Variance and Standard Deviation Questions in Gujarati

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100$
જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\mu$ એ સમાંતર મધ્યક છે.
આપેલ છે: $CV = 60$ અને $\sigma = 21$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$60 = \frac{21}{\mu} \times 100$
$\mu$ માટે ઉકેલતા:
$\mu = \frac{21 \times 100}{60}$
$\mu = \frac{2100}{60}$
$\mu = 35$
તેથી,વિતરણનો સમાંતર મધ્યક $35$ છે.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{n^2 - 1}{12} = 10$,તેથી $n^2 - 1 = 120$,એટલે કે $n^2 = 121$,જે $n = 11$ આપે છે.
પ્રથમ $m$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 2m$ છે. આ $2 \times (1, 2, 3, \dots, m)$ ને સમાન છે.
કોઈ સંખ્યાઓના સમૂહને અચળ $k$ વડે ગુણતા મળતા નવા સમૂહનું વિચરણ મૂળ વિચરણ કરતા $k^2$ ગણું થાય છે.
તેથી,પ્રથમ $m$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $2^2 \times \frac{m^2 - 1}{12} = 4 \times \frac{m^2 - 1}{12} = \frac{m^2 - 1}{3}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{m^2 - 1}{3} = 16$,તેથી $m^2 - 1 = 48$,એટલે કે $m^2 = 49$,જે $m = 7$ આપે છે.
તેથી,$n: m = 11: 7$.

(D) પગલું $1$: દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો:
$x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 5, x_4 = 7, x_5 = 9$.
પગલું $2$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\sum f_i = 2+3+5+3+2 = 15$.
$\sum f_i x_i = (2 \times 1) + (3 \times 3) + (5 \times 5) + (3 \times 7) + (2 \times 9) = 2 + 9 + 25 + 21 + 18 = 75$.
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{75}{15} = 5$.
પગલું $3$: વિચરણ $(\sigma^2)$ ની ગણતરી કરો:
$\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$.
$\sum f_i (x_i - 5)^2 = 2(1-5)^2 + 3(3-5)^2 + 5(5-5)^2 + 3(7-5)^2 + 2(9-5)^2$.
$= 2(16) + 3(4) + 5(0) + 3(4) + 2(16) = 32 + 12 + 0 + 12 + 32 = 88$.
$\sigma^2 = \frac{88}{15}$.

(B) પગલું $1$: દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો:
$x_1 = \frac{0+4}{2} = 2$,$x_2 = \frac{4+8}{2} = 6$,$x_3 = \frac{8+12}{2} = 10$,$x_4 = \frac{12+16}{2} = 14$.
પગલું $2$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 1+2+2+1 = 6$.
$f_i x_i$ નો સરવાળો $= (1 \times 2) + (2 \times 6) + (2 \times 10) + (1 \times 14) = 2 + 12 + 20 + 14 = 48$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{48}{6} = 8$.
પગલું $3$: વિચરણ $(\sigma^2)$ ની ગણતરી કરો:
$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [1(2-8)^2 + 2(6-8)^2 + 2(10-8)^2 + 1(14-8)^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [1(-6)^2 + 2(-2)^2 + 2(2)^2 + 1(6)^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [36 + 8 + 8 + 36] = \frac{88}{6} = \frac{44}{3}$.
આમ,વિચરણ $\frac{44}{3}$ છે.

(A) આપેલ છે: $n_1 = 8$,$\bar{x}_1 = 25$,$\sigma_1 = 5$.
વસ્તુઓનો સરવાળો: $\Sigma x_i = n_1 \times \bar{x}_1 = 8 \times 25 = 200$.
વિચરણ: $\sigma_1^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n_1} - (\bar{x}_1)^2 = 25$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{8} - 625 = 25 \Rightarrow \Sigma x_i^2 = 8 \times 650 = 5200$.
નવો ડેટા સેટ: $n_2 = 8 + 2 = 10$.
નવો સરવાળો: $\Sigma x_{new} = 200 + 15 + 25 = 240$.
નવો મધ્યક: $\bar{x}_2 = \frac{240}{10} = 24$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો: $\Sigma x_{new}^2 = 5200 + 15^2 + 25^2 = 5200 + 225 + 625 = 6050$.
નવું વિચરણ: $\sigma_2^2 = \frac{\Sigma x_{new}^2}{n_2} - (\bar{x}_2)^2 = \frac{6050}{10} - (24)^2 = 605 - 576 = 29$.

