Variance and Standard Deviation Questions in Hindi

(C) माध्य $\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$ है।
मानक विचलन $\sigma$ का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2}$ है।
$\sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$ है।
मान रखने पर: $\sigma = \sqrt{\frac{55}{5} - 3^2} = \sqrt{11 - 9} = \sqrt{2}$।

(C) चरण $1$: आंकड़ों का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात कीजिए।
$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6$.
चरण $2$: प्रसरण के सूत्र $\text{Variance} = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ का उपयोग कीजिए।
$\text{Variance} = \frac{1}{5} \{(2 - 6)^2 + (4 - 6)^2 + (6 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + (10 - 6)^2\}$.
चरण $3$: व्यंजक को सरल कीजिए।
$\text{Variance} = \frac{1}{5} \{(-4)^2 + (-2)^2 + (0)^2 + (2)^2 + (4)^2\}$.
$\text{Variance} = \frac{1}{5} \{16 + 4 + 0 + 4 + 16\}$.
$\text{Variance} = \frac{1}{5} \{40\} = 8$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) अवलोकनों के समूह का मानक विचलन मूल बिंदु (origin) के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है।
माना पहली अनुक्रम $x_i = \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ है जिसका मानक विचलन $K$ है।
दूसरी अनुक्रम $y_i = \{10, 11, 12, \dots, 19\}$ है,जिसे $y_i = x_i + 10$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि मानक विचलन प्रत्येक अवलोकन में एक स्थिरांक जोड़ने पर अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $y_i$ का मानक विचलन $x_i$ के मानक विचलन के बराबर होगा।
अतः,दूसरी अनुक्रम का मानक विचलन भी $K$ होगा।

(A) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - \left( \frac{n(n+1)}{2n} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$
$\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n + 2 - 3n - 3]}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

(D) बारंबारता बंटन के लिए मानक विचलन $(\sigma)$ का सूत्र है:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2}$
जहाँ $N = \sum f_i$ और $d_i = x_i - A$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) एक बारंबारता वितरण के लिए मानक विचलन $(\sigma)$ प्रसरण (variance) का वर्गमूल होता है।
प्रसरण माध्य से विचलनों के वर्गों का माध्य है,जो $\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{\sum f}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{\sum f}}$ है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) एक सामान्य वितरण के लिए,माध्य विचलन $(M.D.)$,चतुर्थक विचलन $(Q.D.)$ और मानक विचलन $(S.D.)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$Q.D. = \frac{5}{6} \times M.D.$
$M.D. = 12$ दिया गया है,इसलिए:
$Q.D. = \frac{5}{6} \times 12 = 10$
अब,$S.D. = \frac{3}{2} \times Q.D.$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$S.D. = \frac{3}{2} \times 10 = 15$
अतः,$S.D.$ का मान $15$ है।

(A) $\Rightarrow$ प्रसरण,मानक विचलन का वर्ग होता है।
$\Rightarrow$ गणितीय रूप से,इस संबंध को $v = \sigma^2$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
$\therefore$ यदि $v$ प्रसरण है और $\sigma$ मानक विचलन है,तो $v = \sigma^2$।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी स्थिरांक $a$ और $b$ के लिए,एक परिवर्तित चर $Y = aX + b$ का प्रसरण $Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रश्न में,प्रत्येक अवलोकन $x$ को $\lambda$ से गुणा किया जाता है,जिसका अर्थ है $a = \lambda$ और $b = 0$ है।
इसलिए,नया प्रसरण $Var(\lambda x) = \lambda^2 \cdot Var(x) = \lambda^2 \sigma^2$ होगा।

