Variance and Standard Deviation Questions in Gujarati

(B) ધારો કે મૂળ વજન $x_i$ છે. આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 30 \text{ g}$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2 \text{ g}$ છે.
દરેક માછલીનું વજન વાસ્તવિક વજન કરતા $2 \text{ g}$ ઓછું નોંધાયું હોવાથી,સુધારેલા વજન $y_i = x_i + 2$ થશે.
નવો મધ્યક $\bar{y} = \bar{x} + 2 = 30 + 2 = 32 \text{ g}$ થશે.
પ્રમાણિત વિચલન એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે. દરેક અવલોકનમાં અચળ સંખ્યા ઉમેરવાથી માહિતીનું વિચલન બદલાતું નથી.
તેથી,સુધારેલું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 2 \text{ g}$ જ રહેશે.
આમ,સાચો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $32 \text{ g}$ અને $2 \text{ g}$ છે.

(D) ધારો કે $d_i = x_i - 8$. $x_i$ નું પ્રમાણિત વિચલન એ $d_i$ ના પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ હોય છે,જેને $\sigma_d$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$\sigma_d = \sqrt{\frac{\sum d_i^2}{n} - \left( \frac{\sum d_i}{n} \right)^2}$
અહીં $n = 18$,$\sum d_i = 9$,અને $\sum d_i^2 = 45$ આપેલ છે.
$\sigma_d = \sqrt{\frac{45}{18} - \left( \frac{9}{18} \right)^2}$
$\sigma_d = \sqrt{\frac{5}{2} - \left( \frac{1}{2} \right)^2}$
$\sigma_d = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10 - 1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

(D) વસ્તી $A$ માં $100$ અવલોકનો $101, 102, \dots, 200$ છે અને તેનું વિચરણ $V_A$ છે.
વસ્તી $B$ માં $100$ અવલોકનો $151, 152, \dots, 250$ છે.
આ અવલોકનોને $(101 + 50), (102 + 50), \dots, (200 + 50)$ તરીકે લખી શકાય.
વિચરણ એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર હોવાથી,દરેક અવલોકનમાં અચળ સંખ્યા ઉમેરવાથી વિચરણ બદલાતું નથી.
તેથી,$V_B = V_A$.
આમ,$\frac{V_A}{V_B} = 1$.

(A) મધ્યક $(\overline{x})$ ની ગણતરી $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ મુજબ થાય છે.
$\overline{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = \frac{30}{5} = 6$.
વિચરણ $(\sigma^2)$ ની ગણતરી $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n}$ મુજબ થાય છે.
$\sigma^2 = \frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{5}$.
$\sigma^2 = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5}$.
$\sigma^2 = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8$.

(C) આપેલ છે: $n = 10$,$\sum x_i = 12$,અને $\sum x_i^2 = 18$.
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ નું સૂત્ર:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{\frac{18}{10} - \left(\frac{12}{10}\right)^2}$
$\sigma = \sqrt{1.8 - 1.44}$
$\sigma = \sqrt{0.36}$
$\sigma = 0.6 = \frac{3}{5}$

(B) બે શ્રેણીઓના સંયુક્ત વિચરણ માટેનું સૂત્ર:
$\sigma^2 = \frac{n_1\sigma_1^2 + n_2\sigma_2^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1n_2}{(n_1 + n_2)^2}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)^2$
આપેલ છે:
$n_1 = 5, \bar{x}_1 = 8, \sigma_1^2 = 24$
$n_2 = 3, \bar{x}_2 = 8, \sigma_2^2 = 24$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{5(24) + 3(24)}{5 + 3} + \frac{5(3)}{(5 + 3)^2}(8 - 8)^2$
કારણ કે $(8 - 8) = 0$,તેથી બીજું પદ $0$ થશે:
$\sigma^2 = \frac{120 + 72}{8} + 0$
$\sigma^2 = \frac{192}{8} = 24$

