JEE Main 2013 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{R^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરમિટિવિટી માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને ${\varepsilon _0} = \frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi F{R^2}}}$ મળે છે.
વિદ્યુતભાર $q$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[AT]$,બળ $F$ નું $[MLT^{-2}]$ અને અંતર $R$ નું $[L]$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $[{\varepsilon _0}] = \frac{{[AT][AT]}}{{[MLT^{-2}][L^2]}} = \frac{{[A^2T^2]}}{{[ML^3T^{-2}]}}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $[{\varepsilon _0}] = [M^{-1}L^{-3}T^4A^2]$ મળે છે.

(B) પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u} = (1 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ ms^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $\vec{u} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 1 \ ms^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = 2 \ ms^{-1}$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u_x^2}$ છે.
અહીં $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{2}{1} = 2$ હોવાથી,કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = x(2) - \frac{10 \cdot x^2}{2(1)^2}$
$y = 2x - \frac{10x^2}{2}$
$y = 2x - 5x^2$.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m u^2$ છે।
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, કણો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને સામાન્ય વેગ $v = \frac{mu}{m+M}$ સાથે ગતિ કરે છે।
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (m+M) v^2 = \frac{1}{2} (m+M) \left( \frac{mu}{m+M} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 u^2}{m+M} = \left( \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ છે।
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m u^2 - \left( \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right) = \left( 1 - \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right) = \left( \frac{M}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ છે।
આપેલ સમીકરણ $f \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $f = \frac{M}{m+M}$ મળે છે।
વિધાન-$1$ માં $f = \frac{m}{M+m}$ આપેલ છે, જે ખોટું છે।
વિધાન-$2$ સાચું છે કારણ કે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં મહત્તમ ઉર્જાનો વ્યય થાય છે।

(C) ન્યુટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\frac{dT}{dt} = -k(T - \theta_0)$.
આ વિકલ સમીકરણ એ ઘાતાંકીય ઘટાડા (exponential decay) નો ઉકેલ આપે છે જેનું સ્વરૂપ $T(t) = \theta_0 + (\theta - \theta_0)e^{-kt}$ છે.
જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ તાપમાન $T$ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે અને અનંતે તે આસપાસના તાપમાન $\theta_0$ ની નજીક પહોંચે છે.
આલેખ $C$ આ ઘાતાંકીય ઘટાડાના વક્રને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં તાપમાન $\theta$ થી શરૂ થાય છે અને $t \to \infty$ થાય ત્યારે $\theta_0$ સુધી પહોંચે છે.

(D) જ્યારે હૂપને સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઘર્ષણ બળ લાગે છે,જે તેને રેખીય પ્રવેગિત કરે છે અને કોણીય વેગ ઘટાડે છે જ્યાં સુધી તે સરક્યા વગર ગબડવા ન લાગે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,સપાટી પરના સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષમાં કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોય છે કારણ કે ઘર્ષણ બળ આ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષમાં પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન: $L_i = I_{cm}\omega_0 = mr^2\omega_0$.
જ્યારે તે સરક્યા વગર ગબડે $(v = r\omega)$ ત્યારે સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષમાં અંતિમ કોણીય વેગમાન: $L_f = I_{cm}\omega + mvr = mr^2\omega + m(r\omega)r = 2mr^2\omega$.
$L_i$ અને $L_f$ ને સરખાવતા: $mr^2\omega_0 = 2mr^2\omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \frac{\omega_0}{2}$.
કારણ કે $v = r\omega$,તેથી અંતિમ વેગ $v = \frac{r\omega_0}{2}$ થશે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E_i = K_i + U_i = K_i - \frac{GmM}{R}$ છે,જ્યાં $K_i$ એ સપાટી પર આપેલી ગતિઊર્જા છે.
$h = 2R$ ઊંચાઈ પરની અંતિમ વર્તુળાકાર કક્ષામાં,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = 3R$ થાય.
કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{3R}}$ દ્વારા મળે છે.
કક્ષામાં કુલ ઊર્જા $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GmM}{3R} = \frac{1}{2}m\left(\frac{GM}{3R}\right) - \frac{GmM}{3R} = \frac{GmM}{6R} - \frac{2GmM}{6R} = -\frac{GmM}{6R}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_i = E_f$:
$K_i - \frac{GmM}{R} = -\frac{GmM}{6R}$.
$K_i = \frac{GmM}{R} - \frac{GmM}{6R} = \frac{5GmM}{6R}$.

(A) ધારો કે ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે. જ્યારે ત્રિજ્યામાં $\Delta R$ જેટલો ઘટાડો થાય,ત્યારે બાષ્પીભવન પામતું દળ $\Delta m = \rho \Delta V = \rho (4\pi R^2 \Delta R)$ થાય.
બાષ્પીભવન માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = \Delta m L = 4\pi R^2 \Delta R \rho L$ છે.
ટીપાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi R^2$ છે. પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \Delta A = T [4\pi R^2 - 4\pi (R - \Delta R)^2]$ છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $\Delta U = 4\pi T [R^2 - (R^2 - 2R\Delta R + \Delta R^2)] = 4\pi T [2R\Delta R - \Delta R^2]$.
$\Delta R^2$ ને અવગણતા,$\Delta U \approx 8\pi T R \Delta R$ મળે.
બાષ્પીભવન માટે જરૂરી ઉર્જાને પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ઘટાડા સાથે સરખાવતા: $4\pi R^2 \Delta R \rho L = 8\pi T R \Delta R$.
$R$ માટે ઉકેલતા: $R = \frac{8\pi T}{4\pi \rho L} = \frac{2T}{\rho L}$.

(C) સંતુલન સ્થિતિમાં,નળાકાર પર લાગતા બળો સ્પ્રિંગ બળ $kx_0$ (ઉપરની તરફ),ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ (ઉપરની તરફ),અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ (નીચેની તરફ) છે.
સંતુલનનું સમીકરણ છે: $kx_0 + F_B = Mg$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = V_{submerged} \cdot \sigma \cdot g$.
નળાકાર અડધો ડૂબેલો હોવાથી,ડૂબાયેલું કદ $V_{submerged} = A \cdot \frac{L}{2}$ છે.
તેથી,$F_B = \left( A \cdot \frac{L}{2} \right) \sigma g = \frac{LA\sigma g}{2}$.
આ કિંમતને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$kx_0 + \frac{LA\sigma g}{2} = Mg$
$kx_0 = Mg - \frac{LA\sigma g}{2}$
$x_0 = \frac{Mg - \frac{LA\sigma g}{2}}{k} = \frac{Mg}{k} \left( 1 - \frac{LA\sigma}{2M} \right)$.

(C) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ $C_V = \frac{3}{2}R$ અને $C_P = \frac{5}{2}R$ છે.
પ્રક્રિયા $DA$ (સમકદ) અને $AB$ (સમદાબ) દરમિયાન તંત્ર દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.
પ્રક્રિયા $DA$ (સમકદ, $V = V_0$): $\Delta T_{DA} = \frac{P_A V_0}{nR} - \frac{P_D V_0}{nR} = \frac{(2P_0 - P_0)V_0}{nR} = \frac{P_0V_0}{nR}$.
$Q_{DA} = n C_V \Delta T_{DA} = n \left(\frac{3}{2}R\right) \left(\frac{P_0V_0}{nR}\right) = \frac{3}{2}P_0V_0$.
પ્રક્રિયા $AB$ (સમદાબ, $P = 2P_0$): $\Delta T_{AB} = \frac{2P_0 V_B}{nR} - \frac{2P_0 V_A}{nR} = \frac{2P_0(2V_0 - V_0)}{nR} = \frac{2P_0V_0}{nR}$.
$Q_{AB} = n C_P \Delta T_{AB} = n \left(\frac{5}{2}R\right) \left(\frac{2P_0V_0}{nR}\right) = 5P_0V_0$.
કુલ મેળવેલી ઉષ્મા $Q_{in} = Q_{DA} + Q_{AB} = \frac{3}{2}P_0V_0 + 5P_0V_0 = \frac{13}{2}P_0V_0$.

(D) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 5 \ s$ પર,$A = 0.9 A_0$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.9 A_0 = A_0 e^{-b(5)/2m} \implies e^{-5b/2m} = 0.9$.
આપણે બીજા $10 \ s$ પછીનો કંપવિસ્તાર શોધવાનો છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ સમય $t = 5 + 10 = 15 \ s$ પર.
$A(15) = A_0 e^{-b(15)/2m} = A_0 (e^{-5b/2m})^3$.
$e^{-5b/2m} = 0.9$ ની કિંમત મૂકતા:
$A(15) = A_0 (0.9)^3 = A_0 (0.729)$.
આમ,$\alpha = 0.729$.

(C) સંતુલન સ્થિતિમાં, વાયુનું દબાણ $P_0$ પિસ્ટનના વજનને સંતુલિત કરે છે: $P_0 A = Mg$.
સિસ્ટમ અલગ હોવાથી, પ્રક્રિયા એડિબેટિક છે: $P V^{\gamma} = \text{અચળ}$.
ધારો કે પિસ્ટન નીચેની તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત થાય છે। નવું કદ $V = A(x_0 + x)$ છે, જ્યાં $V_0 = Ax_0$.
નવું દબાણ $P = P_0 \left(\frac{V_0}{V}\right)^{\gamma} = P_0 \left(\frac{Ax_0}{A(x_0 + x)}\right)^{\gamma} = P_0 \left(1 + \frac{x}{x_0}\right)^{-\gamma}$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા: $P \approx P_0 \left(1 - \frac{\gamma x}{x_0}\right)$.
પિસ્ટન પર લાગતું ચોખ્ખું પુનઃસ્થાપક બળ $F = (P_0 - P)A = P_0 A \left(1 - (1 - \frac{\gamma x}{x_0})\right) = \frac{P_0 A \gamma x}{x_0}$.
$V_0 = Ax_0$ હોવાથી, $x_0 = V_0/A$, તેથી $F = \frac{P_0 A^2 \gamma}{V_0} x$.
$F = kx$ સાથે સરખાવતા, અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{\gamma P_0 A^2}{V_0}$ મળે છે.
સરળ આવર્ત ગતિની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\gamma P_0 A^2}{M V_0}}$ છે.

(C) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{v}{2L} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં $\mu = A \rho$ હોવાથી,$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$ થાય.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$ પરથી,$\frac{T}{A} = Y \times \text{વિકૃતિ} = Y \times \frac{\Delta L}{L}$ મળે.
આ કિંમત આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \times \text{વિકૃતિ}}{\rho}}$.
આપેલ છે: $L = 1.5 \ m$,$\text{વિકૃતિ} = 1\% = 0.01$,$Y = 2.2 \times 10^{11} \ N/m^2$,$\rho = 7.7 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$f = \frac{1}{2 \times 1.5} \sqrt{\frac{2.2 \times 10^{11} \times 0.01}{7.7 \times 10^3}}$.
$f = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2.2 \times 10^9}{7.7}} = \frac{1}{3} \sqrt{0.2857 \times 10^9} \approx 178.2 \ Hz$.

(A) જ્યારે બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે અને તેને $F$ બળ દ્વારા દબાવવામાં આવે,ત્યારે દરેક સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ $F$ સમાન હોય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{F^2}{2k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં હોવાથી બંને સ્પ્રિંગ માટે બળ $F$ સમાન હોવાથી,ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{\frac{F^2}{2k_A}}{\frac{F^2}{2k_B}} = \frac{k_B}{k_A}$ થશે.
અહીં $k_A = 300 \, N/m$ અને $k_B = 400 \, N/m$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{E_A}{E_B} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.

