Variance and Standard Deviation Questions in Gujarati

$3$ ના પ્રથમ $10$ ગુણકો $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ છે.
અહીં,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = \frac{165}{10} = 16.5$.
વિચરણ માટેની ગણતરી નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

$x_i$	$(x_i - \bar{x})^2$
$3$	$182.25$
$6$	$110.25$
$9$	$56.25$
$12$	$20.25$
$15$	$2.25$
$18$	$2.25$
$21$	$20.25$
$24$	$56.25$
$27$	$110.25$
$30$	$182.25$

વર્ગોનો સરવાળો $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 742.5$.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{742.5}{10} = 74.25$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{760}{40} = 19$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1736}{40} = 43.4$.

(A) ડેટાને નીચેના કોષ્ટકમાં વ્યવસ્થિત કરવામાં આવ્યો છે:

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$(x_i - \bar{x})^2$	$f_i(x_i - \bar{x})^2$
$92$	$3$	$276$	$64$	$192$
$93$	$2$	$186$	$49$	$98$
$97$	$3$	$291$	$9$	$27$
$98$	$2$	$196$	$4$	$8$
$102$	$6$	$612$	$4$	$24$
$104$	$3$	$312$	$16$	$48$
$109$	$3$	$327$	$81$	$243$
કુલ	$N=22$	$\sum f_i x_i = 2200$	-	$\sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = 640$

અહીં,$N = 22$ અને $\sum f_i x_i = 2200$.
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2200}{22} = 100$.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{1}{N} \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = \frac{640}{22} \approx 29.09$.

(A) ધારો કે $A = 64$ અને $h = 1$. આપણે $y_i = \frac{x_i - 64}{1}$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
ગણતરી મુજબ,$\sum f_i y_i = 0$ અને $\sum f_i y_i^2 = 286$.
મધ્યક $\bar{x} = 64$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1^2}{100^2} [100 \times 286 - 0^2] = 2.86$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{2.86} \approx 1.69$.

(A) મધ્યક અને વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પદ-વિચલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
મધ્યક $\bar{x} = A + \frac{\sum f_i y_i}{N} \times h = 105 + \frac{2}{30} \times 30 = 107$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{h^2}{N^2} [N \sum f_i y_i^2 - (\sum f_i y_i)^2] = \frac{30^2}{30^2} [30(76) - (2)^2] = 2280 - 4 = 2276$.

(A) મધ્યક $\bar{x} = 27$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 132$.

(A) ગણતરીઓ સ્ટેપ-ડેવિએશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે જ્યાં $h = 5$ અને ધારેલો મધ્યક $A = 92.5$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = A + \left( \frac{\sum f_i y_i}{N} \right) \times h = 92.5 + \left( \frac{6}{60} \right) \times 5 = 93$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{h^2}{N^2} [N \sum f_i y_i^2 - (\sum f_i y_i)^2] = 105.58$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{105.58} \approx 10.27$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે વર્ગ અંતરાલોને સતત બનાવીએ છીએ:
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ છે)
મધ્યક $\bar{x} = A + \frac{\sum f_i y_i}{N} \times h = 42.5 + \frac{25}{100} \times 4 = 43.5 \text{ mm}$.
વિચરણ $\sigma^2 = h^2 \left[ \frac{\sum f_i y_i^2}{N} - \left( \frac{\sum f_i y_i}{N} \right)^2 \right] = 16 \left[ 1.99 - 0.0625 \right] = 30.84$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{30.84} \approx 5.55 \text{ mm}$.

(B) વ્યક્તિગત વેતનમાં પરિવર્તનશીલતા નક્કી કરવા માટે,આપણે બંને પ્લાન્ટના પ્રમાણિત વિચલનની સરખામણી કરીએ છીએ કારણ કે તેમનું સરેરાશ વેતન સમાન છે.
પ્લાન્ટ $A$ માં વેતનના વિતરણનું વિચરણ $\sigma_{1}^{2} = 81$ છે.
તેથી,પ્લાન્ટ $A$ માં વેતનના વિતરણનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_{1} = \sqrt{81} = 9$ છે.
પ્લાન્ટ $B$ માં વેતનના વિતરણનું વિચરણ $\sigma_{2}^{2} = 100$ છે.
તેથી,પ્લાન્ટ $B$ માં વેતનના વિતરણનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_{2} = \sqrt{100} = 10$ છે.
બંને પ્લાન્ટમાં સરેરાશ માસિક વેતન સમાન $(Rs. 2500)$ હોવાથી,જે પ્લાન્ટનું પ્રમાણિત વિચલન વધારે હશે તેમાં પરિવર્તનશીલતા વધુ હશે.
કારણ કે $\sigma_{2} > \sigma_{1}$ $(10 > 9)$,પ્લાન્ટ $B$ માં વ્યક્તિગત વેતનમાં વધુ પરિવર્તનશીલતા છે.

