જો $P(\frac{\pi}{4})$ અને $Q(\frac{3 \pi}{4})$ એ અતિવલય $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ પરના બે બિંદુઓ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં હોય,તો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ધારો કે $S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : \frac{y^2}{1+r} - \frac{x^2}{1-r} = 1\}$,જ્યાં $r \neq \pm 1$. તો $S$ શું દર્શાવે છે?

ધારો કે $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ એક અતિવલય છે જેની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ છે અને તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{8}{3}$ છે. જો રેખા $x = k$ અતિવલય $H$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે જેથી ત્રિકોણ $AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $4\sqrt{15}$ થાય,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે,તો $a^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A(\sec \theta, 2 \tan \theta)$ અને $B(\sec \phi, 2 \tan \phi)$,જ્યાં $\theta+\phi=\pi/2$,એ અતિવલય $2x^2-y^2=2$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ $A$ અને $B$ આગળના અતિવલયના અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $(2\beta)^2$ ની કિંમત ..... થાય.

એક અતિવલય (hyperbola) બિંદુઓ $(3, 2)$ અને $(-17, 12)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે તથા તેની મુખ્ય અક્ષ (transverse axis) $x$-અક્ષ પર છે. તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ કેટલી છે?

વિધાન $(A)$: બિંદુ $(5, -4)$ એ અતિવલય $y^2 - 9x^2 + 1 = 0$ ની અંદર આવેલું છે.
કારણ $(R)$: બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની અંદર આવેલું હોય જો $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} - 1 < 0$ હોય.