AP EAMCET 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $7$ सफेद गेंदों और $3$ काली गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $\binom{10}{3} = \frac{10!}{7!3!} = 120$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम पहले $7$ सफेद गेंदों को व्यवस्थित करते हैं। इससे $8$ संभावित स्थान (गैप) बनते हैं जहाँ $3$ काली गेंदें रखी जा सकती हैं।
$8$ स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{8}{3} = 56$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,व्यंजक $x^k + y^k$,$x+y$ से विभाज्य होता है यदि $k$ एक विषम संख्या है।
चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $2n-1$ हमेशा एक विषम संख्या होगी।
अतः,$a^{2n-1} + b^{2n-1}$,$a+b$ से विभाज्य है।

(D) दिया गया है,$\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x-2)(x-3)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2+x+1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखें:
$1^2+1+1 = A(1-2)(1-3) \Rightarrow 3 = A(-1)(-2) \Rightarrow 3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=3$ रखें:
$3^2+3+1 = C(3-1)(3-2) \Rightarrow 13 = C(2)(1) \Rightarrow 13 = 2C \Rightarrow C = \frac{13}{2}$
अतः,$A+C = \frac{3}{2} + \frac{13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

(D) दिया गया है कि $\tan A$ और $\tan B$ द्विघात समीकरण $x^2-px+q=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$\tan A + \tan B = p$
$\tan A \tan B = q$
$\tan(A+B)$ के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{p}{1-q}$
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ होता है।
$\tan(A+B) = \frac{p}{1-q}$ रखने पर:
$\sin^2(A+B) = \frac{(\frac{p}{1-q})^2}{1 + (\frac{p}{1-q})^2} = \frac{p^2}{p^2+(1-q)^2}$

(B) दिया गया है,${ }^{15} P_8 = A + 8 \cdot { }^{14} P_7$
$\Rightarrow \frac{15!}{7!} = A + 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{15!}{7!} - 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{15 \cdot 14!}{7!} - \frac{8 \cdot 14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{7!} (15 - 8)$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{7!} \cdot 7$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{6!} = { }^{14} P_8$

(B) पाँच अंकों की संख्या $5$ से विभाज्य होती है यदि उसका इकाई का अंक $0$ या $5$ हो।
स्थिति $I$: जब इकाई के स्थान पर $0$ हो,तो शेष $4$ स्थानों को शेष $5$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5)$ द्वारा $^5P_4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $II$: जब इकाई के स्थान पर $5$ हो,तो पहला स्थान (दस हजार का स्थान) $0$ नहीं हो सकता। अतः,पहले स्थान को $4$ अंकों $(1, 2, 3, 4)$ में से किसी एक द्वारा भरा जा सकता है। शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों ($0$ सहित) द्वारा $^4P_3$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $II$ के लिए कुल तरीके $= 4 \times ^4P_3 = 4 \times 24 = 96$।
कुल संख्या $= 120 + 96 = 216$।

(B) प्रत्येक जोड़े में एक सफेद और एक काली गेंद होने के तरीके से $n$ जोड़े निकालने के कुल तरीके प्रत्येक क्रमिक चयन के तरीकों का गुणनफल है।
पहले चयन के लिए,$n$ सफेद और $n$ काली गेंदें हैं। एक सफेद और एक काली गेंद चुनने के तरीके $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^2$ हैं।
दूसरे चयन के लिए,$(n-1)$ सफेद और $(n-1)$ काली गेंदें शेष रहती हैं। तरीकों की संख्या $(n-1)^2$ है।
इसी प्रकार अंतिम जोड़े तक,कुल तरीके $(n \times (n-1) \times \dots \times 1)^2 = (n!)^2$ होंगे।
दिया गया है कि $(n!)^2 = 14400$,इसलिए $n! = \sqrt{14400} = 120$।
चूंकि $5! = 120$,इसलिए $n = 5$।

(D) दिया गया है,${ }^{n-1} C_3+{ }^{n-1} C_4>{ }^n C_3$
सर्वसमिका ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${ }^n C_4>{ }^n C_3$
संचयों का विस्तार करने पर:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n-3 > 4$
$n > 7$
चूंकि $n$ को $7$ से बड़ा पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $8$ है।

(C) दिया है,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$.
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^2 x$ और $b = \cos^2 x$ है:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$.
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x$.
व्यंजक में $2 \sin^2 x \cos^2 x$ जोड़ने और घटाने पर:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{3}{4}(4 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - \frac{3}{4}(\sin 2x)^2$.
चूँकि $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,इसलिए:
$1 - \frac{3}{4}(1) \leq f(x) \leq 1 - \frac{3}{4}(0)$.
$\frac{1}{4} \leq f(x) \leq 1$.
अतः,$f(x) \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$.

(D) दिया गया व्यंजक: $32 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) = 16 \left[ 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) \right]$
सूत्र $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ का उपयोग करने पर:
$= 16 \left[ \cos\left(\frac{5A}{2} - \frac{A}{2}\right) - \cos\left(\frac{5A}{2} + \frac{A}{2}\right) \right]$
$= 16 [ \cos(2A) - \cos(3A) ]$
$\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1$ और $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ का उपयोग करने पर:
$= 16 [ (2 \cos^2 A - 1) - (4 \cos^3 A - 3 \cos A) ]$
$\cos A = \frac{3}{4}$ रखने पर:
$= 16 \left[ 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 - 4\left(\frac{3}{4}\right)^3 + 3\left(\frac{3}{4}\right) \right]$
$= 16 \left[ \frac{9}{8} - 1 - \frac{27}{16} + \frac{9}{4} \right]$
$= 16 \left[ \frac{18 - 16 - 27 + 36}{16} \right] = 11$

(B) दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण $\tan \theta = -1$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
चूंकि $\tan \theta$ ऋणात्मक है और $\cos \theta$ धनात्मक है,इसलिए $\theta$ चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
$\tan \theta = -1$ का सामान्य हल $\theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ है।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का सामान्य हल $\theta = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ है।
दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला कोण चौथे चतुर्थांश में $\theta = \frac{7 \pi}{4}$ है।
अतः,सामान्य हल $\theta = 2 n \pi + \frac{7 \pi}{4}$ है।

