Word problem -Statistics Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બે ધન પૂર્ણાંકો $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = 100$,જ્યાં $x, y \in \{1, 2, \dots, 99\}$.
કુલ શક્ય જોડીઓની સંખ્યા $(x, y)$ એ $99$ છે.
આપણે ગુણાકાર $xy > 1000$ જોઈએ છે.
$y = 100 - x$ મૂકતા,આપણને $x(100 - x) > 1000$ મળે,જે $x^2 - 100x + 1000 < 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 100x + 1000 = 0$ ઉકેલતા,$x = 50 \pm 10\sqrt{15}$ મળે.
$x$ ની કિંમત $(11.3, 88.7)$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
$x$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $12, 13, \dots, 88$ છે.
આવી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $88 - 12 + 1 = 77$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{77}{99} = \frac{7}{9}$ છે.

(D) ધારો કે ચાર ગોળીબારમાં વિમાનને અથડાવાની સંભાવનાઓ $p_1 = 0.4$,$p_2 = 0.3$,$p_3 = 0.2$ અને $p_4 = 0.1$ છે.
ગન વિમાનને અથડાય તેની સંભાવના એ $1$ માંથી ગન ચારેય ગોળીબારમાં વિમાનને ચૂકી જાય તેની સંભાવના બાદ કરવાથી મળે છે.
ધારો કે $q_i = 1 - p_i$ એ $i$-મો ગોળીબાર ચૂકી જવાની સંભાવના છે.
$q_1 = 1 - 0.4 = 0.6$
$q_2 = 1 - 0.3 = 0.7$
$q_3 = 1 - 0.2 = 0.8$
$q_4 = 1 - 0.1 = 0.9$
ચારેય ગોળીબાર ચૂકી જવાની સંભાવના $P(\text{miss}) = q_1 \times q_2 \times q_3 \times q_4 = 0.6 \times 0.7 \times 0.8 \times 0.9 = 0.3024$ છે.
તેથી,ગન વિમાનને અથડાય તેની સંભાવના $P(\text{hit}) = 1 - P(\text{miss}) = 1 - 0.3024 = 0.6976$ છે.

(D) મધ્યકનું સૂત્ર $\text{Mean} = \frac{\sum (x_i \times f_i)}{\sum f_i}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $x = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $f = \{5, 4, 6, f\}$.
મધ્યક = $\frac{(1 \times 5) + (2 \times 4) + (3 \times 6) + (4 \times f)}{5 + 4 + 6 + f} = 3$.
$\frac{5 + 8 + 18 + 4f}{15 + f} = 3$.
$\frac{31 + 4f}{15 + f} = 3$.
$31 + 4f = 3(15 + f)$.
$31 + 4f = 45 + 3f$.
$4f - 3f = 45 - 31$.
$f = 14$.

(D) આપેલ છે કે $20$ અવલોકનોના $30$ થી વિચલનોનો સરવાળો $20$ છે.
ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_{20}$ છે.
તેથી,$\sum_{i=1}^{20} (x_i - 30) = 20$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા,$\sum_{i=1}^{20} x_i - \sum_{i=1}^{20} 30 = 20$.
$\sum_{i=1}^{20} x_i - (20 \times 30) = 20$.
$\sum_{i=1}^{20} x_i - 600 = 20$.
$\sum_{i=1}^{20} x_i = 620$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{20} x_i}{20}$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{x} = \frac{620}{20} = 31$.

(B) ભારિત મધ્યકનું સૂત્ર: $\frac{\sum_{i=1}^{n} (i \cdot i^2)}{\sum_{i=1}^{n} i^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n} i^3}{\sum_{i=1}^{n} i^2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2$ અને $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
ભારિત મધ્યક = $\frac{\left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}}$
$= \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \cdot \frac{6}{n(n + 1)(2n + 1)}$
$= \frac{6n(n + 1)}{4(2n + 1)} = \frac{3n(n + 1)}{2(2n + 1)}$.

