंदु $A\left( 0, \frac{8}{3} \right)$,$B(1, 3)$ और $C(82, 30)$ हैं।
$AB$ की ढाल = $\frac{3 - \frac{8}{3}}{1 - 0} = \frac{\frac{9-8}{3}}{1} = \frac{1}{3}$.
$BC$ की ढाल = $\frac{30 - 3}{82 - 1} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल समान है और वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $B$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
इसकी नाभियाँ $(\pm \sqrt{13}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_h = \frac{\sqrt{13}}{2}$ है।
माना दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_e$ है। दिया है $e_e \times e_h = \frac{1}{2}$,अतः $e_e = \frac{1}{\sqrt{13}}$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दीर्घवृत्त $(\pm \sqrt{13}, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a^2 = 13$।
$b^2 = a^2(1 - e_e^2) = 13(1 - \frac{1}{13}) = 12$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{12} = 1$ है।
बिंदु $C$ के लिए: $\frac{13/4}{13} + \frac{3/4}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} \neq 1$।
अतः,बिंदु $C$ दीर्घवृत्त पर स्थित नहीं है।

(A) समुच्चय $\{ \omega \in \mathbb{C} : |\omega - (4 + i)| \le r \}$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(4, 1)$ और त्रिज्या $r$ है।
समुच्चय $\{ z \in \mathbb{C} : |z - 1| \le |z + i| \}$ बिंदु $1$ (या $(1, 0)$) और $-i$ (या $(0, -1)$) को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक के एक ओर के क्षेत्र को दर्शाता है।
लंब समद्विभाजक रेखा $x + y = 0$ है। क्षेत्र $|z - 1| \le |z + i|$,$x + y \ge 0$ के अनुरूप है।
वृत्त के $x + y \ge 0$ क्षेत्र में निहित होने के लिए,केंद्र $C(4, 1)$ से रेखा $x + y = 0$ की लंबवत दूरी $r$ के बराबर या उससे कम होनी चाहिए।
$(4, 1)$ से $x + y = 0$ की दूरी $d = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2}\sqrt{2}$ है।
अतः,$r$ का अधिकतम मान $\frac{5}{2}\sqrt{2}$ है।

(C) $x = 0$ के निकट $e^{x^2}$ और $\cos x$ के श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए:
$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
$x \to 0$ के लिए $\sin x \approx x$,इसलिए $\sin^2 x \approx x^2$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(1 + x^2 + \dots) - (1 - \frac{x^2}{2} + \dots)}{x^2}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^2}{2}}{x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2}{x^2} = \frac{3}{2}$.

(A) दिया गया है $\frac{a}{b} = 2 + \sqrt{3}$ और $\angle C = 60^\circ$।
टैंजेंट नियम का उपयोग करने पर: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$।
$\frac{a-b}{a+b} = \frac{(2+\sqrt{3})b - b}{(2+\sqrt{3})b + b} = \frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$\cot\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = \cot(30^\circ) = \sqrt{3}$।
अतः,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$।
$\frac{A-B}{2} = 45^\circ \implies A-B = 90^\circ$।
चूंकि $A+B+C = 180^\circ$ और $C = 60^\circ$,इसलिए $A+B = 120^\circ$।
$A-B = 90^\circ$ और $A+B = 120^\circ$ को हल करने पर,$2A = 210^\circ \implies A = 105^\circ$ और $B = 15^\circ$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(105^\circ, 15^\circ)$ है।

(D) एक सशर्त कथन "यदि $P$,तो $Q$" का प्रतिधनात्मक "यदि $Q$ नहीं,तो $P$ नहीं" के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन: "यदि बारिश हो रही है $(P)$,तो मैं नहीं आऊंगा $(Q)$"।
यहाँ,$P$ है "बारिश हो रही है" और $Q$ है "मैं नहीं आऊंगा"।
इसलिए,"$Q$ नहीं" है "मैं आऊंगा" और "$P$ नहीं" है "बारिश नहीं हो रही है"।
अतः,प्रतिधनात्मक "यदि मैं आऊंगा,तो बारिश नहीं हो रही है" है।

(C) $\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^8$ का सामान्य पद $T_{r+1} = ^8C_r (2x^2)^{8-r} (-x^{-1})^r = ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक $\left( 1 - x^{-1} + 3x^5 \right) \sum_{r=0}^8 {^8C_r} 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$ है।
इसका विस्तार करने पर:
$1 \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r} - x^{-1} \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r} + 3x^5 \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए:
$1$. पहले भाग से,$16-3r = 0 \implies r = 16/3$ (पूर्णांक नहीं है)।
$2$. दूसरे भाग से,$16-3r-1 = 0 \implies 15-3r = 0 \implies r = 5$। गुणांक $- ^8C_5 2^{8-5} (-1)^5 = -56 \cdot 8 \cdot (-1) = 448$ है।
$3$. तीसरे भाग से,$16-3r+5 = 0 \implies 21-3r = 0 \implies r = 7$। गुणांक $3 \cdot ^8C_7 2^{8-7} (-1)^7 = 3 \cdot 8 \cdot 2 \cdot (-1) = -48$ है।
इनका योग करने पर,अचर पद $448 - 48 = 400$ प्राप्त होता है।

(A) एक समबाहु त्रिभुज के लिए,अंतःकेंद्र और परिकेंद्र एक ही बिंदु $(1, 1)$ पर स्थित होते हैं।
अंतःत्रिज्या $r$,अंतःकेंद्र $(1, 1)$ से भुजा $3x + 4y + 3 = 0$ की लंबवत दूरी है:
$r = \frac{|3(1) + 4(1) + 3|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 + 3|}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R$,अंतःत्रिज्या $r$ की दोगुनी होती है:
$R = 2r = 2(2) = 4$.
केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्या $R = 4$ वाले परिवृत्त का समीकरण है:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 16$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 14 = 0$.

