JEE Main 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $n$ शीर्षों द्वारा बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_n = ^nC_3$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरण $T_{n+1} - T_n = 21$ में सूत्र रखने पर:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 21$.
पास्कल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 21$
$^nC_2 = 21$.
संयोजन के सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 21$
$n(n-1) = 42$
$n(n-1) = 7 \times 6$.
अतः,$n = 7$.

(B) माना आधार के शीर्ष $A(2a, 0)$ और $B(0, a)$ हैं।
चूंकि एक भुजा $x = 2a$ है,इसलिए तीसरा शीर्ष $C(2a, t)$ पर होगा।
समद्विबाहु त्रिभुज के लिए,$AC = BC$ लेने पर $t = \frac{5a}{2}$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{5a^2}{2}$ वर्ग इकाई।

(A) माना $AB = x$ है। $D$ से $AB$ पर लंब $DM$ खींचिए। तब $DM = BC = p$ और $MB = CD = q$ है। अतः,$AM = AB - MB = x - q$ है।
$\triangle BCD$ में,$\tan \alpha = \frac{p}{q}$ है।
$\triangle ADM$ में,$\angle DAM = \pi - (\theta + \alpha)$ है।
इसलिए,$\tan(\pi - (\theta + \alpha)) = \frac{DM}{AM} = \frac{p}{x - q}$ है।
इसका अर्थ है $-\tan(\theta + \alpha) = \frac{p}{x - q}$,या $\tan(\theta + \alpha) = \frac{p}{q - x}$ है।
$q - x = p \cot(\theta + \alpha) = p \left( \frac{\cot \theta \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \cot \theta} \right)$ है।
चूँकि $\cot \alpha = \frac{q}{p}$ है,इसलिए $q - x = p \left( \frac{\frac{q}{p} \cot \theta - 1}{\frac{q}{p} + \cot \theta} \right) = p \left( \frac{q \cos \theta - p \sin \theta}{q \sin \theta + p \cos \theta} \right)$ है।
$x = q - \frac{pq \cos \theta - p^2 \sin \theta}{q \sin \theta + p \cos \theta} = \frac{(p^2 + q^2) \sin \theta}{p \cos \theta + q \sin \theta}$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A}$
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ और $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A}}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A - \sin A)}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} - \frac{\cos^2 A}{\sin A(\sin A - \cos A)}$
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left( \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A} \right)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{(\sin A - \cos A)(\sin A \cos A)}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A} + 1 = \sec A \csc A + 1$

(C) दिया गया है कि $|z| = 1$ और $\text{arg}(z) = \theta$,अतः हम $z = e^{i\theta}$ लिख सकते हैं।
चूंकि $|z| = 1$,इसलिए $\bar{z} = \frac{1}{z}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1+z}{1+\bar{z}} = \frac{1+z}{1+\frac{1}{z}} = \frac{1+z}{\frac{z+1}{z}} = z$।
अतः,$\text{arg}\left( \frac{1+z}{1+\bar{z}} \right) = \text{arg}(z) = \theta$।

(B) $n$-भुजा वाले बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_n = ^nC_3$ द्वारा दी जाती है।
दी गई शर्त $T_{n+1} - T_n = 10$ के अनुसार:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 10$
संयोजन के गुण का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$। इसलिए:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 10$
$^nC_2 = 10$
संयोजन सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n(n-1) = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(n-5)(n+4) = 0$
चूंकि $n$ भुजाओं की संख्या है,इसलिए यह एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,अतः $n = 5$ (क्योंकि $n \neq -4$)।

(C) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1+x^{-1/2}$
अब,व्यंजक $(x^{1/3}-x^{-1/2})^{10}$ हो जाता है।
सामान्य पद $T_{r+1} = ^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = ^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 4$
$r=4$ रखने पर:
$T_{5} = ^{10}C_4 = 210$

(C) माना $S_{20} = 0.7 + 0.77 + 0.777 + \dots$ $20$ पदों तक।
$S_{20} = 7[0.1 + 0.11 + 0.111 + \dots \text{ } 20 \text{ पदों तक}]$।
$9$ से गुणा और भाग करने पर:
$S_{20} = \frac{7}{9}[0.9 + 0.99 + 0.999 + \dots \text{ } 20 \text{ पदों तक}]$।
$S_{20} = \frac{7}{9}[(1 - 10^{-1}) + (1 - 10^{-2}) + (1 - 10^{-3}) + \dots + (1 - 10^{-20})]$।
$S_{20} = \frac{7}{9}[20 - (10^{-1} + 10^{-2} + \dots + 10^{-20})]$।
कोष्ठक के अंदर गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{0.1(1 - 10^{-20})}{0.9} = \frac{1}{9}(1 - 10^{-20})$ है।
$S_{20} = \frac{7}{9}[20 - \frac{1}{9}(1 - 10^{-20})] = \frac{7}{9}[\frac{180 - 1 + 10^{-20}}{9}] = \frac{7}{81}(179 + 10^{-20})$।

(B) आपतित किरण का समीकरण $x + \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ है।
$x$-अक्ष पर आपतन बिंदु $A$ ज्ञात करें ($y=0$ रखने पर): $x + \sqrt{3}(0) = \sqrt{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$. अतः,$A = (\sqrt{3}, 0)$.
आपतित किरण पर एक बिंदु $B$ लें,जैसे $x=0$ $\Rightarrow \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ $\Rightarrow y=1$. अतः,$B = (0, 1)$.
परावर्तित किरण $A(\sqrt{3}, 0)$ और $x$-अक्ष के सापेक्ष $B(0, 1)$ के प्रतिबिंब $B'(0, -1)$ से होकर गुजरती है।
परावर्तित किरण $AB'$ की ढाल $m = \frac{-1 - 0}{0 - \sqrt{3}} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
परावर्तित किरण का समीकरण $y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \sqrt{3})$ है।
$\sqrt{3}y = x - \sqrt{3}$.

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं। भुजाओं के मध्य बिंदु $M_1(0,1), M_2(1,1), M_3(1,0)$ दिए गए हैं।
मूल त्रिभुज के शीर्ष $B(0,0), A(2,0), C(0,2)$ प्राप्त होते हैं।
भुजाओं की लंबाई $c = AB = 2$,$a = BC = 2$,और $b = AC = 2\sqrt{2}$ है।
अंतःकेंद्र का $x-$ निर्देशांक $I_x = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $I_x = \frac{2(2) + 2\sqrt{2}(0) + 2(0)}{2 + 2\sqrt{2} + 2} = \frac{4}{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $I_x = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = 2 - \sqrt{2}$.

(C) माना वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y-0)^2 + \lambda y = 0$ है।
चूंकि यह $(1, -2)$ से गुजरता है:
$(1-3)^2 + (-2)^2 + \lambda(-2) = 0$
$4 + 4 - 2\lambda = 0$
$8 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 4$.
अतः,वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + y^2 + 4y = 0$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(5, -2)$ के लिए: $(5-3)^2 + (-2)^2 + 4(-2) = 2^2 + 4 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.
इसलिए,वृत्त $(5, -2)$ से होकर गुजरता है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जहाँ $a = 4$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(0, 3)$ है और यह $(\sqrt{7}, 0)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r^2 = (\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 7 + 9 = 16$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 16$ अर्थात $x^2 + y^2 - 6y + 9 = 16$ या $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{5}{2}}$ है।
परवलय का समीकरण $y^2 = 4\sqrt{5}x$ है,इसलिए $a = \sqrt{5}$ है।
रेखा $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{\sqrt{5}}{m}$ परवलय की स्पर्शरेखा है।
इस रेखा के वृत्त की स्पर्शरेखा होने के लिए,केंद्र $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|\frac{\sqrt{5}}{m}|}{\sqrt{1 + m^2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$
$\frac{5}{m^2(1 + m^2)} = \frac{5}{2}$
$m^2(1 + m^2) = 2$
$m^4 + m^2 - 2 = 0$
$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$
चूंकि $m$ वास्तविक है,$m^2 = 1$,इसलिए $m = \pm 1$ है।
$m = 1$ के लिए,स्पर्शरेखा $y = x + \sqrt{5}$ है। अतः,कथन-$1$ सही है।
प्राप्त शर्त $m^4 + m^2 - 2 = 0$ है। कथन-$2$ में $m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ दिया गया है,जो गलत है। इसलिए,कथन-$2$ गलत है।

(D) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {3 + \cos x} \right)}}{{x\tan 4x}}$
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin^2 x(3 + \cos x)}}{{x \tan 4x}}$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ और $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने के लिए $x$ और $4x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{x^2}{x \cdot \frac{\tan 4x}{4x} \cdot 4x} \cdot (3 + \cos x) \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot \frac{\tan 4x}{4x}} \cdot (3 + \cos x) \right)$
$x = 0$ रखने पर:
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1}{4 \cdot 1} \cdot (3 + \cos 0)$
$= 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (3 + 1) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 2$

(D) मान लीजिए कि मूल अंक $x_i$ हैं और नए अंक $y_i = x_i + 10$ हैं।
केंद्रीय प्रवृत्ति के माप जैसे माध्य,माध्यिका और बहुलक मूल बिंदु के परिवर्तन (एक स्थिरांक जोड़ने) से प्रभावित होते हैं।
विशेष रूप से,यदि प्रत्येक अवलोकन में $c$ जोड़ा जाता है,तो माध्य,माध्यिका और बहुलक भी $c$ से बढ़ जाते हैं।
हालाँकि,प्रसरण और मानक विचलन जैसे परिक्षेपण के माप मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होते हैं।
प्रसरण को $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
नए अंकों $y_i$ के लिए,प्रसरण $\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \overline{y})^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i + 10) - (\overline{x} + 10))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2 = \sigma_x^2$ है।
अतः,प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।