(C) चतुर्भुज $x = 0$ ($y$-अक्ष),$y = 0$ ($x$-अक्ष),$2x + y = 2$ और $x + y = 5$ रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है।
एक बिंदु $(x, y)$ के लिए जो चतुर्भुज के अंदर हो और जिसके निर्देशांक प्राकृतिक संख्याएँ $(x, y \in \{1, 2, 3, \dots\})$ हों,उसे निम्नलिखित असमिकाओं को संतुष्ट करना चाहिए:
$1) \ x > 0$
$2) \ y > 0$
$3) \ 2x + y > 2$
$4) \ x + y < 5$
$x$ के पूर्णांक मानों के लिए जाँच:
यदि $x = 1$: $2(1) + y > 2 \implies 2 + y > 2 \implies y > 0$. साथ ही $1 + y < 5 \implies y < 4$. अतः $y \in \{1, 2, 3\}$. बिंदु: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$.
यदि $x = 2$: $2(2) + y > 2 \implies 4 + y > 2 \implies y > -2$. साथ ही $2 + y < 5 \implies y < 3$. अतः $y \in \{1, 2\}$. बिंदु: $(2, 1), (2, 2)$.
यदि $x = 3$: $2(3) + y > 2 \implies 6 + y > 2 \implies y > -4$. साथ ही $3 + y < 5 \implies y < 2$. अतः $y = 1$. बिंदु: $(3, 1)$.
यदि $x \ge 4$: प्राकृतिक संख्या $y \ge 1$ के लिए $x + y < 5$ संभव नहीं है।
ऐसे कुल बिंदुओं की संख्या $3 + 2 + 1 = 6$ है।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1) = (2, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(x_2, y_2) = (3, 1)$ हैं।
$AB$ की लंबाई $r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
$AB$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह $\tan \theta = \frac{1-0}{3-2} = 1$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।
जब रेखा को $A$ के परितः वामावर्त दिशा में $45^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो नया कोण $\theta'$ का मान $\theta + 45^{\circ} = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ हो जाता है।
माना $B$ के नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं।
घूर्णन सूत्र का उपयोग करते हुए,$x' = x_1 + r \cos \theta'$ और $y' = y_1 + r \sin \theta'$।
$x' = 2 + \sqrt{2} \cos 90^{\circ} = 2 + \sqrt{2}(0) = 2$।
$y' = 0 + \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = 0 + \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$।
अतः,नए निर्देशांक $(2, \sqrt{2})$ हैं।

(C) रेखा $x+3y=7$ के लंबवत रेखा का समीकरण $3x-y+\lambda=0$ के रूप का है।
चूंकि यह रेखा बिंदु $(3,8)$ से गुजरती है,इसलिए:
$3(3) - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow 9 - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
अतः,लंबवत रेखा का समीकरण $3x-y-1=0$ है।
लंबपाद,$x+3y=7$ और $3x-y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन्हें हल करने पर,हमें $x=1$ और $y=2$ प्राप्त होता है।
माना बिंदु $(3,8)$ का प्रतिबिंब $(x_1, y_1)$ है। चूँकि $(1,2)$ बिंदु $(3,8)$ और $(x_1, y_1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है,इसलिए:
$\frac{3+x_1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$
$\frac{8+y_1}{2} = 2 \Rightarrow y_1 = -4$
अतः,प्रतिबिंब $(-1, -4)$ है।

(C) माना $P(x, y)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है। समस्या के अनुसार,$P$ से $F_1(0, 2)$ और $F_2(0, -2)$ तक की दूरियों का योग $6$ है।
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} = 6$
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 6 - \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 36 + x^2 + y^2 + 4y + 4 - 12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$-8y - 36 = -12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$2y + 9 = 3\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
पुनः वर्ग करने पर:
$4y^2 + 36y + 81 = 9(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$4y^2 + 36y + 81 = 9x^2 + 9y^2 + 36y + 36$
$9x^2 + 5y^2 = 45$

(D) $(3+7x)^{29}$ के विस्तार में $r$-वाँ पद $T_r = {}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7x)^{r-1}$ है। इसका गुणांक ${}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7)^{r-1}$ है।
$(r+1)$-वाँ पद $T_{r+1} = {}^{29}C_r (3)^{29-r} (7x)^r$ है। इसका गुणांक ${}^{29}C_r (3)^{29-r} (7)^r$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं:
${}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7)^{r-1} = {}^{29}C_r (3)^{29-r} (7)^r$
दोनों पक्षों को ${}^{29}C_{r-1} (3)^{29-r} (7)^{r-1}$ से विभाजित करने पर:
$3 = {}^{29}C_r / {}^{29}C_{r-1} \times 7$
सूत्र ${}^nC_r / {}^nC_{r-1} = (n-r+1)/r$ का उपयोग करने पर:
$3 = \frac{29-r+1}{r} \times 7$
$3r = 7(30-r)$
$3r = 210 - 7r$
$10r = 210$
$r = 21$

(A) हमारे पास श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।
अंश को $(2n+1) - 1$ के रूप में लिखने पर:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right)$.
श्रेणी का विस्तार करने पर:
$= \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \right) + \dots$
$e^x$ के टेलर श्रेणी विस्तार में $x = -1$ रखने पर:
$e^{-1} = \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots$
अतः,योग $e^{-1} = 1/e$ है।

(A) दिया गया है,$P(A)=0.5, P(B)=0.4$ और $P(A \cup B)=0.6$.
$(i) \ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.6 = 0.3$. अतः,$(i)-(3)$.
$(ii) \ P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$. अतः,$(ii)-(2)$.
$(iii) \ P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$. अतः,$(iii)-(4)$.
$(iv) \ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.6 = 0.4$. अतः,$(iv)-(1)$.
अतः,सही मिलान $(i)-(3), (ii)-(2), (iii)-(4), (iv)-(1)$ है।

(A) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। तब $\alpha^3 + a\alpha + 1 = 0$ और $\alpha^4 + a\alpha^2 + 1 = 0$.
प्रथम समीकरण से,$a\alpha = -\alpha^3 - 1$.
प्रथम समीकरण को $\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha = 0$.
दूसरे समीकरण से इसे घटाने पर: $(\alpha^4 + a\alpha^2 + 1) - (\alpha^4 + a\alpha^2 + \alpha) = 0$.
इससे $1 - \alpha = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ को प्रथम समीकरण में रखने पर: $1^3 + a(1) + 1 = 0$.
$1 + a + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $a = -2$.

(D) दिया गया द्विघात व्यंजक $y = ax^2 + bx + c$ है।
चूंकि $a > 0$,परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ का अर्थ है कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो समान वास्तविक मूल हैं।
इसका मतलब है कि वक्र $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
चूंकि $a > 0$,परवलय का शीर्ष अपने न्यूनतम मान पर है,जो $x$-अक्ष पर $0$ है,और वक्र का शेष भाग $x$-अक्ष के ऊपर स्थित है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को स्पर्श करता है और उसके ऊपर स्थित है।

(D) हम जानते हैं कि $(1+i)^2 = 2i$ और $(1-i)^2 = -2i$ होता है।
दिया गया व्यंजक: $E = \frac{(1+i)^{2011}}{(1-i)^{2009}} = \frac{(1+i)^{2009} \cdot (1+i)^2}{(1-i)^{2009}}$.
$E = \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2009} \cdot (1+i)^2$.
$\frac{1+i}{1-i}$ को सरल करने पर: $\frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{2i}{2} = i$.
मान रखने पर: $E = (i)^{2009} \cdot (2i) = 2 \cdot i^{2010}$.
चूंकि $i^4 = 1$,इसलिए $i^{2010} = (i^4)^{502} \cdot i^2 = 1^{502} \cdot (-1) = -1$.
अतः,$E = 2 \cdot (-1) = -2$.