(B) સંયુક્ત સરેરાશ માટેનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ છે.
આપેલ છે કે,$\bar{x} = 30$,$\bar{x}_1 = 32$ (પુરુષોની સરેરાશ ઉંમર),અને $\bar{x}_2 = 27$ (સ્ત્રીઓની સરેરાશ ઉંમર).
ધારો કે કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $100$ છે. ધારો કે $n_1$ પુરુષોની સંખ્યા છે અને $n_2$ સ્ત્રીઓની સંખ્યા છે.
તેથી $n_2 = 100 - n_1$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$30 = \frac{32n_1 + 27(100 - n_1)}{100}$
$3000 = 32n_1 + 2700 - 27n_1$
$3000 - 2700 = 5n_1$
$300 = 5n_1$
$n_1 = 60$.
જેથી $n_1$ પુરુષોની સંખ્યા છે,સ્ત્રીઓની સંખ્યા $n_2 = 100 - 60 = 40$ થશે.
આમ,જૂથમાં સ્ત્રીઓની ટકાવારી $40\%$ છે.

(D) ધારો કે શિક્ષકનું વજન $w \ kg$ છે.
$35$ વિદ્યાર્થીઓનું કુલ વજન = $35 \times 40 = 1400 \ kg$.
જ્યારે શિક્ષકને સામેલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $35 + 1 = 36$ થાય છે.
નવું સરેરાશ વજન = $40 + 0.5 = 40.5 \ kg$.
$36$ વ્યક્તિઓનું કુલ વજન = $36 \times 40.5 = 1458 \ kg$.
શિક્ષકનું વજન $w = 36$ વ્યક્તિઓનું કુલ વજન - $35$ વિદ્યાર્થીઓનું કુલ વજન.
$w = 1458 - 1400 = 58 \ kg$.

(D) ધારો કે $n_1$ અને $n_2$ એ બે જૂથોમાં અવલોકનોની સંખ્યા છે જેના મધ્યક અનુક્રમે $\bar{x}_1$ અને $\bar{x}_2$ છે.
તો,સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ દ્વારા મળે છે.
હવે,$\bar{x} - \bar{x}_1 = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} - \bar{x}_1 = \frac{n_2(\bar{x}_2 - \bar{x}_1)}{n_1 + n_2}$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $\bar{x}_2 > \bar{x}_1$ અને $n_1, n_2 > 0$ છે,તેથી $\bar{x} - \bar{x}_1 > 0$,જે સૂચવે છે કે $\bar{x} > \bar{x}_1$ $(i)$.
તે જ રીતે,$\bar{x} - \bar{x}_2 = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} - \bar{x}_2 = \frac{n_1(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)}{n_1 + n_2}$ છે.
કારણ કે $\bar{x}_1 < \bar{x}_2$ છે,તેથી $\bar{x} - \bar{x}_2 < 0$,જે સૂચવે છે કે $\bar{x} < \bar{x}_2$ (ii).
$(i)$ અને (ii) ને જોડતા,આપણને $\bar{x}_1 < \bar{x} < \bar{x}_2$ મળે છે.

(A) ધારો કે તમામ $n$ અવલોકનોનો સરવાળો $S$ છે. આપેલ છે કે $n$ અવલોકનોનો $A.M.$ $M$ છે,તેથી $S = nM$.
ધારો કે બાકીના $4$ અવલોકનોનો સરવાળો $S_4$ છે. આપણને આપેલ છે કે $n - 4$ અવલોકનોનો સરવાળો $a$ છે.
તેથી,$S = a + S_4$,જેનો અર્થ છે કે $S_4 = S - a = nM - a$.
બાકીના $4$ અવલોકનોની સરેરાશ $\frac{S_4}{4} = \frac{nM - a}{4}$ થાય.

(C) મધ્યકનું સૂત્ર $\text{Mean} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ છે.
આપેલ વિતરણ માટે:
$\sum f_i x_i = (1 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times y) + (4 \times 1) + (5 \times 2) = 28 + 3y$.
$\sum f_i = 4 + 5 + y + 1 + 2 = 12 + y$.
મધ્યક $2.6$ આપેલ હોવાથી:
$2.6 = \frac{28 + 3y}{12 + y}$.
બંને બાજુ $(12 + y)$ વડે ગુણતા:
$2.6(12 + y) = 28 + 3y$.
$31.2 + 2.6y = 28 + 3y$.
$3.2 = 0.4y$.
$y = 8$.

(C) આપેલ છે કે,વસ્તુઓની સંખ્યા $n = 100$ અને પ્રારંભિક મધ્યક $\bar{x} = 49$ છે.
વસ્તુઓનો પ્રારંભિક સરવાળો $S_{initial} = 100 \times 49 = 4900$ છે.
સાચી વસ્તુઓનો સરવાળો $S_{correct} = 60 + 70 + 80 = 210$ છે.
ભૂલથી વંચાયેલી વસ્તુઓનો સરવાળો $S_{wrong} = 40 + 20 + 50 = 110$ છે.
વસ્તુઓનો સાચો સરવાળો $S_{new} = S_{initial} + S_{correct} - S_{wrong} = 4900 + 210 - 110 = 5000$ છે.
સાચો મધ્યક $\bar{x}_{new} = \frac{S_{new}}{n} = \frac{5000}{100} = 50$ છે.

