JEE Main 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ શ્રેણી $S = 1(2)^2 + 2(4)^2 + 3(6)^2 + \dots + 10(20)^2$ છે.
$n$-મું પદ $T_n = n(2n)^2 = n(4n^2) = 4n^3$ છે.
$10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} 4n^3$ છે.
$S_{10} = 4 \sum_{n=1}^{10} n^3$.
સૂત્ર $\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{10} = 4 \left( \frac{10 \times 11}{2} \right)^2$.
$S_{10} = 4 \times (55)^2 = 4 \times 3025 = 12100$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y + (25 - a^2) = 0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -3$,$f = -4$,અને $c = 25 - a^2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
$r = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (25 - a^2)} = \sqrt{9 + 16 - 25 + a^2} = \sqrt{a^2} = |a|$.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રના $y$-યામના માનાંક જેટલી હોય.
તેથી,$|a| = |4|$,જેનો અર્થ છે કે $a = \pm 4$.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{x - 5}{(x + 7)(x - 2)} > 0$.
અંતરાલ શોધવા માટે વેવી-કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -7, 2, 5$ મળે છે.
અંતરાલ ચકાસતા,ઉકેલ ગણ $x \in (-7, 2) \cup (5, \infty)$ મળે છે.
$(-7, 2)$ અંતરાલમાં પૂર્ણાંક કિંમતો $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ છે.
આમ,ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $\alpha = -6$ છે.
$\alpha = -6$ માટે વિકલ્પ $(D)$ ચકાસતા: $(-6)^2 + 5(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$.
તેથી,$\alpha = -6$ વિકલ્પ $(D)$ સંતોષે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 2x - 2 \cos x + 4 \sin x = 4$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x \cos x - 2 \cos x + 4 \sin x - 4 = 0$
અવયવ પાડતા:
$2 \cos x (\sin x - 1) + 4 (\sin x - 1) = 0$
$(2 \cos x + 4)(\sin x - 1) = 0$
$2(\cos x + 2)(\sin x - 1) = 0$
કારણ કે $\cos x + 2 \neq 0$,તેથી $\sin x = 1$ મળે.
અંતરાલ $[0, 5\pi]$ માં,$\sin x = 1$ માટે $x$ ના મૂલ્યો:
$x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$
આમ,કુલ $3$ ઉકેલો મળે છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. કારણ કે $|z| = 1$,તેથી $x^2 + y^2 = 1$.
પદ $\frac{1 + z^2}{2iz} = \frac{1 + (x + iy)^2}{2i(x + iy)} = \frac{1 + x^2 - y^2 + 2ixy}{2ix - 2y} = \frac{(1 + x^2 - y^2) + 2ixy}{-2y + 2ix}$ ધ્યાનમાં લો.
$x^2 + y^2 = 1$ હોવાથી,$1 - y^2 = x^2$ થાય. અંશમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{(x^2 + x^2) + 2ixy}{-2y + 2ix} = \frac{2x^2 + 2ixy}{2i(x + iy)} = \frac{2x(x + iy)}{2i(x + iy)} = \frac{x}{i} = -ix$.
આમ,$a = \text{Im}(-ix) = -x$.
$|z| = 1$ હોવાથી,$x$ ની કિંમત $-1$ થી $1$ ની વચ્ચે હોય. $z \ne \pm 1$ હોવાથી,$x \ne \pm 1$.
તેથી,$x \in (-1, 1)$,જેનો અર્થ છે કે $a = -x \in (-1, 1)$.
આમ,ગણ $A = (-1, 1)$ છે.

(A) બે રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખાઓ $2x + 3y + c_1 = 0$ અને $-x + 5y + c_2 = 0$ માટે,ખૂણો $\theta_1$ એ $\tan \theta_1 = \left| \frac{(2)(5) - (3)(-1)}{(2)(-1) + (3)(5)} \right| = \left| \frac{10 + 3}{-2 + 15} \right| = \frac{13}{13} = 1$ સંતોષે છે.
તે જ રીતે,રેખાઓ $2x + 3y + c_1 = 0$ અને $-x + 5y + c_3 = 0$ માટે,ખૂણો $\theta_2$ એ $\tan \theta_2 = \left| \frac{(2)(5) - (3)(-1)}{(2)(-1) + (3)(5)} \right| = 1$ સંતોષે છે.
કારણ કે $\tan \theta_1 = \tan \theta_2 = 1$,તેથી $c_2$ અને $c_3$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $\theta_1 = \theta_2$ થાય છે.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ સાચું હોવાથી,વિધાન-$1$ પણ સાચું છે,અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે તાર્કિક આધાર પૂરો પાડે છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $a_4 - a_7 + a_{10} = m$.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a + 3d) - (a + 6d) + (a + 9d) = m$
$a + 6d = m$
અહીં $a_7 = a + 6d$ હોવાથી,$a_7 = m$ મળે.
પ્રથમ $13$ પદોનો સરવાળો $S_{13} = \frac{13}{2} [2a + (13-1)d] = \frac{13}{2} [2a + 12d] = 13(a + 6d)$ છે.
$a + 6d = m$ મૂકતા,આપણને $S_{13} = 13m$ મળે છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ છે.
$y=0$ લેતા,$x = a \cos \theta$ મળે,તેથી $P = (a \cos \theta, 0)$.
$x=0$ લેતા,$y = -b \cot \theta$ મળે,તેથી $Q = (0, -b \cot \theta)$.
$OPRQ$ એ $O(0,0)$ સાથેનો લંબચોરસ હોવાથી,$R$ ના યામ $(h, k) = (a \cos \theta, -b \cot \theta)$ છે.
આથી,$\cos \theta = \frac{h}{a}$ અને $\cot \theta = -\frac{k}{b}$.
નિત્યસમ $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a^2}{h^2} - \frac{b^2}{k^2} = 1$ મળે છે.
અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 2$ આપેલ છે,તેથી $R(x, y)$ નો બિંદુપથ $\frac{4}{x^2} - \frac{2}{y^2} = 1$ છે.

