જો પ્રત્યેક અવલોકન $x_{1}, x_{2}, \ldots ., x_{n}$ માં કોઈ ધન કે ત્રણ સંખ્યા $'a'$ ઉમેરવામાં આવે, તો સાબિત કરો કે વિચરણ બદલાતું નથી. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $\bar{x}$ be the mean of $x_{1}, x_{2}, \ldots ., x_{n} .$ Then the variance is given by

$\sigma _1^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $

If $'a$ is added to each observation, the new observations will be

$y_{i}=x_{i}+a$        .......$(1)$

Let the mean of the new observations be $\bar{y} .$ Then

$\bar y = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i} = \frac{1}{n}} \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - a} \right)} $

$ = \frac{1}{n}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \sum\limits_{i = 1}^n a } \right] = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} + \frac{{na}}{n} = } \bar x + a$

i.e.        $\bar{y}=\bar{x}+a$           ..........$(2)$

Thus, the variance of the new observations

$\sigma _2^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - \bar y} \right)}^2}}  = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} + a - \bar x - a} \right)}^2}} $         [ Using $(1)$ and $(2)$ ]

$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} + \bar x} \right)}^2}}  = \sigma _1^2$

Thus, the variance of the new observations is same as that of the original observations.

Similar Questions

જો આપેલ દરેક $n$ અવલોકનો ને કોઈ ધન સંખ્યા $'k'$ વડે ગુણવવામાં આવે તો નવા અવલોકનોના ગણ માટે 

$8, 12, 13, 15,22$  અવલોકનોનું વિચરણ :

ધારો કે $5$ અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ નાં મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $\frac{24}{5}$ અને $\frac{194}{25}$ છે.જો પ્રથમ $4$ અવલોકનોમાં મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $\frac{7}{2}$ અને $a$ હોય,તો $\left(4 a+x_{5}\right)=\dots\dots$

  • [JEE MAIN 2022]

બિંદુ $c$  આગળ $x_1, x_2 ……, x_n$ અવલોકનોના ગણનો મધ્યક વર્ગ વિચલન $\frac{1}{n}\,\,\sum\limits_{i\, = \,1}^n {{{({x_i}\, - \,\,c)}^2}} $વડે દર્શાવાય છે. $-2$  અને $2 $ નાં મધ્યક વર્ગ વિચલન અનુક્રમે $18$ અને $10$  હોય, તો આ ગણના અવલોકનોનું પ્રમાણિત વિચલન શોધો.

અહી $x _1, x _2, \ldots \ldots x _{10}$ દસ અવલોકન આપેલ છે કે જેથી $\sum_{i=1}^{10}\left(x_i-2\right)=30, \sum_{i=1}^{10}\left(x_i-\beta\right)^2=98, \beta>2$ અને તેઓના વિચરણ $\frac{4}{5}$ થાય. જો $\mu$ અને $\sigma^2$ એ અનુક્રમે  $2\left( x _1-1\right)+4 \beta, 2\left( x _2-1\right)+$ $4 \beta, \ldots . ., 2\left(x_{10}-1\right)+4 \beta$ ના મધ્યક અને વિચરણ હોય તો $\frac{\beta \mu}{\sigma^2}$ ની કિમંત મેળવો.

  • [JEE MAIN 2025]