(D) माना $f(x) = 2x^2 + 3x + k$.
द्विघात समीकरण $f(x) = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(k) = 9 - 8k > 0 \implies k < \frac{9}{8}$.
मूलों के अंतराल $[0, 1]$ में स्थित होने के लिए,परवलय का शीर्ष $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{4}$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर होना चाहिए।
चूंकि $-\frac{3}{4}$ अंतराल $[0, 1]$ में नहीं है,इसलिए दोनों मूलों का अंतराल $[0, 1]$ में होना असंभव है।
अतः,ऐसी कोई वास्तविक संख्या $k$ अस्तित्व में नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + 2x + 3 = 0$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$ है।
चूँकि $D < 0$ है,इसलिए मूल काल्पनिक हैं।
यदि वास्तविक गुणांकों वाले दो द्विघात समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल है,तो दोनों मूल समान होंगे।
अतः,गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k$
इसका अर्थ है $a = k, b = 2k, c = 3k$।
अतः,अनुपात $a:b:c = 1:2:3$ है।

(D) कथन-$2$: $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim q \rightarrow \sim p)$
चूंकि $(\sim q \rightarrow \sim p)$,$(p \rightarrow q)$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है,इसलिए उनके सत्य मान समान होते हैं।
अतः,$(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)$ हमेशा सत्य है,जिसका अर्थ है कि यह एक पुनरुक्ति है।
इसलिए,कथन-$2$ सही है।
कथन-$1$: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करते हुए:
$= (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$
$= F \wedge F = F$
चूंकि परिणाम हमेशा असत्य है,यह एक असत्यता है।
इसलिए,कथन-$1$ सही है।
दोनों कथन सही हैं,और कथन-$2$,कथन-$1$ का स्पष्टीकरण नहीं है।

(A) माना $P(P), P(Q), P(R)$ क्रमशः $P, Q, R$ द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकताएँ हैं।
$P(P) = \frac{3}{4}, P(Q) = \frac{1}{2}, P(R) = \frac{5}{8}$.
लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकताएँ $P(P') = \frac{1}{4}, P(Q') = \frac{1}{2}$ और $P(R') = \frac{3}{8}$ हैं।
वह घटना कि लक्ष्य $P$ या $Q$ द्वारा भेदा जाता है लेकिन $R$ द्वारा नहीं,$(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$.
$= (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8})$.
$= \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(D) माना $\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}} = ki$,जहाँ $k \in \mathbb{R}$ और $k \ne 0$ है।
तब,$\left| {\frac{{2{Z_1} + 3{Z_2}}}{{2{Z_1} - 3{Z_2}}}} \right| = \left| {\frac{{{Z_1}(2 + 3\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}})}}{{{Z_1}(2 - 3\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}})}}} \right| = \left| {\frac{{2 + 3ki}}{{2 - 3ki}}} \right|$.
चूँकि किसी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,$|z| = |\bar{z}|$ होता है,इसलिए:
$\left| {\frac{{2 + 3ki}}{{2 - 3ki}}} \right| = \frac{{|2 + 3ki|}}{{|2 - 3ki|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{(3k)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3k)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {4 + 9{k^2}} }}{{\sqrt {4 + 9{k^2}} }} = 1$.

(D) दो रेखाओं $5x + 8y = 13$ और $4x - y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है।
$4x - y = 3$ से $y = 4x - 3$ मिलता है। पहले समीकरण में रखने पर: $5x + 8(4x - 3) = 13$ $\Rightarrow 37x = 37$ $\Rightarrow x = 1$. अतः $y = 1$। केंद्र $(1, 1)$ है।
वृत्त का व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है,जहाँ केंद्र $(-g, -f)$ है।
यहाँ,$-g = a^2 - 7a + 11 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 7a + 10 = 0$ $\Rightarrow a = 2, 5$।
और $-f = a^2 - 6a + 6 = 1$ $\Rightarrow a^2 - 6a + 5 = 0$ $\Rightarrow a = 1, 5$।
दोनों शर्तों के लिए $a = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 - b^3$ हो जाता है।
वास्तविक वृत्त के लिए,त्रिज्या का वर्ग धनात्मक होना चाहिए: $1 - b^3 > 0 \Rightarrow b < 1$।

(B) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ होता है।
दिया है $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^3}{q^3}$,जिससे $\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p^2}{q^2}$ प्राप्त होता है।
$p=1, q=2$ रखने पर,$\frac{a_1}{a_1+a_2} = \frac{1}{8} \Rightarrow d = 6a_1$ प्राप्त होता है।
अतः $\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d} = \frac{a_1 + 30a_1}{a_1 + 120a_1} = \frac{31}{121}$।

(C) माना $f(x) = x^2 - (a + 1)x + a^2 + a - 8$.
चूंकि एक मूल $2$ से कम है और दूसरा $2$ से अधिक है,इसलिए $x = 2$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(2) < 0$.
$f(2) = (2)^2 - (a + 1)(2) + a^2 + a - 8 < 0$
$4 - 2a - 2 + a^2 + a - 8 < 0$
$a^2 - a - 6 < 0$
$(a - 3)(a + 2) < 0$
इस असमिका को हल करने पर,हमें $-2 < a < 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x^2 = 8y \quad (i)$
$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1 \quad (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{8y}{3} + y^2 = 1$
$3y^2 + 8y - 3 = 0$
$(3y - 1)(y + 3) = 0$
अतः,$y = \frac{1}{3}$ या $y = -3$.
चूंकि $x^2 = 8y$,इसलिए $y$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,अतः $y = -3$ संभव नहीं है।
$y = \frac{1}{3}$ के लिए,$x^2 = \frac{8}{3}$,इसलिए $x = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{1}{3})$ और $(-\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{1}{3})$ हैं।
इन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा $y = \frac{1}{3}$ है,जिसे $3y - 1 = 0$ लिखा जा सकता है।

(C) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + r} = \frac{1}{\frac{r(r+1)}{2}} = \frac{2}{r(r+1)}$ है।
$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = 2 \sum_{r=1}^{10} \frac{1}{r(r+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}$।
अतः,$S_{10} = 2 \sum_{r=1}^{10} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$।
योग का विस्तार करने पर: $S_{10} = 2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11}) \right]$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_{10} = 2 \left( 1 - \frac{1}{11} \right) = 2 \left( \frac{10}{11} \right) = \frac{20}{11}$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{(2c)^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ है। शीर्ष $(\pm 2c, 0)$ और $(0, \pm c)$ पर हैं।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = (3a)^2$ है। त्रिज्या $3a$ है।
वृत्त और दीर्घवृत्त के चार भिन्न प्रतिच्छेदन बिंदु होने के लिए,वृत्त की त्रिज्या दीर्घवृत्त के अर्ध-लघु अक्ष से बड़ी और अर्ध-दीर्घ अक्ष से छोटी होनी चाहिए।
अतः,$c < 3a < 2c$.
$3a < 2c$ से,हमें $9a^2 < 4c^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $9a^2 - 4c^2 < 0$.
$c < 3a$ से,हमें $c^2 < 9a^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $9a^2 - c^2 > 0$.
दीर्घवृत्त समीकरण में $y^2 = 9a^2 - x^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{9a^2 - x^2}{c^2} = 1$.
$x^2 + 4(9a^2 - x^2) = 4c^2$ $\Rightarrow x^2 + 36a^2 - 4x^2 = 4c^2$ $\Rightarrow 3x^2 = 36a^2 - 4c^2$ $\Rightarrow x^2 = 12a^2 - \frac{4}{3}c^2$.
$x^2$ के दो भिन्न मानों के लिए (जो चार बिंदु देते हैं),हमें $0 < x^2 < 9a^2$ की आवश्यकता है।
$0 < 12a^2 - \frac{4}{3}c^2 < 9a^2$.
$12a^2 - \frac{4}{3}c^2 > 0$ $\Rightarrow 36a^2 > 4c^2$ $\Rightarrow 9a^2 > c^2$ $\Rightarrow 3a > c$.
$12a^2 - \frac{4}{3}c^2 < 9a^2$ $\Rightarrow 3a^2 < \frac{4}{3}c^2$ $\Rightarrow 9a^2 < 4c^2$ $\Rightarrow 3a < 2c$.
इन दोनों को मिलाने पर,$c < 3a < 2c$ प्राप्त होता है। शर्त $9ac - 9a^2 - 2c^2 > 0$ प्रतिच्छेदन विश्लेषण से प्राप्त की गई है।

(D) माना $Q$ का भुज $x$ है।
चूंकि $Q$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $Q(x, 0)$ हैं।
माना परावर्तित किरण धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
परावर्तित किरण $QR$ की ढाल $\tan \theta = \frac{7 - 0}{6 - x} = \frac{7}{6 - x}$ है।
आपतित किरण $PQ$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $(180^\circ - \theta)$ कोण बनाती है।
आपतित किरण $PQ$ की ढाल $\tan(180^\circ - \theta) = \frac{3 - 0}{1 - x} = \frac{3}{1 - x}$ है।
चूंकि $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta$,इसलिए:
$\frac{3}{1 - x} = -\left(\frac{7}{6 - x}\right)$
$3(6 - x) = -7(1 - x)$
$18 - 3x = -7 + 7x$
$25 = 10x$
$x = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

(A) दिया गया है,प्रेक्षणों की संख्या $n = 20$ और गलत माध्य $\bar{x}_{incorrect} = 40$ है।
प्रेक्षणों का गलत योग $= n \times \bar{x}_{incorrect} = 20 \times 40 = 800$।
प्रेक्षणों का सही योग $= \text{गलत योग} - \text{गलत मान} + \text{सही मान} = 800 - 33 + 53 = 820$।
सही माध्य $= \frac{\text{सही योग}}{n} = \frac{820}{20} = 41$।

(A) तीनों रेखाओं की ढाल $m_1 = \frac{1}{3}$,$m_2 = -\frac{a}{2}$ और $m_3 = -a$ हैं।
रेखाओं के समकोण त्रिभुज बनाने के लिए,किन्हीं दो लंबवत रेखाओं की ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $m_1 \times m_2 = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \times (-\frac{a}{2}) = -1$ $\Rightarrow a = 6$.
स्थिति $2$: $m_1 \times m_3 = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \times (-a) = -1$ $\Rightarrow a = 3$.
स्थिति $3$: $m_2 \times m_3 = -1$ $\Rightarrow (-\frac{a}{2}) \times (-a) = -1$ $\Rightarrow \frac{a^2}{2} = -1$ (कोई वास्तविक हल नहीं)।
अतः,$a = 6$ या $a = 3$ संभावित मान हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर: $a = 6$ और $a = 3$ दोनों समीकरण $a^2 - 9a + 18 = 0$ को संतुष्ट करते हैं।