(B) ધારો કે મૂળ માહિતી $x_i = \{6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે અને તેનું વિચરણ $\sigma^2$ છે.
નવી માહિતી $y_i = \{12, 14, 16, 18, 20, 22\}$ છે,જેને $y_i = 2x_i$ તરીકે લખી શકાય.
વિચરણના ગુણધર્મ મુજબ,જો દરેક અવલોકનને અચળાંક $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવું વિચરણ $k^2 \times \text{મૂળ વિચરણ}$ થાય છે.
અહીં,$k = 2$ છે,તેથી નવું વિચરણ $2^2 \times \sigma^2 = 4 \sigma^2$ થાય.

(B) પ્રથમ $50$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \ldots, 100$ છે.
મધ્યક,$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{50} = \frac{2(1+2+3+\ldots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
વિચરણ,$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \ldots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \ldots + 50^2)$.
વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50(51)(101)}{6} = \frac{2 \times 50 \times 51 \times 101}{3} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(D) આપેલ અવલોકનો $10, 8, 5, a, b$ છે.
મધ્યક,$\bar{x} = \frac{10+8+5+a+b}{5} = 6$
$23 + a + b = 30 \implies a + b = 7$ ... $(i)$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = 6.8$
$\frac{10^2 + 8^2 + 5^2 + a^2 + b^2}{5} - (6)^2 = 6.8$
$\frac{100 + 64 + 25 + a^2 + b^2}{5} - 36 = 6.8$
$\frac{189 + a^2 + b^2}{5} = 42.8$
$189 + a^2 + b^2 = 214$
$a^2 + b^2 = 25$ ... $(ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
$(7)^2 = 25 + 2ab$
$49 = 25 + 2ab$
$2ab = 24 \implies ab = 12$

(B) આપેલ છે,$n = 15$ માટે $\sum x = 170$ અને $\sum x^2 = 2830$.
ખોટા અવલોકન $20$ ને સાચા અવલોકન $30$ વડે બદલતા:
સુધારેલ $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
સુધારેલ $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$\text{વિચરણ} = \frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{વિચરણ} = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$.
$\text{વિચરણ} = 222 - (12)^2$.
$\text{વિચરણ} = 222 - 144 = 78$.

(B) આપેલ માહિતી: $6, 7, x-2, x, 18, 21$ (ચડતા ક્રમમાં).
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 6$ (બેકી).
મધ્યસ્થ = $\frac{(\frac{n}{2})\text{મું અવલોકન} + (\frac{n}{2}+1)\text{મું અવલોકન}}{2} = 16$.
$\frac{(x-2) + x}{2} = 16 \Rightarrow 2x - 2 = 32 \Rightarrow 2x = 34 \Rightarrow x = 17$.
માહિતીનો સમૂહ $6, 7, 15, 17, 18, 21$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{6+7+15+17+18+21}{6} = \frac{84}{6} = 14$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
ગણતરી:
$|\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & x_i - \bar{x} & (x_i - \bar{x})^2 \\ \hline 6 & -8 & 64 \\ \hline 7 & -7 & 49 \\ \hline 15 & 1 & 1 \\ \hline 17 & 3 & 9 \\ \hline 18 & 4 & 16 \\ \hline 21 & 7 & 49 \\ \hline \text{સરવાળો} & & 188 \\ \hline \end{array}|$
વિચરણ = $\frac{188}{6} = \frac{94}{3} = 31 \frac{1}{3}$.

(C) પગલું $1$: માહિતીનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો.
$\bar{x} = \frac{2 + 12 + 3 + 11 + 5 + 10 + 6 + 7}{8} = \frac{56}{8} = 7$.
પગલું $2$: મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગ $(x_i - \bar{x})^2$ શોધો.
$(2-7)^2 = 25, (12-7)^2 = 25, (3-7)^2 = 16, (11-7)^2 = 16, (5-7)^2 = 4, (10-7)^2 = 9, (6-7)^2 = 1, (7-7)^2 = 0$.
પગલું $3$: વિચરણ $(\sigma^2)$ નું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ નો ઉપયોગ કરો.
$\sigma^2 = \frac{25 + 25 + 16 + 16 + 4 + 9 + 1 + 0}{8} = \frac{96}{8} = 12$.