(D) विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$CV = \frac{\text{मानक विचलन}}{\text{माध्य}} \times 100$
दिया गया है:
माध्य $= 35.16$
मानक विचलन $= 19.76$
सूत्र में मान रखने पर:
$CV = \frac{19.76}{35.16} \times 100$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना प्रेक्षणों $x_1, x_2, \dots, x_n$ का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ है।
माना नए प्रेक्षण $y_i = ax_i$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है।
नए प्रेक्षणों का माध्य $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ax_i = a \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) = a\bar{x}$ है।
नए प्रेक्षणों का प्रसरण $\text{Var}(y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$ है।
$y_i = ax_i$ और $\bar{y} = a\bar{x}$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Var}(y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (ax_i - a\bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a^2(x_i - \bar{x})^2 = a^2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right) = a^2\sigma^2$।

(A) माध्य $\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$.
सबसे पहले,$\sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91$.
अतः,$\sigma^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
मानक विचलन $S.D. = \sigma = \sqrt{\frac{35}{12}}$.

(A) मानक विचलन परिक्षेपण का एक माप है,जो यह दर्शाता है कि संख्याएँ अपने माध्य से कितनी दूर फैली हुई हैं।
यदि डेटा के प्रत्येक प्रेक्षण $x_i$ को $x_i + k$ में परिवर्तित किया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है,तो डेटा का माध्य $k$ से बढ़ जाता है,लेकिन प्रेक्षणों और माध्य के बीच का अंतर समान रहता है।
इसलिए,मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है।
अतः,नया मानक विचलन $40$ होगा।

(D) मानक विचलन परिक्षेपण का एक माप है जो मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है।
यदि डेटा सेट में प्रत्येक प्रेक्षण $x_i$ को $x_i \pm k$ में परिवर्तित किया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है,तो नया मानक विचलन मूल मानक विचलन के समान ही रहता है।
यह दिया गया है कि मूल $S.D.$ $6$ है,इसलिए प्रत्येक मद में $1$ की वृद्धि या कमी करने से डेटा के परिक्षेपण में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,नया मानक विचलन $6$ ही रहेगा।

(B) दिया गया है: प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$,माध्य $\bar{x} = 50$,और विचलनों के वर्गों का योग $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 250$ है।
सबसे पहले,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{250}{10} = 25$ की गणना करें।
फिर,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{25} = 5$ की गणना करें।
विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र $CV = \left( \frac{\sigma}{\bar{x}} \right) \times 100$ है।
मान रखने पर,$CV = \left( \frac{5}{50} \right) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$।

(D) $a \le x_i \le b$ वाले अवलोकनों के समूह का प्रसरण $\text{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
यह एक ज्ञात गुण है कि अंतराल $[a, b]$ में अवलोकनों के लिए,मानक विचलन $\sigma$,$\sigma \le \frac{b - a}{2}$ को संतुष्ट करता है।
इसलिए,प्रसरण $\text{Var}(x) = \sigma^2 \le \left( \frac{b - a}{2} \right)^2 = \frac{(b - a)^2}{4}$ है।
चूंकि $\frac{(b - a)^2}{4} \le (b - a)^2$,इसलिए असमिका $(b - a)^2 \ge \text{Var}(x)$ सत्य है।

(D) माना कि डेटा सेट $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ का प्रसरण $Var(X) = 9$ है।
यदि डेटा सेट के प्रत्येक अवलोकन को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $k^2 \times Var(X)$ हो जाता है।
यहाँ,$k = 5$ है।
अतः,नया प्रसरण $5^2 \times 9 = 25 \times 9 = 225$ होगा।

(C) कुल प्रेक्षणों की संख्या $2n$ है।
$n$ प्रेक्षण $a$ के बराबर हैं और $n$ प्रेक्षण $-a$ के बराबर हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{2n}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{n(a - 0)^2 + n(-a - 0)^2}{2n}}$.
$2 = \sqrt{\frac{na^2 + na^2}{2n}} = \sqrt{\frac{2na^2}{2n}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
अतः,$|a| = 2$.

