$A, B, C$ એકસાથે પણ સ્વતંત્ર રીતે લક્ષ્યને વીંધવાનો પ્રયાસ કરે છે. લક્ષ્યને વીંધવાની તેમની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{5}{8}$ છે. લક્ષ્ય $A$ અથવા $B$ દ્વારા વીંધાય પણ $C$ દ્વારા નહીં,તેની સંભાવના કેટલી છે?

એક કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામમાં બે મોડ્યુલ $X$ અને $Y$ છે અને તેમાં ભૂલો સ્વતંત્ર રીતે થાય છે. $X$ માં ભૂલ થવાની સંભાવના $0.1$ છે અને $Y$ માં ભૂલ થવાની સંભાવના $0.3$ છે. જો માત્ર $X$ માં ભૂલ પ્રોગ્રામને $0.5$ સંભાવના સાથે ક્રેશ કરે,માત્ર $Y$ માં ભૂલ પ્રોગ્રામને $0.7$ સંભાવના સાથે ક્રેશ કરે અને $X$ અને $Y$ બંનેમાં ભૂલ પ્રોગ્રામને $0.8$ સંભાવના સાથે ક્રેશ કરે,તો પ્રોગ્રામ ક્રેશ થવાની સંભાવના કેટલી છે?

$A_n$ બિંદુઓ $(x, y)$ નો સમૂહ ધ્યાનમાં લો કે જેથી $0 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq n$,જ્યાં $n, x, y$ પૂર્ણાંક છે. ધારો કે $S_n$ એ $A_n$ માંથી ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી તમામ રેખાઓનો સમૂહ છે. ધારો કે આપણે $S_n$ માંથી યાદચ્છિક રીતે એક રેખા $l$ પસંદ કરીએ છીએ. ધારો કે $P_n$ એ સંભાવના છે કે $l$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ ને સ્પર્શક છે. તો,લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n$ છે

ગણ $S = \{2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^{25}\}$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. $\log_2(ab)$ પૂર્ણાંક હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ગણ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ માંથી ત્રણ સંખ્યાઓ વારાફરતી અને પુનરાવર્તન સાથે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે $p_1$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી મહત્તમ સંખ્યા ઓછામાં ઓછી $81$ હોય તેની સંભાવના છે અને $p_2$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી ન્યૂનતમ સંખ્યા વધુમાં વધુ $40$ હોય તેની સંભાવના છે.
$(1)$ $\frac{625}{4} p_1$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
$(2)$ $\frac{125}{4} p_2$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?

ધારો કે $S = \{w_1, w_2, \ldots\}$ એ એક યાદચ્છિક પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલ નિદર્શાવકાશ છે. ધારો કે $P(w_n) = \frac{P(w_{n-1})}{2}, n \geq 2$ માટે. ધારો કે $A = \{2k + 3\ell : k, \ell \in \mathbb{N}\}$ અને $B = \{w_n : n \in A\}$. તો $P(B)$ ની કિંમત શોધો.