(B) दिया है $\cos \alpha + \cos \beta = \frac{3}{2}$ और $\sin \alpha + \sin \beta = \frac{1}{2}$।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{3}{2}$ $(i)$
$2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{1}{2}$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर $\tan \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta = \frac{\alpha+\beta}{2}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{1}{3}$।
हमें $\sin 2\theta + \cos 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} + \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ ज्ञात करना है।
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$= \frac{2(1/3)}{1 + 1/9} + \frac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \frac{2/3}{10/9} + \frac{8/9}{10/9} = \frac{6}{10} + \frac{8}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = -4x$ है,जो $y^2 = -4ax$ के रूप में है जहाँ $a = 1$ है।
मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(-t^2, 2t)$ और $Q$ के निर्देशांक $(-t^2, -2t)$ हैं,जहाँ $t > 0$ (क्योंकि $P$ द्वितीय चतुर्थांश में है)।
मान लीजिए $R(h, k)$ वह बिंदु है जो $PQ$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$R$ के निर्देशांक हैं:
$h = \frac{2(-t^2) + 1(-t^2)}{2 + 1} = -t^2$
$k = \frac{2(-2t) + 1(2t)}{2 + 1} = \frac{-4t + 2t}{3} = -\frac{2t}{3}$
$k = -\frac{2t}{3}$ से,हमें $t = -\frac{3k}{2}$ प्राप्त होता है।
$h$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$h = -(-\frac{3k}{2})^2 = -\frac{9k^2}{4}$
$4h = -9k^2$
$9k^2 = -4h$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$R$ का बिंदुपथ $9y^2 = -4x$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $(a-1)(x^4+x^2+1) + (a+1)(x^2+x+1)^2 = 0$
हम जानते हैं कि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $(a-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) + (a+1)(x^2+x+1)^2 = 0$
$(x^2+x+1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x^2+x+1)[(a-1)(x^2-x+1) + (a+1)(x^2+x+1)] = 0$
कोष्ठक के अंदर सरल करने पर: $(x^2+x+1)(2ax^2+2x+2a) = 0$
$2(x^2+x+1)(ax^2+x+a) = 0$
द्विघात समीकरण $x^2+x+1$ का विविक्तकर $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ है,अतः इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए,$ax^2+x+a = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए।
इसके लिए $a \neq 0$ और विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = 1^2 - 4(a)(a) = 1 - 4a^2 > 0$
$4a^2 < 1$ $\Rightarrow a^2 < 1/4$ $\Rightarrow |a| < 1/2$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $a$ के मानों का समुच्चय $a \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$ है।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n - 3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n - 3)}{2} = 54$
$n(n - 3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 12$।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, 2)$ है और इसकी त्रिज्या $|h|$ है। चूंकि वृत्त $y-$ अक्ष को $(0, 2)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $(h, 2)$ से $y-$ अक्ष की दूरी $|h|$ है।
चूंकि वृत्त $(-1, 0)$ से होकर गुजरता है,केंद्र $(h, 2)$ से $(-1, 0)$ की दूरी त्रिज्या $|h|$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$(h - (-1))^2 + (2 - 0)^2 = h^2$
$(h + 1)^2 + 4 = h^2$
$h^2 + 2h + 1 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
केंद्र $(-\frac{5}{2}, 2)$ है और त्रिज्या $r = |h| = \frac{5}{2}$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + \frac{5}{2})^2 + (y - 2)^2 = (\frac{5}{2})^2$ है।
$x-$ अक्ष पर जीवा ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$(x + \frac{5}{2})^2 + (0 - 2)^2 = \frac{25}{4}$
$(x + \frac{5}{2})^2 + 4 = \frac{25}{4}$
$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$
$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{3}{2}$.
अतः,$x_1 = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = -1$ और $x_2 = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = -4$.
जीवा की लंबाई $|x_1 - x_2| = |-1 - (-4)| = 3$ है।

(D) माना $G.P.$ के पहले तीन पद $a, ar, ar^2$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,पहले तीन पदों का गुणनफल $1000$ है:
$a(ar)(ar^2) = 1000$ $\Rightarrow (ar)^3 = 1000$ $\Rightarrow ar = 10$.
$3^{rd}$ और $4^{th}$ पदों का योग $60$ है:
$ar^2 + ar^3 = 60 \Rightarrow ar(r + r^2) = 60$.
$ar = 10$ का मान रखने पर:
$10(r + r^2) = 60 \Rightarrow r^2 + r - 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(r + 3)(r - 2) = 0 \Rightarrow r = 2$ या $r = -3$.
स्थिति $1$: यदि $r = 2$ है,तो $a(2) = 10 \Rightarrow a = 5$.
स्थिति $2$: यदि $r = -3$ है,तो $a(-3) = 10 \Rightarrow a = -10/3$.
चूंकि पहला पद $a$ धनात्मक है,इसलिए हम $a = 5$ और $r = 2$ लेंगे।
$7^{th}$ पद $T_7 = ar^6 = 5(2)^6 = 5 \times 64 = 320$ होगा।

(C) दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ है,जिसे $y = -\sqrt{3}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = -\sqrt{3}$ है।
माना रेखा $L$ की ढाल $m$ है। रेखाओं के बीच का कोण $60^o$ है,इसलिए $\tan(60^o) = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})}| = |\frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3 = \frac{(m + \sqrt{3})^2}{(1 - \sqrt{3}m)^2} \Rightarrow 3(1 - 2\sqrt{3}m + 3m^2) = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3$.
$3 - 6\sqrt{3}m + 9m^2 = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3 \Rightarrow 8m^2 - 8\sqrt{3}m = 0$.
$8m(m - \sqrt{3}) = 0$,अतः $m = 0$ या $m = \sqrt{3}$.
यदि $m = 0$ है,तो रेखा $y + 2 = 0(x - 3) \Rightarrow y + 2 = 0$ है,जो $x$-अक्ष के समानांतर है और उसे प्रतिच्छेद नहीं करती है।
यदि $m = \sqrt{3}$ है,तो रेखा $y - (-2) = \sqrt{3}(x - 3) \Rightarrow y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3}$ है।
अतः $y - \sqrt{3}x + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta}$, जहाँ $\operatorname{Im}(z) = r \sin \theta$ है।
तब $z^5 = r^5(\cos 5\theta + i \sin 5\theta)$, इसलिए $\operatorname{Im}(z^5) = r^5 \sin 5\theta$ है।
व्यंजक $\frac{\operatorname{Im}(z^5)}{(\operatorname{Im} z)^5} = \frac{r^5 \sin 5\theta}{(r \sin \theta)^5} = \frac{\sin 5\theta}{\sin^5 \theta}$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin 5\theta = 16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin 5\theta}{\sin^5 \theta} = \frac{16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta}{\sin^5 \theta} = 16 - 20 \csc^2 \theta + 5 \csc^4 \theta$ प्राप्त होता है।
माना $x = \csc^2 \theta$ है। चूँकि $z$ अवास्तविक है, $\sin \theta \neq 0$, इसलिए $x \geq 1$ है।
व्यंजक $f(x) = 5x^2 - 20x + 16$ है।
यह ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2(5)} = 2$ पर है।
चूँकि $x=2$ डोमेन $[1, \infty)$ में है, न्यूनतम मान $f(2) = 5(2)^2 - 20(2) + 16 = 20 - 40 + 16 = -4$ है।