(D) $5$ સંખ્યાઓ $a, b, 8, 5, 10$ માટે મધ્યક $\bar{x} = 6$ આપેલ છે:
$\frac{a + b + 8 + 5 + 10}{5} = 6$
$a + b + 23 = 30 \Rightarrow a + b = 7$ $(1)$
વિચરણ $\sigma^2 = 6.80$ આપેલ છે:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \sigma^2$
$\frac{a^2 + b^2 + 8^2 + 5^2 + 10^2}{5} - 6^2 = 6.8$
$\frac{a^2 + b^2 + 64 + 25 + 100}{5} - 36 = 6.8$
$\frac{a^2 + b^2 + 189}{5} = 42.8$
$a^2 + b^2 + 189 = 214$
$a^2 + b^2 = 25$ $(2)$
$(1)$ પરથી,$b = 7 - a$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$a^2 + (7 - a)^2 = 25$
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$
$2a^2 - 14a + 24 = 0$
$a^2 - 7a + 12 = 0$
$(a - 3)(a - 4) = 0$
તેથી,$a = 3$ અથવા $a = 4$. જો $a = 3$ હોય તો $b = 4$; જો $a = 4$ હોય તો $b = 3$. આમ,$(a, b) = (3, 4)$ એ શક્ય ઉકેલ છે.

(A) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે. વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આપણે ઉગમબિંદુમાં $a$ જેટલો ફેરફાર કરીએ,તો નવા અવલોકનો $y_i = x_i + a$ થાય. મધ્યક $\bar{y} = \bar{x} + a$ થાય છે.
નવું વિચરણ $\frac{1}{n} \sum (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i + a - (\bar{x} + a))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \sigma^2$ થાય છે.
આમ,વિચરણ એ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી નિરપેક્ષ છે.
જો આપણે માપનમાં $b$ જેટલો ફેરફાર કરીએ,તો નવું વિચરણ $b^2 \sigma^2$ થાય છે.
તેથી,વિચરણ માત્ર ઉગમબિંદુના ફેરફારથી નિરપેક્ષ છે.

(A) વસ્તી $A$ માં $100$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે: $101, 102, . . ., 200$.
વસ્તી $B$ માં $100$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે: $151, 152, . . ., 250$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે. એટલે કે,જો $y_i = x_i + c$ હોય,તો $Var(y) = Var(x)$.
અહીં,વસ્તી $B$ નું દરેક અવલોકન $y_i = x_i + 50$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $x_i$ એ વસ્તી $A$ ના અવલોકનો છે.
વિચરણ ઉગમબિંદુના ફેરફાર હેઠળ અપરિવર્તિત રહેતું હોવાથી,$V_A = V_B$.
તેથી,$\frac{V_A}{V_B} = 1$.

(D) સંખ્યાઓ $a, b, 8, 5, 10$ માટે મધ્યક $\bar{x} = 6$ આપેલ છે:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$
$a+b+23 = 30 \Rightarrow a+b = 7$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 6.80$ છે.
$\frac{(a-6)^2 + (b-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 + (10-6)^2}{5} = 6.80$
$(a-6)^2 + (b-6)^2 + 4 + 1 + 16 = 34$
$(a-6)^2 + (b-6)^2 = 13$.
$a+b=7$ હોવાથી,$b = 7-a$ લેતા:
$(a-6)^2 + (1-a)^2 = 13$
$2a^2 - 14a + 24 = 0$
$a^2 - 7a + 12 = 0$
$(a-3)(a-4) = 0$.
તેથી,$a=3$ હોય તો $b=4$ મળે.

(D) આપેલ અવલોકનો ${x_1}, {x_2}, \ldots, {x_n}$ છે,જેનો મધ્યક $\bar x$ અને વિચરણ ${\sigma ^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2$ છે.
વિધાન-$2$ માટે: $2{x_1}, 2{x_2}, \ldots, 2{x_n}$ નો મધ્યક $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i) = 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right) = 2\bar x$ થાય.
આથી વિધાન-$2$ ખોટું છે.
વિધાન-$1$ માટે: $2{x_1}, 2{x_2}, \ldots, 2{x_n}$ નું વિચરણ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i - 2\bar x)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 4(x_i - \bar x)^2 = 4 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2 \right) = 4{\sigma ^2}$ થાય.
આથી વિધાન-$1$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે મૂળ ગુણ $x_i$ છે અને નવા ગુણ $y_i = x_i + 10$ છે.
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક જેવા મધ્યવર્તી સ્થિતિના માપો ઉગમબિંદુના ફેરફાર (અચળાંક ઉમેરવાથી) થી પ્રભાવિત થાય છે.
જો દરેક અવલોકનમાં $c$ ઉમેરવામાં આવે,તો મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક પણ $c$ જેટલા વધે છે.
જોકે,વિચરણ અને પ્રમાણિત વિચલન જેવા પ્રસારના માપો ઉગમબિંદુના ફેરફારથી સ્વતંત્ર છે.
વિચરણની વ્યાખ્યા $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2$ છે.
નવા ગુણ $y_i$ માટે,વિચરણ $\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \overline{y})^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i + 10) - (\overline{x} + 10))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2 = \sigma_x^2$ થાય છે.
આમ,વિચરણ બદલાતું નથી.