(A) પરિવર્તનશીલતાની તુલના કરવા માટે,આપણે તેમના વિચરણના ગુણાંક $(C.V.)$ ની ગણતરી કરવી પડશે.
આપેલ છે:
ઊંચાઈનું વિચરણ $= 127.69 \ cm^2$
ઊંચાઈનું પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma_h) = \sqrt{127.69} \ cm = 11.3 \ cm$
વજનનું વિચરણ $= 23.1361 \ kg^2$
વજનનું પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma_w) = \sqrt{23.1361} \ kg = 4.81 \ kg$
વિચરણનો ગુણાંક $C.V. = \frac{\sigma}{\text{મધ્યક}} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંચાઈમાં $C.V. = \frac{11.3}{162.6} \times 100 \approx 6.95$
વજનમાં $C.V. = \frac{4.81}{52.36} \times 100 \approx 9.18$
સ્પષ્ટ છે કે $9.18 > 6.95$,તેથી વજનમાં $C.V.$ એ ઊંચાઈના $C.V.$ કરતા વધારે છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે વજનમાં ઊંચાઈ કરતા વધુ પરિવર્તનશીલતા જોવા મળે છે.

(B) કયું જૂથ વધુ પરિવર્તનશીલ છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેમના પ્રમાણિત વિચલનોની તુલના કરીએ છીએ. બંને જૂથોના મધ્યક સમાન હોવાથી,જે જૂથનું પ્રમાણિત વિચલન વધારે હોય તે વધુ પરિવર્તનશીલ છે.
જૂથ $A$ માટે:
મધ્યક $\bar{x}_A = 44.6$,વિચરણ $\sigma_A^2 = 227.84$,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_A = \sqrt{227.84} \approx 15.09$.
જૂથ $B$ માટે:
મધ્યક $\bar{x}_B = 44.6$,વિચરણ $\sigma_B^2 = 243.84$,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_B = \sqrt{243.84} \approx 15.61$.
$\sigma_B > \sigma_A$ હોવાથી,જૂથ $B$ વધુ પરિવર્તનશીલ છે.

(B) સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે,આપણે વિચલન ગુણાંક $(C.V.)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ. જે શેરનો $C.V.$ ઓછો હોય તે વધુ સ્થિર છે.
શેર $X$ માટે: ડેટા = $35, 54, 52, 53, 56, 58, 52, 50, 51, 49$. મધ્યક $\bar{x} = 51$. વિચરણ $\sigma_1^2 = 35$. પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_1 = \sqrt{35} \approx 5.916$.
$C.V._X = (\sigma_1 / \bar{x}) \times 100 = (5.916 / 51) \times 100 \approx 11.60$.
શેર $Y$ માટે: ડેટા = $108, 107, 105, 105, 106, 107, 104, 103, 104, 101$. મધ્યક $\bar{y} = 105$. વિચરણ $\sigma_2^2 = 4$. પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_2 = \sqrt{4} = 2$.
$C.V._Y = (\sigma_2 / \bar{y}) \times 100 = (2 / 105) \times 100 \approx 1.90$.
$C.V._Y < C.V._X$ હોવાથી,શેર $Y$ વધુ સ્થિર છે.

(B) જ્યારે મધ્યક સમાન હોય ત્યારે વિતરણની પરિવર્તનશીલતા તેના પ્રમાણિત વિચલન અથવા વિચરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે,પેઢી $A$ નું વિચરણ $(\sigma_{A}^{2}) = 100$.
આપેલ છે,પેઢી $B$ નું વિચરણ $(\sigma_{B}^{2}) = 121$.
બંને પેઢીઓ માટે માસિક વેતનનો મધ્યક સમાન $(5253)$ હોવાથી,જે પેઢીનું વિચરણ વધારે હશે તે વધુ પરિવર્તનશીલતા દર્શાવશે.
વિચરણની સરખામણી કરતા,$121 > 100$,જેનો અર્થ છે કે $\sigma_{B}^{2} > \sigma_{A}^{2}$.
તેથી,પેઢી $B$ વ્યક્તિગત વેતનમાં વધુ પરિવર્તનશીલતા દર્શાવે છે.

(A) પ્રથમ,આપણે ટીમ $A$ માટે મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન ગણીએ.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{50}{25} = 2$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{130}{25} - (2)^2} = \sqrt{5.2 - 4} = \sqrt{1.2} \approx 1.095$.
ટીમ $B$ માટે,મધ્યક $= 2$ અને $\sigma = 1.25$.
બંને ટીમો માટે મધ્યક સમાન હોવાથી,જે ટીમનું પ્રમાણિત વિચલન ઓછું હોય તે વધુ સુસંગત છે. $1.095 < 1.25$ હોવાથી,ટીમ $A$ વધુ સુસંગત છે.

