Variance and Standard Deviation Questions in Gujarati

(C) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{X} = \frac{24}{5}$ અને વિચરણ $\sigma^2 = \frac{194}{25}$ છે.
પાંચ અવલોકનોનો સરવાળો: $\sum_{i=1}^5 x_i = 5 \times \frac{24}{5} = 24$.
પ્રથમ ચાર અવલોકનોનો મધ્યક $\frac{7}{2}$ છે,તેથી $\sum_{i=1}^4 x_i = 4 \times \frac{7}{2} = 14$.
આમ,$x_5 = 24 - 14 = 10$.
વિચરણના સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{X})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{194}{25} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} - (\frac{24}{5})^2$.
$\frac{194}{25} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} - \frac{576}{25}$ $\Rightarrow \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} = \frac{770}{25} = \frac{154}{5}$.
$\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 154$.
$x_5 = 10$ હોવાથી,$x_5^2 = 100$.
$\sum_{i=1}^4 x_i^2 = 154 - 100 = 54$.
પ્રથમ ચાર અવલોકનોનું વિચરણ: $\text{Var} = \frac{\sum_{i=1}^4 x_i^2}{4} - (\text{પ્રથમ ચારનો મધ્યક})^2$.
$\text{Var} = \frac{54}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{27}{2} - \frac{49}{4} = \frac{54 - 49}{4} = \frac{5}{4}$.

(B) સૌ પ્રથમ,મધ્યક $\overline{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\overline{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{176}{22} = 8$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i x_i^2 - (\overline{x})^2$
$\sigma^2 = \frac{2048}{22} - (8)^2 = 93.09 - 64 = 29.09$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ અવલોકનો: $a, b, 68, 44, 48, 60$.
મધ્યક $\overline{x} = 55$,વિચરણ $\sigma^2 = 194$.
અવલોકનોનો સરવાળો: $a + b + 68 + 44 + 48 + 60 = 6 \times 55 = 330$.
$a + b + 220 = 330 \Rightarrow a + b = 110$ (સમીકરણ $1$).
વિચરણનું સૂત્ર: $\frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2 = 194$.
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + (68 - 55)^2 + (44 - 55)^2 + (48 - 55)^2 + (60 - 55)^2 = 194 \times 6$.
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + 13^2 + (-11)^2 + (-7)^2 + 5^2 = 1164$.
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + 169 + 121 + 49 + 25 = 1164$.
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 = 1164 - 364 = 800$.
$a^2 - 110a + 3025 + b^2 - 110b + 3025 = 800$.
$a^2 + b^2 - 110(a + b) + 6050 = 800$.
$a + b = 110$ મૂકતા: $a^2 + b^2 - 110(110) + 6050 = 800$.
$a^2 + b^2 - 12100 + 6050 = 800 \Rightarrow a^2 + b^2 = 6850$ (સમીકરણ $2$).
$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ પરથી,$110^2 = 6850 + 2ab$.
$12100 - 6850 = 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 5250$ $\Rightarrow ab = 2625$.
$a + b = 110$ અને $ab = 2625$ હોવાથી,$a$ અને $b$ એ $t^2 - 110t + 2625 = 0$ ના બીજ છે.
$(t - 75)(t - 35) = 0$.
$a > b$ હોવાથી,$a = 75$ અને $b = 35$.
તેથી,$a + 3b = 75 + 3(35) = 75 + 105 = 180$.

(A) આપેલ $n=10$ અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$ છે.
$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\alpha)=2$ પરથી,$\sum x_i - 10\alpha = 2$ મળે.
મધ્યક $\mu = \frac{\sum x_i}{10} = \frac{6}{5}$ આપેલ છે,તેથી $\sum x_i = 12$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\sum x_i = 12$ મૂકતા: $12 - 10\alpha = 2$ $\Rightarrow 10\alpha = 10$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2 = \frac{84}{25}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum (x_i - \beta)^2 = \sum x_i^2 - 2\beta \sum x_i + 10\beta^2 = 40$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{84}{25}$ પરથી,$\frac{\sum x_i^2}{10} = \frac{84}{25} + \frac{36}{25} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5}$,તેથી $\sum x_i^2 = 48$.
$\sum x_i^2 = 48$ અને $\sum x_i = 12$ ને $48 - 2\beta(12) + 10\beta^2 = 40$ માં મૂકતા:
$10\beta^2 - 24\beta + 8 = 0 \Rightarrow 5\beta^2 - 12\beta + 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(5\beta - 2)(\beta - 2) = 0$.
$\beta$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$\beta = 2$.
તેથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{2}{1} = 2$.

