AP EAMCET 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $7$ સફેદ દડા અને $3$ કાળા દડાને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $\binom{10}{3} = \frac{10!}{7!3!} = 120$ છે.
કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા $7$ સફેદ દડાને ગોઠવીએ છીએ. આનાથી $8$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે જ્યાં $3$ કાળા દડા મૂકી શકાય છે.
$8$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{3} = 56$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,જો $k$ એકી સંખ્યા હોય તો પદાવલિ $x^k + y^k$ એ $x+y$ વડે વિભાજ્ય છે.
અહીં $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$2n-1$ હંમેશા એકી સંખ્યા જ રહેશે.
તેથી,$a^{2n-1} + b^{2n-1}$ એ $a+b$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) આપેલ છે,$\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$
બંને બાજુ $(x-1)(x-2)(x-3)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x^2+x+1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$
$A$ શોધવા માટે,$x=1$ મૂકતા:
$1^2+1+1 = A(1-2)(1-3) \Rightarrow 3 = A(-1)(-2) \Rightarrow 3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$
$C$ શોધવા માટે,$x=3$ મૂકતા:
$3^2+3+1 = C(3-1)(3-2) \Rightarrow 13 = C(2)(1) \Rightarrow 13 = 2C \Rightarrow C = \frac{13}{2}$
તેથી,$A+C = \frac{3}{2} + \frac{13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

(D) આપેલ છે કે $\tan A$ અને $\tan B$ એ સમીકરણ $x^2-px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\tan A + \tan B = p$
$\tan A \tan B = q$
$\tan(A+B)$ માટેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{p}{1-q}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
$\tan(A+B) = \frac{p}{1-q}$ મૂકતા:
$\sin^2(A+B) = \frac{(\frac{p}{1-q})^2}{1 + (\frac{p}{1-q})^2} = \frac{p^2}{p^2+(1-q)^2}$

(B) આપેલ છે,${ }^{15} P_8 = A + 8 \cdot { }^{14} P_7$
$\Rightarrow \frac{15!}{7!} = A + 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{15!}{7!} - 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{15 \cdot 14!}{7!} - \frac{8 \cdot 14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{7!} (15 - 8)$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{7!} \cdot 7$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{6!} = { }^{14} P_8$

(B) પાંચ અંકની સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેનો એકમનો અંક $0$ અથવા $5$ હોય.
કિસ્સો $I$: જ્યારે એકમના સ્થાને $0$ હોય,ત્યારે બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5)$ વડે $^5P_4 = 120$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $II$: જ્યારે એકમના સ્થાને $5$ હોય,ત્યારે પ્રથમ સ્થાન (દસ હજારનું સ્થાન) $0$ હોઈ શકે નહીં. તેથી,પ્રથમ સ્થાન $4$ અંકો $(1, 2, 3, 4)$ માંથી કોઈ પણ એક વડે ભરી શકાય. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો ($0$ સહિત) વડે $^4P_3$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $II$ માટે કુલ રીતો $= 4 \times ^4P_3 = 4 \times 24 = 96$.
કુલ સંખ્યા $= 120 + 96 = 216$.

(B) દરેક જોડીમાં એક સફેદ અને એક કાળો દડો હોય તેવી રીતે $n$ જોડીઓ કાઢવાની કુલ રીતો એ દરેક ક્રમિક પસંદગી માટેની રીતોનો ગુણાકાર છે.
પ્રથમ પસંદગી માટે,$n$ સફેદ અને $n$ કાળા દડા છે. એક સફેદ અને એક કાળો દડો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^2$ છે.
બીજી પસંદગી માટે,$(n-1)$ સફેદ અને $(n-1)$ કાળા દડા બાકી રહે છે. રીતોની સંખ્યા $(n-1)^2$ છે.
આ રીતે છેલ્લી જોડી સુધી,કુલ રીતો $(n \times (n-1) \times \dots \times 1)^2 = (n!)^2$ થશે.
આપેલ છે કે $(n!)^2 = 14400$,તેથી $n! = \sqrt{14400} = 120$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $5! = 120$,તેથી $n = 5$.

(D) આપેલ છે,${ }^{n-1} C_3+{ }^{n-1} C_4>{ }^n C_3$
નિત્યસમ ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
${ }^n C_4>{ }^n C_3$
સંયોજનોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n-3 > 4$
$n > 7$
$n$ એ $7$ કરતા મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $8$ છે.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$.
આપણે તેને $f(x) = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \sin^2 x$ અને $b = \cos^2 x$ છે:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી:
$f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x$.
પદમાં $2 \sin^2 x \cos^2 x$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$f(x) = 1 - \frac{3}{4}(4 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - \frac{3}{4}(\sin 2x)^2$.
કારણ કે $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,તેથી:
$1 - \frac{3}{4}(1) \leq f(x) \leq 1 - \frac{3}{4}(0)$.
$\frac{1}{4} \leq f(x) \leq 1$.
આમ,$f(x) \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $32 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) = 16 \left[ 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) \right]$
સૂત્ર $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 16 \left[ \cos\left(\frac{5A}{2} - \frac{A}{2}\right) - \cos\left(\frac{5A}{2} + \frac{A}{2}\right) \right]$
$= 16 [ \cos(2A) - \cos(3A) ]$
$\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1$ અને $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 16 [ (2 \cos^2 A - 1) - (4 \cos^3 A - 3 \cos A) ]$
$\cos A = \frac{3}{4}$ મૂકતા:
$= 16 \left[ 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 - 4\left(\frac{3}{4}\right)^3 + 3\left(\frac{3}{4}\right) \right]$
$= 16 \left[ \frac{9}{8} - 1 - \frac{27}{16} + \frac{9}{4} \right]$
$= 16 \left[ \frac{18 - 16 - 27 + 36}{16} \right] = 11$

(B) આપેલ ત્રિકોણમિતીય સમીકરણો $\tan \theta = -1$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$\tan \theta$ ઋણ છે અને $\cos \theta$ ધન છે,તેથી $\theta$ ચોથા ચરણમાં હોવો જોઈએ.
$\tan \theta = -1$ માટેનો સામાન્ય ઉકેલ $\theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ છે.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટેનો સામાન્ય ઉકેલ $\theta = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ છે.
બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતો ખૂણો ચોથા ચરણમાં $\theta = \frac{7 \pi}{4}$ છે.
તેથી,સામાન્ય ઉકેલ $\theta = 2 n \pi + \frac{7 \pi}{4}$ છે.