(A) मान लीजिए खंभे $A_1, A_2, ..., A_{10}$ स्थितियों पर हैं और उनकी ऊंचाइयां $h_1, h_2, ..., h_{10}$ हैं।
चूंकि सभी खंभे $O$ पर समान कोण $\alpha$ बनाते हैं,इसलिए सभी $n = 1, 2, ..., 10$ के लिए $\frac{h_n}{OA_n} = \tan \alpha$ है।
दिया गया है कि $OA_1 = a$ और $h_{10} = h$ है।
मान लीजिए $d$ दो लगातार खंभों के बीच की दूरी है। तब $OA_{10} = OA_1 + 9d = a + 9d$ होगा।
संबंध $\frac{h_{10}}{OA_{10}} = \tan \alpha$ से,हमें मिलता है $\frac{h}{a + 9d} = \tan \alpha$।
$d$ के लिए हल करने पर:
$a + 9d = \frac{h}{\tan \alpha} = h \cot \alpha$
$9d = h \cot \alpha - a$
$9d = \frac{h \cos \alpha}{\sin \alpha} - a = \frac{h \cos \alpha - a \sin \alpha}{\sin \alpha}$
$d = \frac{h \cos \alpha - a \sin \alpha}{9 \sin \alpha}$।

(B) दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ होती है।
दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,नाभियों के बीच की दूरी नाभिलंब की लंबाई की आधी है:
$2ae = \frac{1}{2} \times \frac{2b^2}{a}$
$2ae = \frac{b^2}{a}$
संबंध $b^2 = a^2(1-e^2)$ का उपयोग करने पर:
$2ae = \frac{a^2(1-e^2)}{a}$
$2ae = a(1-e^2)$
$2e = 1-e^2$
$e^2 + 2e - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $e = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$e = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$
चूंकि उत्केंद्रता $e$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $e = \sqrt{2}-1$।

(C) सामान्य पद $T_n$ को अंतर की विधि का उपयोग करके इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right]$
$n=1$ से $5$ तक योग करने पर:
$\sum_{n=1}^5 T_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} - \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} - \frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8} \right) \right]$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$\sum_{n=1}^5 T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{336} \right]$
$\frac{1}{3} \left[ \frac{56 - 1}{336} \right] = \frac{1}{3} \left( \frac{55}{336} \right) = \frac{k}{3}$
अतः,$k = \frac{55}{336}$.

(D) मान लीजिए कथन $P$,$Q$,और $R$ हैं।
"सुमन प्रतिभाशाली और बेईमान है" को $P \wedge \sim R$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
"सुमन अमीर है" को $Q$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
कथन "सुमन प्रतिभाशाली और बेईमान है यदि और केवल यदि सुमन अमीर है" को $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
हम जानते हैं कि $A \leftrightarrow B$ का निषेध $\sim A \leftrightarrow B$ या $A \leftrightarrow \sim B$ होता है।
इसलिए,$(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ का निषेध $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow \sim Q$ है,जो $\sim Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R)$ के समतुल्य है।

(D) परवलय $x^2=8y$ का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
मान लीजिए बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं। चूँकि $Q$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $x_1^2 = 8y_1$ है।
मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
विभाजन सूत्र के अनुसार,चूँकि $P$,$OQ$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$h = \frac{1 \cdot x_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{x_1}{4} \Rightarrow x_1 = 4h$
$k = \frac{1 \cdot y_1 + 3 \cdot 0}{1+3} = \frac{y_1}{4} \Rightarrow y_1 = 4k$
इन मानों को परवलय के समीकरण $x_1^2 = 8y_1$ में रखने पर:
$(4h)^2 = 8(4k)$
$16h^2 = 32k$
$h^2 = 2k$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदुपथ $x^2 = 2y$ है।

(B) का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं क्योंकि दिया गया समीकरण $x$ के सभी मानों के लिए सत्य है।
मान लीजिए $x = 1$ है।
सारणिक में $x = 1$ रखने पर:
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{1^2} + 1}&{1 + 1}&{1 - 2}\\ {2(1)^2 + 3(1) - 1}&{3(1)}&{3(1) - 3}\\ {{1^2} + 2(1) + 3}&{2(1) - 1}&{2(1) - 1}\end{array}} \right| = A(1) - 12$
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2&{ - 1}\\ 4&3&0\\ 6&1&1\end{array}} \right| = A - 12$
अब,सारणिक का मान ज्ञात करें:
$2(3 \times 1 - 0 \times 1) - 2(4 \times 1 - 0 \times 6) + (-1)(4 \times 1 - 3 \times 6) = A - 12$
$2(3) - 2(4) - 1(4 - 18) = A - 12$
$6 - 8 + 14 = A - 12$
$12 = A - 12$
$A = 24$.

(A) माना कि रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12} = \lambda$ है।
अतः,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ के रूप में होगा।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 16$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 16$
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 16$
$11\lambda + 5 = 16$
$11\lambda = 11$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ को निर्देशांकों में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है:
$x = 3(1) + 2 = 5$
$y = 4(1) - 1 = 3$
$z = 12(1) + 2 = 14$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(5, 3, 14)$ है।
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके बिंदु $(1, 0, 2)$ और $(5, 3, 14)$ के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (3 - 0)^2 + (14 - 2)^2}$
$d = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}$
$d = \sqrt{16 + 9 + 144}$
$d = \sqrt{169} = 13$.
इस प्रकार,दूरी $13$ इकाई है।

(D) समतलों $2x - 5y + z - 3 = 0$ और $x + y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण है:
$(2x - 5y + z - 3) + \lambda(x + y + 4z - 5) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(2 + \lambda)x + (\lambda - 5)y + (4\lambda + 1)z - (3 + 5\lambda) = 0 \quad \dots(i)$
चूंकि यह समतल $x + 3y + 6z = 1$ के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश समानुपाती होंगे:
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{\lambda - 5}{3} = \frac{4\lambda + 1}{6} = k$
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{\lambda - 5}{3}$ लेने पर,$6 + 3\lambda = \lambda - 5 \implies 2\lambda = -11 \implies \lambda = -\frac{11}{2}$.
$\lambda = -\frac{11}{2}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(2 - \frac{11}{2})x + (-\frac{11}{2} - 5)y + (4(-\frac{11}{2}) + 1)z - (3 + 5(-\frac{11}{2})) = 0$
$-\frac{7}{2}x - \frac{21}{2}y - 21z + \frac{49}{2} = 0$
$-\frac{2}{7}$ से गुणा करने पर:
$x + 3y + 6z - 7 = 0 \implies x + 3y + 6z = 7$.