(B) લંબાઈ $x$ માટે:
મધ્યક $\bar{x} = \frac{212}{50} = 4.24$
વિચરણ $\sigma_x^2 = \frac{1}{N} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{902.8}{50} - (4.24)^2 = 18.056 - 17.9776 = 0.0784$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_x = \sqrt{0.0784} = 0.28$
ચલનાંક $C.V._x = \frac{\sigma_x}{\bar{x}} \times 100 = \frac{0.28}{4.24} \times 100 \approx 6.60$
વજન $y$ માટે:
મધ્યક $\bar{y} = \frac{261}{50} = 5.22$
વિચરણ $\sigma_y^2 = \frac{1}{N} \sum y_i^2 - (\bar{y})^2 = \frac{1457.6}{50} - (5.22)^2 = 29.152 - 27.2484 = 1.9036$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_y = \sqrt{1.9036} \approx 1.38$
ચલનાંક $C.V._y = \frac{\sigma_y}{\bar{y}} \times 100 = \frac{1.38}{5.22} \times 100 \approx 26.44$
અહીં $C.V._y > C.V._x$ હોવાથી,વજન લંબાઈ કરતા વધુ બદલાય છે.

(B) ધારો કે અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{20}$ છે અને તેમનો મધ્યક $\bar{x}$ છે. આપેલ છે કે વિચરણ $= 5$ અને $n = 20$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$.
તેથી,$5 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2$,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2 = 100$.
જો દરેક અવલોકનને અચળાંક $k = 2$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવા અવલોકનો $y_i = 2x_i$ થાય.
નવો મધ્યક $\bar{y} = 2\bar{x}$ થાય.
નવું વિચરણ $\sigma_{new}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (2x_i - 2\bar{x})^2$ થાય.
$\sigma_{new}^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} 4(x_i - \bar{x})^2 = 4 \times \left( \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2 \right) = 4 \times 5 = 20$.
તેથી,નવું વિચરણ $20$ છે.

ધારો કે $\bar{x}$ એ $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ નો મધ્યક છે. મૂળ અવલોકનોનું વિચરણ નીચે મુજબ છે:
$\sigma_1^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
જો દરેક અવલોકનમાં $a$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવા અવલોકનો $y_i = x_i + a$ થશે.
નવો મધ્યક $\bar{y}$:
$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i + a) = \frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i + na) = \bar{x} + a$.
નવા અવલોકનોનું વિચરણ $\sigma_2^2$:
$\sigma_2^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i + a) - (\bar{x} + a))^2$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \sigma_1^2$.
આમ,વિચરણ બદલાતું નથી.

(A) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ છે,જેનો મધ્યક $\bar{x} = 8$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 4$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનને અચળાંક $k = 3$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે નવા અવલોકનો $y_{i} = 3x_{i}$ બને છે.
નવો મધ્યક $\bar{y} = k \bar{x} = 3 \times 8 = 24$ થાય છે.
નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_{y} = |k| \sigma = |3| \times 4 = 12$ થાય છે.
આમ,નવો મધ્યક $24$ અને નવું પ્રમાણિત વિચલન $12$ છે.

આપેલ $n$ અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ છે.
મધ્યક $= \bar{x}$.
વિચરણ $= \sigma^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$.
ધારો કે નવા અવલોકનો $y_{i} = a x_{i}$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, n$.
નવો મધ્યક $\bar{y}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (a x_{i}) = a \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right) = a \bar{x}$.
નવું વિચરણ $\sigma_{y}^{2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (a x_{i} - a \bar{x})^{2}$.
$\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a^{2} (x_{i} - \bar{x})^{2} = a^{2} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \right)$.
કારણ કે $\sigma^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$,તેથી $\sigma_{y}^{2} = a^{2} \sigma^{2}$.
આમ,મધ્યક $a \bar{x}$ અને વિચરણ $a^{2} \sigma^{2}$ છે.

(D) ચલનાંક $(C.V.)$ ને $\frac{\text{પ્રમાણિત વિચલન}}{\text{મધ્યક}} \times 100$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગણિત માટે: $C.V. = \frac{12}{42} \times 100 \approx 28.57$.
ભૌતિકવિજ્ઞાન માટે: $C.V. = \frac{15}{32} \times 100 \approx 46.87$.
રસાયણવિજ્ઞાન માટે: $C.V. = \frac{20}{40.9} \times 100 \approx 48.90$.
વધારે $C.V.$ વધુ વિચલન સૂચવે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,રસાયણવિજ્ઞાનમાં સૌથી વધુ $C.V.$ $(48.90)$ છે અને ગણિતમાં સૌથી ઓછું $C.V.$ $(28.57)$ છે.
આમ,રસાયણવિજ્ઞાનમાં સૌથી વધુ વિચલન અને ગણિતમાં સૌથી ઓછું વિચલન જોવા મળે છે.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, \ldots, n$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$.
વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$.
$\sigma^2 = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{4n+2-3n-3}{6} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ થાય.