(B) दिया गया है,$z = a - \frac{i}{2}$।
हमें $|i + z|^2 - |i - z|^2$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$z$ का मान व्यंजकों में प्रतिस्थापित करने पर:
$i + z = i + a - \frac{i}{2} = a + \frac{i}{2}$।
$i - z = i - (a - \frac{i}{2}) = -a + \frac{3i}{2}$।
अब,मापांक के वर्ग की गणना करने पर:
$|i + z|^2 = |a + \frac{i}{2}|^2 = a^2 + (\frac{1}{2})^2 = a^2 + \frac{1}{4}$।
$|i - z|^2 = |-a + \frac{3i}{2}|^2 = (-a)^2 + (\frac{3}{2})^2 = a^2 + \frac{9}{4}$।
अंत में,दोनों का अंतर लेने पर:
$|i + z|^2 - |i - z|^2 = (a^2 + \frac{1}{4}) - (a^2 + \frac{9}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{8}{4} = -2$।

(A) माना $z = x + iy$.
दिया है $\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
गुणधर्म $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ का उपयोग करने पर:
$\arg(z-2) - \arg(z+2) = \frac{\pi}{3}$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\arg((x-2) + iy) - \arg((x+2) + iy) = \frac{\pi}{3}$.
$\arg(x+iy) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x+2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left[\frac{\frac{y}{x-2} - \frac{y}{x+2}}{1 + \frac{y}{x-2} \cdot \frac{y}{x+2}}\right] = \frac{\pi}{3}$.
$\frac{4y}{x^2 + y^2 - 4} = \sqrt{3}$.
$x^2 + y^2 - \frac{4}{\sqrt{3}}y - 4 = 0$.
यह एक वृत्त का समीकरण है।

(D) $(a+bx)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} a^{n-k} (bx)^k$ होता है।
$(3+7x)^{29}$ के विस्तार के लिए,$r$ वां पद $T_r = {^{29}C_{r-1}} (3)^{29-(r-1)} (7x)^{r-1}$ है।
$r$ वें पद का गुणांक ${^{29}C_{r-1}} (3)^{30-r} (7)^{r-1}$ है।
$(r+1)$ वां पद $T_{r+1} = {^{29}C_r} (3)^{29-r} (7x)^r$ है।
$(r+1)$ वें पद का गुणांक ${^{29}C_r} (3)^{29-r} (7)^r$ है।
दिया गया है कि ये गुणांक समान हैं:
${^{29}C_{r-1}} (3)^{30-r} (7)^{r-1} = {^{29}C_r} (3)^{29-r} (7)^r$
दोनों पक्षों को ${^{29}C_{r-1}} (3)^{29-r} (7)^{r-1}$ से विभाजित करने पर:
$3 = {^{29}C_r} / {^{29}C_{r-1}} \times 7$
$3/7 = {^{29}C_r} / {^{29}C_{r-1}}$
गुणधर्म ${^nC_r} / {^nC_{r-1}} = (n-r+1)/r$ का उपयोग करने पर:
$3/7 = (29-r+1) / r$
$3/7 = (30-r) / r$
$3r = 7(30-r)$
$3r = 210 - 7r$
$10r = 210$
$r = 21$

(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3x^2 - 2xy - 15y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$2h = -2$ (अर्थात $h = -1$),और $b = -15$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
ढालों का योग $s = m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2(-1)}{-15} = -\frac{2}{15}$ है।
ढालों का गुणनफल $p = m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{3}{-15} = -\frac{3}{15}$ है।
अतः,अनुपात $s:p = \left(-\frac{2}{15}\right) : \left(-\frac{3}{15}\right) = 2:3$ है।

(B) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ समांतर रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है यदि $h^2=ab$ और $bg^2=af^2$ हो।
शर्त $bg^2=af^2$ से,हम लिख सकते हैं $\frac{g^2}{f^2}=\frac{a}{b}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{g^2-ac}{f^2-bc} = \frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{\frac{g^2-ac}{f^2-bc}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$।

(C) सरल रेखाओं का युग्म $ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा दिया गया है।
यदि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है,तो उसका समीकरण $y=x$ या $y=-x$ है।
इसका अर्थ है कि रेखा $y^2=x^2$ या $x^2-y^2=0$ के समीकरण को संतुष्ट करती है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ की एक रेखा $y=mx$ होने की शर्त $am^2+2hm+b=0$ है।
$y=x$ के लिए,$m=1$,इसलिए $a+2h+b=0$। $y=-x$ के लिए,$m=-1$,इसलिए $a-2h+b=0$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $(a+b)^2 = (2h)^2 = 4h^2$ प्राप्त होता है।
$4x^2+6xy+ky^2=0$ दिया गया है,इसलिए $a=4, 2h=6 \Rightarrow h=3, b=k$।
$(a+b)^2=4h^2$ में मान रखने पर:
$(4+k)^2 = 4(3)^2 = 36$।
$4+k = \pm 6$।
यदि $4+k=6$,तो $k=2$।
यदि $4+k=-6$,तो $k=-10$।
अतः,$k \in \{-10, 2\}$।

(D) दी गई रेखा $y=2x+c$ है,जिसे $2x-y+c=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y=mx+c_1$ से तुलना करने पर,हमें $m=2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=5$ है,इसलिए त्रिज्या $r=\sqrt{5}$ है।
रेखा $y=mx+c_1$ के वृत्त $x^2+y^2=r^2$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c_1^2 = r^2(1+m^2)$ है।
मान रखने पर,हमें $c^2 = 5(1+2^2)$ प्राप्त होता है।
$c^2 = 5(1+4) = 5(5) = 25$.
अतः,$c = \pm 5$.
दिए गए विकल्पों में से,$c$ का मान $5$ है।

(C) दी गई रेखाएँ $3x + 4y - 14 = 0$ और $6x + 8y + 7 = 0$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों को समान करने के लिए,दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$3x + 4y + \frac{7}{2} = 0$.
चूँकि ये रेखाएँ वृत्त की समानांतर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए वृत्त का व्यास इन दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है।
दो समानांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -14$,और $c_2 = \frac{7}{2}$.
$d = \frac{|-14 - \frac{7}{2}|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-\frac{28}{2} - \frac{7}{2}|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-\frac{35}{2}|}{5} = \frac{35}{2 \times 5} = \frac{7}{2}$.
वृत्त की त्रिज्या $r$ समानांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी की आधी होती है:
$r = \frac{d}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$.

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1 \equiv x^2+y^2+2x+2y+1=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-2x+2y+1=0$
वृत्त $S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1+1-1} = 1$ है।
वृत्त $S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (1, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{1+1-1} = 1$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = 2$ है।
चूंकि $d = r_1 + r_2$ है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
स्पर्श बिंदु केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है:
$\text{स्पर्श बिंदु} = \left(\frac{-1+1}{2}, \frac{-1-1}{2}\right) = (0, -1)$.

