Variance and Standard Deviation Questions in Gujarati

(C) મધ્યક $\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ નું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2}$ છે.
$\sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma = \sqrt{\frac{55}{5} - 3^2} = \sqrt{11 - 9} = \sqrt{2}$.

(C) પગલું $1$: માહિતીનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો.
$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6$.
પગલું $2$: વિચરણના સૂત્ર $\text{Variance} = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરો.
$\text{Variance} = \frac{1}{5} \{(2 - 6)^2 + (4 - 6)^2 + (6 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + (10 - 6)^2\}$.
પગલું $3$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો.
$\text{Variance} = \frac{1}{5} \{(-4)^2 + (-2)^2 + (0)^2 + (2)^2 + (4)^2\}$.
$\text{Variance} = \frac{1}{5} \{16 + 4 + 0 + 4 + 16\}$.
$\text{Variance} = \frac{1}{5} \{40\} = 8$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) અવલોકનોના સમૂહનું પ્રમાણિત વિચલન ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે.
ધારો કે પ્રથમ શ્રેણી $x_i = \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ છે જેનું પ્રમાણિત વિચલન $K$ છે.
બીજી શ્રેણી $y_i = \{10, 11, 12, \dots, 19\}$ છે,જેને $y_i = x_i + 10$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત વિચલન દરેક અવલોકનમાં અચળ સંખ્યા ઉમેરવાથી બદલાતું નથી,તેથી $y_i$ નું પ્રમાણિત વિચલન $x_i$ ના પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ રહે છે.
તેથી,બીજી શ્રેણીનું પ્રમાણિત વિચલન પણ $K$ થશે.

(A) વિચરણ $\sigma^2$ નું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - \left( \frac{n(n+1)}{2n} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$
$\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n + 2 - 3n - 3]}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

(D) આવૃત્તિ વિતરણ માટે પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2}$
જ્યાં $N = \sum f_i$ અને $d_i = x_i - A$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આવૃત્તિ વિતરણ માટે પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ એ વિચરણનું વર્ગમૂળ છે.
વિચરણ એ મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોનો મધ્યક છે,જે $\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{\sum f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{\sum f}}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) પ્રમાણિત વિતરણ માટે,સરેરાશ વિચલન $(M.D.)$,ચતુર્થક વિચલન $(Q.D.)$ અને પ્રમાણિત વિચલન $(S.D.)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$Q.D. = \frac{5}{6} \times M.D.$
$M.D. = 12$ આપેલ હોવાથી:
$Q.D. = \frac{5}{6} \times 12 = 10$
હવે,$S.D. = \frac{3}{2} \times Q.D.$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$S.D. = \frac{3}{2} \times 10 = 15$
તેથી,$S.D.$ નું મૂલ્ય $15$ છે.

(A) $\Rightarrow$ વિચરણ એ પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ છે.
$\Rightarrow$ ગાણિતિક રીતે,આ સંબંધ $v = \sigma^2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$\therefore$ જો $v$ એ વિચરણ હોય અને $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન હોય,તો $v = \sigma^2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અચળાંક $a$ અને $b$ માટે,રૂપાંતરિત ચલ $Y = aX + b$ નું વિચરણ $Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,દરેક અવલોકન $x$ ને $\lambda$ વડે ગુણવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \lambda$ અને $b = 0$.
તેથી,નવું વિચરણ $Var(\lambda x) = \lambda^2 \cdot Var(x) = \lambda^2 \sigma^2$ થશે.

(D) વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$CV = \frac{\text{પ્રમાણિત વિચલન}}{\text{મધ્યક}} \times 100$
આપેલ છે:
મધ્યક $= 35.16$
પ્રમાણિત વિચલન $= 19.76$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$CV = \frac{19.76}{35.16} \times 100$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_n$ નું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ છે.
ધારો કે નવા અવલોકનો $y_i = ax_i$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, n$.
નવા અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ax_i = a \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) = a\bar{x}$ થાય.
નવા અવલોકનોનું વિચરણ $\text{Var}(y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$ છે.
$y_i = ax_i$ અને $\bar{y} = a\bar{x}$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Var}(y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (ax_i - a\bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a^2(x_i - \bar{x})^2 = a^2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right) = a^2\sigma^2$.

(A) મધ્યક $\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$.
પ્રથમ,$\sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91$.
તેથી,$\sigma^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
પ્રમાણિત વિચલન $S.D. = \sigma = \sqrt{\frac{35}{12}}$.

