$50$ સ્ક્રૂના જથ્થામાંથી $5$ ખામીયુક્ત સ્ક્રૂ છે. જો $3$ સ્ક્રૂ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો ત્રણેય સ્ક્રૂ ખામી રહિત હોય તેની સંભાવના $(a)$ પુરવણી સહિત અને $(b)$ પુરવણી રહિત પસંદગી માટે અનુક્રમે કેટલી થાય?

જો $A$ અને $B$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ એવી રીતે હોય કે $P(A) > 0.5$,$P(B) > 0.5$,$P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{25}$,અને $P(\bar{A} \cap B) = \frac{8}{25}$,તો $P(A \cap B)$ શોધો.

આકૃતિમાં $6 \times 6$ ચોરસ ગ્રીડને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ એ છેદબિંદુઓ (ચિત્રમાં ટપકાં) છે. આપણે કહીએ છીએ કે $A_i$ અને $A_j$ મિત્રો છે જો તેઓ હાર અથવા સ્તંભમાં એકબીજાની બાજુમાં હોય. ધારો કે દરેક બિંદુ $A_i$ પસંદ થવાની સમાન તક ધરાવે છે.
$(1)$ ધારો કે $p_i$ એ સંભાવના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ બિંદુને $i$ મિત્રો છે,$i=0, 1, 2, 3, 4$. ધારો કે $X$ એક યાદચ્છિક ચલ છે જેથી $i=0, 1, 2, 3, 4$ માટે,સંભાવના $P(X=i)=p_i$ થાય. તો $7 E(X)$ નું મૂલ્ય શું છે?
$(2)$ બિંદુઓ $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ માંથી બે અલગ-અલગ બિંદુઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે $p$ એ સંભાવના છે કે તેઓ મિત્રો છે. તો $7 p$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે એક કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ બાઈનરી નંબરોની સ્ટ્રિંગ બનાવવા માટે માત્ર $0$ અને $1$ અંકો જનરેટ કરે છે. બેકી સ્થાનો પર $0$ આવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે અને એકી સ્થાનો પર $0$ આવવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે. તો $'10'$ પછી $'01'$ આવે તેની સંભાવના કેટલી થાય?

એક બેટરી ઉત્પાદન ફેક્ટરીમાં,મશીનો $P$,$Q$ અને $R$ કુલ ઉત્પાદનના અનુક્રમે $20 \%$,$30 \%$ અને $50 \%$ ઉત્પાદન કરે છે. આ મશીનો દ્વારા ખામીયુક્ત બેટરી ઉત્પન્ન થવાની શક્યતા અનુક્રમે $1 \%$,$1.5 \%$ અને $2 \%$ છે. જો ઉત્પાદનમાંથી યાદચ્છિક રીતે એક બેટરી પસંદ કરવામાં આવે,તો તે ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $1, 2, 3, 4$ લેબલવાળા ચાર દડાઓને યાદચ્છિક રીતે $B_1, B_2, B_3, B_4$ બોક્સમાં મૂકવામાં આવે છે. બરાબર એક બોક્સ ખાલી હોય તેની સંભાવના કેટલી?