(A) ધારો કે $y_i = x_i - 5$. તો આપેલ સરવાળા $\sum_{i=1}^9 y_i = 9$ અને $\sum_{i=1}^9 y_i^2 = 45$ છે.
અવલોકનો $x_i$ નું વિચરણ એ $y_i$ ના વિચરણ જેટલું જ હોય છે કારણ કે ડેટાને અચળ સંખ્યા વડે ખસેડવાથી વિચરણ બદલાતું નથી.
વિચરણ $\sigma^2$ નું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - (\bar{y})^2$ છે.
અહીં,$n = 9$,$\sum y_i = 9$,અને $\sum y_i^2 = 45$ છે.
પ્રથમ,$y$ નો મધ્યક શોધો: $\bar{y} = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^9 y_i = \frac{9}{9} = 1$.
હવે,વિચરણ શોધો: $\sigma^2 = \frac{45}{9} - (1)^2 = 5 - 1 = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ એ વિચરણનું વર્ગમૂળ છે: $\sigma = \sqrt{4} = 2$.

(D) આપેલ માહિતી $7, 8, 9, 7, 8, 7, \lambda, 8$ નો મધ્યક $8$ છે.
મધ્યક $= \frac{7+8+9+7+8+7+\lambda+8}{8} = 8$
$\Rightarrow \frac{54+\lambda}{8} = 8$
$\Rightarrow 54+\lambda = 64$
$\Rightarrow \lambda = 10$
હવે,માહિતીનો સમૂહ $7, 8, 9, 7, 8, 7, 10, 8$ છે.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$
વિચરણ $= \frac{(7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2}{8}$
વિચરણ $= \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2}{8}$
વિચરણ $= \frac{1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

(C) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ છે.
આપેલ છે કે,વિચરણ $\sigma^2 = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો દરેક અવલોકનને અચળાંક $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવું વિચરણ $\sigma'^2 = k^2 \times \sigma^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$k = 2$ અને $\sigma^2 = 5$.
તેથી,નવું વિચરણ $\sigma'^2 = (2)^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$.

(A) ડેટા સેટની વિચલનશીલતા તેના વિચરણ અથવા પ્રમાણિત વિચલન દ્વારા માપવામાં આવે છે.
બંને વિભાગો માટે સરેરાશ ગુણ સમાન હોવાથી,આપણે તેમના વિચરણની તુલના કરીએ છીએ.
વિભાગ $A$ નું વિચરણ $= 64$.
વિભાગ $B$ નું વિચરણ $= 81$.
$81 > 64$ હોવાથી,વિભાગ $B$ નું વિચરણ વિભાગ $A$ ના વિચરણ કરતા વધારે છે.
તેથી,વિભાગ $B$ ની વિચલનશીલતા $>$ વિભાગ $A$ ની વિચલનશીલતા.

(C) $4$ ના પ્રથમ $10$ ગુણકો $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40$ છે.
ધારો કે $X = 4i$ જ્યાં $i = 1, 2, \dots, 10$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_n = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$ છે.
દરેક પદને $4$ વડે ગુણવામાં આવતા,ગુણકોનું પ્રમાણિત વિચલન $4 \times \sigma_{10}$ થશે.
$\sigma_{10} = \sqrt{\frac{10^2 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{99}{12}} = \sqrt{8.25}$.
પ્રમાણિત વિચલન $= 4 \times \sqrt{8.25} = \sqrt{16 \times 8.25} = \sqrt{132} \approx 11.489 \approx 11.5$.

