JEE Main 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $n$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $T_n = ^nC_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $T_{n+1} - T_n = 21$ માં સૂત્ર મૂકતા:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 21$.
પાસ્કલના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 21$
$^nC_2 = 21$.
સંયોજનના સૂત્રનો વિસ્તાર કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 21$
$n(n-1) = 42$
$n(n-1) = 7 \times 6$.
આમ,$n = 7$.

(B) ધારો કે પાયાના શિરોબિંદુઓ $A(2a, 0)$ અને $B(0, a)$ છે.
એક બાજુ $x = 2a$ હોવાથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(2a, t)$ પર હશે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે,$AC = BC$ લેતા $t = \frac{5a}{2}$ મળે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{5a^2}{2}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $AB = x$. $D$ માંથી $AB$ પર લંબ $DM$ દોરો. તેથી $DM = BC = p$ અને $MB = CD = q$. આમ,$AM = AB - MB = x - q$.
$\triangle BCD$ માં,$\tan \alpha = \frac{p}{q}$.
$\triangle ADM$ માં,$\angle DAM = \pi - (\theta + \alpha)$.
તેથી,$\tan(\pi - (\theta + \alpha)) = \frac{DM}{AM} = \frac{p}{x - q}$.
આનો અર્થ છે કે $-\tan(\theta + \alpha) = \frac{p}{x - q}$,અથવા $\tan(\theta + \alpha) = \frac{p}{q - x}$.
$q - x = p \cot(\theta + \alpha) = p \left( \frac{\cot \theta \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \cot \theta} \right)$.
$\cot \alpha = \frac{q}{p}$ હોવાથી,$q - x = p \left( \frac{\frac{q}{p} \cot \theta - 1}{\frac{q}{p} + \cot \theta} \right) = p \left( \frac{q \cos \theta - p \sin \theta}{q \sin \theta + p \cos \theta} \right)$.
$x = q - \frac{pq \cos \theta - p^2 \sin \theta}{q \sin \theta + p \cos \theta} = \frac{(p^2 + q^2) \sin \theta}{p \cos \theta + q \sin \theta}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A}$
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ અને $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ મૂકતા:
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A}}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A - \sin A)}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} - \frac{\cos^2 A}{\sin A(\sin A - \cos A)}$
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left( \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A} \right)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{(\sin A - \cos A)(\sin A \cos A)}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A} + 1 = \sec A \csc A + 1$

(C) આપેલ છે કે $|z| = 1$ અને $\text{arg}(z) = \theta$,તેથી આપણે $z = e^{i\theta}$ લખી શકીએ.
$|z| = 1$ હોવાથી,$\bar{z} = \frac{1}{z}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1+z}{1+\bar{z}} = \frac{1+z}{1+\frac{1}{z}} = \frac{1+z}{\frac{z+1}{z}} = z$.
તેથી,$\text{arg}\left( \frac{1+z}{1+\bar{z}} \right) = \text{arg}(z) = \theta$.

(B) $n$-બાજુવાળા બહુકોણના શિરોબિંદુઓને જોડીને બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $T_n = ^nC_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $T_{n+1} - T_n = 10$ મુજબ:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 10$
સંયોજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$. તેથી:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 10$
$^nC_2 = 10$
સંયોજનના સૂત્રને વિસ્તૃત કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n(n-1) = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n-5)(n+4) = 0$
$n$ એ બાજુઓની સંખ્યા હોવાથી તે ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 5$ (કારણ કે $n \neq -4$).

(C) કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1+x^{-1/2}$
હવે,પદાવલિ $(x^{1/3}-x^{-1/2})^{10}$ બને છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = ^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 4$
$r=4$ મૂકતા:
$T_{5} = ^{10}C_4 = 210$

(C) ધારો કે $S_{20} = 0.7 + 0.77 + 0.777 + \dots$ $20$ પદો સુધી.
$S_{20} = 7[0.1 + 0.11 + 0.111 + \dots \text{ } 20 \text{ પદો સુધી}]$.
$9$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S_{20} = \frac{7}{9}[0.9 + 0.99 + 0.999 + \dots \text{ } 20 \text{ પદો સુધી}]$.
$S_{20} = \frac{7}{9}[(1 - 10^{-1}) + (1 - 10^{-2}) + (1 - 10^{-3}) + \dots + (1 - 10^{-20})]$.
$S_{20} = \frac{7}{9}[20 - (10^{-1} + 10^{-2} + \dots + 10^{-20})]$.
કૌંસમાં રહેલી ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{0.1(1 - 10^{-20})}{0.9} = \frac{1}{9}(1 - 10^{-20})$ થાય.
$S_{20} = \frac{7}{9}[20 - \frac{1}{9}(1 - 10^{-20})] = \frac{7}{9}[\frac{180 - 1 + 10^{-20}}{9}] = \frac{7}{81}(179 + 10^{-20})$.

(B) આપાત કિરણનું સમીકરણ $x + \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ છે.
$x$-અક્ષ પર આપાત બિંદુ $A$ શોધો ($y=0$ મૂકતા): $x + \sqrt{3}(0) = \sqrt{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$. તેથી,$A = (\sqrt{3}, 0)$.
આપાત કિરણ પર એક બિંદુ $B$ લો,દા.ત.,$x=0$ $\Rightarrow \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ $\Rightarrow y=1$. તેથી,$B = (0, 1)$.
પરાવર્તિત કિરણ $A(\sqrt{3}, 0)$ અને $x$-અક્ષની સાપેક્ષે $B(0, 1)$ નું પ્રતિબિંબ $B'(0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.
પરાવર્તિત કિરણ $AB'$ નો ઢાળ $m = \frac{-1 - 0}{0 - \sqrt{3}} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \sqrt{3})$ છે.
$\sqrt{3}y = x - \sqrt{3}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $M_1(0,1), M_2(1,1), M_3(1,0)$ આપેલા છે.
મૂળ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $B(0,0), A(2,0), C(0,2)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ $c = AB = 2$,$a = BC = 2$,અને $b = AC = 2\sqrt{2}$ છે.
અંતઃકેન્દ્રનો $x-$ યામ $I_x = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_x = \frac{2(2) + 2\sqrt{2}(0) + 2(0)}{2 + 2\sqrt{2} + 2} = \frac{4}{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $I_x = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = 2 - \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-0)^2 + \lambda y = 0$ છે.
તે $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$(1-3)^2 + (-2)^2 + \lambda(-2) = 0$
$4 + 4 - 2\lambda = 0$
$8 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 4$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + y^2 + 4y = 0$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(5, -2)$ માટે: $(5-3)^2 + (-2)^2 + 4(-2) = 2^2 + 4 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.
તેથી,વર્તુળ $(5, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે અને તે $(\sqrt{7}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r^2 = (\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 7 + 9 = 16$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 16$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 6y + 9 = 16$ અથવા $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ થાય.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{5}{2}}$.
પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4\sqrt{5}x$ છે,તેથી $a = \sqrt{5}$.
રેખા $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{\sqrt{5}}{m}$ એ પરવલયનો સ્પર્શક છે.
આ રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક બને તે માટે,કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|\frac{\sqrt{5}}{m}|}{\sqrt{1 + m^2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$
$\frac{5}{m^2(1 + m^2)} = \frac{5}{2}$
$m^2(1 + m^2) = 2$
$m^4 + m^2 - 2 = 0$
$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$
$m$ વાસ્તવિક હોવાથી,$m^2 = 1$,તેથી $m = \pm 1$.
$m = 1$ માટે,સ્પર્શક $y = x + \sqrt{5}$ છે. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
તારવેલી શરત $m^4 + m^2 - 2 = 0$ છે. વિધાન-$2$ માં $m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ આપેલ છે,જે ખોટું છે. તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(D) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {3 + \cos x} \right)}}{{x\tan 4x}}$
નિત્યસમ $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin^2 x(3 + \cos x)}}{{x \tan 4x}}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરવા માટે $x$ અને $4x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{x^2}{x \cdot \frac{\tan 4x}{4x} \cdot 4x} \cdot (3 + \cos x) \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot \frac{\tan 4x}{4x}} \cdot (3 + \cos x) \right)$
$x = 0$ મૂકતા:
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot 1} \cdot (3 + \cos 0)$
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + 1) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 2$

(D) ધારો કે મૂળ ગુણ $x_i$ છે અને નવા ગુણ $y_i = x_i + 10$ છે.
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક જેવા મધ્યવર્તી સ્થિતિના માપો ઉગમબિંદુના ફેરફાર (અચળાંક ઉમેરવાથી) થી પ્રભાવિત થાય છે.
જો દરેક અવલોકનમાં $c$ ઉમેરવામાં આવે,તો મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક પણ $c$ જેટલા વધે છે.
જોકે,વિચરણ અને પ્રમાણિત વિચલન જેવા પ્રસારના માપો ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે.
વિચરણની વ્યાખ્યા $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2$ છે.
નવા ગુણ $y_i$ માટે,વિચરણ $\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \overline{y})^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i + 10) - (\overline{x} + 10))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2 = \sigma_x^2$ થાય છે.
આમ,વિચરણ બદલાતું નથી.

(D) ધારો કે $f(x) = 2x^2 + 3x + k$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = 0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(k) = 9 - 8k > 0 \implies k < \frac{9}{8}$.
બીજ અંતરાલ $[0, 1]$ માં હોવા માટે,પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{4}$ એ $[0, 1]$ માં હોવું જોઈએ.
કારણ કે $-\frac{3}{4}$ એ $[0, 1]$ માં નથી,તેથી બંને બીજ અંતરાલ $[0, 1]$ માં હોવા અશક્ય છે.
આમ,આવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $k$ અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2x + 3 = 0$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$ મળે છે.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,બીજ કાલ્પનિક છે.
જો બે દ્વિઘાત સમીકરણોના સહગુણકો વાસ્તવિક હોય અને તેમને એક સામાન્ય બીજ હોય,તો બંને બીજ સમાન હોય.
તેથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હોય:
$\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k$
આથી $a = k, b = 2k, c = 3k$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $a:b:c = 1:2:3$ થાય.