(C) $5$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $18 \times 5 = 90$ છે.
એક સંખ્યા કાઢી નાખ્યા પછી,બાકીની $4$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $16 \times 4 = 64$ થાય છે.
તેથી,કાઢી નાખેલી સંખ્યા $90 - 64 = 26$ છે.

(A) વર્ગની લંબાઈ એ બે ક્રમિક વર્ગ ચિહ્નો વચ્ચેનો તફાવત છે.
વર્ગની લંબાઈ $= 10 - 6 = 4$.
અથવા,વર્ગની લંબાઈ $= 14 - 10 = 4$.
આમ,વર્ગની લંબાઈ $4$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અવલોકનોના સમૂહ માટે,રૂટ મીન સ્ક્વેર એ સમાંતર મધ્યક કરતા મોટું અથવા તેના જેટલું હોય છે,એટલે કે $RMS \ge AM$.
$\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}} \ge \frac{\sum x_i}{n}$
આપેલ કિંમતો $\sum x_i^2 = 400$ અને $\sum x_i = 80$ મૂકતા:
$\sqrt{\frac{400}{n}} \ge \frac{80}{n}$
$\frac{20}{\sqrt{n}} \ge \frac{80}{n}$
$\frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{4}{n}$
$\sqrt{n} \ge 4$
$n \ge 16$
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$16$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી એકમાત્ર કિંમત $18$ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સતત આવૃત્તિ વિતરણમાં $k^{th}$ દશાંશક $(D_k)$ ગણવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$D_k = l + \frac{(\frac{kN}{10} - C)}{f} \times i$
જ્યાં:
$l$ એ દશાંશક વર્ગની અધઃસીમા છે,
$N$ એ કુલ આવૃત્તિ છે,
$C$ એ દશાંશક વર્ગની અગાઉના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ છે,
$f$ એ દશાંશક વર્ગની આવૃત્તિ છે,
$i$ એ વર્ગ લંબાઈ છે.
$7^{th}$ દશાંશક $(k=7)$ માટે,સૂત્ર આ મુજબ થશે:
$D_7 = l + \frac{(\frac{7N}{10} - C)}{f} \times i$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) વિધાન $(1)$ સાચું છે: વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણનો બહુલક હિસ્ટોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને આલેખ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે.
વિધાન $(2)$ ખોટું છે: મધ્યસ્થ એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે,પરંતુ તે સ્કેલના ફેરફારથી સ્વતંત્ર નથી. જો $y = a + bx$ હોય,તો $Median(y) = a + b \times Median(x)$. તે $b$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે સ્કેલના ફેરફારથી સ્વતંત્ર નથી.
વિધાન $(3)$ ખોટું છે: વિચરણ એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે,પરંતુ તે સ્કેલના ફેરફારથી સ્વતંત્ર નથી. જો $y = a + bx$ હોય,તો $Var(y) = b^2 \times Var(x)$. તે $b^2$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે સ્કેલના ફેરફારથી સ્વતંત્ર નથી.
તેથી,માત્ર વિધાન $(1)$ સાચું છે.

(D) મધ્યવર્તી સ્થિતિના માપો એ આંકડાકીય મૂલ્યો છે જે ડેટા સેટના કેન્દ્ર અથવા લાક્ષણિક મૂલ્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
મધ્યવર્તી સ્થિતિના સામાન્ય માપોમાં $Mean$ (મધ્યક),$Median$ (મધ્યસ્થ) અને $Mode$ (બહુલક) નો સમાવેશ થાય છે.
$Range$ (વિસ્તાર) એ પ્રસારનું માપ છે,મધ્યવર્તી સ્થિતિનું નહીં,કારણ કે તે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત ગણીને ડેટાનો ફેલાવો દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ બાર ગ્રાફ પરથી:
બીજા ત્રિમાસિક ગાળામાં (એપ્રિલ થી જૂન) મૃત્યુદર = $250$.
ત્રીજા ત્રિમાસિક ગાળામાં (જુલાઈ થી સપ્ટેમ્બર) મૃત્યુદર = $400$.
મૃત્યુદરમાં વધારો = $400 - 250 = 150$.
ટકાવારી વધારો = $\frac{\text{વધારો}}{\text{મૂળ કિંમત}} \times 100$
ટકાવારી વધારો = $\frac{150}{250} \times 100 = 0.6 \times 100 = 60\%$.