(C) ચતુષ્કોણ $x = 0$ ($y$-અક્ષ),$y = 0$ ($x$-અક્ષ),$2x + y = 2$ અને $x + y = 5$ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
બિંદુ $(x, y)$ ચતુષ્કોણની અંદર હોય અને તેના યામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(x, y \in \{1, 2, 3, \dots\})$ હોય,તો તે નીચેની અસમતાઓનું પાલન કરવું જોઈએ:
$1) \ x > 0$
$2) \ y > 0$
$3) \ 2x + y > 2$
$4) \ x + y < 5$
$x$ ની પૂર્ણાંક કિંમતો માટે ચકાસણી:
જો $x = 1$: $2(1) + y > 2 \implies 2 + y > 2 \implies y > 0$. તેમજ $1 + y < 5 \implies y < 4$. તેથી $y \in \{1, 2, 3\}$. બિંદુઓ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$.
જો $x = 2$: $2(2) + y > 2 \implies 4 + y > 2 \implies y > -2$. તેમજ $2 + y < 5 \implies y < 3$. તેથી $y \in \{1, 2\}$. બિંદુઓ: $(2, 1), (2, 2)$.
જો $x = 3$: $2(3) + y > 2 \implies 6 + y > 2 \implies y > -4$. તેમજ $3 + y < 5 \implies y < 2$. તેથી $y = 1$. બિંદુ: $(3, 1)$.
જો $x \ge 4$: પ્રાકૃતિક સંખ્યા $y \ge 1$ માટે $x + y < 5$ શક્ય નથી.
આવા કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $3 + 2 + 1 = 6$ છે.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1) = (2, 0)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2) = (3, 1)$ છે.
$AB$ ની લંબાઈ $r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
$AB$ ધન $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{1-0}{3-2} = 1$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
જ્યારે રેખાને $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $45^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta'$ એ $\theta + 45^{\circ} = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે $B$ ના નવા યામ $(x', y')$ છે.
પરિભ્રમણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x' = x_1 + r \cos \theta'$ અને $y' = y_1 + r \sin \theta'$.
$x' = 2 + \sqrt{2} \cos 90^{\circ} = 2 + \sqrt{2}(0) = 2$.
$y' = 0 + \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = 0 + \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
આમ,નવા યામ $(2, \sqrt{2})$ છે.

(C) રેખા $x+3y=7$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x-y+\lambda=0$ સ્વરૂપનું છે.
આ રેખા બિંદુ $(3,8)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી:
$3(3) - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow 9 - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x-y-1=0$ છે.
લંબપાદ એ $x+3y=7$ અને $3x-y-1=0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x=1$ અને $y=2$ મળે છે.
ધારો કે બિંદુ $(3,8)$ નું પ્રતિબિંબ $(x_1, y_1)$ છે. $(1,2)$ એ $(3,8)$ અને $(x_1, y_1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{3+x_1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$
$\frac{8+y_1}{2} = 2 \Rightarrow y_1 = -4$
તેથી,પ્રતિબિંબ $(-1, -4)$ છે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે. સમસ્યા મુજબ,$P$ થી $F_1(0, 2)$ અને $F_2(0, -2)$ સુધીના અંતરનો સરવાળો $6$ છે.
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} = 6$
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 6 - \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 36 + x^2 + y^2 + 4y + 4 - 12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$-8y - 36 = -12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$2y + 9 = 3\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$4y^2 + 36y + 81 = 9(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$4y^2 + 36y + 81 = 9x^2 + 9y^2 + 36y + 36$
$9x^2 + 5y^2 = 45$

(D) $(3+7x)^{29}$ ના વિસ્તરણમાં $r$-મું પદ $T_r = {}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7x)^{r-1}$ છે. તેનો સહગુણક ${}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7)^{r-1}$ છે.
$(r+1)$-મું પદ $T_{r+1} = {}^{29}C_r (3)^{29-r} (7x)^r$ છે. તેનો સહગુણક ${}^{29}C_r (3)^{29-r} (7)^r$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
${}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7)^{r-1} = {}^{29}C_r (3)^{29-r} (7)^r$
બંને બાજુ ${}^{29}C_{r-1} (3)^{29-r} (7)^{r-1}$ વડે ભાગતા:
$3 = {}^{29}C_r / {}^{29}C_{r-1} \times 7$
સૂત્ર ${}^nC_r / {}^nC_{r-1} = (n-r+1)/r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 = \frac{29-r+1}{r} \times 7$
$3r = 7(30-r)$
$3r = 210 - 7r$
$10r = 210$
$r = 21$

(A) આપણી પાસે શ્રેણી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ છે.
અંશને $(2n+1) - 1$ તરીકે લખતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right)$.
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \right) + \dots$
$e^x$ ના ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણ મુજબ $x = -1$ માટે:
$e^{-1} = \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots$
આમ,સરવાળો $e^{-1} = 1/e$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે,$P(A)=0.5, P(B)=0.4$ અને $P(A \cup B)=0.6$.
$(i) \ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.6 = 0.3$. તેથી,$(i)-(3)$.
$(ii) \ P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$. તેથી,$(ii)-(2)$.
$(iii) \ P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$. તેથી,$(iii)-(4)$.
$(iv) \ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.6 = 0.4$. તેથી,$(iv)-(1)$.
આમ,સાચી જોડ $(i)-(3), (ii)-(2), (iii)-(4), (iv)-(1)$ છે.

(A) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. તેથી $\alpha^3 + a\alpha + 1 = 0$ અને $\alpha^4 + a\alpha^2 + 1 = 0$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a\alpha = -\alpha^3 - 1$.
પ્રથમ સમીકરણને $\alpha$ વડે ગુણતા: $\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha = 0$.
બીજા સમીકરણમાંથી આને બાદ કરતા: $(\alpha^4 + a\alpha^2 + 1) - (\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha) = 0$.
આનાથી $1 - \alpha = 0$ મળે છે,તેથી $\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $1^3 + a(1) + 1 = 0$.
$1 + a + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = -2$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $y = ax^2 + bx + c$ છે.
અહીં $a > 0$ હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ સૂચવે છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ છે.
આનો અર્થ એ છે કે વક્ર $x$-અક્ષને માત્ર એક બિંદુએ સ્પર્શે છે.
$a > 0$ હોવાથી,પરવલયનું શિરોબિંદુ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પર છે,જે $x$-અક્ષ પર $0$ છે,અને બાકીનો વક્ર $x$-અક્ષની ઉપર રહે છે.
તેથી,વક્ર $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે અને તેની ઉપર રહે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+i)^2 = 2i$ અને $(1-i)^2 = -2i$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{(1+i)^{2011}}{(1-i)^{2009}} = \frac{(1+i)^{2009} \cdot (1+i)^2}{(1-i)^{2009}}$.
$E = \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2009} \cdot (1+i)^2$.
$\frac{1+i}{1-i}$ ને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{2i}{2} = i$.
કિંમત મૂકતા: $E = (i)^{2009} \cdot (2i) = 2 \cdot i^{2010}$.
$i^4 = 1$ હોવાથી,$i^{2010} = (i^4)^{502} \cdot i^2 = 1^{502} \cdot (-1) = -1$.
તેથી,$E = 2 \cdot (-1) = -2$.