(C) આપેલ અવલોકનો $112, 116, 120, 125, 132$ છે.
પ્રથમ,સરેરાશ $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{112 + 116 + 120 + 125 + 132}{5} = \frac{605}{5} = 121$.
હવે,મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો શોધો:
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = (112 - 121)^2 + (116 - 121)^2 + (120 - 121)^2 + (125 - 121)^2 + (132 - 121)^2$
$= (-9)^2 + (-5)^2 + (-1)^2 + (4)^2 + (11)^2$
$= 81 + 25 + 1 + 16 + 121 = 244$.
છેલ્લે,વિચરણ $(\sigma^2)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{244}{5} = 48.8$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓ $x, y, z$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$x + y + z = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $x = 60^{\circ}$,તેથી $y + z = 120^{\circ} \dots(1)$.
વિચરણનું સૂત્ર વાપરતા,$\frac{x^2+y^2+z^2}{3} = 4614$ લેતા,
$\frac{60^2+y^2+z^2}{3} = 4614$ $\Rightarrow 3600 + y^2 + z^2 = 13842$ $\Rightarrow y^2 + z^2 = 10242$.
$(y+z)^2 - 2yz = 10242$ $\Rightarrow 14400 - 2yz = 10242$ $\Rightarrow 2yz = 4158$ $\Rightarrow yz = 2079$.
$(y-z)^2 = (y+z)^2 - 4yz = 14400 - 8316 = 6084$.
$y-z = 78^{\circ}$.
સમીકરણો ઉકેલતા,$y = 99^{\circ}$ અને $z = 21^{\circ}$ મળે છે.

(A) વિચરણ એ મધ્યક આસપાસ ડેટા પોઈન્ટ્સનું ફેલાવો માપે છે. નમૂનાના વિચરણનું સૂત્ર $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ છે.
વિકલ્પ $A$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ માટે: મધ્યક $\bar{x} = 3$. વિચરણ $= \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.
વિકલ્પ $B$ $(1, 1, 2, 3, 6)$ માટે: મધ્યક $\bar{x} = 2.6$. વિચરણ $= \frac{17.2}{4} = 4.3$.
વિકલ્પ $C$ $(1, 1, 2, 3, 5)$ માટે: મધ્યક $\bar{x} = 2.4$. વિચરણ $= \frac{11.2}{4} = 2.8$.
વિકલ્પ $D$ $(1, 1, 2, 2, 5)$ માટે: મધ્યક $\bar{x} = 2.2$. વિચરણ $= \frac{10.8}{4} = 2.7$.
વિચરણોની સરખામણી કરતા $(2.5, 4.3, 2.8, 2.7)$,ન્યૂનતમ વિચરણ $2.5$ છે જે વિકલ્પ $A$ માટે છે.

(D) આપેલ માહિતી: $a, b, 8, 5, 10$.
મધ્યક $= \frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$.
$\Rightarrow a+b+23 = 30$ $\Rightarrow a+b = 7$ ...$(i)$
વિચરણ $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - 6^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+64+25+100}{5} - 36 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+189}{5} = 42.80$.
$a^2+b^2+189 = 214 \Rightarrow a^2+b^2 = 25$ ...(ii)
$(i)$ પરથી,$b = 7-a$. (ii) માં મૂકતા:
$a^2 + (7-a)^2 = 25$.
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$.
$2a^2 - 14a + 24 = 0 \Rightarrow a^2 - 7a + 12 = 0$.
$(a-3)(a-4) = 0$.
તેથી,$a=3, b=4$ અથવા $a=4, b=3$.

(B) આપેલ છે કે,$n=10$,$\Sigma x_i=60$,અને $\Sigma x_i^2=1000$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{60}{10} = 6$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{1000}{10} - (6)^2$
$\sigma^2 = 100 - 36$
$\sigma^2 = 64$.

(C) ધારો કે $d_i = x_i - 5$. આપણને $\Sigma d_i = 3$ અને $\Sigma d_i^2 = 43$ આપેલ છે,જ્યાં $n = 18$.
વિચરણ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી બદલાતું નથી.
તેથી,$x_i$ નું વિચરણ એ $d_i$ ના વિચરણ જેટલું જ છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\Sigma d_i^2}{n} - \left( \frac{\Sigma d_i}{n} \right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{43}{18} - \left( \frac{3}{18} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{43}{18} - \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{43}{18} - \frac{1}{36}$.
$\sigma^2 = \frac{86 - 1}{36} = \frac{85}{36} \approx 2.3611$.
આમ,વિચરણ આશરે $2.36$ છે.

(A, B) આપેલ સંખ્યાઓ $2, 3, 2x, 11$ છે. મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+3+2x+11}{4} = 4 + \frac{x}{2}$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 3.5 = \frac{7}{2}$ છે,તેથી $\sigma^2 = \frac{49}{4}$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ છે.
$\frac{49}{4} = \frac{4 + 9 + 4x^2 + 121}{4} - (4 + \frac{x}{2})^2$.
સાદુરૂપ આપતા $3x^2 - 16x + 21 = 0$ મળે છે.
તેથી,$x = \frac{7}{3}$ અથવા $x = 3$.