(D) माना $I = \int_{2}^{4} \frac{\log(x^2)}{\log(x^2) + \log((6-x)^2)} \, dx$ है।
गुणधर्म $\log(a^2) = 2\log|a|$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{2}^{4} \frac{2\log x}{2\log x + 2\log(6-x)} \, dx = \int_{2}^{4} \frac{\log x}{\log x + \log(6-x)} \, dx \quad \dots(1)$।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = 2+4 = 6$:
$I = \int_{2}^{4} \frac{\log(6-x)}{\log(6-x) + \log(6-(6-x))} \, dx = \int_{2}^{4} \frac{\log(6-x)}{\log(6-x) + \log x} \, dx \quad \dots(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{2}^{4} \frac{\log x + \log(6-x)}{\log x + \log(6-x)} \, dx = \int_{2}^{4} 1 \, dx$।
$2I = [x]_{2}^{4} = 4 - 2 = 2$।
$I = 1$।

(A) दिया गया है कि $AA^T = 9I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है।
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$
आव्यूहों का गुणा करने पर,हम तीसरी पंक्ति के अवयवों को देखते हैं:
$(3, 1)$ स्थान के लिए: $a(1) + 2(2) + b(2) = 0 \Rightarrow a + 2b + 4 = 0 \Rightarrow a + 2b = -4$ ... $(i)$
$(3, 2)$ स्थान के लिए: $a(2) + 2(1) + b(-2) = 0 \Rightarrow 2a - 2b + 2 = 0 \Rightarrow a - b = -1$ ... $(ii)$
समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $(ii)$ से,$a = b - 1$ प्राप्त होता है।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(b - 1) + 2b = -4 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1$।
अतः,$a = -1 - 1 = -2$।
इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a, b) = (-2, -1)$ है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$(2-\lambda)x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$
$2x_1 - (3+\lambda)x_2 + 2x_3 = 0$
$-x_1 + 2x_2 - \lambda x_3 = 0$
अशून्य हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -2 & 1 \\ 2 & -(3+\lambda) & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$R_1 \to R_1 + R_3$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1-\lambda \\ 2 & -(3+\lambda) & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ से $(1-\lambda)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(1-\lambda) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -(3+\lambda) & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(1-\lambda) [1(\lambda(3+\lambda) - 4) + 1(4 - (3+\lambda))] = 0$
$(1-\lambda) [3\lambda + \lambda^2 - 4 + 4 - 3 - \lambda] = 0$
$(1-\lambda) [\lambda^2 + 2\lambda - 3] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda+3)(\lambda-1) = 0$
$-(1-\lambda)^2(\lambda+3) = 0$
अतः,$\lambda = 1$ और $\lambda = -3$ प्राप्त होता है। मानों का समुच्चय $\{1, -3\}$ है,जिसमें दो अवयव हैं।

(D) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {1 + \frac{{f(x)}}{{{x^2}}}} \right] = 3$,इसका अर्थ है $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{{x^2}}} = 2$.
चूंकि $f(x)$ चार घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
सीमा के अस्तित्व के लिए और उसका मान $2$ होने के लिए,$e=0$,$d=0$ और $c=2$ होना चाहिए।
अतः,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 2x^2$.
तब $f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 4x$.
चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x=1$ और $x=2$ पर हैं,इसलिए $f'(1) = 0$ और $f'(2) = 0$.
$f'(1) = 4a + 3b + 4 = 0 \Rightarrow 4a + 3b = -4$.
$f'(2) = 4a(8) + 3b(4) + 4(2) = 32a + 12b + 8 = 0 \Rightarrow 8a + 3b = -2$.
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(8a + 3b) - (4a + 3b) = -2 - (-4) \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$a = \frac{1}{2}$ को $4a + 3b = -4$ में रखने पर: $4(\frac{1}{2}) + 3b = -4 \Rightarrow 2 + 3b = -4 \Rightarrow 3b = -6 \Rightarrow b = -2$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.
$f(2)$ का मान निकालने पर: $f(2) = \frac{1}{2}(16) - 2(8) + 2(4) = 8 - 16 + 8 = 0$.

(B) चूंकि $g(x)$ अवकलनीय है,इसलिए इसे $x=3$ पर सतत होना चाहिए।
$x=3$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^+} g(x) = g(3)$।
$\lim_{x \to 3^-} k\sqrt{x+1} = k\sqrt{3+1} = 2k$।
$\lim_{x \to 3^+} (mx+2) = 3m+2$।
अतः,$2k = 3m+2$ --- $(i)$।
$x=3$ पर अवकलनीयता के लिए,$g'(3^-) = g'(3^+)$।
$g'(x) = \begin{cases} \frac{k}{2\sqrt{x+1}}, & 0 < x < 3 \\ m, & 3 < x < 5 \end{cases}$।
$g'(3^-) = \frac{k}{2\sqrt{3+1}} = \frac{k}{4}$।
$g'(3^+) = m$।
इसलिए,$\frac{k}{4} = m \Rightarrow k = 4m$ --- $(ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(4m) = 3m+2 \Rightarrow 8m = 3m+2 \Rightarrow 5m = 2 \Rightarrow m = \frac{2}{5}$।
तब $k = 4(\frac{2}{5}) = \frac{8}{5}$।
अतः,$k+m = \frac{8}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} = 2$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ है।
$(x \log x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ और $Q(x) = 2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
$y \cdot \log x = \int 2 \log x dx = 2(x \log x - x) + C$.
$y(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ रखने पर $0 \cdot \log(1) = 2(1 \log 1 - 1) + C \Rightarrow 0 = 2(0 - 1) + C \Rightarrow C = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y \log x = 2x \log x - 2x + 2$.
$x = e$ पर,$y \log e = 2e \log e - 2e + 2$.
चूँकि $\log e = 1$,इसलिए $y(1) = 2e - 2e + 2$,जिसका सरल रूप $y = 2$ है।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}}$ है।
हर में कोष्ठक के अंदर के पद से $x^4$ कॉमन लेने पर:
$I = \int \frac{dx}{x^2 \left[ x^4(1 + \frac{1}{x^4}) \right]^{3/4}}$
$I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot (x^4)^{3/4} \cdot (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$
$I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 \cdot (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$
$I = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$
माना $t = 1 + \frac{1}{x^4}$ है। तब $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dt}{-4} = \frac{dx}{x^5}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t^{3/4}} \cdot (-\frac{1}{4} dt)$
$I = -\frac{1}{4} \int t^{-3/4} dt$
$I = -\frac{1}{4} \left[ \frac{t^{1/4}}{1/4} \right] + c$
$I = -t^{1/4} + c$
$t = 1 + \frac{1}{x^4}$ का मान वापस रखने पर:
$I = -\left( 1 + \frac{1}{x^4} \right)^{1/4} + c$
$I = -\left( \frac{x^4 + 1}{x^4} \right)^{1/4} + c$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right)$.
चूंकि $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए सूत्र $\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) = 2 \tan ^{-1} x$ की शर्त पूरी होती है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} x$
$\tan ^{-1} y = 3 \tan ^{-1} x$
सर्वसमिका $3 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$
अतः,$y = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}$.