(B) माना $y = \frac{ax + b}{c} = \frac{a}{c}x + \frac{b}{c}$ है।
चूंकि मानक विचलन $(S.D.)$ मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है,इसलिए अचर पद $\frac{b}{c}$ का $S.D.$ पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
रैखिक रूपांतरण $y = Ax + B$ के लिए,नया मानक विचलन $\sigma_y = |A| \sigma_x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = \frac{a}{c}$ है।
अतः,नया $S.D.$ $\left| \frac{a}{c} \right| \sigma$ होगा।

(D) दिया गया है: $\Sigma (x_i - \bar{x})^2 = 250$,$n = 10$,$\bar{x} = 50$.
प्रसरण (variance) $\sigma^2 = \frac{1}{n} \Sigma (x_i - \bar{x})^2 = \frac{250}{10} = 25$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{25} = 5$.
विचरण गुणांक $(CV)$ $= \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$.
$CV = \frac{5}{50} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$.
अतः सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $n = 15, \Sigma x = 170, \Sigma x^2 = 2830$.
जब एक गलत प्रेक्षण $20$ को सही मान $30$ से बदला जाता है:
प्रेक्षणों का सही योग $= 170 - 20 + 30 = 180$.
प्रेक्षणों के वर्गों का सही योग $= 2830 - 20^2 + 30^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
सही माध्य $\bar{x} = \frac{180}{15} = 12$.
सही प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\Sigma x^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{3330}{15} - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(A) दिया गया संबंध $u = \frac{x - a}{h}$ है,जिसे $u = \frac{1}{h}x - \frac{a}{h}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक विचलन मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है लेकिन पैमाने के परिवर्तन पर निर्भर करता है।
विशेष रूप से,यदि $u = ax + b$ है,तो $\sigma_u = |a| \sigma_x$ होता है।
यहाँ,$a = \frac{1}{h}$ है,इसलिए $\sigma_u = |\frac{1}{h}| \sigma_x = \frac{1}{|h|} \sigma_x$ होगा।
अतः,$\sigma_x = |h| \sigma_u$ प्राप्त होता है।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ है।
$n = 20$ के लिए,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{20^2 - 1}{12}$ होगा।
$\sigma^2 = \frac{400 - 1}{12} = \frac{399}{12}$.
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\sigma^2 = \frac{133}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर $X$ के लिए,$aX$ का प्रसरण $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \cdot \operatorname{Var}(X)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि मूल प्रसरण $\sigma^2$ है,इसलिए नए प्रेक्षणों का प्रसरण (जहाँ प्रत्येक प्रेक्षण को $\lambda$ से गुणा किया जाता है) $\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda^2 \cdot \operatorname{Var}(X) = \lambda^2 \sigma^2$ होगा।
मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल होता है।
अतः,नया मानक विचलन $\sqrt{\lambda^2 \sigma^2} = |\lambda| \sigma$ होगा।

(C) माना कल्पित माध्य $A = 6.5$ है।
प्रसरण की गणना:

$x_i$	$f_i$	$d_i = x_i - 6.5$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$3.5$	$3$	$-3$	$-9$	$27$
$4.5$	$7$	$-2$	$-14$	$28$
$5.5$	$22$	$-1$	$-22$	$22$
$6.5$	$60$	$0$	$0$	$0$
$7.5$	$85$	$1$	$85$	$85$
$8.5$	$32$	$2$	$64$	$128$
$9.5$	$8$	$3$	$24$	$72$
कुल	$N = \Sigma f_i = 217$	-	$\Sigma f_i d_i = 128$	$\Sigma f_i d_i^2 = 362$

यहाँ $N = 217$,$\Sigma f_i d_i = 128$ और $\Sigma f_i d_i^2 = 362$ है।
$Var(X) = \left( \frac{1}{N} \Sigma f_i d_i^2 \right) - \left( \frac{1}{N} \Sigma f_i d_i \right)^2$
$Var(X) = \frac{362}{217} - \left( \frac{128}{217} \right)^2$
$Var(X) = 1.6682 - (0.5898)^2 = 1.6682 - 0.3479 = 1.3203 \approx 1.32$.

(D) माना $a = 7$ (कल्पित माध्य) और $h = 2$ (वर्ग अंतराल).

