જો પ્રત્યેક અવલોકન $x_{1}, x_{2}, \ldots ., x_{n}$ માં કોઈ ધન કે ત્રણ સંખ્યા $'a'$ ઉમેરવામાં આવે, તો સાબિત કરો કે વિચરણ બદલાતું નથી.
Let $\bar{x}$ be the mean of $x_{1}, x_{2}, \ldots ., x_{n} .$ Then the variance is given by
$\sigma _1^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $
If $'a$ is added to each observation, the new observations will be
$y_{i}=x_{i}+a$ .......$(1)$
Let the mean of the new observations be $\bar{y} .$ Then
$\bar y = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i} = \frac{1}{n}} \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - a} \right)} $
$ = \frac{1}{n}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \sum\limits_{i = 1}^n a } \right] = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} + \frac{{na}}{n} = } \bar x + a$
i.e. $\bar{y}=\bar{x}+a$ ..........$(2)$
Thus, the variance of the new observations
$\sigma _2^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - \bar y} \right)}^2}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} + a - \bar x - a} \right)}^2}} $ [ Using $(1)$ and $(2)$ ]
$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} + \bar x} \right)}^2}} = \sigma _1^2$
Thus, the variance of the new observations is same as that of the original observations.
જો $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, …… x_n$ નો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $\bar x$અને $\sigma$ હોય તો અવલોકનોના વર્ગનો સરવાળો કેટલો થાય ?
નીચે આપેલ માહિતી માટે વિચરણ શોધો.
$6,8,10,12,14,16,18,20,22,24$
પ્રથમ $50 $ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ .. . . . . .છે.
એક વિદ્યાર્થીએ એક અવલોકન ભૂલથી $15$ ને બદલે $25$ લઈને ગણેલ $10$ અવલોકનોનો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $15$ અને $15$ છે. તી સાયું પ્રમાણિત વિચલન ............ છે.
અમુક માહિતી માટે મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન આપેલ છે જે નીચે મુજબ છે
અવલોકનની સંખ્યા $=25,$ મધ્યક $=18.2$ અને પ્રમાણિત વિચલન $=3.25$
વધારામાં બીજા 15 અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15},$ ગણ પણ હાજર છે જેના માટે $\sum_{i=1}^{15} x_{i}=279$ અને $\sum_{i=1}^{15} x_{i}^{2}=5524$ છે તો બધા 40 અવલોકનનો પ્રમાણિત વિચલન મેળવો