(C) આપેલ છે: $\bar{x} = 50$,$n = 100$,અને $\sigma = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n}$,તેથી $\Sigma x_i = n \cdot \bar{x} = 100 \cdot 50 = 5000$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$.
$25 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2525$.
$\Sigma x_i^2 = 252500$.

(D) પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(5 \times 2) + (15 \times 3) + (25 \times 4) + (35 \times 1)}{2 + 3 + 4 + 1} = \frac{10 + 45 + 100 + 35}{10} = \frac{190}{10} = 19$.
ત્યારબાદ,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ ની ગણતરી કરો:
$\sigma^2 = \frac{2(5-19)^2 + 3(15-19)^2 + 4(25-19)^2 + 1(35-19)^2}{10}$
$\sigma^2 = \frac{2(-14)^2 + 3(-4)^2 + 4(6)^2 + 1(16)^2}{10}$
$\sigma^2 = \frac{2(196) + 3(16) + 4(36) + 1(256)}{10}$
$\sigma^2 = \frac{392 + 48 + 144 + 256}{10} = \frac{840}{10} = 84$.
આમ,વિચરણ $84$ છે.

(B) આપેલ છે,વિચલન ગુણાંક $(CV) = 60$ અને પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = 21$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100$,જ્યાં $\mu$ એ મધ્યક છે.
કિંમતો મૂકતા: $60 = \frac{21}{\mu} \times 100 \Rightarrow \mu = \frac{2100}{60} = 35$.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાં અચળ $k = 15$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રમાણિત વિચલન બદલાતું નથી,તેથી $\sigma' = \sigma = 21$.
નવો મધ્યક $\mu' = \mu + 15 = 35 + 15 = 50$ થાય છે.
નવો વિચલન ગુણાંક $CV' = \frac{\sigma'}{\mu'} \times 100$ છે.
$CV' = \frac{21}{50} \times 100 = 21 \times 2 = 42$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x_i$ અને $y_i$ ના પ્રમાણિત વિચલનો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે,તેથી $a^2 = \frac{1}{10} \sum x_i^2 - \bar{x}^2$ અને $b^2 = \frac{1}{10} \sum y_i^2 - \bar{y}^2$ થાય.
આપણને $\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = c$ આપેલ છે.
ધારો કે $d_i = x_i - y_i$. $d_i$ નો મધ્યક $\bar{d} = \bar{x} - \bar{y}$ છે.
$d_i$ નું વિચરણ $\sigma_d^2 = \frac{1}{10} \sum (d_i - \bar{d})^2 = \frac{1}{10} \sum ((x_i - y_i) - (\bar{x} - \bar{y}))^2$ થાય.
$\sigma_d^2 = \frac{1}{10} \sum ((x_i - \bar{x}) - (y_i - \bar{y}))^2 = \frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2 + \frac{1}{10} \sum (y_i - \bar{y})^2 - \frac{2}{10} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$.
કારણ કે $\frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2 = a^2$ અને $\frac{1}{10} \sum (y_i - \bar{y})^2 = b^2$,અને $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = c$,તેથી આપણને મળે:
$\sigma_d^2 = a^2 + b^2 - \frac{2c}{10} = a^2 + b^2 - \frac{c}{5}$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sqrt{a^2 + b^2 - \frac{c}{5}}$ છે.

(C) આપેલ માહિતી $9, 3, 11, 5, 7$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{9+3+11+5+7}{5} = \frac{35}{5} = 7$.
હવે,વિચરણ $(\sigma^2)$ શોધો:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{(9-7)^2 + (3-7)^2 + (11-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2}{5}$
$= \frac{4 + 16 + 16 + 4 + 0}{5} = \frac{40}{5} = 8$.
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
વિચલન ગુણાંક $(CV) = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{2\sqrt{2}}{7} \times 100 = \frac{200\sqrt{2}}{7}$.