(C) કુલ આવૃત્તિ $N = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2c + 2c + 3c + 4c + 5c + 6c}{7} = \frac{22c}{7}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2$.
$\sum f_i x_i^2 = 2(c)^2 + 1(2c)^2 + 1(3c)^2 + 1(4c)^2 + 1(5c)^2 + 1(6c)^2 = c^2(2 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 92c^2$.
$\sigma^2 = \frac{92c^2}{7} - \left(\frac{22c}{7}\right)^2 = \frac{92c^2}{7} - \frac{484c^2}{49} = \frac{644c^2 - 484c^2}{49} = \frac{160c^2}{49}$.
આપેલ છે કે $\sigma^2 = 160$,તેથી $\frac{160c^2}{49} = 160$.
$c^2 = 49 \Rightarrow c = 7$ (કારણ કે $c \in N$).

(D) આપેલ શ્રેણી એ $a = 8$ પ્રથમ પદ અને $d = 13$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $n$-મું પદ $a_n = a + (n-1)d = 320$ છે.
$8 + (n-1)13 = 320 \implies 13(n-1) = 312 \implies n-1 = 24 \implies n = 25$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{8 + 320}{2} = \frac{328}{2} = 164$.
$n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{(25^2 - 1) \times 13^2}{12} = \frac{(625 - 1) \times 169}{12} = \frac{624 \times 169}{12}$.
$\sigma^2 = 52 \times 169 = 8788$.

(A) પ્રારંભિક મધ્યક $\overline{x} = 5.5$ અને $n = 10$ માટે,પ્રારંભિક સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i = 5.5 \times 10 = 55$ છે.
આપેલ છે $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 371$.
સરવાળામાં સુધારો: $(\sum x_i)_{\text{new}} = 55 - (4 + 5) + (6 + 8) = 60$.
વર્ગોના સરવાળામાં સુધારો: $(\sum x_i^2)_{\text{new}} = 371 - (4^2 + 5^2) + (6^2 + 8^2) = 430$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2$.
$\sigma^2 = \frac{430}{10} - (\frac{60}{10})^2 = 43 - 36 = 7$.

(A) આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{10}(x_i-2)=30 \implies \sum x_i - 20 = 30 \implies \sum x_i = 50$. મધ્યક $\bar{x} = \frac{50}{10} = 5$.
વિચરણ $\sigma_x^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\bar{x})^2 = \frac{4}{5} \implies \frac{\sum x_i^2}{10} - 25 = 0.8 \implies \sum x_i^2 = 258$.
આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^{10}(x_i-\beta)^2 = 98 \implies \sum x_i^2 - 2\beta \sum x_i + 10\beta^2 = 98$.
કિંમતો મૂકતા: $258 - 2\beta(50) + 10\beta^2 = 98 \implies 10\beta^2 - 100\beta + 160 = 0 \implies \beta^2 - 10\beta + 16 = 0$.
$(\beta-8)(\beta-2) = 0$. કારણ કે $\beta > 2$,તેથી $\beta = 8$.
ધારો કે $y_i = 2(x_i-1) + 4\beta = 2x_i - 2 + 32 = 2x_i + 30$.
મધ્યક $\mu = 2\bar{x} + 30 = 2(5) + 30 = 40$.
વિચરણ $\sigma^2 = 2^2 \cdot \sigma_x^2 = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$.
તેથી $\frac{\beta\mu}{\sigma^2} = \frac{8 \cdot 40}{16/5} = \frac{320 \cdot 5}{16} = 20 \cdot 5 = 100$.