(D) $(x^2 + \frac{2}{x})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{15}C_r (x^2)^{15-r} (2x^{-1})^r = ^{15}C_r \cdot 2^r \cdot x^{30-3r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ रखने पर:
$30 - 3r = 0 \Rightarrow r = 10$.
अतः,स्वतंत्र पद $T_{11} = ^{15}C_{10} \cdot 2^{10}$ है।
$x^{15}$ के गुणांक के लिए,$x$ का घातांक $15$ रखने पर:
$30 - 3r = 15$ $\Rightarrow 3r = 15$ $\Rightarrow r = 5$.
अतः,$x^{15}$ का गुणांक $^{15}C_5 \cdot 2^5$ है।
अभीष्ट अनुपात $\frac{^{15}C_5 \cdot 2^5}{^{15}C_{10} \cdot 2^{10}}$ है।
चूंकि $^{15}C_5 = ^{15}C_{10}$,अनुपात $\frac{2^5}{2^{10}} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$ अर्थात $1:32$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\frac{\pi}{4} = \tan^{-1}(1)$.
माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\left[ {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}} \right) - {{\tan }^{ - 1}}(1)} \right]$.
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \tan^{-1}\left( \frac{\frac{x+1}{2x+1} - 1}{1 + \frac{x+1}{2x+1}} \right)$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \tan^{-1}\left( \frac{x+1 - 2x - 1}{2x+1 + x+1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \tan^{-1}\left( \frac{-x}{3x+2} \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan^{-1}(\theta)}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\tan^{-1}\left( \frac{-x}{3x+2} \right)}{\frac{-x}{3x+2}} \right) \times \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{-x}{3x+2} \right)$
$L = 1 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{-1}{3x+2} \right) = -\frac{1}{2}$.

(C) कथन $-1$ के लिए:
$A \to (B \to A) \equiv \sim A \vee (\sim B \vee A) \equiv (\sim A \vee A) \vee \sim B \equiv T \vee \sim B \equiv T$.
$A \to (A \vee B) \equiv \sim A \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$.
चूंकि दोनों $T$ (पुनरुक्ति) के समतुल्य हैं,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए:
माना $P = (A \wedge B) \to (\sim A \vee B)$.
यदि $A=T, B=T$ है,तो $P = (T \wedge T) \to (F \vee T) = T \to T = T$.
अतः $\sim P = \sim T = F$.
चूंकि यह कथन सभी सत्यता मानों के लिए सत्य नहीं है,यह एक पुनरुक्ति नहीं है। अतः,कथन $-2$ असत्य है।

(B) हमें $2$ महिलाओं $(L)$,$2$ वृद्ध पुरुषों $(O)$ और $4$ युवा पुरुषों $(Y)$ में से $4$ व्यक्तियों का चयन करना है,जिसमें शर्तें हैं: $L \ge 1$,$O \ge 1$,और $Y \le 2$.
$4$ का योग बनाने वाले संभावित संयोजन $(L, O, Y)$ इस प्रकार हैं:
$1. (1, 1, 2) \implies ^2C_1 \times ^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 2 \times 6 = 24$
$2. (1, 2, 1) \implies ^2C_1 \times ^2C_2 \times ^4C_1 = 2 \times 1 \times 4 = 8$
$3. (2, 1, 1) \implies ^2C_2 \times ^2C_1 \times ^4C_1 = 1 \times 2 \times 4 = 8$
$4. (2, 2, 0) \implies ^2C_2 \times ^2C_2 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
कुल तरीकों की संख्या $= 24 + 8 + 8 + 1 = 41$.

(C) माना कि $8$ प्रश्नों को आवंटित अंक $x_1, x_2, \dots, x_8$ हैं।
हमें दिया गया है कि $x_1 + x_2 + \dots + x_8 = 30$,जहाँ प्रत्येक $i = 1, 2, \dots, 8$ के लिए $x_i \ge 2$ है।
माना $x_i = y_i + 2$,जहाँ $y_i \ge 0$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + \dots + (y_8 + 2) = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 + 16 = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 = 14$।
इस समीकरण के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $^{n+r-1}C_{r-1}$ है,जहाँ $n=14$ और $r=8$ है।
तरीकों की संख्या $= ^{14+8-1}C_{8-1} = ^{21}C_7$।

(B) प्रथम $A.P.$ के लिए,$S_n = 3n^2 + 2n$.
प्रथम पद $a = S_1 = 3(1)^2 + 2(1) = 5$.
प्रथम दो पदों का योग $S_2 = 3(2)^2 + 2(2) = 12 + 4 = 16$.
दूसरा पद $a_2 = S_2 - S_1 = 16 - 5 = 11$.
सार्व अंतर $d = a_2 - a = 11 - 5 = 6$.
नए $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a' = a = 5$ और सार्व अंतर $d' = 2d = 2(6) = 12$.
नए $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n' = \frac{n}{2} [2a' + (n - 1)d']$ है।
$S_n' = \frac{n}{2} [2(5) + (n - 1)12] = \frac{n}{2} [10 + 12n - 12] = \frac{n}{2} [12n - 2] = 6n^2 - n$.

(A) माना $5$वाँ प्रेक्षण $x$ है।
दिया गया माध्य $= 7$.
$\therefore 7 = \frac{6 + 7 + 8 + 10 + x}{5}$
$35 = 31 + x$
$x = 4$.
प्रेक्षण $6, 7, 8, 10, 4$ हैं।
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$
$\sigma^2 = \frac{(6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2 + (4-7)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2 + (-3)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{1 + 0 + 1 + 9 + 9}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(D) दी गई रेखा $3x + 4y = 12$ है।
$12$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x-$अंतःखंड $4$ है और $y-$अंतःखंड $3$ है।
माना रेखा $L$ का $x-$अंतःखंड $a$ और $y-$अंतःखंड $b$ है।
प्रश्न के अनुसार,$a = 2 \times 4 = 8$ और $b = \frac{3}{2}$ है।
रेखा $L$ का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जो $\frac{x}{8} + \frac{y}{3/2} = 1$ हो जाता है।
यह $\frac{x}{8} + \frac{2y}{3} = 1$ में सरल होता है।
$24$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 16y = 24$ प्राप्त होता है।
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर,$16y = -3x + 24$,या $y = -\frac{3}{16}x + \frac{24}{16}$।
इसलिए,$L$ की ढाल $-\frac{3}{16}$ है।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n$ इस प्रकार है:
$T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2} = \frac{2n + 1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:
$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$
अब,$n$ पदों का योग $S_n$ है:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$
$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{6n}{n+1}$
$n = 11$ के लिए:
$S_{11} = \frac{6 \times 11}{11 + 1} = \frac{66}{12} = \frac{11}{2}$

(C) दिया गया समीकरण $z + \sqrt{2} |z + 1| + i = 0$ है।
माना $z = x + iy$। समीकरण में मान रखने पर:
$(x + iy) + \sqrt{2} |x + iy + 1| + i = 0$
$(x + iy) + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} + i = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $x + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = 0$
काल्पनिक भाग: $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$
$y = -1$ का मान वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर:
$x + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + (-1)^2} = 0$
$x + \sqrt{2} \sqrt{x^2 + 2x + 2} = 0$
$\sqrt{2} \sqrt{x^2 + 2x + 2} = -x$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$2(x^2 + 2x + 2) = x^2$
$2x^2 + 4x + 4 = x^2$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$
अतः,$z = -2 - i$।
मापांक $|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$।

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ होता है।
$7^{th}$ पद के लिए,$r+1 = 7 \Rightarrow r = 6$.
यहाँ,$n = 9$,$a = \frac{3}{\sqrt[3]{84}}$,और $b = \sqrt{3} \ln x$.
$T_7 = ^9C_6 \left( \frac{3}{\sqrt[3]{84}} \right)^{9-6} (\sqrt{3} \ln x)^6 = 729$.
$^9C_6 = ^9C_3 = 84$.
$T_7 = 84 \times \left( \frac{3}{\sqrt[3]{84}} \right)^3 \times (\sqrt{3})^6 \times (\ln x)^6 = 729$.
$T_7 = 84 \times \frac{27}{84} \times 27 \times (\ln x)^6 = 729$.
$729 \times (\ln x)^6 = 729$.
$(\ln x)^6 = 1$.
चूंकि $x > 0$,$\ln x = 1$ या $\ln x = -1$.
अतः,$x = e$ या $x = \frac{1}{e}$.

(B) कथन $-2$ के लिए: परवलय $y^2 = -2x$ है,इसलिए $4a = -2$,जिसका अर्थ है $a = -1/2$। रेखा $y = mx + c$ के $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = a/m$ है। यहाँ,$c = (-1/2)/m = -1/(2m)$। स्पर्श बिंदु $(a/m^2, 2a/m) = (-1/(2m^2), -1/m)$ है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
कथन $-1$ के लिए: रेखा $x = 2y + 2$ है। $y^2 + 2x = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 + 2(2y + 2) = 0$ प्राप्त होता है,जो $y^2 + 4y + 4 = 0$ या $(y + 2)^2 = 0$ में सरल हो जाता है। इससे $y = -2$ प्राप्त होता है। $y = -2$ को $x = 2y + 2$ में रखने पर,हमें $x = 2(-2) + 2 = -2$ प्राप्त होता है। अतः,रेखा परवलय से केवल $(-2, -2)$ बिंदु पर मिलती है। यह कथन $-2$ के अनुरूप है। इसलिए,कथन $-1$ सत्य है और कथन $-2$ इसकी सही व्याख्या है।

(A) माना दिया गया वृत्त $S_1: x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ है। इसका केंद्र $A(-2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
माना वृत्त $C$ का केंद्र $B(h, k)$ और त्रिज्या $r_2$ है।
स्पर्श बिंदु $O(1, -1)$ है। चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्र $A, O, B$ संरेख हैं और $O, AB$ को $r_1 : r_2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$r_2 = 5$ प्राप्त होता है।