(B) આપેલ છે,$z = a - \frac{i}{2}$.
આપણે $|i + z|^2 - |i - z|^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$z$ ની કિંમત પદોમાં મૂકતા:
$i + z = i + a - \frac{i}{2} = a + \frac{i}{2}$.
$i - z = i - (a - \frac{i}{2}) = -a + \frac{3i}{2}$.
હવે,માનાંકના વર્ગની ગણતરી કરતા:
$|i + z|^2 = |a + \frac{i}{2}|^2 = a^2 + (\frac{1}{2})^2 = a^2 + \frac{1}{4}$.
$|i - z|^2 = |-a + \frac{3i}{2}|^2 = (-a)^2 + (\frac{3}{2})^2 = a^2 + \frac{9}{4}$.
અંતે,બંનેની બાદબાકી કરતા:
$|i + z|^2 - |i - z|^2 = (a^2 + \frac{1}{4}) - (a^2 + \frac{9}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{8}{4} = -2$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે $\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
ગુણધર્મ $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\arg(z-2) - \arg(z+2) = \frac{\pi}{3}$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$\arg((x-2) + iy) - \arg((x+2) + iy) = \frac{\pi}{3}$.
$\arg(x+iy) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x+2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left[\frac{\frac{y}{x-2} - \frac{y}{x+2}}{1 + \frac{y}{x-2} \cdot \frac{y}{x+2}}\right] = \frac{\pi}{3}$.
$\frac{4y}{x^2 + y^2 - 4} = \sqrt{3}$.
$x^2 + y^2 - \frac{4}{\sqrt{3}}y - 4 = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(D) $(a+bx)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} a^{n-k} (bx)^k$ છે.
$(3+7x)^{29}$ ના વિસ્તરણ માટે,$r$ મું પદ $T_r = {^{29}C_{r-1}} (3)^{29-(r-1)} (7x)^{r-1}$ છે.
$r$ માં પદનો સહગુણક ${^{29}C_{r-1}} (3)^{30-r} (7)^{r-1}$ છે.
$(r+1)$ મું પદ $T_{r+1} = {^{29}C_r} (3)^{29-r} (7x)^r$ છે.
$(r+1)$ માં પદનો સહગુણક ${^{29}C_r} (3)^{29-r} (7)^r$ છે.
આપેલ છે કે આ સહગુણકો સમાન છે:
${^{29}C_{r-1}} (3)^{30-r} (7)^{r-1} = {^{29}C_r} (3)^{29-r} (7)^r$
બંને બાજુને ${^{29}C_{r-1}} (3)^{29-r} (7)^{r-1}$ વડે ભાગતા:
$3 = {^{29}C_r} / {^{29}C_{r-1}} \times 7$
$3/7 = {^{29}C_r} / {^{29}C_{r-1}}$
ગુણધર્મ ${^nC_r} / {^nC_{r-1}} = (n-r+1)/r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3/7 = (29-r+1) / r$
$3/7 = (30-r) / r$
$3r = 7(30-r)$
$3r = 210 - 7r$
$10r = 210$
$r = 21$

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $3x^2 - 2xy - 15y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3$,$2h = -2$ (તેથી $h = -1$),અને $b = -15$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $s = m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2(-1)}{-15} = -\frac{2}{15}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $p = m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{3}{-15} = -\frac{3}{15}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $s:p = \left(-\frac{2}{15}\right) : \left(-\frac{3}{15}\right) = 2:3$ થાય.

(B) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સમાંતર રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $h^2=ab$ અને $bg^2=af^2$ હોય.
શરત $bg^2=af^2$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $\frac{g^2}{f^2}=\frac{a}{b}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{g^2-ac}{f^2-bc} = \frac{a}{b}$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{g^2-ac}{f^2-bc}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

(C) સીધી રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો એક રેખા યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તો તેનું સમીકરણ $y=x$ અથવા $y=-x$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે રેખા $y^2=x^2$ અથવા $x^2-y^2=0$ ના સમીકરણનું પાલન કરે છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ ની એક રેખા $y=mx$ હોય તેની શરત $am^2+2hm+b=0$ છે.
$y=x$ માટે,$m=1$,તેથી $a+2h+b=0$. $y=-x$ માટે,$m=-1$,તેથી $a-2h+b=0$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $(a+b)^2 = (2h)^2 = 4h^2$ મળે છે.
$4x^2+6xy+ky^2=0$ આપેલ છે,તેથી $a=4, 2h=6 \Rightarrow h=3, b=k$.
$(a+b)^2=4h^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(4+k)^2 = 4(3)^2 = 36$.
$4+k = \pm 6$.
જો $4+k=6$,તો $k=2$.
જો $4+k=-6$,તો $k=-10$.
આમ,$k \in \{-10, 2\}$.

(D) આપેલ રેખા $y=2x+c$ છે,જેને $2x-y+c=0$ તરીકે લખી શકાય.
$y=mx+c_1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=2$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=5$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=\sqrt{5}$ છે.
રેખા $y=mx+c_1$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c_1^2 = r^2(1+m^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $c^2 = 5(1+2^2)$ મળે છે.
$c^2 = 5(1+4) = 5(5) = 25$.
તેથી,$c = \pm 5$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,$c$ ની કિંમત $5$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y - 14 = 0$ અને $6x + 8y + 7 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$3x + 4y + \frac{7}{2} = 0$.
આ રેખાઓ વર્તુળના સમાંતર સ્પર્શકો હોવાથી,વર્તુળનો વ્યાસ આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો થાય.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -14$,અને $c_2 = \frac{7}{2}$.
$d = \frac{|-14 - \frac{7}{2}|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-\frac{28}{2} - \frac{7}{2}|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-\frac{35}{2}|}{5} = \frac{35}{2 \times 5} = \frac{7}{2}$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ સમાંતર સ્પર્શકો વચ્ચેના અંતરથી અડધી હોય છે:
$r = \frac{d}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1 \equiv x^2+y^2+2x+2y+1=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-2x+2y+1=0$
વર્તુળ $S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1+1-1} = 1$ છે.
વર્તુળ $S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{1+1-1} = 1$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = 2$ છે.
અહીં $d = r_1 + r_2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે:
$\text{સ્પર્શબિંદુ} = \left(\frac{-1+1}{2}, \frac{-1-1}{2}\right) = (0, -1)$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+8x-4y+c=0$ માટે,તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (-4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 - c} = \sqrt{20-c}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x+4y-11=0$ માટે,તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - (-11)} = \sqrt{1+4+11} = 4$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$C_1C_2 = r_1 + r_2$.
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
તેથી,$5 = \sqrt{20-c} + 4$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{20-c} = 1$,તેથી $20-c = 1$,એટલે કે $c = 19$.
હવે,વર્તુળ $x^2+y^2+8x-4y+19=0$ એ $x^2+y^2-6x+8y+k=0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે.
લંબછેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = 4, f_1 = -2, c_1 = 19$ અને $g_2 = -3, f_2 = 4, c_2 = k$.
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$.
$-24 - 16 = 19 + k$.
$-40 = 19 + k$.
$k = -59$.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ છે.
$AM$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર છે અને તેની લંબાઈ $a$ છે,તેથી બિંદુ $M(x, y)$ ના યામ $(a \cos \theta + a, a \sin \theta)$ અથવા $(a \cos \theta - a, a \sin \theta)$ થશે.
કિસ્સો $1$: $x = a \cos \theta + a$ અને $y = a \sin \theta$.
તેથી $x - a = a \cos \theta$ અને $y = a \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$(x - a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta = a^2$.
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = 2ax$.
કિસ્સો $2$: $x = a \cos \theta - a$ અને $y = a \sin \theta$.
તેથી $x + a = a \cos \theta$ અને $y = a \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$(x + a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta = a^2$.
$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = -2ax$.
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = \pm 2ax$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી $x^2 + y^2 = 2ax$ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) પરવલય $y^2=lx$ ની અક્ષ $x$-અક્ષ છે,જેનું સમીકરણ $y=0$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m=0$ થશે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y=c$ બને છે.
આપેલ છે કે રેખા પરવલયને $\left(\frac{c^2}{8}, c\right)$ બિંદુમાં છેદે છે,તેથી આ બિંદુ પરવલયના સમીકરણ $y^2=lx$ નું સમાધાન કરશે.
સમીકરણ $y^2=lx$ માં $y=c$ અને $x=\frac{c^2}{8}$ મૂકતા:
$c^2 = l \left(\frac{c^2}{8}\right)$
$c \neq 0$ ધારીને,બંને બાજુ $c^2$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{l}{8}$
$l = 8$
પરવલય $y^2=lx$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $l$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે.

