AP EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) हम जानते हैं कि $|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}}$.
दिया है कि $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$,इसलिए $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} = 0$.
इसका अर्थ है कि $2 \text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$,अतः $z_1\overline{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक है।
मान लीजिए $z_1\overline{z_2} = ki$,जहाँ $k \in \mathbb{R}$.
अतः $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{ki}{|z_2|^2}$,जो कि शुद्ध काल्पनिक है।

(A) हमें $f(z) = |z| + |2z - 3| + |z - 1|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
मापांक के गुणधर्म $|a| + |b| \geq |a + b|$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq |z + z - 1 + 3 - 2z|$
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq |2|$
$|z| + |z - 1| + |3 - 2z| \geq 2$
अतः,न्यूनतम मान $2$ है।

(A) दिया गया है कि $Z_1$ और $Z_2$ संयुग्मी सम्मिश्र संख्याएँ हैं। मान लीजिए $Z_1 = a + ib$, तो $Z_2 = a - ib$.
$(A) Z_1 Z_2 = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 = |Z_1|^2$. अतः, $A-3$.
$(B) Z_1 + Z_2 = (a + ib) + (a - ib) = 2a$. यदि $Z_1 + Z_2 = 0$, तो $2a = 0 \Rightarrow a = 0$. यह काल्पनिक अक्ष को दर्शाता है। अतः, $B-1$.
$(C) \text{Im}(Z_1) = b$. साथ ही, $\text{Im}(-Z_2) = \text{Im}(-(a - ib)) = \text{Im}(-a + ib) = b$. अतः, $\text{Im}(Z_1) = \text{Im}(-Z_2)$. इसलिए, $C-2$.
$(D) \text{Re}(Z_1) = a$ और $\text{Re}(Z_2) = a$. अतः, $\text{Re}(Z_1) = \text{Re}(Z_2)$. इसलिए, $D-4$.
सही मिलान $A-3, B-1, C-2, D-4$ है.

(D) दिया गया है $f(z) = |z|$.
$(a)$ $f(-z) = |-z| = |z| = f(z)$,जो सत्य है।
$(b)$ $f(\bar{z}) = |\bar{z}| = |z| = f(z)$,जो सत्य है।
$(c)$ $f(z^2) = |z^2| = |z|^2 = (f(z))^2$,जो सत्य है।
$(d)$ $f(z_1^2 + z_2^2) = |z_1^2 + z_2^2|$ और $f(z_1^2) + f(z_2^2) = |z_1^2| + |z_2^2| = |z_1|^2 + |z_2|^2$.
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|z_1^2 + z_2^2| \leq |z_1^2| + |z_2^2| = |z_1|^2 + |z_2|^2$। सामान्यतः समानता लागू नहीं होती है।
अतः,$f(z_1^2 + z_2^2) = f(z_1^2) + f(z_2^2)$ असत्य है।

(C) माना $z = 1 \pm i \sqrt{3}$ है। हम $z$ को ध्रुवीय रूप में $2(\cos \frac{\pi}{3} \pm i \sin \frac{\pi}{3})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(1+i \sqrt{3})^n + (1-i \sqrt{3})^n = [2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})]^n + [2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3})]^n$ है।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,यह $2^n(\cos \frac{n \pi}{3} + i \sin \frac{n \pi}{3}) + 2^n(\cos \frac{n \pi}{3} - i \sin \frac{n \pi}{3})$ हो जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $2^n(2 \cos \frac{n \pi}{3}) = 2^{n+1} \cos \frac{n \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक $(\sin \theta - i \cos \theta)^3$ है।
व्यंजक से $-i$ कॉमन लेने पर:
$(\sin \theta - i \cos \theta) = -i (\cos \theta + i \sin \theta)$.
अब,इसका घन करने पर:
$[-i (\cos \theta + i \sin \theta)]^3 = (-i)^3 (\cos \theta + i \sin \theta)^3$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$:
$= (-i)^3 (\cos 3 \theta + i \sin 3 \theta)$.
चूंकि $(-i)^3 = -i^3 = -(-i) = i$,इसलिए व्यंजक $i(\cos 3 \theta + i \sin 3 \theta) = i \cos 3 \theta - \sin 3 \theta$ हो जाता है।

(B) दिया गया व्यंजक: $(\cos 4 + i \sin 4 + 1)^{2020}$।
सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$ और $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$(\cos 4 + 1) + i \sin 4 = 2 \cos^2 2 + 2i \sin 2 \cos 2$।
$2 \cos 2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$2 \cos 2 (\cos 2 + i \sin 2)$।
इसकी घात $2020$ करने पर:
$[2 \cos 2 (\cos 2 + i \sin 2)]^{2020} = 2^{2020} \cos^{2020} 2 (\cos 2 + i \sin 2)^{2020}$।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$:
$2^{2020} \cos^{2020} 2 (\cos(2020 \times 2) + i \sin(2020 \times 2)) = 2^{2020} \cos^{2020} 2 (\cos 4040 + i \sin 4040)$।
अतः वास्तविक भाग $2^{2020} \cos^{2020} 2 \cos 4040$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $(1-i \sqrt{3})^9$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $2^9 \left(\frac{1-i \sqrt{3}}{2}\right)^9$
$= 2^9 \left(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^9$
ध्रुवीय रूप का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
अतः,$2^9 \left[\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]^9$
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$:
$= 2^9 [\cos(-3\pi) + i \sin(-3\pi)]$
$= 2^9 [\cos(3\pi) - i \sin(3\pi)]$
चूंकि $\cos(3\pi) = -1$ और $\sin(3\pi) = 0$:
$= 2^9 [-1 - 0] = -2^9$

(D) दिया गया व्यंजक: $z = \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+i \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2020}$
हम जानते हैं कि $\cos \frac{5 \pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ और $\sin \frac{5 \pi}{12} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
अतः,$z = \left(\cos \frac{5 \pi}{12} + i \sin \frac{5 \pi}{12}\right)^{2020}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n \theta) + i \sin(n \theta)$:
$z = \cos \left(2020 \times \frac{5 \pi}{12}\right) + i \sin \left(2020 \times \frac{5 \pi}{12}\right)$
$z = \cos \left(\frac{2525 \pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2525 \pi}{3}\right)$
चूंकि $\frac{2525 \pi}{3} = 842 \pi - \frac{\pi}{3}$,
$z = \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)$
$z = \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$.

(C) दिया गया व्यंजक $E = \frac{(\sin \frac{\pi}{8} + i \cos \frac{\pi}{8})^8}{(\sin \frac{\pi}{8} - i \cos \frac{\pi}{8})^8}$ है।
अंश से $i$ और हर से $-i$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = \frac{[i(\cos \frac{\pi}{8} - i \sin \frac{\pi}{8})]^8}{[(-i)(\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8})]^8}$.
चूंकि $i^8 = 1$ और $(-i)^8 = 1$,व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$E = \frac{(\cos \frac{\pi}{8} - i \sin \frac{\pi}{8})^8}{(\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8})^8}$.
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{(e^{-i\pi/8})^8}{(e^{i\pi/8})^8} = \frac{e^{-i\pi}}{e^{i\pi}}$.
चूंकि $e^{i\pi} = -1$ और $e^{-i\pi} = -1$,
$E = \frac{-1}{-1} = 1$.

(D) दिया गया है $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{2m-1} = \cos((2m-1)\theta) + i \sin((2m-1)\theta)$।
अतः,$\text{Im}(z^{2m-1}) = \sin((2m-1)\theta)$।
हमें $S = \sum_{m=1}^{15} \sin((2m-1)\theta) = \sin \theta + \sin 3\theta + \sin 5\theta + \dots + \sin 29\theta$ की गणना करनी है।
यह समांतर श्रेणी में साइन का योग है जहाँ प्रथम पद $a = \theta$,सार्व अंतर $d = 2\theta$,और पदों की संख्या $n = 15$ है।
योग के लिए सूत्र $S = \frac{\sin(n d / 2)}{\sin(d / 2)} \sin(a + (n-1)d / 2)$ है।
मान रखने पर: $S = \frac{\sin(15 \cdot 2\theta / 2)}{\sin(2\theta / 2)} \sin(\theta + (15-1)2\theta / 2) = \frac{\sin(15\theta)}{\sin \theta} \sin(\theta + 14\theta) = \frac{\sin^2(15\theta)}{\sin \theta}$।
$\theta = 2^{\circ}$ पर,$15\theta = 30^{\circ}$।
$S = \frac{\sin^2(30^{\circ})}{\sin 2^{\circ}} = \frac{(1/2)^2}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1/4}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1}{4 \sin 2^{\circ}}$।

(D) दिया गया है,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$.
$x$ से भाग देने पर,हमें $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right)^2 = \left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)^2 - 4$.
माना $x = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. तब $x+\frac{1}{x} = 2 \cos \theta = \sqrt{3}$,अतः $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$x^n = \cos \frac{n\pi}{6} + i \sin \frac{n\pi}{6}$ और $\frac{1}{x^n} = \cos \frac{n\pi}{6} - i \sin \frac{n\pi}{6}$.
तब $x^n - \frac{1}{x^n} = 2i \sin \frac{n\pi}{6}$.
इसलिए,$\left(x^n - \frac{1}{x^n}\right)^2 = (2i \sin \frac{n\pi}{6})^2 = -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6}$.
अब,$\sum_{n=1}^{24} -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6} = -4 \sum_{n=1}^{24} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$.
चूंकि $\sin^2 \frac{n\pi}{6}$ का आवर्तकाल $6$ है,इसलिए $24$ पदों का योग $4 \times \sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$ होगा।
$\sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6} = \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{2\pi}{6} + \sin^2 \frac{3\pi}{6} + \sin^2 \frac{4\pi}{6} + \sin^2 \frac{5\pi}{6} + \sin^2 \frac{6\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 3$.
अतः,कुल योग $-4 \times (4 \times 3) = -48$ है।