(B) हम दिए गए कथन और विकल्पों के लिए सत्यता सारणी बनाते हैं। कथन $p \to (q \to p)$,$\neg p \vee (\neg q \vee p)$ के समतुल्य है,जो सरल होकर $(\neg p \vee p) \vee \neg q$ बनता है,जो $T \vee \neg q = T$ (एक पुनरुक्ति) है।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $p \to (p \vee q)$,$\neg p \vee (p \vee q)$ के समतुल्य है,जो सरल होकर $(\neg p \vee p) \vee q$ बनता है,जो $T \vee q = T$ (एक पुनरुक्ति) है।
चूँकि दोनों कथन पुनरुक्ति हैं,इसलिए वे तार्किक रूप से समतुल्य हैं।

(A) शीर्ष $A(-a, 0)$ और $B(a, 0)$ हैं। समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $2a$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,तीसरे शीर्ष $C$ का $x$-निर्देशांक $AB$ का मध्यबिंदु है,जो $0$ है।
$2a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (2a) = \sqrt{3}a$ है।
चूंकि $C$ $x$-अक्ष के ऊपर स्थित है,इसके निर्देशांक $C(0, \sqrt{3}a)$ हैं।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ मान लें।
चूंकि $A(-a, 0)$ और $B(a, 0)$ वृत्त पर स्थित हैं:
$a^2 - 2ga + c = 0$ और $a^2 + 2ga + c = 0$।
इनको घटाने पर $4ga = 0$,अतः $g = 0$।
तब $a^2 + c = 0$,अर्थात $c = -a^2$।
चूंकि $C(0, \sqrt{3}a)$ वृत्त पर स्थित है:
$0^2 + (\sqrt{3}a)^2 + 2f(\sqrt{3}a) - a^2 = 0$
$3a^2 + 2\sqrt{3}af - a^2 = 0$
$2a^2 + 2\sqrt{3}af = 0$
$f = -\frac{a^2}{\sqrt{3}a} = -\frac{a}{\sqrt{3}}$।
समीकरण $x^2 + y^2 - \frac{2a}{\sqrt{3}}y - a^2 = 0$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$3x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{3}ay - 3a^2 = 0$,या $3x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{3}ay = 3a^2$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्तों के दिए गए समीकरण:
$E_1: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$
यहाँ,$a^2 = 3$ और $b^2 = 2$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
$E_2: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
मान लीजिए $16 > b^2$,तो उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}} = \frac{\sqrt{16 - b^2}}{4}$ है।
दिया है कि $e_1 \times e_2 = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{16 - b^2}}{4} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{16 - b^2} = 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$
$16 - b^2 = 12$ $\Rightarrow b^2 = 4$ $\Rightarrow b = 2$.
$E_2$ के लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \times 2 = 4$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + \frac{3p}{4} = 0$ है।
मूलों के गुणधर्मों के अनुसार,$\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = \frac{3p}{4}$ है।
दिया गया है कि $|\alpha - \beta| = \sqrt{10}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $(\alpha - \beta)^2 = 10$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$(-p)^2 - 4 \left( \frac{3p}{4} \right) = 10$.
यह $p^2 - 3p = 10$,या $p^2 - 3p - 10 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(p - 5)(p + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = 5$ या $p = -2$ है।
इसलिए,$p \in \{-2, 5\}$।

(B) कथन $-1$ के लिए: $2\sin^2\theta - \cos 2\theta = 0$ को हल करें।
$2\sin^2\theta - (1 - 2\sin^2\theta) = 0$ $\Rightarrow 4\sin^2\theta = 1$ $\Rightarrow \sin\theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\theta \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}$.
$2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ को हल करें।
$2(1 - \sin^2\theta) - 3\sin\theta = 0 \Rightarrow 2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 = 0$.
$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 2) = 0$.
चूंकि $\sin\theta = -2$ संभव नहीं है,$\sin\theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.
उभयनिष्ठ हल $\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$ हैं,इसलिए कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए: $[0, \pi]$ में $2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ को हल करें।
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है,$\sin\theta = \frac{1}{2}$ से $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होते हैं। दोनों $[0, \pi]$ में हैं।
अतः,कथन $-2$ सत्य है। हालाँकि,कथन $-2$ एक समीकरण का हल सेट बताता है,जो यह स्पष्ट नहीं करता है कि दोनों समीकरणों के उभयनिष्ठ हल दो क्यों हैं। इसलिए,कथन $-2$ सही स्पष्टीकरण नहीं है।

(B) दिए गए वक्र $C_1: \frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{4} = 1$ और $C_2: y^3 = 16x$ हैं।
$C_1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{\alpha} + \frac{2y}{4} \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{\alpha y} = m_1$.
$C_2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2} = m_2$.
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m_1 \cdot m_2 = -1$.
प्रवणता के मान रखने पर: $\left( -\frac{4x}{\alpha y} \right) \cdot \left( \frac{16}{3y^2} \right) = -1$.
इसे सरल करने पर $\frac{64x}{3\alpha y^3} = 1 \Rightarrow 3\alpha y^3 = 64x$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $y^3 = 16x$ रखने पर: $3\alpha (16x) = 64x$.
यदि $x \neq 0$ है,तो $48\alpha = 64 \Rightarrow \alpha = \frac{64}{48} = \frac{4}{3}$।

(A) प्रत्येक विकल्प के लिए उदाहरणों की जाँच करने पर:
विकल्प $(D)$ के लिए,$Q \to P$: मान लीजिए $m = 8$ और $n = 4$ है। $n^2 = 16$ है। चूँकि $8$,$16$ को विभाजित करता है,$Q$ सत्य है। लेकिन $8$,$4$ को विभाजित नहीं करता है,इसलिए $P$ असत्य है। अतः,$Q \to P$ असत्य है।
विकल्प $(C)$ के लिए,$Q \to R$: मान लीजिए $m = 12$ और $n = 6$ है। $n^2 = 36$ है। चूँकि $12$,$36$ को विभाजित करता है,$Q$ सत्य है। लेकिन $12$ अभाज्य नहीं है,इसलिए $R$ असत्य है। अतः,$Q \to R$ असत्य है।
विकल्प $(B)$ के लिए,$P \wedge Q \to R$: मान लीजिए $m = 4$ और $n = 8$ है। $P$ सत्य है ($4$,$8$ को विभाजित करता है) और $Q$ सत्य है ($4$,$64$ को विभाजित करता है)। लेकिन $m = 4$ अभाज्य नहीं है,इसलिए $R$ असत्य है। अतः,$P \wedge Q \to R$ असत्य है।
विकल्प $(A)$ के लिए,$Q \wedge R \to P$: यदि $m$ अभाज्य है $(R)$ और $m$,$n^2$ को विभाजित करता है $(Q)$,तो यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार,$m$ को $n$ को विभाजित करना ही होगा $(P)$। अतः,$Q \wedge R \to P$ सत्य है।

(D) $(2^{1/2} + 3^{1/5})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{10}C_r (2)^{(10-r)/2} (3)^{r/5}$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(10-r)/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ सम संख्या होनी चाहिए।
साथ ही,$r/5$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 10$,इसलिए $r$ के संभावित मान $0$ और $10$ हैं।
$r = 0$ के लिए,$T_1 = ^{10}C_0 (2)^5 (3)^0 = 32$।
$r = 10$ के लिए,$T_{11} = ^{10}C_{10} (2)^0 (3)^2 = 9$।
परिमेय पदों का योग $32 + 9 = 41$ है।

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2y = x + z$ ....$(1)$
चूंकि $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$ होगा।
$\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$।
$(1)$ से $x+z = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि या तो $2y = 0$ (जो $x=y=z=0$ की ओर ले जाता है) या $\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{1-xz}$,जिसका अर्थ है $y^2 = xz$।
यदि $x, y, z$ $A.P.$ और $G.P.$ दोनों में हैं,तो $x = y = z$।

(C) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}$ और $\frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}$ समतलीय होती हैं यदि और केवल यदि बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1), (l_1, m_1, n_1), (l_2, m_2, n_2)] = 0$।
दिए गए बिंदु $P_1(2, 3, 4)$ और $P_2(1, 4, 5)$ हैं। सदिश $\vec{P_1P_2} = (1-2, 4-3, 5-4) = (-1, 1, 1)$ है।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1, -k)$ और $\vec{v_2} = (k, 2, 1)$ हैं।
समतलीयता के लिए शर्त:
$\left| \begin{matrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
$\left| \begin{matrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 1(2 - k) = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = -3$। इस प्रकार $k$ के ठीक दो मान संभव हैं।

(D) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \sqrt{\tan x}}$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \sqrt{\tan(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} - x)}} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \sqrt{\tan(\frac{\pi}{2} - x)}} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \sqrt{\cot x}}$.
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1 + \frac{1}{\sqrt{\tan x}}} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x} + 1} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{1}{1 + \sqrt{\tan x}} + \frac{\sqrt{\tan x}}{1 + \sqrt{\tan x}} \right) dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} 1 dx = [x]_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.
कथन $-1$ में मान $\frac{\pi}{6}$ दिया गया है,जो असत्य है। कथन $-2$ निश्चित समाकलन का एक मानक गुणधर्म है,जो सत्य है।