આપેલ છે: $n_{1} = 25, \bar{x}_{1} = 18.2, \sigma_{1} = 3.25$.
પ્રથમ સેટ માટે,$\sum x_{i} = n_{1} \times \bar{x}_{1} = 25 \times 18.2 = 455$.
સૂત્ર $\sigma_{1}^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n_{1}} - (\bar{x}_{1})^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3.25)^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{25} - (18.2)^{2}$
$10.5625 = \frac{\sum x_{i}^{2}}{25} - 331.24$
$\frac{\sum x_{i}^{2}}{25} = 341.8025 \implies \sum x_{i}^{2} = 8545.0625$.
બીજા સેટ માટે: $n_{2} = 15, \sum x_{i} = 279, \sum x_{i}^{2} = 5524$.
વર્ગોનો સંયુક્ત સરવાળો: $\sum x_{total}^{2} = 8545.0625 + 5524 = 14069.0625$.
અવલોકનોનો સંયુક્ત સરવાળો: $\sum x_{total} = 455 + 279 = 734$.
સંયુક્ત મધ્યક: $\bar{x} = \frac{734}{40} = 18.35$.
સંયુક્ત પ્રમાણિત વિચલન: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_{total}^{2}}{n_{1} + n_{2}} - (\bar{x})^{2}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{14069.0625}{40} - (18.35)^{2}}$
$\sigma = \sqrt{351.7265625 - 336.7225} = \sqrt{15.0040625} \approx 3.87$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 4) + (3 \times 9) + (4 \times 16) + (5 \times 14) + (6 \times 11) + (7 \times 6)}{4 + 9 + 16 + 14 + 11 + 6} = \frac{8 + 27 + 64 + 70 + 66 + 42}{60} = \frac{277}{60} \approx 4.6167$ શોધીએ.
પ્રમાણિત વિચલન માટેના સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum f_i x_i^2 = (4 \times 4) + (9 \times 9) + (16 \times 16) + (14 \times 25) + (11 \times 36) + (6 \times 49) = 16 + 81 + 256 + 350 + 396 + 294 = 1393$.
$\sigma = \sqrt{\frac{1393}{60} - (4.6167)^2} = \sqrt{23.2167 - 21.3139} = \sqrt{1.9028} \approx 1.38$.

(7) કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$.
$\sum f_i x_i = (2 \times A) + (1 \times 2A) + (1 \times 3A) + (1 \times 4A) + (1 \times 5A) + (1 \times 6A) = 22A$ ગણો.
$\sum f_i x_i^2 = (2 \times A^2) + (1 \times 4A^2) + (1 \times 9A^2) + (1 \times 16A^2) + (1 \times 25A^2) + (1 \times 36A^2) = 92A^2$ ગણો.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i x_i}{N}\right)^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $160 = \frac{92A^2}{7} - \left(\frac{22A}{7}\right)^2$.
$160 = \frac{92A^2}{7} - \frac{484A^2}{49} = \frac{644A^2 - 484A^2}{49} = \frac{160A^2}{49}$.
$160 = \frac{160A^2}{49} \implies A^2 = 49$.
$A$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$A = 7$.

(A) આપેલ છે: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,અને $\sigma = 4$.
$1$. બધી વસ્તુઓનો સરવાળો $(\Sigma x_i)$:
$\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n}$ $\Rightarrow 50 = \frac{\Sigma x_i}{100}$ $\Rightarrow \Sigma x_i = 5000$.
$2$. વસ્તુઓના વર્ગોનો સરવાળો $(\Sigma x_i^2)$:
સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$
$16 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2516$
$\Sigma x_i^2 = 251600$.

આપેલ છે: $n=18$,$\Sigma(x-5)=3$,અને $\Sigma(x-5)^{2}=43$.
ધારો કે $d = x-5$. તો $\Sigma d = 3$ અને $\Sigma d^2 = 43$.
$d$ નો મધ્યક $\bar{d} = \frac{\Sigma d}{n} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \approx 0.167$.
$x$ નો મધ્યક $\bar{x} = 5 + \bar{d} = 5 + 0.167 = 5.167$.
પ્રમાણિત વિચલન ઉગમબિંદુ પર આધારિત નથી,તેથી $SD(x) = SD(d)$.
$SD(d) = \sqrt{\frac{\Sigma d^2}{n} - (\bar{d})^2} = \sqrt{\frac{43}{18} - (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{2.3889 - 0.0278} = \sqrt{2.3611} \approx 1.537$.