(D) પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ નું સૂત્ર $SD = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $SD = 3.5 = \frac{7}{2}$,તેથી $SD^2 = \frac{49}{4}$.
સંખ્યાઓ $2, 3, a, 11$ છે,તેથી $n = 4$.
$\sum x_i = 2 + 3 + a + 11 = 16 + a$.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + a^2 + 11^2 = 134 + a^2$.
વિચરણના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{49}{4} = \frac{134 + a^2}{4} - \left(\frac{16 + a}{4}\right)^2$.
છેદ દૂર કરવા માટે $16$ વડે ગુણતા:
$49 \times 4 = 4(134 + a^2) - (16 + a)^2$.
$196 = 536 + 4a^2 - (256 + 32a + a^2)$.
$196 = 280 + 3a^2 - 32a$.
$3a^2 - 32a + 84 = 0$.

(B) ધારો કે $y_i = x_i - 5$. તેથી $\sum_{i=1}^9 y_i = 9$ અને $\sum_{i=1}^9 y_i^2 = 45$.
અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ ઉગમબિંદુના પરિવર્તન હેઠળ બદલાતું નથી. તેથી,$x_i$ નું પ્રમાણિત વિચલન એ $y_i$ ના પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ હોય છે.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{45}{9} - \left( \frac{9}{9} \right)^2$
$\sigma^2 = 5 - 1 = 4$
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{4} = 2$.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું $S.D.$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum x^2 - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2}$.
સરવાળા $\sum x = \frac{n(n + 1)}{2}$ અને $\sum x^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6n} - \left[\frac{n(n + 1)}{2n}\right]^2}$
$= \sqrt{\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6} - \left(\frac{n + 1}{2}\right)^2}$
$= \sqrt{\frac{n + 1}{2} \left(\frac{2n + 1}{3} - \frac{n + 1}{2}\right)}$
$= \sqrt{\frac{n + 1}{2} \left(\frac{4n + 2 - 3n - 3}{6}\right)}$
$= \sqrt{\frac{n + 1}{2} \cdot \frac{n - 1}{6}}$
$= \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$.

(C) ધારો કે $y_i = x_i - 10$. તો $\sum_{i=1}^{5} y_i = 5$ અને $\sum_{i=1}^{5} y_i^2 = 5$.
$y_i$ નું વિચરણ $\operatorname{Var}(y) = \frac{\sum y_i^2}{n} - \left(\frac{\sum y_i}{n}\right)^2 = \frac{5}{5} - (1)^2 = 0$.
નવા અવલોકનો $z_i = 2x_i + 7$ માટે,$\operatorname{Var}(z_i) = 2^2 \operatorname{Var}(x_i) = 4 \times 0 = 0$.
જો પ્રશ્નમાં $\sum (x_i-10)^2 = 25$ હોય,તો વિચરણ $5-1=4$ થાય અને પ્રમાણિત વિચલન $2 \times \sqrt{4} = 4$ મળે.

(D) વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=0}^{10} x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum_{i=0}^{10} x_i}{n}\right)^2$ છે,જ્યાં $n = 11$ અવલોકનોની સંખ્યા છે.
અહીં,$\sum_{i=0}^{10} {^{10}C_i} = 2^{10}$ અને $\sum_{i=0}^{10} (^{10}C_i)^2 = ^{20}C_{10}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sigma^2 = \frac{^{20}C_{10}}{11} - \left(\frac{2^{10}}{11}\right)^2$
$\sigma^2 = \frac{11 \cdot ^{20}C_{10} - (2^{10})^2}{121}$
$\sigma^2 = \frac{11 \cdot ^{20}C_{10} - 2^{20}}{121}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ $\sigma^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે $\sigma^2 \geq 0$.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right)^2$ છે.
આપેલ કિંમતો $\sum x_i^2 = 400$ અને $\sum x_i = 100$ મૂકતા:
$\frac{400}{n} - \left(\frac{100}{n}\right)^2 \geq 0$
$\frac{400}{n} - \frac{10000}{n^2} \geq 0$
$n^2$ વડે ગુણતા ($n > 0$ હોવાથી):
$400n - 10000 \geq 0$
$400n \geq 10000$
$n \geq 25$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $27$ એ શરત $n \geq 25$ નું પાલન કરે છે.

