$6$ અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $8$ અને $4$ છે. જો પ્રત્યેક અવલોકનને $3$ વડે ગુણવામાં આવે, તો પરિણામી અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.
Let the observations be $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x _{4}, x_{5} ,$ and $x_{6}$
It is given that mean is $8$ and standard deviation is $4$
Mean, $\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}=8$ .......$(1)$
If each observation is multiplied by $3$ and the resulting observations are $y_{i},$ then
$y_{1}=3 x_{1}$ i.e., $x_{1}=\frac{1}{3} y_{1},$ for $i=1$ to $6$
New Mean, $\bar{y}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}}{6}$
$=\frac{3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}\right)}{6}$
$=3 \times 8$ .......[ Using $(1)$ ]
$=28$
Standard deviation, $\sigma = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2}} } $
$\therefore {\left( 4 \right)^2} = \frac{1}{6}\sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $
$\sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} = 96$ ........$(2)$
From $(1)$ and $(2),$ it can be observed that,
$\bar{y}=3 \bar{x}$
$\bar{x}=\frac{1}{3} \bar{y}$
Substituting the values of $x_{1}$ and $\bar{x}$ in $(2),$ we obtain
$\sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {\frac{1}{3}{y_1} - \frac{1}{3}\bar y} \right)}^2} = 96} $
$ \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {{y_1} - \bar y} \right)}^2} = 864} $
Therefore, variance of new observations $=\left(\frac{1}{6} \times 864\right)=144$
Hence, the standard deviation of new observations is $\sqrt{144}=12$
જો સંખ્યા $-1, 0, 1, k$ નો પ્રમાણિત વિચલન $\sqrt 5$ હોય તો $k$ = ............... ( જ્યાં $k > 0,$)
જો $n$ અવલોકનો ${x_1}\;,\;{x_2}\;,\;.\;.\;.\;,{x_n}$ છે અને તેમાંનો સમાંતર મધ્યક $\bar x$ છે અને ${\sigma ^2}$ એ વિચરણ છે.
વિધાન $1$ : $2{x_1}\;,2\;{x_2}\;,\;.\;.\;.\;,2{x_n}$ નું વિચરણ $4{\sigma ^2}$ છે.
વિધાન $2$: $2{x_1}\;,2\;{x_2}\;,\;.\;.\;.\;,2{x_n}$ નો સમાંતર મધ્યક $4\bar x$ છે.
આપેલ પ્રત્યેક માહિતી માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધો : ત્રણના પ્રથમ $10$ ગુણિત
વિધાન $1$ : પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રકૃતિક સંખ્યાઓનો વિચરણ $\frac{{{n^2} - 1}}{3}$ થાય
વિધાન $2$ : પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ અને પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રકૃતિક સંખ્યાઓનો વર્ગોનો સરવાળો $\frac{{n\left( {4{n^2} + 1} \right)}}{3}$ થાય