(C) दिया गया समीकरण $z^5-1=0$ है,जिसके मूल $1, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ हैं।
अतः,हम लिख सकते हैं $z^5-1=(z-1)(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)(z-\alpha_3)(z-\alpha_4)$।
$z=\omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\omega^5-1=(\omega-1)(\omega-\alpha_1)(\omega-\alpha_2)(\omega-\alpha_3)(\omega-\alpha_4)$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $(\omega-1)(\omega-\alpha_1)(\omega-\alpha_2)(\omega-\alpha_3)(\omega-\alpha_4)+\omega = \omega^5-1+\omega$ हो जाता है।
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\omega^5 = \omega^3 \times \omega^2 = \omega^2$।
अतः,व्यंजक $\omega^2+\omega-1$ है।
इकाई के घनमूल के गुणधर्म $1+\omega+\omega^2=0$ का उपयोग करने पर,$\omega^2+\omega=-1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,मान $-1-1=-2$ है।

(C) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$,जिसका अर्थ है कि $\omega^{-1}=\omega^2$ है।
व्यंजक में $\omega^{-1}=\omega^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1-\omega+\omega^2)^5-2(1+\omega-\omega^2)^4$
$1+\omega^2=-\omega$ और $1+\omega=-\omega^2$ का उपयोग करने पर:
$(-\omega-\omega)^5-2(-\omega^2-\omega^2)^4$
$=(-2\omega)^5-2(-2\omega^2)^4$
$=-32\omega^5-2(16\omega^8)$
$=-32\omega^2-32\omega^2$
$=-64\omega^2$
चूंकि $\omega^2=\omega^{-1}$,इसलिए परिणाम $-64\omega^{-1}$ है।

(C) इकाई के $11$ वें मूल समीकरण $x^{11} - 1 = 0$ के मूल हैं।
Vieta के सूत्रों के अनुसार,बहुपद समीकरण $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $(-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}$ होता है।
यहाँ,$n = 11$,$a_{11} = 1$,और $a_0 = -1$ है।
अतः,मूलों का गुणनफल $(-1)^{11} \cdot \frac{-1}{1} = (-1) \cdot (-1) = 1$ है।

(A) माना $Z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
हम $Z$ को ध्रुवीय रूप में $Z = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = e^{i \frac{\pi}{3}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चौथा मूल ज्ञात करने के लिए,हम $Z^{1/4} = (e^{i \frac{\pi}{3}})^{1/4} = e^{i \frac{\pi}{12}}$ की गणना करते हैं।
परिभाषा $\operatorname{cis} \theta = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ का उपयोग करते हुए,हमें $e^{i \frac{\pi}{12}} = \operatorname{cis} \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
अतः,चौथा मूल $\operatorname{cis} \frac{\pi}{12}$ है।

(B) दिया गया है $|z-2|=|z-1|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|z-2|^2 = |z-1|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|w|^2 = w \bar{w}$ का उपयोग करते हुए,$(z-2)(\bar{z}-2) = (z-1)(\bar{z}-1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $z\bar{z} - 2z - 2\bar{z} + 4 = z\bar{z} - z - \bar{z} + 1$.
समीकरण को सरल करने पर: $-2z - 2\bar{z} + 4 = -z - \bar{z} + 1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $z + \bar{z} = 3$.
$z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + iy) + (x - iy) = 3$.
$2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
यह $x = 1.5$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है,जो $y$-अक्ष के समांतर है।

(B) दिया गया समीकरण $(1+i)(1+3i)(1+7i) = x+iy$ है।
सबसे पहले,पहली दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणा करने पर: $(1+i)(1+3i) = 1 + 3i + i + 3i^2 = 1 + 4i - 3 = -2 + 4i$।
अब,परिणाम को तीसरी सम्मिश्र संख्या से गुणा करने पर: $(-2+4i)(1+7i) = -2 - 14i + 4i + 28i^2 = -2 - 10i - 28 = -30 - 10i$।
अतः,$x = -30$ और $y = -10$।
आर्गंड समतल में सम्मिश्र संख्या $z = x+iy$ द्वारा निरूपित वृत्त की त्रिज्या $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दी जाती है।
$|z| = \sqrt{(-30)^2 + (-10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$।

(C) दिए गए वक्रों के समीकरण:
$|z|=1 \Rightarrow x^2+y^2=1$ $(i)$
$|z-2|=1 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=1$ $(ii)$
$|z-1|=0 \Rightarrow (x-1)^2+y^2=0$ $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(x-2)^2+y^2 = x^2+y^2$
$(x-2)^2 = x^2$
$x^2-4x+4 = x^2$
$4x = 4 \Rightarrow x=1$
समीकरण $(i)$ में $x=1$ रखने पर:
$1^2+y^2=1$ $\Rightarrow y^2=0$ $\Rightarrow y=0$
अतः,$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,0)$ है।
अब,जाँचें कि क्या $(1,0)$ समीकरण $(iii)$ को संतुष्ट करता है:
$(1-1)^2+0^2 = 0^2+0^2 = 0$
चूँकि यह तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए उभयनिष्ठ बिंदु $(1,0)$ है।

(B) दिया गया है कि व्यक्ति के पास अलग-अलग मूल्यवर्ग के $3$ सिक्के हैं।
राशि बनाने के लिए,व्यक्ति $1, 2,$ या $3$ सिक्के चुन सकता है।
$3$ में से $1$ सिक्का चुनने के तरीके ${}^3C_1 = 3$ हैं।
$3$ में से $2$ सिक्के चुनने के तरीके ${}^3C_2 = 3$ हैं।
$3$ में से $3$ सिक्के चुनने के तरीके ${}^3C_3 = 1$ हैं।
चूंकि सिक्कों का प्रत्येक संयोजन एक अद्वितीय राशि बनाता है (क्योंकि मूल्यवर्ग अलग हैं),इसलिए विभिन्न राशियों की कुल संख्या ${}^3C_1 + {}^3C_2 + {}^3C_3 = 3 + 3 + 1 = 7$ है।

(C) क्रमचय (permutation) का सूत्र ${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ है।
हमें ${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3$ का मान ज्ञात करना है।
पहले,${}^6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$।
फिर,${}^6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$।
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3 = 360 + 4 \times 120 = 360 + 480 = 840$।

(D) दिया गया समीकरण: $8 \cdot {}^{7}P_{r} = 7 \cdot {}^{8}P_{r-1}$
${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$8 \cdot \frac{7!}{(7-r)!} = 7 \cdot \frac{8!}{(9-r)!} $
चूंकि $8! = 8 \cdot 7!$,इसलिए:
$\frac{8 \cdot 7!}{(7-r)!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 7!}{(9-r)!} $
$\frac{1}{(7-r)!} = \frac{7}{(9-r)(8-r)(7-r)!} $
$(9-r)(8-r) = 7 $
$r^2 - 17r + 65 = 0 $
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{17 \pm \sqrt{29}}{2} $
चूंकि $r$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,इसलिए ऐसा कोई $r$ संभव नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{r+1}\left\{{ }^n P_{r+1}-{ }^{(n-1)} P_{r+1}\right\}$
सूत्र ${ }^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{r+1} \left[ \frac{n!}{(n-r-1)!} - \frac{(n-1)!}{(n-r-2)!} \right]$
$= \frac{1}{r+1} \left[ \frac{n(n-1)!}{(n-r-1)!} - \frac{(n-1)!(n-r-1)}{(n-r-1)!} \right]$
$= \frac{(n-1)!}{(r+1)(n-r-1)!} [n - n + r + 1]$
$= \frac{(n-1)!}{(r+1)(n-r-1)!} [r+1]$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} = { }^{n-1} P_r$

(C) हमारे पास है,
${}^7P_3 - 3({}^6P_2)$
$= \frac{7!}{(7-3)!} - 3 \times \frac{6!}{(6-2)!}$
$= \frac{7!}{4!} - 3 \times \frac{6!}{4!}$
$= \frac{7 \times 6!}{4!} - \frac{3 \times 6!}{4!}$
$= \frac{6!}{4!} (7 - 3)$
$= \frac{6!}{4!} \times 4$
$= \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} \times 4$
$= 30 \times 4 = 120$
वैकल्पिक रूप से,क्रमचय (permutation) की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
${}^6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$
अतः,यह मान ${}^6P_3$ के बराबर है।

(B) समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या $n = 11$ है।
अधिकतम $5$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए $k$ अवयवों को चुनने के तरीकों का योग करेंगे।
यह योग ${ }^{11}C_0 + { }^{11}C_1 + { }^{11}C_2 + { }^{11}C_3 + { }^{11}C_4 + { }^{11}C_5$ द्वारा प्राप्त होता है।