(B) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_i$ છે,જેનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i$ અને વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ છે.
નવા અવલોકનો $y_i = 2x_i$ માટે,નવો મધ્યક $\bar{y}$:
$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum (2x_i) = 2 \left( \frac{1}{n} \sum x_i \right) = 2\bar{x}$.
તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે કારણ કે મધ્યક $2\bar{x}$ છે,$4\bar{x}$ નથી.
નવું વિચરણ $\sigma_y^2$:
$\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum (2x_i - 2\bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum 4(x_i - \bar{x})^2 = 4 \sigma^2$.
તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.

(C) પ્રમાણિત વિચલન શોધવા માટે,આપણે મધ્યક કિંમતો $(y_i)$ ગણીએ છીએ અને ધારેલા મધ્યકની રીત $(A = 25)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ)
વિચરણ $(\sigma^2)$ નું સૂત્ર:
$\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left( \frac{\sum f_i d_i}{N} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{900}{10} - \left( \frac{-30}{10} \right)^2 = 90 - 9 = 81$
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{81} = 9$.

(C) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ છે.
આપેલ છે કે,$\text{વિચરણ} (\sigma^2) = 16$.
જો દરેક અવલોકનને અચળાંક $a$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવું વિચરણ $\text{Var}(ax_i) = a^2 \text{Var}(x_i)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 2$,તેથી નવું વિચરણ $2^2 \times 16 = 4 \times 16 = 64$ થશે.
નવું પ્રમાણિત વિચલન એ નવા વિચરણનું વર્ગમૂળ છે:
$\text{નવું પ્રમાણિત વિચલન} = \sqrt{64} = 8$.

(B) આપેલ મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{100} = 0$ છે.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{100} = 5$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sum |x_i| = 500$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sum |x_i|)^2 = \sum x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le 100} |x_i x_j|$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $(500)^2 = \sum x_i^2 + 2(80000)$.
$250000 = \sum x_i^2 + 160000$,તેથી $\sum x_i^2 = 90000$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{100} = \frac{\sum x_i^2}{100} = \frac{90000}{100} = 900$ છે.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{900} = 30$ છે.

(A) જો દરેક અવલોકનમાંથી અચળ સંખ્યા બાદ કરવામાં આવે તો વિચરણ બદલાતું નથી.
ધારો કે માહિતી $x_i = 1001, 1003, 1006, 1007, 1009, 1010$ છે.
દરેક અવલોકનમાંથી $1000$ બાદ કરતા,નવી માહિતી મળે છે: $y_i = 1, 3, 6, 7, 9, 10$.
નવી માહિતીનો મધ્યક $\bar{y} = \frac{1+3+6+7+9+10}{6} = \frac{36}{6} = 6$ છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - (\bar{y})^2$ છે.
$\sum y_i^2 = 1^2 + 3^2 + 6^2 + 7^2 + 9^2 + 10^2 = 1 + 9 + 36 + 49 + 81 + 100 = 276$.
$\sigma^2 = \frac{276}{6} - (6)^2 = 46 - 36 = 10$.

(C) અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,જે સૂચવે છે કે વર્ગોનો મધ્યક એ મધ્યકના વર્ગ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે: $\frac{\sum x_i^2}{n} \geq \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો $\sum x_i^2 = 300$ અને $\sum x_i = 60$ મૂકતા:
$\frac{300}{n} \geq \left(\frac{60}{n}\right)^2$
$\frac{300}{n} \geq \frac{3600}{n^2}$
$n > 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $n^2$ વડે ગુણતા:
$300n \geq 3600$
$n \geq 12$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $15$ એ $n \geq 12$ ની શરતનું પાલન કરે છે.

(D) સંખ્યાઓના સમૂહ ${a, a+d, a+2d, \dots, a+nd}$ નું વિચરણ એ ${0, d, 2d, \dots, nd}$ ના વિચરણ જેટલું હોય છે,જે $d^2 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, n\})$ છે.
પ્રથમ સમૂહ $S_1 = \{13, 16, 19, \dots, 103\}$ માટે,સામાન્ય તફાવત $d_1 = 3$ છે. તેથી,$v_1 = 3^2 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, 30\}) = 9 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, 30\})$.
બીજા સમૂહ $S_2 = \{20, 26, 32, \dots, 200\}$ માટે,સામાન્ય તફાવત $d_2 = 6$ છે. તેથી,$v_2 = 6^2 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, 30\}) = 36 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, 30\})$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) ધારો કે $y_i = x_i - 8$. $y_i$ નું વિચરણ (variance) નીચે મુજબ છે:
$Var(y) = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \left(\frac{1}{n} \sum y_i\right)^2$
$Var(y) = \frac{45}{18} - \left(\frac{9}{18}\right)^2$
$Var(y) = \frac{5}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{10-1}{4} = \frac{9}{4}$
પ્રમાણિત વિચલન ઉગમબિંદુના ફેરફાર હેઠળ બદલાતું નથી,તેથી $x_i$ નું પ્રમાણિત વિચલન એ $y_i$ ના પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ રહેશે.
$S.D. = \sqrt{Var(y)} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