(B) प्रत्येक बक्से में गेंद आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ है।
द्विपद वितरण के अनुसार,किसी एक विशिष्ट बक्से में $3$ गेंदें होने की प्रायिकता $P(X = 3) = \binom{12}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^9$ है।
गणना करने पर: $P = 220 \times \frac{1}{27} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{220}{27} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9$।
इसे सरल करने पर: $P = \frac{55}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{55}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{11}$।

(B) सदिश त्रिक गुणनफल की सर्वसमिका के अनुसार: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
इसे दिए गए व्यंजक के बराबर रखने पर: $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}| \vec{a}$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शून्येतर हैं और कोई भी दो संरेख नहीं हैं,इसलिए सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। समीकरण को संतुष्ट करने के लिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के गुणांक शून्य होने चाहिए.
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ और $-(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.
अदिश गुणनफल की परिभाषा $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$-|\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.
$|\vec{b}| |\vec{c}|$ से विभाजित करने पर,हमें $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (क्योंकि $\theta \in [0, \pi]$,$\sin \theta \ge 0$).

(C) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(1, 1, \lambda)$ के लिए,दूरी $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$ है।
बिंदु $(-3, 0, 1)$ के लिए,दूरी $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ है।
चूंकि बिंदु समान दूरी पर हैं,$d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$।
इसका अर्थ है $|20 - 12\lambda| = 8$,या $|5 - 3\lambda| = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(5 - 3\lambda)^2 = 2^2$,जो $25 - 30\lambda + 9\lambda^2 = 4$ देता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9\lambda^2 - 30\lambda + 21 = 0$।
$3$ से भाग देने पर,हमें $3\lambda^2 - 10\lambda + 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
अब,उच्च घातों की गणना करें:
$A^3 = A^2 \cdot A = -I \cdot A = -A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^4 = (A^2)^2 = (-I)^2 = I$.
विकल्पों की जाँच करें:
$A$. $A^2 + I = -I + I = 0$. $A(A^2 - I) = A(-I - I) = A(-2I) = -2A$. चूंकि $0 \neq -2A$,यह गलत है।
$B$. $A^4 - I = I - I = 0$. $A^2 + I = -I + I = 0$. अतः $0 = 0$ (सही)।
$C$. $A^3 + I = -A + I$. $A(A^3 - I) = A(-A - I) = -A^2 - A = I - A$. चूंकि $-A + I = I - A$,यह सही है।
$D$. $A^3 - I = -A - I$. $A(A - I) = A^2 - A = -I - A$. चूंकि $-A - I = -I - A$,यह सही है।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिया गया कथन सही नहीं है।

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ और $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$ प्राप्त होता है।
$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \implies 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^{\circ}$।
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 60^{\circ} = 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अब,$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} \times \vec{b})$ है।
चूंकि $(\vec{a} \times \vec{b})$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 + |3(\vec{a} \times \vec{b})|^2$ होगा।
$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 4(1) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 4 + 2 = 7$।
$|3(\vec{a} \times \vec{b})|^2 = 9 |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 9 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 9 \times \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$।
$|\vec{c}|^2 = 7 + \frac{27}{4} = \frac{28 + 27}{4} = \frac{55}{4}$।
इसलिए,$|\vec{c}| = \frac{\sqrt{55}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $2|\vec{c}| = \sqrt{55}$।

(C) दूसरी रेखा दो समतलों के प्रतिच्छेदन द्वारा दी गई है: $x + y + z + 1 = 0$ और $2x - y + z + 3 = 0$।
प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $(x + y + z + 1) + \lambda(2x - y + z + 3) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $(1 + 2\lambda)x + (1 - \lambda)y + (1 + \lambda)z + (1 + 3\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
पहली रेखा का दिशा सदिश $\vec{v_1} = (\alpha, -1, 1)$ है। समतल का अभिलंब $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$ है।
चूंकि रेखा समतल के समानांतर है,$\vec{v_1} \cdot \vec{n} = 0$,इसलिए $\alpha(1 + 2\lambda) - (1 - \lambda) + (1 + \lambda) = 0$,जिससे $\alpha(1 + 2\lambda) + 2\lambda = 0$,या $\alpha = -\frac{2\lambda}{1 + 2\lambda}$ प्राप्त होता है।
रेखा और समतल के बीच की न्यूनतम दूरी रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु (जैसे $(1, -1, 0)$) से समतल की लंबवत दूरी है:
$d = \frac{|(1 + 2\lambda)(1) + (1 - \lambda)(-1) + (1 + \lambda)(0) + (1 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + 2\lambda)^2 + (1 - \lambda)^2 + (1 + \lambda)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अंश का सरलीकरण: $|1 + 2\lambda - 1 + \lambda + 1 + 3\lambda| = |6\lambda + 1|$।
हर का सरलीकरण: $\sqrt{1 + 4\lambda + 4\lambda^2 + 1 - 2\lambda + \lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2} = \sqrt{6\lambda^2 + 4\lambda + 3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(6\lambda + 1)^2}{6\lambda^2 + 4\lambda + 3} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(36\lambda^2 + 12\lambda + 1) = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3$।
$108\lambda^2 + 36\lambda + 3 = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3 \Rightarrow 102\lambda^2 + 32\lambda = 0$।
इस प्रकार,$\lambda = 0$ या $\lambda = -\frac{32}{102} = -\frac{16}{51}$।
यदि $\lambda = 0$ है,तो $\alpha = 0$। यदि $\lambda = -\frac{16}{51}$ है,तो $\alpha = -\frac{2(-16/51)}{1 + 2(-16/51)} = \frac{32/51}{(51 - 32)/51} = \frac{32}{19}$।

(C) दिए गए वक्र $y = -2x^2$ और $y = 1 - 3x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-2x^2 = 1 - 3x^2$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
चूंकि वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_{0}^{1} (y_{upper} - y_{lower}) dx$
यहाँ,$y_{upper} = 1 - 3x^2$ और $y_{lower} = -2x^2$ है।
$A = 2 \int_{0}^{1} ((1 - 3x^2) - (-2x^2)) dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx$
$A = 2 [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$
$A = 2 (1 - \frac{1}{3}) = 2 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) अंतराल $[-1, 1]$ पर रोले के प्रमेय के लिए,$f(-1) = f(1)$ होना आवश्यक है।
दिए गए $f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx$ के लिए:
$f(1) = 2(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = 2 + b + c$
$f(-1) = 2(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) = -2 + b - c$
$f(1) = f(-1)$ रखने पर:
$2 + b + c = -2 + b - c$
$2c = -4 \implies c = -2$
साथ ही,रोले के प्रमेय के अनुसार $f'(c') = 0$ होता है जहाँ $c' \in (-1, 1)$। यहाँ $c' = \frac{1}{2}$ है।
$f'(x) = 6x^2 + 2bx + c$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{4}\right) + 2b\left(\frac{1}{2}\right) + c = 0$
$\frac{3}{2} + b + c = 0$
$c = -2$ रखने पर:
$\frac{3}{2} + b - 2 = 0 \implies b - \frac{1}{2} = 0 \implies b = \frac{1}{2}$
अंत में,$2b + c$ का मान:
$2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$.