$Class$	$x_i$	$f_i$	$u_i = (x_i - a)/h$	$f_i u_i$	$f_i u_i^2$
$0-2$	$1$	$2$	$-3$	$-6$	$18$
$2-4$	$3$	$7$	$-2$	$-14$	$28$
$4-6$	$5$	$12$	$-1$	$-12$	$12$
$6-8$	$7$	$19$	$0$	$0$	$0$
$8-10$	$9$	$9$	$1$	$9$	$9$
$10-12$	$11$	$1$	$2$	$2$	$4$
Total	-	$N=50$	-	$\sum f_i u_i = -21$	$\sum f_i u_i^2 = 71$

प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = h^2 \left[ \frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left( \frac{\sum f_i u_i}{N} \right)^2 \right]$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = 2^2 \left[ \frac{71}{50} - \left( \frac{-21}{50} \right)^2 \right]$
$\sigma^2 = 4 \left[ 1.42 - (-0.42)^2 \right]$
$\sigma^2 = 4 \left[ 1.42 - 0.1764 \right]$
$\sigma^2 = 4 \times 1.2436 = 4.9744 \approx 4.97$.

(A) चरण $1$: माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें।
$\bar{x} = \frac{10 + 14 + 11 + 9 + 8 + 12 + 6}{7} = \frac{70}{7} = 10$.
चरण $2$: प्रसरण $(\sigma^2)$ ज्ञात करें।
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{0 + 16 + 1 + 1 + 4 + 4 + 16}{7} = \frac{42}{7} = 6$.
चरण $3$: मानक विचलन $(\sigma)$ ज्ञात करें।
$\sigma = \sqrt{6} \approx 2.449$.
चरण $4$: विचरण गुणांक ($C$.$V$.) ज्ञात करें।
$C.V. = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{2.449}{10} \times 100 = 24.49\% \approx 25.46\%$.

(A) दिया गया है कि $x_1, x_2, \dots, x_n$ का माध्य $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ है और प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ है।
प्रेक्षणों $2x_1, 2x_2, \dots, 2x_n$ के लिए:
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i) = 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right) = 2\bar{x}$ है।
अतः,कथन-$2$ असत्य है क्योंकि माध्य $2\bar{x}$ है,$4\bar{x}$ नहीं।
नया प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i - 2\bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 4(x_i - \bar{x})^2 = 4 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \right) = 4\sigma^2$ है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है।
इसलिए,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$ असत्य है।

(D) हम जानते हैं कि रैखिक रूपांतरण का प्रसरण $\operatorname{Var}(ax + b) = a^2 \cdot \operatorname{Var}(x)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि मानक विचलन $\sigma = 10$,इसलिए प्रसरण $\operatorname{Var}(x) = \sigma^2 = 10^2 = 100$ है।
यहाँ,$a = 5$ और $b = 50$ है।
अतः,अभीष्ट प्रसरण $\operatorname{Var}(5x_i + 50) = 5^2 \cdot \operatorname{Var}(x_i) = 25 \cdot 100 = 2500$ होगा।

(A) बिंदु $c = -2$ के परितः माध्य वर्ग विचलन $18$ है:
$\frac{1}{n} \sum (x_i + 2)^2 = 18 \implies \sum x_i^2 + 4 \sum x_i = 14n$ $(1)$
बिंदु $c = 2$ के परितः माध्य वर्ग विचलन $10$ है:
$\frac{1}{n} \sum (x_i - 2)^2 = 10 \implies \sum x_i^2 - 4 \sum x_i = 6n$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2 \sum x_i^2 = 20n \implies \frac{\sum x_i^2}{n} = 10$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$8 \sum x_i = 8n \implies \frac{\sum x_i}{n} = 1$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2 = 10 - (1)^2 = 9$.
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{9} = 3$.