(C) दी गई असमिका: ${ }^5 C_{x-1} > 2 \cdot { }^5 C_x$
संचय को परिभाषित करने के लिए,$0 \le x-1 \le 5$ और $0 \le x \le 5$ होना चाहिए। अतः,$x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$।
सूत्र ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{{ }^5 C_{x-1}}{{ }^5 C_x} > 2$
$\frac{5!}{(x-1)!(5-(x-1))!} \cdot \frac{x!(5-x)!}{5!} > 2$
$\frac{x!(5-x)!}{(x-1)!(6-x)!} > 2$
$\frac{x(x-1)!(5-x)!}{(x-1)!(6-x)(5-x)!} > 2$
$\frac{x}{6-x} > 2$
$\frac{x}{6-x} - 2 > 0$
$\frac{x - 2(6-x)}{6-x} > 0$
$\frac{x - 12 + 2x}{6-x} > 0$
$\frac{3x - 12}{6-x} > 0$
$\frac{3(x-4)}{-(x-6)} > 0$
$\frac{x-4}{x-6} < 0$
यह असमिका $4 < x < 6$ के लिए सत्य है।
चूंकि $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए एकमात्र संभव मान $x = 5$ है।
अतः,हल समुच्चय $\{5\}$ है।

(B) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्न चुनने हैं। पहले $5$ प्रश्न एक समूह में हैं और शेष $8$ प्रश्न दूसरे समूह में हैं। छात्र को पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $3$ चुनने हैं।
स्थिति $1$: पहले $5$ में से $3$ और शेष $8$ में से $7$ चुनें।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{3} \times {}^{8}C_{7} = 10 \times 8 = 80$.
स्थिति $2$: पहले $5$ में से $4$ और शेष $8$ में से $6$ चुनें।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $3$: पहले $5$ में से $5$ और शेष $8$ में से $5$ चुनें।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
कुल तरीकों की संख्या $= 80 + 140 + 56 = 276$.

(C) इसे हल करने के लिए,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
चूंकि $7$ सफेद गेंदें समान हैं,उन्हें केवल $1$ तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम $3$ काली गेंदों को $7$ सफेद गेंदों द्वारा बनाए गए रिक्त स्थानों में रखते हैं।
सफेद गेंदों को $W$ के रूप में दर्शाते हुए,व्यवस्था इस प्रकार है: $\_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_$.
$3$ समान काली गेंदों के लिए $8$ उपलब्ध स्थान हैं।
$8$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके ${}^8C_3$ द्वारा दिए जाते हैं।
${}^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
अतः,कुल विशिष्ट व्यवस्थाओं की संख्या $56$ है।

(A) $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग प्राप्तकर्ताओं के बीच इस प्रकार वितरित करने के लिए कि प्रत्येक को कम से कम $1$ वस्तु मिले,हम $\binom{n-1}{r-1}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 3$ है।
तरीकों की संख्या $\binom{8-1}{3-1} = \binom{7}{2}$ है।
$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$।

(C) $10$ गेंदों ($6$ काली + $4$ हरी) में से $4$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $^{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ हैं।
$4$ गेंदें चुनने के ऐसे तरीके जिनमें कोई भी काली गेंद न हो (अर्थात सभी $4$ गेंदें हरी हों) $^{4}C_4 = 1$ हैं।
अतः,कम से कम एक काली गेंद चुनने के तरीकों की संख्या = (कुल तरीके) - (बिना काली गेंद वाले तरीके) = $210 - 1 = 209$.

(B) $9$ पत्रों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $9!$ हैं।
सबसे अच्छे और सबसे खराब पेपर एक साथ हों,यह ज्ञात करने के लिए हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं।
इससे हमारे पास $8$ इकाइयाँ बचती हैं (संयुक्त जोड़ी और अन्य $7$ पेपर),जिन्हें $8!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
सबसे अच्छे और सबसे खराब पेपर अपनी इकाई के भीतर $2!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः,उनके एक साथ होने के कुल तरीके $= 2! \times 8!$ हैं।
उनके कभी भी एक साथ न होने के तरीकों की संख्या कुल व्यवस्थाओं में से एक साथ होने वाली व्यवस्थाओं को घटाने पर प्राप्त होती है: $9! - 2! \times 8!$.

(C) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$2$ लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें,जिसे $2! = 2$ तरीकों से किया जा सकता है।
यह $3$ रिक्त स्थान (गैप) बनाता है (पहली लड़की से पहले,लड़कियों के बीच में,और दूसरी लड़की के बाद) जैसा कि दिखाया गया है: $\_ G \_ G \_$.
हमें इन $3$ रिक्त स्थानों में $3$ लड़कों को बैठाना है। $3$ लड़कों को $3$ रिक्त स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $3! = 6$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $2! \times 3! = 2 \times 6 = 12$ है।

(A) शब्द $MAXIMA$ है। कुल अक्षर $= 6$ हैं।
स्वर $\{A, I, A\}$ हैं (कुल $3$,जिसमें $A$ दो बार दोहराया गया है)।
व्यंजन $\{M, X, M\}$ हैं (कुल $3$,जिसमें $M$ दो बार दोहराया गया है)।
सभी स्वरों को एक साथ व्यवस्थित करने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
सभी व्यंजनों को एक साथ व्यवस्थित करने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
चूंकि हमारे पास दो समूह हैं (एक स्वरों का और एक व्यंजनों का),इन दो समूहों को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 2! \times \left(\frac{3!}{2!}\right) \times \left(\frac{3!}{2!}\right) = 2 \times 3 \times 3 = 18$ है।

(B) '$MOBILE$' शब्द में $6$ अक्षर हैं: $M, O, B, I, L, E$.
व्यंजन $M, B, L$ हैं (कुल $3$).
स्वर $O, I, E$ हैं (कुल $3$).
कुल $6$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
विषम स्थान $1, 3, 5$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
हमें $3$ व्यंजनों को $3$ विषम स्थानों पर व्यवस्थित करना है,जिसे $3!$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $3$ स्वरों को शेष $3$ सम स्थानों $(2, 4, 6)$ पर $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शब्दों की कुल संख्या $= 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$।

(C) दिए गए अंक $0, 1, 2, 3$ हैं। हमें इन अंकों का अधिकतम एक बार उपयोग करके भिन्न धनात्मक पूर्णांक बनाने हैं।
स्थिति $I$: $4$-अंकीय पूर्णांक।
पहला स्थान $3$ गैर-शून्य अंकों $(1, 2, 3)$ में से किसी एक द्वारा भरा जा सकता है। शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3 \times 2 \times 1$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$4$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या $= 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.
स्थिति $II$: $3$-अंकीय पूर्णांक।
पहला स्थान $3$ विकल्पों $(1, 2, 3)$ द्वारा भरा जा सकता है। शेष $2$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3 \times 2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$3$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या $= 3 \times 3 \times 2 = 18$.
स्थिति $III$: $2$-अंकीय पूर्णांक।
पहला स्थान $3$ विकल्पों $(1, 2, 3)$ द्वारा भरा जा सकता है। दूसरा स्थान शेष $3$ अंकों द्वारा $3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$2$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या $= 3 \times 3 = 9$.
स्थिति $IV$: $1$-अंकीय पूर्णांक।
संभावित पूर्णांक $1, 2, 3$ हैं।
$1$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या $= 3$.
कुल भिन्न धनात्मक पूर्णांकों की संख्या $= 18 + 18 + 9 + 3 = 48$.

(A) कथन $I$: $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,${}^{n-1}C_{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 4$ है।
अतः,तरीकों की संख्या ${}^{10-1}C_{4-1} = {}^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$: $n$ अलग-अलग वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^nC_r$ है।
$9$ अलग-अलग स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन $II$ सत्य है।
चूंकि कथन $II$ एक मानक संचय सूत्र है और यह कथन $I$ में दी गई वितरण समस्या के लिए तार्किक व्युत्पत्ति नहीं है,इसलिए कथन $II$ कथन $I$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) $8$ विषयों के लिए कुल परिणामों की संख्या,जहाँ प्रत्येक विषय में उत्तीर्ण या अनुत्तीर्ण हुआ जा सकता है,$2^8 = 256$ है।
छात्र तब अनुत्तीर्ण होता है यदि वह कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण हो।
छात्र के अनुत्तीर्ण न होने की एकमात्र स्थिति यह है कि वह सभी $8$ विषयों में उत्तीर्ण हो जाए।
सभी विषयों में उत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या $^8C_0 = 1$ है।
अतः,वह जिन तरीकों से अनुत्तीर्ण हो सकता है,उनकी संख्या है:
$2^8 - ^8C_0 = 256 - 1 = 255$.

(A) मान लीजिए कि पति के रिश्तेदारों में से आमंत्रित महिलाओं और पुरुषों की संख्या $(L_m, G_m)$ है और पत्नी के रिश्तेदारों में से $(L_w, G_w)$ है।
हमें $L_m + L_w = 3$ और $G_m + G_w = 3$ चाहिए,जहाँ $L_m + G_m = 3$ और $L_w + G_w = 3$ है।
$(L_m, G_m)$ और $(L_w, G_w)$ के लिए संभावित मामले:
स्थिति $1$: $(L_m, G_m) = (0, 3)$ और $(L_w, G_w) = (3, 0)$.
तरीके $= {^4C_0} \times {^3C_3} \times {^3C_3} \times {^4C_0} = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
स्थिति $2$: $(L_m, G_m) = (1, 2)$ और $(L_w, G_w) = (2, 1)$.
तरीके $= {^4C_1} \times {^3C_2} \times {^3C_2} \times {^4C_1} = 4 \times 3 \times 3 \times 4 = 144$.
स्थिति $3$: $(L_m, G_m) = (2, 1)$ और $(L_w, G_w) = (1, 2)$.
तरीके $= {^4C_2} \times {^3C_1} \times {^3C_1} \times {^4C_2} = 6 \times 3 \times 3 \times 6 = 324$.
स्थिति $4$: $(L_m, G_m) = (3, 0)$ और $(L_w, G_w) = (0, 3)$.
तरीके $= {^4C_3} \times {^3C_0} \times {^3C_0} \times {^4C_3} = 4 \times 1 \times 1 \times 4 = 16$.
कुल तरीके $= 1 + 144 + 324 + 16 = 485$.