(D) सारणिक का मान $\Delta = x(yz - 1) - 1(z - 1) + 1(1 - y) = xyz - x - z + 1 - 1 + 1 - y = xyz - (x + y + z) + 2$ है।
दिया गया है कि $\Delta \ge 0$,इसलिए $xyz - (x + y + z) + 2 \ge 0$,जिसका अर्थ है $xyz + 2 \ge x + y + z$।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$x + y + z \ge 3(xyz)^{1/3}$।
माना $t = (xyz)^{1/3}$,तो असमिका $t^3 + 2 \ge x + y + z$ बन जाती है।
न्यूनतम मान के लिए,$x=y=z=t$ लेने पर,$t^3 - 3t + 2 \ge 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(t - 1)^2(t + 2) \ge 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(t - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $t + 2 \ge 0$ होना चाहिए,अर्थात $t \ge -2$।
अतः,$xyz = t^3 \ge (-2)^3 = -8$।
इस प्रकार,न्यूनतम मान $-8$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt$.
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ पर विचार करें।
मान लीजिए $t = \frac{1}{u}$,तो $dt = -\frac{1}{u^2} du$. जब $t=1, u=1$ और जब $t=1/x, u=x$ है।
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(1/u)}{1 + 1/u} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u(u+1)} du$.
अब,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt + \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t(1+t)} dt = \int_{1}^{x} \ln t \left( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{t(1+t)} \right) dt$.
समाकल्य (integrand) को सरल करने पर: $\frac{1}{1+t} + \frac{1}{t(1+t)} = \frac{t+1}{t(1+t)} = \frac{1}{t}$.
अतः,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t} dt$.
मान लीजिए $\ln t = v$,तो $\frac{1}{t} dt = dv$. जब $t=1, v=0$ और जब $t=x, v=\ln x$ है।
$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{0}^{\ln x} v dv = \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{\ln x} = \frac{1}{2}(\ln x)^2$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2 \tan^{-1} x + \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$ है,जहाँ $x > 1$ है।
हम जानते हैं कि $x > 1$ के लिए,$\sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$ का सूत्र $\pi - 2 \tan^{-1} x$ होता है।
इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = 2 \tan^{-1} x + (\pi - 2 \tan^{-1} x)$
$f(x) = \pi$.
चूँकि $x > 1$ के लिए $f(x)$ एक अचर फलन है,इसलिए $f(5) = \pi$ होगा।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण:
$x = 2\cos t + 2t\sin t$
$y = 2\sin t - 2t\cos t$
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = -2\sin t + 2(\sin t + t\cos t) = 2t\cos t$
$\frac{dy}{dt} = 2\cos t - 2(\cos t - t\sin t) = 2t\sin t$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t\sin t}{2t\cos t} = \tan t$
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
इसलिए,अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{1} = -1$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करें:
$x = 2\cos(\frac{\pi}{4}) + 2(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
$y = 2\sin(\frac{\pi}{4}) - 2(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है:
$y - (\sqrt{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{2}}) = -1(x - (\sqrt{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}))$
$x + y = 2\sqrt{2}$
रेखा $Ax + By + C = 0$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ,$x + y - 2\sqrt{2} = 0$,इसलिए $A=1, B=1, C=-2\sqrt{2}$.
$d = \frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(x+1)^{3/4}(x-2)^{5/4}}$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{3/4} (x-2)^{3/4} (x-2)^{5/4}} = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{3/4} (x-2)^2}$.
माना $t = \frac{x+1}{x-2}$.
तब,$dt = \frac{(x-2)(1) - (x+1)(1)}{(x-2)^2} dx = \frac{x-2-x-1}{(x-2)^2} dx = \frac{-3}{(x-2)^2} dx$.
अतः,$\frac{dx}{(x-2)^2} = -\frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{t^{3/4}} \left(-\frac{1}{3} dt\right) = -\frac{1}{3} \int t^{-3/4} dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\frac{1}{3} \left( \frac{t^{-3/4 + 1}}{-3/4 + 1} \right) + c = -\frac{1}{3} \left( \frac{t^{1/4}}{1/4} \right) + c = -\frac{4}{3} t^{1/4} + c$.
$t = \frac{x+1}{x-2}$ का मान वापस रखने पर:
$I = -\frac{4}{3} \left( \frac{x+1}{x-2} \right)^{1/4} + c$.

(C) दिया गया है कि $f(2 - x) = f(2 + x)$,अतः फलन $x = 2$ के सापेक्ष सममित है।
दिया गया है कि $f(4 - x) = f(4 + x)$,अतः फलन $x = 4$ के सापेक्ष सममित है।
दूसरे समीकरण में $x$ को $x - 2$ से प्रतिस्थापित करने पर: $f(4 - (x - 2)) = f(4 + (x - 2)) \Rightarrow f(6 - x) = f(2 + x)$.
चूंकि $f(2 - x) = f(2 + x)$,इसलिए $f(6 - x) = f(2 - x)$.
मान लीजिए $t = 2 - x$,तो $f(4 + t) = f(t)$,जो दर्शाता है कि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 4$ है।
हमें $\int_{0}^{2} f(x) dx = 5$ दिया गया है।
चूंकि $f(2 - x) = f(2 + x)$,इसलिए $\int_{0}^{4} f(x) dx = \int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{4} f(x) dx = 2 \int_{0}^{2} f(x) dx = 2 \times 5 = 10$.
अब,$\int_{10}^{50} f(x) dx = \frac{50 - 10}{4} \int_{0}^{4} f(x) dx = 10 \times 10 = 100$.