(D) આપેલ મધ્યક $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{5} = 5$ હોવાથી,$1+3+a+7+b = 25$,એટલે કે $a+b = 14$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\overline{x})^2 = 10$ હોવાથી,$\frac{1^2+3^2+a^2+7^2+b^2}{5} - 25 = 10$,તેથી $1+9+a^2+49+b^2 = 175$,જે $a^2+b^2 = 116$ આપે છે.
$a+b=14$ અને $a^2+b^2=116$ પરથી,$(a+b)^2 - 2ab = 116$ $\Rightarrow 196 - 2ab = 116$ $\Rightarrow ab = 40$.
$a$ અને $b$ એ $t^2 - 14t + 40 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $(t-10)(t-4) = 0$. $a > b$ હોવાથી,$a=10$ અને $b=4$.
નવા અવલોકનો $y_n = n+x_n$ એ $2, 5, 13, 11, 9$ છે.
નવો મધ્યક $\overline{y} = \frac{2+5+13+11+9}{5} = 8$.
નવું વિચરણ $\frac{2^2+5^2+13^2+11^2+9^2}{5} - 8^2 = \frac{400}{5} - 64 = 80 - 64 = 16$.

(A) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ મધ્યક અને કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો ગણીએ છીએ.

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$5$	$3$	$15$	$75$
$6$	$7$	$42$	$252$
$7$	$4$	$28$	$196$
$8$	$2$	$16$	$128$
$10$	$4$	$40$	$400$
કુલ	$N=20$	$\sum f_i x_i = 141$	$\sum f_i x_i^2 = 1051$

વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i x_i}{N}\right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{1051}{20} - \left(\frac{141}{20}\right)^2$
$\sigma^2 = 52.55 - (7.05)^2$
$\sigma^2 = 52.55 - 49.7025$
$\sigma^2 = 2.8475 \approx 2.85$.

(D) વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{N} - \left(\frac{\sum X}{N}\right)^2$ છે.
આપેલ કિંમતો $N=60$,$\sum X^2=18000$,અને $\sum X=960$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{18000}{60} - \left(\frac{960}{60}\right)^2$.
$\sigma^2 = 300 - (16)^2$.
$\sigma^2 = 300 - 256$.
$\sigma^2 = 44$.
આમ,માહિતીનું વિચરણ $44$ છે.

(B) ધારો કે છઠ્ઠી કસોટીનો સ્કોર $x$ છે.
છ કસોટીઓની સરેરાશ $48$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{54+45+41+43+57+x}{6} = 48$
$240 + x = 288$
$x = 48$.
ગુણ $54, 45, 41, 43, 57, 48$ છે.
સરેરાશ $\bar{x} = 48$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2}$.
$\sigma = \sqrt{\frac{(54-48)^2 + (45-48)^2 + (41-48)^2 + (43-48)^2 + (57-48)^2 + (48-48)^2}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{6^2 + (-3)^2 + (-7)^2 + (-5)^2 + 9^2 + 0^2}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{36 + 9 + 49 + 25 + 81 + 0}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{200}{6}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$.

(A) પ્રથમ $50$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 100$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+4+\dots+100}{50} = \frac{2(1+2+\dots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \dots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \dots + 50^2)$.
વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50 \times 51 \times 101}{6} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(A) આપેલ છે: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,અને $\sigma = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 50$.
તેથી,$\sum x_i = 50 \times 100 = 5000$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$.
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 2500 + 25 = 2525$.
$\sum x_i^2 = 2525 \times 100 = 252500$.

(C) $a, b, c$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{a+b+c}{3}$ છે.
$b = a + c$ હોવાથી,$\bar{x} = \frac{b+b}{3} = \frac{2b}{3}$ મળે.
$a+2, b+2, c+2$ નું પ્રમાણિત વિચલન એ $a, b, c$ ના પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ એટલે કે $d$ છે.
તેથી,$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - (\bar{x})^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \left(\frac{2b}{3}\right)^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \frac{4b^2}{9}$.
$d^2 = \frac{3(a^2+b^2+c^2) - 4b^2}{9}$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2+b^2) - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) + 3b^2 - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) - b^2$.
તેથી,$b^2 = 3(a^2+c^2) - 9d^2$.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ છે અને તેમનું વિચરણ $\sigma^2 = 5$ છે.
જો દરેક અવલોકનને અચળાંક $a$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવું વિચરણ $a^2 \sigma^2$ થાય છે.
અહીં,$a = 3$ છે,તેથી નવું વિચરણ $3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45$ થાય.
દરેક અવલોકનમાં અચળાંક $b$ ઉમેરવાથી વિચરણમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,અંતિમ વિચરણ $45$ રહેશે.