(C) ધારો કે $n_1 = 200, n_2 = 300$ એ બે નમૂનાઓનું કદ છે.
ધારો કે $\overline{x}_1 = 25, \overline{x}_2 = 10$ એ તેમના મધ્યક છે.
ધારો કે $\sigma_1 = 3, \sigma_2 = 4$ એ તેમના પ્રમાણિત વિચલન છે.
સંયુક્ત મધ્યક $\overline{x} = \frac{n_1 \overline{x}_1 + n_2 \overline{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{200 \times 25 + 300 \times 10}{500} = \frac{5000 + 3000}{500} = 16$.
સંયુક્ત નમૂનાનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x}$ અને $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x}$.
$d_1 = 25 - 16 = 9$ અને $d_2 = 10 - 16 = -6$.
$\sigma^2 = \frac{200(3^2 + 9^2) + 300(4^2 + (-6)^2)}{500} = \frac{200(9 + 81) + 300(16 + 36)}{500} = \frac{200(90) + 300(52)}{500} = \frac{18000 + 15600}{500} = \frac{33600}{500} = 67.2$.

(D) આપેલ છે: $n_{1}=10, n_{2}=10$
મધ્યક: $m_{1}=60, m_{2}=40$
પ્રમાણિત વિચલન: $\sigma_{1}=4, \sigma_{2}=6$
સંયુક્ત પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ માટેનું સૂત્ર:
$\sigma=\sqrt{\frac{n_{1} \sigma_{1}^{2}+n_{2} \sigma_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(m_{1}-m_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma=\sqrt{\frac{10 \times 4^{2}+10 \times 6^{2}}{10+10}+\frac{10 \times 10(60-40)^{2}}{(10+10)^{2}}}$
$\sigma=\sqrt{\frac{160+360}{20}+\frac{100(20)^{2}}{400}}$
$\sigma=\sqrt{26+100}=\sqrt{126} \approx 11.22$

(C) આપેલ છે કે મધ્યક $\bar{x} = 9$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 0$ છે,જ્યાં $n = 5$ અવલોકનો છે.
$\sigma = 0$ હોવાથી,બધા પાંચ અવલોકનો મધ્યક જેટલા જ હોય.
તેથી,અવલોકનો $9, 9, 9, 9, 9$ છે.
ધારો કે એક કિંમત બદલ્યા પછી નવું અવલોકન $x_5'$ છે. બાકીના ચાર અવલોકનોનો સરવાળો $9 \times 4 = 36$ છે.
નવો મધ્યક $10$ આપેલ છે,તેથી $\frac{36 + x_5'}{5} = 10.$
$36 + x_5' = 50 \Rightarrow x_5' = 14.$
અવલોકનોનો નવો સમૂહ $9, 9, 9, 9, 14$ છે.
નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_{new} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x}_{new})^2}{n}}.$
$\sigma_{new} = \sqrt{\frac{4(9 - 10)^2 + (14 - 10)^2}{5}} = \sqrt{\frac{4(1) + 16}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2.$

(D) આપેલ છે: $N = 100$,$\sum x_i = 400$,$\sum x_i^2 = 2475$.
ખોટા અવલોકનો $3, 4, 5$ દૂર કરતા:
નવો સરવાળો $\sum x_i' = 400 - (3 + 4 + 5) = 388$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum (x_i')^2 = 2475 - (9 + 16 + 25) = 2425$.
અવલોકનોની નવી સંખ્યા $N' = 97$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i')^2}{N'} - \left( \frac{\sum x_i'}{N'} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{2425}{97} - \left( \frac{388}{97} \right)^2 = 25 - 16 = 9$.