(N/A) મધ્યક અને વિચરણ શોધવા માટે,આપણે દરેક અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ નક્કી કરીએ છીએ:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{વર્ગ} & f_i & x_i & f_i x_i & f_i x_i^2 \\ \hline 1-3 & 6 & 2 & 12 & 24 \\ \hline 3-5 & 4 & 4 & 16 & 64 \\ \hline 5-7 & 5 & 6 & 30 & 180 \\ \hline 7-10 & 1 & 8.5 & 8.5 & 72.25 \\ \hline \text{કુલ} & N=16 & & \Sigma f_i x_i = 66.5 & \Sigma f_i x_i^2 = 340.25 \\ \hline \end{array}$
$\text{મધ્યક } (\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{66.5}{16} = 4.15625 \approx 4.16$
$\text{વિચરણ } (\sigma^2) = \frac{\Sigma f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = \frac{340.25}{16} - (4.15625)^2$
$\sigma^2 = 21.265625 - 17.274414 = 3.991211 \approx 3.99$

(N/A) પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ ની ગણતરી કરો.
$\sum f_i = 40$.
$\sum f_i x_i = 239$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{239}{40} = 5.975$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2}$ શોધવા માટે,$\sum f_i x_i^2 = 1753$ ની ગણતરી કરો.
$\sigma = \sqrt{\frac{1753}{40} - (5.975)^2} = \sqrt{43.825 - 35.700625} = \sqrt{8.124375} \approx 2.85$.

$A.P.$ ના પદો $x_i = a + (i-1)d$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, n$.
$\text{મધ્યક } (\bar{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [a + (i-1)d] = a + \frac{(n-1)d}{2}$.
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ શોધવા માટે,$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.
ધારો કે $y_i = x_i - a = (i-1)d$. તો $\bar{y} = \frac{d(n-1)}{2}$.
$\sum y_i^2 = d^2 \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$.
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - (\bar{y})^2 = \frac{d^2(n-1)(2n-1)}{6} - \frac{d^2(n-1)^2}{4}$.
$\sigma^2 = \frac{d^2(n^2-1)}{12}$.
તેથી,$\sigma = |d| \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$.

(N/A) કોણ વધુ બુદ્ધિશાળી છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેમના સરેરાશ ગુણ $(\bar{x})$ ની તુલના કરીએ છીએ. કોણ વધુ સુસંગત છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેમના વિચલન ગુણાંક $(CV)$ ની તુલના કરીએ છીએ.
રવિ માટે:
સરેરાશ $\bar{x}_R = 44.1$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_R \approx 13.00$
$CV_R \approx 29.48\%$
હસીના માટે:
સરેરાશ $\bar{x}_H = 53.0$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_H \approx 24.35$
$CV_H \approx 45.94\%$
નિષ્કર્ષ:
$\bar{x}_H > \bar{x}_R$ હોવાથી,હસીના વધુ બુદ્ધિશાળી છે.
$CV_R < CV_H$ હોવાથી,રવિ વધુ સુસંગત છે.

(A) આપેલ છે કે $X = \{1, 2, \dots, 17\}$. $X$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+17}{2} = 9$ છે. $X$ નું વિચરણ $\sigma_X^2 = \frac{17^2 - 1}{12} = \frac{288}{12} = 24$ છે.
$Y = aX + b$ માટે,મધ્યક $\bar{Y} = a\bar{x} + b = 9a + b = 17$ (સમીકરણ $1$).
$Y$ નું વિચરણ $\sigma_Y^2 = a^2 \sigma_X^2 = a^2(24) = 216$ છે.
$a^2 = \frac{216}{24} = 9$. કારણ કે $a > 0$,તેથી $a = 3$.
સમીકરણ $1$ માં $a = 3$ મૂકતા: $9(3) + b = 17$ $\Rightarrow 27 + b = 17$ $\Rightarrow b = -10$.
આમ,$a + b = 3 + (-10) = -7$.

(A) ધારો કે $a$ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ આપેલ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે. $A.P.$ વધતી જતી હોવાથી,$d > 0$.
પદો $a, a+d, a+2d, \ldots, a+10d$ છે.
મધ્યક $\bar{X} = a + 5d$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (a + id - (a + 5d))^2 = \frac{d^2}{11} \sum_{i=0}^{10} (i-5)^2$.
સરવાળો: $\sum_{i=0}^{10} (i-5)^2 = 110$.
તેથી,$90 = \frac{d^2}{11} \times 110 = 10d^2$.
$d^2 = 9 \Rightarrow d = 3$ (કારણ કે $d > 0$).

(C) અવલોકનો $x_{i}$ નું વિચરણ એ $p$ ના સ્થાનાંતરથી સ્વતંત્ર છે. ધારો કે $y_{i} = x_{i} - p$.
આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 3$ અને $\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 9$.
વિચરણ $\sigma^{2}$ માટેનું સૂત્ર:
$\sigma^{2} = \frac{\sum y_{i}^{2}}{n} - \left( \frac{\sum y_{i}}{n} \right)^{2}$
$n = 10$ મૂકતા:
$\sigma^{2} = \frac{9}{10} - \left( \frac{3}{10} \right)^{2}$
$\sigma^{2} = 0.9 - 0.09 = 0.81$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{0.81} = 0.9 = \frac{9}{10}$.