(B) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $= 3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
જોકે,એક જ બાજુ પરના બિંદુઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
બાજુ $AB$ પરના $3$ સમરેખ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ $= ^3C_3 = 1$.
બાજુ $BC$ પરના $3$ સમરેખ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ $= ^4C_3 = 4$.
બાજુ $CA$ પરના $3$ સમરેખ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ $= ^5C_3 = 10$.
જરૂરી ત્રિકોણોની સંખ્યા $= 220 - (1 + 4 + 10) = 220 - 15 = 205$.

(D) શરત $0 < y < x < 2y$ આપેલ છે,તેથી સંખ્યાઓનો ક્રમ આ મુજબ થશે:
$y < x$ અને $x < 2y$ હોવાથી,$x - y < y < x < 2x + y$ મળે.
ચાર સંખ્યાઓનો મધ્યસ્થ એ બે મધ્યમ પદોની સરેરાશ છે:
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{y + x}{2} = 10 \Rightarrow x + y = 20 \quad (i)$
વિસ્તાર એ સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમત વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{વિસ્તાર} = (2x + y) - (x - y) = x + 2y = 28 \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(x + 2y) - (x + y) = 28 - 20 \Rightarrow y = 8$.
$y = 8$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$x + 8 = 20 \Rightarrow x = 12$.
ચાર સંખ્યાઓ $(12 - 8), 8, 12, (2(12) + 8)$ એટલે કે $4, 8, 12, 32$ છે.
મધ્યક $= \frac{4 + 8 + 12 + 32}{4} = \frac{56}{4} = 14$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$ મળે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
$a = 1$ માટે,અંત્યબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના અભિલંબોનું છેદબિંદુ $(3a, 0)$ છે.
$a = 1$ મૂકતા,છેદબિંદુ $(3(1), 0) = (3, 0)$ મળે છે.

(B) ધારો કે શ્રેણી $a, b, c, d$ છે.
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$ મળે.
$b, c, d$ એ $A.P.$ માં છે અને સામાન્ય તફાવત $6$ છે,તેથી $c - b = 6$ અને $d - c = 6$ મળે.
આમ,$c = b + 6$ અને $d = c + 6 = b + 12$ થાય.
પ્રથમ અને છેલ્લા પદ સમાન હોવાથી,$a = d$,તેથી $a = b + 12$,જેનો અર્થ છે કે $b = a - 12$.
$c = b + 6$ માં $b = a - 12$ મૂકતા,$c = (a - 12) + 6 = a - 6$ મળે.
હવે,$b$ અને $c$ ની કિંમત $G.P.$ ની શરત $b^2 = ac$ માં મૂકતા:
$(a - 12)^2 = a(a - 6)$
$a^2 - 24a + 144 = a^2 - 6a$
$144 = 18a$
$a = 8$.
$d = a$ હોવાથી,છેલ્લું પદ $8$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ માટે,કેન્દ્ર $(3, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 0} = \sqrt{10}$ છે.
ચકાસો કે કેન્દ્ર $(3, -1)$ એ રેખા $2x + y = 5$ પર છે કે નહીં: $2(3) + (-1) = 6 - 1 = 5$. કેન્દ્ર રેખા પર હોવાથી,રેખા એ વર્તુળનો વ્યાસ (અને તેથી અભિલંબ) છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.
વિધાન $1$ માટે,$2x + y = 5$ રેખા પર કેન્દ્ર ધરાવતા અને $\sqrt{10}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અનંત વર્તુળો શક્ય છે. તેથી,વિધાન $1$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ વર્તુળ $C_1$ છે જેની ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે અને કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે.
બીજું વર્તુળ $C_2$ છે જેની ત્રિજ્યા $r_2$ છે અને કેન્દ્ર $(h,k)$ પર છે.
$C_2$ નો ચાપ $C_1$ ના પરિઘ પર $60^o$ નો ખૂણો આંતરે છે.
આંતરિક ખૂણાના પ્રમેય મુજબ,જો ચાપ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા વર્તુળનો ભાગ હોય,તો $C_1$ ના કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $120^o$ થાય.
જો કે,બીજા વર્તુળના કેન્દ્રનું સ્થાન પ્રથમ વર્તુળના સંદર્ભમાં નિશ્ચિત નથી.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર અથવા છેદનબિંદુ દ્વારા બનતી જીવાની લંબાઈ જાણ્યા વગર,ત્રિજ્યા $r_2$ નક્કી કરી શકાતી નથી.
તેથી,આપેલી માહિતી $r_2$ શોધવા માટે અપૂરતી છે.