(C) ધારો કે $P(t^2, 2t)$ એ પરવલય $y^2=4x$ ની નાભિ જીવા $PQ$ નો એક અંત્યબિંદુ છે. બીજા અંત્યબિંદુ $Q$ ના યામ $(\frac{1}{t^2}, \frac{-2}{t})$ છે,કારણ કે $tt' = -1$.
આપેલ છે કે જીવા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી જીવાનો ઢાળ $\tan \theta$ છે.
$\tan \theta = \frac{\frac{-2}{t} - 2t}{\frac{1}{t^2} - t^2} = \frac{2t}{t^2-1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,નાભિ જીવાના ઢાળના સૂત્ર મુજબ: $\tan \theta = \frac{2}{t - \frac{1}{t}}$,તેથી $t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$.
નાભિ જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $a(t + \frac{1}{t})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a=1$.
$PQ = (t + \frac{1}{t})^2 = (t - \frac{1}{t})^2 + 4$.
$t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$ મૂકતા:
$PQ = (2 \cot \theta)^2 + 4 = 4 \cot^2 \theta + 4 = 4(1 + \cot^2 \theta) = 4 \operatorname{cosec}^2 \theta$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^2+4 y^2+2 x+16 y+13=0$
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2+2x+1) + 4(y^2+4y+4) + 13 - 1 - 16 = 0$
$(x+1)^2 + 4(y+2)^2 = 4$
$4$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{1} = 1$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$ મળે છે.
અહીં $a^2 > b^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $b^2 = a^2(1 - e^2)$ છે.
$1 = 4(1 - e^2)$
$1 - e^2 = \frac{1}{4}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2-3y^2=3$ છે. $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$ મળે છે.
અહીં,$a^2=3$ અને $b^2=1$,તેથી $a=\sqrt{3}$ અને $b=1$.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $y = \pm \frac{b}{a}x$ છે,જે $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ આપે છે.
ધારો કે ઢાળ $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})(-\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(C) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}-2}{x-8}$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}-2}{x-8} \times \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2}{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1+\sqrt{1+x}-4}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+x}-3}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)}$
હવે,બાકી રહેલા પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+x}-3}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)} \times \frac{\sqrt{1+x}+3}{\sqrt{1+x}+3}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1+x-9}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$x = 8$ મુકતા:
$= \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{9}}+2)(\sqrt{9}+3)}$
$= \frac{1}{(\sqrt{1+3}+2)(3+3)}$
$= \frac{1}{(2+2)(6)} = \frac{1}{4 \times 6} = \frac{1}{24}$

(A) આપણી પાસે શ્રેણી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ છે.
અંશને $(2n+1) - 1$ તરીકે લખતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right)$.
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \right) + \dots$
$e^x$ માટે ટેલર શ્રેણી $x=1$ પર: $e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
તેથી,સરવાળો $\frac{1}{e}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,અને $c = k \sin C$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{k \sin A} = \frac{\cos B}{k \sin B} = \frac{\cos C}{k \sin C}$
$\Rightarrow \cot A = \cot B = \cot C$
ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે,$A = B = C$ થાય.
તેથી,ત્રિકોણના બધા ખૂણા સમાન હોવાથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ છે: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ અને $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-a)}{bc} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
કારણ કે $2s = a + b + c$,તેથી $2s - a - c = b$ મળે:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2}$
$s = \frac{3b}{2}$
$2s = 3b$
$a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$
તેથી,$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક સાઇન વિધેયનું સૂત્ર $\sinh ^{-1}(y) = \log \left(y + \sqrt{1 + y^2}\right)$ છે.
આ સૂત્રમાં $y = \cot x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{1 + \cot ^2 x}\right)$
કારણ કે $1 + \cot ^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$,તેથી:
$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x}\right) = \log (\cot x + \operatorname{cosec} x)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ અને $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log \left(\frac{\cos x + 1}{\sin x}\right)$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log \left(\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right) = \log \left(\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right) = \log \left(\cot \frac{x}{2}\right)$.

(D) ધારો કે $y = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$.
$y(x^2+3x+4) = x^2-3x+4$
$yx^2 + 3yx + 4y = x^2 - 3x + 4$
$x^2(y-1) + x(3y+3) + (4y-4) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (3y+3)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$
$9(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$
$9(y^2+2y+1) - 16(y^2-2y+1) \geq 0$
$9y^2 + 18y + 9 - 16y^2 + 32y - 16 \geq 0$
$-7y^2 + 50y - 7 \geq 0$
$7y^2 - 50y + 7 \leq 0$
$(7y-1)(y-7) \leq 0$.
આમ,અંતરાલ $[\frac{1}{7}, 7]$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = 7 + \cos(5x + 3)$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $\cos(ax + b)$ નું મૂળભૂત આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 5$ છે.
તેથી,$\cos(5x + 3)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$ થાય.
વિધેયમાં અચળ સંખ્યા $7$ ઉમેરવાથી તેના આવર્તમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી $f(x)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{5}$ છે.