(B) दिए गए वृत्त $x^2+y^2+8x-4y+c=0$ के लिए,इसका केंद्र $C_1 = (-4, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 - c} = \sqrt{20-c}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2x+4y-11=0$ के लिए,इसका केंद्र $C_2 = (-1, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - (-11)} = \sqrt{1+4+11} = 4$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$C_1C_2 = r_1 + r_2$ होगा।
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$ है।
अतः,$5 = \sqrt{20-c} + 4$,जिसका अर्थ है $\sqrt{20-c} = 1$,इसलिए $20-c = 1$,अर्थात $c = 19$ है।
अब,वृत्त $x^2+y^2+8x-4y+19=0$,वृत्त $x^2+y^2-6x+8y+k=0$ को लंबकोणीय काटता है।
लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = 4, f_1 = -2, c_1 = 19$ और $g_2 = -3, f_2 = 4, c_2 = k$ है।
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$ है।
$-24 - 16 = 19 + k$ है।
$-40 = 19 + k$ है।
$k = -59$ है।

(B) माना बिंदु $A$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ हैं।
चूँकि $AM$,$X$-अक्ष के समांतर है और इसकी लंबाई $a$ है,बिंदु $M(x, y)$ के निर्देशांक $(a \cos \theta + a, a \sin \theta)$ या $(a \cos \theta - a, a \sin \theta)$ होंगे।
स्थिति $1$: $x = a \cos \theta + a$ और $y = a \sin \theta$.
तब $x - a = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$.
वर्ग करके जोड़ने पर,$(x - a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta = a^2$.
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = 2ax$.
स्थिति $2$: $x = a \cos \theta - a$ और $y = a \sin \theta$.
तब $x + a = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$.
वर्ग करके जोड़ने पर,$(x + a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta = a^2$.
$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = -2ax$.
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = \pm 2ax$ है। दिए गए विकल्पों में से $x^2 + y^2 = 2ax$ सही विकल्प है।

(D) परवलय $y^2=lx$ का अक्ष $x$-अक्ष है,जिसका समीकरण $y=0$ है।
चूंकि रेखा $y=mx+c$,$x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका ढाल $m=0$ होगा।
अतः,रेखा का समीकरण $y=c$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि रेखा परवलय को $\left(\frac{c^2}{8}, c\right)$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए यह बिंदु परवलय के समीकरण $y^2=lx$ को संतुष्ट करेगा।
समीकरण $y^2=lx$ में $y=c$ और $x=\frac{c^2}{8}$ रखने पर:
$c^2 = l \left(\frac{c^2}{8}\right)$
यह मानते हुए कि $c \neq 0$,दोनों पक्षों को $c^2$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{l}{8}$
$l = 8$
परवलय $y^2=lx$ के नाभिलंब की लंबाई $l$ है।
इसलिए,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

(C) माना $P(t^2, 2t)$ परवलय $y^2=4x$ की एक नाभीय जीवा $PQ$ का एक सिरा है। दूसरे सिरे $Q$ के निर्देशांक $(\frac{1}{t^2}, \frac{-2}{t})$ हैं,क्योंकि $tt' = -1$।
दिया गया है कि जीवा $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए जीवा की ढाल $\tan \theta$ है।
$\tan \theta = \frac{\frac{-2}{t} - 2t}{\frac{1}{t^2} - t^2} = \frac{2t}{t^2-1}$।
वैकल्पिक रूप से,नाभीय जीवा की ढाल के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan \theta = \frac{2}{t - \frac{1}{t}}$,इसलिए $t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$।
नाभीय जीवा $PQ$ की लंबाई $a(t + \frac{1}{t})^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a=1$ है।
$PQ = (t + \frac{1}{t})^2 = (t - \frac{1}{t})^2 + 4$।
$t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$ रखने पर:
$PQ = (2 \cot \theta)^2 + 4 = 4 \cot^2 \theta + 4 = 4(1 + \cot^2 \theta) = 4 \operatorname{cosec}^2 \theta$।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+4 y^2+2 x+16 y+13=0$
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2+2x+1) + 4(y^2+4y+4) + 13 - 1 - 16 = 0$
$(x+1)^2 + 4(y+2)^2 = 4$
$4$ से भाग देने पर:
$\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{1} = 1$
मानक रूप $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^2 > b^2$,उत्केन्द्रता $e$ का सूत्र $b^2 = a^2(1 - e^2)$ है।
$1 = 4(1 - e^2)$
$1 - e^2 = \frac{1}{4}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2-3y^2=3$ है। $3$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2=3$ और $b^2=1$,इसलिए $a=\sqrt{3}$ और $b=1$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $y = \pm \frac{b}{a}x$ हैं,जो $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ देते हैं।
माना ढाल $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})(-\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) सीमा $\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}-2}{x-8}$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश का परिमेयकरण करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}-2}{x-8} \times \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2}{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1+\sqrt{1+x}-4}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+x}-3}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)}$
अब,शेष पद का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+x}-3}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)} \times \frac{\sqrt{1+x}+3}{\sqrt{1+x}+3}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1+x-9}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$x = 8$ रखने पर:
$= \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{9}}+2)(\sqrt{9}+3)}$
$= \frac{1}{(\sqrt{1+3}+2)(3+3)}$
$= \frac{1}{(2+2)(6)} = \frac{1}{4 \times 6} = \frac{1}{24}$

(A) हमारे पास श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।
अंश को $(2n+1) - 1$ के रूप में लिखने पर:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right)$.
श्रेणी का विस्तार करने पर:
$= \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \right) + \dots$
$e^x$ के लिए टेलर श्रेणी $x=1$ पर: $e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
अतः,योग $\frac{1}{e}$ के बराबर है।

(C) दिया गया है $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,और $c = k \sin C$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{\cos A}{k \sin A} = \frac{\cos B}{k \sin B} = \frac{\cos C}{k \sin C}$
$\Rightarrow \cot A = \cot B = \cot C$
चूँकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B = C$ होगा।
अतः,सभी कोण समान होने के कारण यह एक समबाहु त्रिभुज है।

(A) दिया गया है: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ और $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$a \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-a)}{bc} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
चूँकि $2s = a + b + c$,इसलिए $2s - a - c = b$:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2}$
$s = \frac{3b}{2}$
$2s = 3b$
$a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$
अतः,$a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं.

(A) हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक ज्या (inverse hyperbolic sine) फलन का सूत्र $\sinh ^{-1}(y) = \log \left(y + \sqrt{1 + y^2}\right)$ है।
इस सूत्र में $y = \cot x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{1 + \cot ^2 x}\right)$
चूंकि $1 + \cot ^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$,इसलिए:
$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x}\right) = \log (\cot x + \operatorname{cosec} x)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ और $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$ का उपयोग करने पर:
$\log \left(\frac{\cos x + 1}{\sin x}\right)$
अर्ध-कोण सूत्रों $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\log \left(\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right) = \log \left(\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right) = \log \left(\cot \frac{x}{2}\right)$.

(D) माना $y = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$.
$y(x^2+3x+4) = x^2-3x+4$
$yx^2 + 3yx + 4y = x^2 - 3x + 4$
$x^2(y-1) + x(3y+3) + (4y-4) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (3y+3)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$
$9(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$
$9(y^2+2y+1) - 16(y^2-2y+1) \geq 0$
$9y^2 + 18y + 9 - 16y^2 + 32y - 16 \geq 0$
$-7y^2 + 50y - 7 \geq 0$
$7y^2 - 50y + 7 \leq 0$
$(7y-1)(y-7) \leq 0$.
अतः,अंतराल $[\frac{1}{7}, 7]$ है।

(D) फलन $f(x) = 7 + \cos(5x + 3)$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि फलन $\cos(ax + b)$ का मूल आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|a|}$ होता है।
यहाँ,$a = 5$ है।
इसलिए,$\cos(5x + 3)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$ है।
चूंकि फलन में एक अचर $7$ जोड़ने से इसके आवर्तनांक में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए $f(x)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{5}$ है।

(C) माना $h = 2500 \ m$ झील के ऊपर अवलोकन बिंदु की ऊँचाई है। माना $H$ झील के ऊपर बादल की ऊँचाई है। अवलोकन बिंदु से बादल की दूरी $H-h$ है। अवलोकन बिंदु से बादल के प्रतिबिंब की दूरी $H+h$ है।
माना अवलोकन बिंदु से बादल की क्षैतिज दूरी $x$ है।
अवलोकन बिंदु,बादल और क्षैतिज रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज में,$\cot 15^{\circ} = \frac{x}{H-h} \Rightarrow x = (H-h)(2+\sqrt{3}) \quad (i)$
अवलोकन बिंदु,बादल के प्रतिबिंब और क्षैतिज रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज में,$\cot 45^{\circ} = \frac{x}{H+h} \Rightarrow x = H+h \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$(H-h)(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}) - h(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}-1) = h(2+\sqrt{3}+1)$
$H(1+\sqrt{3}) = h(3+\sqrt{3})$
$H = h \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = h\sqrt{3}$
यहाँ $h = 2500 \ m$ दिया गया है,इसलिए $H = 2500\sqrt{3} \ m$.