(B) સ્તંભાલેખમાં,દરેક સ્તંભની ઊંચાઈ વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિને અનુરૂપ હોય છે.
આપેલ ડેટા જોતા,આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:
- $150-300$: $300$
- $300-500$: $500$
- $500-800$: $900$
- $800-1200$: $1000$
- $1200-1800$: $1200$
મહત્તમ આવૃત્તિ $1200$ છે,જે $1200-1800$ ના આવક જૂથને અનુરૂપ છે.
તેથી,સ્તંભાલેખમાં સૌથી ઊંચો સ્તંભ $1200-1800$ વર્ગને અનુરૂપ હશે.

(B) $Pie \ diagram$ (પાઈ ચાર્ટ) એ ઉદ્યોગના કુલ ખર્ચને વિવિધ શીર્ષકોમાં વહેંચાયેલું દર્શાવવા માટેની સૌથી અસરકારક રીત છે,કારણ કે તે સમગ્રના સંદર્ભમાં દરેક ભાગનું પ્રમાણ દર્શાવે છે.

(C) કુલ ખર્ચ $= 560 + 420 + 180 + 160 + 120 = 1440$.
કપડાં માટેના વૃત્તાંશનો ખૂણો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ખૂણો} = \left( \frac{\text{કપડાં પરનો ખર્ચ}}{\text{કુલ ખર્ચ}} \right) \times 360^o$
$\text{ખૂણો} = \left( \frac{180}{1440} \right) \times 360^o$
$\text{ખૂણો} = \frac{1}{8} \times 360^o = 45^o$.

(B) અવલોકનોના સમૂહનો વિસ્તાર એ મહત્તમ કિંમત અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત છે.
વિસ્તાર $= X_{\max} - X_{\min}$
આપેલ અવલોકનો: $2, 3, 5, 9, 8, 7, 6, 5, 7, 4, 3$
મહત્તમ કિંમત $(X_{\max}) = 9$
ન્યૂનતમ કિંમત $(X_{\min}) = 2$
વિસ્તાર $= 9 - 2 = 7$.

(B) આપેલ અવલોકનો ${x_1}, -{x_1}, {x_2}, -{x_2}, \dots, {x_n}, -{x_n}, 0$ છે. કુલ $(2n+1)$ અવલોકનો છે.
$1$. મધ્યસ્થ $(M.D.)$: અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા,વચ્ચેનું પદ $0$ મળે છે. તેથી,$M.D. = 0$.
$2$. પ્રમાણિત વિચલન $(S.D.)$: $S.D.$ નું સૂત્ર $\sqrt{\frac{1}{N} \sum (x_i - \bar{x})^2}$ છે.
અહીં,મધ્યક $\bar{x} = 0$ છે.
તેથી,$S.D. = \sqrt{\frac{2 \sum x_i^2}{2n+1}}$.
બધા $x_i$ ભિન્ન અને શૂન્યતર હોવાથી,$\sum x_i^2 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $S.D. > 0$.
આમ,$S.D. > M.D.$

(C) ધારો કે $n$ વસ્તુઓ ${x_1}, {x_2}, \dots, {x_n}$ છે. તો,મૂળ મધ્યક $\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} {x_i}$ છે.
ધારો કે નવી વસ્તુઓ ${y_i} = {x_i} + i$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, n$.
નવો મધ્યક $\bar y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} {y_i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ({x_i} + i)$ છે.
આને $\bar y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} {x_i} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$,તેથી $\bar y = \bar x + \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$ મળે.
આમ,નવો મધ્યક $\bar x + \frac{n+1}{2}$ છે.

(B) આપેલ છે,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 100$ અને મધ્યક $\bar{x} = 45$.
$100$ અવલોકનોનો સરવાળો $= 100 \times 45 = 4500$.
ખોટા અવલોકનોનો સરવાળો $= 91 + 13 = 104$.
સાચા અવલોકનોનો સરવાળો $= 19 + 31 = 50$.
સાચો સરવાળો $= 4500 - 104 + 50 = 4446$.
સાચો મધ્યક $= \frac{4446}{100} = 44.46$.

