$(\sqrt{2}, 1, 4)$,$(0, -1, 0)$ અને $(0, 0, 1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલ પરનું એક બિંદુ કયું છે?

સમતલો $3x - 6y + 2z + 5 = 0$ અને $4x - 12y + 3z - 3 = 0$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતા અને ઉગમબિંદુને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

જો સમતલ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ એ યામાક્ષોને $A, B, C$ માં છેદે,તો $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો:

ધારો કે સમતલ $ax + by + cz = d$ એ $(2, 3, -5)$ માંથી પસાર થાય છે અને સમતલો $2x + y - 5z = 10$ અને $3x + 5y - 7z = 12$ ને લંબ છે. જો $a, b, c, d$ પૂર્ણાંકો હોય,$d > 0$ અને $\text{gcd}(|a|, |b|, |c|, d) = 1$ હોય,તો $a + 7b + c + 20d$ ની કિંમત શોધો.

જો સમતલ $2x - y + 2z + 3 = 0$ નું સમતલો $4x - 2y + 4z + \lambda = 0$ અને $2x - y + 2z + \mu = 0$ થી અંતર અનુક્રમે $\frac{1}{3}$ અને $\frac{2}{3}$ એકમ હોય,તો $\lambda + \mu$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $Q$ એ ઉગમબિંદુથી સમતલ $4x - 3y + z + 13 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે અને $R$ એ સમતલ પરનું બિંદુ $(-1, 1, -6)$ છે. તો લંબાઈ $QR$ શોધો.