(C) ધારો કે $h = 2500 \ m$ એ સરોવરની સપાટીથી અવલોકન બિંદુની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $H$ એ સરોવરની સપાટીથી વાદળની ઊંચાઈ છે. અવલોકન બિંદુથી વાદળનું અંતર $H-h$ છે. અવલોકન બિંદુથી વાદળના પ્રતિબિંબનું અંતર $H+h$ છે.
ધારો કે અવલોકન બિંદુથી વાદળનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે.
અવલોકન બિંદુ,વાદળ અને સમક્ષિતિજ રેખા દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,$\cot 15^{\circ} = \frac{x}{H-h} \Rightarrow x = (H-h)(2+\sqrt{3}) \quad (i)$
અવલોકન બિંદુ,વાદળના પ્રતિબિંબ અને સમક્ષિતિજ રેખા દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,$\cot 45^{\circ} = \frac{x}{H+h} \Rightarrow x = H+h \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$(H-h)(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}) - h(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}-1) = h(2+\sqrt{3}+1)$
$H(1+\sqrt{3}) = h(3+\sqrt{3})$
$H = h \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = h\sqrt{3}$
અહીં $h = 2500 \ m$ આપેલ છે,તેથી $H = 2500\sqrt{3} \ m$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે,પદાવલિ $a^k + b^k$ એ $(a+b)$ વડે વિભાજ્ય છે.
અહીં આપેલી પદાવલિ $a^{2n-1} + b^{2n-1}$ માં,જ્યાં $n$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે,ઘાતાંક $(2n-1)$ હંમેશા એકી સંખ્યા છે.
તેથી,$a^{2n-1} + b^{2n-1}$ એ $(a+b)$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) આપેલ રેખાનું ધ્રુવીય સમીકરણ $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{r}$ છે.
$r$ વડે ગુણતા,આપણને $r \sin \theta - r \cos \theta = 1$ મળે છે.
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરતા,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $y - x = 1$ અથવા $x - y + 1 = 0$ થાય છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -1$ થશે.
આપેલ બિંદુ $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ છે. કાર્તેઝિયન યામમાં રૂપાંતર કરતા:
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
તેથી બિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ છે.
$(\sqrt{3}, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = -1(x - \sqrt{3})$
$y - 1 = -x + \sqrt{3}$
$x + y = \sqrt{3} + 1$
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં રૂપાંતર કરતા:
$r \cos \theta + r \sin \theta = \sqrt{3} + 1$
$r(\sin \theta + \cos \theta) = \sqrt{3} + 1$
$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3} + 1}{r}$

(A) આપેલ છે,$P(A)=0.5, P(B)=0.4$ અને $P(A \cup B)=0.6$.
$(i) \ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.6 = 0.3$. તેથી,$(i) \rightarrow (3)$.
$(ii) \ P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$. તેથી,$(ii) \rightarrow (2)$.
$(iii) \ P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$. તેથી,$(iii) \rightarrow (4)$.
$(iv) \ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.6 = 0.4$. તેથી,$(iv) \rightarrow (1)$.
આમ,સાચી જોડ $(i)-3, (ii)-2, (iii)-4, (iv)-1$ છે.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $15 + 5 = 20$.
$20$ માંથી $3$ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$15$ માંથી $2$ છોકરાઓ અને $5$ માંથી $1$ છોકરી પસંદ કરવાની રીતો = $^{15}C_2 \times ^5C_1$.
$^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$.
$^{5}C_1 = 5$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $105 \times 5 = 525$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{525}{1140} = \frac{35}{76}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1^{\circ} = \alpha$ રેડિયન,તેથી $1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$ રેડિયન.
વિકલન અંદાજ (differential approximation) નો ઉપયોગ કરતા,$\cos(x + \Delta x) \approx \cos(x) - \sin(x) \Delta x$.
અહીં,$x = 60^{\circ}$ અને $\Delta x = 1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$.
તેથી,$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \cos(60^{\circ}) - \sin(60^{\circ}) \times \frac{\alpha}{60}$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ અને $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,આપણને મળે છે:
$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\alpha}{60} = \frac{1}{2} - \frac{\alpha \sqrt{3}}{120}$.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right]$.
આપેલ સમીકરણ $\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]$ છે.
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
$\left[\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]$.
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$2x_1 + x_2 = 1$ (સમીકરણ $1$)
$3x_1 + 2x_2 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$x_2 = 1 - 2x_1$.
આ કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$3x_1 + 2(1 - 2x_1) = 0$
$3x_1 + 2 - 4x_1 = 0$
$-x_1 + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$.
હવે,$x_2$ શોધતા:
$x_2 = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$.
તેથી,$A = \left[\begin{array}{r} 2 \\ -3 \end{array}\right]$.

(B) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$A^2 - 2A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 - 2A = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] - 2\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] \dots (i)$.
આગળ,$A^{-1}$ શોધો. નિશ્ચાયક $|A| = 1(0-1) - 0 + 1(0) = -1$.
સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ છે:
$C_{11} = -1, C_{12} = 0, C_{13} = 0$
$C_{21} = 1, C_{22} = 0, C_{23} = -1$
$C_{31} = -1, C_{32} = -1, C_{33} = 1$
$Adj(A) = C^T = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$.
કારણ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] = -\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$.
આને $(i)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $A^2 - 2A = -A^{-1}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = |x| + |sin x|$.
$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,$x=0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h}$
અહીં $f(0) = |0| + |sin 0| = 0$ હોવાથી:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h| + |sin(-h)| - 0}{-h}$
નાના $h > 0$ માટે,$|-h| = h$ અને $|sin(-h)| = |-sin h| = sin h$ થાય (કારણ કે $h \in (0, \pi/2)$ માટે $sin h > 0$ છે).
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{h + sin h}{-h}$
$LHD = \lim_{h \to 0^+} -\left( \frac{h}{h} + \frac{sin h}{h} \right)$
$LHD = -(1 + 1) = -2$.

(C) આપેલ અંતર વિધેય: $s = t^2 - 2t + 5$.
વેગ $v$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t + 5) = 2t - 2$.
પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - 2) = 2$.
તેથી,કણનો પ્રવેગ $2$ એકમ છે.

(A) આપેલ છે કે $u = \sin(y + ax) - (y + ax)^2$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$u_x = \cos(y + ax) \cdot a - 2(y + ax) \cdot a$
$u_x = a[\cos(y + ax) - 2(y + ax)]$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$u_{xx} = a[-\sin(y + ax) \cdot a - 2 \cdot a]$
$u_{xx} = -a^2[\sin(y + ax) + 2]$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$u_y = \cos(y + ax) - 2(y + ax)$
ફરીથી $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$u_{yy} = -\sin(y + ax) - 2$
$u_{yy} = -[\sin(y + ax) + 2]$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) અને (iii) પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$u_{xx} = a^2 \cdot [-\sin(y + ax) - 2]$
$u_{xx} = a^2 \cdot u_{yy}$

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin^8 x - \cos^8 x}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
વળી,$1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x + \cos^4 x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{(\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
$I = \int (\sin^4 x - \cos^4 x) dx$.
નિત્યસમ $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = -\cos 2x(1) = -\cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા.
$I = \int -\cos 2x dx = -\frac{\sin 2x}{2} + B$.
આને $I = A \sin 2x + B$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n \theta \, d\theta$.
આપણે $I_{n-1} + I_{n+1}$ શોધવાનું છે.
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-1} \theta \, d\theta + \int_0^{\pi/4} \tan^{n+1} \theta \, d\theta$.
$ an^{n-1} \theta$ સામાન્ય લેતા:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-1} \theta (1 + \tan^2 \theta) \, d\theta$.
કારણ કે $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,તેથી:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-1} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$.
ધારો કે $u = \tan \theta$,તો $du = \sec^2 \theta \, d\theta$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $u = 0$ અને જ્યારે $\theta = \pi/4$,ત્યારે $u = 1$.
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^1 u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} \right]_0^1 = \frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi(y/x)}{\phi'(y/x)}$.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા:
$x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\ln|\phi(v)| = \ln|x| + C$,જ્યાં $C = \ln|k|$.
$\ln|\phi(v)| = \ln|kx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$\phi(v) = kx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા:
$\phi\left(\frac{y}{x}\right) = kx$.