(D) સૌ પ્રથમ,પરિવારોની કુલ સંખ્યાની ગણતરી કરો:
$Total = 150 + 400 + 40 + 250 + 160 = 1000$.
કોઈપણ શ્રેણી માટે કેન્દ્રીય ખૂણાની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે:
$\text{Central Angle} = \left( \frac{\text{Value of category}}{\text{Total value}} \right) \times 360^\circ$.
ખોરાક અને કપડાં માટે,મૂલ્ય $400$ છે:
$\text{Central Angle} = \left( \frac{400}{1000} \right) \times 360^\circ = 0.4 \times 360^\circ = 144^\circ$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે $n = 200$,ખોટો મધ્યક $\bar{x} = 40$,ખોટું $S.D. \sigma = 15$.
ખોટો $\Sigma x = n \times \bar{x} = 200 \times 40 = 8000$.
સુધારેલ $\Sigma x = 8000 - 50 + 40 = 7990$.
સુધારેલ મધ્યક $\bar{x}_{new} = \frac{7990}{200} = 39.95$.
ખોટો $\Sigma x^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2) = 200(15^2 + 40^2) = 200(225 + 1600) = 200(1825) = 365000$.
સુધારેલ $\Sigma x^2 = 365000 - 50^2 + 40^2 = 365000 - 2500 + 1600 = 364100$.
સુધારેલ $\sigma_{new} = \sqrt{\frac{\Sigma x^2}{n} - (\bar{x}_{new})^2} = \sqrt{\frac{364100}{200} - (39.95)^2}$.
$\sigma_{new} = \sqrt{1820.5 - 1596.0025} = \sqrt{224.4975} \approx 14.98$.

(A) વિસ્તાર $r$ ને $r = \max |x_i - x_j|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં $i \neq j$.
આપેલ વિચરણ $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2$ છે.
કોઈપણ $n$ અવલોકનોના સમૂહ માટે,પ્રમાણિત વિચલન $S$ અને વિસ્તાર $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $S \le r \sqrt{\frac{n}{n - 1}}$ છે.

(A) મધ્યકનું સૂત્ર: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i}$.
પ્રથમ,$\Sigma f_i x_i = (1 \times 5) + (2 \times 4) + (3 \times f) + (4 \times 2) + (5 \times 3) = 5 + 8 + 3f + 8 + 15 = 3f + 36$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\Sigma f_i = 5 + 4 + f + 2 + 3 = f + 14$ શોધો.
મધ્યક $2.6$ આપેલ હોવાથી:
$2.6 = \frac{3f + 36}{f + 14}$
બંને બાજુ $(f + 14)$ વડે ગુણતા:
$2.6(f + 14) = 3f + 36$
$2.6f + 36.4 = 3f + 36$
$f$ માટે ઉકેલતા:
$36.4 - 36 = 3f - 2.6f$
$0.4 = 0.4f$
$f = 1$.

(A) આપેલ છે $\Sigma f = 17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 120$.
$\Rightarrow f_1 + f_2 + 68 = 120$ $\Rightarrow f_1 + f_2 = 52$ $(1)$
વર્ગ મધ્યક $(x)$ $10, 30, 50, 70, 90$ છે.
$\Sigma fx = (10 \times 17) + (30 \times f_1) + (50 \times 32) + (70 \times f_2) + (90 \times 19)$
$\Sigma fx = 170 + 30f_1 + 1600 + 70f_2 + 1710 = 30f_1 + 70f_2 + 3480$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma fx}{\Sigma f} = 50$.
$\frac{30f_1 + 70f_2 + 3480}{120} = 50$
$30f_1 + 70f_2 + 3480 = 6000$
$30f_1 + 70f_2 = 2520 \Rightarrow 3f_1 + 7f_2 = 252$ $(2)$
$(1)$ પરથી,$f_1 = 52 - f_2$. $(2)$ માં કિંમત મૂકતા:
$3(52 - f_2) + 7f_2 = 252$
$156 - 3f_2 + 7f_2 = 252$
$4f_2 = 96 \Rightarrow f_2 = 24$.
તેથી $f_1 = 52 - 24 = 28$.
આમ,ખૂટતી આવૃત્તિઓ $28$ અને $24$ છે.