(D) વિધાન-$2$: $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim q \rightarrow \sim p)$
કારણ કે $(\sim q \rightarrow \sim p)$ એ $(p \rightarrow q)$ નો પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) છે,તેથી તેઓ સમાન સત્ય મૂલ્યો ધરાવે છે.
આમ,$(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)$ હંમેશા સત્ય છે,જેનો અર્થ છે કે તે નિત્યસત્ય છે.
તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$1$: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$= (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$
$= F \wedge F = F$
પરિણામ હંમેશા ખોટું હોવાથી,તે વિરોધાભાસ છે.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
બંને વિધાનો સાચા છે,અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સમજૂતી નથી.

(A) ધારો કે $P(P), P(Q), P(R)$ એ $P, Q, R$ દ્વારા લક્ષ્ય વીંધવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(P) = \frac{3}{4}, P(Q) = \frac{1}{2}, P(R) = \frac{5}{8}$.
લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવનાઓ $P(P') = \frac{1}{4}, P(Q') = \frac{1}{2}$ અને $P(R') = \frac{3}{8}$ છે.
લક્ષ્ય $P$ અથવા $Q$ દ્વારા વીંધાય પરંતુ $R$ દ્વારા નહીં તેની ઘટના $(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$.
$= (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8})$.
$= \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(D) ધારો કે $\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}} = ki$,જ્યાં $k \in \mathbb{R}$ અને $k \ne 0$.
તેથી,$\left| {\frac{{2{Z_1} + 3{Z_2}}}{{2{Z_1} - 3{Z_2}}}} \right| = \left| {\frac{{{Z_1}(2 + 3\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}})}}{{{Z_1}(2 - 3\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}})}}} \right| = \left| {\frac{{2 + 3ki}}{{2 - 3ki}}} \right|$.
કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z$ માટે,$|z| = |\bar{z}|$ હોવાથી:
$\left| {\frac{{2 + 3ki}}{{2 - 3ki}}} \right| = \frac{{|2 + 3ki|}}{{|2 - 3ki|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{(3k)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3k)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {4 + 9{k^2}} }}{{\sqrt {4 + 9{k^2}} }} = 1$.

(D) બે રેખાઓ $5x + 8y = 13$ અને $4x - y = 3$ નું છેદબિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
$4x - y = 3$ પરથી $y = 4x - 3$ મળે. પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $5x + 8(4x - 3) = 13$ $\Rightarrow 37x = 37$ $\Rightarrow x = 1$. તેથી $y = 1$. કેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.
વર્તુળનું વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
અહીં,$-g = a^2 - 7a + 11 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 7a + 10 = 0$ $\Rightarrow a = 2, 5$.
અને $-f = a^2 - 6a + 6 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 6a + 5 = 0$ $\Rightarrow a = 1, 5$.
બંને શરતો માટે $a = 5$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 - b^3$ થાય.
વાસ્તવિક વર્તુળ માટે,ત્રિજ્યાનો વર્ગ ધન હોવો જોઈએ: $1 - b^3 > 0 \Rightarrow b < 1$.

(B) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^3}{q^3}$,તેથી $\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p^2}{q^2}$ મળે.
$p=1, q=2$ લેતા,$\frac{a_1}{a_1+a_2} = \frac{1}{8} \Rightarrow d = 6a_1$ મળે.
તેથી $\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d} = \frac{a_1 + 30a_1}{a_1 + 120a_1} = \frac{31}{121}$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 - (a + 1)x + a^2 + a - 8$.
એક બીજ $2$ થી નાનું અને બીજું $2$ થી મોટું હોવાથી,$x = 2$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(2) < 0$.
$f(2) = (2)^2 - (a + 1)(2) + a^2 + a - 8 < 0$
$4 - 2a - 2 + a^2 + a - 8 < 0$
$a^2 - a - 6 < 0$
$(a - 3)(a + 2) < 0$
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $-2 < a < 3$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x^2 = 8y \quad (i)$
$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1 \quad (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{8y}{3} + y^2 = 1$
$3y^2 + 8y - 3 = 0$
$(3y - 1)(y + 3) = 0$
તેથી,$y = \frac{1}{3}$ અથવા $y = -3$.
$x^2 = 8y$ હોવાથી,$y$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $y = -3$ શક્ય નથી.
$y = \frac{1}{3}$ માટે,$x^2 = \frac{8}{3}$,તેથી $x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
છેદબિંદુઓ $(\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{1}{3})$ અને $(-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{1}{3})$ છે.
આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $y = \frac{1}{3}$ છે,એટલે કે $3y - 1 = 0$.

(C) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + r} = \frac{1}{\frac{r(r+1)}{2}} = \frac{2}{r(r+1)}$ છે.
$10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 2 \sum_{r=1}^{10} \frac{1}{r(r+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}$.
તેથી,$S_{10} = 2 \sum_{r=1}^{10} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $S_{10} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11}) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S_{10} = 2 \left( 1 - \frac{1}{11} \right) = 2 \left( \frac{10}{11} \right) = \frac{20}{11}$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{(2c)^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ છે. શિરોબિંદુઓ $(\pm 2c, 0)$ અને $(0, \pm c)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = (3a)^2$ છે. ત્રિજ્યા $3a$ છે.
વર્તુળ અને ઉપવલયને ચાર ભિન્ન છેદબિંદુઓ હોય તે માટે,વર્તુળની ત્રિજ્યા ઉપવલયની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ કરતા મોટી અને અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ કરતા નાની હોવી જોઈએ.
તેથી,$c < 3a < 2c$.
$3a < 2c$ પરથી,$9a^2 < 4c^2$ મળે,જેનો અર્થ છે $9a^2 - 4c^2 < 0$.
$c < 3a$ પરથી,$c^2 < 9a^2$ મળે,જેનો અર્થ છે $9a^2 - c^2 > 0$.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y^2 = 9a^2 - x^2$ મૂકતા: $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{9a^2 - x^2}{c^2} = 1$.
$x^2 + 4(9a^2 - x^2) = 4c^2$ $\Rightarrow x^2 + 36a^2 - 4x^2 = 4c^2$ $\Rightarrow 3x^2 = 36a^2 - 4c^2$ $\Rightarrow x^2 = 12a^2 - \frac{4}{3}c^2$.
$x^2$ ના બે ભિન્ન મૂલ્યો માટે (જે ચાર બિંદુઓ આપે છે),આપણને $0 < x^2 < 9a^2$ ની જરૂર છે.
$0 < 12a^2 - \frac{4}{3}c^2 < 9a^2$.
$12a^2 - \frac{4}{3}c^2 > 0$ $\Rightarrow 36a^2 > 4c^2$ $\Rightarrow 9a^2 > c^2$ $\Rightarrow 3a > c$.
$12a^2 - \frac{4}{3}c^2 < 9a^2$ $\Rightarrow 3a^2 < \frac{4}{3}c^2$ $\Rightarrow 9a^2 < 4c^2$ $\Rightarrow 3a < 2c$.
આ બંનેને જોડતા,$c < 3a < 2c$ મળે છે. શરત $9ac - 9a^2 - 2c^2 > 0$ છેદબિંદુઓના વિશ્લેષણ પરથી તારવવામાં આવી છે.

(D) ધારો કે $Q$ નો એબ્સિસિસા $x$ છે.
$Q$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેના યામ $Q(x, 0)$ છે.
ધારો કે પરાવર્તિત કિરણ ધન $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
પરાવર્તિત કિરણ $QR$ નો ઢાળ $\tan \theta = \frac{7 - 0}{6 - x} = \frac{7}{6 - x}$ છે.
આપાત કિરણ $PQ$ ધન $x$-અક્ષ સાથે $(180^\circ - \theta)$ ખૂણો બનાવે છે.
આપાત કિરણ $PQ$ નો ઢાળ $\tan(180^\circ - \theta) = \frac{3 - 0}{1 - x} = \frac{3}{1 - x}$ છે.
કારણ કે $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta$,તેથી:
$\frac{3}{1 - x} = -\left(\frac{7}{6 - x}\right)$
$3(6 - x) = -7(1 - x)$
$18 - 3x = -7 + 7x$
$25 = 10x$
$x = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

(A) આપેલ છે કે,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 20$ અને ખોટો મધ્યક $\bar{x}_{incorrect} = 40$ છે.
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો $= n \times \bar{x}_{incorrect} = 20 \times 40 = 800$.
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો $= \text{ખોટો સરવાળો} - \text{ખોટી કિંમત} + \text{સાચી કિંમત} = 800 - 33 + 53 = 820$.
સાચો મધ્યક $= \frac{\text{સાચો સરવાળો}}{n} = \frac{820}{20} = 41$.

(A) ત્રણ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \frac{1}{3}$,$m_2 = -\frac{a}{2}$ અને $m_3 = -a$ છે.
રેખાઓ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે તે માટે,કોઈપણ બે લંબ રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $m_1 \times m_2 = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \times (-\frac{a}{2}) = -1$ $\Rightarrow a = 6$.
કિસ્સો $2$: $m_1 \times m_3 = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \times (-a) = -1$ $\Rightarrow a = 3$.
કિસ્સો $3$: $m_2 \times m_3 = -1$ $\Rightarrow (-\frac{a}{2}) \times (-a) = -1$ $\Rightarrow \frac{a^2}{2} = -1$ (કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
આમ,$a = 6$ અથવા $a = 3$ શક્ય મૂલ્યો છે.
વિકલ્પો ચકાસતા: $a = 6$ અને $a = 3$ માટે $a^2 - 9a + 18 = 0$ સમીકરણનું સમાધાન થાય છે.