(A) પ્રમાણિત વિચલન એ વિતરણનું માપ છે,જે દર્શાવે છે કે સંખ્યાઓ તેમના મધ્યકથી કેટલી દૂર ફેલાયેલી છે.
જો ડેટાના દરેક અવલોકન $x_i$ ને $x_i + k$ માં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે,તો ડેટાનો મધ્યક $k$ જેટલો વધે છે,પરંતુ અવલોકનો અને મધ્યક વચ્ચેનો તફાવત સમાન રહે છે.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન બદલાતું નથી.
આમ,નવું પ્રમાણિત વિચલન $40$ રહેશે.

(D) પ્રમાણિત વિચલન એ વિક્ષેપનું માપ છે જે ઉદગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે.
જો ડેટા સેટમાં દરેક અવલોકન $x_i$ ને $x_i \pm k$ માં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે,તો નવું પ્રમાણિત વિચલન મૂળ પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ રહે છે.
આપેલ છે કે મૂળ $S.D.$ $6$ છે,તેથી દરેક વસ્તુમાં $1$ નો વધારો કે ઘટાડો કરવાથી ડેટાના વિક્ષેપમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,નવું પ્રમાણિત વિચલન $6$ રહેશે.

(B) આપેલ છે: અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$,મધ્યક $\bar{x} = 50$,અને વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 250$.
પ્રથમ,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{250}{10} = 25$ ગણો.
ત્યારબાદ,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{25} = 5$ ગણો.
વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \left( \frac{\sigma}{\bar{x}} \right) \times 100$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$CV = \left( \frac{5}{50} \right) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$.

(D) $a \le x_i \le b$ હોય તેવા અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ $\text{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જાણીતો ગુણધર્મ છે કે અંતરાલ $[a, b]$ માં રહેલા અવલોકનો માટે,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ એ $\sigma \le \frac{b - a}{2}$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,વિચરણ $\text{Var}(x) = \sigma^2 \le \left( \frac{b - a}{2} \right)^2 = \frac{(b - a)^2}{4}$.
કારણ કે $\frac{(b - a)^2}{4} \le (b - a)^2$,તેથી અસમતા $(b - a)^2 \ge \text{Var}(x)$ સાચી છે.

(D) ધારો કે માહિતી $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ નો વિચરણ $Var(X) = 9$ છે.
જો માહિતીના દરેક અવલોકનને અચળાંક $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવો વિચરણ $k^2 \times Var(X)$ થાય છે.
અહીં,$k = 5$ છે.
તેથી,નવો વિચરણ $5^2 \times 9 = 25 \times 9 = 225$ થાય.

(C) કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $2n$ છે.
$n$ અવલોકનો $a$ છે અને $n$ અવલોકનો $-a$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{2n}}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{n(a - 0)^2 + n(-a - 0)^2}{2n}}$.
$2 = \sqrt{\frac{na^2 + na^2}{2n}} = \sqrt{\frac{2na^2}{2n}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
તેથી,$|a| = 2$.

(B) ધારો કે $y = \frac{ax + b}{c} = \frac{a}{c}x + \frac{b}{c}$.
પ્રમાણિત વિચલન $(S.D.)$ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર હોવાથી,અચળ પદ $\frac{b}{c}$ ની $S.D.$ પર કોઈ અસર થતી નથી.
રેખીય રૂપાંતરણ $y = Ax + B$ માટે,નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_y = |A| \sigma_x$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = \frac{a}{c}$.
તેથી,નવું $S.D.$ $\left| \frac{a}{c} \right| \sigma$ થશે.