(B) ધારો કે છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1$ અને $n_2$ છે.
સંયુક્ત સરેરાશનું સૂત્ર:
$\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$50 = \frac{52n_1 + 42n_2}{n_1 + n_2}$
$50(n_1 + n_2) = 52n_1 + 42n_2$
$50n_1 + 50n_2 = 52n_1 + 42n_2$
$8n_2 = 2n_1$
$n_1 = 4n_2$
છોકરાઓની ટકાવારી:
$\text{ટકાવારી} = \frac{n_1}{n_1 + n_2} \times 100$
$n_1 = 4n_2$ મૂકતા:
$\text{ટકાવારી} = \frac{4n_2}{4n_2 + n_2} \times 100 = \frac{4n_2}{5n_2} \times 100 = \frac{4}{5} \times 100 = 80\%$

(C) ધારો કે મૂળ મધ્યક $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ છે.
નવા અવલોકનો $(x_1 + 1), (x_2 + 2), \dots, (x_n + n)$ છે.
નવો મધ્યક $\bar{x}_{new} = \frac{(x_1 + 1) + (x_2 + 2) + \dots + (x_n + n)}{n}$ થશે.
$\bar{x}_{new} = \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (1 + 2 + \dots + n)}{n}$.
$\bar{x}_{new} = \frac{\sum x_i}{n} + \frac{\sum_{i=1}^{n} i}{n}$.
કારણ કે $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$,તેથી $\bar{x}_{new} = \bar{x} + \frac{n(n+1)}{2n}$.
$\bar{x}_{new} = \bar{x} + \frac{n+1}{2}$.

(B) ધારો કે નવું અવલોકન $x$ છે.
$9$ અવલોકનોનો સરવાળો $9 \times 15 = 135$ થાય.
નવું અવલોકન $x$ ઉમેર્યા પછી,કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $10$ થાય છે અને નવો મધ્યક $16$ છે.
તેથી,નવો સરવાળો $10 \times 16 = 160$ થાય.
માટે,$135 + x = 160$.
$x = 160 - 135 = 25$.

(D) કોઈપણ વિતરણનો સ્વરિત મધ્યક $(H.M.)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$H.M. = \frac{\text{પદોની સંખ્યા}}{\text{દરેક પદના વ્યસ્તનો સરવાળો}}$
અહીં,$3, 7, 8, 10, 14$ માટે પદોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
તેથી,સ્વરિત મધ્યક = $\frac{5}{\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{14}}$

(B) ધારો કે બે માહિતી ગણ $X$ અને $Y$ છે,જેનું કદ $n_1 = 5$ અને $n_2 = 5$ છે.
આપેલ છે: $\sigma_1^2 = 4$,$\sigma_2^2 = 5$,$\bar{x}_1 = 2$,$\bar{x}_2 = 4$.
ગણ $X$ માટે: $\sigma_1^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n_1} - \bar{x}_1^2 \implies 4 = \frac{\Sigma x_i^2}{5} - 4 \implies \Sigma x_i^2 = 40$.
ગણ $Y$ માટે: $\sigma_2^2 = \frac{\Sigma y_i^2}{n_2} - \bar{x}_2^2 \implies 5 = \frac{\Sigma y_i^2}{5} - 16 \implies \Sigma y_i^2 = 105$.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x}_{comb} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{10} = 3$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2 + \Sigma y_i^2}{n_1 + n_2} - (\bar{x}_{comb})^2$.
$\sigma^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2 = \frac{145}{10} - 9 = 14.5 - 9 = 5.5 = \frac{11}{2}$.

(B) ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{Mean} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
જ્યાં:
$a$ એ ધારેલો મધ્યક છે.
$f_i$ એ $i$-માં વર્ગની આવૃત્તિ છે.
$d_i = x_i - a$ એ ધારેલા મધ્યક $a$ થી $i$-માં અવલોકનનું વિચલન છે.
તેથી,$a$ એ ધારેલો મધ્યક દર્શાવે છે.

(C) અહીં આપેલ માહિતીનું મહત્તમ મૂલ્ય $14$ અને ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય $6$ છે.
વિસ્તાર એ મહત્તમ અને ન્યૂનત્તમ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત છે.
વિસ્તાર $= 14 - 6 = 8$.

(D) આપેલ છે કે શ્રેણીનો મધ્યક $\bar{X} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ છે.
આથી અવલોકનોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} x_i = n\bar{X}$ થાય.
જ્યારે $x_2$ ના સ્થાને $\lambda$ મૂકવામાં આવે,ત્યારે નવો સરવાળો $S_{new} = (n\bar{X} - x_2 + \lambda)$ થાય.
નવો મધ્યક $\bar{X}_{new} = \frac{S_{new}}{n} = \frac{n\bar{X} - x_2 + \lambda}{n}$ થાય.