(A) मान लीजिए $f(x) = \frac{(1 + x)^{3/5}}{1 + x^{3/5}}$,जहाँ $x \in [0, 1]$.
अवकलन $f'(x)$ लेने पर:
$f'(x) = \frac{(1 + x^{3/5}) \cdot \frac{3}{5}(1 + x)^{-2/5} - (1 + x)^{3/5} \cdot \frac{3}{5}x^{-2/5}}{(1 + x^{3/5})^2}$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{1 + x^{3/5}}{(1 + x)^{2/5}} - \frac{(1 + x)^{3/5}}{x^{2/5}} \right]$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5}(1 + x^{3/5}) - (1 + x)^{3/5}(1 + x)^{2/5}}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} + x - (1 + x)}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right] = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} - 1}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$
चूंकि $x \in [0, 1]$,इसलिए $x^{2/5} \le 1$,अतः $f'(x) \le 0$। फलन ह्रासमान (decreasing) है।
इसलिए,अधिकतम मान $K = f(0) = \frac{(1+0)^{0.6}}{1+0^{0.6}} = 1$ है।
न्यूनतम मान $k = f(1) = \frac{(1+1)^{0.6}}{1+1^{0.6}} = \frac{2^{0.6}}{2} = 2^{0.6 - 1} = 2^{-0.4}$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(k, K) = (2^{-0.4}, 1)$ है।

(C) माना $\vec{AB} = \vec{u}$ और $\vec{AD} = \vec{v}$ है। तब $|\vec{u}| = a$ और $|\vec{v}| = b$ है।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{u} + \vec{v}$ होता है।
दिया है कि $|\vec{AC}| = c$,इसलिए $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = c^2$ होगा।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = c^2$ प्राप्त होता है।
परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर,$a^2 + b^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AD}) = c^2$ मिलता है।
अतः,$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(c^2 - a^2 - b^2)$ होता है।
हमें $\overline{DA} \cdot \overline{AB}$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\overline{DA} = -\overline{AD}$ है,इसलिए $\overline{DA} \cdot \overline{AB} = -(\overline{AD} \cdot \overline{AB}) = -\frac{1}{2}(c^2 - a^2 - b^2) = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - c^2)$ होगा।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $ydx - (x + 2y^2)dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $ydx - xdy = 2y^2 dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर ($y \neq 0$ के लिए),हमें $\frac{ydx - xdy}{y^2} = 2dy$ प्राप्त होता है।
यह $d(\frac{x}{y}) = 2dy$ के बराबर है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\frac{x}{y} = 2y + c$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f(-1) = 1$,जिसका अर्थ है कि जब $y = -1$ है तो $x = 1$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{-1} = 2(-1) + c \Rightarrow -1 = -2 + c \Rightarrow c = 1$.
अतः,हल $\frac{x}{y} = 2y + 1$ है,या $x = 2y^2 + y$.
$f(1)$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $y = 1$ रखते हैं: $x = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$.
इसलिए,$f(1) = 3$.

(B) दी गई रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x + y + 2z - 3) + \lambda(2x + 3y + 4z - 4) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (2 + 4\lambda)z - (3 + 4\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
यदि यह समतल $z$-अक्ष के समानांतर है,तो इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$ को $z$-अक्ष (जिसकी दिशा $\vec{k} = (0, 0, 1)$ है) के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$(1 + 2\lambda)(0) + (1 + 3\lambda)(0) + (2 + 4\lambda)(1) = 0$।
इससे $2 + 4\lambda = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = -\frac{1}{2}$।
$\lambda = -\frac{1}{2}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(x + y + 2z - 3) - \frac{1}{2}(2x + 3y + 4z - 4) = 0$।
$2$ से गुणा करने पर: $2x + 2y + 4z - 6 - 2x - 3y - 4z + 4 = 0$,जो सरल होकर $-y - 2 = 0$ या $y + 2 = 0$ हो जाता है।
$z$-अक्ष रेखा $x = 0, y = 0$ है। $z$-अक्ष पर किसी भी बिंदु (जैसे $(0, 0, 0)$) से समतल $y + 2 = 0$ की दूरी $d = \frac{|0 + 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{1} = 2$ है।

(A) हमें $A = \{x_1, \dots, x_7\}$ और $B = \{y_1, y_2, y_3\}$ दिया गया है।
हमें उन आच्छादक फलनों $f: A \to B$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $A$ के ठीक $3$ अवयव $y_2$ पर मैप होते हैं।
सबसे पहले,$A$ से $3$ अवयव चुनने के तरीके ${}^7C_3$ हैं।
अब,$A$ के शेष $4$ अवयवों को $B$ के शेष $2$ अवयवों $\{y_1, y_3\}$ पर मैप होना चाहिए।
फलन को आच्छादक होने के लिए,समुच्चय $\{y_1, y_3\}$ को उन $4$ अवयवों द्वारा कवर किया जाना चाहिए।
इन $4$ अवयवों से $\{y_1, y_3\}$ तक के कुल फलनों की संख्या $2^4 = 16$ है।
फलन के आच्छादक होने के लिए हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ सभी $4$ अवयव केवल $y_1$ या केवल $y_3$ पर मैप होते हैं।
अतः,तरीकों की संख्या $2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$ होगी।
इसलिए,ऐसे कुल आच्छादक फलनों की संख्या ${}^7C_3 \times 14 = 14 \times {}^7C_3$ है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
त्रिभुज के अस्तित्व के लिए त्रिभुज असमिका $a+b > c$ का पालन होना चाहिए।
समद्विबाहु त्रिभुज के लिए कम से कम दो भुजाएँ समान होनी चाहिए। यदि $a=b$ लें,तो कुल $27$ स्थितियाँ प्राप्त होती हैं।
अधिकतम क्षेत्रफल वाला त्रिभुज $(6,6,6)$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{27}$ है।

(D) दिया गया है कि $f : (-1, 1) \to R$ एक सतत फलन है और $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{dx} \left( \int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x \right)$
$f(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\sin x) \cdot \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखते हैं।
इससे $x = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अब $x = \frac{\pi}{3}$ को समीकरण में रखने पर:
$f\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{3}$

(D) माना $I = \int \frac{\log (t+\sqrt{1+t^{2}})}{\sqrt{1+t^{2}}} dt$.
$u = \log (t+\sqrt{1+t^{2}})$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$du = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^{2}}} \cdot \left( 1 + \frac{2t}{2\sqrt{1+t^{2}}} \right) dt = \frac{1}{t+\sqrt{1+t^{2}}} \cdot \left( \frac{\sqrt{1+t^{2}}+t}{\sqrt{1+t^{2}}} \right) dt = \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} dt$.
इसलिए,$I = \int u du = \frac{u^{2}}{2} + C$.
दिए गए समीकरण $I = \frac{1}{2}[g(t)]^{2} + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g(t) = u = \log (t+\sqrt{1+t^{2}})$ प्राप्त होता है।
अब,$t = 2$ रखने पर:
$g(2) = \log (2+\sqrt{1+2^{2}}) = \log (2+\sqrt{5})$.

