यदि $a, b \in \mathbb{R}$ और $i=\sqrt{-1}$ है,तो $(a+bi)^3 = a-bi$ शर्त को संतुष्ट करने वाले वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्मों $(a, b)$ की संख्या क्या है?

$(r, \theta)$ का अर्थ $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ है। यदि $x = (1, \alpha)$,$y = (1, \beta)$,$z = (1, \gamma)$ और $x + y + z = 0$ है,तो $\sum \cos (2\alpha - \beta - \gamma) = $

मान लीजिए $n$ एक प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए $|i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n| = 18\sqrt{2}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। तो,$n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z_1$ और $z_2$ दो एकमापी (unimodular) सम्मिश्र संख्याएँ हैं जो $z_1^2 + z_2^2 = 5$ को संतुष्ट करती हैं,तो $(z_1 - \bar{z}_1)^2 + (z_2 - \bar{z}_2)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $|z|^2 - |z| - 2 < 0$ को संतुष्ट करती है,तो $\theta$ के सभी मानों के लिए $|z^2 + z \sin \theta|$ का मान है

यदि ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{3^n} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{3^n} \right)$ है,तो ${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \cdots {x_\infty }$ का मान ज्ञात कीजिए।