(A) ધારો કે $5$મું અવલોકન $x$ છે.
આપેલ મધ્યક $= 7$.
$\therefore 7 = \frac{6 + 7 + 8 + 10 + x}{5}$
$35 = 31 + x$
$x = 4$.
અવલોકનો $6, 7, 8, 10, 4$ છે.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$
$\sigma^2 = \frac{(6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2 + (4-7)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2 + (-3)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{1 + 0 + 1 + 9 + 9}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(A) અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$ છે.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{2n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\sigma = 2$ આપેલ છે,તેથી $2 = \sqrt{\frac{n(a - 0)^2 + n(-a - 0)^2}{2n}}$.
$2 = \sqrt{\frac{n(a^2) + n(a^2)}{2n}} = \sqrt{\frac{2na^2}{2n}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
તેથી,$|a| = 2$.

(D) પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2i-1) = \frac{1}{n} \cdot n^2 = n$.
વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \sum (4i^2 - 4i + 1) = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ થાય છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{n^2-1}{3}$.
આમ,વિધાન $1$ અને વિધાન $2$ બંને સાચા છે અને વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ધારો કે $5$ વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે.
આપેલ સરેરાશ $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i}{5} = 150 \implies \sum_{i=1}^5 x_i = 750$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\bar{x})^2 = 18$.
$\frac{\sum x_i^2}{5} - (150)^2 = 18 \implies \frac{\sum x_i^2}{5} = 22500 + 18 = 22518$.
$\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 112590$.
હવે,$156 \, cm$ ઊંચાઈ ધરાવતો નવો વિદ્યાર્થી $x_6 = 156$ જોડાય છે.
ઊંચાઈનો નવો સરવાળો $750 + 156 = 906$ છે.
નવી સરેરાશ $\bar{x}_{new} = \frac{906}{6} = 151$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum_{i=1}^6 x_i^2 = 112590 + (156)^2 = 112590 + 24336 = 136926$.
નવું વિચરણ $\frac{\sum_{i=1}^6 x_i^2}{6} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{136926}{6} - (151)^2$.
$= 22821 - 22801 = 20 \, cm^2$.

(B) આપેલ છે: $\sum_{i=1}^n (x_i + 1)^2 = 9n$ $(1)$
$\sum_{i=1}^n (x_i - 1)^2 = 5n$ $(2)$
બંને સમીકરણોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sum (x_i^2 + 2x_i + 1) = 9n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 + 2\sum x_i + n = 9n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 + 2\sum x_i = 8n$ $(3)$
$\sum (x_i^2 - 2x_i + 1) = 5n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 - 2\sum x_i + n = 5n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 - 2\sum x_i = 4n$ $(4)$
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$2\sum x_i^2 = 12n \Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{n} = 6$
$(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા:
$4\sum x_i = 4n \Rightarrow \frac{\sum x_i}{n} = 1$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2 = 6 - (1)^2 = 5$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{5}$

(D) આપેલ છે,$n_1 = 5$,$\bar{x} = 10$,અને $\sigma = 3$.
અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = n_1 \times \bar{x} = 5 \times 10 = 50$.
વિચરણ $\sigma^2 = 9 = \frac{\sum x_i^2}{n_1} - (\bar{x})^2$.
$9 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 100 \implies \frac{\sum x_i^2}{5} = 109 \implies \sum x_i^2 = 545$.
હવે,આપણી પાસે $6$ અવલોકનો છે: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ અને $-50$.
નવો સરવાળો $\sum x_{new} = 50 + (-50) = 0$.
નવો મધ્યક $\bar{x}_{new} = \frac{0}{6} = 0$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum x_{new}^2 = \sum x_i^2 + (-50)^2 = 545 + 2500 = 3045$.
નવું વિચરણ $\sigma_{new}^2 = \frac{\sum x_{new}^2}{n_2} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{3045}{6} - 0^2 = 507.5$.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_i$ છે. કુલ $30$ વસ્તુઓ છે.
$10$ વસ્તુઓનું મૂલ્ય $\frac{1}{2} - d$,$10$ વસ્તુઓનું મૂલ્ય $\frac{1}{2}$,અને $10$ વસ્તુઓનું મૂલ્ય $\frac{1}{2} + d$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{10(\frac{1}{2} - d) + 10(\frac{1}{2}) + 10(\frac{1}{2} + d)}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{1}{30} [10(\frac{1}{2} - d - \frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2} + d - \frac{1}{2})^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{30} [10(-d)^2 + 10(0)^2 + 10(d)^2] = \frac{20d^2}{30} = \frac{2d^2}{3}$.
આપેલ છે કે $\sigma^2 = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{2d^2}{3} = \frac{4}{3}$.
$2d^2 = 4 \Rightarrow d^2 = 2$.
તેથી,$|d| = \sqrt{2}$.