(D) માહિતીનો વિસ્તાર $[0, 10]$ અંતરાલ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ આવૃત્તિ વિતરણ માટે,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ એ અસમતા $\sigma \leq \frac{1}{2}(M - m)$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $M$ અને $m$ એ અનુક્રમે ચલની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો છે.
અહીં,$M = 10$ અને $m = 0$ છે.
તેથી,$\sigma \leq \frac{1}{2}(10 - 0) = 5$.
ચલની કિંમતો ભિન્ન હોવાથી $(x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{15})$,પ્રમાણિત વિચલન $5$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
આમ,$\sigma < 5$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$6$ એ $5$ કરતા મોટું છે,તેથી પ્રમાણિત વિચલન $6$ ન હોઈ શકે.

(A) ધારો કે વર્ગોની મધ્યકિંમતો $x_i = 15, 25, 35$ છે.
સરળતા માટે,ઉગમબિંદુને $d_i = x_i - 25$ દ્વારા બદલો,જેથી $d_i = -10, 0, 10$ મળે.
આવૃત્તિઓ $f_i = 2, x, 2$ છે.
મધ્યક $\bar{d} = \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} = \frac{2(-10) + x(0) + 2(10)}{2+x+2} = \frac{0}{x+4} = 0$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{\sum f_i} - (\bar{d})^2$.
આપેલ છે કે $\sigma^2 = 50$,તેથી $50 = \frac{2(-10)^2 + x(0)^2 + 2(10)^2}{x+4} - 0^2$.
$50 = \frac{200 + 0 + 200}{x+4}$.
$50 = \frac{400}{x+4}$.
$x+4 = \frac{400}{50} = 8$.
$x = 8 - 4 = 4$.

(B) પ્રમાણિત વિચલન $(S.D.)$ નું સૂત્ર:
$S.D. = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2}}{n} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)}{n}\right)^{2}}$
આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a) = n$ અને $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2} = na$:
$S.D. = \sqrt{\frac{na}{n} - \left(\frac{n}{n}\right)^{2}}$
$S.D. = \sqrt{a - 1^{2}}$
$S.D. = \sqrt{a-1}$

(A) ધારો કે અવલોકનો $x_{i}$ છે જ્યાં $1 \leq i \leq 2n$.
મૂળ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{2n} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = 0$ છે.
મૂળ અવલોકનોનું વિચરણ $\sigma_{x}^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{2n} - (\bar{x})^{2} = \frac{n(a^{2}) + n(-a)^{2}}{2n} - 0 = \frac{2na^{2}}{2n} = a^{2}$ છે.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_{x} = \sqrt{a^{2}} = |a|$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાં અચળાંક $b$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવો મધ્યક $\bar{y} = \bar{x} + b = 0 + b = 5$,તેથી $b = 5$.
અચળાંક ઉમેરવાથી પ્રમાણિત વિચલનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી $\sigma_{y} = \sigma_{x} = |a| = 20$.
તેથી,$a^{2} = 20^{2} = 400$ અને $b^{2} = 5^{2} = 25$.
અંતે,$a^{2} + b^{2} = 400 + 25 = 425$.

(B) વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $n = 10$ છે.
$\Sigma x_{i} = 9 + k$ અને $\Sigma x_{i}^{2} = 9 + k^{2}$.
$\frac{9 + k^{2}}{10} - \left(\frac{9 + k}{10}\right)^{2} < 10$.
$10(9 + k^{2}) - (9 + k)^{2} < 1000$.
$9k^{2} - 18k + 9 < 1000$.
$9(k - 1)^{2} < 1000$.
$(k - 1)^{2} < 111.11$.
$k - 1 < 10.54$.
$k < 11.54$.
$k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$k$ ની મહત્તમ કિંમત $11$ છે.