(D) આપેલ છે: $\Sigma (x_i - \bar{x})^2 = 250$,$n = 10$,$\bar{x} = 50$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \Sigma (x_i - \bar{x})^2 = \frac{250}{10} = 25$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{25} = 5$.
ચલનાંક $(CV)$ $= \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$.
$CV = \frac{5}{50} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$.
આથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $n = 15, \Sigma x = 170, \Sigma x^2 = 2830$.
જ્યારે એક ખોટું અવલોકન $20$ ને સાચા મૂલ્ય $30$ દ્વારા બદલવામાં આવે ત્યારે:
અવલોકનોનો સાચો સરવાળો $= 170 - 20 + 30 = 180$.
અવલોકનોના વર્ગોનો સાચો સરવાળો $= 2830 - 20^2 + 30^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
સાચો મધ્યક $\bar{x} = \frac{180}{15} = 12$.
સાચું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\Sigma x^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{3330}{15} - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(A) આપેલ સંબંધ $u = \frac{x - a}{h}$ છે,જેને $u = \frac{1}{h}x - \frac{a}{h}$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત વિચલન એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે પરંતુ માપના ફેરફાર પર આધાર રાખે છે.
જો $u = ax + b$ હોય,તો $\sigma_u = |a| \sigma_x$ થાય.
અહીં,$a = \frac{1}{h}$ હોવાથી,$\sigma_u = |\frac{1}{h}| \sigma_x = \frac{1}{|h|} \sigma_x$ થાય.
તેથી,$\sigma_x = |h| \sigma_u$ મળે.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ છે.
$n = 20$ માટે,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{20^2 - 1}{12}$ થશે.
$\sigma^2 = \frac{400 - 1}{12} = \frac{399}{12}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\sigma^2 = \frac{133}{4}$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે,$aX$ નું વિચરણ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \cdot \operatorname{Var}(X)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મૂળ વિચરણ $\sigma^2$ છે,તેથી નવા અવલોકનોનું વિચરણ (જ્યાં દરેક અવલોકનને $\lambda$ વડે ગુણવામાં આવે છે) $\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda^2 \cdot \operatorname{Var}(X) = \lambda^2 \sigma^2$ થશે.
પ્રમાણિત વિચલન એ વિચરણનું વર્ગમૂળ છે.
તેથી,નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sqrt{\lambda^2 \sigma^2} = |\lambda| \sigma$ થશે.

(C) ધારેલો મધ્યક $A = 6.5$ લો.
વિચરણની ગણતરી:

$x_i$	$f_i$	$d_i = x_i - 6.5$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$3.5$	$3$	$-3$	$-9$	$27$
$4.5$	$7$	$-2$	$-14$	$28$
$5.5$	$22$	$-1$	$-22$	$22$
$6.5$	$60$	$0$	$0$	$0$
$7.5$	$85$	$1$	$85$	$85$
$8.5$	$32$	$2$	$64$	$128$
$9.5$	$8$	$3$	$24$	$72$
કુલ	$N = \Sigma f_i = 217$	-	$\Sigma f_i d_i = 128$	$\Sigma f_i d_i^2 = 362$

અહીં $N = 217$,$\Sigma f_i d_i = 128$ અને $\Sigma f_i d_i^2 = 362$.
$Var(X) = \left( \frac{1}{N} \Sigma f_i d_i^2 \right) - \left( \frac{1}{N} \Sigma f_i d_i \right)^2$
$Var(X) = \frac{362}{217} - \left( \frac{128}{217} \right)^2$
$Var(X) = 1.6682 - (0.5898)^2 = 1.6682 - 0.3479 = 1.3203 \approx 1.32$.

(D) ધારો કે $a = 7$ (ધારેલો મધ્યક) અને $h = 2$ (વર્ગ લંબાઈ).

$Class$	$x_i$	$f_i$	$u_i = (x_i - a)/h$	$f_i u_i$	$f_i u_i^2$
$0-2$	$1$	$2$	$-3$	$-6$	$18$
$2-4$	$3$	$7$	$-2$	$-14$	$28$
$4-6$	$5$	$12$	$-1$	$-12$	$12$
$6-8$	$7$	$19$	$0$	$0$	$0$
$8-10$	$9$	$9$	$1$	$9$	$9$
$10-12$	$11$	$1$	$2$	$2$	$4$
Total	-	$N=50$	-	$\sum f_i u_i = -21$	$\sum f_i u_i^2 = 71$

વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = h^2 \left[ \frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left( \frac{\sum f_i u_i}{N} \right)^2 \right]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = 2^2 \left[ \frac{71}{50} - \left( \frac{-21}{50} \right)^2 \right]$
$\sigma^2 = 4 \left[ 1.42 - (-0.42)^2 \right]$
$\sigma^2 = 4 \left[ 1.42 - 0.1764 \right]$
$\sigma^2 = 4 \times 1.2436 = 4.9744 \approx 4.97$.

(A) પગલું $1$: મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો.
$\bar{x} = \frac{10 + 14 + 11 + 9 + 8 + 12 + 6}{7} = \frac{70}{7} = 10$.
પગલું $2$: વિચરણ $(\sigma^2)$ શોધો.
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{0 + 16 + 1 + 1 + 4 + 4 + 16}{7} = \frac{42}{7} = 6$.
પગલું $3$: પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ શોધો.
$\sigma = \sqrt{6} \approx 2.449$.
પગલું $4$: ચલનાંક ($C$.$V$.) શોધો.
$C.V. = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{2.449}{10} \times 100 = 24.49\% \approx 25.46\%$.