(A) हम जानते हैं कि किसी भी विषम प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए,व्यंजक $a^k + b^k$ हमेशा $(a+b)$ से विभाज्य होता है।
दिए गए व्यंजक $a^{2n-1} + b^{2n-1}$ में,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,घातांक $(2n-1)$ हमेशा एक विषम संख्या है।
इसलिए,$a^{2n-1} + b^{2n-1}$ हमेशा $(a+b)$ से विभाज्य है।

(A) रेखा का दिया गया ध्रुवीय समीकरण $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{r}$ है।
$r$ से गुणा करने पर,हमें $r \sin \theta - r \cos \theta = 1$ प्राप्त होता है।
$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ रूपांतरण का उपयोग करते हुए,कार्तीय समीकरण $y - x = 1$ या $x - y + 1 = 0$ है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = 1$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -1$ होगी।
दिया गया बिंदु $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ है। कार्तीय निर्देशांक में बदलने पर:
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
अतः बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ है।
$(\sqrt{3}, 1)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = -1(x - \sqrt{3})$
$y - 1 = -x + \sqrt{3}$
$x + y = \sqrt{3} + 1$
$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करके वापस ध्रुवीय रूप में बदलने पर:
$r \cos \theta + r \sin \theta = \sqrt{3} + 1$
$r(\sin \theta + \cos \theta) = \sqrt{3} + 1$
$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3} + 1}{r}$

(A) दिया गया है,$P(A)=0.5, P(B)=0.4$ और $P(A \cup B)=0.6$.
$(i) \ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.6 = 0.3$. अतः,$(i) \rightarrow (3)$.
$(ii) \ P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$. अतः,$(ii) \rightarrow (2)$.
$(iii) \ P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$. अतः,$(iii) \rightarrow (4)$.
$(iv) \ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.6 = 0.4$. अतः,$(iv) \rightarrow (1)$.
अतः,सही मिलान $(i)-3, (ii)-2, (iii)-4, (iv)-1$ है।

(A) कुल छात्रों की संख्या = $15 + 5 = 20$।
$20$ में से $3$ छात्रों को चुनने के तरीके = $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$।
$15$ में से $2$ लड़कों और $5$ में से $1$ लड़की को चुनने के तरीके = $^{15}C_2 \times ^5C_1$।
$^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$।
$^{5}C_1 = 5$।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $105 \times 5 = 525$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{525}{1140} = \frac{35}{76}$।

(C) हम जानते हैं कि $1^{\circ} = \alpha$ रेडियन,इसलिए $1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$ रेडियन।
अवकल सन्निकटन (differential approximation) का उपयोग करते हुए,$\cos(x + \Delta x) \approx \cos(x) - \sin(x) \Delta x$।
यहाँ,$x = 60^{\circ}$ और $\Delta x = 1^{\prime} = \frac{\alpha}{60}$।
अतः,$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \cos(60^{\circ}) - \sin(60^{\circ}) \times \frac{\alpha}{60}$।
मान रखने पर,$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ और $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$\cos(60^{\circ} 1^{\prime}) \approx \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\alpha}{60} = \frac{1}{2} - \frac{\alpha \sqrt{3}}{120}$।

(D) माना $A = \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right]$ है।
दिया गया समीकरण $\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]$ है।
बाईं ओर के आव्यूहों का गुणा करने पर:
$\left[\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली मिलती है:
$2x_1 + x_2 = 1$ (समीकरण $1$)
$3x_1 + 2x_2 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$x_2 = 1 - 2x_1$ है।
इस मान को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x_1 + 2(1 - 2x_1) = 0$
$3x_1 + 2 - 4x_1 = 0$
$-x_1 + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$x_2$ का मान ज्ञात करने पर:
$x_2 = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$ है।
अतः,$A = \left[\begin{array}{r} 2 \\ -3 \end{array}\right]$ है।

(B) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$.
अब,$A^2 - 2A$ की गणना करें:
$A^2 - 2A = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] - 2\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] \dots (i)$.
आगे,$A^{-1}$ ज्ञात करें। सारणिक $|A| = 1(0-1) - 0 + 1(0) = -1$.
सहखंड आव्यूह $C$ है:
$C_{11} = -1, C_{12} = 0, C_{13} = 0$
$C_{21} = 1, C_{22} = 0, C_{23} = -1$
$C_{31} = -1, C_{32} = -1, C_{33} = 1$
$Adj(A) = C^T = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$.
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] = -\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$.
इसे $(i)$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $A^2 - 2A = -A^{-1}$.

(C) दिया गया है $f(x) = |x| + |sin x|$.
$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$x=0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ इस प्रकार परिभाषित है:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h}$
चूंकि $f(0) = |0| + |sin 0| = 0$,हमारे पास है:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h| + |sin(-h)| - 0}{-h}$
छोटे $h > 0$ के लिए,$|-h| = h$ और $|sin(-h)| = |-sin h| = sin h$ होता है (क्योंकि $h \in (0, \pi/2)$ के लिए $sin h > 0$ है)।
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{h + sin h}{-h}$
$LHD = \lim_{h \to 0^+} -\left( \frac{h}{h} + \frac{sin h}{h} \right)$
$LHD = -(1 + 1) = -2$.

(C) दिया गया दूरी फलन: $s = t^2 - 2t + 5$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी का प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t + 5) = 2t - 2$।
त्वरण $a$,समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - 2) = 2$।
अतः,कण का त्वरण $2$ इकाई है।

(A) दिया गया है कि $u = \sin(y + ax) - (y + ax)^2$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$u_x = \cos(y + ax) \cdot a - 2(y + ax) \cdot a$
$u_x = a[\cos(y + ax) - 2(y + ax)]$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$u_{xx} = a[-\sin(y + ax) \cdot a - 2 \cdot a]$
$u_{xx} = -a^2[\sin(y + ax) + 2]$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ का $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$u_y = \cos(y + ax) - 2(y + ax)$
पुनः $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$u_{yy} = -\sin(y + ax) - 2$
$u_{yy} = -[\sin(y + ax) + 2]$ ... (iii)
समीकरण (ii) और (iii) से,हम देख सकते हैं कि:
$u_{xx} = a^2 \cdot [-\sin(y + ax) - 2]$
$u_{xx} = a^2 \cdot u_{yy}$