(D) ધારો કે છઠ્ઠી કસોટીનો સ્કોર $x$ છે. છ કસોટીઓની સરેરાશ આ મુજબ છે:
$\frac{45 + 54 + 41 + 57 + 43 + x}{6} = 48$
$240 + x = 288$
$x = 48$
હવે,છ સ્કોર $41, 43, 45, 48, 54, 57$ છે.
વિચરણ $\sigma^2$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$
$\sigma^2 = \frac{41^2 + 43^2 + 45^2 + 48^2 + 54^2 + 57^2}{6} - 48^2$
$\sigma^2 = \frac{1681 + 1849 + 2025 + 2304 + 2916 + 3249}{6} - 2304$
$\sigma^2 = \frac{14024}{6} - 2304 = \frac{7012}{3} - \frac{6912}{3} = \frac{100}{3}$
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ છે: મધ્યક $\mu = \frac{1}{50} \sum x_i = 16$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 16$.
પ્રમાણિત વિચલનના સૂત્ર મુજબ: $\sigma^2 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - \mu^2$.
કિંમતો મૂકતા: $16^2 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 16^2$.
$\frac{1}{50} \sum x_i^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$.
આપણે $(x_i - 4)^2$ નો મધ્યક શોધવાનો છે,જે $\frac{1}{50} \sum (x_i - 4)^2$ છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{1}{50} \sum (x_i^2 - 8x_i + 16) = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 8 \left( \frac{1}{50} \sum x_i \right) + \frac{1}{50} \sum 16$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $512 - 8(16) + 16 = 512 - 128 + 16 = 400$.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ ચાર અવલોકનોનો મધ્યક $11$ છે,તેથી $\sum_{i=1}^{4} x_i = 4 \times 11 = 44$.
બાકીના છ અવલોકનોનો મધ્યક $16$ છે,તેથી $\sum_{i=5}^{10} x_i = 6 \times 16 = 96$.
બધા અવલોકનોનો કુલ સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i = 44 + 96 = 140$ થાય.
માહિતીનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{140}{10} = 14$ છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\sigma^2 = \frac{2000}{10} - (14)^2 = 200 - 196 = 4$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{4} = 2$ થાય.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\frac{n^{2}-1}{12}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{n^{2}-1}{12} = 10$,તેથી $n^{2}-1 = 120$,એટલે કે $n^{2} = 121$,જેનો અર્થ છે $n = 11$.
પ્રથમ $m$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(2, 4, 6, ..., 2m)$ નું વિચરણ એ પ્રથમ $m$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વિચરણ કરતા $4$ ગણું હોય છે.
તેથી,વિચરણ $\frac{m^{2}-1}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{m^{2}-1}{3} = 16$,તેથી $m^{2}-1 = 48$,એટલે કે $m^{2} = 49$,જેનો અર્થ છે $m = 7$.
તેથી,$m + n = 7 + 11 = 18$.

(D) ધારો કે $y_{i} = x_{i} - 5$. તો $\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 10$ અને $\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 40$.
$y_{i}$ નો મધ્યક $\bar{y} = \frac{1}{10} \sum y_{i} = \frac{10}{10} = 1$ છે.
$y_{i}$ નું વિચરણ $\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{10} \sum y_{i}^{2} - (\bar{y})^{2} = \frac{40}{10} - (1)^{2} = 4 - 1 = 3$ છે.
હવે,ધારો કે $z_{i} = x_{i} - 3$. આપણે લખી શકીએ $z_{i} = (x_{i} - 5) + 2 = y_{i} + 2$.
$z_{i}$ નો મધ્યક $\mu$ એ $\bar{z} = \bar{y} + 2 = 1 + 2 = 3$ છે.
$z_{i}$ નું વિચરણ $\lambda$ એ $\text{Var}(y_{i} + 2) = \text{Var}(y_{i}) = 3$ છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(\mu, \lambda) = (3, 3)$ છે.

(A) આપેલ ડેટા $6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24$ છે. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
સૌ પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x}$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{6+8+10+12+14+16+18+20+22+24}{10} = \frac{150}{10} = 15$.
હવે,વિચરણ $\sigma^2$ સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો.
વર્ગિત વિચલનો $(x_i - \bar{x})^2$ નીચે મુજબ છે:
$(6-15)^2 = 81, (8-15)^2 = 49, (10-15)^2 = 25, (12-15)^2 = 9, (14-15)^2 = 1, (16-15)^2 = 1, (18-15)^2 = 9, (20-15)^2 = 25, (22-15)^2 = 49, (24-15)^2 = 81$.
વર્ગિત વિચલનોનો સરવાળો = $330$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{330}{10} = 33$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ શોધીએ.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{420}{30} = 14$.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{N} = \frac{1374}{30} = 45.8$.
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{45.8} \approx 6.77$.