(D) $P(2, 3)$ અને $Q(4, 5)$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}) = (3, 4)$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $= \frac{5-3}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$ છે.
રેખા $L$ એ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,રેખા $L$ નો ઢાળ $m = -1$ થાય.
બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $y - 4 = -1(x - 3) \Rightarrow x + y - 7 = 0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $R(0, 0)$ નું પ્રતિબિંબ $S(x_1, y_1)$ છે.
$RS$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_1}{2}, \frac{y_1}{2})$ એ રેખા $L$ પર આવેલું છે,તેથી $\frac{x_1}{2} + \frac{y_1}{2} - 7 = 0 \Rightarrow x_1 + y_1 = 14$.
$RS$ નો ઢાળ $\frac{y_1}{x_1}$ છે. $RS \perp L$ હોવાથી,$RS$ નો ઢાળ $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{y_1}{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = y_1$.
$x_1 = y_1$ ને $x_1 + y_1 = 14$ માં મૂકતા,$2x_1 = 14 \Rightarrow x_1 = 7$ અને $y_1 = 7$ મળે.
તેથી,$R$ નું પ્રતિબિંબ $(7, 7)$ છે.

(A) આપેલ શંકુઓ $x^2 = 6y$ $(i)$ અને $2x^2 - 4y^2 = 9$ $(ii)$ છે.
રેખા $x - y = \frac{3}{2}$ $(iii)$ ધ્યાનમાં લો,જેનો અર્થ છે $x = y + \frac{3}{2}$.
$x = y + \frac{3}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $(y + \frac{3}{2})^2 = 6y \implies y^2 + 3y + \frac{9}{4} = 6y \implies y^2 - 3y + \frac{9}{4} = 0 \implies (y - \frac{3}{2})^2 = 0$. આમ,$y = \frac{3}{2}$ અને $x = 3$.
માત્ર એક જ છેદબિંદુ $(3, \frac{3}{2})$ હોવાથી,રેખા પરવલયને સ્પર્શે છે.
$x = y + \frac{3}{2}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $2(y + \frac{3}{2})^2 - 4y^2 = 9 \implies 2(y^2 + 3y + \frac{9}{4}) - 4y^2 = 9 \implies 2y^2 + 6y + \frac{9}{2} - 4y^2 = 9 \implies -2y^2 + 6y - \frac{9}{2} = 0 \implies 4y^2 - 12y + 9 = 0 \implies (2y - 3)^2 = 0$. આમ,$y = \frac{3}{2}$ અને $x = 3$.
માત્ર એક જ છેદબિંદુ $(3, \frac{3}{2})$ હોવાથી,રેખા અતિવલયને સ્પર્શે છે.
તેથી,$x - y = \frac{3}{2}$ એ સામાન્ય સ્પર્શક છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ એ $(x_1, y_1)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $A(-3, 2)$,$B(-2, 1)$ અને $C(x_1, y_1)$ ધરાવતા ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left( \frac{-3 - 2 + x_1}{3}, \frac{2 + 1 + y_1}{3} \right) = \left( \frac{x_1 - 5}{3}, \frac{y_1 + 3}{3} \right)$
મધ્યકેન્દ્ર $3x + 4y + 2 = 0$ રેખા પર આવેલું હોવાથી,આપણે $G$ ના યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3 \left( \frac{x_1 - 5}{3} \right) + 4 \left( \frac{y_1 + 3}{3} \right) + 2 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$3(x_1 - 5) + 4(y_1 + 3) + 6 = 0$
$3x_1 - 15 + 4y_1 + 12 + 6 = 0$
$3x_1 + 4y_1 + 3 = 0$
આમ,શિરોબિંદુ $C(x_1, y_1)$ એ $3x + 4y + 3 = 0$ રેખા પર આવેલું છે.

(C) તાર્કિક વિધાન $r: p \to (\sim p \vee q)$ નું સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે.
ગર્ભિત વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય $(F)$ હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
તેથી,$p$ એ $T$ હોવું જોઈએ અને $(\sim p \vee q)$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $(\sim p \vee q)$ અસત્ય $(F)$ હોવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય $(F)$ હોવા જોઈએ.
કારણ કે $\sim p$ એ $F$ છે,તેનો અર્થ એ કે $p$ એ $T$ છે.
આમ,$p$ એ $T$ છે અને $q$ એ $F$ છે.