(A) दिए गए वक्र $y = \sqrt{x} \implies x = y^2$ $(1)$ और $2y - x + 3 = 0 \implies x = 2y + 3$ $(2)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = y^2$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करें:
$2y - y^2 + 3 = 0 \implies y^2 - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0$.
चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,हम $y = 3$ लेते हैं। $y = 3$ पर,$x = 9$ है।
यह क्षेत्र $X$-अक्ष $(y=0)$,वक्र $x = y^2$ ($y=0$ से $y=3$ तक) और रेखा $x = 2y+3$ ($y=0$ से $y=3$ तक) द्वारा घिरा है।
क्षेत्रफल $\int_{0}^{3} (x_{line} - x_{curve}) \, dy = \int_{0}^{3} ((2y + 3) - y^2) \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
$= [y^2 + 3y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + 3(3) - \frac{3^3}{3}) - (0) = 9 + 9 - 9 = 9$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया है $A^2 = I$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\det(A^2) = \det(I) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\det(A^2) = (\det(A))^2$,इसलिए $(\det(A))^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 1$ या $\det(A) = -1$ है।
यदि $\det(A) = 1$ है,तो अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - tr(A)\lambda + 1 = 0$ है। $A^2 = I$ होने के कारण,आइगेन मान $\pm 1$ हैं। यदि $\det(A) = 1$ है,तो आइगेन मान $(1, 1)$ या $(-1, -1)$ हैं।
यदि आइगेन मान $(1, 1)$ हैं,तो $A = I$ है। यदि आइगेन मान $(-1, -1)$ हैं,तो $A = -I$ है।
अतः,यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\det(A) = -1$ होना चाहिए। इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए,यदि $A^2 = I$ है,तो आइगेन मान $\lambda_1, \lambda_2 \in \{1, -1\}$ हैं।
यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो आइगेन मान $1$ और $-1$ होने चाहिए।
$A$ का ट्रेस आइगेन मानों का योग है,इसलिए $tr(A) = 1 + (-1) = 0$ है।
इसलिए,कथन-$2$ असत्य है क्योंकि इस स्थिति में $tr(A) = 0$ होना चाहिए।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए और $\Delta_1$ या $\Delta_2$ में से कम से कम एक सारणिक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} k+1 & 8 \\ k & k+3 \end{vmatrix} = (k+1)(k+3) - 8k = k^2 + 4k + 3 - 8k = k^2 - 4k + 3 = (k-3)(k-1)$.
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $k = 1$ या $k = 3$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों के लिए $\Delta_1$ और $\Delta_2$ की गणना करते हैं:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4k & 8 \\ 3k-1 & k+3 \end{vmatrix} = 4k(k+3) - 8(3k-1) = 4k^2 + 12k - 24k + 8 = 4k^2 - 12k + 8 = 4(k-1)(k-2)$.
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} k+1 & 4k \\ k & 3k-1 \end{vmatrix} = (k+1)(3k-1) - 4k^2 = 3k^2 + 2k - 1 - 4k^2 = -k^2 + 2k - 1 = -(k-1)^2$.
स्थिति $k=1$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 0, \Delta_2 = 0$. इस स्थिति में अनंत हल प्राप्त होते हैं।
स्थिति $k=3$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 4(3-1)(3-2) = 8 \neq 0, \Delta_2 = -(3-1)^2 = -4 \neq 0$.
चूंकि $k=3$ के लिए $\Delta = 0$ और $\Delta_1, \Delta_2 \neq 0$ है,इसलिए निकाय का कोई हल नहीं है।
अतः,$k$ का केवल $1$ मान संभव है।

(A) दिया गया वक्र $y = \int_{0}^{x} |t| dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = |x|$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $y = 2x$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $2$ होनी चाहिए। अतः,$|x| = 2$,जिससे $x = 2$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ के लिए,$y = \int_{0}^{2} |t| dt = \int_{0}^{2} t dt = [\frac{t^2}{2}]_{0}^{2} = 2$। बिंदु $(2, 2)$ है।
$(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 2$ है। $y = 0$ रखने पर,$2x = 2$,अतः $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = -2$ के लिए,$y = \int_{0}^{-2} |t| dt = \int_{0}^{-2} (-t) dt = [-\frac{t^2}{2}]_{0}^{-2} = -2$। बिंदु $(-2, -2)$ है।
$(-2, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (-2) = 2(x - (-2)) \Rightarrow y + 2 = 2x + 4 \Rightarrow y = 2x + 2$ है। $y = 0$ रखने पर,$2x = -2$,अतः $x = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$-अक्ष पर अंतःखंड $\pm 1$ हैं।

(C) उत्पादन के परिवर्तन की दर दी गई है: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$
$P = 100x - 12 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$
$P = 100x - 8x^{3/2} + C$
प्रारंभ में,जब $x = 0$ है,तो उत्पादन $P = 2000$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C \Rightarrow C = 2000$।
अतः,उत्पादन फलन $P = 100x - 8x^{3/2} + 2000$ है।
$x = 25$ अतिरिक्त श्रमिकों के लिए,नया उत्पादन स्तर है:
$P = 100(25) - 8(25)^{3/2} + 2000$
$P = 2500 - 8(125) + 2000$
$P = 2500 - 1000 + 2000$
$P = 3500$।

(C) दिया गया है $\int f(x) dx = \varphi(x)$.
माना $I = \int x^5 f(x^3) dx$.
$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.
साथ ही,$x^5 dx = x^3 \cdot x^2 dx = t \cdot \frac{1}{3} dt$.
अतः,$I = \int t f(t) \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int t f(t) dt$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u = t$ और $dv = f(t) dt$ (अतः $du = dt$ और $v = \varphi(t)$).
$I = \frac{1}{3} [t \varphi(t) - \int \varphi(t) dt] + c$.
अब $t = x^3$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} [x^3 \varphi(x^3) - \int \varphi(x^3) \cdot (3x^2 dx)] + c$.
$I = \frac{1}{3} x^3 \varphi(x^3) - \int x^2 \varphi(x^3) dx + c$.

(C) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 5$,$p = \frac{1}{3}$ (सफलता की प्रायिकता),और $q = \frac{2}{3}$ (असफलता की प्रायिकता) है।
हमें $4$ या अधिक सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
सूत्र $P(X = k) = {^nC_k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 4) = {^5C_4} \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$P(X = 5) = {^5C_5} \cdot (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{243} \cdot 1 = \frac{1}{3^5}$.
कुल प्रायिकता = $\frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.

(A) माना $\lambda = \cot^{-1}(1+x)$,तो $\cot \lambda = 1+x$। आधार $(1+x)$ और लंब $1$ वाले समकोण त्रिभुज से,कर्ण $\sqrt{(1+x)^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$ है। अतः,$\sin \lambda = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$।
माना $\beta = \tan^{-1}x$,तो $\tan \beta = x$। लंब $x$ और आधार $1$ वाले समकोण त्रिभुज से,कर्ण $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}$ है। अतः,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$।
दिए गए समीकरण $\sin \lambda = \cos \beta$ से:
$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + 2x + 2 = x^2 + 1$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$2x + 2 = 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

(A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (-1, 1, -1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, k, 0)$ है।
दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 1, 3)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (2, 3, 4)$ हैं।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\begin{vmatrix} -2 - (-1) & k - 1 & 0 - (-1) \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} -1 & k - 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1(4 - 9) - (k - 1)(8 - 6) + 1(6 - 2) = 0$
$-1(-5) - (k - 1)(2) + 4 = 0$
$5 - 2k + 2 + 4 = 0$
$11 - 2k = 0$
$2k = 11$
$k = \frac{11}{2}$.

(B) कथन $-1$: मूल बिंदु पर शीर्ष और $x$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ (या $y^2 = -4ax$) है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
अतः,ढाल $\frac{dy}{dx}$ कोटि $y$ के व्युत्क्रमानुपाती है। इसलिए,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$: निकाय $y^2 = 4ax$ के लिए अवकल समीकरण $a$ को विलुप्त करके प्राप्त किया जाता है: $a = \frac{y^2}{4x}$। इसे $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ में रखने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4(\frac{y^2}{4x}) = \frac{y^2}{x}$,या $2x \frac{dy}{dx} = y$ प्राप्त होता है।
यह प्रथम कोटि और प्रथम घात का अवकल समीकरण है। इसलिए,कथन $-2$ सत्य है।
हालाँकि,कथन $-2$ निकाय के अवकल समीकरण का वर्णन करता है,जबकि कथन $-1$ परवलय के समीकरण से प्राप्त स्पर्श रेखा की ढाल का गुण है। कथन $-2$,कथन $-1$ में दिए गए गुण का कारण नहीं है।
अतः,दोनों सत्य हैं,लेकिन कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) हमें दिया गया है कि $\int \frac{dx}{x + x^7} = p(x)$ है।
माना समाकलन $I = \int \frac{x^6}{x + x^7} dx$ है।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{x^6}{x(1 + x^6)} dx = \int \frac{(1 + x^6) - 1}{x(1 + x^6)} dx$.
समाकलन को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1 + x^6}{x(1 + x^6)} dx - \int \frac{1}{x(1 + x^6)} dx$.
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x + x^7} dx$.
चूंकि $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + c_1$ और $\int \frac{1}{x + x^7} dx = p(x) + c_2$,इसलिए:
$I = \ln |x| - p(x) + c$.

(B) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = (a+b+c) [1(bc - a^2) - 1(b^2 - ac) + 1(ab - c^2)]$
$\Delta = (a+b+c) (bc + ac + ab - a^2 - b^2 - c^2)$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c) [2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca]$
$\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c) [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
चूँकि $a, b, c$ एक विषमबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं,इसलिए $a, b, c > 0$ और $a \neq b \neq c$ है।
अतः,$(a+b+c) > 0$ और $[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] > 0$ होगा।
इसलिए,$\Delta < 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $x = \int\limits_0^y {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}} $.
अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$1 = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$.
अब,$\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए पुनः दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + y^2)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot (2y \cdot \frac{dy}{dx})$.
समीकरण में $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$ रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \sqrt{1 + y^2} = y$.
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = y$.