(C) ધારો કે મૂળ સમાન ગોળાનું દળ $M$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. નાના ગોળાનું દળ (જે દૂર કરવામાં આવે છે) $m$ છે.
આકૃતિ પરથી,દૂર કરેલા ગોળાની ત્રિજ્યા $r = R/2$ છે.
ગોળાની ઘનતા $\rho$ ધારીએ તો,આપણને મળે છે:
$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi (R/2)^3}$
$\Rightarrow m = M \cdot \left(\frac{R/2}{R}\right)^3 = \frac{M}{8}$
ગોળાના બાકી રહેલા ભાગનું દળ:
$M' = M - m = M - \frac{M}{8} = \frac{7}{8}M$
મૂળ ગોળાના કેન્દ્રથી ખૂબ મોટા અંતર $x$ પર આવેલા બિંદુ $P$ માટે,બાકી રહેલા દળ $M'$ ને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{GM'}{x^2} = \frac{G(7/8)M}{x^2} = \frac{7}{8} \frac{GM}{x^2}$

(B) મિજાગરાની સાપેક્ષમાં ગોળીનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ મિજાગરાથી અથડામણના બિંદુ સુધીનું અંતર છે. ગોળી દરવાજાના કેન્દ્રમાં અથડાતી હોવાથી,$r = 0.5\, m$ છે.
$L = (10 \times 10^{-3}\, kg) \times (500\, m/s) \times (0.5\, m) = 2.5\, kg \cdot m^2/s$.
મિજાગરાની સાપેક્ષમાં દરવાજાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} M l^2 = \frac{1}{3} \times 12\, kg \times (1.0\, m)^2 = 4\, kg \cdot m^2$ છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાં અને પછી તંત્રનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે: $L = I\omega$.
$\omega = \frac{L}{I} = \frac{2.5}{4} = 0.625\, rad/s$.

(C) કોઈપણ બે તાપમાન માપક્રમ વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{T - LFP}{UFP - LFP} = \text{અચળ}$.
કેલ્વિન માપક્રમ $(K)$ માટે: $LFP = 273\,K$,$UFP = 373\,K$.
$Y$ માપક્રમ માટે: $LFP = -160^{\circ}Y$,$UFP = -50^{\circ}Y$.
ગુણોત્તરને સમાન લેતા:
$\frac{340 - 273}{373 - 273} = \frac{Y - (-160)}{-50 - (-160)}$
$\frac{67}{100} = \frac{Y + 160}{110}$
$Y + 160 = \frac{67 \times 110}{100}$
$Y + 160 = 73.7$
$Y = 73.7 - 160 = -86.3^{\circ}Y$.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,$d$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
વિધાન-$II$ સાચું છે કારણ કે તાપમાન વધવાની સાથે પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ $T$ સામાન્ય રીતે ઘટે છે.
સૂત્ર મુજબ,$h \propto T$ હોવાથી,જો તાપમાન વધવાથી પૃષ્ઠતાણ $T$ ઘટે,તો પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ પણ ઘટવી જોઈએ.
તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે તાપમાન સાથે ઊંચાઈ $h$ વધે છે,જ્યારે વાસ્તવમાં તે ઘટે છે.

(A) ધારો કે $T_{1}$ અને $T_{2}$ એ બે લોલકના આવર્તકાળ છે.
$T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$ અને $T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{4}{g}}$.
અહીં $\ell_{1} < \ell_{2}$ હોવાથી,$T_{1} < T_{2}$ થશે.
ધારો કે જ્યારે તેઓ ફરીથી સમાન કળામાં આવે ત્યારે ટૂંકા લોલકે $n_{1}$ દોલનો અને લાંબા લોલકે $n_{2}$ દોલનો પૂર્ણ કર્યા છે.
લોલક સમાન કળામાં હોય તે માટે,લાગતો સમય સમાન હોવો જોઈએ: $n_{1} T_{1} = n_{2} T_{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $n_{1} \times 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}} = n_{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{4}{g}}$.
$n_{1} = 2n_{2}$.
$t=0$ પછી પ્રથમ વખત જ્યારે તેઓ સમાન કળામાં આવે,ત્યારે દોલનોની સંખ્યાનો તફાવત સૌથી નાનો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $n_{1} - n_{2} = 1$.
$n_{1} = 2n_{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $2n_{2} - n_{2} = 1 \Rightarrow n_{2} = 1$.
તેથી $n_{1} = 2(1) = 2$.
આમ,ટૂંકા લોલક $2$ દોલનો પૂર્ણ કરશે.

(B) પ્રગામી તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \cos(kx - \omega t)$ છે,જ્યાં $k = \frac{\omega}{v}$ છે.
પ્રથમ તરંગ $y_1 = 0.05 \cos(0.50 \pi x - 100 \pi t)$ માટે:
પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 100 \pi \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k_1 = 0.50 \pi \text{ rad/m}$ મળે છે.
વેગ $v_1 = \frac{\omega_1}{k_1} = \frac{100 \pi}{0.50 \pi} = 200 \text{ m/s}$ મળે છે.
બીજા તરંગ $y_2 = 0.05 \cos(0.46 \pi x - 92 \pi t)$ માટે:
પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 92 \pi \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k_2 = 0.46 \pi \text{ rad/m}$ મળે છે.
વેગ $v_2 = \frac{\omega_2}{k_2} = \frac{92 \pi}{0.46 \pi} = 200 \text{ m/s}$ મળે છે.
બંને તરંગોનો વેગ સમાન હોવાથી,તરંગનો વેગ $200 \text{ m/s}$ છે.

(D) ધારો કે એન્જિન શરૂઆતમાં બિંદુ $A$ પર છે અને $5 \, s$ પછી બિંદુ $C$ પર પહોંચે છે. અંતર $AB = 0.9 \, km = 900 \, m$ છે.
અવાજ $A$ થી ટેકરી $B$ સુધી જાય છે અને પરાવર્તન પામીને $C$ પર રહેલા એન્જિન સુધી પહોંચે છે.
કુલ સમય $t = 5 \, s$ એ અવાજ દ્વારા $AB + BC$ અંતર કાપવા માટેનો સમય છે.
$t = \frac{AB}{v_{sound}} + \frac{BC}{v_{sound}}$
$5 = \frac{900}{330} + \frac{BC}{330}$
$5 \times 330 = 900 + BC$
$1650 = 900 + BC$
$BC = 1650 - 900 = 750 \, m$.
$5 \, s$ માં એન્જિન દ્વારા કાપેલું અંતર $AC = AB - BC = 900 \, m - 750 \, m = 150 \, m$ છે.
તેથી,એન્જિનની ઝડપ $v_{engine} = \frac{AC}{t} = \frac{150 \, m}{5 \, s} = 30 \, m/s$ થાય.

(D) ધારો કે ગોળાનું કેન્દ્ર $O$ છે અને જે બિંદુએ દોરી દીવાલ સાથે જોડાયેલી છે તે બિંદુ $P$ છે. ગોળા અને દીવાલ વચ્ચેના સંપર્ક બિંદુને $Q$ કહો. ગોળાની ત્રિજ્યા $r = 5\, cm$ છે. દોરીની લંબાઈ $l = 8\, cm$ છે.
ગોળાના કેન્દ્ર $O$,સંપર્ક બિંદુ $Q$ અને જોડાણ બિંદુ $P$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ $OP = l + r = 8 + 5 = 13\, cm$ થાય. પાયો $OQ = r = 5\, cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,શિરોલંબ અંતર $PQ = \sqrt{OP^2 - OQ^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\, cm$ મળે.
ધારો કે દોરી શિરોલંબ દીવાલ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી $\cos \theta = \frac{PQ}{OP} = \frac{12}{13}$ થાય.
ગોળો સંતુલનમાં રહે તે માટે,તણાવ બળ $T$ નો શિરોલંબ ઘટક ગોળાના વજન $W$ ને સંતુલિત કરવો જોઈએ. તેથી,$T \cos \theta = W$.
$\cos \theta$ ની કિંમત મૂકતા,$T \times \frac{12}{13} = W$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{13}{12} W$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જાને તેના સ્થિર દળ ઊર્જા સાથે સરખાવીને શાસ્ત્રીય ઇલેક્ટ્રોન ત્રિજ્યા $r_e$ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$mc^2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_e}$
$r_e$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$r_e = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 mc^2}$
અચળાંકોના મૂલ્યો ($e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$,$m \approx 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$) મૂકતા,આપણને $r_e \approx 2.8 \times 10^{-15} \ m$ મળે છે,જે પરમાણુના કદના ક્રમની છે.

(A) આઈસોબારિક પ્રક્રિયા માટે,પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $C_p$ એ અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા છે.
આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\frac{Q}{\Delta T} = n C_p$ છે.
બધા વાયુઓ માટે મોલની સંખ્યા $n$ સમાન હોવાથી,ઢાળ એ $C_p$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_p = C_v + R = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$ છે,જ્યાં $f$ એ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ $(M)$ માટે,$f = 3$,તેથી $C_p = (1.5 + 1) R = 2.5 R$.
ડાયેટોમિક વાયુ $(D)$ માટે,$f = 5$,તેથી $C_p = (2.5 + 1) R = 3.5 R$.
પોલીએટોમિક વાયુ $(P)$ માટે,$f = 6$,તેથી $C_p = (3 + 1) R = 4 R$.
આમ,$C_p(P) > C_p(D) > C_p(M)$.
ઢાળ $C_p$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,ઢાળનો ક્રમ: $\text{slope}(a) > \text{slope}(b) > \text{slope}(c)$ થશે.
તેથી,રેખા $a$ એ $P$ ને,રેખા $b$ એ $D$ ને અને રેખા $c$ એ $M$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આકૃતિ પરથી,સ્ટીલના તાર પર લાગતું બળ $F_s = (M + 2M)g = 3Mg$ છે અને પિત્તળના તાર પર લાગતું બળ $F_b = 2Mg$ છે.
લંબાઈમાં થતા વધારાનું સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{F \ell}{A Y} = \frac{F \ell}{\pi r^2 Y}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{\ell_s}{\ell_b} = a$,$\frac{r_s}{r_b} = b$,અને $\frac{Y_s}{Y_b} = c$.
હવે,લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta \ell_s}{\Delta \ell_b} = \frac{F_s \ell_s / (\pi r_s^2 Y_s)}{F_b \ell_b / (\pi r_b^2 Y_b)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \ell_s}{\Delta \ell_b} = \left( \frac{F_s}{F_b} \right) \left( \frac{\ell_s}{\ell_b} \right) \left( \frac{r_b}{r_s} \right)^2 \left( \frac{Y_b}{Y_s} \right)$
$\frac{\Delta \ell_s}{\Delta \ell_b} = \left( \frac{3Mg}{2Mg} \right) \cdot (a) \cdot \left( \frac{1}{b} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{c} \right)$
$\frac{\Delta \ell_s}{\Delta \ell_b} = \frac{3}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{b^2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{3a}{2b^2c}$.