(C) કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,સંભાવના $P(E)$ એ $0 \le P(E) \le 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
ઘટના $A$ માટે: $0 \le \frac{3x+1}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 3x+1 \le 3 \Rightarrow -1 \le 3x \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le x \le \frac{2}{3}$.
ઘટના $B$ માટે: $0 \le \frac{1-x}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1-x \le 4 \Rightarrow -1 \le -x \le 3 \Rightarrow -3 \le x \le 1$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1$.
$\frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} \le 1 \Rightarrow \frac{4(3x+1) + 3(1-x)}{12} \le 1 \Rightarrow 12x + 4 + 3 - 3x \le 12 \Rightarrow 9x + 7 \le 12 \Rightarrow 9x \le 5 \Rightarrow x \le \frac{5}{9}$.
બધી શરતોને જોડતા: $x \ge -\frac{1}{3}$,$x \le \frac{2}{3}$,$x \ge -3$,$x \le 1$,અને $x \le \frac{5}{9}$.
આ અંતરાલોનો છેદગણ $[-\frac{1}{3}, \frac{5}{9}]$ છે.

(A) $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = ^{2n}C_k x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^{3r}$ નો સહગુણક $^{2n}C_{3r}$ છે અને $x^{r+2}$ નો સહગુણક $^{2n}C_{r+2}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે,તેથી $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_a = ^{n}C_b \Rightarrow a = b$ અથવા $a + b = n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$. જોકે,પ્રશ્નમાં $r > 1$ આપેલ છે,તેથી આ કિસ્સો અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow n = 2r + 1$.
આમ,$n = 2r + 1$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha^3 + \beta^3 = -p$ અને $\alpha \beta = q$.
ધારો કે જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $x_1 = \frac{\alpha^2}{\beta}$ અને $x_2 = \frac{\beta^2}{\alpha}$ છે.
બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} = \frac{-p}{q}$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $x_1 \times x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} \times \frac{\beta^2}{\alpha} = \alpha \beta = q$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (\frac{-p}{q})x + q = 0$.
$x^2 + \frac{p}{q}x + q = 0$.
$q$ વડે ગુણતા,$qx^2 + px + q^2 = 0$ મળે છે.

(B) ગણ $A$ માટે,$\sin(\theta) = \tan(\theta)$.
આનો અર્થ છે $\sin(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$,જે આપે છે $\sin(\theta)(1 - \frac{1}{\cos(\theta)}) = 0$.
તેથી,$\sin(\theta) = 0$ અથવા $\cos(\theta) = 1$.
જો $\sin(\theta) = 0$,તો $\theta = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
જો $\cos(\theta) = 1$,તો $\theta = 2n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આથી,$A = \{ n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm\pi, \pm 2\pi, \dots \}$.
ગણ $B$ માટે,$\cos(\theta) = 1$,જેનો અર્થ છે $\theta = 2n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
તેથી,$B = \{ 2n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots \}$.
બંને ગણની સરખામણી કરતા,$B$ નો દરેક ઘટક $A$ માં છે,તેથી $B \subset A$.
જોકે,$\pi \in A$ પણ $\pi \notin B$,તેથી $A \not\subset B$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$,તો $\bar{z} = x - iy$.
આપેલ છે $z = 1 - \bar{z}$,તેથી $x + iy = 1 - (x - iy) = 1 - x + iy$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,$x = 1 - x$,જે $2x = 1$ આપે છે,તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$|z| = 1$ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 1$.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$\frac{1}{4} + y^2 = 1$,તેથી $y^2 = \frac{3}{4}$,જે $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ આપે છે.
આમ,$z = \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z$ નો કાલ્પનિક ભાગ હોવાથી,વિધાન $1$ ખોટું છે.
મુખ્ય કોણાંક $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ દ્વારા મળે છે.
$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
$z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$\theta = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
પ્રશ્ન એક ચોક્કસ કિંમત સૂચવે છે,અને $\frac{\pi}{3}$ એ $z$ ની શક્ય કિંમતોમાંની એક માટે માન્ય મુખ્ય કોણાંક છે,તેથી વિધાન $2$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $1$ ખોટું છે અને વિધાન $2$ સાચું છે.

(A) અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{2n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\sigma = 2$ આપેલ છે,તેથી $2 = \sqrt{\frac{n(a - 0)^2 + n(-a - 0)^2}{2n}}$.
$2 = \sqrt{\frac{n(a^2) + n(a^2)}{2n}} = \sqrt{\frac{2na^2}{2n}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
તેથી,$|a| = 2$.