(A) माना $I = \int \frac{\sin^8 x - \cos^8 x}{1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x} dx$.
हम जानते हैं कि $\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
साथ ही,$1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x + \cos^4 x$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{(\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
$I = \int (\sin^4 x - \cos^4 x) dx$.
सर्वसमिका $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = -\cos 2x(1) = -\cos 2x$ का उपयोग करने पर।
$I = \int -\cos 2x dx = -\frac{\sin 2x}{2} + B$.
इसकी तुलना $I = A \sin 2x + B$ से करने पर,हमें $A = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n \theta \, d\theta$.
हमें $I_{n-1} + I_{n+1}$ का मान ज्ञात करना है।
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-1} \theta \, d\theta + \int_0^{\pi/4} \tan^{n+1} \theta \, d\theta$.
$ an^{n-1} \theta$ को कॉमन लेने पर:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-1} \theta (1 + \tan^2 \theta) \, d\theta$.
चूंकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,इसलिए:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-1} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$.
मान लीजिए $u = \tan \theta$,तो $du = \sec^2 \theta \, d\theta$.
जब $\theta = 0$,तो $u = 0$ और जब $\theta = \pi/4$,तो $u = 1$.
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^1 u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} \right]_0^1 = \frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi(y/x)}{\phi'(y/x)}$.
$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर:
$x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\ln|\phi(v)| = \ln|x| + C$,जहाँ $C = \ln|k|$.
$\ln|\phi(v)| = \ln|kx|$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\phi(v) = kx$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\phi\left(\frac{y}{x}\right) = kx$.

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल $0$ के बराबर हो।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i}-2x\hat{j}-3y\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+3x\hat{j}+2y\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल लेने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$.
$1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$.
$6x^2 + 6y^2 = 1$.
$x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$.
यह समीकरण मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और $\frac{1}{\sqrt{6}}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाता है।

(C) माना कि अभीष्ट अनुपात $\lambda : 1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(2, -4, 3)$ और $(-4, 5, -6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $3x + 2y + z - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$3 \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1} \right) + 2 \left( \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1} \right) + \left( \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right) - 4 = 0$
$(\lambda + 1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3(-4\lambda + 2) + 2(5\lambda - 4) + (-6\lambda + 3) - 4(\lambda + 1) = 0$
$-12\lambda + 6 + 10\lambda - 8 - 6\lambda + 3 - 4\lambda - 4 = 0$
$-12\lambda - 3 = 0$
$-12\lambda = 3$
$\lambda = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
अतः,अनुपात $-\frac{1}{4} : 1$ है,जो कि $-1 : 4$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विभाजन बाह्य (external) है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदु $(2, 3, -1)$ के लिए,समीकरण $a(x-2) + b(y-3) + c(z+1) = 0 \dots (i)$ है।
चूंकि समतल $(3, -4, 7)$ दिक-अनुपात वाली रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश इस रेखा के समानांतर है।
अतः,हम $a=3, b=-4, c=7$ ले सकते हैं।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(x-2) - 4(y-3) + 7(z+1) = 0$
$3x - 6 - 4y + 12 + 7z + 7 = 0$
$3x - 4y + 7z + 13 = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=3, B=-4, C=7, D=13$ है।
$d = \frac{|13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2}} = \frac{13}{\sqrt{9 + 16 + 49}} = \frac{13}{\sqrt{74}}$.

(B) गोले का समीकरण $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ प्राप्त होता है।
गोले की त्रिज्या $R = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 - (-19)} = \sqrt{1+1+4+19} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्र $C(-1, 1, 2)$ से समतल $x+2y+2z+7=0$ की लंबवत दूरी $p$ इस प्रकार है:
$p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 2 + 4 + 7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। समकोण त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,$R^2 = p^2 + r^2$.
$r^2 = R^2 - p^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
अतः,$r = \sqrt{9} = 3$.

(A) माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{2}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{4}{10} = 0 + \frac{2}{10} + \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{2}{10} + 2^2 \times \frac{3}{10} + 3^2 \times \frac{4}{10} = 0 + \frac{2}{10} + \frac{12}{10} + \frac{36}{10} = \frac{50}{10} = 5$.
अतः,$Var(X) = 5 - (2)^2 = 5 - 4 = 1$.

(D) दिया गया है: $p = 0.001$,$n = 2000$.
चूंकि $n$ बड़ा है और $p$ बहुत छोटा है,इसलिए हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे जहाँ $\lambda = np$ है।
$\lambda = 2000 \times 0.001 = 2$.
पॉइसन वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ है।
हमें ठीक $x = 3$ व्यक्तियों के लिए प्रायिकता ज्ञात करनी है:
$P(X = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 \times e^{-2}}{6} = \frac{4}{3 e^2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिए गए वक्र $x=y^2$ और $x=3-2y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 3-2y^2$ रखें,जिससे $3y^2 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $y^2 = 1$,जिसका अर्थ है $y = \pm 1$।
जब $y = 1$,तो $x = 1$। जब $y = -1$,तो $x = 1$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(1, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = 2 \int_0^1 (x_2 - x_1) dy$
$= 2 \int_0^1 ((3-2y^2) - y^2) dy$
$= 2 \int_0^1 (3-3y^2) dy$
$= 2 [3y - y^3]_0^1$
$= 2 [3(1) - (1)^3 - (0)]$
$= 2 [3 - 1] = 2 \times 2 = 4$ वर्ग इकाई।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया समीकरण $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,गुणनफल $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,$\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$ से गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 & 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 2x_2 & 3x_1 + 2x_2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ के बराबर रखने पर,हमें मिलता है:
$2x_1 + x_2 = 1$ और $3x_1 + 2x_2 = 0$।
दूसरे समीकरण से,$x_2 = -\frac{3}{2}x_1$ है।
पहले समीकरण में मान रखने पर: $2x_1 - \frac{3}{2}x_1 = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}x_1 = 1 \Rightarrow x_1 = 2$।
तब $x_2 = -\frac{3}{2}(2) = -3$।
अतः,$A = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है,$A(\alpha, \beta) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^\beta \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक ज्ञात करते हैं $|A(\alpha, \beta)| = e^\beta(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = e^\beta$.
इसके बाद,हम सहखंडज आव्यूह ज्ञात करते हैं। सहखंड इस प्रकार हैं:
$C_{11} = e^\beta \cos \alpha, C_{12} = e^\beta \sin \alpha, C_{13} = 0$
$C_{21} = -e^\beta \sin \alpha, C_{22} = e^\beta \cos \alpha, C_{23} = 0$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$
अतः,$\text{adj}(A(\alpha, \beta)) = \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इसलिए,$[A(\alpha, \beta)]^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{e^\beta} \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\beta} \end{bmatrix}$.
चूंकि $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ और $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$,यह आव्यूह $A(-\alpha, -\beta)$ के बराबर है।

(B) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,$A^2 - 2A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
आगे,$|A| = 1(0-1) - 0 + 1(0-0) = -1$ ज्ञात करें।
सह-कारक आव्यूह $C$ के लिए $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ है।
$C_{11} = -1, C_{12} = 0, C_{13} = 0$.
$C_{21} = 1, C_{22} = 0, C_{23} = -1$.
$C_{31} = -1, C_{32} = -1, C_{33} = 1$.
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^2 - 2A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ और $-A^{-1} = - \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ की तुलना करने पर।
अतः,$A^2 - 2A = -A^{-1}$।

(C) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{lll}24 & 25 & 26 \\ 25 & 26 & 27 \\ 26 & 27 & 27\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ का प्रयोग करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 24 & 25 & 26 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|$.
तीसरी पंक्ति $(R_3)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(25 \times 1 - 26 \times 1) - 1(24 \times 1 - 26 \times 1) + 0(24 \times 1 - 25 \times 1)$.
$\Delta = 1(25 - 26) - 1(24 - 26) + 0$.
$\Delta = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.