(A) બે સદિશો લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર $0$ થાય.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-2x\hat{j}-3y\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+3x\hat{j}+2y\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$.
$1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$.
$6x^2 + 6y^2 = 1$.
$x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને $\frac{1}{\sqrt{6}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે જરૂરી ગુણોત્તર $\lambda : 1$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$(2, -4, 3)$ અને $(-4, 5, -6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$
આ બિંદુ $P$ એ સમતલ $3x + 2y + z - 4 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$3 \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1} \right) + 2 \left( \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1} \right) + \left( \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right) - 4 = 0$
$(\lambda + 1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$3(-4\lambda + 2) + 2(5\lambda - 4) + (-6\lambda + 3) - 4(\lambda + 1) = 0$
$-12\lambda + 6 + 10\lambda - 8 - 6\lambda + 3 - 4\lambda - 4 = 0$
$-12\lambda - 3 = 0$
$-12\lambda = 3$
$\lambda = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $-\frac{1}{4} : 1$ એટલે કે $-1 : 4$ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિભાજન બહારની તરફ (external) છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(2, 3, -1)$ માટે,સમીકરણ $a(x-2) + b(y-3) + c(z+1) = 0 \dots (i)$ છે.
સમતલ એ $(3, -4, 7)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ આ રેખાને સમાંતર છે.
તેથી,આપણે $a=3, b=-4, c=7$ લઈ શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(x-2) - 4(y-3) + 7(z+1) = 0$
$3x - 6 - 4y + 12 + 7z + 7 = 0$
$3x - 4y + 7z + 13 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=3, B=-4, C=7, D=13$ છે.
$d = \frac{|13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2}} = \frac{13}{\sqrt{9 + 16 + 49}} = \frac{13}{\sqrt{74}}$.

(B) ગોલકનું સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ છે.
આને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C = (-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ મળે છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 - (-19)} = \sqrt{1+1+4+19} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $C(-1, 1, 2)$ થી સમતલ $x+2y+2z+7=0$ નું લંબ અંતર $p$ નીચે મુજબ છે:
$p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 2 + 4 + 7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$R^2 = p^2 + r^2$.
$r^2 = R^2 - p^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
તેથી,$r = \sqrt{9} = 3$.

(A) મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{2}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{4}{10} = 0 + \frac{2}{10} + \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{2}{10} + 2^2 \times \frac{3}{10} + 3^2 \times \frac{4}{10} = 0 + \frac{2}{10} + \frac{12}{10} + \frac{36}{10} = \frac{50}{10} = 5$.
તેથી,$Var(X) = 5 - (2)^2 = 5 - 4 = 1$.

(D) આપેલ છે: $p = 0.001$,$n = 2000$.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ ખૂબ નાનું હોવાથી,આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું જ્યાં $\lambda = np$.
$\lambda = 2000 \times 0.001 = 2$.
પોઈસન વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ છે.
આપણે બરાબર $x = 3$ વ્યક્તિઓ માટે સંભાવના શોધવાની છે:
$P(X = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 \times e^{-2}}{6} = \frac{4}{3 e^2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ વક્રો $x=y^2$ અને $x=3-2y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = 3-2y^2$ લેતા,જે $3y^2 = 3$ આપે છે,તેથી $y^2 = 1$,એટલે કે $y = \pm 1$.
જ્યારે $y = 1$,ત્યારે $x = 1$. જ્યારે $y = -1$,ત્યારે $x = 1$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(1, -1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = 2 \int_0^1 (x_2 - x_1) dy$
$= 2 \int_0^1 ((3-2y^2) - y^2) dy$
$= 2 \int_0^1 (3-3y^2) dy$
$= 2 [3y - y^3]_0^1$
$= 2 [3(1) - (1)^3 - (0)]$
$= 2 [3 - 1] = 2 \times 2 = 4$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$.
આપેલ સમીકરણ $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકાર $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$ સાથે ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 & 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 & 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$2x_1 + x_2 = 1$ અને $3x_1 + 2x_2 = 0$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$x_2 = -\frac{3}{2}x_1$.
પ્રથમ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2x_1 - \frac{3}{2}x_1 = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}x_1 = 1 \Rightarrow x_1 = 2$.
તેથી $x_2 = -\frac{3}{2}(2) = -3$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે,$A(\alpha, \beta) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^\beta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક શોધીએ $|A(\alpha, \beta)| = e^\beta(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = e^\beta$.
ત્યારબાદ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક શોધીએ. સહઅવયવો નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = e^\beta \cos \alpha, C_{12} = e^\beta \sin \alpha, C_{13} = 0$
$C_{21} = -e^\beta \sin \alpha, C_{22} = e^\beta \cos \alpha, C_{23} = 0$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$
આમ,$\text{adj}(A(\alpha, \beta)) = \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$[A(\alpha, \beta)]^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{e^\beta} \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\beta} \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ અને $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$,આ શ્રેણિક $A(-\alpha, -\beta)$ ને સમાન છે.

