જો $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3.........x_n$ ના મધ્યક $\bar x$ અને વિચરણ $\sigma ^2$ હોય, તો સાબિત કરી કે અવલોકનો $a x_{1}, a x_{2}, a x_{3}, \ldots ., a x_{n}$  ના મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $a \bar{x}$ અને $a^{2} \sigma^{2}$ છે, $(a \neq 0)$. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

The given n observations are $x _{1}, x _{2} \ldots x _{ n }$

Mean $=\bar{x}$

Variance $=\sigma^{2}$

$\therefore {\sigma ^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_1}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $       ..........$(1)$

If each observation is multiplied by a and the new observations are $y_{i},$ then

$y_{1}=a x_{i}$ i.e., $x_{i}=\frac{1}{a} y_{1}$

$\bar y = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_1} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {a{x_1} = \frac{a}{n}} } \sum\limits_{i = 1}^n {{x_1} = ax} $         $\left( {\bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_1}} } \right)$

Therefore, mean of the observations, $a x_{1}, a x_{2} \ldots a x_{n},$ is $a \bar{x}$

Substituting the values of $x_{i}$ and $\bar{x}$ in $(1),$ we obtain

${\sigma ^2} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{1}{a}{y_1} - \frac{1}{a}\bar y} \right)} ^2}$

$ \Rightarrow {a^2}{\sigma ^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_1} - \bar y} \right)}^2}} $

Thus, the variance of the observations, $a x_{1}, a x_{2} \ldots a x_{n},$ is $a^{2} \sigma^{2}$

 

Similar Questions

જો $1,2,3, \ldots ., n$, (જ્યાં $n$ અયુગ્મ છે.) નો મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{5(n+1)}{n}$ હોય, તો $n$ = ............

  • [JEE MAIN 2022]

$20$ અવલોકનનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $10$ અને $2.5$ છે. એક અવલોકન ભૂલ થી $35$ ને બદલે $25$ લેવાય ગયું છે. જો $\alpha$ અને $\sqrt{\beta}$ એ સાચી માહિતીના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન છે તો $(\alpha, \beta)$ ની કિમંત મેળવો.

  • [JEE MAIN 2021]

આપેલ પ્રત્યેક માહિતી માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધો :

$6,7,10,12,13,4,8,12$

જો $x_i $ નું પ્રમાણિત વિચલન $10$  હોય તો ($50 + 5x_i$)નું વિચરણ કેટલું હશે ?

$8$ અવલોકનોનો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $10$ અને $13.5$ છે જો તેમાંથી $6$ અવલોકનો $5,7,10,12,14,15,$ હોય તો બાકી રહેલા બીજા બે અવલોકનોનો ધન તફાવત ...........  થાય 

  • [JEE MAIN 2020]