(A) આપેલ માહિતી પરથી,આપણે નીચે મુજબનું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:

વર્ગ	$f_i$	$x_i$	$f_ix_i$	$(x_i - \bar{x})^2$	$f_i(x_i - \bar{x})^2$
$30-40$	$3$	$35$	$105$	$729$	$2187$
$40-50$	$7$	$45$	$315$	$289$	$2023$
$50-60$	$12$	$55$	$660$	$49$	$588$
$60-70$	$15$	$65$	$975$	$9$	$135$
$70-80$	$8$	$75$	$600$	$49$	$392$
$80-90$	$3$	$85$	$255$	$529$	$1587$
$90-100$	$2$	$95$	$190$	$1089$	$2178$
કુલ	$N=50$	-	$3100$	-	$9090$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{N} = \frac{3100}{50} = 62$.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{1}{N} \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = \frac{9090}{50} = 181.8$.
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{181.8} \approx 13.48$.

(A) ચાલો નીચે મુજબનું કોષ્ટક બનાવીએ:
(કોષ્ટક ગણતરી મુજબ)
પ્રમાણિત વિચલન માટેનું સૂત્ર:
$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum f_i x_i^2 - \left( \frac{\sum f_i x_i}{N} \right)^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{\frac{9652}{48} - \left( \frac{614}{48} \right)^2}$
$\sigma = \sqrt{201.0833 - 163.625}$
$\sigma = \sqrt{37.4583} \approx 6.12$

(A) ધારો કે ધારેલો મધ્યક $A = 65$ છે. અહીં,વર્ગ લંબાઈ $h = 10$ છે.
આપણે નીચે મુજબનું કોષ્ટક બનાવીએ:

વર્ગ	આવૃત્તિ $({f_i})$	મધ્યબિંદુ $({x_i})$	${y_i} = \frac{{{x_i} - 65}}{{10}}$	${f_i}{y_i}$	${f_i}{y_i}^2$
$30-40$	$3$	$35$	$-3$	$-9$	$27$
$40-50$	$7$	$45$	$-2$	$-14$	$28$
$50-60$	$12$	$55$	$-1$	$-12$	$12$
$60-70$	$15$	$65$	$0$	$0$	$0$
$70-80$	$8$	$75$	$1$	$8$	$8$
$80-90$	$3$	$85$	$2$	$6$	$12$
$90-100$	$2$	$95$	$3$	$6$	$18$
કુલ	$N = 50$	-	-	$\sum {f_i}{y_i} = -15$	$\sum {f_i}{y_i}^2 = 105$

મધ્યક $\bar{x} = A + \frac{{\sum {{f_i}{y_i}} }}{N} \times h = 65 + \frac{{-15}}{{50}} \times 10 = 65 - 3 = 62$.
વિચરણ ${\sigma ^2} = \frac{{{h^2}}}{{{N^2}}}\left[ {N\sum {{f_i}{y_i}^2} - {{\left( {\sum {{f_i}{y_i}} } \right)}^2}} \right] = \frac{{100}}{{2500}}\left[ {50(105) - (-15)^2} \right] = \frac{1}{{25}}[5250 - 225] = \frac{{5025}}{{25}} = 201$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{201} \approx 14.18$.

(A) Given data: $6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12$.
Number of observations,$n = 8$.
Mean,$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8} = \frac{72}{8} = 9$.
Calculation of variance:

$x_i$	$(x_i - \bar{x})^2$
$6$	$(6-9)^2 = 9$
$7$	$(7-9)^2 = 4$
$10$	$(10-9)^2 = 1$
$12$	$(12-9)^2 = 9$
$13$	$(13-9)^2 = 16$
$4$	$(4-9)^2 = 25$
$8$	$(8-9)^2 = 1$
$12$	$(12-9)^2 = 9$
Sum	$74$

Variance,$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{74}{8} = 9.25$.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
મધ્યક $= \frac{\text{બધા અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની સંખ્યા}} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$.
સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$
$\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n+2 - 3n-3]}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$
આમ,મધ્યક $\frac{n+1}{2}$ અને વિચરણ $\frac{n^2-1}{12}$ છે.