(B) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$A^2 - 2A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
આગળ,$|A| = 1(0-1) - 0 + 1(0-0) = -1$ શોધો.
સહ-અવયવ શ્રેણિક $C$ માટે $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ છે.
$C_{11} = -1, C_{12} = 0, C_{13} = 0$.
$C_{21} = 1, C_{22} = 0, C_{23} = -1$.
$C_{31} = -1, C_{32} = -1, C_{33} = 1$.
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^2 - 2A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $-A^{-1} = - \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ ની સરખામણી કરતા.
આમ,$A^2 - 2A = -A^{-1}$.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}24 & 25 & 26 \\ 25 & 26 & 27 \\ 26 & 27 & 27\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 24 & 25 & 26 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|$.
ત્રીજી હાર $(R_3)$ ને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(25 \times 1 - 26 \times 1) - 1(24 \times 1 - 26 \times 1) + 0(24 \times 1 - 25 \times 1)$.
$\Delta = 1(25 - 26) - 1(24 - 26) + 0$.
$\Delta = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$ છે.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $(\tan ^{-1} x)^2 + (\cot ^{-1} x)^2 = (\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x)^2 - 2 \tan ^{-1} x \cot ^{-1} x$.
આ કિંમત મૂકતા: $(\frac{\pi}{2})^2 - 2 \tan ^{-1} x (\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} x) = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$\frac{\pi^2}{4} - \pi \tan ^{-1} x + 2(\tan ^{-1} x)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
ધારો કે $u = \tan ^{-1} x$. તો $2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 - 4(2)(-\frac{3 \pi^2}{8})}}{4} = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 + 3 \pi^2}}{4} = \frac{\pi \pm 2 \pi}{4}$.
તેથી,$u = \frac{3 \pi}{4}$ અથવા $u = -\frac{\pi}{4}$.
કારણ કે $x = \tan u$,તેથી $x = \tan(\frac{3 \pi}{4}) = -1$ અથવા $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
આમ,$x = -1$.

(D) આપેલ છે કે,$f(x) = [\frac{x}{5}]$ જ્યાં $|x| < 71$.
આનો અર્થ એ છે કે $-71 < x < 71$.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{71}{5} < \frac{x}{5} < \frac{71}{5}$ મળે છે.
$-14.2 < \frac{x}{5} < 14.2$.
હવે,આપણે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[\frac{x}{5}]$ નો વિસ્તાર શોધીએ.
ન્યૂનતમ કિંમત $[\frac{x}{5}] = [-14.2] = -15$ છે.
મહત્તમ કિંમત $[\frac{x}{5}] = [14.2] = 14$ છે.
કારણ કે $x$ એ $(-71, 71)$ અંતરાલમાં કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે,તેથી વિધેય $f(x)$ એ $-15$ થી $14$ સુધીની તમામ પૂર્ણાંક કિંમતો લેશે.
આમ,ગણ $\{-15, -14, \ldots, 0, \ldots, 13, 14\}$ છે.

(B) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$LHL$ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a+2 \cos x}{x^2}$. આ લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,અંશ $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ. તેથી,$a + 2 \cos(0) = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
$a = -2$ ને લક્ષમાં મૂકતા: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2 + 2 \cos x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2(1 - \cos x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2(2 \sin^2(x/2))}{x^2} = -2 \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2 \times 2} = -2 \times \frac{1}{2} = -1$.
હવે,$RHL$ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \rightarrow 0^+} b \tan \frac{\pi}{[x+4]}$. જેમ $x \rightarrow 0^+$,તેમ $[x+4] = 4$ થાય.
તેથી,$RHL = b \tan \frac{\pi}{4} = b(1) = b$.
કારણ કે $LHL = RHL$,તેથી $-1 = b$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ એ $(-2, -1)$ છે.

(C) આપેલ છે $y = (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$.
$(1-x)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$y = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ નિત્યસમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x} = \frac{(1-x^4)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,આપણને મળે છે:
$y = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-x)(-2^{n+1}x^{2^{n+1}-1}) - (1-x^{2^{n+1}})(-1)}{(1-x)^2}$
$x=0$ મુકતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \frac{(1-0)(0) - (1-0)(-1)}{(1-0)^2} = \frac{0 + 1}{1} = 1$.

(D) આપેલ છે કે,$y=\frac{\log _e x}{x}$ અને $z=\log _e x$.
કારણ કે $z=\log _e x$,તેથી $x=e^z$ થાય.
$y$ માં $x$ ની કિંમત મૂકતા,$y=\frac{z}{e^z} = z e^{-z}$ મળે.
હવે,$z$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d z} = \frac{d}{d z}(z e^{-z}) = e^{-z} + z(-e^{-z}) = e^{-z}(1-z)$.
ફરીથી $z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d z^2} = \frac{d}{d z}(e^{-z}(1-z)) = -e^{-z}(1-z) + e^{-z}(-1) = e^{-z}(-1+z-1) = e^{-z}(z-2)$.
હવે,$\frac{d^2 y}{d z^2} + \frac{d y}{d z}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{d^2 y}{d z^2} + \frac{d y}{d z} = e^{-z}(z-2) + e^{-z}(1-z) = e^{-z}(z-2+1-z) = e^{-z}(-1) = -e^{-z}$.

(A) આપેલ છે,$\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=k$
$\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\cos k$
ધારો કે $\cos k = C$ (એક અચળ).
તેથી,$x^2 - y^2 = C(x^2 + y^2)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 - y^2) = \frac{d}{dx}(C(x^2 + y^2))$
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = C(2x + 2y \frac{dy}{dx})$
$x - y \frac{dy}{dx} = C(x + y \frac{dy}{dx})$
$x - Cx = Cy \frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dx}$
$x(1 - C) = y \frac{dy}{dx}(C + 1)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - C)}{y(1 + C)}$
$C = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})}{y(1 + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})} = \frac{x(\frac{x^2+y^2-x^2+y^2}{x^2+y^2})}{y(\frac{x^2+y^2+x^2-y^2}{x^2+y^2})} = \frac{x(2y^2)}{y(2x^2)} = \frac{xy^2}{yx^2} = \frac{y}{x}$

(A) ધારો કે $v = y + ax$. તો $u = \sin(v) - v^2$.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન શોધીએ:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = (\cos(v) - 2v) \cdot a$.
$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} [a(\cos(v) - 2v)] = a(-\sin(v) - 2) \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = a^2(-\sin(v) - 2)$.
હવે,આપણે $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન શોધીએ:
$u_y = \frac{\partial u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = (\cos(v) - 2v) \cdot 1$.
$u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} [\cos(v) - 2v] = (-\sin(v) - 2) \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = -\sin(v) - 2$.
$u_{xx}$ અને $u_{yy}$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $u_{xx} = a^2 u_{yy}$.