(A) આપેલ છે કે $x_1, x_2, \dots, x_n$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ છે અને વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ છે.
અવલોકનો $2x_1, 2x_2, \dots, 2x_n$ માટે:
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i) = 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right) = 2\bar{x}$.
તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે કારણ કે મધ્યક $2\bar{x}$ છે,$4\bar{x}$ નથી.
નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i - 2\bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 4(x_i - \bar{x})^2 = 4 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \right) = 4\sigma^2$.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સુરેખ રૂપાંતરણનું વિચરણ $\operatorname{Var}(ax + b) = a^2 \cdot \operatorname{Var}(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 10$,તેથી વિચરણ $\operatorname{Var}(x) = \sigma^2 = 10^2 = 100$.
અહીં,$a = 5$ અને $b = 50$ છે.
તેથી,જરૂરી વિચરણ $\operatorname{Var}(5x_i + 50) = 5^2 \cdot \operatorname{Var}(x_i) = 25 \cdot 100 = 2500$ થશે.

(A) બિંદુ $c = -2$ આગળ મધ્યક વર્ગ વિચલન $18$ છે:
$\frac{1}{n} \sum (x_i + 2)^2 = 18 \implies \sum x_i^2 + 4 \sum x_i = 14n$ $(1)$
બિંદુ $c = 2$ આગળ મધ્યક વર્ગ વિચલન $10$ છે:
$\frac{1}{n} \sum (x_i - 2)^2 = 10 \implies \sum x_i^2 - 4 \sum x_i = 6n$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2 \sum x_i^2 = 20n \implies \frac{\sum x_i^2}{n} = 10$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$8 \sum x_i = 8n \implies \frac{\sum x_i}{n} = 1$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2 = 10 - (1)^2 = 9$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{9} = 3$.

(B) વિધાન-$1$ માટે: પ્રથમ $n$ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 2n$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = n+1$ છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{3}$ મળે છે. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે: પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ છે અને તેમના વર્ગોનો સરવાળો $\frac{n(4n^2-1)}{3}$ છે. આ વિધાન સાચું છે,પરંતુ તે વિધાન-$1$ ની સમજૂતી નથી.

(B) આપેલ શ્રેણી $x_i = a + id$ છે,જ્યાં $i = 0, 1, 2, \dots, 2n$. કુલ પદોની સંખ્યા $N = 2n + 1$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = a + nd$ થાય છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{2n+1} \sum_{i=0}^{2n} (x_i - \bar{x})^2$.
અહીં $x_i - \bar{x} = (i - n)d$ હોવાથી,
$\sigma^2 = \frac{d^2}{2n+1} \sum_{j=-n}^{n} j^2 = \frac{d^2}{2n+1} \cdot 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
તેથી,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n(n+1)}{3} d^2$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ $\sigma^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે $\sigma^2 \ge 0$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$ છે.
આપેલ કિંમતો $\sum x_i^2 = 400$ અને $\sum x_i = 80$ મૂકતા:
$\frac{400}{n} - \left( \frac{80}{n} \right)^2 \ge 0$
$\frac{400}{n} \ge \frac{6400}{n^2}$
$n > 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $n^2$ વડે ગુણતા:
$400n \ge 6400$
$n \ge \frac{6400}{400}$
$n \ge 16$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $18$ એ $n \ge 16$ ની શરતનું પાલન કરે છે.

(B) ધારો કે $y_i = x_i - 15$. તો આપેલ કિંમતો $\sum_{i=1}^{10} y_i = 12$ અને $\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 18$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન ઉગમબિંદુના ફેરફાર હેઠળ બદલાતું નથી,તેથી $x_i$ નું પ્રમાણિત વિચલન એ $y_i$ ના પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ છે.
વિચરણ $\sigma^2$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{n} \sum y_i^2 - (\frac{1}{n} \sum y_i)^2$ છે.
અહીં $n = 10$,$\sum y_i = 12$,અને $\sum y_i^2 = 18$ છે.
$\sigma^2 = \frac{18}{10} - (\frac{12}{10})^2 = 1.8 - (1.2)^2 = 1.8 - 1.44 = 0.36$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{0.36} = 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

(D) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે. દરેક અવલોકનમાં $10$ ઉમેર્યા પછીના નવા અવલોકનો $x_i' = x_i + 10$ છે.
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક એ મધ્યવર્તી સ્થિતિના માપ છે અને જ્યારે દરેક અવલોકનમાં $10$ ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તેમાં $10$ નો વધારો થાય છે.
જોકે,વિચરણ એ પ્રસારનું માપ છે. અવલોકનો $x_i$ ના સમૂહનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવા અવલોકનો માટે,નવો મધ્યક $\bar{x}' = \bar{x} + 10$ છે.
નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i + 10) - (\bar{x} + 10))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \sigma^2$ થાય છે.
આમ,વિચરણ બદલાતું નથી.

