$(1 + x)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં ત્રણ ક્રમિક પદોના સહગુણકોનો ગુણોત્તર $1 : 7 : 42$ હોય,તો આ વિસ્તરણમાં આ પદો પૈકીનું પ્રથમ પદ કયું છે ($^{th}$ માં)?

$(x^4 - \frac{1}{x^3})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{32}$ નો સહગુણક શોધો.

જો $(x+y)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $4096$ હોય,તો વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક .... છે.

જો $\left(\frac{1}{x^3} - x^4\right)^n, x \neq 0$ ના વિસ્તરણમાં $x^7$ અને $x^{14}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોય,તો $n$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો $C_j$ એ ${}^nC_j$ દર્શાવતું હોય,તો $\frac{C_1}{C_0} + \frac{2 \times C_2}{C_1} + \frac{3 \times C_3}{C_2} + \ldots + \frac{n \times C_n}{C_{n-1}} = $

ધારો કે $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ અને $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદોના સહગુણકો,જ્યાં $\beta > 0$,અનુક્રમે $A.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો બનાવે છે. જો $d$ એ આ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત હોય,તો $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ ની કિંમત શોધો.