(D) $(x^2 + \frac{2}{x})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{15}C_r (x^2)^{15-r} (2x^{-1})^r = ^{15}C_r \cdot 2^r \cdot x^{30-3r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ લેતા:
$30 - 3r = 0 \Rightarrow r = 10$.
તેથી,સ્વતંત્ર પદ $T_{11} = ^{15}C_{10} \cdot 2^{10}$ છે.
$x^{15}$ ના સહગુણક માટે,$x$ નો ઘાતાંક $15$ લેતા:
$30 - 3r = 15$ $\Rightarrow 3r = 15$ $\Rightarrow r = 5$.
તેથી,$x^{15}$ નો સહગુણક $^{15}C_5 \cdot 2^5$ છે.
માગેલ ગુણોત્તર $\frac{^{15}C_5 \cdot 2^5}{^{15}C_{10} \cdot 2^{10}}$ છે.
કારણ કે $^{15}C_5 = ^{15}C_{10}$,ગુણોત્તર $\frac{2^5}{2^{10}} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$ એટલે કે $1:32$ થાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{4} = \tan^{-1}(1)$.
ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\left[ {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}} \right) - {{\tan }^{ - 1}}(1)} \right]$.
સૂત્ર $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \tan^{-1}\left( \frac{\frac{x+1}{2x+1} - 1}{1 + \frac{x+1}{2x+1}} \right)$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \tan^{-1}\left( \frac{x+1 - 2x - 1}{2x+1 + x+1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \tan^{-1}\left( \frac{-x}{3x+2} \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan^{-1}(\theta)}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\tan^{-1}\left( \frac{-x}{3x+2} \right)}{\frac{-x}{3x+2}} \right) \times \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{-x}{3x+2} \right)$
$L = 1 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{-1}{3x+2} \right) = -\frac{1}{2}$.

(C) વિધાન $-1$ માટે:
$A \to (B \to A) \equiv \sim A \vee (\sim B \vee A) \equiv (\sim A \vee A) \vee \sim B \equiv T \vee \sim B \equiv T$.
$A \to (A \vee B) \equiv \sim A \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$.
બંને $T$ (નિત્યસત્ય) ને સમતુલ્ય હોવાથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ માટે:
ધારો કે $P = (A \wedge B) \to (\sim A \vee B)$.
જો $A=T, B=T$ હોય,તો $P = (T \wedge T) \to (F \vee T) = T \to T = T$.
તેથી $\sim P = \sim T = F$.
આ વિધાન તમામ સત્યતા મૂલ્યો માટે સાચું ન હોવાથી,તે નિત્યસત્ય નથી. તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(B) આપણે $2$ મહિલાઓ $(L)$,$2$ વૃદ્ધ પુરુષો $(O)$ અને $4$ યુવાન પુરુષો $(Y)$ માંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે,જેમાં શરતો છે: $L \ge 1$,$O \ge 1$,અને $Y \le 2$.
$4$ નો સરવાળો કરતા શક્ય સંયોજનો $(L, O, Y)$ નીચે મુજબ છે:
$1. (1, 1, 2) \implies ^2C_1 \times ^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 2 \times 6 = 24$
$2. (1, 2, 1) \implies ^2C_1 \times ^2C_2 \times ^4C_1 = 2 \times 1 \times 4 = 8$
$3. (2, 1, 1) \implies ^2C_2 \times ^2C_1 \times ^4C_1 = 1 \times 2 \times 4 = 8$
$4. (2, 2, 0) \implies ^2C_2 \times ^2C_2 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 24 + 8 + 8 + 1 = 41$.

(C) ધારો કે $8$ પ્રશ્નોને ફાળવેલ ગુણ $x_1, x_2, \dots, x_8$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $x_1 + x_2 + \dots + x_8 = 30$,જ્યાં દરેક $i = 1, 2, \dots, 8$ માટે $x_i \ge 2$ છે.
ધારો કે $x_i = y_i + 2$,જ્યાં $y_i \ge 0$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + \dots + (y_8 + 2) = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 + 16 = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 = 14$.
આ સમીકરણના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર $^{n+r-1}C_{r-1}$ છે,જ્યાં $n=14$ અને $r=8$.
રીતોની સંખ્યા $= ^{14+8-1}C_{8-1} = ^{21}C_7$.

(B) પ્રથમ $A.P.$ માટે,$S_n = 3n^2 + 2n$.
પ્રથમ પદ $a = S_1 = 3(1)^2 + 2(1) = 5$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $S_2 = 3(2)^2 + 2(2) = 12 + 4 = 16$.
બીજું પદ $a_2 = S_2 - S_1 = 16 - 5 = 11$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a = 11 - 5 = 6$.
નવા $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a' = a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d' = 2d = 2(6) = 12$.
નવા $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n' = \frac{n}{2} [2a' + (n - 1)d']$ છે.
$S_n' = \frac{n}{2} [2(5) + (n - 1)12] = \frac{n}{2} [10 + 12n - 12] = \frac{n}{2} [12n - 2] = 6n^2 - n$.

(A) ધારો કે $5$મું અવલોકન $x$ છે.
આપેલ મધ્યક $= 7$.
$\therefore 7 = \frac{6 + 7 + 8 + 10 + x}{5}$
$35 = 31 + x$
$x = 4$.
અવલોકનો $6, 7, 8, 10, 4$ છે.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$
$\sigma^2 = \frac{(6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2 + (4-7)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2 + (-3)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{1 + 0 + 1 + 9 + 9}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(D) આપેલ રેખા $3x + 4y = 12$ છે.
$12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ મળે છે.
આમ,$x-$અંતઃખંડ $4$ છે અને $y-$અંતઃખંડ $3$ છે.
ધારો કે રેખા $L$ નો $x-$અંતઃખંડ $a$ અને $y-$અંતઃખંડ $b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$a = 2 \times 4 = 8$ અને $b = \frac{3}{2}$.
રેખા $L$ નું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જે $\frac{x}{8} + \frac{y}{3/2} = 1$ થાય છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x}{8} + \frac{2y}{3} = 1$ થાય છે.
$24$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 16y = 24$ મળે છે.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં લખતા,$16y = -3x + 24$,એટલે કે $y = -\frac{3}{16}x + \frac{24}{16}$.
તેથી,$L$ નો ઢાળ $-\frac{3}{16}$ છે.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n$ આ મુજબ છે:
$T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2} = \frac{2n + 1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n$:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$
$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{6n}{n+1}$
$n = 11$ માટે:
$S_{11} = \frac{6 \times 11}{11 + 1} = \frac{66}{12} = \frac{11}{2}$

(C) આપેલ સમીકરણ $z + \sqrt{2} |z + 1| + i = 0$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$(x + iy) + \sqrt{2} |x + iy + 1| + i = 0$
$(x + iy) + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} + i = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $x + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = 0$
કાલ્પનિક ભાગ: $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$
$y = -1$ ની કિંમત વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + (-1)^2} = 0$
$x + \sqrt{2} \sqrt{x^2 + 2x + 2} = 0$
$\sqrt{2} \sqrt{x^2 + 2x + 2} = -x$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$2(x^2 + 2x + 2) = x^2$
$2x^2 + 4x + 4 = x^2$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$
આમ,$z = -2 - i$.
માનાંક $|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ છે.
$7^{th}$ પદ માટે,$r+1 = 7 \Rightarrow r = 6$.
અહીં,$n = 9$,$a = \frac{3}{\sqrt[3]{84}}$,અને $b = \sqrt{3} \ln x$.
$T_7 = ^9C_6 \left( \frac{3}{\sqrt[3]{84}} \right)^{9-6} (\sqrt{3} \ln x)^6 = 729$.
$^9C_6 = ^9C_3 = 84$.
$T_7 = 84 \times \left( \frac{3}{\sqrt[3]{84}} \right)^3 \times (\sqrt{3})^6 \times (\ln x)^6 = 729$.
$T_7 = 84 \times \frac{27}{84} \times 27 \times (\ln x)^6 = 729$.
$729 \times (\ln x)^6 = 729$.
$(\ln x)^6 = 1$.
$x > 0$ હોવાથી,$\ln x = 1$ અથવા $\ln x = -1$.
તેથી,$x = e$ અથવા $x = \frac{1}{e}$.

(B) વિધાન $-2$ માટે: પરવલય $y^2 = -2x$ છે,તેથી $4a = -2$,જેનો અર્થ છે કે $a = -1/2$. રેખા $y = mx + c$ એ $y^2 = 4ax$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = a/m$ છે. અહીં,$c = (-1/2)/m = -1/(2m)$. સ્પર્શબિંદુ $(a/m^2, 2a/m) = (-1/(2m^2), -1/m)$ છે. આમ,વિધાન $-2$ સત્ય છે.
વિધાન $-1$ માટે: રેખા $x = 2y + 2$ છે. $y^2 + 2x = 0$ માં મૂકતા,આપણને $y^2 + 2(2y + 2) = 0$ મળે છે,જે $y^2 + 4y + 4 = 0$ અથવા $(y + 2)^2 = 0$ માં પરિણમે છે. આનાથી $y = -2$ મળે છે. $y = -2$ ને $x = 2y + 2$ માં મૂકતા,આપણને $x = 2(-2) + 2 = -2$ મળે છે. આમ,રેખા પરવલયને માત્ર $(-2, -2)$ બિંદુએ મળે છે. આ વિધાન $-2$ સાથે સુસંગત છે. તેથી,વિધાન $-1$ સત્ય છે અને વિધાન $-2$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે આપેલ વર્તુળ $S_1: x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $A(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $B(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $O(1, -1)$ છે. વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો $A, O, B$ સમરેખ છે અને $O$ એ $AB$ નું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r_2 = 5$ મળે છે.