(A) આપેલ શ્રેણી પ્રથમ $13$ એકી સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો છે.
સામાન્ય પદ ${T_n} = {(2n - 1)^2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, \dots, 13$.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{13} (2n - 1)^2 = \sum_{n=1}^{13} (4n^2 - 4n + 1)$ છે.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ અને $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 4 \sum_{n=1}^{13} n^2 - 4 \sum_{n=1}^{13} n + \sum_{n=1}^{13} 1$
$S = 4 \left[ \frac{13(13+1)(2 \times 13 + 1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{13(13+1)}{2} \right] + 13$
$S = 4 \left[ \frac{13 \times 14 \times 27}{6} \right] - 2 \times 13 \times 14 + 13$
$S = 4 \times 13 \times 7 \times 9 - 364 + 13$
$S = 3276 - 364 + 13 = 2925$.

(D) અંકોનો સમૂહ $\{2, 3, 5, 7, 9\}$ છે. પુનરાવર્તન વગર બનતી કુલ $5$-અંકી સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
$p$ માટે: સંખ્યાઓ $20000$ થી મોટી હોવી જોઈએ. આપેલા તમામ અંકો $\ge 2$ હોવાથી,આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી કોઈપણ $5$-અંકી સંખ્યા $\ge 23579$ હશે,જે $20000$ થી મોટી છે. તેથી,$p = 5! = 120$.
$q$ માટે: સંખ્યાઓ $30000$ અને $90000$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ અંક $3, 5,$ અથવા $7$ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ અંક માટે $3$ વિકલ્પો છે. બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4!$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,$q = 3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$.
ગુણોત્તર $p : q = 120 : 72$.
બંનેને $24$ વડે ભાગતા,આપણને $120/24 : 72/24 = 5 : 3$ મળે છે.

(A) આપેલ ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$.
અભિલંબ રેખા $4x - 2y - 5 = 0$ ને સમાંતર છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = 2$ છે.
તે બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકનું બિંદુ $\left( \frac{9}{5}, \frac{8}{5} \right)$ મળે છે.

(B) વિધેય $u(x) = \frac{1}{x - 1}$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે.
વિધેય $f(u) = \frac{1}{u^2 + u - 2} = \frac{1}{(u + 2)(u - 1)}$ એ $u = -2$ અને $u = 1$ આગળ અસતત છે.
સંયોજિત વિધેય $f(u(x))$ માટે,આપણે તે બિંદુઓ ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ જ્યાં $u(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે અને જ્યાં $u(x)$ ની કિંમત $f(u)$ ને અવ્યાખ્યાયિત બનાવે છે.
$1$. $u(x)$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે.
$2$. જ્યારે $u(x) = -2$ હોય,ત્યારે $\frac{1}{x - 1} = -2$,જેનો અર્થ છે કે $x - 1 = -\frac{1}{2}$,તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$3$. જ્યારે $u(x) = 1$ હોય,ત્યારે $\frac{1}{x - 1} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x - 1 = 1$,તેથી $x = 2$.
આમ,સંયોજિત વિધેય $f(u(x))$ એ $x = 1, \frac{1}{2}, 2$ આગળ અસતત છે.
આવા કુલ $3$ બિંદુઓ છે.

(D) ધારો કે $I = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + {2^x}}}dx} \quad ......(1)$
ગુણધર્મ $\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^b f(a+b-x)dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $x$ ને $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x = -x$ વડે બદલીએ છીએ:
$I = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^2}(-x)}}{{1 + {2^{-x}}}}} dx = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \frac{1}{2^x}}}} dx = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{2^x}{{\sin }^2}x}}{{2^x + 1}}} dx \quad ......(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^2}x + {2^x}{{\sin }^2}x}}{{1 + {2^x}}}} dx = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {{{\sin }^2}x dx}$
કારણ કે $\sin^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$2I = 2 \int\limits_0^{\pi /2} {\sin^2 x dx} = 2 \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{1 - \cos 2x}{2} dx}$
$2I = \int\limits_0^{\pi /2} {(1 - \cos 2x) dx} = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_0^{\pi /2} = (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0) = \frac{\pi}{2}$
તેથી,$I = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે ખર્ચ વિધેય $C(v) = av + \frac{b}{v}$ છે.
આપેલ છે કે $v = 30 \text{ km/h}$ પર,$C = 75$,તેથી $30a + \frac{b}{30} = 75 \implies 900a + b = 2250 \quad (i)$.
આપેલ છે કે $v = 40 \text{ km/h}$ પર,$C = 65$,તેથી $40a + \frac{b}{40} = 65 \implies 1600a + b = 2600 \quad (ii)$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,આપણને $700a = 350$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 0.5$.
$a = 0.5$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $900(0.5) + b = 2250 \implies 450 + b = 2250 \implies b = 1800$ મળે છે.
સૌથી આર્થિક ઝડપ શોધવા માટે,આપણે $\frac{dC}{dv} = 0$ લઈને $C(v)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ છીએ.
$\frac{dC}{dv} = a - \frac{b}{v^2} = 0 \implies v^2 = \frac{b}{a}$.
$v^2 = \frac{1800}{0.5} = 3600 \implies v = 60 \text{ km/h}$.