(D) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_6$ છે અને તેમનું વિચરણ $\sigma^2 = 12$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનને અચળ $k$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે નવું વિચરણ $\sigma'^2 = k^2 \sigma^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$k = 3$ અને $\sigma^2 = 12$ છે.
તેથી,નવું વિચરણ:
$\sigma'^2 = 3^2 \times 12$
$\sigma'^2 = 9 \times 12$
$\sigma'^2 = 108$

(A) આપેલ છે: $n = 15$,$\sum x = 170$,અને $\sum x^2 = 2830$.
સુધારેલ અવલોકનોનો સરવાળો: $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
સુધારેલ વર્ગોનો સરવાળો: $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
સુધારેલ વિચરણનું સૂત્ર: $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$.
$\sigma^2 = 222 - (12)^2 = 222 - 144 = 78$.

(C) સૌ પ્રથમ,દરેક વર્ગ અંતરાલ ($C$.$I$.) માટે મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો:
$0-6$ માટે,$x_1 = \frac{0+6}{2} = 3$
$6-12$ માટે,$x_2 = \frac{6+12}{2} = 9$
$12-18$ માટે,$x_3 = \frac{12+18}{2} = 15$
હવે,$\sum f_i$,$\sum f_i x_i$,અને $\sum f_i x_i^2$ ની ગણતરી કરો:
$\sum f_i = 2 + 4 + 6 = 12$
$\sum f_i x_i = (2 \times 3) + (4 \times 9) + (6 \times 15) = 6 + 36 + 90 = 132$
$\sum f_i x_i^2 = (2 \times 3^2) + (4 \times 9^2) + (6 \times 15^2) = (2 \times 9) + (4 \times 81) + (6 \times 225) = 18 + 324 + 1350 = 1692$
વિચરણ $V(X)$ નીચે મુજબ છે:
$V(X) = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - \left( \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \right)^2$
$V(X) = \frac{1692}{12} - \left( \frac{132}{12} \right)^2$
$V(X) = 141 - (11)^2$
$V(X) = 141 - 121 = 20$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$.

(D) જ્યારે ડેટાની દરેક કિંમતને $\lambda$ વડે ગુણવામાં આવે છે,ત્યારે વિચરણ $\lambda^2$ વડે ગુણાય છે.
તેથી,નવું વિચરણ $= \lambda^2 \cdot \sigma_x^2$ થાય છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\overline{x} = \frac{2+3+11+x}{4} = \frac{16+x}{4}$ છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2$ છે.
$\frac{49}{4} = \frac{1}{4} [(\frac{16+x}{4} - 2)^2 + (\frac{16+x}{4} - 3)^2 + (\frac{16+x}{4} - 11)^2 + (\frac{16+x}{4} - x)^2]$.
$49 = (\frac{8+x}{4})^2 + (\frac{4+x}{4})^2 + (\frac{x-28}{4})^2 + (\frac{16-3x}{4})^2$.
$49 \times 16 = (64 + x^2 + 16x) + (16 + x^2 + 8x) + (x^2 - 56x + 784) + (256 - 96x + 9x^2)$.
$784 = 12x^2 - 128x + 1120$.
$12x^2 - 128x + 336 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા,$3x^2 - 32x + 84 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1008}}{6} = \frac{32 \pm 4}{6}$ મળે.
તેથી,$x = \frac{36}{6} = 6$ અથવા $x = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.

(A) ધારો કે મૂળ માહિતી $X = \{2, 4, 5, 6, 8, 17\}$ છે.
$X$ નું વિચરણ $Var(X) = 23.33$ આપેલ છે.
નવી માહિતી $Y = \{4, 8, 10, 12, 16, 34\}$ એ $X$ ના દરેક ઘટકને $2$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે,એટલે કે $Y = 2X$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $Y = aX$ હોય,તો $Var(Y) = a^2 \times Var(X)$ થાય.
અહીં,$a = 2$ છે.
તેથી,$Var(Y) = (2)^2 \times 23.33 = 4 \times 23.33 = 93.32$.