(B) આપણે આપેલ વિધાન અને વિકલ્પો માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ. વિધાન $p \to (q \to p)$ એ $\neg p \vee (\neg q \vee p)$ ને સમકક્ષ છે,જેનું સાદું રૂપ $(\neg p \vee p) \vee \neg q$ થાય છે,જે $T \vee \neg q = T$ (નિત્યસત્ય) છે.
વિકલ્પ $B$ તપાસતા: $p \to (p \vee q)$ એ $\neg p \vee (p \vee q)$ ને સમકક્ષ છે,જેનું સાદું રૂપ $(\neg p \vee p) \vee q$ થાય છે,જે $T \vee q = T$ (નિત્યસત્ય) છે.
બંને વિધાનો નિત્યસત્ય હોવાથી,તેઓ તાર્કિક રીતે સમકક્ષ છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $A(-a, 0)$ અને $B(a, 0)$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $2a$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,ત્રીજા શિરોબિંદુ $C$ નો $x$-યામ $AB$ નું મધ્યબિંદુ એટલે કે $0$ થશે.
$2a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2a) = \sqrt{3}a$ છે.
$C$ એ $x$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,તેના યામ $C(0, \sqrt{3}a)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ધારો.
$A(-a, 0)$ અને $B(a, 0)$ વર્તુળ પર હોવાથી:
$a^2 - 2ga + c = 0$ અને $a^2 + 2ga + c = 0$.
બંનેની બાદબાકી કરતા $4ga = 0$,તેથી $g = 0$.
તેથી $a^2 + c = 0$,એટલે કે $c = -a^2$.
$C(0, \sqrt{3}a)$ વર્તુળ પર હોવાથી:
$0^2 + (\sqrt{3}a)^2 + 2f(\sqrt{3}a) - a^2 = 0$
$3a^2 + 2\sqrt{3}af - a^2 = 0$
$2a^2 + 2\sqrt{3}af = 0$
$f = -\frac{a^2}{\sqrt{3}a} = -\frac{a}{\sqrt{3}}$.
સમીકરણ $x^2 + y^2 - \frac{2a}{\sqrt{3}}y - a^2 = 0$ મળે.
$3$ વડે ગુણતા,$3x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{3}ay - 3a^2 = 0$,અથવા $3x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{3}ay = 3a^2$ મળે.

(C) આપેલ ઉપવલયોના સમીકરણો:
$E_1: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$
અહીં,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 2$. ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$E_2: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
ધારો કે $16 > b^2$,તો ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}} = \frac{\sqrt{16 - b^2}}{4}$.
આપેલ છે કે $e_1 \times e_2 = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{16 - b^2}}{4} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{16 - b^2} = 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$
$16 - b^2 = 12$ $\Rightarrow b^2 = 4$ $\Rightarrow b = 2$.
$E_2$ ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \times 2 = 4$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + \frac{3p}{4} = 0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = \frac{3p}{4}$ મળે.
આપેલ છે કે $|\alpha - \beta| = \sqrt{10}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $(\alpha - \beta)^2 = 10$ મળે.
નિત્યસમ $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(-p)^2 - 4 \left( \frac{3p}{4} \right) = 10$.
આથી $p^2 - 3p = 10$,અથવા $p^2 - 3p - 10 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા,$(p - 5)(p + 2) = 0$ મળે.
તેથી,$p = 5$ અથવા $p = -2$.
આમ,$p \in \{-2, 5\}$.

(B) વિધાન $-1$ માટે: $2\sin^2\theta - \cos 2\theta = 0$ ઉકેલો.
$2\sin^2\theta - (1 - 2\sin^2\theta) = 0$ $\Rightarrow 4\sin^2\theta = 1$ $\Rightarrow \sin\theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\theta \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}$.
$2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ ઉકેલો.
$2(1 - \sin^2\theta) - 3\sin\theta = 0 \Rightarrow 2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 = 0$.
$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 2) = 0$.
કારણ કે $\sin\theta = -2$ શક્ય નથી,$\sin\theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.
સામાન્ય ઉકેલો $\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$ છે,તેથી વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ માટે: $[0, \pi]$ માં $2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ ઉકેલો.
ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ,$\sin\theta = \frac{1}{2}$ થી $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ મળે છે. બંને $[0, \pi]$ માં છે.
આમ,વિધાન $-2$ સાચું છે. જોકે,વિધાન $-2$ એ એક સમીકરણનો ઉકેલ દર્શાવે છે,જે એ સમજાવતું નથી કે બંને સમીકરણોના સામાન્ય ઉકેલો બે શા માટે છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ સાચી સમજૂતી નથી.

(B) આપેલ વક્રો $C_1: \frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{4} = 1$ અને $C_2: y^3 = 16x$ છે.
$C_1$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{\alpha} + \frac{2y}{4} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{\alpha y} = m_1$.
$C_2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2} = m_2$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા: $\left( -\frac{4x}{\alpha y} \right) \cdot \left( \frac{16}{3y^2} \right) = -1$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $\frac{64x}{3\alpha y^3} = 1 \Rightarrow 3\alpha y^3 = 64x$ મળે.
સમીકરણમાં $y^3 = 16x$ મૂકતા: $3\alpha (16x) = 64x$.
જો $x \neq 0$ હોય,તો $48\alpha = 64 \Rightarrow \alpha = \frac{64}{48} = \frac{4}{3}$.

(A) દરેક વિકલ્પ માટે ઉદાહરણો ચકાસતા:
વિકલ્પ $(D)$ માટે,$Q \to P$: ધારો કે $m = 8$ અને $n = 4$. $n^2 = 16$. $8$ એ $16$ ને ભાગે છે,તેથી $Q$ સત્ય છે. પરંતુ $8$ એ $4$ ને ભાગતું નથી,તેથી $P$ અસત્ય છે. આમ,$Q \to P$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$Q \to R$: ધારો કે $m = 12$ અને $n = 6$. $n^2 = 36$. $12$ એ $36$ ને ભાગે છે,તેથી $Q$ સત્ય છે. પરંતુ $12$ અવિભાજ્ય નથી,તેથી $R$ અસત્ય છે. આમ,$Q \to R$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$P \wedge Q \to R$: ધારો કે $m = 4$ અને $n = 8$. $P$ સત્ય છે ($4$ એ $8$ ને ભાગે છે) અને $Q$ સત્ય છે ($4$ એ $64$ ને ભાગે છે). પરંતુ $m = 4$ અવિભાજ્ય નથી,તેથી $R$ અસત્ય છે. આમ,$P \wedge Q \to R$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$Q \wedge R \to P$: જો $m$ અવિભાજ્ય હોય $(R)$ અને $m$ એ $n^2$ ને ભાગતું હોય $(Q)$,તો યુક્લિડના પ્રમેય મુજબ,$m$ એ $n$ ને ભાગશે જ $(P)$. તેથી,$Q \wedge R \to P$ સત્ય છે.

(D) $(2^{1/2} + 3^{1/5})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^{10}C_r (2)^{(10-r)/2} (3)^{r/5}$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
તેથી,$(10-r)/2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
વળી,$r/5$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 10$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $10$ છે.
$r = 0$ માટે,$T_1 = ^{10}C_0 (2)^5 (3)^0 = 32$.
$r = 10$ માટે,$T_{11} = ^{10}C_{10} (2)^0 (3)^2 = 9$.
સંમેય પદોનો સરવાળો $32 + 9 = 41$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2y = x + z$ ....$(1)$
કારણ કે $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$.
$\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા,$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.
$(1)$ પરથી $x+z = 2y$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $2y = 0$ (જે $x=y=z=0$ તરફ દોરી જાય છે) અથવા $\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{1-xz}$,જેનો અર્થ છે $y^2 = xz$.
જો $x, y, z$ એ $A.P.$ અને $G.P.$ બંનેમાં હોય,તો $x = y = z$.

(C) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}$ અને $\frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોય,એટલે કે $[(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1), (l_1, m_1, n_1), (l_2, m_2, n_2)] = 0$.
આપેલ બિંદુઓ $P_1(2, 3, 4)$ અને $P_2(1, 4, 5)$ છે. સદિશ $\vec{P_1P_2} = (1-2, 4-3, 5-4) = (-1, 1, 1)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (1, 1, -k)$ અને $\vec{v_2} = (k, 2, 1)$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત:
$\left| \begin{matrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
$\left| \begin{matrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 1(2 - k) = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
આમ,$k = 0$ અથવા $k = -3$. તેથી $k$ ની બરાબર બે કિંમતો મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \sqrt{\tan x}}$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \sqrt{\tan(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} - x)}} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \sqrt{\tan(\frac{\pi}{2} - x)}} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \sqrt{\cot x}}$.
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \frac{1}{\sqrt{\tan x}}} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x} + 1} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{1}{1 + \sqrt{\tan x}} + \frac{\sqrt{\tan x}}{1 + \sqrt{\tan x}} \right) dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} 1 dx = [x]_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$I = \frac{\pi}{12}$.
વિધાન $-1$ માં મૂલ્ય $\frac{\pi}{6}$ આપેલ છે,જે ખોટું છે. વિધાન $-2$ એ નિશ્ચિત સંકલનનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે,જે સાચું છે.

