નીચે આપેલ માહિતી પરથી બતાવો કે $A$ અને $B$ માંથી કયા સમૂહમાં વધારે ચલન છે?
ગુણ |
$10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
સમૂહ $A$ | $9$ | $17$ | $32$ | $33$ | $40$ | $10$ | $9$ |
સમૂહ $B$ | $10$ | $20$ | $30$ | $25$ | $43$ | $15$ | $7$ |
Firstly, the standard deviation of group $A$ is calculated as follows.
Marks |
Group $A$ ${f_i}$ |
Mid-point ${x_i}$ |
${y_i} = \frac{{{x_i} - 45}}{{10}}$ | ${y_i}^2$ | ${f_i}{y_i}$ | ${f_i}{y_i}^2$ |
$10-20$ | $9$ | $15$ | $-3$ | $9$ | $-27$ | $81$ |
$20-30$ | $17$ | $25$ | $-2$ | $4$ | $-34$ | $68$ |
$30-40$ | $32$ | $35$ | $-1$ | $1$ | $-32$ | $32$ |
$40-50$ | $33$ | $45$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
$50-60$ | $40$ | $55$ | $1$ | $1$ | $40$ | $40$ |
$60-70$ | $10$ | $65$ | $2$ | $4$ | $20$ | $40$ |
$70-80$ | $9$ | $75$ | $3$ | $9$ | $27$ | $81$ |
$150$ | $-6$ | $342$ |
Here, $h =10, N =150, A =45$
Mean $ = A + \frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {{x_i}} }}{N} \times h$
$ = 45 + \frac{{\left( { - 6} \right) \times 10}}{{150}} \times 45 - 0.4 = 44.6$
$\sigma _1^2 = \frac{{{h^2}}}{{{N^2}}}\left[ {N\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}^2 - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}} } \right)}^2}} } \right]$
$=\frac{100}{22500}\left[150 \times 342-(-6)^{2}\right]$
$=\frac{1}{225}(51264)$
$=227.84$
$\therefore$ Standard deviation $\left(\sigma_{1}\right)=\sqrt{227.84}=15.09$
The standard deviation of group $B$ is calculated as follows.
Marks |
Group $A$ ${f_i}$ |
Mid-point ${x_i}$ |
${y_i} = \frac{{{x_i} - 45}}{{10}}$ | ${y_i}^2$ | ${f_i}{y_i}$ | ${f_i}{y_i}^2$ |
$10-20$ | $9$ | $15$ | $-3$ | $9$ | $9$ | $-30$ |
$20-30$ | $17$ | $25$ | $-2$ | $4$ | $4$ | $-40$ |
$30-40$ | $32$ | $35$ | $-1$ | $1$ | $1$ | $-30$ |
$40-50$ | $33$ | $45$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
$50-60$ | $40$ | $55$ | $1$ | $1$ | $1$ | $43$ |
$60-70$ | $10$ | $65$ | $2$ | $4$ | $4$ | $30$ |
$70-80$ | $9$ | $75$ | $3$ | $9$ | $9$ | $21$ |
$150$ | $-6$ |
Mean $ = A + \frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}} }}{N} \times h$
$ = 45 + \frac{{\left( { - 6} \right) \times 10}}{{150}} \times 45 - 0.4 = 44.6$
$\sigma _2^2 = \frac{{{h^2}}}{{{N^2}}}\left[ {N\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}^2 - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}} } \right)}^2}} } \right]$
$=\frac{100}{22500}\left[150 \times 366-(-6)^{2}\right]$
$=\frac{1}{225}(54864)=243.84$
$\therefore$ Standard deviation $\left(\sigma_{1}\right)=\sqrt{243.84}=15.61$
Since the mean of both the groups is same, the group with greater standard deviation will be more variable.
Thus, group $B$ has more variability in the marks.
$100$ અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $20$ અને $3 $ છે. પછીથી જાણ થાય છે કે ત્રણ અવલોકનો $21, 21$ અને $18$ ખોટાં હતાં. આ ખોટાં અવલોકનોને દૂર કરવામાં આવે તો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.
ધારો કે વસ્તી $A $ એ $100 $ અવલોકનો $101, 102, ..... 200$ અને બીજી વસ્તી $B$ એ $100 $ અવલોકનો $151, 152, ...... 250 $ ધરાવે છે. જો $V_A $ અને $V_B$ એ અનુક્રમે બંને વસ્તીઓનું વિચરણ દર્શાવે તો $V_A / V_B$ શું થાય ?
જો આપેલ દરેક $n$ અવલોકનો ને કોઈ ધન સંખ્યા $'k'$ વડે ગુણવવામાં આવે તો નવા અવલોકનોના ગણ માટે
આપેલ માહિતી $6,10,7,13, a, 12, b, 12$ નો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $9$ અને $\frac{37}{4}$ હોય તો $(a-b)^{2}$ ની કિમંત મેળવો.
સાત અવલોકનોના મધ્યક તથા વિચરણ અનુક્રમે $8$ અને $16$ છે. જો આમાંથી પાંચ અવલોકનો $2, 4, 10, 12, 14$ હોય, તો બાકીનાં બે અવલોકનો શોધો.