(B) કયા વિભાગમાં વધુ એકરૂપતા છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિભાગ માટે વિચલનાંક ($C$.$V$.) ની ગણતરી કરીએ છીએ. $C$.$V$. નું સૂત્ર $\text{C.V.} = \frac{\text{Standard Deviation}}{\text{Mean}} \times 100$ છે. ઓછો $C$.$V$. વધુ એકરૂપતા સૂચવે છે.\\
વિભાગ $A$ માટે: $\text{C.V.}_A = \frac{12}{80} = 0.15$ અથવા $15\%$.\\
વિભાગ $B$ માટે: $\text{C.V.}_B = \frac{6}{75} = 0.08$ અથવા $8\%$.\\
વિભાગ $C$ માટે: $\text{C.V.}_C = \frac{8}{70} \approx 0.114$ અથવા $11.4\%$.\\
વિભાગ $D$ માટે: $\text{C.V.}_D = \frac{10}{72} \approx 0.139$ અથવા $13.9\%$.\\
વિભાગ $B$ માટે $C$.$V$. સૌથી ઓછો હોવાથી,તેમાં સૌથી વધુ એકરૂપતા છે.

(D) આપેલ છે કે $n = 16$ અને $\Sigma x_i = 528$. \\ મધ્યક $\overline{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{528}{16} = 33$. \\ મધ્યક $33$ થી વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma(x_i - 33)^2 = 9158$ છે. \\ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \Sigma(x_i - \overline{x})^2$. \\ તેથી,$\sigma^2 = \frac{9158}{16} = 572.375$.

(D) વિચલન ગુણાંકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{વિચલન ગુણાંક} = \frac{\text{પ્રમાણિત વિચલન}}{\text{મધ્યક}} \times 100$
અહીં,$\text{પ્રમાણિત વિચલન} = 12$ અને $\text{મધ્યક} = 72$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{વિચલન ગુણાંક} = \frac{12}{72} \times 100 \% = \frac{1}{6} \times 100 \% = 16.67 \%$

(A) આપેલ છે: $n = 50$,$\Sigma x_i^2 = 3050$,અને $\bar{x} = 6$.
પ્રમાણિત વિચલન ($S$.$D$.) નું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \Sigma x_i^2 - (\bar{x})^2}$ છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{\frac{3050}{50} - (6)^2}$
$\sigma = \sqrt{61 - 36}$
$\sigma = \sqrt{25}$
$\sigma = 5$.
આમ,પ્રમાણિત વિચલન $5$ છે.

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{x})^2$.
અહીં,$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$
$\frac{n+1}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{4n+2 - 3n-3}{6} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{n-1}{6} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું પ્રમાણિત વિચલન ($S$.$D$.) શોધવાનું સૂત્ર: $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$.
અહીં $\sigma = 2$ આપેલ છે,તેથી:
$2 = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{n^2-1}{12}$
$48 = n^2 - 1$
$n^2 = 49$
$n = 7$ (કારણ કે $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે).
આમ,$n$ ની કિંમત $7$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\sum x = 12$,$\sum x^2 = 16.9$,અને $n = 10$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $S.D. = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - (\frac{\sum x}{n})^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S.D. = \sqrt{\frac{16.9}{10} - (\frac{12}{10})^2}$
$S.D. = \sqrt{1.69 - (1.2)^2}$
$S.D. = \sqrt{1.69 - 1.44}$
$S.D. = \sqrt{0.25}$
$S.D. = 0.5$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે વિચલન ગુણાંક ($C$.$V$.) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$C.V. = \frac{\text{પ્રમાણિત વિચલન}}{\text{મધ્યક}} \times 100$
દરેક વિષય માટે $C$.$V$. ની ગણતરી:
$1. (C.V.)_{\text{ભૌતિકવિજ્ઞાન}} = \frac{3}{20} = 0.15$
$2. (C.V.)_{\text{રસાયણવિજ્ઞાન}} = \frac{2}{25} = 0.08$
$3. (C.V.)_{\text{ગણિત}} = \frac{4}{23} \approx 0.174$
$4. (C.V.)_{\text{જીવવિજ્ઞાન}} = \frac{5}{27} \approx 0.185$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,જીવવિજ્ઞાનમાં સૌથી વધુ પરિવર્તનશીલતા જોવા મળે છે કારણ કે તેનો વિચલન ગુણાંક સૌથી વધુ $(0.185)$ છે.