(A) આપેલ વક્રો $y = \sqrt{x} \implies x = y^2$ $(1)$ અને $2y - x + 3 = 0 \implies x = 2y + 3$ $(2)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = y^2$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$2y - y^2 + 3 = 0 \implies y^2 - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0$.
પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,આપણે $y = 3$ લઈએ છીએ. $y = 3$ પર,$x = 9$ મળે છે.
આ પ્રદેશ $X$-અક્ષ $(y=0)$,વક્ર $x = y^2$ ($y=0$ થી $y=3$ સુધી) અને રેખા $x = 2y+3$ ($y=0$ થી $y=3$ સુધી) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{3} (x_{line} - x_{curve}) \, dy = \int_{0}^{3} ((2y + 3) - y^2) \, dy$ દ્વારા મળે છે.
$= [y^2 + 3y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + 3(3) - \frac{3^3}{3}) - (0) = 9 + 9 - 9 = 9$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ છે કે $A^2 = I$. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\det(A^2) = \det(I) = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\det(A^2) = (\det(A))^2$,તેથી $(\det(A))^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\det(A) = 1$ અથવા $\det(A) = -1$.
જો $\det(A) = 1$ હોય,તો લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - tr(A)\lambda + 1 = 0$ છે. $A^2 = I$ હોવાથી,આયગન કિંમતો $\pm 1$ છે. જો $\det(A) = 1$ હોય,તો આયગન કિંમતો $(1, 1)$ અથવા $(-1, -1)$ હોય.
જો આયગન કિંમતો $(1, 1)$ હોય,તો $A = I$. જો આયગન કિંમતો $(-1, -1)$ હોય,તો $A = -I$.
આમ,જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $\det(A) = -1$ હોવું જ જોઈએ. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે,જો $A^2 = I$ હોય,તો આયગન કિંમતો $\lambda_1, \lambda_2 \in \{1, -1\}$ છે.
જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો આયગન કિંમતો $1$ અને $-1$ હોવી જોઈએ.
$A$ નો ટ્રેસ એ આયગન કિંમતોનો સરવાળો છે,તેથી $tr(A) = 1 + (-1) = 0$.
તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે કારણ કે આ કિસ્સામાં $tr(A) = 0$ હોવું જોઈએ.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_1$ અથવા $\Delta_2$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} k+1 & 8 \\ k & k+3 \end{vmatrix} = (k+1)(k+3) - 8k = k^2 + 4k + 3 - 8k = k^2 - 4k + 3 = (k-3)(k-1)$.
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $k = 1$ અથવા $k = 3$ મળે છે.
હવે,આ કિંમતો માટે $\Delta_1$ અને $\Delta_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4k & 8 \\ 3k-1 & k+3 \end{vmatrix} = 4k(k+3) - 8(3k-1) = 4k^2 + 12k - 24k + 8 = 4k^2 - 12k + 8 = 4(k-1)(k-2)$.
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} k+1 & 4k \\ k & 3k-1 \end{vmatrix} = (k+1)(3k-1) - 4k^2 = 3k^2 + 2k - 1 - 4k^2 = -k^2 + 2k - 1 = -(k-1)^2$.
કિસ્સો $k=1$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 0, \Delta_2 = 0$. આ કિસ્સામાં અનંત ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $k=3$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 4(3-1)(3-2) = 8 \neq 0, \Delta_2 = -(3-1)^2 = -4 \neq 0$.
જ્યારે $k=3$ હોય ત્યારે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1, \Delta_2 \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,$k$ ની માત્ર $1$ કિંમત શક્ય છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \int_{0}^{x} |t| dt$ છે. કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = |x|$ થાય.
સ્પર્શક રેખા $y = 2x$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $2$ હોવો જોઈએ. તેથી,$|x| = 2$,જે $x = 2$ અથવા $x = -2$ આપે છે.
$x = 2$ માટે,$y = \int_{0}^{2} |t| dt = \int_{0}^{2} t dt = [\frac{t^2}{2}]_{0}^{2} = 2$. બિંદુ $(2, 2)$ છે.
$(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 2$ છે. $y = 0$ લેતા,$2x = 2$,તેથી $x = 1$ મળે.
$x = -2$ માટે,$y = \int_{0}^{-2} |t| dt = \int_{0}^{-2} (-t) dt = [-\frac{t^2}{2}]_{0}^{-2} = -2$. બિંદુ $(-2, -2)$ છે.
$(-2, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-2) = 2(x - (-2)) \Rightarrow y + 2 = 2x + 4 \Rightarrow y = 2x + 2$ છે. $y = 0$ લેતા,$2x = -2$,તેથી $x = -1$ મળે.
આમ,$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો $\pm 1$ છે.

(C) ઉત્પાદનમાં ફેરફારનો દર આપેલ છે: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$
$P = 100x - 12 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$
$P = 100x - 8x^{3/2} + C$
શરૂઆતમાં,જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે ઉત્પાદન $P = 2000$ છે. આ કિંમતો મૂકતા:
$2000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C \Rightarrow C = 2000$.
તેથી,ઉત્પાદન વિધેય $P = 100x - 8x^{3/2} + 2000$ છે.
$x = 25$ વધારાના કામદારો માટે,નવું ઉત્પાદન સ્તર:
$P = 100(25) - 8(25)^{3/2} + 2000$
$P = 2500 - 8(125) + 2000$
$P = 2500 - 1000 + 2000$
$P = 3500$.

(C) આપેલ છે કે $\int f(x) dx = \varphi(x)$.
ધારો કે $I = \int x^5 f(x^3) dx$.
$t = x^3$ આદેશ લેતા,$dt = 3x^2 dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.
વળી,$x^5 dx = x^3 \cdot x^2 dx = t \cdot \frac{1}{3} dt$.
તેથી,$I = \int t f(t) \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int t f(t) dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u dv = uv - \int v du$,જ્યાં $u = t$ અને $dv = f(t) dt$ (તેથી $du = dt$ અને $v = \varphi(t)$).
$I = \frac{1}{3} [t \varphi(t) - \int \varphi(t) dt] + c$.
હવે $t = x^3$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} [x^3 \varphi(x^3) - \int \varphi(x^3) \cdot (3x^2 dx)] + c$.
$I = \frac{1}{3} x^3 \varphi(x^3) - \int x^2 \varphi(x^3) dx + c$.

(C) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$,$p = \frac{1}{3}$ (સફળતાની સંભાવના),અને $q = \frac{2}{3}$ (નિષ્ફળતાની સંભાવના).
આપણે $4$ કે તેથી વધુ સાચા જવાબો મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = {^nC_k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = {^5C_4} \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$P(X = 5) = {^5C_5} \cdot (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{243} \cdot 1 = \frac{1}{3^5}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.

(A) ધારો કે $\lambda = \cot^{-1}(1+x)$,તેથી $\cot \lambda = 1+x$. પાયો $(1+x)$ અને વેધ $1$ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,કર્ણ $\sqrt{(1+x)^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$ થાય. તેથી,$\sin \lambda = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$.
ધારો કે $\beta = \tan^{-1}x$,તેથી $\tan \beta = x$. વેધ $x$ અને પાયો $1$ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,કર્ણ $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}$ થાય. તેથી,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
આપેલ સમીકરણ $\sin \lambda = \cos \beta$ પરથી:
$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 1$
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા:
$2x + 2 = 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (-1, 1, -1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-2, k, 0)$ છે.
દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 1, 3)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (2, 3, 4)$ છે.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -2 - (-1) & k - 1 & 0 - (-1) \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} -1 & k - 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1(4 - 9) - (k - 1)(8 - 6) + 1(6 - 2) = 0$
$-1(-5) - (k - 1)(2) + 4 = 0$
$5 - 2k + 2 + 4 = 0$
$11 - 2k = 0$
$2k = 11$
$k = \frac{11}{2}$.

(B) વિધાન $-1$: ઉગમબિંદુ પર શિરોબિંદુ અને $x$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ (અથવા $y^2 = -4ax$) છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
આમ,ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ એ કોટિ $y$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$: $y^2 = 4ax$ સંહતિ માટેનું વિકલ સમીકરણ $a$ નો લોપ કરીને મેળવવામાં આવે છે: $a = \frac{y^2}{4x}$. આને $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ માં મૂકતા $2y \frac{dy}{dx} = 4(\frac{y^2}{4x}) = \frac{y^2}{x}$,અથવા $2x \frac{dy}{dx} = y$ મળે છે.
આ પ્રથમ કક્ષા અને પ્રથમ ઘાતનું વિકલ સમીકરણ છે. તેથી,વિધાન $-2$ સાચું છે.
જોકે,વિધાન $-2$ એ સંહતિના વિકલ સમીકરણનું વર્ણન કરે છે,જ્યારે વિધાન $-1$ એ પરવલયના સમીકરણ પરથી મેળવેલ સ્પર્શકના ઢાળનો ગુણધર્મ છે. વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ માં આપેલા ગુણધર્મનું કારણ નથી.
તેથી,બંને સાચા છે,પરંતુ વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) આપણને આપેલ છે કે $\int \frac{dx}{x + x^7} = p(x)$.
ધારો કે સંકલન $I = \int \frac{x^6}{x + x^7} dx$ છે.
આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$I = \int \frac{x^6}{x(1 + x^6)} dx = \int \frac{(1 + x^6) - 1}{x(1 + x^6)} dx$.
સંકલનને અલગ પાડતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1 + x^6}{x(1 + x^6)} dx - \int \frac{1}{x(1 + x^6)} dx$.
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x + x^7} dx$.
કારણ કે $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + c_1$ અને $\int \frac{1}{x + x^7} dx = p(x) + c_2$,તેથી:
$I = \ln |x| - p(x) + c$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (a+b+c) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a+b+c) [1(bc - a^2) - 1(b^2 - ac) + 1(ab - c^2)]$
$\Delta = (a+b+c) (bc + ac + ab - a^2 - b^2 - c^2)$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c) [2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca]$
$\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c) [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
અહીં $a, b, c$ એ વિષમબાજુ ત્રિકોણની બાજુઓ હોવાથી,$a, b, c > 0$ અને $a \neq b \neq c$ છે.
તેથી,$(a+b+c) > 0$ અને $[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] > 0$ થાય.
આમ,$\Delta < 0$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $x = \int\limits_0^y {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}} $.
વિકલન માટે લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$1 = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$.
હવે,$\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધવા માટે ફરીથી બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + y^2)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot (2y \cdot \frac{dy}{dx})$.
સમીકરણમાં $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \sqrt{1 + y^2} = y$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} = y$.

(A) ધારો કે $h(x) = f(x) - g(x) = x \log x - (2 - x) = x \log x + x - 2$.
આપણે અંતરાલ $[1, 2]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેય $h(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$h(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.
$h(2) = 2 \cdot \log(2) + 2 - 2 = 2 \log(2) = \log(4)$.
અહીં $\log(4) > 0$ (કારણ કે $4 > 1$),તેથી $h(1) < 0$ અને $h(2) > 0$ મળે છે.
$h(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત વિધેય હોવાથી,મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય (Intermediate Value Theorem) મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (1, 2)$ એવું મળે કે જેથી $h(c) = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f(c) = g(c)$. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે,$f'(x) = \log x + x(1/x) = \log x + 1$. $x \in [1, 2]$ માટે,$f'(x) \geq 1 > 0$,તેથી $f(x)$ વધતું વિધેય છે. $g'(x) = -1 < 0$,તેથી $g(x)$ ઘટતું વિધેય છે. $f(1) < g(1)$ અને $f(2) > g(2)$ હોવાથી,આલેખ $[1, 2]$ માં છેદશે. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) ધારો કે $\vec{d} = \vec{b} + \lambda \vec{c}$.
તેથી $\vec{d} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} - (1+2\lambda)\hat{k}$.
$\vec{a}$ પર $\vec{d}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{|\vec{d} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$\vec{d} \cdot \vec{a} = 2(1+\lambda) - 1(2+\lambda) + 1(-1-2\lambda) = 2 + 2\lambda - 2 - \lambda - 1 - 2\lambda = -\lambda - 1$ ગણો.
વળી,$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\frac{|-\lambda - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,$|-\lambda - 1| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $|\lambda + 1| = 2$.
આનાથી $\lambda + 1 = 2$ અથવા $\lambda + 1 = -2$ મળે છે,તેથી $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -3$.
$\lambda = 1$ માટે,$\vec{d} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\lambda = -3$ માટે,$\vec{d} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સદિશ $2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.

