Mean and Median Questions in Gujarati

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સમાંતર મધ્યક એ સંખ્યાઓનો સરવાળો ભાગ્યા કુલ સંખ્યા $n$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$\text{Arithmetic Mean} = \frac{S_n}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$.

(B) શ્રેણીનો મધ્યક એ પદોના સરવાળાને પદોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
આપેલ શ્રેણી: $a, a + nd, a + 2nd$.
પદોની સંખ્યા = $3$.
મધ્યક = $\frac{a + (a + nd) + (a + 2nd)}{3}$
મધ્યક = $\frac{3a + 3nd}{3}$
મધ્યક = $a + nd$.

(C) અવલોકનોનો મધ્યક એ અવલોકનોના સરવાળાને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
આપેલ અવલોકનો $3, 4, x, 7, 10$ છે અને મધ્યક $6$ છે.
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 5$ છે.
અવલોકનોનો સરવાળો $= 3 + 4 + x + 7 + 10 = 24 + x$.
મધ્યક $= \frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{n} = \frac{24 + x}{5}$.
આપેલ છે કે મધ્યક $6$ છે,તેથી:
$6 = \frac{24 + x}{5}$
$30 = 24 + x$
$x = 30 - 24$
$x = 6$.

(C) ધારો કે સંખ્યાઓનો સમૂહ $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે. મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^{n} x_i = n\bar{x}$.
જો દરેક સંખ્યાને $\lambda$ વડે ગુણવામાં આવે,તો સંખ્યાઓનો નવો સમૂહ $\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n$ બને છે.
નવો મધ્યક $\frac{\sum_{i=1}^{n} \lambda x_i}{n} = \frac{\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ છે.
$\sum x_i = n\bar{x}$ મૂકતા,આપણને નવો મધ્યક $\frac{\lambda (n\bar{x})}{n} = \lambda \bar{x}$ મળે છે.

(A) $n$ અવલોકનો $y_1, y_2, \ldots, y_n$ નો મધ્યક એ તમામ અવલોકનોના સરવાળાને કુલ અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
ગાણિતિક રીતે,આ સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{મધ્યક} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n y_i}{n}$.

(B) ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
${M_g} = a + \frac{1}{{\sum {f_i}}}(\sum {f_i}{d_i})$
જ્યાં $a$ એ ધારેલો મધ્યક છે.
આપેલ સમીકરણ ${M_g} = x + \frac{1}{{\sum {f_i}}}(\sum {f_i}{d_i})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = a$ મળે છે.
તેથી,$x$ એ ધારેલો મધ્યક દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે કે $27 + x, 31 + x, 89 + x, 107 + x, 156 + x$ નો મધ્યક $82$ છે.
$\frac{(27 + x) + (31 + x) + (89 + x) + (107 + x) + (156 + x)}{5} = 82$
$\frac{410 + 5x}{5} = 82$
$82 + x = 82$
$x = 0$
હવે,આપણે $130 + x, 126 + x, 68 + x, 50 + x, 1 + x$ નો મધ્યક શોધવાનો છે.
મધ્યક $= \frac{(130 + x) + (126 + x) + (68 + x) + (50 + x) + (1 + x)}{5}$
મધ્યક $= \frac{375 + 5x}{5} = 75 + x$
$x = 0$ હોવાથી,મધ્યક $75 + 0 = 75$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $x_1, x_2, ..., x_n$ નો સમાંતર મધ્યક $\bar{x}$ છે,તેથી $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x}$.
સંખ્યાઓ $ax_1 + b, ax_2 + b, ..., ax_n + b$ નો જરૂરી મધ્યક નીચે મુજબ છે:
$\text{મધ્યક} = \frac{(ax_1 + b) + (ax_2 + b) + ... + (ax_n + b)}{n}$
$= \frac{a(x_1 + x_2 + ... + x_n) + nb}{n}$
$= a \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right) + \frac{nb}{n}$
$= a \bar{x} + b$

(C) ધારો કે $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે.
આ અવલોકનોના વ્યસ્તો $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n}$ છે.
આ વ્યસ્તોનો મધ્યક $\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}{n}$ છે.
આ મધ્યકનો વ્યસ્ત $\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$ થાય છે.
આ પદાવલિ એ $n$ અવલોકનોના હરાત્મક મધ્યક $(H.M.)$ ની વ્યાખ્યા છે.