(B) $5$ કરતા મોટી પ્રથમ છ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $7, 11, 13, 17, 19, 23$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{7+11+13+17+19+23}{6} = \frac{90}{6} = 15$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
$\sigma^2 = \frac{(7-15)^2 + (11-15)^2 + (13-15)^2 + (17-15)^2 + (19-15)^2 + (23-15)^2}{6}$
$\sigma^2 = \frac{(-8)^2 + (-4)^2 + (-2)^2 + (2)^2 + (4)^2 + (8)^2}{6}$
$\sigma^2 = \frac{64 + 16 + 4 + 4 + 16 + 64}{6} = \frac{168}{6} = 28$.

(D) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_6$ છે અને તેમનું વિચરણ $\sigma^2 = 16$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનને અચળાંક $\lambda$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \lambda^2 \sigma^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\lambda = 3$ અને $\sigma^2 = 16$ છે.
તેથી,નવું વિચરણ:
$\sigma'^2 = 3^2 \times 16$
$\sigma'^2 = 9 \times 16$
$\sigma'^2 = 144$

(B) વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$ છે.
અહીં,$n = 4$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 5$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 1 + k}{4} = \frac{k}{4}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{1}{4} [(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + k^2] - (\frac{k}{4})^2$.
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \frac{k^2}{16}$.
છેદ દૂર કરવા માટે સમીકરણને $16$ વડે ગુણતા:
$80 = 4(2 + k^2) - k^2$.
$80 = 8 + 4k^2 - k^2$.
$80 - 8 = 3k^2$.
$72 = 3k^2$.
$k^2 = 24$.
કારણ કે $k > 0$,તેથી $k = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(A) પ્રમાણિત વિચલન ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે.
$\therefore$ $x_{i}$ નું પ્રમાણિત વિચલન $= (x_{i}-2)$ નું પ્રમાણિત વિચલન.
ધારો કે $y_{i} = x_{i}-2$. તો $n = 20$ માટે $\sum y_{i} = 20$ અને $\sum y_{i}^2 = 100$.
$y$ નું પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{\frac{\sum y_{i}^2}{n} - \left(\frac{\sum y_{i}}{n}\right)^2}$.
$y$ નું પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{\frac{100}{20} - \left(\frac{20}{20}\right)^2}$.
$y$ નું પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{5 - 1^2} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$x$ નું પ્રમાણિત વિચલન $2$ છે.

(D) પદો $x_i = (i-1)d$ છે,જ્યાં $i=1, 2, \ldots, n$.
$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (i-1)d = \frac{d}{n} \frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)d}{2}$.
$\sum x_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (i-1)^2 d^2 = d^2 \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = d^2 \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$.
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{d^2(n-1)(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)^2 d^2}{4}$.
$\sigma^2 = \frac{d^2(n-1)}{2} \left[ \frac{2n-1}{3} - \frac{n-1}{2} \right] = \frac{d^2(n-1)}{2} \left[ \frac{4n-2-3n+3}{6} \right] = \frac{d^2(n-1)(n+1)}{12} = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$.

(D) પ્રથમ $N$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{N^2-1}{12}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$N = 2n$ છે.
સૂત્રમાં $N = 2n$ મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{(2n)^2-1}{12}$
$\sigma^2 = \frac{4n^2-1}{12}$

(A) આપેલ છે $n = 15$,$\sum X^2 = 2830$,અને $\sum X = 170$.
ખોટું અવલોકન $= 20$,સાચું અવલોકન $= 30$.
સુધારેલ $\sum X = 170 - 20 + 30 = 180$.
સુધારેલ $\sum X^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{n} - \left(\frac{\sum X}{n}\right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$.
$\sigma^2 = 222 - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(C) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{15}$ છે.
આપેલ છે કે,મધ્યક $\bar{x} = 10$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 6$.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાં $k=8$ જેટલો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવા અવલોકનો $x_i' = x_i + 8$ થાય.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \bar{x} + 8 = 10 + 8 = 18$ થાય.
વિચરણ એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે,તેથી નવો વિચરણ $\sigma'^2 = \sigma^2 = 6$ રહેશે.
તેથી,નવો વિચરણ અને નવો મધ્યક અનુક્રમે $6$ અને $18$ છે.