(B) ભારિત મધ્યકનું સૂત્ર: $\text{Weighted Mean} = \frac{\sum x_i w_i}{\sum w_i}$ છે.
અહીં,$x_i = i$ અને $w_i = i$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, n$.
તેથી,$\text{Weighted Mean} = \frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{Weighted Mean} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $n = 5$,મધ્યક $\bar{x} = 4$,અને વિચરણ $\sigma^2 = 5.2$. ધારો કે બાકીના બે અવલોકનો $x_1$ અને $x_2$ છે.
મધ્યકનું સૂત્ર: $\frac{x_1 + x_2 + 1 + 2 + 6}{5} = 4$.
$x_1 + x_2 + 9 = 20 \implies x_1 + x_2 = 11$.
વિચરણનું સૂત્ર: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$5.2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + 1^2 + 2^2 + 6^2}{5} - 4^2$.
$5.2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + 41}{5} - 16$.
$21.2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + 41}{5} \implies x_1^2 + x_2^2 = 65$.
હવે,$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2$ પરથી $121 = 65 + 2x_1x_2 \implies x_1x_2 = 28$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 11t + 28 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $t = 4$ અને $t = 7$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમૂહમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $100$ છે. ધારો કે સ્ત્રીઓની સંખ્યા $n_w$ અને પુરુષોની સંખ્યા $n_m$ છે,જેથી $n_w + n_m = 100$ થાય.
સમૂહની સરેરાશ ઉંમરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{32n_m + 27n_w}{100} = 30$
સમીકરણમાં $n_m = 100 - n_w$ મૂકતા:
$32(100 - n_w) + 27n_w = 3000$
$3200 - 32n_w + 27n_w = 3000$
$3200 - 5n_w = 3000$
$5n_w = 200$
$n_w = 40$
તેથી,સમૂહમાં સ્ત્રીઓની ટકાવારી $40\%$ છે.

(C) આપેલ છે: કુલ અવલોકનો $N = 100$,તેથી $\frac{N}{2} = 50$.
મધ્યસ્થ વર્ગના આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $F = 45$.
મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા $l = 20$.
વર્ગલંબાઈ $h = 30 - 20 = 10$.
મધ્યસ્થ $= 25$.
ધારો કે મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $f$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h$.
કિંમતો મૂકતા: $25 = 20 + \left( \frac{50 - 45}{f} \right) \times 10$.
$25 - 20 = \left( \frac{5}{f} \right) \times 10$.
$5 = \frac{50}{f}$.
$f = \frac{50}{5} = 10$.

(B) આપેલ અવલોકનો: $2, 3, 5, 9, 8, 7, 6, 5, 7, 4, 3$.
સૌથી મોટી કિંમત $(x_{max})$ $9$ છે.
સૌથી નાની કિંમત $(x_{min})$ $2$ છે.
વિસ્તાર = સૌથી મોટી કિંમત - સૌથી નાની કિંમત.
$\text{વિસ્તાર} = 9 - 2 = 7$.

(D) વિતરણનો બહુલક $140$ આપેલ છે. $140$ એ $100-150$ વર્ગ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી બહુલક વર્ગ $100-150$ છે.
બહુલકનું સૂત્ર $Z = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$ છે.
અહીં,$l = 100$ (બહુલક વર્ગની અધઃસીમા),$f_1 = 37$ (બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ),$f_0 = 33$ (આગળના વર્ગની આવૃત્તિ),$f_2 = b$ (પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ),અને $h = 50$ (વર્ગ લંબાઈ).
કિંમતો મૂકતા:
$140 = 100 + \left( \frac{37 - 33}{2(37) - 33 - b} \right) \times 50$
$40 = \left( \frac{4}{74 - 33 - b} \right) \times 50$
$40 = \frac{200}{41 - b}$
$40(41 - b) = 200$
$41 - b = 5$
$b = 41 - 5 = 36$.
આમ,$b$ ની કિંમત $36$ છે.