(A) दिया गया समीकरण $(\tan ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$ है।
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $(\tan ^{-1} x)^2 + (\cot ^{-1} x)^2 = (\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x)^2 - 2 \tan ^{-1} x \cot ^{-1} x$.
यह मान रखने पर: $(\frac{\pi}{2})^2 - 2 \tan ^{-1} x (\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} x) = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$\frac{\pi^2}{4} - \pi \tan ^{-1} x + 2(\tan ^{-1} x)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
माना $u = \tan ^{-1} x$. तब $2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
द्विघात सूत्र $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$u = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 - 4(2)(-\frac{3 \pi^2}{8})}}{4} = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 + 3 \pi^2}}{4} = \frac{\pi \pm 2 \pi}{4}$.
अतः,$u = \frac{3 \pi}{4}$ या $u = -\frac{\pi}{4}$.
चूंकि $x = \tan u$,इसलिए $x = \tan(\frac{3 \pi}{4}) = -1$ या $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
अतः,$x = -1$.

(D) दिया गया है,$f(x) = [\frac{x}{5}]$ जहाँ $|x| < 71$ है।
इसका अर्थ है $-71 < x < 71$।
$5$ से भाग देने पर,हमें $-\frac{71}{5} < \frac{x}{5} < \frac{71}{5}$ प्राप्त होता है।
$-14.2 < \frac{x}{5} < 14.2$।
अब,हम महत्तम पूर्णांक फलन $[\frac{x}{5}]$ का परिसर ज्ञात करते हैं।
न्यूनतम मान $[\frac{x}{5}] = [-14.2] = -15$ है।
अधिकतम मान $[\frac{x}{5}] = [14.2] = 14$ है।
चूंकि $x$ अंतराल $(-71, 71)$ में कोई भी वास्तविक मान ले सकता है,इसलिए फलन $f(x)$ $-15$ से $14$ तक के सभी पूर्णांक मान लेगा।
अतः,समुच्चय $\{-15, -14, \ldots, 0, \ldots, 13, 14\}$ है।

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$LHL$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a+2 \cos x}{x^2}$। इस सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,अंश को $x \rightarrow 0$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए। अतः,$a + 2 \cos(0) = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$।
$a = -2$ को सीमा में रखने पर: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2 + 2 \cos x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2(1 - \cos x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{-2(2 \sin^2(x/2))}{x^2} = -2 \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2 \times 2} = -2 \times \frac{1}{2} = -1$।
अब,$RHL$ पर विचार करें: $\lim_{x \rightarrow 0^+} b \tan \frac{\pi}{[x+4]}$। जैसे ही $x \rightarrow 0^+$,$[x+4] = 4$ होता है।
अतः,$RHL = b \tan \frac{\pi}{4} = b(1) = b$।
चूंकि $LHL = RHL$,इसलिए $-1 = b$।
इस प्रकार,क्रमित युग्म $(a, b)$ का मान $(-2, -1)$ है।

(C) दिया गया है $y = (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$.
$(1-x)$ से गुणा और भाग करने पर:
$y = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ का बार-बार उपयोग करने पर:
$y = \frac{(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x} = \frac{(1-x^4)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-x)(-2^{n+1}x^{2^{n+1}-1}) - (1-x^{2^{n+1}})(-1)}{(1-x)^2}$
$x=0$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \frac{(1-0)(0) - (1-0)(-1)}{(1-0)^2} = \frac{0 + 1}{1} = 1$.

(D) दिया है,$y=\frac{\log _e x}{x}$ और $z=\log _e x$.
चूंकि $z=\log _e x$,इसलिए $x=e^z$ होगा।
$y$ में $x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$y=\frac{z}{e^z} = z e^{-z}$ प्राप्त होता है।
अब,$z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d z} = \frac{d}{d z}(z e^{-z}) = e^{-z} + z(-e^{-z}) = e^{-z}(1-z)$.
पुनः $z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d z^2} = \frac{d}{d z}(e^{-z}(1-z)) = -e^{-z}(1-z) + e^{-z}(-1) = e^{-z}(-1+z-1) = e^{-z}(z-2)$.
अब,$\frac{d^2 y}{d z^2} + \frac{d y}{d z}$ की गणना करने पर:
$\frac{d^2 y}{d z^2} + \frac{d y}{d z} = e^{-z}(z-2) + e^{-z}(1-z) = e^{-z}(z-2+1-z) = e^{-z}(-1) = -e^{-z}$.

(A) दिया गया है,$\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=k$
$\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\cos k$
मान लीजिए $\cos k = C$ (एक स्थिरांक)।
अतः,$x^2 - y^2 = C(x^2 + y^2)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 - y^2) = \frac{d}{dx}(C(x^2 + y^2))$
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = C(2x + 2y \frac{dy}{dx})$
$x - y \frac{dy}{dx} = C(x + y \frac{dy}{dx})$
$x - Cx = Cy \frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dx}$
$x(1 - C) = y \frac{dy}{dx}(C + 1)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - C)}{y(1 + C)}$
$C = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})}{y(1 + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})} = \frac{x(\frac{x^2+y^2-x^2+y^2}{x^2+y^2})}{y(\frac{x^2+y^2+x^2-y^2}{x^2+y^2})} = \frac{x(2y^2)}{y(2x^2)} = \frac{xy^2}{yx^2} = \frac{y}{x}$

(A) माना $v = y + ax$. तब $u = \sin(v) - v^2$.
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करते हैं:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = (\cos(v) - 2v) \cdot a$.
$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} [a(\cos(v) - 2v)] = a(-\sin(v) - 2) \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = a^2(-\sin(v) - 2)$.
अब,हम $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करते हैं:
$u_y = \frac{\partial u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = (\cos(v) - 2v) \cdot 1$.
$u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} [\cos(v) - 2v] = (-\sin(v) - 2) \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = -\sin(v) - 2$.
$u_{xx}$ और $u_{yy}$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $u_{xx} = a^2 u_{yy}$।

(C) दिया गया वक्र $y = 5^x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 5^x \log_e 5$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)} = 5^{x_1} \log_e 5$.
अधोस्पर्श रेखा (subtangent) की लंबाई का सूत्र है:
$L = \left| \frac{y_1}{\frac{dy}{dx}} \right|$.
मान रखने पर:
$L = \frac{y_1}{5^{x_1} \log_e 5}$.
चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $y_1 = 5^{x_1}$ है।
अतः,$L = \frac{5^{x_1}}{5^{x_1} \log_e 5} = \frac{1}{\log_e 5}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 4x + 5$ है,जिसका प्रांत $[2, \infty)$ है।
फलन के बाइजेक्शन होने के लिए परिसर $B$ ज्ञात करने हेतु,हमें $f(x)$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय ज्ञात करना होगा।
सबसे पहले,हम पूर्ण वर्ग बनाकर फलन को फिर से लिखते हैं:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
चूंकि प्रांत $x \in [2, \infty)$ है,इसलिए $x - 2 \geq 0$ होगा।
अतः,$(x - 2)^2 \geq 0$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $(x - 2)^2 + 1 \geq 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f(x) \geq 1$.
फलन का परिसर $[1, \infty)$ है।
चूंकि फलन $[2, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है। बाइजेक्शन होने के लिए सह-प्रांत $B$ को परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$B = [1, \infty)$.