(D) પ્રમાણિત વિચલન ($S$.$D$.) નું સૂત્ર: $S.D. = \sqrt{\frac{1}{n} \sum x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum x_i \right)^2}$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S.D. = \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \right)^2}$
$S.D. = \sqrt{\frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}}$
$S.D. = \sqrt{\frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}}$
$S.D. = \sqrt{\frac{(n+1) [4n + 2 - 3n - 3]}{12}}$
$S.D. = \sqrt{\frac{(n+1)(n-1)}{12}} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$.

(A) પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$
$\sum x_i^2$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{\sum x_i^2}{n} = \sigma^2 + \bar{x}^2$
$\sum x_i^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2)$
આમ,અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો $n(\sigma^2 + \bar{x}^2)$ થાય.

(B) આપેલ અવલોકનો $8, 12, 13, 15, 22$ છે.
અહીં,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
મધ્યક $\overline{x} = \frac{8 + 12 + 13 + 15 + 22}{5} = \frac{70}{5} = 14$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n}$ છે.
મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોની ગણતરી:
$(8 - 14)^2 = (-6)^2 = 36$
$(12 - 14)^2 = (-2)^2 = 4$
$(13 - 14)^2 = (-1)^2 = 1$
$(15 - 14)^2 = (1)^2 = 1$
$(22 - 14)^2 = (8)^2 = 64$
વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો $= 36 + 4 + 1 + 1 + 64 = 106$.
વિચરણ $= \frac{106}{5} = 21.2$.

(C) આપેલ છે: $n_1 = 200, \bar{x}_1 = 25, \sigma_1 = 3$ અને $n_2 = 300, \bar{x}_2 = 10, \sigma_2 = 4$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x}$ નીચે મુજબ મળે:
$\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{200 \times 25 + 300 \times 10}{500} = \frac{5000 + 3000}{500} = \frac{8000}{500} = 16$.
વિચલન $d_1$ અને $d_2$ ની ગણતરી:
$d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 25 - 16 = 9$.
$d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 10 - 16 = -6$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2$ નીચે મુજબ મળે:
$\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
$\sigma^2 = \frac{200(3^2 + 9^2) + 300(4^2 + (-6)^2)}{500}$.
$\sigma^2 = \frac{200(9 + 81) + 300(16 + 36)}{500} = \frac{200(90) + 300(52)}{500}$.
$\sigma^2 = \frac{18000 + 15600}{500} = \frac{33600}{500} = 67.2$.

(B) આપેલ અવલોકનો $112, 116, 120, 125, 132$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{112 + 116 + 120 + 125 + 132}{5} = \frac{605}{5} = 121$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\Sigma (x_i - \bar{x})^2}{n}$.
દરેક અવલોકન માટે $(x_i - \bar{x})^2$ ની ગણતરી:
$(112 - 121)^2 = (-9)^2 = 81$
$(116 - 121)^2 = (-5)^2 = 25$
$(120 - 121)^2 = (-1)^2 = 1$
$(125 - 121)^2 = (4)^2 = 16$
$(132 - 121)^2 = (11)^2 = 121$
વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma (x_i - \bar{x})^2 = 81 + 25 + 1 + 16 + 121 = 244$.
તેથી,$\sigma^2 = \frac{244}{5} = 48.8$.

(B) આપેલ અવલોકનો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ છે.
મધ્યક $(\bar{x})$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5+6+7}{7} = \frac{28}{7} = 4$.
વિચરણ $(\sigma^2)$ સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\sigma^2 = \frac{(1-4)^2 + (2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (6-4)^2 + (7-4)^2}{7}$
$\sigma^2 = \frac{(-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2}{7}$
$\sigma^2 = \frac{9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{7} = \frac{28}{7} = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ એ વિચરણનું વર્ગમૂળ છે:
$\sigma = \sqrt{4} = 2$.

