$6$ અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $8$ અને $4$ છે. જો પ્રત્યેક અવલોકનને $3$ વડે ગુણવામાં આવે, તો પરિણામી અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let the observations be $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x _{4}, x_{5} ,$ and $x_{6}$

It is given that mean is $8$ and standard deviation is $4$

Mean, $\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}=8$       .......$(1)$

If each observation is multiplied by $3$ and the resulting observations are $y_{i},$ then

$y_{1}=3 x_{1}$ i.e., $x_{1}=\frac{1}{3} y_{1},$ for $i=1$ to $6$

New Mean, $\bar{y}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}}{6}$

$=\frac{3\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}\right)}{6}$

$=3 \times 8$        .......[ Using  $(1)$ ]

$=28$

Standard deviation, $\sigma  = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2}} } $

$\therefore {\left( 4 \right)^2} = \frac{1}{6}\sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $

$\sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}}  = 96$            ........$(2)$

From $(1)$ and $(2),$ it can be observed that,

$\bar{y}=3 \bar{x}$

$\bar{x}=\frac{1}{3} \bar{y}$

Substituting the values of $x_{1}$ and $\bar{x}$ in $(2),$ we obtain

$\sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {\frac{1}{3}{y_1} - \frac{1}{3}\bar y} \right)}^2} = 96} $

$ \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^6 {{{\left( {{y_1} - \bar y} \right)}^2} = 864} $

Therefore, variance of new observations $=\left(\frac{1}{6} \times 864\right)=144$

Hence, the standard deviation of new observations is $\sqrt{144}=12$

Similar Questions

જો $n$  અવલોકનો $x_1, x_2, …… x_n$  નો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $\bar x$અને $\sigma$ હોય તો અવલોકનોના વર્ગનો સરવાળો કેટલો થાય ?

જો શ્રેણીમાં  $2 n$ અવલોકન આપેલ છે જે પૈકી અડધા અવલોકનો $a$ અને બાકીના અવલોકનો $-a$ છે. અને જો અવલોકનોમાં અચળ $b$ ઉમેરવવામાં આવે તો માહિતીનો નવો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $5$ અને $20 $ થાય છે તો $a^{2}+b^{2}$ ની કિમંત મેળવો.

  • [JEE MAIN 2021]

જો સંખ્યાઓ $ 2,3,a $અને $11$  નું પ્રમાણિત વિચલન $3.5$  હોય ,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

  • [JEE MAIN 2016]

જો પાંચ અવલોકનોના મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $\frac{24}{5}$ અને $\frac{194}{25}$ હોય તથા પ્રથમ ચાર અવલોકનોનું મધ્યક $\frac{7}{2}$ હોય, તો પ્રથમ ચાર અવલોકનોનું વિચરણ......................થાય.

  • [JEE MAIN 2024]

આપેલ અવલોકન $: 10, 14, 11, 9, 8, 12, 6$ નો ચલનાંક મેળવો.