(D) સૌ પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ ની ગણતરી કરો.
$\sum f_i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55$.
$\sum f_i x_i = 1(1) + 2(2) + 3(3) + 4(4) + 5(5) + 6(6) + 7(7) + 8(8) + 9(9) + 10(10) = 385$.
$\bar{x} = \frac{385}{55} = 7$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sum f_i (x_i - 7)^2 = 1(36) + 2(25) + 3(16) + 4(9) + 5(4) + 6(1) + 7(0) + 8(1) + 9(4) + 10(9) = 330$.
$\sigma^2 = \frac{330}{55} = 6$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે વિતરણનો મધ્યક $\bar{x}$ શોધીએ:
મધ્યબિંદુઓ $x_i$ એ $2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $N = \sum f_i = 20$.
સરવાળો $\sum f_i x_i = 240$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{240}{20} = 12$.
ત્યારબાદ,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ શોધીએ:
$\sigma^2 = \frac{139}{4}$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \frac{\sqrt{139}}{2}$.
વિચલન ગુણાંક $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{25 \sqrt{139}}{6}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે,$n=9$ માટે,$\bar{x} = 13$ અને $\sigma = 5$.
$\sum_{i=1}^9 x_i = 9 \times 13 = 117$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \Rightarrow 25 = \frac{\sum x_i^2}{9} - 169$.
$\sum x_i^2 = 9(25 + 169) = 9(194) = 1746$.
હવે,નવું અવલોકન $x_{10} = 3$ ઉમેરવામાં આવે છે.
નવો સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i = 117 + 3 = 120$.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \frac{120}{10} = 12$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 1746 + (3)^2 = 1746 + 9 = 1755$.
નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\bar{x}')^2 = \frac{1755}{10} - (12)^2 = 175.5 - 144 = 31.5$.

(B) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ મધ્ય-અંતરાલ કિંમતો $(x)$ અને આવૃત્તિ $(f)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

ગુણ	$x$	$f$	$f \cdot x$	$f \cdot x^2$
$1-3$	$2$	$40$	$80$	$160$
$3-5$	$4$	$30$	$120$	$480$
$5-7$	$6$	$20$	$120$	$720$
$7-9$	$8$	$10$	$80$	$640$
કુલ		$100$	$400$	$2000$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f \cdot x}{\sum f} = \frac{400}{100} = 4$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f \cdot x^2}{\sum f} - (\bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{2000}{100} - (4)^2 = 20 - 16 = 4$.

(D) વિદ્યાર્થી $A$ માટે: ગુણ $30, 20, 40$ છે.
મધ્યક $\bar{x}_A = \frac{30+20+40}{3} = \frac{90}{3} = 30$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_A = \sqrt{\frac{(30-30)^2 + (20-30)^2 + (40-30)^2}{3}} = \sqrt{\frac{0 + 100 + 100}{3}} = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10 \sqrt{\frac{2}{3}}$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A} \times 100 = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \times 30} \times 100 = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \times 100$.
વિદ્યાર્થી $B$ માટે: ગુણ $70, 0, 5$ છે.
મધ્યક $\bar{x}_B = \frac{70+0+5}{3} = \frac{75}{3} = 25$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_B = \sqrt{\frac{(70-25)^2 + (0-25)^2 + (5-25)^2}{3}} = \sqrt{\frac{45^2 + (-25)^2 + (-20)^2}{3}} = \sqrt{\frac{2025 + 625 + 400}{3}} = \sqrt{\frac{3050}{3}} = 5 \sqrt{\frac{122}{3}}$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B} \times 100 = \frac{5 \sqrt{122}}{\sqrt{3} \times 25} \times 100 = \frac{\sqrt{122}}{5 \sqrt{3}} \times 100$.
ગુણોત્તર $\frac{(CV)_A}{(CV)_B} = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \div \frac{\sqrt{122}}{5 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \times \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{122}} = \frac{5 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{61}} = \frac{5}{3 \sqrt{61}}$.
આમ,ગુણોત્તર $5 : 3 \sqrt{61}$ છે.