(B) प्रत्येक $n$ भिन्न वस्तु को दो अलग-अलग बक्सों में से किसी एक में रखा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक वस्तु के पास $2$ विकल्प हैं,इसलिए $n$ भिन्न वस्तुओं को $2$ अलग-अलग बक्सों में वितरित करने के कुल तरीके $2 \times 2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($n$ बार) होंगे।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $2^n$ है।

(C) $5$ गेंदों में से प्रत्येक को $4$ डिब्बों में से किसी में भी स्वतंत्र रूप से रखा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक गेंद के लिए $4$ विकल्प हैं,इसलिए $5$ गेंदों को $4$ डिब्बों में रखने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ हैं।

(D) एक समांतर चतुर्भुज $10$ समांतर रेखाओं में से $2$ रेखाओं और $m$ समांतर रेखाओं में से $2$ रेखाओं के चयन से बनता है।
$10$ में से $2$ रेखाओं को चुनने के तरीके ${}^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ हैं।
$m$ में से $2$ रेखाओं को चुनने के तरीके ${}^{m}C_2 = \frac{m(m-1)}{2}$ हैं।
समांतर चतुर्भुजों की कुल संख्या:
${}^{10}C_2 \times {}^{m}C_2 = 675$
$45 \times \frac{m(m-1)}{2} = 675$
$\frac{m(m-1)}{2} = 15$
$m(m-1) = 30$
$m^2 - m - 30 = 0$
$(m - 6)(m + 5) = 0$
चूँकि $m$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m = 6$।

(C) $A, B$ और $C$ को छोड़कर कुल बिंदु $10 + 8 = 18$ हैं।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$18$ में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{18}C_3$ हैं।
$AB$ रेखा पर स्थित बिंदु संरेख हैं,इसलिए $^{10}C_3$ संयोजन त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
$AC$ रेखा पर स्थित बिंदु संरेख हैं,इसलिए $^{8}C_3$ संयोजन त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
अतः,त्रिभुजों की संख्या $= ^{18}C_3 - ^{10}C_3 - ^{8}C_3$ है।
$^{18}C_3 = 816$,$^{10}C_3 = 120$,$^{8}C_3 = 56$.
त्रिभुजों की संख्या $= 816 - 120 - 56 = 640$।

(B) दिया गया बहुपद $f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ है।
मान लीजिए बहुपद के मूल $s - t$,$s$,और $s + t$ हैं,जहाँ $s$ और $t$ पूर्णांक हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग:
$(s - t) + s + (s + t) = -a$.
इसे सरल करने पर,$3s = -a$,या $a = -3s$ प्राप्त होता है।
चूँकि $s$ एक पूर्णांक है,$a$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: -642 = 3 \times (-214)$ ($3$ का गुणज है)
$B: 1214$ ($3$ का गुणज नहीं है,क्योंकि $1+2+1+4 = 8$)
$C: 1323 = 3 \times 441$ ($3$ का गुणज है)
$D: 1626 = 3 \times 542$ ($3$ का गुणज है)
अतः,'$a$' का मान $1214$ नहीं हो सकता।

(B) $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ उनके लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$,यानी $6$ से विभाज्य होती हैं।
$1$ से $50$ के बीच $6$ से विभाज्य संख्याएँ $6, 12, 18, \dots, 48$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जहाँ प्रथम पद $a = 6$,अंतिम पद $a_n = 48$ और सार्व अंतर $d = 6$ है।
सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$48 = 6 + (n - 1)6$
$42 = (n - 1)6$
$n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$S_8 = \frac{8}{2}(6 + 48) = 4(54) = 216$.
चूँकि $216 = 6^3$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) $\triangle ABC$ के कोण समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
चूँकि $A+B+C=180^{\circ}$ और $2B=A+C$,इसलिए $3B=180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B=60^{\circ}$।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$।
$B=60^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$।
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$।
दोनों पक्षों को $2ac$ से गुणा करने पर,$ac = a^2+c^2-b^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^2 = a^2+c^2-ac$।

(B) दी गई असमिका: $2^n > n+1$.
$n=1$ के लिए: $2^1 > 1+1 \Rightarrow 2 > 2$,जो असत्य है।
$n=2$ के लिए: $2^2 > 2+1 \Rightarrow 4 > 3$,जो सत्य है।
$n=3$ के लिए: $2^3 > 3+1 \Rightarrow 8 > 4$,जो सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,मान लीजिए कि किसी $k \geq 2$ के लिए $2^k > k+1$ सत्य है।
हमें यह दिखाना है कि $2^{k+1} > (k+1)+1 = k+2$ है।
चूंकि $2^k > k+1$,दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर $2^{k+1} > 2k+2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $2k+2 = (k+2) + k$ है।
चूंकि $k \geq 2$,इसलिए $k > 0$,अतः $2k+2 > k+2$ है।
इस प्रकार,$2^{k+1} > k+2$ सभी $n \geq 2$ के लिए सत्य है।

(B) दिया गया संबंध: $a_0=1$ और $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$.
प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर:
$n=0$ के लिए: $a_1 = 3(0)^2+0+a_0 = 1$.
$n=1$ के लिए: $a_2 = 3(1)^2+1+a_1 = 3+1+1 = 5$.
$n=2$ के लिए: $a_3 = 3(2)^2+2+a_2 = 12+2+5 = 19$.
अब,$n=3$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$: $3^3+3^2+1 = 37$.
विकल्प $B$: $3^3-3^2+1 = 19$.
विकल्प $C$: $3^3-3^2 = 18$.
विकल्प $D$: $3^3+3^2 = 36$.
अतः,$a_3=19$ होने के कारण,विकल्प $B$ सही है।

(B) हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक फलनों के लिए मूल सर्वसमिका: $\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$ है।
दिया गया है कि $\sinh u = \tan \theta$ है।
इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: $\cosh^2 u - (\tan \theta)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$\cosh^2 u = 1 + \tan^2 \theta$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ का उपयोग करने पर: $\cosh^2 u = \sec^2 \theta$।
अतः,$\cosh u = \sec \theta$ (क्योंकि $\cosh u$ हमेशा धनात्मक होता है)।

(B) दिया गया है कि $\det(A) = 5$ और $\det(B^T \cdot A^T) = -15$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$\det(M) = \det(M^T)$ होता है।
साथ ही,सारणिक के गुणधर्म के अनुसार $\det(X \cdot Y) = \det(X) \cdot \det(Y)$ होता है।
अतः,$\det(B^T \cdot A^T) = \det(B^T) \cdot \det(A^T) = \det(B) \cdot \det(A) = -15$।
$\det(A) = 5$ का मान रखने पर:
$\det(B) \cdot 5 = -15$।
इस प्रकार,$\det(B) = \frac{-15}{5} = -3$।

(C) मान लीजिए $D_1 = \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix}$ और $D_2 = \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ (-1)^{n+2} a & (-1)^{n-1} b & (-1)^n c \end{vmatrix}$.
हमें $D_1 + D_2 = 0$ दिया गया है।
$D_2$ में,तीसरी पंक्ति से $(-1)^n$ उभयनिष्ठ लेने पर: $D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \\ a-1 & b-1 & c+1 \\ a & -b & c \end{vmatrix}$.
अब,$D_2$ पर स्तंभ संक्रियाएँ करने पर: $C_1$ और $C_2$ को आपस में बदलें,फिर $C_2$ और $C_3$ को आपस में बदलें। दो बार बदलने से चिह्न में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
$D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \\ -b & b+1 & b-1 \\ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix} = (-1)^n D_1$.
अतः,$D_1 + (-1)^n D_1 = 0 \Rightarrow (1 + (-1)^n) D_1 = 0$.
यह किसी भी $a, b, c$ के लिए सत्य होने हेतु,$1 + (-1)^n = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $(-1)^n = -1$.
यह तब सत्य है जब $n$ एक विषम पूर्णांक हो।

(D) दिया गया समीकरण निकाय समघात है: $-x + y \cos C + z \cos B = 0$,$x \cos C - y + z \cos A = 0$,$x \cos B + y \cos A - z = 0$.
निकाय का एक शून्येतर हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $0$ हो।
माना $D = \begin{vmatrix} -1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & -1 & \cos A \\ \cos B & \cos A & -1 \end{vmatrix}$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $D = -1(1 - \cos^2 A) - \cos C(-\cos C - \cos A \cos B) + \cos B(\cos A \cos C + \cos B)$.
$D = -1 + \cos^2 A + \cos^2 C + \cos A \cos B \cos C + \cos A \cos B \cos C + \cos^2 B$.
$D = \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C - 1$.
किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए,सर्वसमिका $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1$ तभी सत्य होती है जब त्रिभुज समबाहु हो $(A=B=C=60^\circ)$.
यदि $A=B=C=60^\circ$ है,तो $\cos A = \cos B = \cos C = 1/2$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$D = 3(1/4) + 2(1/8) - 1 = 3/4 + 1/4 - 1 = 0$.
अतः,निकाय का शून्येतर हल केवल तभी होता है जब त्रिभुज समबाहु हो।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2x + 6y + 0z = -11$
$6x + 20y - 6z = -3$
$0x + 6y - 18z = -1$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 6 & 20 & -6 \\ 0 & 6 & -18 \end{vmatrix}$
$D = 2(20 \times (-18) - (-6) \times 6) - 6(6 \times (-18) - 0) + 0$
$D = 2(-360 + 36) - 6(-108)$
$D = 2(-324) + 648 = -648 + 648 = 0$
चूंकि $D = 0$,निकाय या तो असंगत है या इसके अनंत हल हैं। हम $D_1$ की जाँच करते हैं:
$D_1 = \begin{vmatrix} -11 & 6 & 0 \\ -3 & 20 & -6 \\ -1 & 6 & -18 \end{vmatrix}$
$D_1 = -11(20 \times (-18) - (-6) \times 6) - 6((-3) \times (-18) - (-1) \times (-6))$
$D_1 = -11(-360 + 36) - 6(54 - 6)$
$D_1 = -11(-324) - 6(48) = 3564 - 288 = 3276 \neq 0$
चूंकि $D = 0$ और $D_1 \neq 0$,इसलिए समीकरणों का निकाय असंगत है।