(D) વક્ર $y = \ln(x)$ અને રેખાઓ $y = 0$,$y = \ln(3)$ અને $x = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવું વધુ સરળ છે.
આપેલ છે કે $y = \ln(x)$,તેથી $x = e^y$.
આ પ્રદેશ $y = 0$ ($x$-અક્ષ) અને $y = \ln(3)$ ની વચ્ચે છે,અને વક્ર $x = e^y$ એ $x = 0$ થી $x = 3$ સુધી વિસ્તરેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = \ln(3)$ સુધી $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{\ln(3)} e^y \, dy$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [e^y]_{0}^{\ln(3)}$
$A = e^{\ln(3)} - e^0$
$A = 3 - 1$
$A = 2$
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ છે.

(D) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \dots (i)$ મળે છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = 8 \, cm^2/s$,તેથી $8 = 8\pi r \frac{dr}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi r}$.
$\frac{dr}{dt}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \times \frac{1}{\pi r} = 4r$ મળે છે.
આમ,ઘનફળમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt}$ એ $r$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) ધારો કે લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના $p = \frac{2}{5}$ છે.
તેથી લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ છે.
$k$ પ્રયત્નોમાં લક્ષ્યને ઓછામાં ઓછી એક વાર વીંધવાની સંભાવના $1 - P(\text{શૂન્ય વખત વીંધવું}) = 1 - q^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે આ સંભાવના $\frac{7}{10}$ કરતા વધારે છે:
$1 - (\frac{3}{5})^k > \frac{7}{10}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$-(\frac{3}{5})^k > \frac{7}{10} - 1$
$-(\frac{3}{5})^k > -\frac{3}{10}$
$-1$ વડે ગુણતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા):
$(\frac{3}{5})^k < \frac{3}{10}$
$k=1$ માટે: $(\frac{3}{5})^1 = 0.6$,જે $0.3$ કરતા નાનું નથી.
$k=2$ માટે: $(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} = 0.36$,જે $0.3$ કરતા નાનું નથી.
$k=3$ માટે: $(\frac{3}{5})^3 = \frac{27}{125} = 0.216$,જે $0.3$ કરતા નાનું છે.
આમ,$k$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \cos(\tan^{-1}x)$.
ધારો કે $\theta = \cot^{-1}(1 + x)$,તેથી $\cot \theta = 1 + x$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$,તેથી $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}}$.
ધારો કે $\phi = \tan^{-1}x$,તેથી $\tan \phi = x$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \phi}}$,તેથી $\cos(\tan^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 + (1 + x)^2 = 1 + x^2$.
$1 + 1 + 2x + x^2 = 1 + x^2$.
$2 + 2x = 1$.
$2x = -1$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$.
આપેલ પદ $(\hat{i} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{i} + (\hat{j} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{j} + (\hat{k} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને ફરીથી લખીએ છીએ:
$(\hat{i} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{i} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \hat{i} \cdot \vec{v}$.
તે જ રીતે,$(\hat{j} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{j} \cdot \vec{v}$ અને $(\hat{k} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{k} \cdot \vec{v}$.
આ કિંમતોને ફરીથી પદમાં મૂકતા:
$(\hat{i} \cdot \vec{v})\hat{i} + (\hat{j} \cdot \vec{v})\hat{j} + (\hat{k} \cdot \vec{v})\hat{k}$.
સદિશના ઘટકોના સ્વરૂપમાં વ્યાખ્યા મુજબ,આ સરવાળો પોતે સદિશ $\vec{v}$ બરાબર થાય છે.
તેથી,આ પદ $\vec{a} \times \vec{b}$ બરાબર છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને સંબંધ $R = \{ (1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 2) \}$ છે.
પ્રથમ,આપણે ચકાસીએ કે $R$ વિધેય છે કે નહીં. પ્રદેશ $A$ ના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશ $A$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોવાથી,$R$ એક વિધેય છે.
ત્યારબાદ,આપણે ચકાસીએ કે $R$ એક-એક છે કે નહીં. પ્રતિબિંબો $\{1, 3, 4, 2\}$ છે. બધા પ્રતિબિંબો અલગ હોવાથી,$R$ એક-એક વિધેય છે.
અંતે,આપણે ચકાસીએ કે $R$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં. $R$ નો વિસ્તાર $\{1, 2, 3, 4\}$ છે,જે સહ-પ્રદેશ $A$ જેટલો જ છે.
વિસ્તાર અને સહ-પ્રદેશ સમાન હોવાથી,$R$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે $R$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (2)(4) & (1)(2) + (2)(-3) \\ (4)(1) + (-3)(4) & (4)(2) + (-3)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 17 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$4A$ ની ગણતરી કરો:
$4A = 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 16 & -12 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$5I$ ની ગણતરી કરો:
$5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^2 + 4A - 5I$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 + 4A - 5I = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 17 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 16 & -12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 9+4-5 & -4+8-0 \\ -8+16-0 & 17-12-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$
$= 4 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.

(B) ધારો કે સદિશ $\vec{n}$ ના દિક્કોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ છે. આપેલ છે કે $\alpha = 45^\circ$ અને $\beta = 60^\circ$.
$\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \gamma = 1$ હોવાથી,
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \cos^2 \gamma = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $\gamma$ લઘુકોણ છે).
સમતલનું સમીકરણ: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ,જો અભિલંબ $(2, 1, 2)$ લેવામાં આવે,તો:
$2(x-\sqrt{2}) + 1(y+1) + 2(z-1) = 0$.
$2x - 2\sqrt{2} + y + 1 + 2z - 2 = 0$.
$2x + y + 2z = 2\sqrt{2} + 1$.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x} = \frac{x(x - 1)}{x(x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 2}$,જ્યાં $x \ne 0$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ ને $x$ માટે ઉકેલીશું:
$y(x + 2) = x - 1$
$xy + 2y = x - 1$
$xy - x = -2y - 1$
$x(y - 1) = -(2y + 1)$
$x = \frac{2y + 1}{1 - y}$
તેથી,$f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $f^{-1}(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \frac{d}{dx}\left( \frac{2x + 1}{1 - x} \right)$
$= \frac{(1 - x)(2) - (2x + 1)(-1)}{(1 - x)^2}$
$= \frac{2 - 2x + 2x + 1}{(1 - x)^2}$
$= \frac{3}{(1 - x)^2}$

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = B$ માં લખી શકાય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ b \end{bmatrix}$ છે.
સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને શ્રેણિકનો ક્રમ ચલની સંખ્યા કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6) = 3a - 25 - 2a + 20 - 3 = a - 8$.
અનંત ઉકેલો માટે,$|A| = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
હવે,$a = 8$ ને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 1 & 3 & 5 & | & 9 \\ 2 & 5 & 8 & | & b \end{bmatrix}$ માં મૂકો.
હારની પ્રક્રિયાઓ કરો: $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - 2R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & 2 & | & b - 12 \end{bmatrix}$.
સંહતિ સુસંગત અને અનંત ઉકેલો ધરાવે તે માટે,છેલ્લી બે હાર સમાન હોવી જોઈએ,તેથી $b - 12 = 3$,જે $b = 15$ આપે છે.
આમ,$a = 8$ અને $b = 15$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2e^x + x^2e^{-x}.$
$x > 0$ માટે,$x^2e^x$ સ્પષ્ટપણે વધતું વિધેય છે કારણ કે તેનું વિકલન $2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x) > 0$ થાય છે.
હવે $h(x) = x^2e^{-x}$ ધ્યાનમાં લો.
$h'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = xe^{-x}(2-x).$
$0 < x < 2$ માટે,$h'(x) > 0$ છે,પરંતુ $x > 2$ માટે,$h'(x) < 0$ છે.
આમ,$h(x)$ એ તમામ $x > 0$ માટે વધતું વિધેય નથી,તેથી વિધાન $-2$ ખોટું છે.
હવે,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2e^x) + \frac{d}{dx}(x^2e^{-x}) = (2x+x^2)e^x + (2x-x^2)e^{-x} = 2x(e^x+e^{-x}) + x^2(e^x-e^{-x}).$
તમામ $x > 0$ માટે $e^x > e^{-x}$ હોવાથી,$e^x - e^{-x} > 0$ થાય.
આમ,તમામ $x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ તમામ $x > 0$ માટે વધતું વિધેય છે.
તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે અને વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(D) આપેલ પરવલય $y = 9x^2$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $x^2 = y/9$. પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x = \sqrt{y}/3$ મળે.
વક્ર $x = f(y)$,$y$-અક્ષ $(x = 0)$,અને રેખાઓ $y = 1$ તથા $y = 4$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y}}{3} \, dy$
$A = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
ઘાતનો નિયમ $\int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}$ વાપરતા:
$A = \frac{1}{3} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{2}{9} \left( 4^{3/2} - 1^{3/2} \right)$
$A = \frac{2}{9} (8 - 1) = \frac{2}{9} \times 7 = \frac{14}{9} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) ધારો કે $I = \int_{7\pi/4}^{7\pi/3} \sqrt{\tan^2 x} \, dx$.
કારણ કે $\sqrt{\tan^2 x} = |\tan x|$,આપણે અંતરાલ $[7\pi/4, 7\pi/3]$ માં સંકલન કરીશું.
અંતરાલ $[7\pi/4, 2\pi]$ માં,$\tan x$ ઋણ છે,તેથી $|\tan x| = -\tan x$.
અંતરાલ $[2\pi, 7\pi/3]$ માં,$\tan x$ ધન છે,તેથી $|\tan x| = \tan x$.
આમ,$I = \int_{7\pi/4}^{2\pi} -\tan x \, dx + \int_{2\pi}^{7\pi/3} \tan x \, dx$.
$I = [\log|\cos x|]_{7\pi/4}^{2\pi} + [-\log|\cos x|]_{2\pi}^{7\pi/3}$.
$I = (\log|\cos 2\pi| - \log|\cos(7\pi/4)|) - (\log|\cos(7\pi/3)| - \log|\cos 2\pi|)$.
$\cos 2\pi = 1$ હોવાથી,$\log 1 = 0$.
$I = -\log|\cos(7\pi/4)| - \log|\cos(7\pi/3)| = -\log(1/\sqrt{2}) - \log(1/2)$.
$I = \log(\sqrt{2}) + \log(2) = \log(\sqrt{2} \times 2) = \log(2\sqrt{2})$.