(B) આદર્શ વાયુમાં,આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો હોતા નથી. જ્યારે તે શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરણ પામે છે (જૂલ વિસ્તરણ),ત્યારે કોઈ કાર્ય થતું નથી $(W = 0)$ અને સિસ્ટમ ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન થતું નથી $(Q = 0)$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W = 0$. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U = f(T))$,તેથી $\Delta U = 0$ નો અર્થ છે $\Delta T = 0$. આમ,તાપમાન અચળ રહે છે.
વાસ્તવિક વાયુમાં,આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો હોય છે. જ્યારે વાસ્તવિક વાયુ શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરણ પામે છે,ત્યારે અણુઓએ તેમના અંતરને વધારવા માટે આ આકર્ષણ બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. વિસ્તરણ એડિયાબેટિક $(Q = 0)$ હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય કાર્ય થતું નથી $(W = 0)$,આ આંતરિક કાર્ય અણુઓની ગતિજ ઉર્જાના ભોગે થાય છે. પરિણામે,વાસ્તવિક વાયુનું તાપમાન ઘટે છે.
વિધાન $-2$ સાચું છે કારણ કે આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિજ (સ્થાનાંતરીય) હોય છે,જ્યારે વાસ્તવિક વાયુ માટે,તેમાં આંતરઆણ્વિય ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને કારણે ગતિજ ઉર્જા અને સ્થિતિજ ઉર્જા બંનેનો સમાવેશ થાય છે. વિધાન $-2$ સમજાવે છે કે શા માટે વાસ્તવિક વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જા બદલાય છે (જે ઠંડક તરફ દોરી જાય છે) પરંતુ આદર્શ વાયુ માટે નહીં,તેથી તે વિધાન $-1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(D) તંત્રનું કુલ દળ $M = M_1 + M_2 + M_{rod} = 20 + 12 + 8 = 40\,kg$ છે.
તંત્રનો ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} - g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $g = 10\,m/s^2$ લેતા:
$a = \frac{480}{40} - 10 = 12 - 10 = 2\,m/s^2$.
સળિયાના મધ્યબિંદુએ તણાવબળ $T$ શોધવા માટે,આપણે તંત્રના નીચેના ભાગનું ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામ વિચારીએ,જેમાં બ્લોક $M_2$ અને સળિયાનો અડધો ભાગ $(4\,kg)$ સમાવિષ્ટ છે:
$T - (M_2 + M_{rod}/2)g = (M_2 + M_{rod}/2)a$
$T = (M_2 + M_{rod}/2)(g + a)$
$T = (12 + 4)(10 + 2) = 16 \times 12 = 192\,N$.

(D) પદાર્થ $\theta = 45^o$ ના ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
સમતલની દિશામાં પદાર્થ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ નીચેની તરફ અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
પદાર્થનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઝડપ મહત્તમ હોય તે માટે,પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ $(a = 0)$.
$a = 0$ લેતા,આપણને $g \sin \theta = \mu g \cos \theta$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\mu = \tan \theta$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\mu = 0.3x$ અને $\theta = 45^o$,તેથી $0.3x = \tan 45^o$.
કારણ કે $\tan 45^o = 1$,તેથી $0.3x = 1$.
આમ,$x = \frac{1}{0.3} = 3.33 \ m$.

(C) ધારો કે $f_A = 500 \, Hz$ એ સ્ત્રોત $A$ ની આવૃત્તિ છે,$f_B$ એ સ્ત્રોત $B$ ની આવૃત્તિ છે,$v = 340 \, m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,અને $v_s = 4 \, m/s$ એ સ્ત્રોત $A$ ની ઝડપ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે સ્ત્રોત $A$ એ $C$ પર સ્થિર શ્રોતા તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f'_A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f'_A = f_A \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 - 4} \right) = 500 \left( \frac{340}{336} \right) \approx 505.95 \, Hz$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે સ્ત્રોત $A$ એ $C$ પર સ્થિર શ્રોતાથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f''_A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f''_A = f_A \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 + 4} \right) = 500 \left( \frac{340}{344} \right) \approx 494.19 \, Hz$.
ધારો કે $f_B$ એ સ્ત્રોત $B$ ની આવૃત્તિ છે. બીટ આવૃત્તિ $|f'_A - f_B| = 6$ અને $|f''_A - f_B| = 18$ છે.
કિસ્સો $1$ પરથી: $f_B = f'_A \pm 6 = 505.95 \pm 6$,તેથી $f_B \approx 511.95 \, Hz$ અથવા $499.95 \, Hz$.
કિસ્સો $2$ પરથી: $f_B = f''_A \pm 18 = 494.19 \pm 18$,તેથી $f_B \approx 512.19 \, Hz$ અથવા $476.19 \, Hz$.
બંને કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા,$f_B \approx 512 \, Hz$ એ સામાન્ય ઉકેલ છે.

(A) સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન,સૂર્ય અને ચંદ્ર પૃથ્વીની એક જ બાજુએ હોય છે. ચંદ્રગ્રહણ દરમિયાન,ચંદ્ર અને સૂર્ય પૃથ્વીની વિરુદ્ધ બાજુએ હોય છે.
ધારો કે $F_S$ એ પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે અને $F_L$ એ પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,પૃથ્વી પરનું કુલ બળ $F = m_e a$ છે,જ્યાં $m_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન,સૂર્ય અને ચંદ્રના બળો પૃથ્વી પર એક જ દિશામાં કાર્ય કરે છે:
$m_e a_S = F_S + F_L$ --- $(1)$
ચંદ્રગ્રહણ દરમિયાન,બળો વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે:
$m_e a_L = F_S - F_L$ --- $(2)$
પ્રવેગમાં ફેરફાર $\Delta a = a_S - a_L$ છે. સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$m_e (a_S - a_L) = (F_S + F_L) - (F_S - F_L) = 2F_L$
કારણ કે $F_L = G \frac{m_e M_L}{D^2}$,જ્યાં $M_L$ એ ચંદ્રનું દળ છે અને $D$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે:
$m_e \Delta a = 2 G \frac{m_e M_L}{D^2} \implies \Delta a = \frac{2 G M_L}{D^2}$
કિંમતો મૂકતા: $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$,$M_L = 7.36 \times 10^{22} \ kg$,$D = 3.8 \times 10^8 \ m$:
$\Delta a = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 7.36 \times 10^{22}}{(3.8 \times 10^8)^2} = \frac{98.1776 \times 10^{11}}{14.44 \times 10^{16}} \approx 6.8 \times 10^{-5} \ m/s^2$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $6.73 \times 10^{-5} \ m/s^2$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $\rho$ વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto \rho^{\gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 1 \text{ atm}$ અને અંતિમ દબાણ $P_2 = 128 \text{ atm}$ છે.
ઘનતા $\rho$ થી બદલાઈને $\rho' = 32\rho$ થાય છે.
સંબંધ $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{\gamma}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{128}{1} = (32)^{\gamma}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $128 = 2^7$ અને $32 = 2^5$ છે.
તેથી,$2^7 = (2^5)^{\gamma} = 2^{5\gamma}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $7 = 5\gamma$.
તેથી,$\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$.

(B) ટેનિસ બોલ $H = 2.0 \ m$ ની ઊંચાઈથી $h = 0.2 \ m$ ની ઊંચાઈએ આવેલા બિંદુ $A$ સુધી ગબડે છે. શિરોલંબ ઘટાડો $h' = H - h = 2.0 - 0.2 = 1.8 \ m$ છે.
ગબડતા પદાર્થ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$mgh' = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યાં $I = \frac{2}{3}mR^2$ અને $\omega = v/R$ હોવાથી:
$mgh' = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{3}mv^2 = \frac{5}{6}mv^2$
$v^2 = \frac{6}{5}gh' = \frac{6}{5} \times 9.8 \times 1.8 = 21.168 \ m^2/s^2$.
$h = 0.2 \ m$ ની ઊંચાઈથી $\theta = 30^\circ$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે સમક્ષિતિજ અવધિ $AB$ નીચે મુજબ છે:
$AB = \frac{v \cos \theta}{g} \left( v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gh} \right)$
$v \sin 30^\circ = \sqrt{21.168} \times 0.5 \approx 4.601 \times 0.5 = 2.3005 \ m/s$
$v \cos 30^\circ = 4.601 \times 0.866 = 3.984 \ m/s$
$AB = \frac{3.984}{9.8} \left( 2.3005 + \sqrt{(2.3005)^2 + 2 \times 9.8 \times 0.2} \right)$
$AB = 0.4065 \times (2.3005 + \sqrt{5.292 + 3.92}) = 0.4065 \times (2.3005 + 3.035) = 0.4065 \times 5.3355 \approx 2.168 \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $2.08 \ m$ છે.

(D) $1$. કોણીય વેગમાન $(L)$ નું સૂત્ર $L = mvr$ છે. તેના પરિમાણો $[M] \times [LT^{-1}] \times [L] = [ML^2T^{-1}]$ થાય છે.
$2$. ગુપ્ત ઉષ્મા $(L_h)$ નું સૂત્ર $L_h = Q/m$ છે. તેના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}] / [M] = [L^2T^{-2}]$ થાય છે.
$3$. કેપેસીટન્સ $(C)$ નું સૂત્ર $C = Q/V$ છે. કારણ કે $V = W/Q$,તેથી $C = Q^2/W$ થાય. તેના પરિમાણો $[AT]^2 / [ML^2T^{-2}] = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ થાય છે.
આમ,સાચો ક્રમ $[ML^2T^{-1}], [L^2T^{-2}], [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ છે.

(C) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,આડા પ્રવાહ માટે,દબાણનો તફાવત $\Delta P$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta P = P_{lower} - P_{upper} = \frac{1}{2} \rho (v_{upper}^2 - v_{lower}^2)$
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 1.2 \, kg \, m^{-3}$
પાંખની ઉપરનો વેગ $v_{upper} = 150 \, m \, s^{-1}$
પાંખની નીચેનો વેગ $v_{lower} = 100 \, m \, s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (150^2 - 100^2)$
$\Delta P = 0.6 \times (22500 - 10000)$
$\Delta P = 0.6 \times 12500$
$\Delta P = 7500 \, N \, m^{-2}$

(C) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, Nm^{-2}$,પ્રતિબળ $\sigma = 5 \times 10^7 \, Nm^{-2}$,કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V} = -0.02\% = -2 \times 10^{-4}$.
રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L = \frac{\sigma}{Y} = \frac{5 \times 10^7}{2 \times 10^{11}} = 2.5 \times 10^{-4}$.
કદ $V = \pi r^2 L$. લઘુગણકીય વિકલન લેતા,$\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \epsilon_L = 2.5 \times 10^{-4}$ હોવાથી,$-2 \times 10^{-4} = 2\frac{\Delta r}{r} + 2.5 \times 10^{-4}$.
$2\frac{\Delta r}{r} = -2 \times 10^{-4} - 2.5 \times 10^{-4} = -4.5 \times 10^{-4}$.
$\frac{\Delta r}{r} = -2.25 \times 10^{-4}$.
નોંધ: આંશિક ઘટાડો એ મૂલ્ય છે,જે $2.25 \times 10^{-4}$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનું મૂલ્ય $0.25 \times 10^{-4}$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ આ મુજબ છે: $y = x \tan \theta \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$,જ્યાં $R$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ (Range) છે.
આપેલ છે: $\theta = 45^o$,$x = 4 \, m$ (પ્રક્ષેપણ બિંદુથી દીવાલનું અંતર),અને કુલ અવધિ $R = 4 \, m + 6 \, m = 10 \, m$.
આ કિંમતોને ગતિપથના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 4 \tan(45^o) \left( 1 - \frac{4}{10} \right)$
$y = 4 \times 1 \times (1 - 0.4)$
$y = 4 \times 0.6 = 2.4 \, m$.
આમ,દીવાલની ઊંચાઈ $2.4 \, m$ છે.

