ગણ $\{x \in N : ^{20-2x}C_{x-3} \in N\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક દેશમાં $10$ સ્માર્ટ સિટી છે. સરકારે આ તમામ શહેરોને રોડ દ્વારા જોડવાનો નિર્ણય કર્યો છે. દરેક શહેર બીજા દરેક શહેર સાથે જોડાયેલું રહે તે માટે સરકારે કેટલા રસ્તાઓનું નિર્માણ કરવું પડશે?

$25$ વિદ્યાર્થીઓના વર્ગમાંથી,$10$ વિદ્યાર્થીઓને પ્રવાસ માટે પસંદ કરવાના છે. $3$ વિદ્યાર્થીઓ એવો નિર્ણય લે છે કે કાં તો તેઓ ત્રણેય જોડાશે અથવા કોઈ જોડાશે નહીં. તો પ્રવાસ માટેની ટુકડી કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાં $5$ સ્વરો અને $21$ વ્યંજનો છે. મૂળાક્ષરોમાંથી $2$ અલગ-અલગ સ્વરો અને $2$ અલગ-અલગ વ્યંજનોનો ઉપયોગ કરીને કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?

$^{2n}C_4 : ^nC_3 = 99 : 4 \Rightarrow n = $

$4$ પુરુષો અને $6$ સ્ત્રીઓમાંથી એવી સમિતિ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો જેમાં ઓછામાં ઓછા $2$ પુરુષો હોય અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા પુરુષો કરતાં બરાબર બમણી હોય.