(C) આપેલ સ્કોર્સ $505, 510, 515, \ldots, 595$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 505$,$d = 5$,અને $n = 19$ પદો છે.
મધ્યક $\bar{X} = \frac{505 + 595}{2} = 550$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2}$.
ધારો કે $x_i = 550 + 5k$,જ્યાં $k$ ની કિંમત $-9$ થી $9$ સુધી છે.
તેથી $(x_i - \bar{X})^2 = (5k)^2 = 25k^2$.
$\sum (x_i - \bar{X})^2 = 25 \sum_{k=-9}^{9} k^2 = 25 \times 2 \times \sum_{k=1}^{9} k^2$.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 285$.
તેથી,$\sum (x_i - \bar{X})^2 = 50 \times 285 = 14250$.
$\sigma = \sqrt{\frac{14250}{19}} = \sqrt{750} = \sqrt{25 \times 30} = 5 \sqrt{30}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ વિતરણ $X$ છે જેના મૂલ્યો $x_i$ અને આવૃત્તિઓ $f_i$ છે. વિચરણ $\sigma_X^2 = 45.8$ આપેલ છે.
બીજા વિતરણ $Y$ ના મૂલ્યો $y_i$ છે જ્યાં $y_i = 2x_i + 2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $Y = aX + b$ હોય,તો વિચરણ $\sigma_Y^2 = a^2 \sigma_X^2$ થાય.
અહીં,$y_i = 2x_i + 2$ હોવાથી,$a = 2$ છે.
તેથી,$\sigma_Y^2 = 2^2 \times \sigma_X^2 = 4 \times 45.8$.
$\sigma_Y^2 = 183.2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત વિચલન $(S.D.)$ નું સૂત્ર છે:
$S.D. = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \mu)^2}{N}}$
જ્યાં $\mu$ એ મધ્યક છે અને $N$ એ પદોની સંખ્યા છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\mu)$ ની ગણતરી કરો:
$\mu = \frac{22 + 26 + 28 + 20 + 24 + 30}{6} = \frac{150}{6} = 25$
હવે,વિચલનોના વર્ગોની ગણતરી કરો:

$x_i$	$(x_i - \mu)^2$
$22$	$(22 - 25)^2 = 9$
$26$	$(26 - 25)^2 = 1$
$28$	$(28 - 25)^2 = 9$
$20$	$(20 - 25)^2 = 25$
$24$	$(24 - 25)^2 = 1$
$30$	$(30 - 25)^2 = 25$

વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો: $\sum(x_i - \mu)^2 = 9 + 1 + 9 + 25 + 1 + 25 = 70$
પ્રમાણિત વિચલન: $S.D. = \sqrt{\frac{70}{6}} = \sqrt{11.666...} \approx 3.4156 \approx 3.42$

(D) વિદ્યાર્થી $A$ માટે: ગુણ $30, 20, 40$ છે.
મધ્યક $\bar{x}_A = \frac{30+20+40}{3} = 30$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_A = \sqrt{\frac{200}{3}}$.
વિચલન ગુણાંક $CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A}$.
વિદ્યાર્થી $B$ માટે: ગુણ $70, 0, 5$ છે.
મધ્યક $\bar{x}_B = \frac{75}{3} = 25$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_B = \sqrt{\frac{3050}{3}}$.
વિચલન ગુણાંક $CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B}$.
ગુણોત્તર $\frac{CV_A}{CV_B} = \frac{\sigma_A}{\sigma_B} \times \frac{\bar{x}_B}{\bar{x}_A} = \sqrt{\frac{200}{3050}} \times \frac{25}{30} = \frac{5}{3 \sqrt{61}}$.

(A) $1$. દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો: $5, 15, 25, 35$.
$2$. મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 5) + (3 \times 15) + (4 \times 25) + (2 \times 35)}{10} = 22$.
$3$. વિચરણ $(\sigma^2)$ શોધો: $\sigma^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i} = \frac{810}{10} = 81$.
$4$. પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ = $\sqrt{81} = 9$.

(D) $3$ ના પ્રથમ દસ ગુણકો $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n = 10$ પદો છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{(n^2 - 1)d^2}{12}$ છે.
કિંમતો $n = 10$ અને $d = 3$ મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{(10^2 - 1) \times 3^2}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(100 - 1) \times 9}{12}$
$\sigma^2 = \frac{99 \times 9}{12} = \frac{891}{12} = 74.25$.
આમ,વિચરણ $74.25$ છે.