(A) આપણી પાસે $\text{Var}(Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$ છે.
આપેલ છે કે $y_i = ax_i + b$,તેથી $\bar{y} = a\bar{x} + b$.
આ કિંમતોને વિચરણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Var}(Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ((ax_i + b) - (a\bar{x} + b))^2$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (ax_i - a\bar{x})^2$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a^2(x_i - \bar{x})^2$
$= a^2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right)$
$= a^2 \text{Var}(X)$.

(C) વિતરણનું વિચરણ એ ઉદ્ગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે.
જો દરેક અવલોકન $x_i$ ને $x_i + \lambda$ માં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે,તો નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ જ રહે છે કારણ કે માહિતીનો ફેલાવો બદલાતો નથી.
વિચરણ એ પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ હોવાથી,નવું વિચરણ $\sigma^2$ જ રહેશે.

(B) પ્રથમ $n$ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 2n$ છે.
તેમનો સરવાળો $\sum x_i = 2(1 + 2 + \dots + n) = 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{n(n + 1)}{n} = n + 1$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \dots + (2n)^2 = 4(1^2 + 2^2 + \dots + n^2) = 4 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$ છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
$\sigma^2 = \frac{2(n + 1)(2n + 1)}{3} - (n + 1)^2 = (n + 1) \left[ \frac{4n + 2}{3} - (n + 1) \right] = (n + 1) \left[ \frac{4n + 2 - 3n - 3}{3} \right] = (n + 1) \frac{n - 1}{3} = \frac{n^2 - 1}{3}$ છે.
આમ,$\frac{n^2 - 1}{3} \neq \frac{n^2 - 1}{4}$ હોવાથી વિધાન-$1$ ખોટું છે અને વિધાન-$2$ સાચું છે.

(B) પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ છે.
તેમનો સરવાળો $\sum x_i = n^2$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{n^2}{n} = n$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i^2 = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
$\sigma^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3n} - n^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{n^2-1}{3}$ છે.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{3}}$ થાય.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,મધ્યક $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ છે.
ચલનાંક ($C$.$V$.) નું સૂત્ર $\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $C.V. = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}} \times \frac{2}{n+1} \times 100$.
$n^2-1 = (n-1)(n+1)$ હોવાથી,$C.V. = \sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}} \times \frac{2}{n+1} \times 100$.
સાદું રૂપ આપતા,$C.V. = \sqrt{\frac{n-1}{3(n+1)}} \times 100$ મળે છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $31, 32, 33, \dots, 47$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે જેમાં કુલ $N$ પદો છે.
અહીં પદોની સંખ્યા $N = 47 - 31 + 1 = 17$ છે.
ક્રમિક પૂર્ણાંકો માટે પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{N^2 - 1}{12}}$ છે.
$N = 17$ મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{\frac{17^2 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{289 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{288}{12}} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વિચરણ $\sigma^2$ માટેનું સૂત્ર: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - \left( \frac{n(n+1)}{2n} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$.
છેદ $12$ લેતા: $\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$.
$\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12} = \frac{(n+1)(4n+2 - 3n - 3)}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક $\overline{x}$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ ધરાવતા વિતરણ માટે ચલનાંકનું સૂત્ર:
$\text{ચલનાંક} = \frac{\sigma}{\overline{x}} \times 100$
અહીં $\overline{x} = 4$ અને $\text{ચલનાંક} = 58\%$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\sigma}{4} \times 100 = 58$
$\sigma = \frac{58 \times 4}{100}$
$\sigma = \frac{232}{100} = 2.32$
આમ,પ્રમાણિત વિચલન $2.32$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ સમૂહમાં $n_1 = 10$ અવલોકનો છે,મધ્યક $\bar{x}_1 = 5$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_1 = 2\sqrt{6}$ છે.
વિચરણ $\sigma_1^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$.
સૂત્ર $\sigma_1^2 = \frac{\sum x_i^2}{n_1} - \bar{x}_1^2$ પરથી,$24 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 25$,તેથી $\sum x_i^2 = 490$.
બીજા સમૂહમાં $n_2 = 20$ અવલોકનો છે,મધ્યક $\bar{x}_2 = 5$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_2 = 3\sqrt{2}$ છે.
વિચરણ $\sigma_2^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
સૂત્ર $\sigma_2^2 = \frac{\sum y_i^2}{n_2} - \bar{x}_2^2$ પરથી,$18 = \frac{\sum y_i^2}{20} - 25$,તેથી $\sum y_i^2 = 860$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{10(5) + 20(5)}{30} = 5$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{490 + 860}{30} - 5^2 = 45 - 25 = 20$.
સંયુક્ત પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.