(C) આપેલ વક્ર $y = 5^x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 5^x \log_e 5$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)} = 5^{x_1} \log_e 5$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈનું સૂત્ર:
$L = \left| \frac{y_1}{\frac{dy}{dx}} \right|$.
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{y_1}{5^{x_1} \log_e 5}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વક્ર પર હોવાથી,$y_1 = 5^{x_1}$ થાય.
તેથી,$L = \frac{5^{x_1}}{5^{x_1} \log_e 5} = \frac{1}{\log_e 5}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 4x + 5$ છે,જેનો પ્રદેશ $[2, \infty)$ છે.
વિધેય બાયજેક્શન હોય તે માટે વિસ્તાર $B$ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સમૂહ શોધવો પડશે.
સૌ પ્રથમ,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને વિધેયને ફરીથી લખીએ:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
અહીં પ્રદેશ $x \in [2, \infty)$ હોવાથી,$x - 2 \geq 0$ થાય.
તેથી,$(x - 2)^2 \geq 0$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,આપણને $(x - 2)^2 + 1 \geq 1$ મળે છે.
આમ,$f(x) \geq 1$.
વિધેયનો વિસ્તાર $[1, \infty)$ છે.
વિધેય $[2, \infty)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવાથી તે એક-એક છે. તે બાયજેક્શન બને તે માટે સહ-પ્રદેશ $B$ એ વિસ્તાર જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$B = [1, \infty)$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1+\cos 4 x}{\cot x-\tan x} dx$.
નિત્યસમ $1+\cos 4x = 2\cos^2 2x$ અને $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = 2\cot 2x$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2\cos^2 2x}{2\cot 2x} dx = \int \frac{\cos^2 2x}{\frac{\cos 2x}{\sin 2x}} dx = \int \sin 2x \cos 2x dx$.
નિત્યસમ $\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{1}{2} \sin 4x dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 4x}{4} \right) + C = -\frac{1}{8} \cos 4x + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \left( \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \right) dx$.
સંકલિતનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sqrt{\frac{a+x}{a-x}} + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} = \frac{a+x + a-x}{\sqrt{(a-x)(a+x)}} = \frac{2a}{\sqrt{a^2-x^2}}$.
હવે,સંકલન આ મુજબ થશે:
$I = \int \frac{2a}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2a \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = 2a \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$.

(A) અહીં $a=0, b=2$ અને $n=4$ અંતરાલ છે.
સ્ટેપ સાઈઝ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5$ છે.
કિંમતો $y_0=f(0)=1, y_1=f(0.5)=\frac{5}{4}, y_2=f(1)=2, y_3=f(1.5)=\frac{13}{4}, y_4=f(2)=5$ છે.
સિમ્પસનના $1/3$ નિયમ મુજબ:
$\int_a^b f(x) dx = \frac{h}{3} [ (y_0 + y_4) + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2) ]$
કિંમતો મૂકતા:
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{0.5}{3} [ (1 + 5) + 4(\frac{5}{4} + \frac{13}{4}) + 2(2) ]$
$= \frac{0.5}{3} [ 6 + 4(\frac{18}{4}) + 4 ]$
$= \frac{0.5}{3} [ 6 + 18 + 4 ]$
$= \frac{0.5}{3} [ 28 ] = \frac{14}{3}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ છે.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{d y}{1+y} + \frac{\cos x}{2+\sin x} dx = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{d y}{1+y} + \int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx = C_0$.
ધારો કે $t = 2+\sin x$,તો $dt = \cos x dx$. તેથી:
$\ln|1+y| + \ln|2+\sin x| = C_1$.
આથી $(1+y)(2+\sin x) = C$ મળે.
શરત $y(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+1)(2+\sin 0) = C \Rightarrow 2(2) = C \Rightarrow C=4$.
તેથી ઉકેલ $(1+y)(2+\sin x) = 4$ છે.
હવે $x=\frac{\pi}{2}$ મુકતા:
$(1+y(\frac{\pi}{2}))(2+\sin(\frac{\pi}{2})) = 4$.
$(1+y(\frac{\pi}{2}))(2+1) = 4$.
$3(1+y(\frac{\pi}{2})) = 4$.
$1+y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3}$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે $D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ સદિશ $\vec{AD}$ છે.
કારણ કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $A$ ની સાપેક્ષે $D$ નો સ્થાન સદિશ એ સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ ના સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((-3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k})$
$\vec{AD} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$
મધ્યગા $\vec{AD}$ ની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AD}$ નું માન છે:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{1 + 1 + 16}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{18}$

(D) આપેલ છે: $|a|=1, |b|=2$ અને ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$.
આપણે ${(a+3b) \times (3a-b)}^2$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરો:
$(a+3b) \times (3a-b) = a \times (3a) - a \times b + (3b) \times (3a) - (3b) \times b$
કારણ કે $a \times a = 0$ અને $b \times b = 0$,તેથી:
$= 0 - (a \times b) + 9(b \times a) - 0$
કારણ કે $b \times a = -(a \times b)$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$= -(a \times b) - 9(a \times b) = -10(a \times b)$
હવે,માનનો વર્ગ કરો:
${(-10)(a \times b)}^2 = 100 |a \times b|^2$
સૂત્ર $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|a \times b| = 1 \times 2 \times \sin 120^{\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
તેથી,$100 |a \times b|^2 = 100 \times (\sqrt{3})^2 = 100 \times 3 = 300$.

(A) બે સદિશો લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $0$ હોય.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2x\hat{j} - 3y\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3x\hat{j} + 2y\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $6x^2 + 6y^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$.
આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને $\frac{1}{\sqrt{6}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
આમ,બિંદુ $(x, y)$ નો બિંદુપથ એક વર્તુળ છે.

(C) ધારો કે સમતલ $A(2, -4, 3)$ અને $B(-4, 5, -6)$ ને જોડતા રેખાખંડને $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,છેદબિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$
બિંદુ $P$ એ સમતલ $3x + 2y + z - 4 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3\left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1} \right) + 2\left( \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1} \right) + \left( \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right) - 4 = 0$
$(\lambda + 1)$ વડે ગુણતા:
$3(-4\lambda + 2) + 2(5\lambda - 4) + (-6\lambda + 3) - 4(\lambda + 1) = 0$
$-12\lambda + 6 + 10\lambda - 8 - 6\lambda + 3 - 4\lambda - 4 = 0$
$-12\lambda - 3 = 0$
$-12\lambda = 3$
$\lambda = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $-1 : 4$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા દ્વારા કોઓર્ડિનેટ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા હોય,તો તેમના કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
અહીં આપેલ ખૂણાઓ $\alpha, \frac{\pi}{2}-\alpha, \beta$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) + \cos^2 \beta = 1$
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin \alpha$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1$
નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \cos^2 \beta = 1$
$\cos^2 \beta = 0$
$\cos \beta = 0$
તેથી,$\beta = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \alpha \hat{j} + \cos \alpha \hat{k}$ છે.
કારણ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,તેથી $3 \cos^2 \alpha = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
સદિશ $\vec{a} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ નો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ એ ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \hat{u}$ નું માન છે.
$|\vec{a} \cdot \hat{u}| = |(4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|$
$= |\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(4 - 3 + 2)|$
$= |\pm \frac{3}{\sqrt{3}}| = \sqrt{3}$.

(B) ગોલકનું સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ છે. તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $u=1, v=-1, w=-2, d=-19$ મળે છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d} = \sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2-(-19)} = \sqrt{1+1+4+19} = \sqrt{25} = 5$ છે.
હવે,કેન્દ્ર $(-1, 1, 2)$ થી સમતલ $x+2y+2z+7=0$ નું લંબ અંતર $p$ છે:
$p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \frac{|-1+2+4+7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોલકના કેન્દ્ર,વર્તુળના કેન્દ્ર અને વર્તુળની પરિઘ પરના બિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$R^2 = p^2 + r^2$ થાય છે.
$r^2 = R^2 - p^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
તેથી,$r = \sqrt{9} = 3$.