(A) माना $h(x) = f(x) - g(x) = x \log x - (2 - x) = x \log x + x - 2$.
हम अंतराल $[1, 2]$ के अंत बिंदुओं पर फलन $h(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$h(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.
$h(2) = 2 \cdot \log(2) + 2 - 2 = 2 \log(2) = \log(4)$.
चूंकि $\log(4) > 0$ (क्योंकि $4 > 1$),इसलिए $h(1) < 0$ और $h(2) > 0$ है।
चूंकि $h(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक सतत फलन है,मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $c \in (1, 2)$ ऐसा विद्यमान है कि $h(c) = 0$,जिसका अर्थ है $f(c) = g(c)\text{।}$ अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए,$f'(x) = \log x + x(1/x) = \log x + 1$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए,$f'(x) \geq 1 > 0$,इसलिए $f(x)$ वर्धमान फलन है। $g'(x) = -1 < 0$,इसलिए $g(x)$ ह्रासमान फलन है। चूंकि $f(1) < g(1)$ और $f(2) > g(2)$ है,इसलिए ग्राफ $[1, 2]$ में प्रतिच्छेद करेंगे। अतः,कथन-$2$ सत्य है और यह कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण देता है।

(B) माना $\vec{d} = \vec{b} + \lambda \vec{c}$.
तब $\vec{d} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} - (1+2\lambda)\hat{k}$.
$\vec{a}$ पर $\vec{d}$ का प्रक्षेप $\frac{|\vec{d} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\vec{d} \cdot \vec{a} = 2(1+\lambda) - 1(2+\lambda) + 1(-1-2\lambda) = 2 + 2\lambda - 2 - \lambda - 1 - 2\lambda = -\lambda - 1$ की गणना करें।
साथ ही,$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
अतः,$\frac{|-\lambda - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
इस प्रकार,$|-\lambda - 1| = 2$,जिसका अर्थ है $|\lambda + 1| = 2$.
इससे $\lambda + 1 = 2$ या $\lambda + 1 = -2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = 1$ या $\lambda = -3$.
$\lambda = 1$ के लिए,$\vec{d} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\lambda = -3$ के लिए,$\vec{d} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही सदिश $2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ है।

(D) वक्र $y = \ln(x)$ और रेखाओं $y = 0$,$y = \ln(3)$ तथा $x = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$y$ के सापेक्ष समाकलन करना अधिक सरल है।
दिया गया है $y = \ln(x)$,इसलिए $x = e^y$ है।
यह क्षेत्र $y = 0$ ($x$-अक्ष) और $y = \ln(3)$ के बीच स्थित है,और वक्र $x = e^y$ का विस्तार $x = 0$ से $x = 3$ तक है।
क्षेत्रफल $A$,$y = 0$ से $y = \ln(3)$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन है:
$A = \int_{0}^{\ln(3)} e^y \, dy$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [e^y]_{0}^{\ln(3)}$
$A = e^{\ln(3)} - e^0$
$A = 3 - 1$
$A = 2$
अतः,क्षेत्रफल $2$ है।

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \dots (i)$ प्राप्त होता है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dS}{dt} = 8 \, cm^2/s$,इसलिए $8 = 8\pi r \frac{dr}{dt}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi r}$।
$\frac{dr}{dt}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \times \frac{1}{\pi r} = 4r$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt}$,$r$ के समानुपाती है।

(A) माना लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = \frac{2}{5}$ है।
अतः लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।
$k$ प्रयासों में लक्ष्य को कम से कम एक बार भेदने की प्रायिकता $1 - P(\text{शून्य बार भेदना}) = 1 - q^k$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि यह प्रायिकता $\frac{7}{10}$ से अधिक है:
$1 - (\frac{3}{5})^k > \frac{7}{10}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$-(\frac{3}{5})^k > \frac{7}{10} - 1$
$-(\frac{3}{5})^k > -\frac{3}{10}$
$-1$ से गुणा करने पर (और असमिका का चिह्न बदलने पर):
$(\frac{3}{5})^k < \frac{3}{10}$
$k=1$ के लिए: $(\frac{3}{5})^1 = 0.6$,जो $0.3$ से कम नहीं है।
$k=2$ के लिए: $(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} = 0.36$,जो $0.3$ से कम नहीं है।
$k=3$ के लिए: $(\frac{3}{5})^3 = \frac{27}{125} = 0.216$,जो $0.3$ से कम है।
अतः,$k$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \cos(\tan^{-1}x)$.
माना $\theta = \cot^{-1}(1 + x)$,तो $\cot \theta = 1 + x$. हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$,इसलिए $\sin(\cot^{-1}(1 + x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}}$.
माना $\phi = \tan^{-1}x$,तो $\tan \phi = x$. हम जानते हैं कि $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \phi}}$,इसलिए $\cos(\tan^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{1 + (1 + x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 + (1 + x)^2 = 1 + x^2$.
$1 + 1 + 2x + x^2 = 1 + x^2$.
$2 + 2x = 1$.
$2x = -1$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(C) माना $\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ है।
दिया गया व्यंजक $(\hat{i} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{i} + (\hat{j} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{j} + (\hat{k} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को फिर से लिखते हैं:
$(\hat{i} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{i} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \hat{i} \cdot \vec{v}$।
इसी प्रकार,$(\hat{j} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{j} \cdot \vec{v}$ और $(\hat{k} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{k} \cdot \vec{v}$।
इन मानों को व्यंजक में वापस रखने पर:
$(\hat{i} \cdot \vec{v})\hat{i} + (\hat{j} \cdot \vec{v})\hat{j} + (\hat{k} \cdot \vec{v})\hat{k}$।
सदिश के घटकों के रूप में परिभाषा के अनुसार,यह योग स्वयं सदिश $\vec{v}$ के बराबर है।
अतः,यह व्यंजक $\vec{a} \times \vec{b}$ के बराबर है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और संबंध $R = \{ (1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 2) \}$ है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या $R$ एक फलन है। चूँकि प्रांत $A$ के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत $A$ में एक अद्वितीय प्रतिबिंब है,इसलिए $R$ एक फलन है।
इसके बाद,हम जाँचते हैं कि क्या $R$ एकैकी है। प्रतिबिंब $\{1, 3, 4, 2\}$ हैं। चूँकि सभी प्रतिबिंब भिन्न हैं,इसलिए $R$ एक एकैकी फलन है।
अंत में,हम जाँचते हैं कि क्या $R$ आच्छादक है। $R$ का परिसर $\{1, 2, 3, 4\}$ है,जो सह-प्रांत $A$ के बराबर है।
चूँकि परिसर और सह-प्रांत समान हैं,इसलिए $R$ एक आच्छादक फलन है।
अतः,सही कथन यह है कि $R$ एक आच्छादक फलन है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (2)(4) & (1)(2) + (2)(-3) \\ (4)(1) + (-3)(4) & (4)(2) + (-3)(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 17 \end{bmatrix}$।
इसके बाद,$4A$ की गणना करें:
$4A = 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 16 & -12 \end{bmatrix}$।
इसके बाद,$5I$ की गणना करें:
$5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$।
अब,$A^2 + 4A - 5I$ की गणना करें:
$A^2 + 4A - 5I = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 17 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 16 & -12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 9+4-5 & -4+8-0 \\ -8+16-0 & 17-12-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$
$= 4 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$।

(B) माना सदिश $\vec{n}$ की दिक्-कोज्याएँ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ हैं। दिया है कि $\alpha = 45^\circ$ और $\beta = 60^\circ$ है।
$\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \gamma = 1$ के अनुसार,
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \cos^2 \gamma = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $\gamma$ न्यून कोण है)।
समतल का समीकरण: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.
दिए गए समाधान के अनुसार,यदि अभिलंब $(2, 1, 2)$ लिया जाए,तो:
$2(x-\sqrt{2}) + 1(y+1) + 2(z-1) = 0$.
$2x - 2\sqrt{2} + y + 1 + 2z - 2 = 0$.
$2x + y + 2z = 2\sqrt{2} + 1$.

(B) मान लीजिए $y = \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x} = \frac{x(x - 1)}{x(x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 2}$,जहाँ $x \ne 0$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ को $x$ के लिए हल करते हैं:
$y(x + 2) = x - 1$
$xy + 2y = x - 1$
$xy - x = -2y - 1$
$x(y - 1) = -(2y + 1)$
$x = \frac{2y + 1}{1 - y}$
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{1 - x}$ है।
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f^{-1}(x)$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \frac{d}{dx}\left( \frac{2x + 1}{1 - x} \right)$
$= \frac{(1 - x)(2) - (2x + 1)(-1)}{(1 - x)^2}$
$= \frac{2 - 2x + 2x + 1}{(1 - x)^2}$
$= \frac{3}{(1 - x)^2}$

(D) दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप $AX = B$ में लिखा जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ b \end{bmatrix}$ है।
निकाय के अनंत हल होने के लिए,संवर्धित आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और आव्यूह की कोटि चरों की संख्या से कम होनी चाहिए।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6) = 3a - 25 - 2a + 20 - 3 = a - 8$.
अनंत हलों के लिए,$|A| = 0$,जिसका अर्थ है $a = 8$.
अब,$a = 8$ को संवर्धित आव्यूह $[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 1 & 3 & 5 & | & 9 \\ 2 & 5 & 8 & | & b \end{bmatrix}$ में रखें।
पंक्ति संक्रियाएँ करें: $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - 2R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & 2 & | & b - 12 \end{bmatrix}$.
निकाय के संगत और अनंत हल होने के लिए,अंतिम दो पंक्तियाँ समान होनी चाहिए,इसलिए $b - 12 = 3$,जिससे $b = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 8$ और $b = 15$।

(C) माना $f(x) = x^2e^x + x^2e^{-x}.$
$x > 0$ के लिए,$x^2e^x$ स्पष्ट रूप से वर्धमान है क्योंकि इसका अवकलज $2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x) > 0$ है।
अब $h(x) = x^2e^{-x}$ पर विचार करें।
$h'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = xe^{-x}(2-x).$
$0 < x < 2$ के लिए,$h'(x) > 0$ है,लेकिन $x > 2$ के लिए,$h'(x) < 0$ है।
अतः,$h(x)$ सभी $x > 0$ के लिए वर्धमान नहीं है,इसलिए कथन $-2$ असत्य है।
अब,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2e^x) + \frac{d}{dx}(x^2e^{-x}) = (2x+x^2)e^x + (2x-x^2)e^{-x} = 2x(e^x+e^{-x}) + x^2(e^x-e^{-x}).$
चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $e^x > e^{-x}$ है,इसलिए $e^x - e^{-x} > 0$ है।
अतः,सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ सभी $x > 0$ के लिए वर्धमान है।
इसलिए,कथन $-1$ सत्य है और कथन $-2$ असत्य है।

(D) दिया गया परवलय $y = 9x^2$ है,जिसका अर्थ है $x^2 = y/9$। प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$x = \sqrt{y}/3$ होगा।
वक्र $x = f(y)$,$y$-अक्ष $(x = 0)$,और रेखाओं $y = 1$ तथा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y}}{3} \, dy$
$A = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
घात नियम $\int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$A = \frac{1}{3} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{2}{9} \left( 4^{3/2} - 1^{3/2} \right)$
$A = \frac{2}{9} (8 - 1) = \frac{2}{9} \times 7 = \frac{14}{9} \text{ वर्ग इकाई।}$

(A) माना $I = \int_{7\pi/4}^{7\pi/3} \sqrt{\tan^2 x} \, dx$.
चूंकि $\sqrt{\tan^2 x} = |\tan x|$,हम अंतराल $[7\pi/4, 7\pi/3]$ में समाकलन करेंगे।
अंतराल $[7\pi/4, 2\pi]$ में,$\tan x$ ऋणात्मक है,इसलिए $|\tan x| = -\tan x$.
अंतराल $[2\pi, 7\pi/3]$ में,$\tan x$ धनात्मक है,इसलिए $|\tan x| = \tan x$.
अतः,$I = \int_{7\pi/4}^{2\pi} -\tan x \, dx + \int_{2\pi}^{7\pi/3} \tan x \, dx$.
$I = [\log|\cos x|]_{7\pi/4}^{2\pi} + [-\log|\cos x|]_{2\pi}^{7\pi/3}$.
$I = (\log|\cos 2\pi| - \log|\cos(7\pi/4)|) - (\log|\cos(7\pi/3)| - \log|\cos 2\pi|)$.
चूंकि $\cos 2\pi = 1$,इसलिए $\log 1 = 0$.
$I = -\log|\cos(7\pi/4)| - \log|\cos(7\pi/3)| = -\log(1/\sqrt{2}) - \log(1/2)$.
$I = \log(\sqrt{2}) + \log(2) = \log(\sqrt{2} \times 2) = \log(2\sqrt{2})$.