(D) माना $I = \int \frac{1+\cos 4 x}{\cot x-\tan x} dx$.
सर्वसमिका $1+\cos 4x = 2\cos^2 2x$ और $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = 2\cot 2x$ का उपयोग करने पर।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2\cos^2 2x}{2\cot 2x} dx = \int \frac{\cos^2 2x}{\frac{\cos 2x}{\sin 2x}} dx = \int \sin 2x \cos 2x dx$.
सर्वसमिका $\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{1}{2} \sin 4x dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 4x}{4} \right) + C = -\frac{1}{8} \cos 4x + C$.

(B) माना $I = \int \left( \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \right) dx$.
समाकल्य का सरलीकरण करने पर:
$\sqrt{\frac{a+x}{a-x}} + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} = \frac{a+x + a-x}{\sqrt{(a-x)(a+x)}} = \frac{2a}{\sqrt{a^2-x^2}}$.
अब,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{2a}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2a \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = 2a \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$.

(A) यहाँ $a=0, b=2$ और $n=4$ अंतराल हैं।
स्टेप साइज़ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5$ है।
मान $y_0=f(0)=1, y_1=f(0.5)=\frac{5}{4}, y_2=f(1)=2, y_3=f(1.5)=\frac{13}{4}, y_4=f(2)=5$ हैं।
सिम्पसन के $1/3$ नियम के अनुसार:
$\int_a^b f(x) dx = \frac{h}{3} [ (y_0 + y_4) + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2) ]$
मान रखने पर:
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{0.5}{3} [ (1 + 5) + 4(\frac{5}{4} + \frac{13}{4}) + 2(2) ]$
$= \frac{0.5}{3} [ 6 + 4(\frac{18}{4}) + 4 ]$
$= \frac{0.5}{3} [ 6 + 18 + 4 ]$
$= \frac{0.5}{3} [ 28 ] = \frac{14}{3}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ है।
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{d y}{1+y} + \frac{\cos x}{2+\sin x} dx = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{d y}{1+y} + \int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx = C_0$.
माना $t = 2+\sin x$,तब $dt = \cos x dx$. अतः:
$\ln|1+y| + \ln|2+\sin x| = C_1$.
इससे $(1+y)(2+\sin x) = C$ प्राप्त होता है।
शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर:
$(1+1)(2+\sin 0) = C \Rightarrow 2(2) = C \Rightarrow C=4$.
अतः हल $(1+y)(2+\sin x) = 4$ है।
अब $x=\frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$(1+y(\frac{\pi}{2}))(2+\sin(\frac{\pi}{2})) = 4$.
$(1+y(\frac{\pi}{2}))(2+1) = 4$.
$3(1+y(\frac{\pi}{2})) = 4$.
$1+y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3}$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) माना $D$,भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका सदिश $\vec{AD}$ है।
चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $A$ के सापेक्ष $D$ का स्थिति सदिश सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के औसत द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((-3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k})$
$\vec{AD} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$
माध्यिका $\vec{AD}$ की लंबाई सदिश $\vec{AD}$ का परिमाण है:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{1 + 1 + 16}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{18}$

(D) दिया गया है: $|a|=1, |b|=2$ और कोण $\theta = 120^{\circ}$ है।
हमें व्यंजक ${(a+3b) \times (3a-b)}^2$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,सदिश गुणन का विस्तार करें:
$(a+3b) \times (3a-b) = a \times (3a) - a \times b + (3b) \times (3a) - (3b) \times b$
चूंकि $a \times a = 0$ और $b \times b = 0$,इसलिए:
$= 0 - (a \times b) + 9(b \times a) - 0$
चूंकि $b \times a = -(a \times b)$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार होगा:
$= -(a \times b) - 9(a \times b) = -10(a \times b)$
अब,परिमाण का वर्ग करें:
${(-10)(a \times b)}^2 = 100 |a \times b|^2$
सूत्र $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
$|a \times b| = 1 \times 2 \times \sin 120^{\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
अतः,$100 |a \times b|^2 = 100 \times (\sqrt{3})^2 = 100 \times 3 = 300$.

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ के बराबर हो।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2x\hat{j} - 3y\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 3x\hat{j} + 2y\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल लेने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$।
इसे सरल करने पर $1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $6x^2 + 6y^2 = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$।
यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और $\frac{1}{\sqrt{6}}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,बिंदु $(x, y)$ का बिंदुपथ एक वृत्त है।

(C) माना कि समतल $A(2, -4, 3)$ और $B(-4, 5, -6)$ को मिलाने वाली रेखा को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$ समतल $3x + 2y + z - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3\left( \frac{-4\lambda + 2}{\lambda + 1} \right) + 2\left( \frac{5\lambda - 4}{\lambda + 1} \right) + \left( \frac{-6\lambda + 3}{\lambda + 1} \right) - 4 = 0$
$(\lambda + 1)$ से गुणा करने पर:
$3(-4\lambda + 2) + 2(5\lambda - 4) + (-6\lambda + 3) - 4(\lambda + 1) = 0$
$-12\lambda + 6 + 10\lambda - 8 - 6\lambda + 3 - 4\lambda - 4 = 0$
$-12\lambda - 3 = 0$
$-12\lambda = 3$
$\lambda = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
अतः,अनुपात $-1 : 4$ है।

(C) हम जानते हैं कि यदि $\alpha, \beta, \gamma$ एक रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं,तो उनके कोसाइन के वर्गों का योग $1$ होता है,अर्थात $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
यहाँ दिए गए कोण $\alpha, \frac{\pi}{2}-\alpha, \beta$ हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) + \cos^2 \beta = 1$
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin \alpha$,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1$
सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 + \cos^2 \beta = 1$
$\cos^2 \beta = 0$
$\cos \beta = 0$
अतः,$\beta = \frac{\pi}{2}$।

(B) माना रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \alpha \hat{j} + \cos \alpha \hat{k}$ है।
चूंकि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,इसलिए $3 \cos^2 \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।
सदिश $\vec{a} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ का रेखा पर प्रक्षेप,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \hat{u}$ का परिमाण है।
$|\vec{a} \cdot \hat{u}| = |(4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|$
$= |\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(4 - 3 + 2)|$
$= |\pm \frac{3}{\sqrt{3}}| = \sqrt{3}$.

(B) गोले का समीकरण $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ है। इसे व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ से तुलना करने पर,हमें $u=1, v=-1, w=-2, d=-19$ प्राप्त होता है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ है।
गोले की त्रिज्या $R = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d} = \sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2-(-19)} = \sqrt{1+1+4+19} = \sqrt{25} = 5$ है।
अब,केंद्र $(-1, 1, 2)$ से समतल $x+2y+2z+7=0$ की लंबवत दूरी $p$ है:
$p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \frac{|-1+2+4+7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। गोले के केंद्र,वृत्त के केंद्र और वृत्त की परिधि पर स्थित एक बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$R^2 = p^2 + r^2$ होता है।
$r^2 = R^2 - p^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
अतः,$r = \sqrt{9} = 3$.