જો $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3.........x_n$ ના મધ્યક $\bar x$ અને વિચરણ $\sigma ^2$ હોય, તો સાબિત કરી કે અવલોકનો $a x_{1}, a x_{2}, a x_{3}, \ldots ., a x_{n}$ ના મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $a \bar{x}$ અને $a^{2} \sigma^{2}$ છે, $(a \neq 0)$.
The given n observations are $x _{1}, x _{2} \ldots x _{ n }$
Mean $=\bar{x}$
Variance $=\sigma^{2}$
$\therefore {\sigma ^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_1}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $ ..........$(1)$
If each observation is multiplied by a and the new observations are $y_{i},$ then
$y_{1}=a x_{i}$ i.e., $x_{i}=\frac{1}{a} y_{1}$
$\bar y = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_1} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {a{x_1} = \frac{a}{n}} } \sum\limits_{i = 1}^n {{x_1} = ax} $ $\left( {\bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_1}} } \right)$
Therefore, mean of the observations, $a x_{1}, a x_{2} \ldots a x_{n},$ is $a \bar{x}$
Substituting the values of $x_{i}$ and $\bar{x}$ in $(1),$ we obtain
${\sigma ^2} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{1}{a}{y_1} - \frac{1}{a}\bar y} \right)} ^2}$
$ \Rightarrow {a^2}{\sigma ^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_1} - \bar y} \right)}^2}} $
Thus, the variance of the observations, $a x_{1}, a x_{2} \ldots a x_{n},$ is $a^{2} \sigma^{2}$
$31, 32, 33, ...... 47 $ સંખ્યાઓનું પ્રમાણિત વિચલન કેટલું થાય ?
જો $\sum\limits_{i\, = \,1}^{18} {({x_i}\, - \,\,8)\,\, = \,\,9} $ અને $\,\sum\limits_{i\, = \,1}^{18} {{{({x_i}\, - \,\,8)}^2}\, = \,\,45} ,\,$ હોય, તો $\,{{\text{x}}_{\text{1}}},\,\,{x_2},\,........\,\,{x_{18}}$ નું પ્રમાણિત વિચલન શોધો .
વીસ અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $10$ અને $2$ છે.પુનઃતપાસ કરતાં માલૂમ પડ્યું કે અવલોકન $8$ ખોટું છે. ખોટા અવલોકનને બદલે $12$ મૂકવામાં આવે તો સાચો મધ્યક અને સાચું પ્રમાણિત વિચલન શોધો.
જો $x_i $ નું પ્રમાણિત વિચલન $10$ હોય તો ($50 + 5x_i$)નું વિચરણ કેટલું હશે ?
$10$ વિદ્યાર્થીઓના ગુણના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $50$ અને $12$ જોવામાં આવેલ છે.ત્યાર બાદ એવુ જોવામાં આવ્યું કે બે ગુણ $20$ અને $25$ ને ખોટી રીતે અનુક્રમે $45$ અને $50$ વાંચવામાં આવ્યા હતા. તો સાચું વિચરણ $......$ છે.