જો પ્રત્યેક અવલોકન $x_{1}, x_{2}, \ldots ., x_{n}$ માં કોઈ ધન કે ત્રણ સંખ્યા $'a'$ ઉમેરવામાં આવે, તો સાબિત કરો કે વિચરણ બદલાતું નથી. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $\bar{x}$ be the mean of $x_{1}, x_{2}, \ldots ., x_{n} .$ Then the variance is given by

$\sigma _1^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $

If $'a$ is added to each observation, the new observations will be

$y_{i}=x_{i}+a$        .......$(1)$

Let the mean of the new observations be $\bar{y} .$ Then

$\bar y = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i} = \frac{1}{n}} \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - a} \right)} $

$ = \frac{1}{n}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \sum\limits_{i = 1}^n a } \right] = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} + \frac{{na}}{n} = } \bar x + a$

i.e.        $\bar{y}=\bar{x}+a$           ..........$(2)$

Thus, the variance of the new observations

$\sigma _2^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - \bar y} \right)}^2}}  = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} + a - \bar x - a} \right)}^2}} $         [ Using $(1)$ and $(2)$ ]

$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} + \bar x} \right)}^2}}  = \sigma _1^2$

Thus, the variance of the new observations is same as that of the original observations.

Similar Questions

જો $n$  અવલોકનો $x_1, x_2, …… x_n$  નો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $\bar x$અને $\sigma$ હોય તો અવલોકનોના વર્ગનો સરવાળો કેટલો થાય ?

નીચે આપેલ માહિતી માટે વિચરણ શોધો. 

$6,8,10,12,14,16,18,20,22,24$

પ્રથમ $50 $ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ .. . . . . .છે.

  • [JEE MAIN 2014]

એક વિદ્યાર્થીએ એક અવલોકન ભૂલથી $15$ ને બદલે $25$ લઈને ગણેલ $10$ અવલોકનોનો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $15$ અને $15$ છે. તી સાયું પ્રમાણિત વિચલન ............ છે.

  • [JEE MAIN 2022]

અમુક માહિતી માટે મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન આપેલ છે જે નીચે મુજબ છે

અવલોકનની સંખ્યા $=25,$ મધ્યક $=18.2$ અને પ્રમાણિત વિચલન $=3.25$

વધારામાં બીજા 15 અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15},$ ગણ પણ હાજર છે જેના માટે $\sum_{i=1}^{15} x_{i}=279$ અને $\sum_{i=1}^{15} x_{i}^{2}=5524$ છે તો બધા 40 અવલોકનનો પ્રમાણિત વિચલન મેળવો