(D) ધારો કે બે શ્રેણીઓ $x_1, x_2, \dots, x_{n_1}$ અને $y_1, y_2, \dots, y_{n_2}$ છે જેનું કદ અનુક્રમે $n_1$ અને $n_2$ છે.
$G_1 = (x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{n_1})^{1/n_1} \implies G_1^{n_1} = x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{n_1} \dots (1)$
$G_2 = (y_1 \times y_2 \times \dots \times y_{n_2})^{1/n_2} \implies G_2^{n_2} = y_1 \times y_2 \times \dots \times y_{n_2} \dots (2)$
સંયુક્ત સમગુણોત્તર મધ્યક $G$ નીચે મુજબ મળે છે:
$G = [(x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{n_1}) \times (y_1 \times y_2 \times \dots \times y_{n_2})]^{\frac{1}{n_1 + n_2}}$
$(1)$ અને $(2)$ ની કિંમત $G$ માં મૂકતા:
$G = (G_1^{n_1} \times G_2^{n_2})^{\frac{1}{n_1 + n_2}}$
બંને બાજુ લઘુગણક (logarithm) લેતા:
$\log G = \log [(G_1^{n_1} \times G_2^{n_2})^{\frac{1}{n_1 + n_2}}]$
$\log(a^b) = b \log a$ અને $\log(ab) = \log a + \log b$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log G = \frac{1}{n_1 + n_2} \log (G_1^{n_1} \times G_2^{n_2})$
$\log G = \frac{n_1 \log G_1 + n_2 \log G_2}{n_1 + n_2}$

(C) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $n_1$ અને છોકરીઓની સંખ્યા $n_2$ છે.
સંયુક્ત મધ્યકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{65n_1 + 55n_2}{n_1 + n_2} = 61$
બંને બાજુ $(n_1 + n_2)$ વડે ગુણતા:
$65n_1 + 55n_2 = 61n_1 + 61n_2$
પદોને ગોઠવતા:
$65n_1 - 61n_1 = 61n_2 - 55n_2$
$4n_1 = 6n_2$
તેથી,પ્રમાણ:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
આમ,છોકરા અને છોકરીઓની સંખ્યાનું પ્રમાણ $3 : 2$ છે.

(A) ધારો કે બે જૂથમાં વ્યક્તિઓની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1$ અને $n_2$ છે.
આપેલ છે: $\bar{x}_1 = 400$,$\bar{x}_2 = 480$,અને સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = 430$.
સંયુક્ત મધ્યકનું સૂત્ર: $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $430 = \frac{400n_1 + 480n_2}{n_1 + n_2}$.
$430(n_1 + n_2) = 400n_1 + 480n_2$.
$430n_1 + 430n_2 = 400n_1 + 480n_2$.
$430n_1 - 400n_1 = 480n_2 - 430n_2$.
$30n_1 = 50n_2$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ સમૂહમાં વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n_1 = 4k$ અને બીજા સમૂહમાં $n_2 = 3k$ છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
સંયુક્ત સરેરાશ આવકનું સૂત્ર:
$\text{સંયુક્ત સરેરાશ} = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{સંયુક્ત સરેરાશ} = \frac{(4k)\bar{x} + (3k)\bar{y}}{4k + 3k}$
$\text{સંયુક્ત સરેરાશ} = \frac{k(4\bar{x} + 3\bar{y})}{7k}$
$\text{સંયુક્ત સરેરાશ} = \frac{4\bar{x} + 3\bar{y}}{7}$

(A) વિચરણનો સહગુણક $(CV)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$CV = \left( \frac{\sigma}{\bar{x}} \right) \times 100$
જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\bar{x}$ એ મધ્યક છે.
આપેલ છે: $CV = 50\%$ અને $\sigma = 20$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$50 = \left( \frac{20}{\bar{x}} \right) \times 100$
$50 = \frac{2000}{\bar{x}}$
$\bar{x} = \frac{2000}{50}$
$\bar{x} = 40$.
તેથી,મધ્યક $40$ છે.

(A) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $x$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $y$ છે.
છોકરાઓના કુલ ગુણ $52x$ છે અને છોકરીઓના કુલ ગુણ $42y$ છે.
સંયુક્ત સરેરાશ ગુણ $\frac{52x + 42y}{x + y} = 50$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $(x + y)$ વડે ગુણતા,આપણને $52x + 42y = 50(x + y)$ મળે છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $52x + 42y = 50x + 50y$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $52x - 50x = 50y - 42y$.
$2x = 8y$,જેનું સાદું રૂપ $x = 4y$ થાય છે.
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $x + y = 4y + y = 5y$ છે.
છોકરાઓની ટકાવારી $\frac{x}{x + y} \times 100 = \frac{4y}{5y} \times 100 = 80\%$ છે.