(C) વિચરણની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જ્યાં $a = 18$.
ગણતરી નીચે મુજબ છે:

$x_i$	$f_i$	$d_i = x_i - 18$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$6$	$2$	$-12$	$-24$	$288$
$10$	$4$	$-8$	$-32$	$256$
$14$	$7$	$-4$	$-28$	$112$
$18$	$12$	$0$	$0$	$0$
$24$	$8$	$6$	$48$	$288$
$28$	$4$	$10$	$40$	$400$
$30$	$3$	$12$	$36$	$432$
કુલ	$N = 40$	-	$\sum f_i d_i = 40$	$\sum f_i d_i^2 = 1776$

વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{1776}{40} - \left(\frac{40}{40}\right)^2$
$\sigma^2 = 44.4 - (1)^2$
$\sigma^2 = 44.4 - 1 = 43.4$.

(D) મધ્યક $(\mu) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{18}{9} = 2$
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{\frac{\sum f_i (x_i - \mu)^2}{\sum f_i}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
વિચલન ગુણાંક $= \frac{\sigma}{\mu} \times 100 = \frac{2/\sqrt{3}}{2} \times 100 = \frac{100}{\sqrt{3}}$.

(D) પ્રમાણિત વિચલન એ તેના મધ્યક (mean) ની સાપેક્ષમાં ડેટા સેટના ફેલાવાને માપે છે. નાની રેન્જ અથવા ક્રમિક મૂલ્યો વચ્ચેનો નાનો તફાવત ઓછું પ્રમાણિત વિચલન સૂચવે છે.
આપેલ સેટ માટે:
$A: 10, 20, 30, 40$ (રેન્જ $= 30$)
$B: 2, 4, 6, 8$ (રેન્જ $= 6$)
$C: 3, 6, 9, 12$ (રેન્જ $= 9$)
$D: 1, 2, 3, 4$ (રેન્જ $= 3$)
જેથી સેટ $1, 2, 3, 4$ ની રેન્જ સૌથી નાની છે અને મૂલ્યો એકબીજાની સૌથી નજીક છે,તેથી તેનું પ્રમાણિત વિચલન સૌથી ઓછું છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણનો ગુણાંક $(CV)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \times 100$
અહીં $CV = 25$ અને મધ્યક $\bar{x} = 44$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$25 = \frac{\sigma}{44} \times 100$
$\sigma = \frac{25 \times 44}{100} = \frac{1100}{100} = 11$
હવે,વિચરણ એ પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ છે:
$\text{Variance} = \sigma^2 = 11^2 = 121$

(A) આપેલ છે કે $\sum(x_i+2)^2 = 28n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 + 4\sum x_i + 4n = 28n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 + 4\sum x_i = 24n$ $... (i)$
તેવી જ રીતે,$\sum(x_i-2)^2 = 12n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 - 4\sum x_i + 4n = 12n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 - 4\sum x_i = 8n$ $... (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2\sum x_i^2 = 32n \Rightarrow \sum x_i^2 = 16n$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$8\sum x_i = 16n \Rightarrow \sum x_i = 2n$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$
$\sigma^2 = \frac{16n}{n} - \left(\frac{2n}{n}\right)^2 = 16 - 4 = 12$

(B) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_n$ છે. વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો દરેક અવલોકનમાં $k$ નો વધારો કે ઘટાડો કરવામાં આવે,તો નવા અવલોકનો $y_i = x_i \pm k$ થાય છે.
નવો મધ્યક $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum (x_i \pm k) = \bar{x} \pm k$ થાય છે.
નવું વિચરણ $\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i \pm k) - (\bar{x} \pm k))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \sigma^2$ થાય છે.
આમ,વિચરણ બદલાતું નથી.

(C) આપેલ છે કે,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 20$,$\sum x_i = 1000$,અને $\sum x_i^2 = 84000$.
મધ્યક $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1000}{20} = 50$.
વિચરણ $\sigma^2$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\overline{x})^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{84000}{20} - (50)^2$.
$\sigma^2 = 4200 - 2500$.
$\sigma^2 = 1700$.

(A) ધારો કે મૂળ સંખ્યાઓ $w, x, y, z$ છે અને તેમનું વિચરણ $\sigma^2 = 9$ છે.
સંખ્યાઓના સમૂહનું વિચરણ $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો દરેક સંખ્યાને અચળાંક $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવું વિચરણ $\text{Var}(kX) = k^2 \text{Var}(X)$ ગુણધર્મ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$k = 5$ અને $\text{Var}(X) = 9$ છે.
તેથી,નવું વિચરણ $5^2 \times 9 = 25 \times 9 = 225$ થાય.