(D) આપેલ ગણ $A = \{3, 5, 9, 12\}$ અને સંબંધ $R = \{(3, 3), (5, 5), (9, 9), (12, 12), (5, 12), (3, 9), (3, 12), (3, 5)\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: જો $R$ સ્વવાચક હોય,તો દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(3, 3), (5, 5), (9, 9), (12, 12) \in R$ હોવાથી,સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $R$ સંમિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં $(3, 5) \in R$ છે,પરંતુ $(5, 3) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: જો $R$ પરંપરિત હોય,તો જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. જોડીઓ તપાસતા: $(3, 5) \in R$ અને $(5, 12) \in R$ માટે $(3, 12) \in R$ હોવું જોઈએ,જે હાજર છે. અન્ય તમામ જોડીઓ માટે પણ આ ગુણધર્મ સંતોષાય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી.

(C) સમતલનું સમીકરણ $4x - 3y + z + 13 = 0$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તર $(4, -3, 1)$ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{1} = k$ છે.
તેથી,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(4k, -3k, k)$ સ્વરૂપમાં હોય.
$Q$ એ લંબપાદ હોવાથી,તે સમતલ પર આવેલું છે. $Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(4k) - 3(-3k) + (k) + 13 = 0$
$16k + 9k + k + 13 = 0$
$26k = -13 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$Q$ ના યામ $(-2, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ મળે.
આપેલ $R = (-1, 1, -6)$ માટે,અંતર $QR$:
$QR = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (1 - \frac{3}{2})^2 + (-6 - (-\frac{1}{2}))^2}$
$QR = \sqrt{(1)^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{11}{2})^2}$
$QR = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{121}{4}}$
$QR = \sqrt{\frac{4 + 1 + 121}{4}} = \sqrt{\frac{126}{4}} = \sqrt{\frac{63}{2}} = 3\sqrt{\frac{7}{2}}$.

(A) ધારો કે બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ની સંભાવનાઓ $P(A) = a$ અને $P(B) = b$ છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = ab$ થાય.
બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = a(1-b) + b(1-a) = a + b - 2ab = \frac{26}{49}$ ... $(i)$.
એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = (1-a)(1-b) = 1 - (a+b) + ab = \frac{15}{49}$ થાય.
તેથી,$a+b - ab = 1 - \frac{15}{49} = \frac{34}{49}$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$ab = \frac{34}{49} - \frac{26}{49} = \frac{8}{49}$ મળે.
$ab$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$a+b = \frac{34}{49} + \frac{8}{49} = \frac{42}{49} = \frac{6}{7}$ મળે.
હવે,$a$ અને $b$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{8}{49} = 0$.
$49$ વડે ગુણતા,$49x^2 - 42x + 8 = 0$ મળે.
$(7x-2)(7x-4) = 0$,તેથી $x = \frac{2}{7}$ અથવા $x = \frac{4}{7}$.
આમ,સંભાવનાઓ $\frac{2}{7}$ અને $\frac{4}{7}$ છે.
વધુ સંભવિત ઘટનાની સંભાવના $\frac{4}{7}$ છે.

(D) ધારો કે પાયો $b$ છે અને કર્ણ $h$ છે.
તેથી વેધ (લંબ) $\sqrt{h^2 - b^2}$ થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} b \sqrt{h^2 - b^2}$ છે.
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A$ નું $b$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{db} = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{h^2 - b^2} + b \cdot \frac{-2b}{2\sqrt{h^2 - b^2}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{h^2 - b^2 - b^2}{\sqrt{h^2 - b^2}} \right] = \frac{h^2 - 2b^2}{2\sqrt{h^2 - b^2}}$.
$\frac{dA}{db} = 0$ લેતા,આપણને $h^2 - 2b^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = \frac{h^2}{2}$,અથવા $b = \frac{h}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{h^2 - \frac{h^2}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{h^2}{4}$.

(B) ધારો કે $I = \int {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \cdot {e^{{{\cot }^{ - 1}}x}}dx$.
$x = \cot t$ આદેશ લેતા,$dx = -\csc^2 t \, dt$ મળે.
$1 + \cot^2 t = \csc^2 t$ હોવાથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int {\frac{{\cot^2 t - \cot t + 1}}{{\csc^2 t}}} \cdot {e^t} \cdot (-\csc^2 t) \, dt$
$I = - \int {e^t} (\cot^2 t - \cot t + 1) \, dt$
$I = - \int {e^t} (\csc^2 t - \cot t) \, dt$
$I = \int {e^t} (\cot t - \csc^2 t) \, dt$
સૂત્ર $\int {e^t} (f(t) + f'(t)) \, dt = {e^t} f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \cot t$ અને $f'(t) = -\csc^2 t$ છે:
$I = {e^t} \cot t + C$
$t = \cot^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$I = {e^{\cot^{-1} x}} \cdot x + C$
આને $A(x) {e^{\cot^{-1} x}} + C$ સાથે સરખાવતા,$A(x) = x$ મળે છે.

(C) દિકકોસાઇન માટે આપેલ સમીકરણો: $l+m+n=0$ અને $l^2+m^2-n^2=0$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l+m = -n$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $l^2+m^2+2lm = n^2$ મળે છે.
બીજા સમીકરણમાંથી $l^2+m^2 = n^2$ ને આમાં મૂકતા,આપણને $n^2+2lm = n^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2lm = 0$,તેથી $lm = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $m+n=0 \Rightarrow m=-n$. કારણ કે $l^2+m^2+n^2=1$,આપણી પાસે $0^2+(-n)^2+n^2=1 \Rightarrow 2n^2=1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે. આમ,દિકગુણોત્તર $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અથવા $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $l+n=0 \Rightarrow l=-n$. તેવી જ રીતે,$l^2+0^2+n^2=1 \Rightarrow 2n^2=1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે. આમ,દિકગુણોત્તર $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અથવા $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
ધારો કે બે રેખાઓના દિકકોસાઇન $\vec{u_1} = (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{u_2} = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}| = |(0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ છે.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$,લઘુકોણ $\theta = 60^o$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ છે.
ધારો કે $z = y^2$. તો $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dz}{dx}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2y} \frac{dz}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)} \implies \frac{dz}{dx} = \frac{y^4}{xy^2 - x^2} = \frac{z^2}{xz - x^2}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dz}{dx} = \frac{(z/x)^2}{(z/x) - 1}$ મળે છે. આ $z$ અને $x$ ના સંદર્ભમાં એક સુરેખ (homogeneous) વિકલ સમીકરણ છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
$\frac{dz}{dx} = \frac{z^2}{xz - x^2}$ ને ઉકેલવા માટે,$z = vx$ લો,તો $\frac{dz}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 x^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2}{v - 1}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v}{v - 1}$.
$\int \frac{v - 1}{v} dv = \int \frac{1}{x} dx \implies v - \ln|v| = \ln|x| + C$.
$\frac{z}{x} - \ln|\frac{z}{x}| = \ln|x| + C \implies \frac{y^2}{x} = \ln|y^2| + C$.
આ $y^2 e^{-y^2/x} = C$ સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે કે $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$2 \ln x = (\sin^{-1} t) \ln a$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2}{x} \frac{dx}{dt} = \frac{\ln a}{\sqrt{1-t^2}}$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = \frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$.
તેવી જ રીતે,$y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \Rightarrow 2 \ln y = (\cos^{-1} t) \ln a$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2}{y} \frac{dy}{dt} = -\frac{\ln a}{\sqrt{1-t^2}}$.
તેથી,$\frac{dy}{dt} = -\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-y \ln a / (2\sqrt{1-t^2})}{x \ln a / (2\sqrt{1-t^2})} = -\frac{y}{x}$.
તેથી,$1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \left( -\frac{y}{x} \right)^2 = 1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2}$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$[p, q, r] \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = [3, 0, 1]$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$[3p + 3q + 2r, 4p + 2q, p + 3q + 2r] = [3, 0, 1]$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની નીચે મુજબની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) 3p + 3q + 2r = 3$
$2) 4p + 2q = 0 \Rightarrow q = -2p$
$3) p + 3q + 2r = 1$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(3p + 3q + 2r) - (p + 3q + 2r) = 3 - 1$
$2p = 2 \Rightarrow p = 1$
$p = 1$ ને $q = -2p$ માં મૂકતા:
$q = -2(1) = -2$
$p = 1$ અને $q = -2$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$1 + 3(-2) + 2r = 1$
$1 - 6 + 2r = 1$
$-5 + 2r = 1 \Rightarrow 2r = 6 \Rightarrow r = 3$
હવે,$2p + q - r$ ની ગણતરી કરતા:
$2(1) + (-2) - 3 = 2 - 2 - 3 = -3$.