(D) મધ્યક $\bar{x}$ શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ છે.
અહીં,કિંમતો $x_i$ એ $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}$ છે અને તેની અનુરૂપ આવૃત્તિઓ $f_i$ એ $1, 2, 3, \dots, n$ છે.
ગુણાકારનો સરવાળો $\sum f_i x_i = (1 \times 1) + (2 \times \frac{1}{2}) + (3 \times \frac{1}{3}) + \dots + (n \times \frac{1}{n}) = 1 + 1 + 1 + \dots + 1$ ($n$ વખત) $= n$.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.
તેથી,મધ્યક $\bar{x} = \frac{n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n}{n(n+1)} = \frac{2}{n+1}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ $10$ અવલોકનોનો સરવાળો $S_1$ છે અને બાકીના $30$ અવલોકનોનો સરવાળો $S_2$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ $10$ અવલોકનોની સરેરાશ $4.5$ છે,તેથી:
$S_1 = 10 \times 4.5 = 45$
આપેલ છે કે બાકીના $30$ અવલોકનોની સરેરાશ $3.5$ છે,તેથી:
$S_2 = 30 \times 3.5 = 105$
બધા $40$ અવલોકનોનો કુલ સરવાળો $S = S_1 + S_2 = 45 + 105 = 150$ છે.
આખા સમૂહની સરેરાશ $\frac{S}{40} = \frac{150}{40} = \frac{15}{4}$ થાય.

(A) $3$ વિષયોમાં મેળવેલા ટકાવારીનો સરવાળો $75 + 80 + 85 = 240$ છે.
ધારો કે ચોથા વિષયમાં ટકાવારી $x$ છે,જ્યાં $0 \le x \le 100$.
$4$ વિષયોની સરેરાશ $\frac{240 + x}{4} = 60 + \frac{x}{4}$ છે.
$x$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $0$ હોવાથી,ન્યૂનતમ સરેરાશ $\frac{240 + 0}{4} = 60\%$ છે.
તેથી,સરેરાશ $60\%$ થી ઓછી ન હોઈ શકે.

(B) આપેલ છે કે,$\frac{\Sigma x_i}{50} = 38$,તેથી $\Sigma x_i = 50 \times 38 = 1900$.
બે સંખ્યાઓ $55$ અને $45$ ને દૂર કર્યા પછી,બાકી રહેલી $48$ સંખ્યાઓનો નવો સરવાળો $\Sigma x_{new} = 1900 - (55 + 45) = 1900 - 100 = 1800$ થાય.
અવલોકનોની નવી સંખ્યા $n = 50 - 2 = 48$ છે.
નવો $A.M.$ = $\frac{1800}{48} = 37.5$ થાય.

(B) ધારો કે છોકરીઓના સરેરાશ ગુણ $x$ છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $100$.
છોકરાઓની સંખ્યા = $70$,તેથી છોકરીઓની સંખ્યા = $100 - 70 = 30$.
વર્ગના કુલ ગુણ = $100 \times 72 = 7200$.
છોકરાઓના કુલ ગુણ = $70 \times 75 = 5250$.
છોકરીઓના કુલ ગુણ = $7200 - 5250 = 1950$.
છોકરીઓના સરેરાશ ગુણ = $\frac{1950}{30} = 65$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક $\bar x = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^n x_i = n\bar x$.
નવી સંખ્યાઓના સમૂહ ${x_i} + 2i$ નો મધ્યક નીચે મુજબ છે:
$\text{Mean} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i + 2i)}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i + 2\sum_{i=1}^n i}{n}$
જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{n\bar x + 2 \times \frac{n(n+1)}{2}}{n}$
$= \frac{n\bar x + n(n+1)}{n}$
$= \bar x + (n + 1)$.