(A) $P-V$ આકૃતિમાં:
$1$. સમદાબી પ્રક્રિયા આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં દબાણ $P$ અચળ હોય છે, તેથી ઢાળ $\frac{dP}{dV} = 0$ થાય છે.
$2$. સમકદ પ્રક્રિયા ઉભી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં કદ $V$ અચળ હોય છે, તેથી ઢાળ $\frac{dP}{dV} = \infty$ થાય છે.
$3$. સમતાપી પ્રક્રિયા વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં $PV = \text{અચળ}$ હોય છે, તેથી ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા, વિકલ્પ $A$ માં બે આડી રેખાઓ (સમદાબી), એક ઉભી રેખા (સમકદ) અને એક વક્ર રેખા (સમતાપી) જોવા મળે છે. આમ, તે ચક્ર $(A-B-C-D-A)$ ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) પદાર્થ $m$ તાસકથી અલગ થાય તે માટે,દોલનના સૌથી ઉપરના બિંદુએ પદાર્થ અને તાસક વચ્ચેનું લંબબળ $N$ શૂન્ય થવું જોઈએ.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,પદાર્થનો પ્રવેગ નીચેની તરફ હોય છે અને તે $a = \omega^2 A$ જેટલો હોય છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ $mg - N = ma$ છે.
અલગ થવાની શરત માટે $N = 0$ લેતા,આપણને $mg = m\omega^2 A$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $g = \omega^2 A$ મળે છે.
કારણ કે $\omega^2 = k/m$,તેથી $g = (k/m) A$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $10 = (500 / 1.0) \times A$.
$A = 10 / 500 = 0.02\,m = 2.0\,cm$.
તેથી,જો કંપવિસ્તાર $A$ એ $2.0\,cm$ કે તેથી વધુ હોય તો પદાર્થ તાસકથી અલગ થવાની તૈયારીમાં હશે.

(C) અચળ દબાણે અવસ્થા બદલાતી વખતે થતું કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = 10^5\,Pa$ (વાતાવરણીય દબાણ),$V_{liquid} = 1\,cm^3 = 10^{-6}\,m^3$,અને $V_{vapour} = 1671\,cm^3 = 1671 \times 10^{-6}\,m^3$.
$W = 10^5 \times (1671 - 1) \times 10^{-6} = 167\,J$.
આપેલ ઉષ્મા $Q = mL = 1\,g \times 2256\,J/g = 2256\,J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,તેથી $\Delta U = Q - W$.
$\Delta U = 2256\,J - 167\,J = 2089\,J$.

(B) ધારો કે તાપમાન $T$ પર કાચના પાત્રનું કદ $V_g$ છે અને પ્રવાહીનું કદ $V_l$ છે. ધારો કે $\gamma_g$ અને $\gamma_l$ એ અનુક્રમે કાચ અને પ્રવાહીના કદ પ્રસરણાંક છે.
આપેલ છે કે $\gamma_g : \gamma_l = 1 : 4$,તેથી $\gamma_l = 4\gamma_g$.
ખાલી જગ્યા $V_v = V_g - V_l$ છે.
ખાલી જગ્યાનું કદ તમામ તાપમાને અચળ રહે તે માટે,પાત્રના કદમાં થતો ફેરફાર એ પ્રવાહીના કદમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોવો જોઈએ.
$\Delta V_g = \Delta V_l$
$V_g \gamma_g \Delta T = V_l \gamma_l \Delta T$
$V_g \gamma_g = V_l (4\gamma_g)$
$V_g = 4V_l$
તેથી,પ્રવાહી દ્વારા રોકાયેલ કદનો અંશ $\frac{V_l}{V_g} = \frac{1}{4}$ છે.

(C) સંપર્કકોણ $\theta$ એ સંબંધ $\cos \theta = \frac{T_{SA} - T_{SL}}{T_{LA}}$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $T_{SA}$,$T_{SL}$ અને $T_{LA}$ એ અનુક્રમે ઘન-હવા,ઘન-પ્રવાહી અને પ્રવાહી-હવા વચ્ચેના પૃષ્ઠતાણ છે.
સામાન્ય કાચની કેશિકા માટે,પાણી સપાટીને ભીંજવે છે,જેના પરિણામે લઘુકોણ $(\theta < 90^{\circ})$ મળે છે અને કેશિકામાં પાણી ઉપર ચઢે છે $(h > 0)$.
જ્યારે અંદરની દીવાલ પર મીણનું પડ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે સપાટી હાઇડ્રોફોબિક બને છે. મીણવાળી સપાટી પર પાણી માટે,પાણી અને મીણ વચ્ચેનું આસંજક બળ પાણીના સસંજક બળ કરતા નબળું હોય છે. આનાથી પૃષ્ઠતાણનો સંબંધ એવો બને છે કે $\cos \theta$ ઋણ બને છે.
પરિણામે,સંપર્કકોણ $\theta$ વધીને ગુરુકોણ $(90^{\circ} < \theta < 180^{\circ})$ બને છે.
કેશિકામાં ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ હોવાથી,જ્યારે $\theta > 90^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\cos \theta$ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીનું સ્તર બહારના સ્તરની સાપેક્ષમાં નીચે જાય છે. આમ,$h$ ઘટે છે.

(A) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં દળ $m = 2\, kg$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}(t) = 5\hat{i} - 2t^2\hat{j}$ છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(5\hat{i} - 2t^2\hat{j}) = -4t\hat{j}$.
$t = 2\, s$ સમયે:
સ્થાન $\vec{r}(2) = 5\hat{i} - 2(2)^2\hat{j} = 5\hat{i} - 8\hat{j}$.
વેગ $\vec{v}(2) = -4(2)\hat{j} = -8\hat{j}$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v}) = 2 \times [(5\hat{i} - 8\hat{j}) \times (-8\hat{j})]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{j} = 0$:
$\vec{L} = 2 \times [5\hat{i} \times (-8\hat{j}) - 8\hat{j} \times (-8\hat{j})] = 2 \times [-40\hat{k} - 0] = -80\hat{k}\, kg\, m^2\, s^{-1}$.

(B) ધારો કે બંને છેડે હવાની સ્તંભની પ્રારંભિક લંબાઈ $l_0 = (100 - 20) / 2 = 40 \ cm$ છે. જ્યારે નળીને ઊભી રાખવામાં આવે ત્યારે પારો $y$ જેટલો સ્થાનાંતરિત થાય છે.
હવાના દબાણમાં ફેરફાર બોઈલના નિયમ $(PV = \text{અચળ})$ મુજબ થાય છે:
નીચેના ભાગ માટે: $P_0 (40 A) = P_1 (40 - y) A \Rightarrow P_1 = \frac{40 P_0}{40 - y}$
ઉપરના ભાગ માટે: $P_0 (40 A) = P_2 (40 + y) A \Rightarrow P_2 = \frac{40 P_0}{40 + y}$
ઊભી સ્થિતિમાં, નીચેના ભાગનું દબાણ એ ઉપરના ભાગનું દબાણ + $20 \ cm$ પારાના સ્તંભનું દબાણ છે:
$P_1 = P_2 + h \rho g$
$P_0 = 76 \ cm$ ઓફ $Hg$ લેતા:
$\frac{40 \times 76 \rho g}{40 - y} = \frac{40 \times 76 \rho g}{40 + y} + 20 \rho g$
$\rho g$ વડે ભાગતા:
$\frac{3040}{40 - y} - \frac{3040}{40 + y} = 20$
$3040 \left( \frac{2y}{1600 - y^2} \right) = 20$
$304 y = 1600 - y^2$
$y^2 + 304 y - 1600 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $y \approx 5.18 \ cm$ મળે છે.

(D) લોખંડનો ગોળો પ્રવાહધારિત ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા આકર્ષાય છે. આ ચુંબકીય બળ ગુરુત્વાકર્ષણની દિશામાં જ કાર્ય કરે છે,જેનાથી અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ વધે છે $(g_{eff} > g)$. કારણ કે $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગમાં વધારો થવાથી આવર્તકાળ ઘટે છે,તેથી $T < 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. વધુમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લોખંડના ગોળાની ગતિને કારણે ગોળામાં એડી પ્રવાહો (eddy currents) ઉત્પન્ન થાય છે,જે ઉર્જાનો વ્યય કરે છે અને હવાના અવરોધની સરખામણીમાં ડેમ્પિંગ વધારે છે.

(D) તાર એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી અને સમાન ભાર હેઠળ હોવાથી,બંને તારમાં તણાવ $F$ સમાન રહેશે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ પણ સમાન છે.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$.
$F$ અને $A$ અચળ હોવાથી,$\frac{Y_c \Delta L_c}{L_c} = \frac{Y_s \Delta L_s}{L_s}$ મળે.
આપેલ છે: $L_c = 1.0\, m$,$L_s = 0.5\, m$,$\Delta L_c = 1\, mm$,$Y_c = 1.0 \times 10^{11}\, N/m^2$,$Y_s = 2.0 \times 10^{11}\, N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.0 \times 10^{11}) \times (1\, mm / 1.0\, m) = (2.0 \times 10^{11}) \times (\Delta L_s / 0.5\, m)$.
$1.0 \times 10^{11} = (4.0 \times 10^{11}) \times \Delta L_s$.
$\Delta L_s = \frac{1.0 \times 10^{11}}{4.0 \times 10^{11}} = 0.25\, mm$.
કુલ વિસ્તરણ = $\Delta L_c + \Delta L_s = 1\, mm + 0.25\, mm = 1.25\, mm$.

(B) $1$. $100\,^{\circ}C$ તાપમાને $10\, g$ વરાળનું $100\,^{\circ}C$ તાપમાનના પાણીમાં રૂપાંતર થતા મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_1 = m_s L_v = 10 \times 540 = 5400\, cal$.
$2$. $100\,^{\circ}C$ તાપમાનના $10\, g$ ગરમ પાણીનું $0\,^{\circ}C$ તાપમાન સુધી ઠંડુ થતા મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_2 = m_s c_w \Delta T = 10 \times 1 \times 100 = 1000\, cal$.
$3$. બરફ ઓગળવા માટે ઉપલબ્ધ કુલ ઉષ્મા: $Q_{total} = 5400 + 1000 = 6400\, cal$.
$4$. $0\,^{\circ}C$ તાપમાને $100\, g$ બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_{ice} = m_i L_f = 100 \times 80 = 8000\, cal$.
$5$. અહીં $Q_{total} < Q_{ice}$ હોવાથી,માત્ર થોડો બરફ ઓગળશે. ઓગળેલા બરફનું દળ: $m_{melted} = Q_{total} / L_f = 6400 / 80 = 80\, g$.
$6$. કેલરીમીટરમાં કુલ પાણી = (શરૂઆતનું પાણી) + (ઓગળેલા બરફનું દળ) + (વરાળનું પાણી) = $500 + 80 + 10 = 590\, g$.

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,છોકરા-કાર્ટ તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે છે.
ધારો કે $m_1 = 20\, kg$ છોકરાનું દળ છે અને $m_2 = 80\, kg$ કાર્ટનું દળ છે.
ધારો કે છોકરો કાર્ટની સાપેક્ષમાં દીવાલ તરફ $10\, m$ ચાલે છે. ધારો કે કાર્ટ જમીનની સાપેક્ષમાં દીવાલથી દૂર $x$ અંતર ખસે છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં છોકરાનું દીવાલ તરફનું સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = 10 - x$ છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં કાર્ટનું દીવાલથી દૂરનું સ્થાનાંતર $\Delta x_2 = -x$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
$20(10 - x) + 80(-x) = 0$.
$200 - 20x - 80x = 0$.
$100x = 200 \implies x = 2\, m$.
જમીનની સાપેક્ષમાં છોકરાનું દીવાલ તરફનું કુલ સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = 10 - 2 = 8\, m$ છે.
દીવાલથી છોકરાનું અંતિમ અંતર $25 - 8 = 17\, m$ થશે.