(A) दिए गए रैखिक समघाती समीकरण निकाय के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए:
$x-y+z=0$ $(i)$
$x+2y-z=0$ $(ii)$
$2x+y+3z=0$ $(iii)$
हम इस निकाय को आव्यूह रूप $AX=0$ में लिख सकते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ और $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(2 \times 3 - (-1) \times 1) - (-1)(1 \times 3 - (-1) \times 2) + 1(1 \times 1 - 2 \times 2)$
$|A| = 1(6 + 1) + 1(3 + 2) + 1(1 - 4)$
$|A| = 7 + 5 - 3 = 9$.
चूँकि $|A| \neq 0$,आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय है।
समघाती निकाय $AX=0$ के लिए,यदि $|A| \neq 0$ हो,तो केवल तुच्छ हल (trivial solution) $X=0$ (अर्थात $x=0, y=0, z=0$) प्राप्त होता है।
अतः,केवल $1$ हल विद्यमान है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ और $S = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \mid A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right\}$.
$S$ की कार्डिनैलिटी ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ को हल करते हैं।
$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x + 3y \\ 4x - 3y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \\ 3y \end{bmatrix}$
इससे समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$x + 3y = 3x \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$
$4x - 3y = 3y \implies 4x = 6y \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$
दोनों समीकरण एक ही शर्त $x = \frac{3}{2}y$ में परिणत होते हैं।
अतः,$S = \left\{ \begin{bmatrix} \frac{3}{2}y \\ y \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ y \begin{bmatrix} 1.5 \\ 1 \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{R} \right\}$.
चूंकि $y$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए ऐसे अनंत सदिश हैं।
समुच्चय $S$,$\mathbb{R}^2$ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा को दर्शाता है,जिसमें अगणनीय बिंदु होते हैं।
इसलिए,$S$ की कार्डिनैलिटी अगणनीय (uncountable) है।

(A) दिया है: $\sec ^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)-\sec ^{-1} \left(\frac{x}{b}\right)=\sec ^{-1} b-\sec ^{-1} a$
$\sec ^{-1} z = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{z}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{b}{x}\right)=\cos ^{-1} \left(\frac{1}{b}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{1}{a}\right)$
सूत्र $\cos ^{-1} u - \cos ^{-1} v = \cos ^{-1} \left(uv + \sqrt{1-u^2}\sqrt{1-v^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a b}{x^2} + \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}\sqrt{1-\frac{b^2}{x^2}} = \frac{1}{a b} + \sqrt{1-\frac{1}{b^2}}\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}$
$\frac{a b}{x^2} + \frac{\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}}{x^2} = \frac{1}{a b} + \frac{\sqrt{(b^2-1)(a^2-1)}}{a b}$
दोनों पक्षों को $x^2 ab$ से गुणा करने पर:
$a^2 b^2 + ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} = x^2 + x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)}$
$ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} - x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)} = x^2 - a^2 b^2$
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$x^2 - a^2 b^2 = 0$ रखने पर,$x^2 = a^2 b^2$,अतः $x = ab$।

(C) दिया गया समीकरण $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 \tan^{-1} x)] = 0$ है।
माना $\theta = 2 \tan^{-1} x$. तब $\cot \theta = \cot (2 \tan^{-1} x) = \frac{1 - \tan^2(\tan^{-1} x)}{2 \tan(\tan^{-1} x)} = \frac{1 - x^2}{2x}$.
समीकरण $\sin [2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x})] = 0$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = n\pi$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,$\cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = \frac{n\pi}{2}$.
दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर,$\frac{1 - x^2}{2x} = \cos(\frac{n\pi}{2})$.
परिभाषित होने के लिए,$\cos^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ में होना चाहिए,इसलिए $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$.
$\cos(\frac{n\pi}{2})$ के लिए संभावित मान $0, 1, -1$ हैं।
स्थिति $1$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
स्थिति $2$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$.
स्थिति $3$: $\frac{1 - x^2}{2x} = -1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$.
ये सभी $6$ मान शर्त $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$x$ के $6$ भिन्न मान प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है,$\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} 3x$.
हम जानते हैं कि $x \in [0, 1]$ के लिए $\cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}$ होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2} = \sin ^{-1} 3x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर,$\sqrt{1-x^2} = 3x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1-x^2 = 9x^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $10x^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{1}{10}$।
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $x = \sin ^{-1} \frac{12}{13} + \cos ^{-1} \frac{4}{5} + \tan ^{-1} \frac{63}{16}$.
सभी पदों को $\tan ^{-1}$ रूप में परिवर्तित करें:
$\sin ^{-1} \frac{12}{13} = \tan ^{-1} \frac{12}{5}$ (चूंकि $\sin \theta = \frac{12}{13} \implies \tan \theta = \frac{12}{5}$)
$\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ (चूंकि $\cos \theta = \frac{4}{5} \implies \tan \theta = \frac{3}{4}$)
अब,व्यंजक $\tan ^{-1} \frac{12}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{63}{16}$ हो जाता है।
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x+y}{1-xy}$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1} \frac{12}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{48+15}{20}}{1 - \frac{36}{20}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{63/20}{-16/20} \right) = \tan ^{-1} \left( -\frac{63}{16} \right) = \pi - \tan ^{-1} \frac{63}{16}$ (चूंकि गुणनफल $xy > 1$ है)।
अतः,$(\pi - \tan ^{-1} \frac{63}{16}) + \tan ^{-1} \frac{63}{16} = \pi$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\tan^{-1}(-2) - \tan^{-1}(3)$
गुणधर्म $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x$ का उपयोग करने पर:
$= -\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(3)$
$= -(\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3))$
चूंकि $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$,हम सूत्र $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)$ का उपयोग करेंगे:
$= -\left(\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3}\right)\right)$
$= -\pi - \tan^{-1}\left(\frac{5}{1 - 6}\right)$
$= -\pi - \tan^{-1}(-1)$
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए:
$= -\pi - (-\frac{\pi}{4})$
$= -\pi + \frac{\pi}{4}$
$= -\frac{3 \pi}{4}$

(B) दिया गया है,$\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{8} + 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$.
सूत्र $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \tan^{-1} \frac{1}{8} = \tan^{-1} \frac{16}{63}$.
$2 \tan^{-1} \frac{1}{5} = \tan^{-1} \frac{5}{12}$.
अब,$\theta = \tan^{-1} \frac{16}{63} + \tan^{-1} \frac{5}{12} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$.
$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \frac{16}{63} + \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \frac{3}{4}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{1}{7} = \tan^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.
इस प्रकार,$\tan \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$.
$\sqrt{m} + \sqrt{n} = -1 + \sqrt{2}$ और $m < n$ होने के कारण,$m = 1$ और $n = 2$ प्राप्त होता है।
अतः $(m^n + n^m)^{m+n} = (1^2 + 2^1)^{1+2} = 3^3 = 27$.

(D) हम सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $2 \tan^{-1} (\theta) = \sin^{-1} (\frac{2 \theta}{1 + \theta^2}) = \cos^{-1} (\frac{1 - \theta^2}{1 + \theta^2}) = \sec^{-1} (\frac{1 + \theta^2}{1 - \theta^2})$.
$x = \sin (2 \tan^{-1} 2)$ के लिए:
$x = \sin (\sin^{-1} (\frac{2 \times 2}{1 + 2^2})) = \frac{4}{5} = 0.8$.
$y = \cos (2 \tan^{-1} 3)$ के लिए:
$y = \cos (\cos^{-1} (\frac{1 - 3^2}{1 + 3^2})) = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -0.8$.
$z = \sec (2 \tan^{-1} 4)$ के लिए:
$z = \sec (\sec^{-1} (\frac{1 + 4^2}{1 - 4^2})) = \frac{1 + 16}{1 - 16} = \frac{17}{-15} \approx -1.133$.
मानों की तुलना करने पर: $-1.133 < -0.8 < 0.8$,जिसका अर्थ है कि $z < y < x$.

