यदि बिंदु $(4, 2)$ की वृत्त $x^2 + y^2 - 2\alpha x + 6y + \alpha^2 - 16 = 0$ के सापेक्ष शक्ति (power) $9$ है,तो ऐसे वृत्तों द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाए गए सभी संभावित अंतःखंडों की लंबाई का योग क्या है?

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$I$. वृत्त $x^2+y^2-6x-4y-7=0$ $y$-अक्ष को स्पर्श करता है।
$II$. वृत्त $x^2+y^2+6x+4y-7=0$ $x$-अक्ष को स्पर्श करता है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

मान लीजिए $L_1$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है और $L_2$ सीधी रेखा $x+y=1$ है। यदि वृत्त $x^2+y^2-x+3y=0$ द्वारा $L_1$ और $L_2$ पर बनाए गए अंतःखंड समान हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण $L_1$ को दर्शाता है?

यदि $A(-1,3)$ और $B(5,3)$ एक वृत्त $C$ पर बिंदु हैं और जीवा $AB$,वृत्त $C$ पर स्थित एक बिंदु $P$ पर $\pi / 4$ का कोण अंतरित करती है,तो ऐसे वृत्त $C$ का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि $C$ एक वृत्त है जो बिंदुओं $A (2,-1)$ और $B (3,4)$ से होकर गुजरता है। रेखाखंड $AB$,$C$ का व्यास नहीं है। यदि $r$,$C$ की त्रिज्या है और इसका केंद्र $(x-5)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{13}{2}$ वृत्त पर स्थित है,तो $r^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्त $C_1$ और $C_2$,जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r$ और $R$ हैं,चित्र में दिखाए अनुसार एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। रेखा $l$,जो $C_1$ और $C_2$ के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के समानांतर है,$C_1$ को $P$ पर स्पर्श करती है और $C_2$ को $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $R^2=2r^2$ है,तो $\angle AOB$ का मान ज्ञात कीजिए।