(D) તારની કુલ લંબાઈ,$L = 114\, cm$.
ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $n \propto \frac{1}{L}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 3 : 4$ આપેલ છે.
તેથી,ત્રણ ભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $L_1 : L_2 : L_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 12 : 4 : 3$ થશે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $12 + 4 + 3 = 19$ છે.
લંબાઈની ગણતરી:
$L_1 = \frac{12}{19} \times 114 = 12 \times 6 = 72\, cm$.
$L_2 = \frac{4}{19} \times 114 = 4 \times 6 = 24\, cm$.
$L_3 = \frac{3}{19} \times 114 = 3 \times 6 = 18\, cm$.
તારને આ ભાગોમાં વિભાજિત કરવા માટે,પ્રથમ બ્રિજ એક છેડેથી $72\, cm$ પર અને બીજો બ્રિજ તે જ છેડેથી $72 + 24 = 96\, cm$ પર મૂકવો જોઈએ.

(C) ધારો કે ફેંકવાનું બિંદુ $O$ છે અને મૂળ અવધિ $OQ = 4\, km$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $P$ છે,જે ફેંકવાના બિંદુથી $OP = 2\, km$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છે.
વિસ્ફોટ આંતરિક બળોને કારણે થતો હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ પરવલયાકાર પથને અનુસરે છે અને $Q$ બિંદુએ જમીન પર પડે છે.
ધારો કે ભારે ભાગનું દળ $m_1 = 3M/4$ અને હલકા ભાગનું દળ $m_2 = M/4$ છે.
ભારે ભાગ $P$ થી શિરોલંબ નીચે પડે છે,તેથી તેનું સમક્ષિતિજ સ્થાન $x_1 = OP = 2\, km$ છે.
ધારો કે હલકા ભાગનું સમક્ષિતિજ સ્થાન $x_2 = OR$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{(3M/4) \times 2 + (M/4) \times x_2}{M}$
$4 = \frac{3}{2} + \frac{x_2}{4}$
$4 - 1.5 = \frac{x_2}{4}$
$2.5 = \frac{x_2}{4}$
$x_2 = 10\, km$.
આમ,હલકા ભાગની સમક્ષિતિજ અવધિ $10\, km$ છે.

(C) ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે: આવર્તકાળ $t = [T]$,ઘનતા $d = [ML^{-3}]$,ત્રિજ્યા $r = [L]$,પૃષ્ઠતાણ $s = [MT^{-2}]$.
આપેલ સૂત્ર: $t = r^b s^{c/2} d^{a/4}$.
પરિમાણો મૂકતા: $[T] = [L]^b [MT^{-2}]^{c/2} [ML^{-3}]^{a/4}$.
$M$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા: $0 = c/2 + a/4 \implies a = -2c$.
$T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા: $1 = -c \implies c = -1$.
$c = -1$ ને $a = -2c$ માં મૂકતા,આપણને $a = 2$ મળે છે.
$L$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા: $0 = b - 3(a/4) = b - 3(2/4) = b - 3/2$.
તેથી,$b = 3/2$.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ સંપૂર્ણપણે ગતિજ હોય છે કારણ કે તેમાં આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો હોતા નથી $(U_p = 0)$. તેથી,$U = U_k = \frac{3}{2} \mu R T$,જે માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
આપેલ ઉષ્માના જથ્થા $\Delta Q$ માટે,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ એ $\Delta Q = \mu C \Delta T$ દ્વારા મળે છે,અથવા $\Delta T = \frac{\Delta Q}{\mu C}$.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ એ અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ કરતા વધારે હોવાથી,એટલે કે $C_P > C_V$,તેથી સમાન $\Delta Q$ માટે,$(\Delta T)_P < (\Delta T)_V$ થાય. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
જોકે,વિધાન-$2$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને તાપમાનના વધારા વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે,જે આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે તેનું કારણ નથી. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) આપેલ છે: લેન્સનો વ્યાસ $D = 6 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$. જાડાઈ $y = 3 \, mm = 0.3 \, cm$. લેન્સમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = 2 \times 10^8 \, m/s$. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$1$. વક્રીભવનાંક $\mu$ ની ગણતરી:
$\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.
$2$. વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ની ગણતરી:
લેન્સની ભૂમિતિ પરથી,$R^2 = r^2 + (R - y)^2$.
$R^2 = r^2 + R^2 - 2Ry + y^2$.
$2Ry = r^2 + y^2$.
અહીં $y$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$y^2$ ને અવગણી શકાય.
$R = \frac{r^2}{2y} = \frac{3^2}{2 \times 0.3} = \frac{9}{0.6} = 15 \, cm$.
$3$. લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ની ગણતરી:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R = 15 \, cm$ અને $R_2 = \infty$.
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$f = 30 \, cm$.

(A) પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $(\delta)$ અને આપાતકોણ $(i)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\delta = (i + e) - A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ વધે છે,તેમ વિચલન કોણ $(\delta)$ શરૂઆતમાં ઘટે છે.
તે એક ચોક્કસ આપાતકોણ પર લઘુત્તમ વિચલન કોણ $(\delta_m)$ તરીકે ઓળખાતા લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
આ બિંદુ પછી,જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ વધવાનું ચાલુ રાખે છે,તેમ વિચલન કોણ $(\delta)$ ફરીથી વધવાનું શરૂ કરે છે.
તેથી,$\delta$ અને $i$ વચ્ચેનો આલેખ એક પરવલય જેવો વક્ર છે જે લઘુત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) જ્યારે બે કેપેસિટરને એવી રીતે જોડવામાં આવે કે તેમની વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા ધરાવતી પ્લેટો એકબીજા સાથે જોડાય,ત્યારે અંતિમ પોટેન્શિયલ શૂન્ય થવા માટે જોડાયેલી પ્લેટો પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 V_1 = 120 C_1$ અને $q_2 = C_2 V_2 = 200 C_2$ છે.
અંતિમ પોટેન્શિયલ શૂન્ય થવા માટે,ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતભારના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$120 C_1 = 200 C_2$
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$3 C_1 = 5 C_2$

(A) ધારો કે સળિયાની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{L}$ છે.
બિંદુ $O$ થી $x$ અંતરે સળિયા પર $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ વિચારો.
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$ છે.
આ ખંડને કારણે બિંદુ $O$ પાસે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $dV = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{x} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dx}{x}$ છે.
બિંદુ $O$ પાસે કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ મેળવવા માટે $x = L$ (છેડા $A$ પર) થી $x = 2L$ (છેડા $B$ પર) સુધી સંકલન કરતા:
$V = \int_{L}^{2L} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 L} \frac{dx}{x} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 L} [\ln x]_{L}^{2L} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 L} (\ln 2L - \ln L) = \frac{Q \ln 2}{4 \pi \varepsilon_0 L}$.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q_0$ ને $y$-અક્ષ પર $y$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
દરેક વિદ્યુતભાર $q$ અને $q_0$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{y^2 + a^2}$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ દરેક વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $q_0$ પર લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$ નું મૂલ્ય:
$F = \frac{k q q_0}{r^2} = \frac{k q (q/2)}{y^2 + a^2} = \frac{k q^2}{2(y^2 + a^2)}$.
બળોના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
$q_0$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ ઉગમબિંદુ તરફ લાગે છે (પુનઃસ્થાપક બળ):
$F_{net} = -2 F \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{y^2 + a^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F_{net} = -2 \left[ \frac{k q^2}{2(y^2 + a^2)} \right] \cdot \frac{y}{\sqrt{y^2 + a^2}} = -\frac{k q^2 y}{(y^2 + a^2)^{3/2}}$.
સ્થાનાંતર $y$ ખૂબ નાનું $(y << a)$ હોવાથી,આપણે $(y^2 + a^2)^{3/2} \approx (a^2)^{3/2} = a^3$ લઈ શકીએ.
આમ,$F_{net} \approx -\frac{k q^2}{a^3} y$.
અહીં $k, q,$ અને $a$ અચળ હોવાથી,$F_{net} \propto -y$.

(D) એમીટરનો અવરોધ $R_A = \frac{G \cdot S}{G + S}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $S$ એ શંટ અવરોધ છે.
એમીટરની રેન્જ $(I)$ વધારવા માટે,શંટ અવરોધ $S$ ઘટાડવો પડે છે,કારણ કે $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$.
જેમ રેન્જ $(I)$ વધે છે,તેમ જરૂરી શંટ અવરોધ $S$ ઘટે છે,જે એમીટરનો કુલ અવરોધ $R_A$ ઘટાડે છે. તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે.
વિધાન-$II$ સાચું છે કારણ કે સમાંતરમાં વધારાનો શંટ જોડવાથી કુલ અવરોધ ઘટે છે અને વધુ પ્રવાહ ગેલ્વેનોમીટરની બહારથી પસાર થઈ શકે છે,જેનાથી રેન્જ વધે છે.

(A) બલ્બનો પાવર $P_b = 60\, W$. બલ્બનો અવરોધ $R_b = \frac{V^2}{P_b} = \frac{120^2}{60} = 240\,\Omega$.
લીડ વાયરનો અવરોધ $R_L = 6\,\Omega$.
હીટર ચાલુ કરતા પહેલા બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ: $V_1 = \frac{R_b}{R_b + R_L} \times 120 = \frac{240}{240 + 6} \times 120 = \frac{240}{246} \times 120 \approx 117.07\, V$.
હીટરનો પાવર $P_h = 240\, W$. હીટરનો અવરોધ $R_h = \frac{V^2}{P_h} = \frac{120^2}{240} = 60\,\Omega$.
જ્યારે હીટર બલ્બ સાથે સમાંતરમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_b \times R_h}{R_b + R_h} = \frac{240 \times 60}{240 + 60} = \frac{14400}{300} = 48\,\Omega$.
હીટર ચાલુ કર્યા પછી બલ્બ પરનો વોલ્ટેજ: $V_2 = \frac{R_p}{R_p + R_L} \times 120 = \frac{48}{48 + 6} \times 120 = \frac{48}{54} \times 120 \approx 106.67\, V$.
વોલ્ટેજમાં ઘટાડો $= V_1 - V_2 = 117.07 - 106.67 = 10.4\, V$.

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = 1.20 \ Am^2$ અને $M_2 = 1.00 \ Am^2$.
ચુંબકો વચ્ચેનું અંતર $20.0 \ cm$ છે,તેથી મધ્યબિંદુ $O$ નું દરેક ચુંબકથી અંતર $r = 10.0 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
આકૃતિ મુજબ,બિંદુ $O$ એ બંને ચુંબકોની વિષુવરેખા પર છે. ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$ છે.
બંને ચુંબકોના ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 + B_H = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{(M_1 + M_2)}{r^3} + B_H$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = 10^{-7} \times \frac{(1.20 + 1.00)}{(0.1)^3} + 3.6 \times 10^{-5}$
$B_{net} = 10^{-7} \times \frac{2.20}{0.001} + 3.6 \times 10^{-5} = 2.2 \times 10^{-4} + 0.36 \times 10^{-4} = 2.56 \times 10^{-4} \ Wb/m^2$.