(D) हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+k(k+1)}\right] = \tan ^{-1}\left[\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}\right] = \tan ^{-1}(k+1) - \tan ^{-1}(k)$।
योग के प्रत्येक पद के लिए इस सूत्र को लागू करने पर:
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+1 \cdot 2}\right] = \tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)$
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+2 \cdot 3}\right] = \tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)$
...
$\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+n(n+1)}\right] = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n)$
इन पदों का योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$S = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \cdots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$
$S = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1)$
सूत्र $\tan ^{-1}(A) - \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{n}{1+n+1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{n}{n+2}\right)$
दिया गया है कि $S = \tan ^{-1}(x)$,इसलिए $x = \frac{n}{n+2}$।

(C) फलन $f(x) = \frac{-5}{4x^2+1} + \sqrt{x^2-4}$ है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,हर $4x^2+1$ शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $4x^2+1 \geq 1$ है,इसलिए हर कभी शून्य नहीं होता है।
वर्गमूल के लिए,हमें $x^2 - 4 \geq 0$ की आवश्यकता है।
$x^2 \geq 4$
$|x| \geq 2$
इसका अर्थ है कि $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$।
अतः,प्रांत $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{1-|x|}{2-|x|}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. $\frac{1-|x|}{2-|x|} \geq 0$
$2$. $2-|x| \neq 0 \implies |x| \neq 2 \implies x \neq \pm 2$
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। असमिका $\frac{1-t}{2-t} \geq 0$ हो जाती है।
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर: $\frac{t-1}{t-2} \geq 0$।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,$t \geq 0$ के लिए $t$ का हल $t \in [0, 1] \cup (2, \infty)$ प्राप्त होता है।
अब,$t = |x|$ वापस रखने पर:
स्थिति $I$: $0 \leq |x| \leq 1 \implies x \in [-1, 1]$।
स्थिति $II$: $|x| > 2 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$ है।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
हम जानते हैं कि $x \geq 0$ के लिए $|x| = x$,इसलिए $x > x$ संभव नहीं है।
$x < 0$ के लिए $|x| = -x$,इसलिए $-x > x$,जिसका अर्थ है $-2x > 0$,या $x < 0$।
अतः,फलन सभी $x \in (-\infty, 0)$ के लिए परिभाषित है।
इसलिए,$f(x)$ का प्रांत $(-\infty, 0)$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{[x]-1}$ है।
फलन $f(x)$ तब अपरिभाषित होता है जब हर (denominator) शून्य हो,अर्थात $[x] - 1 = 0$ हो।
इसका अर्थ है $[x] = 1$।
महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = 1$ अंतराल $[1, 2)$ में स्थित सभी $x$ के मानों के लिए होता है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत अंतराल $[1, 2)$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं,जिसे $R - [1, 2)$ के रूप में लिखा जाता है।

(B) दिया गया है $f(x) = -\sqrt{5-6x-x^2}$.
सबसे पहले,$5-6x-x^2 \geq 0$ को हल करके प्रांत (domain) ज्ञात करते हैं।
$x^2+6x-5 \leq 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x+3)^2 - 14 \leq 0 \Rightarrow (x+3)^2 \leq 14$.
अतः,$-\sqrt{14} \leq x+3 \leq \sqrt{14}$,जिसका अर्थ है $x \in [-3-\sqrt{14}, -3+\sqrt{14}]$.
अब,मान लीजिए $y = f(x) = -\sqrt{14-(x+3)^2}$.
चूंकि $(x+3)^2 \geq 0$,$14-(x+3)^2$ का अधिकतम मान $14$ है ($x=-3$ पर)।
अतः,$\sqrt{14-(x+3)^2}$ का अधिकतम मान $\sqrt{14}$ है।
चूंकि $y = -\sqrt{14-(x+3)^2}$,न्यूनतम मान $-\sqrt{14}$ ($x=-3$ पर) और अधिकतम मान $0$ है (जब $14-(x+3)^2 = 0$ हो)।
अतः,परिसर $[-\sqrt{14}, 0]$ है।

(B) फलन $h(x) = \frac{x-2}{x+3}$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,माना $h(x) = y$ है।
$y = \frac{x-2}{x+3}$ रखें।
दोनों पक्षों को $(x+3)$ से गुणा करने पर:
$y(x+3) = x-2$
$xy + 3y = x - 2$
$x$ के लिए हल करने पर:
$xy - x = -3y - 2$
$x(y-1) = -(3y + 2)$
$x = \frac{3y+2}{1-y}$ प्राप्त होता है।
$x$ को परिभाषित होने के लिए हर (denominator) $1-y \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y \neq 1$।
अतः,फलन का परिसर $1$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं,जो $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$.
यह जाँचने के लिए कि फलन सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x} - 1} + \frac{-x}{2} + 1$.
पहले पद के अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$f(-x) = \frac{-x e^x}{1 - e^x} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x e^x}{e^x - 1} - \frac{x}{2} + 1$.
हम $\frac{x e^x}{e^x - 1}$ को $\frac{x(e^x - 1 + 1)}{e^x - 1} = x + \frac{x}{e^x - 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$f(-x) = x + \frac{x}{e^x - 1} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$.
चूँकि $f(-x) = f(x)$,इसलिए यह फलन एक सम फलन है।

(A) यदि $f$,$R$ से $R$ तक एक सम फलन है,तो $f(0)$ का मान $0$ होना चाहिए।
हम जानते हैं कि यदि फलन $f(x)$ सम है,तो $f(-x)=f(x)$ होता है।
यदि हम $f(x)=\cos x$ मान लें,तो $f(-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x)$।
अतः,$f(x)=\cos x$ एक सम फलन है।
हालाँकि,$f(0)=\cos 0=1 \neq 0$।
इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।
$(b)$ $f: R \rightarrow R$,$f(x)=x-[x]$।
हम जानते हैं कि $x=[x]+\{x\}$,जहाँ $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन है,इसलिए $f(x)=\{x\}$।
चूँकि $\{x\}$ एक आवर्ती फलन है,इसलिए $f(x)$ भी एक आवर्ती फलन है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।
$(c)$ यदि $f: R \rightarrow R$ एक विषम फलन है,तो $f(0)=0$ होता है।
विषम फलन के लिए $f(-x)=-f(x)$ होता है।
$x=0$ रखने पर,$f(0)=-f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2f(0)=0$,यानी $f(0)=0$।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।
$(d)$ समुच्चय $\{1,2,3,4,5,6\}$ से $\{1,2\}$ तक आच्छादक फलनों की संख्या $62$ है।
माना $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ और $B=\{1,2\}$,तो $n(A)=6$ और $n(B)=2$।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय से $n$ अवयवों वाले समुच्चय तक आच्छादक फलनों की संख्या $n^m - \binom{n}{1}(n-1)^m + \binom{n}{2}(n-2)^m - \dots$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n=2$ और $m=6$ के लिए,आच्छादक फलनों की संख्या $2^6 - \binom{2}{1}(1)^6 = 64 - 2 = 62$ है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(B) दिए गए फलन $f(x) = 2x + 1$ और $g(x) = x^2 - 2$ हैं।
संयुक्त फलन $(g \circ f)(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम परिभाषा $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ का उपयोग करते हैं।
$f(x)$ को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(f(x)) = g(2x + 1)$.
चूंकि $g(x) = x^2 - 2$,हम $x$ को $(2x + 1)$ से बदलते हैं:
$g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 2$.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करके वर्ग का विस्तार करने पर:
$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
अब,$2$ घटाने पर:
$4x^2 + 4x + 1 - 2 = 4x^2 + 4x - 1$.
अतः,$(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x - 1$.

(A) दिया गया है $f(x) = \min \{x - [x], -x - [-x]\}$ जहाँ $x \in (0, 1)$ है।
चूँकि $x \in (0, 1)$,इसलिए $[x] = 0$ होगा।
साथ ही,$x \in (0, 1)$ के लिए,$-x \in (-1, 0)$,इसलिए $[-x] = -1$ होगा।
इन मानों को फलन में रखने पर:
$f(x) = \min \{x - 0, -x - (-1)\} = \min \{x, 1 - x\}$ प्राप्त होता है।
अब,संयुक्त फलन $(f \circ f \circ f \circ f)(x)$ का मूल्यांकन करते हैं:
यदि $x \in (0, 1/2]$ है,तो $x \le 1 - x$,इसलिए $f(x) = x$ होगा।
अतः $f(f(x)) = f(x) = x$,और इसी प्रकार $(f \circ f \circ f \circ f)(x) = x$ प्राप्त होगा।
यदि $x \in (1/2, 1)$ है,तो $1 - x < x$,इसलिए $f(x) = 1 - x$ होगा।
अतः $f(f(x)) = f(1 - x) = \min \{1 - x, 1 - (1 - x)\} = \min \{1 - x, x\} = 1 - x$ होगा।
इस प्रकार,$(f \circ f)(x) = f(x)$ प्राप्त होता है।
परिणामस्वरूप,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x)$ होगा।

(A) दिया गया है कि $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$ है।
$g(f(x)) = g(\sin x + \cos x) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
$= \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 1$.
$= 1 + \sin 2x - 1 = \sin 2x$.
किसी फलन के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,उसे दिए गए प्रांत में एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) होना चाहिए।
फलन $h(x) = \sin 2x$ उस अंतराल में एकैकी है जहाँ उसका कोण $2x$,$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के बीच स्थित हो।
अतः,$-\frac{\pi}{2} \leq 2x \leq \frac{\pi}{2}$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फलन अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में व्युत्क्रमणीय है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^3$ और $g(x) = 3^x$.
हमें $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ को $x \neq 0$ के लिए हल करना है।
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3^x) = (3^x)^3 = 3^{3x}$.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^3) = 3^{x^3}$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $3^{3x} = 3^{x^3}$.
चूँकि आधार समान हैं,इसलिए घातों की तुलना करने पर: $3x = x^3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^3 - 3x = 0$.
$x$ को कॉमन लेने पर: $x(x^2 - 3) = 0$.
चूँकि $x \neq 0$,इसलिए हमें $x^2 - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - 3 = 0$ है।

