$20$ અવલોકનોનું વિચરણ $5$ છે. જો પ્રત્યેક અવલોકનને $2$ વડે ગુણવામાં આવે, તો પ્રાપ્ત થયેલ અવલોકનો માટે નવું વિચરણ શોધો.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let the observations be $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{20}$ and $\bar{x}$ be their mean. Given that variance $=5$ and $n=20 .$ We know that

Variance   $\left( {{\sigma ^2}} \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{20} {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $

i.e., $5 = \frac{1}{{20}}\sum\limits_{i = 1}^{20} {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $

or    $\sum\limits_{i = 1}^{20} {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}}  = 100$        .......$(1)$

If each observation is multiplied by $2,$ and the new resulting observations are $y_{i},$ then

$y_{i}=2 x_{i} \text { i.e., } x_{i}=\frac{1}{2} y_{i}$

Therefore $\bar y = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{20} {{y_i}}  = \frac{1}{{20}}\sum\limits_{i = 1}^{20} {2{x_i} = 2.\frac{1}{{20}}\sum\limits_{i = 1}^{20} {{x_i}} } $

i.e.  $\bar{y}=2 \bar{x} \quad$ or $\quad \bar{x}=\frac{1}{2} \bar{y}$

Substituting the values of $x_{i}$ and $\bar{x}$ in $(1),$ we get

${\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{1}{2}{y_i} - \frac{1}{2}\bar y} \right)} ^2} = 100$ i.e.,  $\sum\limits_{i = 1}^{20} {{{\left( {{y_i} - \bar y} \right)}^2} = 400} $

Thus the variance of new observations $=\frac{1}{20} \times 400=20=2^{2} \times 5$

Similar Questions

$2n$  અવલોકનનો વાળી શ્રેણીમાં તે પૈકી અડધા અવલોકનો $a$ બરાબર અને બાકીના $-a $ છે. જો અવલોકનોનું પ્રમાણિત વિચલન $2$  હોય તો $| a | $ બરાબર શું થાય ?

નીચે આપેલ આવૃતિ વિતરણ માટે મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન મેળવો 

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text { Marks } & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \text { Frequency } & 1 & 6 & 6 & 8 & 8 & 2 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$

અવલોકનો $3,5,7,2\,k , 12,16,21,24$ ને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવી ને મધ્યસ્થની સરેરાશ વિચલન $6$  હોય તો મધ્યસ્થ મેળવો.

  • [JEE MAIN 2022]

આપેલ માહિતી માટે પ્રમાણિત વિચલન મેળવો : 

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ f & 4 & 9 & 16 & 14 & 11 & 6 \\ \hline \end{array}$

જો સંખ્યા $-1, 0, 1, k$ નો પ્રમાણિત વિચલન $\sqrt 5$ હોય તો $k$ = ............... ( જ્યાં $k > 0,$)

  • [JEE MAIN 2019]