(D) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ વધે છે,તેમ આપાત ફોટોનની ઉર્જા ઘટે છે.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન $\phi$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય.
આનો અર્થ એ છે કે એક મહત્તમ તરંગલંબાઇ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જેને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ કહેવામાં આવે છે,જેથી તમામ $\lambda > \lambda_0$ માટે,ફોટોનની ઉર્જા કેથોડમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે અપૂરતી હોય છે.
પરિણામે,તમામ $\lambda > \lambda_0$ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I$ શૂન્ય હશે.
જેમ $\lambda$ નાના મૂલ્યથી $\lambda_0$ તરફ વધે છે,તેમ ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (અને તેથી પ્રવાહ $I$) સામાન્ય રીતે ઘટે છે અથવા તીવ્રતાના આધારે અચળ રહે છે,પરંતુ તે $\lambda = \lambda_0$ પર શૂન્ય થવો જ જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ પ્રવાહ ઘટતો દર્શાવે છે અને અંતે ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર શૂન્ય થાય છે તે વિકલ્પ $(d)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(D) સ્થિર છેડાથી $x$ અંતરે આવેલા સળિયાના નાના ખંડ $dx$ માં ઉદ્ભવતું $e.m.f.$ $de = Bv dx = B(\omega x) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચે કુલ ઉદ્ભવતું $e.m.f.$ શોધવા માટે,આપણે આ પદનું સંકલન કેન્દ્રથી સળિયાના અંદરના છેડા (અંતર $2l$) થી બહારના છેડા (અંતર $2l + l = 3l$) સુધી કરીએ છીએ.
$e = \int_{2l}^{3l} B\omega x dx$
$e = B\omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2l}^{3l}$
$e = \frac{B\omega}{2} [(3l)^2 - (2l)^2]$
$e = \frac{B\omega}{2} [9l^2 - 4l^2]$
$e = \frac{5B\omega l^2}{2}$

(D) જ્યારે સ્વીચ $S_1$ બંધ હોય અને $S_2$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે સર્કિટ બેટરી $V$,અવરોધ $R$ અને કેપેસિટર $C$ ધરાવતી સાદી શ્રેણી $RC$ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ ચાર્જિંગના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $q(t) = CV(1 - e^{-t/\tau})$,જ્યાં $\tau = RC$ છે.
વિકલ્પ $D$ તપાસતા: $t = 2\tau$ સમયે,સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા $q = CV(1 - e^{-2\tau/\tau}) = CV(1 - e^{-2})$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચું વિધાન છે.

(B) આપેલ છે કે,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $B_{0} = 20 \ nT = 20 \times 10^{-9} \ T$ છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \ ms^{-1}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{0}$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_{0} = B_{0} \times c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E_{0} = (20 \times 10^{-9} \ T) \times (3 \times 10^{8} \ ms^{-1})$
$E_{0} = 60 \times 10^{-1} \ Vm^{-1}$
$E_{0} = 6 \ Vm^{-1}$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મહત્તમ મૂલ્ય $6 \ Vm^{-1}$ છે.

(A) આપેલ ગોઠવણીમાં,બે સુસંબદ્ધ બિંદુવત ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ ને પડદાને લંબ અક્ષ પર રાખવામાં આવ્યા છે.
પડદા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = |S_2P - S_1P|$ એ બિંદુઓના આપેલ બિંદુપથ માટે અચળ રહે છે.
ઉદગમો અક્ષ પર હોવાથી,પડદા પર સમાન પથ તફાવત ધરાવતા બિંદુઓનો બિંદુપથ એ અક્ષ જ્યાં પડદાને છેદે છે તે બિંદુને કેન્દ્ર ગણીને રચાતા કેન્દ્રીય વર્તુળો બનાવે છે.
તેથી,પડદા પર મળતી વ્યતિકરણ ભાત કેન્દ્રીય વર્તુળો સ્વરૂપે હશે.

(D) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરોઇડ $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલરોઇડ $B$ માંથી પસાર થાય છે,જેની ટ્રાન્સમિશન અક્ષ $A$ ની અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_R = I_1 \cos^2(\theta)$
કિંમતો મૂકતા:
$I_R = \left(\frac{I_0}{2}\right) \cos^2(45^{\circ})$
કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos^2(45^{\circ}) = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,$I_R = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\nu = c R Z^2 [1/(n-1)^2 - 1/n^2]$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $[n^2 - (n-1)^2] / [n^2(n-1)^2] = (n^2 - (n^2 - 2n + 1)) / [n^2(n-1)^2] = (2n - 1) / [n^2(n-1)^2]$.
કારણ કે $n >> 1$ છે,આપણે $(2n - 1) \approx 2n$ અને $(n-1) \approx n$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
આ અંદાજો મૂકતા: $\nu \approx c R Z^2 [2n / (n^2 \cdot n^2)] = c R Z^2 [2n / n^4] = 2 c R Z^2 / n^3$.
તેથી,આવૃત્તિ $\nu$ એ $1/n^3$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) $LED$ એ ફોરવર્ડ બાયસમાં જોડાયેલ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે જેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થતા પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $E = eV$ હોવાથી,જ્યાં $V$ એ થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ છે,આપણને $eV = \frac{hc}{\lambda}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto \frac{1}{\lambda}$. આવૃત્તિ $\nu$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $\nu = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,$V \propto \nu$ થાય છે. તેથી,ઊંચી આવૃત્તિ ધરાવતા પ્રકાશ (જેમ કે વાદળી) માટે નીચી આવૃત્તિ ધરાવતા પ્રકાશ (જેમ કે લાલ) કરતા વધુ થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજની જરૂર પડે છે. આમ,આપેલ વિદ્યુતપ્રવાહ માટે,જરૂરી વોલ્ટેજ $R < Y < G < B$ ના ક્રમમાં વધે છે. જે આલેખમાં ફોરવર્ડ બાયસ લાક્ષણિકતા દર્શાવેલ છે અને જેમાં થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ આવૃત્તિ સાથે વધે છે,તે સાચો જવાબ છે.

(A) આ સર્કિટમાં બે $npn$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર આઉટપુટ નોડ $C$ અને ગ્રાઉન્ડની વચ્ચે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
આઉટપુટ $C$ લો $(0 \, V)$ મળે તે માટે,બંને ટ્રાન્ઝિસ્ટર '$ON$' સ્થિતિમાં (કન્ડક્ટિંગ) હોવા જોઈએ,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ હાઇ $(5 \, V)$ હોય.
જો $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ પણ એક લો $(0 \, V)$ હોય,તો સંબંધિત ટ્રાન્ઝિસ્ટર '$OFF$' થાય છે અને આઉટપુટ $C$ રઝિસ્ટર દ્વારા $5 \, V$ (હાઇ) પર ખેંચાય છે.
આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલને અનુસરે છે:
- જો $A=0, B=0$,તો $C=1$
- જો $A=0, B=1$,તો $C=1$
- જો $A=1, B=0$,તો $C=1$
- જો $A=1, B=1$,તો $C=0$
આમ,$C$ પરનું આઉટપુટ $A \, NAND \, B$ અથવા $\overline{A \cdot B} = C$ ને અનુરૂપ છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{X}{Y} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$X = \frac{2}{3}Y$.
હવે,આપણે $3X$ ને $Y$ ની સામે સંતુલિત કરીએ છીએ. ધારો કે નવું નલ પોઈન્ટ $l' \ cm$ પર છે.
તો,$\frac{3X}{Y} = \frac{l'}{100-l'}$.
સમીકરણમાં $X = \frac{2}{3}Y$ મૂકતા:
$\frac{3(\frac{2}{3}Y)}{Y} = \frac{l'}{100-l'}$
$2 = \frac{l'}{100-l'}$
$2(100 - l') = l'$
$200 - 2l' = l'$
$3l' = 200$
$l' = \frac{200}{3} \approx 66.67 \ cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,નલ પોઈન્ટ $67 \ cm$ ની નજીક છે.

(B) જ્યારે આપાતકોણ બ્રુસ્ટર કોણ $(i_B)$ હોય ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશની તીવ્રતા ન્યૂનતમ હોય છે.
બ્રુસ્ટર કોણ પર,પરાવર્તિત કિરણ સંપૂર્ણપણે પોલરાઇઝ્ડ થાય છે.
આપેલ છે કે $\mu = \tan i_B = \frac{4}{3}$.
સમસ્યાની ભૂમિતિ મુજબ,ધારો કે નદી પર પરાવર્તન બિંદુ $A$ છે. વ્યક્તિ $10\, m$ ની ઊંચાઈ પર બિંદુ $C$ પર છે અને પ્રકાશનો સ્ત્રોત ટાવર પર $Y$ ઊંચાઈએ બિંદુ $E$ પર છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan(90^{\circ} - i_B) = \frac{BC}{AB} \implies \cot i_B = \frac{10}{X}$.
$\tan i_B = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$\cot i_B = \frac{3}{4}$ થાય.
આમ,$\frac{3}{4} = \frac{10}{X} \implies X = \frac{40}{3} \approx 13.33\, m$.
$\triangle AEF$ માં,$\tan(90^{\circ} - i_B) = \frac{EF}{AF} \implies \cot i_B = \frac{Y}{50 - X}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{3}{4} = \frac{Y}{50 - 13.33} = \frac{Y}{36.67}$.
$Y = \frac{3}{4} \times 36.67 \approx 27.5\, m$.
નજીકના મૂલ્યો લેતા,$X \approx 13\, m$ અને $Y \approx 27\, m$.

(C) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $x$-અક્ષ પર પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે લંબ રૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $y$-અક્ષ પર અચળ બળ $F = qE$ અનુભવે છે.
કણનો પ્રવેગ $a_y = \frac{qE}{m}$ છે.
$t$ સમય પર $x$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર $x = ut$ છે,તેથી $t = \frac{x}{u}$ થાય.
$y$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર $y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{u} \right)^2$ છે.
અહીં $y \propto x^2$ હોવાથી,આ પરવલયનું સમીકરણ છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઇ માટે સૂત્ર: $\lambda = \frac{hc}{E}$.
અહીં $E = 11 \, keV = 11 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J$ આપેલ છે.
$hc = 12400 \, eV \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{12400 \, eV \cdot \mathring{A}}{11000 \, eV} \approx 1.13 \, \mathring{A}$ મળે છે.
$X-$કિરણોની તરંગલંબાઇનો વિસ્તાર આશરે $0.1 \, \mathring{A}$ થી $100 \, \mathring{A}$ છે.
આથી,$1.13 \, \mathring{A}$ આ વિસ્તારમાં આવતું હોવાથી,આ વિકિરણ $X-$કિરણ વિભાગમાં આવે છે.

(C) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $C_m(t) = A_c(1 + \mu \sin \omega_m t) \sin \omega_c t$ છે,જ્યાં $\mu$ એ મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ છે.
આપેલ કેરિયર તરંગ $C(t) = A \sin \omega_c t$ અને મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલ $m(t) = A \sin \omega_m t$ માટે,કેરિયરનો કંપવિસ્તાર $A_c = A$ અને મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો કંપવિસ્તાર $A_m = A$ છે.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\mu = \frac{A_m}{A_c} = \frac{A}{A} = 1$ થાય.
સામાન્ય સમીકરણમાં $\mu = 1$ અને $A_c = A$ મૂકતા,આપણને $C_m(t) = A(1 + 1 \cdot \sin \omega_m t) \sin \omega_c t = A(1 + \sin \omega_m t) \sin \omega_c t$ મળે છે.
આમ,મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલ $C_m(t) = A(1 + \sin \omega_m t) \sin \omega_c t$ છે અને મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $1$ છે.