(B) दिया गया है,$f(x) = [x]$ और $g(x) = |x|$।
हमें $(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
परिभाषा के अनुसार,$(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = g\left(f\left(\frac{-5}{3}\right)\right)$।
सबसे पहले,$f\left(\frac{-5}{3}\right) = \left[\frac{-5}{3}\right]$ की गणना करते हैं।
चूंकि $\frac{-5}{3} = -1.666...$,इसलिए $-1.666...$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $-2$ है।
अतः,$f\left(\frac{-5}{3}\right) = -2$।
अब,इस मान को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = g(-2) = |-2|$।
$-2$ का मापांक $2$ होता है,इसलिए $(g \circ f)\left(\frac{-5}{3}\right) = 2$।

(B) दिया गया है,$f(x)=x^2$ और $g(x)=\frac{1}{x^2}$।
हमें $x^4(f \circ g)(x)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $(f \circ g)(x)$ की गणना करते हैं:
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = \frac{1}{x^4}$।
अब,इसे $x^4$ से गुणा करते हैं:
$x^4(f \circ g)(x) = x^4 \times \frac{1}{x^4} = 1$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $g(x) = 1 + x - [x]$.
चूँकि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन है,इसलिए $g(x) = 1 + \{x\}$ है।
हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ का परिसर $[0, 1)$ होता है।
अतः,$g(x) = 1 + \{x\} \in [1, 2)$ है।
अब,हम $f(g(x))$ का मान ज्ञात करते हैं। चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $g(x) \geq 1$ है,और $f(x)$ की परिभाषा के अनुसार $x > 0$ के लिए $f(x) = 5$ है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(g(x)) = 5$ होगा।

(A) दिया गया है $f(x) = \cos(\tan^{-1}(\sin(\tan^{-1} x)))$।
$\tan^{-1} x = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ का उपयोग करने पर,$\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः ${f(x) = \cos(\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}))$ होगा।
$\tan^{-1} \theta = \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \cos(\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{x^2}{1+x^2}}}) = \sqrt{\frac{1+x^2}{1+2x^2}}$ प्राप्त होता है।
अब,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \sqrt{\frac{1+(f(x))^2}{1+2(f(x))^2}}$।
$f(x)^2 = \frac{1+x^2}{1+2x^2}$ रखने पर,$(f \circ f)(x) = \sqrt{\frac{1+\frac{1+x^2}{1+2x^2}}{1+2(\frac{1+x^2}{1+2x^2})}} = \sqrt{\frac{2+3x^2}{3+4x^2}}$।
जब $x \rightarrow \infty$,तब $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2+3x^2}{3+4x^2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$।

(C) दिया गया है $f(x) = \max \{x+1, 1-x, 2\}$.
हम फलन को अंतरालों में विभाजित करके विश्लेषण कर सकते हैं:
$x < -1$ के लिए,$x+1 < 0$ और $1-x > 2$,इसलिए $f(x) = 1-x$ है।
$-1 \leq x \leq 1$ के लिए,$x+1 \geq 0$,$1-x \geq 0$,और इनका तथा $2$ का अधिकतम मान $2$ है (क्योंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $x+1 \leq 2$ और $1-x \leq 2$ होता है)।
$x > 1$ के लिए,$x+1 > 2$ और $1-x < 0$,इसलिए $f(x) = x+1$ है।
अतः,$f(x) = \begin{cases} 1-x, & x < -1 \\ 2, & -1 \leq x \leq 1 \\ x+1, & x > 1 \end{cases}$ है।
चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f(x) = 2$ है,इसलिए फलन एकैकी (one-one) नहीं है (बहु-एक है)।
चूंकि $f(x)$ का परिसर $[2, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) $3 \times 3$ क्रम का एक अदिश आव्यूह $M$ इस रूप में होता है: $M = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \end{bmatrix}$ जहाँ $m \in R$ है।
$M$ का सारणिक $\operatorname{det}(M) = m^3$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,फलन $f: A \rightarrow R$ को $f(M) = m^3$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $f(m) = m^3$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,किसी भी $m_1, m_2 \in R$ के लिए,$f(m_1) = f(m_2) \implies m_1^3 = m_2^3 \implies m_1 = m_2$। इसलिए,$f$ एकैकी (injective) है।
किसी भी वास्तविक संख्या $y \in R$ के लिए,एक वास्तविक संख्या $m = \sqrt[3]{y}$ मौजूद है ताकि $f(m) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$ हो। अतः,$f$ का परिसर $R$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है। इसलिए,$f$ आच्छादक (surjective) है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह बाइजेक्टिव (bijective) है।

(B) दिया गया है,$f(x) = x^{9} - 11 x^{8} - 2 x^{7} + 22 x^{6} + x^{4} - 12 x^{3} + 11 x^{2} + x - 3$.
$f(11)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 11$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(11) = 11^{9} - 11(11)^{8} - 2(11)^{7} + 22(11)^{6} + 11^{4} - 12(11)^{3} + 11(11)^{2} + 11 - 3$.
पदों का अवलोकन करने पर:
$11^{9} - 11(11)^{8} = 11^{9} - 11^{9} = 0$.
$-2(11)^{7} + 22(11)^{6} = -2(11)^{7} + 2(11)(11)^{6} = -2(11)^{7} + 2(11)^{7} = 0$.
$11^{4} - 12(11)^{3} + 11(11)^{2} = 11^{4} - 12(11)^{3} + 11^{3} = 11^{4} - 11(11)^{3} = 11^{4} - 11^{4} = 0$.
अतः,व्यंजक का सरलीकरण:
$f(11) = 0 + 0 + 0 + 11 - 3 = 8$.

(C) फलन $f(x) = (x + 2)^2 - 2$ का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,जहाँ $x \geq -2$ है,हम $y = f(x)$ रखते हैं।
$y = (x + 2)^2 - 2$
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर:
$y + 2 = (x + 2)^2$
चूँकि $x \geq -2$ है,इसलिए $x + 2 \geq 0$ होगा। दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{y + 2} = x + 2$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$x = \sqrt{y + 2} - 2$
परिभाषा के अनुसार,$f^{-1}(y) = \sqrt{y + 2} - 2$ है। $y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 2} - 2$

(C) दिया गया है,$f(x) = ax + b$ और $g(x) = cx^3 + d$।
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$।
$(f \circ g)(x) = a(cx^3 + d) + b = acx^3 + ad + b$।
माना $y = (f \circ g)(x) = acx^3 + ad + b$।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,$y$ के पदों में $x$ का मान निकालें:
$y - ad - b = acx^3$।
$x^3 = \frac{y - ad - b}{ac}$।
$x = \left( \frac{y - ad - b}{ac} \right)^{\frac{1}{3}}$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(f \circ g)^{-1}(x) = \left( \frac{x - ad - b}{ac} \right)^{\frac{1}{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$ है।
अंश और हर को $10^x$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{10^{2x} - 1}{10^{2x} + 1}$
अब,$y$ के पदों में $x$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(10^{2x} + 1) = 10^{2x} - 1$
$y \cdot 10^{2x} + y = 10^{2x} - 1$
$1 + y = 10^{2x} - y \cdot 10^{2x}$
$1 + y = 10^{2x}(1 - y)$
$10^{2x} = \frac{1 + y}{1 - y}$
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$2x = \log_{10} \left( \frac{1 + y}{1 - y} \right)$
$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1 + y}{1 - y} \right)$
प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ प्राप्त करने के लिए $y$ को $x$ से बदलने पर:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$

(C) दिया गया है,$f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}, (a > 2) . . . . (i)$
हमें $f(x + y) + f(x - y)$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x + y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2}$
$f(x - y) = \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
अब,$f(x + y) + f(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-x-y}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-x+y}}{2}$
$= \frac{a^x \cdot a^y + a^{-x} \cdot a^{-y} + a^x \cdot a^{-y} + a^{-x} \cdot a^y}{2}$
$= \frac{a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})}{2}$
$= \frac{(a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})}{2}$
$= 2 \cdot \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \cdot \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$
$= 2 \cdot f(x) \cdot f(y)$

(C) दिया गया है,$f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.
हम देखते हैं कि $f(1 - x) = \frac{4^{1 - x}}{4^{1 - x} + 2} = \frac{4/4^x}{4/4^x + 2} = \frac{4}{4 + 2 \cdot 4^x} = \frac{2}{2 + 4^x}$.
साथ ही,$f(x) + f(1 - x) = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{2}{4^x + 2} = \frac{4^x + 2}{4^x + 2} = 1$.
इसलिए,$f(1 - x) = 1 - f(x)$.
हमें $S = f(\frac{1}{4}) + 2 f(\frac{1}{2}) + f(\frac{3}{4})$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $f(\frac{1}{4}) + f(1 - \frac{1}{4}) = f(\frac{1}{4}) + f(\frac{3}{4}) = 1$,हम $f(\frac{3}{4}) = 1 - f(\frac{1}{4})$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$S = f(\frac{1}{4}) + 2 f(\frac{1}{2}) + (1 - f(\frac{1}{4})) = 1 + 2 f(\frac{1}{2})$.
अब,$f(\frac{1}{2}) = \frac{4^{1/2}}{4^{1/2} + 2} = \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ की गणना करें।
इस मान को रखने पर,$S = 1 + 2(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$.