(D) रेखा $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-3}{4}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0$ है,जहाँ $A+5B+4C=0$ (क्योंकि अभिलंब सदिश रेखा की दिशा $(1, 5, 4)$ के लंबवत है)।
चूंकि बिंदु $(3, 2, 0)$ समतल पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $A(3-1)+B(2-2)+C(0-3)=0$,जो $2A-3C=0$ या $2A=3C$ में सरल होता है।
$A+5B+4C=0$ से,हम $A = \frac{3}{2}C$ प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac{3}{2}C+5B+4C=0 \Rightarrow 5B = -\frac{11}{2}C \Rightarrow B = -\frac{11}{10}C$।
मान लीजिए $C = -10$,तो $A = -15$ और $B = 11$। समतल का समीकरण $-15(x-1)+11(y-2)-10(z-3)=0$ है।
$-15x+15+11y-22-10z+30=0 \Rightarrow -15x+11y-10z+23=0$।
सदिश $(3-1, 2-2, 0-3) = (2, 0, -3)$ और $(1, 5, 4)$ का क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर,अभिलंब सदिश $\vec{n} = 15\hat{i} - 11\hat{j} + 10\hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $15(x-1) - 11(y-2) + 10(z-3) = 0 \Rightarrow 15x - 11y + 10z - 23 = 0$ है।
बिंदु $(0, 7, 10)$ की जांच करने पर: $15(0) - 11(7) + 10(10) - 23 = -77 + 100 - 23 = 0$। अतः,सही उत्तर $(0, 7, 10)$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n = 3$ है।
हम जानते हैं कि $|k \cdot M| = k^n |M|$,जहाँ $M$ एक $n \times n$ आव्यूह है।
दिए गए समीकरण में इस गुणधर्म को लागू करने पर: $|5 \cdot \text{adj } A| = 5^3 |\text{adj } A| = 125 |\text{adj } A|$ प्राप्त होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$ होता है।
$n = 3$ रखने पर,हमें $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $125 |A|^2 = 5$ हो जाता है।
$|A|^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|A| = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}$।

(B) दिया गया वक्र $\sin y = x \sin \left( \frac{\pi}{3} + y \right)$ है।
$x = 0$ पर,$\sin y = 0 \implies y = 0$. अतः बिंदु $(0, 0)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\cos y \frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{\pi}{3} + y \right) + x \cos \left( \frac{\pi}{3} + y \right) \frac{dy}{dx}$.
$(0, 0)$ पर:
$\cos(0) \frac{dy}{dx} = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
$(0, 0)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 0 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$ है।
$\sqrt{3}y = -2x \implies 2x + \sqrt{3}y = 0$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ अंतराल $[-1, 1]$ पर है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है,$(-1, 1)$ पर अवकलनीय है और $f(-1) = f(1)$ है,तो कम से कम एक $c \in (-1, 1)$ ऐसा विद्यमान होगा कि $f'(c) = 0$ हो।
सबसे पहले,$f(-1) = f(1)$ शर्त का उपयोग करते हैं:
$f(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) = 2 + a + b$
$f(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) = -2 + a - b$
$f(1) = f(-1)$ रखने पर:
$2 + a + b = -2 + a - b$
$2b = -4 \implies b = -2$
अब,$c = \frac{1}{2}$ पर $f'(c) = 0$ शर्त का उपयोग करते हैं:
$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2a\left(\frac{1}{2}\right) + b = 0$
$6\left(\frac{1}{4}\right) + a + b = 0$
$\frac{3}{2} + a + b = 0$
$b = -2$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2} + a - 2 = 0$
$a - \frac{1}{2} = 0 \implies a = \frac{1}{2}$
अंत में,$2a + b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2a + b = 2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$

(B) परवलय $y^2 = 2x$ और रेखा $y = 4x - 1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
रेखा के समीकरण $y = 4x - 1$ में $x = \frac{y^2}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 4\left(\frac{y^2}{2}\right) - 1$
$y = 2y^2 - 1$
$2y^2 - y - 1 = 0$
$(2y + 1)(y - 1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = 1$ और $y = -\frac{1}{2}$ पर प्राप्त होते हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष रेखा और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1/2}^{1} \left( \frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{y}{4} - \frac{y^3}{6} \right]_{-1/2}^{1}$
$= \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( \frac{1/4}{8} + \frac{-1/2}{4} - \frac{-1/8}{6} \right)$
$= \left( \frac{3+6-4}{24} \right) - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{8} + \frac{1}{48} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( \frac{3 - 12 + 2}{96} \right)$
$= \frac{5}{24} - \left( -\frac{7}{96} \right) = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।

(D) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
दिया गया है $f(0) = 12$,अतः $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^2}{\sin (x/k) \log (1 + x/4)} = 12$ है।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^2}{\frac{\sin (x/k)}{x} \cdot \frac{\log (1 + x/4)}{x}} = 12$।
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$,$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (ax)}{x} = a$,और $\lim_{x \to 0} \frac{\log (1 + ax)}{x} = a$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1^2}{(1/k) \cdot (1/4)} = 12$।
$\frac{1}{1/(4k)} = 12$।
$4k = 12$।
$k = 3$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+2) \frac{dy}{dx} = x^2+4x-9$.
दाहिनी ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x^2+4x-9 = (x^2+4x+4) - 13 = (x+2)^2 - 13$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+2)^2 - 13}{x+2} = (x+2) - \frac{13}{x+2}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int dy = \int (x+2) dx - 13 \int \frac{1}{x+2} dx$.
$y = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + C$.
दिया गया है $y(0) = 0$,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$0 = \frac{(0+2)^2}{2} - 13 \ln|0+2| + C$.
$0 = 2 - 13 \ln(2) + C \implies C = 13 \ln(2) - 2$.
इस प्रकार,हल $y(x) = \frac{(x+2)^2}{2} - 13 \ln|x+2| + 13 \ln(2) - 2$ है।
अब,$y(-4)$ ज्ञात करते हैं:
$y(-4) = \frac{(-4+2)^2}{2} - 13 \ln|-4+2| + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{(-2)^2}{2} - 13 \ln(2) + 13 \ln(2) - 2$.
$y(-4) = \frac{4}{2} - 2 = 2 - 2 = 0$.

(D) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
हमें प्रायिकता $P(X \geq 1)$ ज्ञात करनी है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = {}^4C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।