(D) '$A$' અક્ષર $20\,cm$ લંબાઈની બે બાજુઓ અને $10\,cm$ લંબાઈના ક્રોસ-પીસનો બનેલો છે. ધારો કે ક્રોસ-પીસ શિરોબિંદુ $A$ થી $x$ અંતરે જોડાયેલ છે. શિરોબિંદુનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી અને શિરોબિંદુ તથા ક્રોસ-પીસ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,ક્રોસ-પીસની લંબાઈ શિરોબિંદુથી ક્રોસ-પીસ સુધીના અંતર જેટલી છે. તેથી,$x = 10\,cm$.
દરેક વિભાગનો અવરોધ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
ઉપરના વિભાગો $AD$ અને $AE$ નો અવરોધ દરેક $10\,\Omega$ છે.
ક્રોસ-પીસ $DE$ નો અવરોધ $10\,\Omega$ છે.
નીચેના વિભાગો $DB$ અને $EC$ નો અવરોધ દરેક $(20 - 10) = 10\,\Omega$ છે.
પરિપથને સરળ બનાવી શકાય છે: $B$ અને $C$ ટર્મિનલથી જોતા,માર્ગ $B-D$ છે,ત્યારબાદ $(D-A-E)$ અને $(D-E)$ નું સમાંતર જોડાણ છે,અને અંતે $E-C$ છે.
શાખા $DAE$ નો અવરોધ $= 10 + 10 = 20\,\Omega$.
શાખા $DE$ નો અવરોધ $= 10\,\Omega$.
$DAE$ અને $DE$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ: $R_p = \frac{20 \times 10}{20 + 10} = \frac{200}{30} = 6.67\,\Omega$.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ: $R_{BC} = R_{BD} + R_p + R_{EC} = 10 + 6.67 + 10 = 26.67\,\Omega \approx 26.7\,\Omega$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને અક્ષ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \frac{\mu_0 I / 2R}{\mu_0 I R^2 / 2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{(R^2 + x^2)^{3/2}}{R^3} = \left(1 + \frac{x^2}{R^2}\right)^{3/2}$.
અહીં $x = 2\sqrt{2}R$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \left(1 + \frac{(2\sqrt{2}R)^2}{R^2}\right)^{3/2} = \left(1 + \frac{8R^2}{R^2}\right)^{3/2} = (1 + 8)^{3/2} = (9)^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$.

(B) માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{d}{t} = \frac{3.0 \times 10^{-2} \ m}{0.2 \times 10^{-9} \ s} = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ છે.
હવાની સાપેક્ષે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{1.5 \times 10^8 \ m/s} = 2$ છે.
ક્રાંતિક કોણ $C$ માટે $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $C = 30^o$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાતકોણ $i > C$ હોય.
કિસ્સા $(A)$ માટે,$i = 20^o < 30^o$,તેથી તે વક્રીભવન પામશે.
કિસ્સા $(B)$ માટે,$i = 40^o > 30^o$,તેથી તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામશે.
આમ,કિરણ માત્ર કિસ્સા $(B)$ માં પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.

(C) ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_1$ ધરાવતા ડાયપોલ દ્વારા $x$ અંતરે વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિમાં ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}_1}{x^3}$ છે.
આ ક્ષેત્રમાં બીજા ડાયપોલ $\vec{p}_2$ ની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{p}_2 \cdot \vec{E} = -\vec{p}_2 \cdot \left( -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}_1}{x^3} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p_1p_2}{x^3}$ થાય (કારણ કે $\vec{p}_1 \parallel \vec{p}_2$).
ડાયપોલ વચ્ચેનું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F = -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p_1p_2}{x^3} \right) = -\frac{p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0} (-3x^{-4}) = \frac{3p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 x^4}$.
જોકે,બે સમાંતર ડાયપોલ જે બાજુ-બાજુમાં (વિષુવવૃત્તીય ગોઠવણીમાં) મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બળ આકર્ષી હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $F = \frac{6p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 x^4}$ થાય છે.

(D) સંતુલન સ્થિતિમાં,એક ગોળા પર લાગતા બળો સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e$,તણાવ બળ $T$ અને વજન બળ $mg$ છે.
$F_e = T \sin \theta$
$mg = T \cos \theta$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 x^2 mg}$ મળે.
ખૂણો $\theta$ નાનો હોવાથી,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{l}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{x}{2l} = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 x^2 mg}$
$x^3 = \frac{2 q^2 l}{4 \pi \epsilon_0 mg}$
$x^3 = \frac{q^2 l}{2 \pi \epsilon_0 mg}$
આમ,$x = \left( \frac{q^2 l}{2 \pi \epsilon_0 mg} \right)^{1/3}$.
તેથી,$x \propto l^{1/3}$.

(C) પરમાણુ વિખંડન પ્રક્રિયામાં,સમીકરણની બંને બાજુએ ન્યુક્લિયોન્સની કુલ સંખ્યા (દળ ક્રમાંક) અને કુલ વીજભાર (પરમાણુ ક્રમાંક) નું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
આપેલ પ્રક્રિયા: ${}_{92}U^{235} + {}_0n^1 \to {}_{56}Ba^{141} + {}_{36}Kr^{92} + 3x + Q$.
ધારો કે કણ $x$ એ ${}_Z A^A$ છે.
દળ ક્રમાંકનું સંતુલન કરતા: $235 + 1 = 141 + 92 + 3A$.
$236 = 233 + 3A \implies 3A = 3 \implies A = 1$.
પરમાણુ ક્રમાંકનું સંતુલન કરતા: $92 + 0 = 56 + 36 + 3Z$.
$92 = 92 + 3Z \implies 3Z = 0 \implies Z = 0$.
દળ ક્રમાંક $1$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $0$ ધરાવતો કણ એ ન્યુટ્રોન $({}_0n^1)$ છે.
તેથી,કણ $x$ એ ન્યુટ્રોન છે.

(A) કોઈલ $Y$ માં પ્રેરિત emf ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V(t) = -M \frac{dI}{dt}$,જ્યાં $M$ એ બે કોઈલ વચ્ચેનું મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહના આલેખનો ઢાળ,$\frac{dI}{dt}$,એ $-V(t)$ ના પ્રમાણમાં છે.
$1$. પ્રથમ અંતરાલમાં,$V(t)$ ધન છે,તેથી $\frac{dI}{dt}$ ઋણ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ $I(t)$ ઘટતો હોવો જોઈએ.
$2$. બીજા અંતરાલમાં,$V(t)$ ઋણ છે,તેથી $\frac{dI}{dt}$ ધન હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ $I(t)$ વધતો હોવો જોઈએ.
$3$. વિકલ્પો જોતા,આલેખ $A$ માં પ્રવાહ શરૂઆતમાં ઘટતો અને પછી વધતો જોવા મળે છે,જે આપેલ $V(t)$ આલેખ પરથી મેળવેલ ઢાળ $\frac{dI}{dt}$ ના જરૂરી વર્તન સાથે મેળ ખાય છે.

(D) ધારો કે $G = 120\,\Omega$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $S = 1\,\Omega$ એ શંટનો અવરોધ છે.
ધારો કે $I = 5.5\,A$ એ સમાંતર જોડાણમાંથી પસાર થતો કુલ પ્રવાહ છે.
ધારો કે $I_g$ એ પૂર્ણ સ્કેલ આવર્તન માટે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ છે.
સમાંતર પરિપથ માટે કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ:
$I_g = I \times \frac{S}{G + S}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I_g = 5.5 \times \frac{1}{120 + 1}$
$I_g = 5.5 \times \frac{1}{121}$
$I_g = \frac{5.5}{121} = \frac{55}{1210} = \frac{1}{22} \approx 0.04545\,A$
તેથી,પૂર્ણ સ્કેલ આવર્તન આપતો પ્રવાહ આશરે $0.045\,A$ છે.

(C) શ્રેણી $LC$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અને કેપેસિટર $(V_C)$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે,એટલે કે,તેમની વચ્ચે $180^{\circ}$ નો કળા તફાવત હોય છે.
$AC$ સ્ત્રોતનો કુલ વોલ્ટેજ $E$ એ વ્યક્તિગત વોલ્ટેજના તફાવતના મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = |V_L - V_C|$
આપેલ છે:
$V_L = 300\, V$
$V_C = 400\, V$
કિંમતો મૂકતા:
$E = |300\, V - 400\, V|$
$E = |-100\, V|$
$E = 100\, V$

(C) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ થાય.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$M = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ મળે.
દળ $m$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,$M = \frac{e}{2m} (mvr)$ મળે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આ કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$M = \left( \frac{e}{2m} \right) \frac{nh}{2\pi}$ મળે છે.

(C) આપેલ શરત મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે:
$2 \pi r = n \lambda$
કારણ કે $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$,તેથી:
$2 \pi r = \frac{nh}{mv} \implies mvr = \frac{nh}{2 \pi}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ એ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$qvB = \frac{mv^2}{r} \implies mv = qBr$
$mv = qBr$ ને ક્વોન્ટાઈઝેશન શરતમાં મૂકતા:
$(qBr)r = \frac{nh}{2 \pi} \implies qBr^2 = \frac{nh}{2 \pi}$
$r^2$ માટે ઉકેલતા:
$r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$
આમ,$r = \sqrt{\frac{nh}{2 \pi qB}}$,જે દર્શાવે છે કે $r \propto n^{1/2}$.

(C) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં અવરોધક પરનો વોલ્ટેજ $V_R = I R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે પ્રવાહ $I$ મહત્તમ હોય ત્યારે વોલ્ટેજ $V_R$ મહત્તમ હોય છે.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,પ્રવાહ અનુનાદ આવૃત્તિ $f_r$ પર મહત્તમ હોય છે,જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_L = X_C)$ જેટલું હોય છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો: $L = 24 \, H$,$C = 2 \, \mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$.
કિંમતો મૂકતા:
$f_r = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{24 \times 2 \times 10^{-6}}}$
$f_r = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{48 \times 10^{-6}}}$
$f_r = \frac{1}{6.28 \times 6.928 \times 10^{-3}}$
$f_r = \frac{1000}{6.28 \times 6.928} \approx \frac{1000}{43.5} \approx 22.98 \, Hz \approx 23 \, Hz$.

(C) બેટરી $E_2$ માંથી કોઈ પ્રવાહ પસાર ન થાય તે માટે,બાહ્ય અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરી $E_2$ ના $emf$ જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $E_1$,$r$ અને $R$ ધરાવતા પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E_1}{R + r}$ છે.
અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times R = \frac{E_1 \times R}{R + r}$ છે.
બેટરી $E_2$ વાળી શાખામાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોય તે માટે,$V = E_2$ હોવું જોઈએ.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{100 \times R}{R + 0.5} = 90$.
બંને બાજુ $10$ વડે ભાગતા: $\frac{10 \times R}{R + 0.5} = 9$.
$10R = 9(R + 0.5)$.
$10R = 9R + 4.5$.
$R = 4.5 \, \Omega$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદાનું અંતર છે,$d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
$W$ પહોળાઈના દ્રશ્યક્ષેત્રમાં જોઈ શકાતી ફ્રિન્જની સંખ્યા $N$ એ $N = \frac{W}{\beta} = \frac{Wd}{D\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
આ સંબંધ પરથી,$N \propto \frac{1}{\lambda}$. આમ,જેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ વધે છે,તેમ ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ વધે છે,અને દ્રશ્યક્ષેત્રમાં જોવા મળતી ફ્રિન્જની સંખ્યા $N$ ઘટે છે. તેનાથી ઉલટું,ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે,ફ્રિન્જની પહોળાઈ નાની હોય છે,જેનાથી વધુ ફ્રિન્જ જોઈ શકાય છે.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે,વિધાન-$2$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) અડધા કોણાવર્તનની રીતમાં,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_1 + \frac{R_2 G}{R_2 + G}} \cdot \frac{R_2}{R_2 + G}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે.
જ્યારે $R_3 = 0$ હોય,ત્યારે કોણાવર્તન $d \propto I = \frac{V R_2}{R_1(R_2 + G) + R_2 G}$ થાય છે.
જ્યારે $R_3 = 107\,\Omega$ હોય,ત્યારે કોણાવર્તન $d/2$ થાય છે,એટલે કે પ્રવાહ $I/2$ થાય છે.
ગણતરી કરતા,ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = \frac{R_2 R_3}{R_1 - R_3}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $G = \frac{30 \times 107}{9970 - 107} \approx 0.32\,\Omega$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $77\,\Omega$ છે.