(B) कथन-$1$ के लिए: प्रथम $n$ सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2n$ हैं।
माध्य $\bar{x} = n+1$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{3}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए: प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $n^2$ है और उनके वर्गों का योग $\frac{n(4n^2-1)}{3}$ है। यह कथन सत्य है,लेकिन यह कथन-$1$ का स्पष्टीकरण नहीं है।

(B) दिया गया अनुक्रम $x_i = a + id$ है,जहाँ $i = 0, 1, 2, \dots, 2n$ है। पदों की कुल संख्या $N = 2n + 1$ है।
माध्य $\bar{x} = a + nd$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{2n+1} \sum_{i=0}^{2n} (x_i - \bar{x})^2$ है।
चूँकि $x_i - \bar{x} = (i - n)d$ है,
$\sigma^2 = \frac{d^2}{2n+1} \sum_{j=-n}^{n} j^2 = \frac{d^2}{2n+1} \cdot 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
अतः,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n(n+1)}{3} d^2$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि प्रेक्षणों के एक समूह का प्रसरण (variance) $\sigma^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात $\sigma^2 \ge 0$।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$ है।
दिए गए मान $\sum x_i^2 = 400$ और $\sum x_i = 80$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{400}{n} - \left( \frac{80}{n} \right)^2 \ge 0$
$\frac{400}{n} \ge \frac{6400}{n^2}$
चूंकि $n > 0$,हम दोनों पक्षों को $n^2$ से गुणा कर सकते हैं:
$400n \ge 6400$
$n \ge \frac{6400}{400}$
$n \ge 16$।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $18$ ही $n \ge 16$ की शर्त को पूरा करता है।

(B) माना $y_i = x_i - 15$ है। तब दिए गए मान $\sum_{i=1}^{10} y_i = 12$ और $\sum_{i=1}^{10} y_i^2 = 18$ हैं।
मानक विचलन मूल बिंदु के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $x_i$ का मानक विचलन $y_i$ के मानक विचलन के समान है।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\frac{1}{n} \sum y_i^2 - (\frac{1}{n} \sum y_i)^2$ है।
यहाँ $n = 10$,$\sum y_i = 12$,और $\sum y_i^2 = 18$ है।
$\sigma^2 = \frac{18}{10} - (\frac{12}{10})^2 = 1.8 - (1.2)^2 = 1.8 - 1.44 = 0.36$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{0.36} = 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

(D) मान लीजिए कि मूल अवलोकन $x_1, x_2, \dots, x_n$ हैं। प्रत्येक में $10$ जोड़ने के बाद नए अवलोकन $x_i' = x_i + 10$ हैं।
माध्य,माध्यिका और बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं और जब प्रत्येक अवलोकन में $10$ जोड़ा जाता है तो वे $10$ बढ़ जाते हैं।
हालाँकि,प्रसरण (Variance) परिक्षेपण का एक माप है। अवलोकनों के एक समूह $x_i$ का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
नए अवलोकनों के लिए,नया माध्य $\bar{x}' = \bar{x} + 10$ है।
नया प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i + 10) - (\bar{x} + 10))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \sigma^2$ है।
अतः,प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।

(D) मानक विचलन ($S$.$D$.) का सूत्र है: $S.D. = \sqrt{\frac{1}{n} \sum x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum x_i \right)^2}$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S.D. = \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \right)^2}$
$S.D. = \sqrt{\frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}}$
$S.D. = \sqrt{\frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}}$
$S.D. = \sqrt{\frac{(n+1) [4n + 2 - 3n - 3]}{12}}$
$S.D. = \sqrt{\frac{(n+1)(n-1)}{12}} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$.