(C) $3$ ના પ્રથમ $10$ ગુણકો $3, 6, 9, \ldots, 30$ છે.
ધારો કે $x_i = 3i$ જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, 10$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{x} = \frac{3(1+2+\ldots+10)}{10} = \frac{3 \times 10 \times 11}{10 \times 2} = 16.5$.
$\sum x_i^2 = 3^2(1^2+2^2+\ldots+10^2) = 9 \times \frac{10(11)(21)}{6} = 9 \times 385 = 3465$.
$\sigma^2 = \frac{3465}{10} - (16.5)^2 = 346.5 - 272.25 = 74.25$.

(D) આપેલ છે $n = 15$,$\sum x^2 = 2830$,અને $\sum x = 170$.
ખોટું અવલોકન $20$ છે અને સાચું અવલોકન $30$ છે.
સુધારેલ $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
સુધારેલ $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
સુધારેલ મધ્યક $\bar{x} = \frac{180}{15} = 12$.
સુધારેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{3330}{15} - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(A) પ્રથમ $10$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, \ldots, 10$ છે.
દરેકમાં $1$ ઉમેરતા,નવી સંખ્યાઓ $2, 3, 4, \ldots, 11$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો દરેક પદમાં અચળ સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે તો વિચરણ બદલાતું નથી.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 10$ છે.
$\sigma^2 = \frac{10^2 - 1}{12} = \frac{100 - 1}{12} = \frac{99}{12} = 8.25$.

(D) આપેલ અવલોકનો $a, b, c, d, e$ છે જેનો મધ્યક $m$ અને પ્રમાણિત વિચલન $S$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $S = \sqrt{\frac{\sum (x_i - m)^2}{n}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાં અચળ $k$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા અવલોકનો $x_i' = x_i + k$ બને છે.
નવો મધ્યક $m' = \frac{\sum (x_i + k)}{n} = \frac{\sum x_i}{n} + k = m + k$ થાય છે.
નવું પ્રમાણિત વિચલન $S' = \sqrt{\frac{\sum (x_i' - m')^2}{n}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S' = \sqrt{\frac{\sum ((x_i + k) - (m + k))^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - m)^2}{n}}$.
આમ,$S' = S$.
દરેક અવલોકનમાં અચળ સંખ્યા ઉમેરવાથી પ્રમાણિત વિચલનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
આપેલ છે:
$n = 100$
$\bar{x} = 50$
$\sigma = 5$
કિંમતો મૂકતા:
$5^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$
$25 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2500 + 25 = 2525$
$\Sigma x_i^2 = 2525 \times 100 = 252500$
આમ,બધા અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો $252500$ છે.

(C) આપેલ સંખ્યાઓ $31, 32, 33, \ldots, 47$ છે.
દરેક પદમાંથી $30$ બાદ કરતા,આપણને $1, 2, 3, \ldots, 17$ શ્રેણી મળે છે.
જ્યારે દરેક પદમાંથી અચળ સંખ્યા બાદ કરવામાં આવે ત્યારે પ્રમાણિત વિચલન બદલાતું નથી.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $SD = \sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}$ છે.
અહીં,$n = 17$.
$SD = \sqrt{\frac{17^{2}-1}{12}} = \sqrt{\frac{289-1}{12}} = \sqrt{\frac{288}{12}}$.
$SD = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(D) આપેલ સંખ્યાઓ $-1, 0, 1, k$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન,$\sigma = \sqrt{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$.
અહીં,$n = 4$.
$\sigma^2 = 5 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + k^2}{4} - \left(\frac{-1 + 0 + 1 + k}{4}\right)^2$.
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \left(\frac{k}{4}\right)^2$.
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \frac{k^2}{16}$.
સમીકરણને $16$ વડે ગુણતા:
$80 = 4(2 + k^2) - k^2$.
$80 = 8 + 4k^2 - k^2$.
$72 = 3k^2$.
$k^2 = 24$.
$k > 0$ હોવાથી,$k = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(C) આપેલ છે: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,અને $\sigma = 4$.
પ્રમાણિત વિચલનનું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4 = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$16 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 2500 + 16 = 2516$
$\sum x_i^2 = 2516 \times 100 = 251600$.
આમ,બધી વસ્તુઓના વર્ગોનો સરવાળો $251600$ છે.

(A) આપેલ માહિતી: $6, 7, 8, 9, 10$
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{6+7+8+9+10}{5} = \frac{40}{5} = 8$
પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ = $\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{(6-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2}{5}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{(-2)^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2}{5}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$