(A) આપેલ છે $\sum_{i=1}^{18}(X_{i}-\alpha)=36 \implies \sum X_{i} - 18\alpha = 36 \implies \sum X_{i} = 18(\alpha+2)$.
આપેલ છે $\sum_{i=1}^{18}(X_{i}-\beta)^{2}=90 \implies \sum X_{i}^{2} - 2\beta \sum X_{i} + 18\beta^{2} = 90$.
$\sum X_{i} = 18(\alpha+2)$ મૂકતા,આપણને મળે $\sum X_{i}^{2} = 90 - 18\beta^{2} + 36\beta(\alpha+2)$.
વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{\sum X_{i}^{2}}{18} - (\frac{\sum X_{i}}{18})^{2} = 1^{2} = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{90 - 18\beta^{2} + 36\beta(\alpha+2)}{18} - (\alpha+2)^{2} = 1$.
$5 - \beta^{2} + 2\beta(\alpha+2) - (\alpha^{2} + 4\alpha + 4) = 1$.
$5 - \beta^{2} + 2\alpha\beta + 4\beta - \alpha^{2} - 4\alpha - 4 = 1$.
$-(\alpha^{2} - 2\alpha\beta + \beta^{2}) + 4(\beta - \alpha) = 0$.
$-(\alpha-\beta)^{2} - 4(\alpha-\beta) = 0$.
$(\alpha-\beta)^{2} + 4(\alpha-\beta) = 0$.
$(\alpha-\beta)(\alpha-\beta+4) = 0$.
$\alpha \neq \beta$ હોવાથી,$\alpha-\beta = -4$,તેથી $|\alpha-\beta| = 4$.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ છે.
આપેલ છે કે વિચરણ $14$ છે,તેથી:
$\frac{n^2 - 1}{12} = 14$
$n^2 - 1 = 14 \times 12$
$n^2 - 1 = 168$
$n^2 = 169$
$n = \sqrt{169} = 13$.
$13$ એ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$n$ ની કિંમત $13$ છે.

(C) આપેલ ડેટા: $6, 10, 7, 13, a, 12, b, 12$. અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 8$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{6+10+7+13+a+12+b+12}{8} = 9$.
$60 + a + b = 72 \implies a + b = 12$ $(1)$.
વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = \frac{37}{4}$.
$\sum x_{i}^{2} = a^{2} + b^{2} + 642$.
$\frac{a^{2} + b^{2} + 642}{8} - 81 = \frac{37}{4}$.
$\frac{a^{2} + b^{2} + 642}{8} = \frac{361}{4}$.
$a^{2} + b^{2} + 642 = 722 \implies a^{2} + b^{2} = 80$ $(2)$.
$(a-b)^{2} = (a+b)^{2} - 4ab$.
$(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \implies 144 = 80 + 2ab \implies 2ab = 64$.
તેથી,$(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab = 80 - 64 = 16$.

(D) આપેલ છે $n = 15$,$\text{મધ્યક} (\bar{x}) = 8$,અને $\text{પ્રમાણિત વિચલન} (\sigma) = 3$.
$\text{વિચરણ} = \sigma^2 = 3^2 = 9$.
સૂત્ર $\text{વિચરણ} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$9 = \frac{\sum x_i^2}{15} - 8^2$.
$\frac{\sum x_i^2}{15} = 9 + 64 = 73 \Rightarrow \sum x_i^2 = 15 \times 73 = 1095$.
વળી,$\sum x_i = n \times \bar{x} = 15 \times 8 = 120$.
કિંમતો સુધારતા: $20$ ને બદલે $5$ વંચાયા હતા,તેથી $5$ બાદ કરી $20$ ઉમેરીશું.
સુધારેલ $\sum x_i = 120 - 5 + 20 = 135$.
સુધારેલ $\sum x_i^2 = 1095 - 5^2 + 20^2 = 1095 - 25 + 400 = 1470$.
સુધારેલ $\text{મધ્યક} (\bar{x}_{new}) = \frac{135}{15} = 9$.
સુધારેલ $\text{વિચરણ} = \frac{1470}{15} - (9)^2 = 98 - 81 = 17$.

(C) આપેલ છે $n = 10$,ખોટો મધ્યક $\bar{x} = 15$,અને ખોટું વિચરણ $\sigma^2 = 15$.
અવલોકનોનો ખોટો સરવાળો: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 15 = 150$.
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો: $\sum x_{i, \text{correct}} = 150 - 25 + 15 = 140$.
સાચો મધ્યક: $\bar{x}_{\text{correct}} = \frac{140}{10} = 14$.
વિચરણના સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$15 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 15^2$.
$\frac{\sum x_i^2}{10} = 15 + 225 = 240 \implies \sum x_i^2 = 2400$.
વર્ગોનો સાચો સરવાળો: $\sum x_{i, \text{correct}}^2 = 2400 - 25^2 + 15^2 = 2400 - 625 + 225 = 2000$.
સાચું વિચરણ: $\sigma_{\text{correct}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{correct}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{correct}})^2 = \frac{2000}{10} - 14^2 = 200 - 196 = 4$.
સાચું પ્રમાણિત વિચલન: $\sigma_{\text{correct}} = \sqrt{4} = 2$.