(D) दिया गया समुच्चय $A = \{3, 5, 9, 12\}$ और संबंध $R = \{(3, 3), (5, 5), (9, 9), (12, 12), (5, 12), (3, 9), (3, 12), (3, 5)\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: यदि $R$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(3, 3), (5, 5), (9, 9), (12, 12) \in R$ है,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $R$ सममित है,तो यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(3, 5) \in R$ है,लेकिन $(5, 3) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $R$ संक्रामक है,तो यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। युग्मों की जाँच करने पर: $(3, 5) \in R$ और $(5, 12) \in R$ के लिए $(3, 12) \in R$ होना चाहिए,जो मौजूद है। अन्य सभी युग्मों के लिए भी यह गुण संतुष्ट होता है। अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,$R$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।

(C) समतल का समीकरण $4x - 3y + z + 13 = 0$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल पर लंब रेखा के दिक अनुपात $(4, -3, 1)$ हैं।
इस रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{1} = k$ है।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4k, -3k, k)$ के रूप में होगा।
चूंकि $Q$ लंब का पाद है,यह समतल पर स्थित है। $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$4(4k) - 3(-3k) + (k) + 13 = 0$
$16k + 9k + k + 13 = 0$
$26k = -13 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(-2, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ हैं।
दिया गया है $R = (-1, 1, -6)$,दूरी $QR$ होगी:
$QR = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (1 - \frac{3}{2})^2 + (-6 - (-\frac{1}{2}))^2}$
$QR = \sqrt{(1)^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{11}{2})^2}$
$QR = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{121}{4}}$
$QR = \sqrt{\frac{4 + 1 + 121}{4}} = \sqrt{\frac{126}{4}} = \sqrt{\frac{63}{2}} = 3\sqrt{\frac{7}{2}}$.

(A) माना दो स्वतंत्र घटनाओं $A$ और $B$ की प्रायिकताएं $P(A) = a$ और $P(B) = b$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B) = ab$ होगा।
ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = a(1-b) + b(1-a) = a + b - 2ab = \frac{26}{49}$ ... $(i)$.
किसी भी घटना के न घटने की प्रायिकता $P(A^c \cap B^c) = (1-a)(1-b) = 1 - (a+b) + ab = \frac{15}{49}$ है।
अतः,$a+b - ab = 1 - \frac{15}{49} = \frac{34}{49}$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर,$ab = \frac{34}{49} - \frac{26}{49} = \frac{8}{49}$ प्राप्त होता है।
$ab$ का मान $(ii)$ में रखने पर,$a+b = \frac{34}{49} + \frac{8}{49} = \frac{42}{49} = \frac{6}{7}$ प्राप्त होता है।
अब,$a$ और $b$ द्विघात समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ के मूल हैं,जो $x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{8}{49} = 0$ है।
$49$ से गुणा करने पर,$49x^2 - 42x + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
$(7x-2)(7x-4) = 0$,जिससे $x = \frac{2}{7}$ या $x = \frac{4}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः प्रायिकताएं $\frac{2}{7}$ और $\frac{4}{7}$ हैं।
अधिक संभावित घटना की प्रायिकता $\frac{4}{7}$ है।

(D) माना आधार $b$ है और कर्ण $h$ है।
तब शीर्षलंब (लंब) $\sqrt{h^2 - b^2}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब} = \frac{1}{2} b \sqrt{h^2 - b^2}$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $A$ का $b$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{db} = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{h^2 - b^2} + b \cdot \frac{-2b}{2\sqrt{h^2 - b^2}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{h^2 - b^2 - b^2}{\sqrt{h^2 - b^2}} \right] = \frac{h^2 - 2b^2}{2\sqrt{h^2 - b^2}}$.
$\frac{dA}{db} = 0$ रखने पर,हमें $h^2 - 2b^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{h^2}{2}$,या $b = \frac{h}{\sqrt{2}}$.
इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
$A_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{h^2 - \frac{h^2}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{h^2}{4}$.

(B) माना $I = \int {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \cdot {e^{{{\cot }^{ - 1}}x}}dx$ है।
$x = \cot t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\csc^2 t \, dt$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 + \cot^2 t = \csc^2 t$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int {\frac{{\cot^2 t - \cot t + 1}}{{\csc^2 t}}} \cdot {e^t} \cdot (-\csc^2 t) \, dt$
$I = - \int {e^t} (\cot^2 t - \cot t + 1) \, dt$
$I = - \int {e^t} (\csc^2 t - \cot t) \, dt$
$I = \int {e^t} (\cot t - \csc^2 t) \, dt$
सूत्र $\int {e^t} (f(t) + f'(t)) \, dt = {e^t} f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \cot t$ और $f'(t) = -\csc^2 t$ है:
$I = {e^t} \cot t + C$
$t = \cot^{-1} x$ वापस रखने पर:
$I = {e^{\cot^{-1} x}} \cdot x + C$
इसे $A(x) {e^{\cot^{-1} x}} + C$ के साथ तुलना करने पर,$A(x) = x$ प्राप्त होता है।

(C) दिक्कोज्या के लिए दिए गए समीकरण: $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$।
पहले समीकरण से,$l+m = -n$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $l^2+m^2+2lm = n^2$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से $l^2+m^2 = n^2$ को इसमें प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n^2+2lm = n^2$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $2lm = 0$,इसलिए $lm = 0$।
इसका मतलब है कि या तो $l=0$ या $m=0$।
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $m+n=0 \Rightarrow m=-n$। चूँकि $l^2+m^2+n^2=1$,हमारे पास $0^2+(-n)^2+n^2=1 \Rightarrow 2n^2=1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। अतः,दिक् अनुपात $(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ या $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $l+n=0 \Rightarrow l=-n$। इसी प्रकार,$l^2+0^2+n^2=1 \Rightarrow 2n^2=1 \Rightarrow n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। अतः,दिक् अनुपात $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ या $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की दिक्कोज्या $\vec{u_1} = (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{u_2} = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}| = |(0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}})| = |0 + 0 + \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,न्यून कोण $\theta = 60^o$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ है।
माना $z = y^2$. तब $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dz}{dx}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2y} \frac{dz}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)} \implies \frac{dz}{dx} = \frac{y^4}{xy^2 - x^2} = \frac{z^2}{xz - x^2}$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dz}{dx} = \frac{(z/x)^2}{(z/x) - 1}$ प्राप्त होता है। यह $z$ और $x$ के पदों में एक समघातीय अवकल समीकरण है। अतः,कथन $-1$ सही है।
$\frac{dz}{dx} = \frac{z^2}{xz - x^2}$ को हल करने के लिए,$z = vx$ रखें,तो $\frac{dz}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 x^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2}{v - 1}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v}{v - 1}$.
$\int \frac{v - 1}{v} dv = \int \frac{1}{x} dx \implies v - \ln|v| = \ln|x| + C$.
$\frac{z}{x} - \ln|\frac{z}{x}| = \ln|x| + C \implies \frac{y^2}{x} = \ln|y^2| + C$.
यह $y^2 e^{-y^2/x} = C$ से मेल नहीं खाता है। अतः,कथन $-2$ गलत है।

(D) दिया गया है $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$2 \ln x = (\sin^{-1} t) \ln a$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{x} \frac{dx}{dt} = \frac{\ln a}{\sqrt{1-t^2}}$।
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$।
इसी प्रकार,$y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \Rightarrow 2 \ln y = (\cos^{-1} t) \ln a$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{y} \frac{dy}{dt} = -\frac{\ln a}{\sqrt{1-t^2}}$।
अतः,$\frac{dy}{dt} = -\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-y \ln a / (2\sqrt{1-t^2})}{x \ln a / (2\sqrt{1-t^2})} = -\frac{y}{x}$।
अतः,$1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \left( -\frac{y}{x} \right)^2 = 1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2}$।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$[p, q, r] \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = [3, 0, 1]$
आव्यूह गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[3p + 3q + 2r, 4p + 2q, p + 3q + 2r] = [3, 0, 1]$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:
$1) 3p + 3q + 2r = 3$
$2) 4p + 2q = 0 \Rightarrow q = -2p$
$3) p + 3q + 2r = 1$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(3p + 3q + 2r) - (p + 3q + 2r) = 3 - 1$
$2p = 2 \Rightarrow p = 1$
$p = 1$ को $q = -2p$ में रखने पर:
$q = -2(1) = -2$
$p = 1$ और $q = -2$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$1 + 3(-2) + 2r = 1$
$1 - 6 + 2r = 1$
$-5 + 2r = 1 \Rightarrow 2r = 6 \Rightarrow r = 3$
अब,$2p + q - r$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2(1) + (-2) - 3 = 2 - 2 - 3 = -3$.