(B) ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપેલ છે કે $\hat{a} - \sqrt{3}\hat{b} + \hat{c} = \vec{0}.$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $\hat{a} + \hat{c} = \sqrt{3}\hat{b}.$
બંને બાજુનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) લેતા:
$(\hat{a} + \hat{c}) \cdot (\hat{a} + \hat{c}) = (\sqrt{3}\hat{b}) \cdot (\sqrt{3}\hat{b}).$
વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{a} \cdot \hat{a} + \hat{a} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a} + \hat{c} \cdot \hat{c} = 3(\hat{b} \cdot \hat{b}).$
કારણ કે $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1, \hat{b} \cdot \hat{b} = 1, \hat{c} \cdot \hat{c} = 1.$
વળી,$\hat{a} \cdot \hat{c} = |\hat{a}||\hat{c}| \cos \theta = \cos \theta.$
આ કિંમતો મૂકતા:
$1 + 2\cos \theta + 1 = 3(1).$
$2 + 2\cos \theta = 3.$
$2\cos \theta = 1.$
$\cos \theta = \frac{1}{2}.$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}.$

(D) આપેલ છે કે $f(x) = -1 + |x - 2|$ અને $g(x) = 1 - |x|$.
આપણે $fog(x) = f(g(x))$ માટે અસતત બિંદુઓ શોધવાના છે.
$fog(x) = f(1 - |x|) = -1 + |(1 - |x|) - 2|$
$= -1 + |- |x| - 1|$
$= -1 + |-(|x| + 1)|$
કારણ કે $|-a| = |a|$,તેથી $|-(|x| + 1)| = ||x| + 1|$.
કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $|x| + 1$ હંમેશા ધન છે,તેથી $||x| + 1| = |x| + 1$.
આમ,$fog(x) = -1 + |x| + 1 = |x|$.
વિધેય $y = |x|$ એ પ્રમાણિત માનાંક વિધેય છે,જે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત છે.
તેથી,એવું કોઈ બિંદુ નથી જ્યાં $fog$ અસતત હોય.
તેથી,$fog$ જ્યાં અસતત હોય તેવા તમામ બિંદુઓનો ગણ ખાલી ગણ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x dx}{2 - x^2 + \sqrt{2 - x^2}}$.
$t = \sqrt{2 - x^2}$ આદેશ લેતા,$t^2 = 2 - x^2$ મળે,જેનું વિકલન કરતા $2t dt = -2x dx$ અથવા $x dx = -t dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-t dt}{t^2 + t}$
સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા:
$I = \int \frac{-t dt}{t(t + 1)} = -\int \frac{dt}{t + 1}$
$t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = -\log |t + 1| + c$
$t = \sqrt{2 - x^2}$ પાછા મૂકતા:
$I = -\log |\sqrt{2 - x^2} + 1| + c$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
વિધાન $-1$ માટે,નિશ્ચાયક છે:
$\Delta_1 = \left| \begin{matrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 1 & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા:
$\Delta_1 = \left| \begin{matrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 0 & \cos \alpha - \sin \alpha & \sin \alpha - \cos \alpha \\ 0 & -2\sin \alpha & -2\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$= 1 \cdot [(\cos \alpha - \sin \alpha)(-2\cos \alpha) - (\sin \alpha - \cos \alpha)(-2\sin \alpha)]$
$= -2\cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + 2\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = -2\cos(2\alpha)$.
$\Delta_1 = 0$ લેતા,આપણને $\cos(2\alpha) = 0$ મળે છે. $(0, \frac{\pi}{2})$ માં,$2\alpha \in (0, \pi)$,તેથી $2\alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}$. આમ,વિધાન $-1$ સત્ય છે.
વિધાન $-2$ માટે,નિશ્ચાયક છે:
$\Delta_2 = \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$C_3 \to C_3 - C_1$ લેતા:
$\Delta_2 = \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -2\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$= -2\cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -2\cos \alpha \cos(2\alpha) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \alpha = 0$ અથવા $\cos(2\alpha) = 0$. $(0, \frac{\pi}{2})$ માં,$\cos \alpha \neq 0$ અને $\cos(2\alpha) = 0$ માત્ર $\alpha = \frac{\pi}{4}$ પર થાય છે. આમ,વિધાન $-2$ સત્ય છે અને વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપણે નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
શ્રેણીનું દરેક પદ $\tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k+1)} \right) = \tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k)$ સ્વરૂપમાં છે.
ધારો કે $f(k) = \tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k)$.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=n}^{n+19} \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k+1)} \right)$ છે.
$S = \sum_{k=n}^{n+19} (\tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)) + (\tan^{-1}(n+2) - \tan^{-1}(n+1)) + \dots + (\tan^{-1}(n+20) - \tan^{-1}(n+19))$.
$S = \tan^{-1}(n+20) - \tan^{-1}(n)$.
$\tan S = \tan(\tan^{-1}(n+20) - \tan^{-1}(n)) = \frac{(n+20) - n}{1 + (n+20)n}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\tan S = \frac{20}{1 + n^2 + 20n} = \frac{20}{n^2 + 20n + 1}$.

(B) બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ સમરેખ હોય જો કોઈ શૂન્યેતર અદિશ $k$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $\vec{u} = k\vec{v}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{u} = (\alpha - 2)\vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{v} = (2 + 3\alpha)\vec{a} - 3\vec{b}$.
સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ સમરેખ હોવાથી,$(\alpha - 2)\vec{a} + \vec{b} = k((2 + 3\alpha)\vec{a} - 3\vec{b})$.
પદોને ગોઠવતા,$(\alpha - 2 - k(2 + 3\alpha))\vec{a} + (1 + 3k)\vec{b} = 0$.
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ છે,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$1 + 3k = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
$k = -\frac{1}{3}$ ની કિંમત $\vec{a}$ ના સહગુણકમાં મૂકતા:
$\alpha - 2 - (-\frac{1}{3})(2 + 3\alpha) = 0$.
$\alpha - 2 + \frac{2}{3} + \alpha = 0$.
$2\alpha = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
$\alpha = \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે $P(A) = \frac{3}{4}, P(B) = \frac{1}{2}, P(C) = \frac{5}{8}$.
તેઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રયાસ કરતા હોવાથી,$P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.
ઘટના કે લક્ષ્ય $A$ અથવા $B$ દ્વારા વીંધાય પણ $C$ દ્વારા નહીં તે $(A \cup B) \cap \bar{C}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P((A \cup B) \cap \bar{C}) = P(A \cup B) \times P(\bar{C})$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$.
$P(A \cup B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}) = \frac{6+4-3}{8} = \frac{7}{8}$.
તેથી,$P((A \cup B) \cap \bar{C}) = \frac{7}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{21}{64}$.

(D) રેખા $L_1$ માટે,આપણી પાસે $x = \sqrt{\lambda} y + (\sqrt{\lambda} - 1)$ અને $z = (\sqrt{\lambda} - 1)y + \sqrt{\lambda}$ છે.
આને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા,આપણને $\frac{x - (\sqrt{\lambda} - 1)}{\sqrt{\lambda}} = y = \frac{z - \sqrt{\lambda}}{\sqrt{\lambda} - 1}$ મળે છે.
$L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (\sqrt{\lambda}, 1, \sqrt{\lambda} - 1)$ છે.
તે જ રીતે,રેખા $L_2$ માટે,આપણી પાસે $x = \sqrt{\mu} y + (1 - \sqrt{\mu})$ અને $z = (1 - \sqrt{\mu})y + \sqrt{\mu}$ છે.
આને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા,આપણને $\frac{x - (1 - \sqrt{\mu})}{\sqrt{\mu}} = y = \frac{z - \sqrt{\mu}}{1 - \sqrt{\mu}}$ મળે છે.
$L_2$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (\sqrt{\mu}, 1, 1 - \sqrt{\mu})$ છે.
કારણ કે $L_1 \perp L_2$,તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(\sqrt{\lambda})(\sqrt{\mu}) + (1)(1) + (\sqrt{\lambda} - 1)(1 - \sqrt{\mu}) = 0$.
$\sqrt{\lambda\mu} + 1 + (\sqrt{\lambda} - \sqrt{\lambda\mu} - 1 + \sqrt{\mu}) = 0$.
$\sqrt{\lambda} + \sqrt{\mu} = 0$.
કારણ કે $\lambda, \mu \geq 0$,આનો અર્થ એ થાય છે કે $\sqrt{\lambda} = 0$ અને $\sqrt{\mu} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 0$ અને $\mu = 0$. આમ,$\lambda = \mu$.

(B) ધારો કે રેખાખંડના $x, y$ અને $z-$ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો $p_x = 2$,$p_y = 3$,અને $p_z = 6$ છે.
$3-$ પરિમાણીય અવકાશમાં રેખાખંડની લંબાઈ $L$ શોધવાનું સૂત્ર $L = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$L = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}$.
$L = \sqrt{4 + 9 + 36}$.
$L = \sqrt{49}$.
$L = 7$.
આમ,રેખાખંડની લંબાઈ $7$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sin(\sin x)$.
પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ મેળવો:
$f'(x) = \cos(\sin x) \cdot \cos x$.
ત્યારબાદ,પ્રોડક્ટ રૂલ અને ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને બીજું વિકલન $f''(x)$ મેળવો:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[\cos(\sin x) \cdot \cos x]$
$f''(x) = [-\sin(\sin x) \cdot \cos x] \cdot \cos x + \cos(\sin x) \cdot (-\sin x)$
$f''(x) = -\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x)$.
હવે,$f'(x)$ અને $f''(x)$ ની કિંમતો સમીકરણ $f''(x) + \tan x f'(x) + g(x) = 0$ માં મૂકો:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \tan x [\cos(\sin x) \cos x] + g(x) = 0$.
કારણ કે $\tan x \cos x = \sin x$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \sin x \cos(\sin x) + g(x) = 0$.
પદો $-\sin x \cos(\sin x)$ અને $+\sin x \cos(\sin x)$ ઉડી જશે:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) + g(x) = 0$.
તેથી,$g(x) = \cos^2 x \sin(\sin x)$.