(D) આપેલ છે: $f_o = 50\,cm$,$f_e = 5\,cm$,$u_o = -200\,cm$,અને અંતિમ પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતર $d = -25\,cm$ પર રચાય છે.
પ્રથમ,લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ નો ઉપયોગ કરીને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબનું અંતર $v_o$ શોધો:
$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{50} - \frac{1}{200} = \frac{4-1}{200} = \frac{3}{200} \Rightarrow v_o = \frac{200}{3}\,cm$.
ત્યારબાદ,આઈપીસ માટે વસ્તુનું અંતર $u_e$ શોધવા માટે $\frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e}$ નો ઉપયોગ કરો,જ્યાં $v_e = -25\,cm$:
$-\frac{1}{u_e} = \frac{1}{5} - (-\frac{1}{25}) = \frac{5+1}{25} = \frac{6}{25} \Rightarrow u_e = -\frac{25}{6}\,cm$.
કુલ મોટવણી $M = M_o \times M_e = (\frac{v_o}{u_o}) \times (\frac{v_e}{u_e})$ દ્વારા મળે છે:
$M = (\frac{200/3}{-200}) \times (\frac{-25}{-25/6}) = (-\frac{1}{3}) \times (6) = -2$.

(D) આપેલ છે: $C = 10^{-11} \, F$,$L = 10^{-5} \, H$,$R = 100 \, \Omega$ અને $q_{DC} = 10^{-9} \, C$.
$1$. સૌ પ્રથમ,સ્ટેડી-સ્ટેટ સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને $D.C.$ વોલ્ટેજ $E$ શોધો જ્યાં કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે: $E = q_{DC} / C = 10^{-9} / 10^{-11} = 100 \, V$. કારણ કે $E_0 = E$,તેથી $A.C.$ સ્ત્રોતનો પીક વોલ્ટેજ $E_0 = 100 \, V$ છે.
$2$. રેઝોનન્સ સમયે,$L-C-R$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z = R = 100 \, \Omega$ છે. પીક પ્રવાહ $I_0 = E_0 / Z = 100 / 100 = 1 \, A$ છે.
$3$. રેઝોનન્ટ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1 / \sqrt{LC} = 1 / \sqrt{10^{-5} \times 10^{-11}} = 1 / \sqrt{10^{-16}} = 10^8 \, rad/s$ છે.
$4$. $A.C.$ સર્કિટમાં કેપેસિટર પરનો પીક વિદ્યુતભાર $Q_0$ એ પીક પ્રવાહ $I_0$ સાથે $Q_0 = I_0 / \omega$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $Q_0 = 1 / 10^8 = 10^{-8} \, C$.

(C) ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન ઉગમબિંદુ પરના બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે છે. ગોળો વાહક હોવાથી,તેના સમગ્ર કદમાં સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેના કેન્દ્ર પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે.
$V = \frac{kq}{r} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-2}} = 2.25 \times 10^5\,V$.
વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. જોકે,પ્રશ્નમાં કેન્દ્ર પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર પૂછવામાં આવ્યું છે. કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $(E_{ext})$ અને ગોળાની સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $(E_{ind})$ નો સરવાળો છે.
વાહકની અંદર ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,$E_{net} = E_{ext} + E_{ind} = 0$.
$E_{ext} = \frac{kq}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6}}{(4 \times 10^{-2})^2} = 5.625 \times 10^6\,V/m$ (ઉગમબિંદુથી દૂરની દિશામાં).
તેથી,$E_{ind} = -E_{ext} = -5.625 \times 10^6\,V/m$.

(D) આપેલ છે: $(T_{1/2})_A = (\tau)_B$, જ્યાં $\tau$ એ સરેરાશ આયુષ્ય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ અને $\tau = \frac{1}{\lambda}$.
તેથી, $\frac{0.693}{\lambda_A} = \frac{1}{\lambda_B}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\lambda_A = 0.693 \lambda_B$, જે દર્શાવે છે કે $\lambda_A < \lambda_B$.
ક્ષયનો દર $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, બંને તત્વો માટે પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ સમાન છે.
કારણ કે $\lambda_B > \lambda_A$, તેથી ક્ષય દર $R_B = \lambda_B N$ એ $R_A = \lambda_A N$ કરતા વધારે હશે.
આમ, $B$ એ $A$ કરતા ઝડપી દરે ક્ષય પામશે.

(B) તરંગનું આપેલ સમીકરણ $\vec{E} = \vec{E}_0 \sin(4 \times 10^7 x - 50t)$ છે.
સામાન્ય તરંગ સમીકરણ $\vec{E} = \vec{E}_0 \sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 50 \times 10^7 \text{ rad/s}$ અને $k = 4 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.
માધ્યમમાં તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \times 10^7}{4 \times 10^7} = 12.5 \text{ m/s}$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,$v = \frac{c}{n} = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}$. માધ્યમ બિન-ચુંબકીય હોવાથી,$\mu_r = 1$,તેથી $v = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}$.
વિકલ્પો જોતા,જો $n = 2.4$ હોય,તો $\epsilon_r = n^2 = (2.4)^2 = 5.76 \approx 5.8$ થાય.

(C) કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ સંબંધ $I = C \frac{dV}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $\frac{dV}{dt}$ એ પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
આપેલ છે: $I = 2\,A$ અને $C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{I}{C}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{2}{1 \times 10^{-6}}\,V/s$
$\frac{dV}{dt} = 2 \times 10^6\,V/s$.

(D) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,સમતલની અંદરની તરફ $(\otimes)$ વહેતા પ્રવાહ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તેની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) વર્તુળો બનાવે છે.
સમતલની બહારની તરફ $(\odot)$ વહેતા પ્રવાહ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તેની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) વર્તુળો બનાવે છે.
જ્યારે આ બંને તારને બાજુ-બાજુમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેના ચુંબકીય ક્ષેત્રની રેખાઓ એક જ દિશામાં હોય છે,જ્યારે બહારની તરફ તે એકબીજાની અસર ઘટાડે છે અથવા બંને તારની આસપાસ લૂપ બનાવે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,ક્ષેત્ર રેખાઓ $\odot$ તારમાંથી બહાર નીકળીને $\otimes$ તારમાં પ્રવેશે છે,જે આકૃતિ $823-$d652 માં દર્શાવ્યા મુજબ બંને તારની આસપાસ લૂપ બનાવે છે.

(C) ધારો કે દરેક દોરીની લંબાઈ $L$ છે. બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $x = 2L \sin \theta$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$,અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{x^2}$ છે.
બળોના ઘટકો લેતા: $T \sin \theta = F_e$ અને $T \cos \theta = mg$.
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{x^2 mg}$ મળે.
તેથી,$x^2 = \frac{kq^2}{mg \tan \theta}$,જેનો અર્થ છે કે $x = q \sqrt{\frac{k}{mg \tan \theta}}$.
વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાના કેન્દ્ર પર (દરેક વિદ્યુતભારથી $x/2$ અંતરે) સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$:
$V = \frac{kq}{x/2} + \frac{kq}{x/2} = \frac{4kq}{x}$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4kq}{q \sqrt{\frac{k}{mg \tan \theta}}} = 4 \sqrt{k^2 \cdot \frac{mg \tan \theta}{k}} = 4 \sqrt{k \, mg \tan \theta}$.

(D) ધારો કે વસ્તુ ચોરસની બાજુ $\ell$ છે અને પ્રતિબિંબ ચોરસની બાજુ $\ell^{\prime}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ વસ્તુના ક્ષેત્રફળ કરતાં $9$ ગણું છે,તેથી $\frac{\ell^{\prime 2}}{\ell^2} = 9$.
વર્ગમૂળ લેતા,રેખીય મોટવણી $m = \frac{\ell^{\prime}}{\ell} = 3$.
પ્રતિબિંબ પડદા પર મેળવવામાં આવે છે,તેથી તે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ છે,એટલે કે $m = -3$.
વસ્તુ અંતર $u = -40\,cm$.
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$v = m \times u = (-3) \times (-40) = 120\,cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{120} - \frac{1}{-40} = \frac{1}{120} + \frac{1}{40} = \frac{1+3}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 30\,cm$ છે.

(A) $1$. ડાયોડના બાયસિંગનું વિશ્લેષણ કરો: બેટરીનો ધન છેડો $D_1$ અને $D_2$ ના એનોડ સાથે જોડાયેલ છે,જે તેમને ફોરવર્ડ બાયસ બનાવે છે. આકૃતિ મુજબ,$D_3$ રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં છે.
$2$. તેથી,માત્ર $D_1$ અને $R_1$ વાળી શાખામાંથી જ પ્રવાહ વહેશે.
$3$. કુલ અવરોધ $R_{total} = R_1 + R_f + R_3 = 50 + 20 + 50 = 120\,\Omega$ થશે.
$4$. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{6}{120} = 0.05\,A$.
$5$. મિલીએમ્પિયરમાં ફેરવતા,$I = 0.05 \times 1000 = 50\,mA$.

(D) સીધા વાહક તારને કારણે તેનાથી $R$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, બિંદુ વાહકની અક્ષ પર આવેલું છે. સીધા વાહકની અક્ષ એટલે તે વાહકમાંથી પસાર થતી રેખા.
સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે, બિંદુના સ્થાન સદિશ અને પ્રવાહ ખંડ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ, $dB = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{dl \sin \theta}{r^2}$.
અહીં $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોવાથી, $\sin \theta = 0$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $dB = 0$.
તેથી, સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\text{શૂન્ય}$ હોય છે.

(A) આયનોસ્ફિયરનો અસરકારક વક્રીભવનાંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n_{eff} = \sqrt{1 - \frac{80.5N}{f^2}}$
જ્યાં $N$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે અને $f$ એ $e-m$ તરંગની આવૃત્તિ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આયનોસ્ફિયરનો વક્રીભવનાંક $e-m$ તરંગોની આવૃત્તિ $f$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.
ટૂંકા તરંગનું પ્રસારણ (સ્કાય વેવ પ્રોપેગેશન) આયનોસ્ફિયર દ્વારા $e-m$ તરંગોના વક્રીભવન પર આધાર રાખે છે,જે બદલાતા વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમ તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે આવૃત્તિ યોગ્ય હોય છે,ત્યારે તરંગો પૃથ્વી તરફ પાછા વળે છે,જેને ઘણીવાર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે.

(B) ઓહ્મના નિયમની ચકાસણી કરવા માટે,આપણે $V = IR$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $I$ એ અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $V$ એ તે ચોક્કસ અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
$1$. અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માપવા માટે એમીટરને અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડવું આવશ્યક છે.
$2$. અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ માપવા માટે વોલ્ટમીટરને અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવું આવશ્યક છે.
વિકલ્પો જોતા,વિકલ્પ $(b)$ માં આપેલી ગોઠવણીમાં એમીટરને અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં અને વોલ્ટમીટરને અવરોધ સાથે સમાંતરમાં યોગ્ય રીતે મૂકવામાં આવ્યું છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ એ સાચી ગોઠવણી છે.