(B) माना $\hat{a}$ और $\hat{c}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
दिया गया है $\hat{a} - \sqrt{3}\hat{b} + \hat{c} = \vec{0}.$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\hat{a} + \hat{c} = \sqrt{3}\hat{b}.$
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$(\hat{a} + \hat{c}) \cdot (\hat{a} + \hat{c}) = (\sqrt{3}\hat{b}) \cdot (\sqrt{3}\hat{b}).$
विस्तार करने पर:
$\hat{a} \cdot \hat{a} + \hat{a} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a} + \hat{c} \cdot \hat{c} = 3(\hat{b} \cdot \hat{b}).$
चूंकि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1, \hat{b} \cdot \hat{b} = 1, \hat{c} \cdot \hat{c} = 1.$
साथ ही,$\hat{a} \cdot \hat{c} = |\hat{a}||\hat{c}| \cos \theta = \cos \theta.$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + 2\cos \theta + 1 = 3(1).$
$2 + 2\cos \theta = 3.$
$2\cos \theta = 1.$
$\cos \theta = \frac{1}{2}.$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}.$

(D) दिया गया है कि $f(x) = -1 + |x - 2|$ और $g(x) = 1 - |x|$ है।
हमें $fog(x) = f(g(x))$ के लिए असतत बिंदुओं को ज्ञात करना है।
$fog(x) = f(1 - |x|) = -1 + |(1 - |x|) - 2|$
$= -1 + |- |x| - 1|$
$= -1 + |-(|x| + 1)|$
चूंकि $|-a| = |a|$,इसलिए $|-(|x| + 1)| = ||x| + 1|$ होगा।
चूंकि $|x| \ge 0$,इसलिए $|x| + 1$ हमेशा धनात्मक है,अतः $||x| + 1| = |x| + 1$ होगा।
इस प्रकार,$fog(x) = -1 + |x| + 1 = |x|$ प्राप्त होता है।
फलन $y = |x|$ एक मानक मापांक फलन (absolute value function) है,जो सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत (continuous) है।
इसलिए,ऐसा कोई बिंदु नहीं है जहाँ $fog$ असतत हो।
अतः,उन सभी बिंदुओं का समुच्चय जहाँ $fog$ असतत है,एक रिक्त समुच्चय है।

(B) माना $I = \int \frac{x dx}{2 - x^2 + \sqrt{2 - x^2}}$.
$t = \sqrt{2 - x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 = 2 - x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अवकलन करने पर $2t dt = -2x dx$ या $x dx = -t dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-t dt}{t^2 + t}$
समाकल्य को सरल करने पर:
$I = \int \frac{-t dt}{t(t + 1)} = -\int \frac{dt}{t + 1}$
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\log |t + 1| + c$
$t = \sqrt{2 - x^2}$ वापस रखने पर:
$I = -\log |\sqrt{2 - x^2} + 1| + c$.

(B) रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX = 0$ का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
कथन $-1$ के लिए,सारणिक है:
$\Delta_1 = \left| \begin{matrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 1 & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta_1 = \left| \begin{matrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 0 & \cos \alpha - \sin \alpha & \sin \alpha - \cos \alpha \\ 0 & -2\sin \alpha & -2\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$= 1 \cdot [(\cos \alpha - \sin \alpha)(-2\cos \alpha) - (\sin \alpha - \cos \alpha)(-2\sin \alpha)]$
$= -2\cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + 2\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = -2\cos(2\alpha)$।
$\Delta_1 = 0$ रखने पर,हमें $\cos(2\alpha) = 0$ प्राप्त होता है। $(0, \frac{\pi}{2})$ में,$2\alpha \in (0, \pi)$,इसलिए $2\alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}$। अतः,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए,सारणिक है:
$\Delta_2 = \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta_2 = \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -2\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$= -2\cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -2\cos \alpha \cos(2\alpha) = 0$।
इसका अर्थ है कि $\cos \alpha = 0$ या $\cos(2\alpha) = 0$। $(0, \frac{\pi}{2})$ में,$\cos \alpha \neq 0$ और $\cos(2\alpha) = 0$ केवल $\alpha = \frac{\pi}{4}$ पर होता है। अतः,कथन $-2$ सत्य है और कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

(A) हम सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$ का उपयोग करेंगे।
श्रेणी का प्रत्येक पद $\tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k+1)} \right) = \tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k)$ के रूप में है।
माना $f(k) = \tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k)$ है।
दिया गया योग $S = \sum_{k=n}^{n+19} \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k+1)} \right)$ है।
$S = \sum_{k=n}^{n+19} (\tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)) + (\tan^{-1}(n+2) - \tan^{-1}(n+1)) + \dots + (\tan^{-1}(n+20) - \tan^{-1}(n+19))$ है।
$S = \tan^{-1}(n+20) - \tan^{-1}(n)$ है।
सूत्र $\tan S = \tan(\tan^{-1}(n+20) - \tan^{-1}(n)) = \frac{(n+20) - n}{1 + (n+20)n}$ का उपयोग करने पर।
$\tan S = \frac{20}{1 + n^2 + 20n} = \frac{20}{n^2 + 20n + 1}$ प्राप्त होता है।

(B) दो सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ संरेखीय होते हैं यदि कोई अशून्य अदिश $k$ मौजूद हो ताकि $\vec{u} = k\vec{v}$ हो।
दिया गया है $\vec{u} = (\alpha - 2)\vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{v} = (2 + 3\alpha)\vec{a} - 3\vec{b}$।
चूंकि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ संरेखीय हैं,इसलिए $(\alpha - 2)\vec{a} + \vec{b} = k((2 + 3\alpha)\vec{a} - 3\vec{b})$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(\alpha - 2 - k(2 + 3\alpha))\vec{a} + (1 + 3k)\vec{b} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असरेखीय हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$1 + 3k = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{3}$।
$k = -\frac{1}{3}$ का मान $\vec{a}$ के गुणांक में रखने पर:
$\alpha - 2 - (-\frac{1}{3})(2 + 3\alpha) = 0$।
$\alpha - 2 + \frac{2}{3} + \alpha = 0$।
$2\alpha = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$।
$\alpha = \frac{2}{3}$।

(A) माना $P(A) = \frac{3}{4}, P(B) = \frac{1}{2}, P(C) = \frac{5}{8}$ है।
चूंकि वे स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,$P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ है।
वह घटना कि लक्ष्य $A$ या $B$ द्वारा भेदा जाए लेकिन $C$ द्वारा नहीं,$(A \cup B) \cap \bar{C}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P((A \cup B) \cap \bar{C}) = P(A \cup B) \times P(\bar{C})$ है।
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ है।
$P(A \cup B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}) = \frac{6+4-3}{8} = \frac{7}{8}$ है।
अतः,$P((A \cup B) \cap \bar{C}) = \frac{7}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{21}{64}$ है।

(D) रेखा $L_1$ के लिए,हमारे पास $x = \sqrt{\lambda} y + (\sqrt{\lambda} - 1)$ और $z = (\sqrt{\lambda} - 1)y + \sqrt{\lambda}$ है।
इन्हें सममित रूप में लिखने पर,हमें $\frac{x - (\sqrt{\lambda} - 1)}{\sqrt{\lambda}} = y = \frac{z - \sqrt{\lambda}}{\sqrt{\lambda} - 1}$ प्राप्त होता है।
$L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = (\sqrt{\lambda}, 1, \sqrt{\lambda} - 1)$ है।
इसी प्रकार,रेखा $L_2$ के लिए,हमारे पास $x = \sqrt{\mu} y + (1 - \sqrt{\mu})$ और $z = (1 - \sqrt{\mu})y + \sqrt{\mu}$ है।
इन्हें सममित रूप में लिखने पर,हमें $\frac{x - (1 - \sqrt{\mu})}{\sqrt{\mu}} = y = \frac{z - \sqrt{\mu}}{1 - \sqrt{\mu}}$ प्राप्त होता है।
$L_2$ का दिशा सदिश $\vec{v_2} = (\sqrt{\mu}, 1, 1 - \sqrt{\mu})$ है।
चूंकि $L_1 \perp L_2$,उनके दिशा सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(\sqrt{\lambda})(\sqrt{\mu}) + (1)(1) + (\sqrt{\lambda} - 1)(1 - \sqrt{\mu}) = 0$.
$\sqrt{\lambda\mu} + 1 + (\sqrt{\lambda} - \sqrt{\lambda\mu} - 1 + \sqrt{\mu}) = 0$.
$\sqrt{\lambda} + \sqrt{\mu} = 0$.
चूंकि $\lambda, \mu \geq 0$,इसका अर्थ है कि $\sqrt{\lambda} = 0$ और $\sqrt{\mu} = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda = 0$ और $\mu = 0$। अतः,$\lambda = \mu$.

(B) मान लीजिए कि रेखाखंड के $x, y$ और $z-$ अक्षों पर प्रक्षेप $p_x = 2$,$p_y = 3$,और $p_z = 6$ हैं।
$3-$ आयामी अंतरिक्ष में रेखाखंड की लंबाई $L$ का सूत्र $L = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$L = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}$ प्राप्त होता है।
$L = \sqrt{4 + 9 + 36}$.
$L = \sqrt{49}$.
$L = 7$.
अतः,रेखाखंड की लंबाई $7$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin(\sin x)$.
सबसे पहले,चेन रूल का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \cos(\sin x) \cdot \cos x$.
इसके बाद,प्रोडक्ट रूल और चेन रूल का उपयोग करके द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[\cos(\sin x) \cdot \cos x]$
$f''(x) = [-\sin(\sin x) \cdot \cos x] \cdot \cos x + \cos(\sin x) \cdot (-\sin x)$
$f''(x) = -\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x)$.
अब,$f'(x)$ और $f''(x)$ के मानों को समीकरण $f''(x) + \tan x f'(x) + g(x) = 0$ में रखें:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \tan x [\cos(\sin x) \cos x] + g(x) = 0$.
चूंकि $\tan x \cos x = \sin x$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \sin x \cos(\sin x) + g(x) = 0$.
पद $-\sin x \cos(\sin x)$ और $+\sin x \cos(\sin x)$ कट जाएंगे:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) + g(x) = 0$.
अतः,$g(x) = \cos^2 x \sin(\sin x)$.