(A) मानक विचलन $\sigma$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$
$\sum x_i^2$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\sum x_i^2}{n} = \sigma^2 + \bar{x}^2$
$\sum x_i^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2)$
अतः,प्रेक्षणों के वर्गों का योग $n(\sigma^2 + \bar{x}^2)$ है।

(B) दिए गए अवलोकन $8, 12, 13, 15, 22$ हैं।
यहाँ,अवलोकनों की संख्या $n = 5$ है।
माध्य $\overline{x} = \frac{8 + 12 + 13 + 15 + 22}{5} = \frac{70}{5} = 14$ है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n}$ है।
माध्य से विचलनों के वर्गों की गणना:
$(8 - 14)^2 = (-6)^2 = 36$
$(12 - 14)^2 = (-2)^2 = 4$
$(13 - 14)^2 = (-1)^2 = 1$
$(15 - 14)^2 = (1)^2 = 1$
$(22 - 14)^2 = (8)^2 = 64$
विचलनों के वर्गों का योग $= 36 + 4 + 1 + 1 + 64 = 106$ है।
प्रसरण $= \frac{106}{5} = 21.2$ है।

(C) दिया गया है: $n_1 = 200, \bar{x}_1 = 25, \sigma_1 = 3$ और $n_2 = 300, \bar{x}_2 = 10, \sigma_2 = 4$.
संयुक्त माध्य $\bar{x}$ इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{200 \times 25 + 300 \times 10}{500} = \frac{5000 + 3000}{500} = \frac{8000}{500} = 16$.
विचलन $d_1$ और $d_2$ की गणना:
$d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x} = 25 - 16 = 9$.
$d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x} = 10 - 16 = -6$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2$ इस प्रकार है:
$\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
$\sigma^2 = \frac{200(3^2 + 9^2) + 300(4^2 + (-6)^2)}{500}$.
$\sigma^2 = \frac{200(9 + 81) + 300(16 + 36)}{500} = \frac{200(90) + 300(52)}{500}$.
$\sigma^2 = \frac{18000 + 15600}{500} = \frac{33600}{500} = 67.2$.

(B) दिए गए प्रेक्षण $112, 116, 120, 125, 132$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{112 + 116 + 120 + 125 + 132}{5} = \frac{605}{5} = 121$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\Sigma (x_i - \bar{x})^2}{n}$.
प्रत्येक प्रेक्षण के लिए $(x_i - \bar{x})^2$ की गणना:
$(112 - 121)^2 = (-9)^2 = 81$
$(116 - 121)^2 = (-5)^2 = 25$
$(120 - 121)^2 = (-1)^2 = 1$
$(125 - 121)^2 = (4)^2 = 16$
$(132 - 121)^2 = (11)^2 = 121$
वर्गों का योग $\Sigma (x_i - \bar{x})^2 = 81 + 25 + 1 + 16 + 121 = 244$.
अतः,$\sigma^2 = \frac{244}{5} = 48.8$.

(B) दिए गए अवलोकन $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
माध्य $(\bar{x})$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5+6+7}{7} = \frac{28}{7} = 4$.
प्रसरण $(\sigma^2)$ की गणना सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ का उपयोग करके की जाती है:
$\sigma^2 = \frac{(1-4)^2 + (2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (6-4)^2 + (7-4)^2}{7}$
$\sigma^2 = \frac{(-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2}{7}$
$\sigma^2 = \frac{9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{7} = \frac{28}{7} = 4$.
मानक विचलन $(\sigma)$ प्रसरण का वर्गमूल होता है:
$\sigma = \sqrt{4} = 2$.

(A) हमारे पास $\text{Var}(Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$ है।
दिया गया है कि $y_i = ax_i + b$,इसलिए $\bar{y} = a\bar{x} + b$ है।
इन मानों को प्रसरण के सूत्र में रखने पर:
$\text{Var}(Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ((ax_i + b) - (a\bar{x} + b))^2$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (ax_i - a\bar{x})^2$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a^2(x_i - \bar{x})^2$
$= a^2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right)$
$= a^2 \text{Var}(X)$.