(B) વિધેય $y = |\cos x - \sin x|$ છે.
અંતરાલ $[0, \pi/4]$ માં,$\cos x \geq \sin x$,તેથી $y = \cos x - \sin x$.
અંતરાલ $[\pi/4, \pi/2]$ માં,$\sin x \geq \cos x$,તેથી $y = \sin x - \cos x$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) \, dx$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} + [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$A = ((\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)) - (\sin(0) + \cos(0))) + ((-\cos(\pi/2) - \sin(\pi/2)) - (-\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)))$
$A = ((\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)) + ((0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}))$
$A = (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2})$
$A = 2\sqrt{2} - 2$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dy = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) dx$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
વક્ર બિંદુ $\left( 2, \frac{7}{2} \right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $C$ શોધવા માટે આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{7}{2} = 2 + \frac{1}{2} + C$
$\frac{7}{2} = \frac{5}{2} + C$
$C = 1$
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = x + \frac{1}{x} + 1$ છે.
જ્યારે $x = -2$ હોય ત્યારે કોટિ (ordinate) શોધવા માટે:
$y = -2 + \frac{1}{-2} + 1$
$y = -2 - 0.5 + 1 = -1.5 = -\frac{3}{2}$.

(A) આપેલ છે $R = \{(x,y) : x,y \in N \text{ અને } x^2 - 4xy + 3y^2 = 0\}$.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 4xy + 3y^2 = (x - y)(x - 3y) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = y$ અથવા $x = 3y$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $x \in N$ માટે,$x = x$ સત્ય છે,તેથી $(x,x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $(3,1) \in R$ કારણ કે $3 = 3(1)$. જોકે,$(1,3) \notin R$ કારણ કે $1 \neq 3$ અને $1 \neq 3(3)$. આમ,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $(a,b) \in R$ અને $(b,c) \in R$. તો $(a=b \text{ અથવા } a=3b)$ અને $(b=c \text{ અથવા } b=3c)$.
જો આપણે $(9,3) \in R$ અને $(3,1) \in R$ લઈએ,તો $a=9, b=3, c=1$. અહીં $a=9c$ થાય છે. $9 \neq 1$ અને $9 \neq 3(1)$ હોવાથી,$(9,1) \notin R$. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ માત્ર સ્વવાચક છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ સમઘાત (homogeneous) છે:
$x + ay = 0$
$y + az = 0$
$z + ax = 0$
આને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = 0$ માં લખી શકાય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સમઘાત સિસ્ટમનો અનન્ય (શૂન્ય) ઉકેલ ત્યારે જ હોય જો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ હોય.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 0(0 - a) = 1 + a^3$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે,તેથી $1 + a^3 \neq 0$.
$a^3 \neq -1$,જેનો અર્થ છે કે $a \neq -1$.
આમ,$a$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ $R - \{-1\}$ છે.

(D) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix}$ એ $S$ માં છે જ્યાં $a, b, c \in \{0, 1, 2\}$.
$a, b, c$ દરેક માટે $3$ વિકલ્પો છે,તેથી $S$ માં કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 = 27$ છે.
શ્રેણિક અસામાન્ય (singular) હોય તે માટે તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\det(A) = a^2 - bc = 0$,જેનો અર્થ છે $a^2 = bc$.
આપણે $a \in \{0, 1, 2\}$ માટે કિસ્સાઓ ચકાસીએ:
કિસ્સો $1$: $a = 0$. તો $bc = 0$. $(b, c)$ ની જોડીઓ $(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 0) $ હોઈ શકે. આવા $5$ શ્રેણિકો છે.
કિસ્સો $2$: $a = 1$. તો $bc = 1$. $(b, c)$ ની એકમાત્ર જોડી $(1, 1)$ છે. આવો $1$ શ્રેણિક છે.
કિસ્સો $3$: $a = 2$. તો $bc = 4$. $(b, c)$ ની એકમાત્ર જોડી $(2, 2)$ છે. આવો $1$ શ્રેણિક છે.
કુલ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિકો $= 5 + 1 + 1 = 7$.
અસામાન્ય (non-singular) શ્રેણિકોની સંખ્યા $= \text{કુલ} - \text{અસામાન્ય (singular)} = 27 - 7 = 20$.