(D) ધારો કે બે સમૂહ $S_1$ અને $S_2$ છે જ્યાં $n_1 = 15, n_2 = 15$ છે.
આપેલ છે: $\bar{x}_1 = 12, \sigma_1^2 = 14$ અને $\bar{x}_2 = 14, \sigma_2^2 = \sigma^2$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2_{comb}$ નું સૂત્ર:
$\sigma^2_{comb} = \frac{n_1 \sigma_1^2 + n_2 \sigma_2^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1 n_2 (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)^2}{(n_1 + n_2)^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$13 = \frac{15(14) + 15(\sigma^2)}{30} + \frac{15 \times 15 (12 - 14)^2}{30^2}$
$13 = \frac{14 + \sigma^2}{2} + 1$
$12 = \frac{14 + \sigma^2}{2}$
$24 = 14 + \sigma^2$
$\sigma^2 = 10$

(D) વર્ગ મધ્યક $(x_i)$ અનુક્રમે $5, 15, 25, 35, 45$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 28$ આપેલ છે.
$\frac{2(5) + 3(15) + x(25) + 5(35) + 4(45)}{2 + 3 + x + 5 + 4} = 28$
$\frac{410 + 25x}{14 + x} = 28 \implies 410 + 25x = 392 + 28x \implies 3x = 18 \implies x = 6$.
કુલ આવૃત્તિ $N = 20$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = \frac{18700}{20} - 28^2 = 935 - 784 = 151$.

(B) આપેલ છે $\sum f_i = 62$.
ગણતરી કરતા $k=4$ મળે છે.
$\mu = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{148}{62}$.
$\sum f_i x_i^2 = 468$.
$\mu^2 + \sigma^2 = E[X^2] = \frac{468}{62} \approx 7.548$.
તેથી,$[\mu^2 + \sigma^2] = 7$.

(B) ધારો કે $X = \alpha - \beta$. $X$ ની શક્ય કિંમતો $-5$ થી $5$ સુધીની છે.
$\alpha$ અને $\beta$ એ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ પર સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત અસતત સમાન ચલ હોવાથી,$\alpha$ નું વિચરણ $\text{Var}(\alpha) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{36 - 1}{12} = \frac{35}{12}$ થાય.
તે જ રીતે,$\text{Var}(\beta) = \frac{35}{12}$ થાય.
$\alpha$ અને $\beta$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$\text{Var}(\alpha - \beta) = \text{Var}(\alpha) + \text{Var}(-\beta) = \text{Var}(\alpha) + \text{Var}(\beta)$ થાય.
$\text{Var}(\alpha - \beta) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6}$ થાય.
અહીં,$p = 35$ અને $q = 6$ છે. $35$ અને $6$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$p = 35$ મળે.
$p$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $35 = 5^1 \times 7^1$ છે.
$p$ ના ધન ભાજકોનો સરવાળો $(5^0 + 5^1)(7^0 + 7^1) = (1 + 5)(1 + 7) = 6 \times 8 = 48$ થાય.

(B) આપેલ છે $n = 10$,$\text{મધ્યક} (\bar{x}) = 20$,અને $\text{પ્રમાણિત વિચલન} (\sigma) = 2$.
પ્રથમ,અવલોકનોનો સરવાળો શોધો: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 20 = 200$.
સુધારેલ અવલોકનોનો સરવાળો: $\sum x_{i, \text{new}} = 200 - 50 + 40 = 190$.
સુધારેલ મધ્યક: $\bar{x}_{\text{new}} = \frac{190}{10} = 19$.
વિચરણના સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 20^2 \implies 4 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 400 \implies \sum x_i^2 = 4040$.
સુધારેલ વર્ગોનો સરવાળો: $\sum x_{i, \text{new}}^2 = 4040 - 50^2 + 40^2 = 4040 - 2500 + 1600 = 3140$.
સુધારેલ વિચરણ: $\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{new}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{new}})^2 = \frac{3140}{10} - 19^2 = 314 - 361 = 13$ (ગણતરી મુજબ).

(B) આપેલ છે કે $\sum_{k=1}^{10} a_k = 50$ અને $\sum_{k < j} a_k a_j = 1100$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sum_{i=1}^{10} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2 \sum_{k < j} a_k a_j$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(50)^2 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2(1100)$.
$2500 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2200$.
$\sum_{i=1}^{10} a_i^2 = 2500 - 2200 = 300$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum a_i^2 - (\bar{a})^2$,જ્યાં $\bar{a} = \frac{\sum a_i}{n} = \frac{50}{10} = 5$.
$\sigma^2 = \frac{300}{10} - (5)^2 = 30 - 25 = 5$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{5}$.

(C) આપેલ માહિતી: $65, 68, 58, 44, 48, 45, 60, \alpha, \beta, 60$. અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 10$.
મધ્યક $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 56$.
$\frac{448+\alpha+\beta}{10} = 56 \Rightarrow \alpha+\beta = 112$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\overline{x})^2 = 66.2$.
$\frac{25678+\alpha^2+\beta^2}{10} - 3136 = 66.2$.
$\frac{25678+\alpha^2+\beta^2}{10} = 3202.2$.
$\alpha^2+\beta^2 = 32022 - 25678 = 6344$.