(C) किसी वितरण का प्रसरण मूलबिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण $x_i$ को $x_i + \lambda$ में परिवर्तित किया जाता है,तो नया मानक विचलन $\sigma$ ही रहता है क्योंकि डेटा का फैलाव नहीं बदलता है।
चूंकि प्रसरण मानक विचलन का वर्ग होता है,इसलिए नया प्रसरण $\sigma^2$ ही रहेगा।

(B) प्रथम $n$ सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2n$ हैं।
इनका योग $\sum x_i = 2(1 + 2 + \dots + n) = 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{n(n + 1)}{n} = n + 1$ है।
वर्गों का योग $\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \dots + (2n)^2 = 4(1^2 + 2^2 + \dots + n^2) = 4 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\sigma^2 = \frac{2(n + 1)(2n + 1)}{3} - (n + 1)^2 = (n + 1) \left[ \frac{4n + 2}{3} - (n + 1) \right] = (n + 1) \left[ \frac{4n + 2 - 3n - 3}{3} \right] = (n + 1) \frac{n - 1}{3} = \frac{n^2 - 1}{3}$ है।
चूँकि $\frac{n^2 - 1}{3} \neq \frac{n^2 - 1}{4}$,इसलिए कथन-$1$ असत्य है और कथन-$2$ सत्य है।

(B) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याएँ $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ हैं।
इनका योग $\sum x_i = n^2$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{n^2}{n} = n$ है।
वर्गों का योग $\sum x_i^2 = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\sigma^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3n} - n^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{n^2-1}{3}$ है।
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{3}}$ है।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,माध्य $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ है।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ है।
विचरण गुणांक ($C$.$V$.) का सूत्र $\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ है।
मान रखने पर: $C.V. = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}} \times \frac{2}{n+1} \times 100$.
चूंकि $n^2-1 = (n-1)(n+1)$,इसलिए $C.V. = \sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}} \times \frac{2}{n+1} \times 100$.
सरल करने पर,$C.V. = \sqrt{\frac{n-1}{3(n+1)}} \times 100$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई संख्याएँ $31, 32, 33, \dots, 47$ एक समांतर श्रेणी में हैं जिसमें कुल $N$ पद हैं।
यहाँ पदों की संख्या $N = 47 - 31 + 1 = 17$ है।
क्रमागत पूर्णांकों के मानक विचलन का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{N^2 - 1}{12}}$ है।
$N = 17$ रखने पर:
$\sigma = \sqrt{\frac{17^2 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{289 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{288}{12}} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र है: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,$\sum x_i = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sigma^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - \left( \frac{n(n+1)}{2n} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $12$ लेने पर: $\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$.
$\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12} = \frac{(n+1)(4n+2 - 3n - 3)}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

(C) हम जानते हैं कि माध्य $\overline{x}$ और मानक विचलन $\sigma$ वाले बंटन के लिए,विचरण गुणांक का सूत्र है:
$\text{विचरण गुणांक} = \frac{\sigma}{\overline{x}} \times 100$
यहाँ $\overline{x} = 4$ और $\text{विचरण गुणांक} = 58\%$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\sigma}{4} \times 100 = 58$
$\sigma = \frac{58 \times 4}{100}$
$\sigma = \frac{232}{100} = 2.32$
अतः,मानक विचलन $2.32$ है।

(B) माना पहले समूह में $n_1 = 10$ अवलोकन हैं,माध्य $\bar{x}_1 = 5$ और मानक विचलन $\sigma_1 = 2\sqrt{6}$ है।
प्रसरण $\sigma_1^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$ है।
सूत्र $\sigma_1^2 = \frac{\sum x_i^2}{n_1} - \bar{x}_1^2$ से,$24 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 25$,अतः $\sum x_i^2 = 490$ है।
दूसरे समूह में $n_2 = 20$ अवलोकन हैं,माध्य $\bar{x}_2 = 5$ और मानक विचलन $\sigma_2 = 3\sqrt{2}$ है।
प्रसरण $\sigma_2^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$ है।
सूत्र $\sigma_2^2 = \frac{\sum y_i^2}{n_2} - \bar{x}_2^2$ से,$18 = \frac{\sum y_i^2}{20} - 25$,अतः $\sum y_i^2 = 860$ है।
संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{10(5) + 20(5)}{30} = 5$ है।
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{490 + 860}{30} - 5^2 = 45 - 25 = 20$ है।
संयुक्त मानक विचलन $\sigma = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।