(B) આપેલ અસમતા $\sin^{-1} x > \cos^{-1} x$ છે,જ્યાં $x \in (0, 1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા:
$\sin^{-1} x > \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$
$2 \sin^{-1} x > \frac{\pi}{2}$
$\sin^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
કારણ કે સાઈન વિધેય અંતરાલ $[0, 1]$ પર વધતું વિધેય છે,તેથી બંને બાજુ સાઈન લેતા:
$x > \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)$
$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$
પ્રદેશ $x \in (0, 1)$ ને ધ્યાનમાં લેતા,ઉકેલ ગણ $x \in \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, 1 \right)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$D = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, \frac{5 + 3}{2}, \frac{\mu + 2}{2} \right) = \left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$
મધ્યગા $AD$ ના દિકગુણોત્તરો:
$a = \frac{\lambda - 1}{2} - 2 = \frac{\lambda - 5}{2}$
$b = 4 - 3 = 1$
$c = \frac{\mu + 2}{2} - 5 = \frac{\mu - 8}{2}$
મધ્યગા $AD$ અક્ષો સાથે સમાન નમેલી હોવાથી,તેના દિકકોસાઇન $l, m, n$ સમાન થાય,એટલે કે $|l| = |m| = |n|$. $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ હોવાથી,$l = m = n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $a, b, c$ એ $1, 1, 1$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ. $b = 1$ હોવાથી,$a = 1$ અને $c = 1$ મળે.
$a = 1$ લેતા:
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \Rightarrow \lambda - 5 = 2 \Rightarrow \lambda = 7$
$c = 1$ લેતા:
$\frac{\mu - 8}{2} = 1 \Rightarrow \mu - 8 = 2 \Rightarrow \mu = 10$
તેથી,$(\lambda, \mu) = (7, 10)$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos 8x + 1}{\cot 2x - \tan 2x} dx.$
પ્રથમ,છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\cot 2x - \tan 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\cos^2 2x - \sin^2 2x}{\sin 2x \cos 2x} = \frac{\cos 4x}{\frac{1}{2} \sin 4x} = 2 \cot 4x.$
નિત્યસમ $\cos 8x + 1 = 2 \cos^2 4x$ નો ઉપયોગ કરતા,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \frac{2 \cos^2 4x}{2 \cot 4x} dx = \int \frac{\cos^2 4x}{\frac{\cos 4x}{\sin 4x}} dx = \int \cos 4x \sin 4x dx.$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{2} \int 2 \sin 4x \cos 4x dx = \frac{1}{2} \int \sin 8x dx.$
$\sin 8x$ નું સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 8x}{8} \right) + k = -\frac{1}{16} \cos 8x + k.$
આને $A \cos 8x + k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{1}{16}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ છે.
$(1 + x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1 + x^2}y = \frac{4x^2}{1 + x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2x}{1 + x^2}$ અને $Q = \frac{4x^2}{1 + x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1 + x^2} dx} = e^{\ln(1 + x^2)} = 1 + x^2$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \times (I.F.) = \int Q \times (I.F.) dx + C$ છે.
$y(1 + x^2) = \int \frac{4x^2}{1 + x^2} \times (1 + x^2) dx + C$.
$y(1 + x^2) = \int 4x^2 dx + C$.
$y(1 + x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા $C$ ની કિંમત મળે છે.
$0(1 + 0) = \frac{4(0)^3}{3} + C \implies C = 0$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y(1 + x^2) = \frac{4x^3}{3}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3(1 + x^2)y = 4x^3$ થાય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^{2}x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{2}x) + \cos^{-1}(\sqrt{\cos^{2}x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{2}x)$
$f'(x) = x \cdot (2 \sin x \cos x) + (\frac{\pi}{2} - x) \cdot (-2 \cos x \sin x)$
$f'(x) = x \sin(2x) - (\frac{\pi}{2} - x) \sin(2x) = (2x - \frac{\pi}{2}) \sin(2x)$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ માટે $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(\frac{\pi}{4}) = \int_{0}^{1/2} (\sin^{-1}(\sqrt{t}) + \cos^{-1}(\sqrt{t})) \, dt$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(\sqrt{t}) + \cos^{-1}(\sqrt{t}) = \frac{\pi}{2}$:
$f(\frac{\pi}{4}) = \int_{0}^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_{0}^{1/2} = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $R_1 = \int_{-2}^3 f(x) dx$ અને $R_2 = \int_{-2}^3 x f(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $a+b = -2+3 = 1$ છે.
તેથી,$R_2 = \int_{-2}^3 x f(x) dx = \int_{-2}^3 (1-x) f(1-x) dx$.
કારણ કે $f(1-x) = f(x)$,આપણને મળે છે $R_2 = \int_{-2}^3 (1-x) f(x) dx$.
$R_2 = \int_{-2}^3 f(x) dx - \int_{-2}^3 x f(x) dx$.
$R_2 = R_1 - R_2$.
$2R_2 = R_1$ અથવા $R_1 = 2R_2$.