(A) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ फलन $f(x+y)=f(x)+f(y)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $\forall x, y \in R$ और $f(1)=5$ है।
चूँकि $f(x+y)=f(x)+f(y)$,इसलिए किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $f(n)=n \cdot f(1)$ होता है।
$f(1)=5$ दिया गया है,अतः $f(n)=5n$ प्राप्त होता है।
हमें $\sum_{r=1}^n f(r) = \sum_{r=1}^n 5r$ का योग ज्ञात करना है।
यह $5 \sum_{r=1}^n r$ के बराबर है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
अतः,$\sum_{r=1}^n f(r) = 5 \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{5n(n+1)}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण $3 f(x)-2 f\left(\frac{1}{x}\right)=x$ है ...$(i)$
समीकरण $(i)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$3 f\left(\frac{1}{x}\right)-2 f(x)=\frac{1}{x}$ ...(ii)
$f\left(\frac{1}{x}\right)$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $3$ से और समीकरण (ii) को $2$ से गुणा करने पर:
$9 f(x)-6 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$ ...(iii)
$-4 f(x)+6 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{2}{x}$ ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर:
$5 f(x)=3 x+\frac{2}{x}$
$f(x)=\frac{3 x}{5}+\frac{2}{5 x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x)=\frac{3}{5}-\frac{2}{5 x^2}$
अब,$x=2$ रखने पर:
$f^{\prime}(2)=\frac{3}{5}-\frac{2}{5(2)^2} = \frac{3}{5}-\frac{2}{20} = \frac{3}{5}-\frac{1}{10}$
$f^{\prime}(2)=\frac{6-1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

(B) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
शर्त के अनुसार,जब भी $m + n = 7$ हो,तब $f(m) + f(n) = 7$ है।
$m + n = 7$ के लिए युग्म $(m, n)$ इस प्रकार हैं: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$।
इससे निम्नलिखित प्रतिबंध प्राप्त होते हैं:
$f(1) + f(6) = 7$
$f(2) + f(5) = 7$
$f(3) + f(4) = 7$
प्रत्येक युग्म,जैसे $(f(1), f(6))$,के लिए $f(1)$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
प्रत्येक युग्म $(f(1), f(6)), (f(2), f(5)),$ और $(f(3), f(4))$ के लिए $6$ विकल्प उपलब्ध हैं।
अतः,कुल फलनों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$ है।

(D) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} \frac{72^x - 9^x - 8^x + 1}{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x}}, & x \neq 0 \\ k \log 2 \log 3, & x = 0 \end{cases}$
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर संतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होगा।
$\lim_{x \to 0} \frac{72^x - 9^x - 8^x + 1}{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x}} = k \log 2 \log 3$
$\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2} - \sqrt{2 \cos^2(x/2)}} = k \log 2 \log 3$
$\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2}(1 - \cos(x/2))} = k \log 2 \log 3$
$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2} \cdot 2 \sin^2(x/4)} = k \log 2 \log 3$
$\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)}{x} \cdot \frac{(8^x - 1)}{x} \cdot \frac{x^2}{2\sqrt{2} \sin^2(x/4)} = k \log 2 \log 3$
$\log 9 \cdot \log 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2} \cdot (1/4)^2} = k \log 2 \log 3$
$(2 \log 3) \cdot (3 \log 2) \cdot \frac{16}{2\sqrt{2}} = k \log 2 \log 3$
$6 \log 3 \log 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{2}} = k \log 2 \log 3$
$6 \cdot 4\sqrt{2} = k$
$k = 24\sqrt{2}$.

(D) चूँकि $f(x)$ अंतराल $[0, \pi]$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{4})$.
$\frac{\pi}{4} + a\sqrt{2}(\sin \frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})(\cot \frac{\pi}{4}) + b$
$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \Rightarrow a - b = \frac{\pi}{4} \dots (I)$.
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$.
$2(\frac{\pi}{2})(\cot \frac{\pi}{2}) + b = a(\cos \pi) - b(\sin \frac{\pi}{2})$.
चूँकि $\cot \frac{\pi}{2} = 0$,इसलिए $b = -a - b \Rightarrow a = -2b \dots (II)$.
समीकरण $(II)$ को $(I)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-2b - b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow -3b = \frac{\pi}{4} \Rightarrow b = -\frac{\pi}{12}$.
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha x} - e^{x} - x}{x^{2}} = \frac{3}{2}$.
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम $L$'Hospital नियम लागू करते हैं:
$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha e^{\alpha x} - e^{x} - 1}{2x} = \frac{3}{2}$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x = 0$ पर अंश का मान $0$ होना चाहिए:
$\alpha e^{0} - e^{0} - 1 = 0 \implies \alpha - 1 - 1 = 0 \implies \alpha = 2$.
$\alpha = 2$ के साथ $L$'Hospital नियम का पुनः उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} - e^{x} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} - e^{x}}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$.
अतः,$\alpha$ का मान $2$ है।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 8$ होना चाहिए।
सीमा का मूल्यांकन करने पर: $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^4}{\sin(\frac{x^2}{k^2}) \log(1 + \frac{x^2}{2})} = 8$।
अंश और हर को $x^4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^4}{\frac{\sin(\frac{x^2}{k^2})}{x^2} \cdot \frac{\log(1 + \frac{x^2}{2})}{x^2}} = 8$।
मानक सीमाओं $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$,$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$,और $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^4}{\frac{\sin(\frac{x^2}{k^2})}{\frac{x^2}{k^2}} \cdot \frac{1}{k^2} \cdot \frac{\log(1 + \frac{x^2}{2})}{\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{2}} = 8$।
सीमाओं का मान रखने पर: $\frac{1^4}{1 \cdot \frac{1}{k^2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}} = 8$।
$\frac{1}{\frac{1}{2k^2}} = 2k^2 = 8$।
$k^2 = 4$,जिससे $k = 2$ प्राप्त होता है (चूंकि $k > 0$)।

(A) चूंकि $f(x)$ अंतराल $[0, 8]$ पर सतत है,इसलिए यह $x = 2$ और $x = 4$ पर भी सतत होगा।
$x = 2$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
$\lim_{x \to 2^-} (x^2 + ax + b) = 3(2) + 2$
$4 + 2a + b = 8$
$2a + b = 4 \quad \dots (i)$
$x = 4$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)$
$3(4) + 2 = 2a(4) + 5b$
$14 = 8a + 5b \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $4$ से गुणा करने पर,हमें $8a + 4b = 16 \quad \dots (iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ में से $(iii)$ को घटाने पर:
$(8a + 5b) - (8a + 4b) = 14 - 16$
$b = -2$
$b = -2$ को $(i)$ में रखने पर:
$2a - 2 = 4$
$2a = 6 \implies a = 3$
अतः,$a = 3$ और $b = -2$।

(D) $f(x)$ को $[0, 8]$ पर सतत होने के लिए,इसे $x = 2$ और $x = 4$ बिंदुओं पर सतत होना चाहिए।
$x = 2$ पर:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
$2^2 + a(2) + b = 3(2) + 2$
$4 + 2a + b = 8 \Rightarrow 2a + b = 4$ --- $(i)$
$x = 4$ पर:
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)$
$3(4) + 2 = 2a(4) + 5b$
$14 = 8a + 5b$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $a = 3$ और $b = -2$ प्राप्त होता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,$a = 11$ और $b = -18$ विकल्प $D$ में दिया गया है।

(A) $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{\log_e(1 + x^2 \tan x)}{\sin x^3}$।
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\log_e(1 + u)}{u} = 1$ और $\lim_{v \to 0} \frac{\sin v}{v} = 1$ का उपयोग करते हुए,हम सीमा को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log_e(1 + x^2 \tan x)}{x^2 \tan x} \times \frac{x^2 \tan x}{\sin x^3} \right)$।
चूंकि $\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + x^2 \tan x)}{x^2 \tan x} = 1$,इसलिए:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \tan x}{\sin x^3}$।
जब $x \to 0$ हो,तब $\tan x \approx x$ और $\sin x^3 \approx x^3$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^3} = 1$।
अतः,$f(0) = 1$।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ पर $R$ सतत है,इसलिए यह $x=0$ और $x=3$ पर भी सतत होगा।
$x=0$ पर सांतत्य के लिए:
$f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x)$.
$f(0) = \sin(0) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} (x^2+a) = 0^2+a = a$.
$\lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$.
अतः,$a = 0$.
$x=3$ पर सांतत्य के लिए:
$f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^-} f(x)$.
$f(3) = b(3)+3 = 3b+3$.
$\lim_{x \to 3^+} (-3) = -3$.
$\lim_{x \to 3^-} (bx+3) = 3b+3$.
इसलिए,$3b+3 = -3 \implies 3b = -6 \implies b = -2$.
अतः,$a+b = 0 + (-2) = -2$.

(B) दिया गया है कि,$f(x) = \begin{cases} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$ हर जगह सतत है।
चूँकि $f(x)$ हर जगह सतत है,इसलिए यह $x=0$ पर भी सतत होगा।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1} = k$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए $L^{\prime}$ Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(2^x-1)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x}-1)} = k$.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \log_e 2}{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}} = k$.
$x=0$ रखने पर: $\frac{2^0 \log_e 2}{\frac{1}{2\sqrt{1+0}}} = k$.
$\frac{1 \cdot \log_e 2}{\frac{1}{2}} = k$.
$2 \log_e 2 = k$.
$n \log a = \log a^n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$k = \log_e 2^2 = \log_e 4$ प्राप्त होता है।