(D) આપેલ છે કે $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ અને $\vec b = \hat i + \hat j$.
પ્રથમ,$\vec a$ નું માન શોધો: $|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec a \times \vec b$ શોધો:
$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$.
તેનું માન $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec c - \vec a| = 2\sqrt 2$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec c - \vec a|^2 = 8$.
વિસ્તરણ કરતા,$|\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 8$.
$|\vec a| = 3$ અને $\vec a \cdot \vec c = |\vec c|$ મૂકતા,$|\vec c|^2 + 9 - 2|\vec c| = 8$.
આથી $|\vec c|^2 - 2|\vec c| + 1 = 0$,એટલે કે $(|\vec c| - 1)^2 = 0$,તેથી $|\vec c| = 1$.
છેલ્લે,સદિશ ગુણાકારનું માન $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = |\vec a \times \vec b| |\vec c| \sin 30^o$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) સમતલો $P_1: x + 2y - 3 = 0$ અને $P_2: y - 2z + 1 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + 2y - 3) + \lambda(y - 2z + 1) = 0$
$x + (2 + \lambda)y - 2\lambda z + (\lambda - 3) = 0$ ....$(i)$
આ સમતલ $x + 2y - 3 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2 + \lambda, -2\lambda)$ અને $\vec{n_2} = (1, 2, 0)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$1(1) + 2(2 + \lambda) + 0(-2\lambda) = 0$
$1 + 4 + 2\lambda = 0$
$5 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{2}$
$\lambda = -\frac{5}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x + (2 - \frac{5}{2})y - 2(-\frac{5}{2})z + (-\frac{5}{2} - 3) = 0$
$x - \frac{1}{2}y + 5z - \frac{11}{2} = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$2x - y + 10z - 11 = 0$
$2x - y + 10z = 11$

(A) ધારો કે ગોળાકાર ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 35 \, cm^3/min$,તેથી $35 = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{35}{4\pi r^2} \quad (1)$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $\frac{dr}{dt}$ ની કિંમત $\frac{dS}{dt}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \left( \frac{35}{4\pi r^2} \right) = \frac{70}{r}$.
વ્યાસ $14 \, cm$ આપેલ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ થાય.
$r = 7$ ની કિંમત $\frac{dS}{dt}$ માં મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = \frac{70}{7} = 10 \, cm^2/min$.

(A) આપેલ છે $f(x) = [x] + |1 - x|$,જ્યાં $x \in [-1, 3]$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $f(x) = -1 + (1 - x) = -x$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = 0 + (1 - x) = 1 - x$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = 1 + (x - 1) = x$.
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,તેથી $f(x) = 2 + (x - 1) = x + 1$.
$x = 3$ માટે,$f(3) = [3] + |1 - 3| = 3 + 2 = 5$.
સાતત્ય તપાસતા:
$x=0$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 0^+} (1 - x) = 1$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f$ એ $x=0$ આગળ અસતત છે.
$x=1$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 1^-} (1 - x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 1^+} (x) = 1$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f$ એ $x=1$ આગળ અસતત છે.
$x=2$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 2^-} (x) = 2$,$RHL = \lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 3$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f$ એ $x=2$ આગળ અસતત છે.
$x=3$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 3^-} (x + 1) = 4$,$f(3) = 5$. $LHL \neq f(3)$ હોવાથી,$f$ એ $x=3$ આગળ અસતત છે.
આમ,વિધાન $1$ સાચું છે. વિધાન $2$ માં $f(x)$ ની વ્યાખ્યા ખોટી છે,તેથી વિધાન $2$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે કે $f(1) = -2$ અને $1 \le x \le 6$ માટે $f'(x) \ge 4.2$ છે.
મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈપણ $x_1, x_2 \in [1, 6]$ જ્યાં $x_2 > x_1$ હોય,ત્યારે કોઈ $c \in (x_1, x_2)$ એવું મળે કે જેથી $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)$ થાય.
અહીં $f'(x) \ge 4.2$ હોવાથી,$\frac{f(6) - f(1)}{6 - 1} \ge 4.2$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{f(6) - (-2)}{5} \ge 4.2$ મળે.
$f(6) + 2 \ge 5 \times 4.2$.
$f(6) + 2 \ge 21$.
$f(6) \ge 19$.
આમ,$f(6)$ ની શક્ય કિંમત $[19, \infty)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = \cos(x + y)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \dots (1)$
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + 2y = k$ છે,જેને $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$-\frac{1}{2} = -\sin(x + y) \left(1 - \frac{1}{2}\right)$
$-\frac{1}{2} = -\sin(x + y) \left(\frac{1}{2}\right)$
$\sin(x + y) = 1$
આનો અર્થ એ છે કે $x + y = \frac{\pi}{2}$.
$x + y = \frac{\pi}{2}$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણ $y = \cos(x + y)$ માં મૂકતા:
$y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
$y = 0$ અને $x + y = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$x = \frac{\pi}{2}$ મળે.
હવે,બિંદુ $(\frac{\pi}{2}, 0)$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $x + 2y = k$ માં મૂકતા:
$\frac{\pi}{2} + 2(0) = k$
$k = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \sec(\tan^{-1} x)$.
ધારો કે $\tan^{-1} x = \theta$,તેથી $\tan \theta = x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + x^2$,તેથી $\sec \theta = \sqrt{1 + x^2}$.
આમ,$y = \sqrt{1 + x^2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
$x = 1$ આગળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $P = \text{adj}(A)$ અને $|A| = 4$.
આપણે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|P| = |\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A| = 4$ આપેલ હોવાથી,$|P| = 4^2 = 16$ થાય.
હવે,$P$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|P| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$= 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$= 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$= 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$= 2\alpha - 6$.
$|P|$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$.