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $40 + 35 + 45 + 42 = 162$.
મેળવેલા કુલ ગુણ = $(40 \times 50) + (35 \times 60) + (45 \times 55) + (42 \times 45)$.
$= 2000 + 2100 + 2475 + 1890 = 8465$.
વિદ્યાર્થી દીઠ ગુણની એકંદર સરેરાશ = $\frac{8465}{162} = 52.25$.

(C) $7$ વિદ્યાર્થીઓનું સરેરાશ વજન $55 \ kg$ છે.
$7$ વિદ્યાર્થીઓનું કુલ વજન $= 55 \times 7 = 385 \ kg$.
$6$ વિદ્યાર્થીઓના વજનનો સરવાળો $= 52 + 58 + 55 + 53 + 56 + 54 = 328 \ kg$.
સાતમા વિદ્યાર્થીનું વજન $= 385 - 328 = 57 \ kg$.

(B) વિદ્યાર્થીઓના ગુણના આધારે તેમની બુદ્ધિનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે $Arithmetic \ mean$ (સરેરાશ) એ મધ્યવર્તી સ્થિતિનું સૌથી યોગ્ય માપ છે,કારણ કે તે ડેટા સેટમાં દરેક વ્યક્તિગત સ્કોરને ધ્યાનમાં લે છે અને સમગ્ર જૂથના પ્રદર્શનને પ્રતિબિંબિત કરતી વ્યાપક સરેરાશ પૂરી પાડે છે.

(B) $Median$ (મધ્યસ્થ) શોધવા માટે,અવલોકનોને ચડતા કે ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવો અને મધ્યની કિંમત શોધો.
જો અવલોકનોની સંખ્યા એકી હોય,તો મધ્યની કિંમત $Median$ છે.
જો અવલોકનોની સંખ્યા બેકી હોય,તો $Median$ એ બે મધ્યની કિંમતોની સરેરાશ છે.
તેથી,ડેટા સેટના મધ્યવર્તી મૂલ્યને $Median$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(D) મધ્યસ્થ માહિતીના સમૂહને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે.
આંકડાકીય દ્રષ્ટિએ:
$1$. $50^{th}$ ટકાવારી $(P_{50})$ એ મૂલ્ય દર્શાવે છે જેની નીચે $50\%$ માહિતી આવે છે,જે મધ્યસ્થ છે.
$2$. $5^{th}$ દશાંશક $(D_5)$ એ $50^{th}$ ટકાવારી દર્શાવે છે,જે મધ્યસ્થ છે.
$3$. $2^{nd}$ ચતુર્થક $(Q_2)$ એ $50^{th}$ ટકાવારી દર્શાવે છે,જે મધ્યસ્થ છે.
$4$. પ્રથમ ચતુર્થક $(Q_1)$ એ $25^{th}$ ટકાવારી દર્શાવે છે,જે મધ્યસ્થ બરાબર નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) પગલું $1$: આપેલી માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો: $6, 8, 9, 10, 11, 12, 14$.
પગલું $2$: અવલોકનોની સંખ્યા $(n)$ ગણો. અહીં,$n = 7$,જે એકી સંખ્યા છે.
પગલું $3$: જ્યારે $n$ એકી હોય ત્યારે મધ્યસ્થનું સૂત્ર ${\left( \frac{n+1}{2} \right)}^{th}$ પદ છે.
પગલું $4$: સૂત્રમાં $n = 7$ મૂકતા: મધ્યસ્થ = ${\left( \frac{7+1}{2} \right)}^{th}$ પદ = ${\left( \frac{8}{2} \right)}^{th}$ પદ = $4$ થું પદ.
પગલું $5$: ક્રમબદ્ધ શ્રેણીમાં $4$ થું પદ $10$ છે. તેથી,મધ્યસ્થ $10$ છે.

(A) મધ્યસ્થ ડેટા સેટને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,જે $50^{th}$ શતાંશક દર્શાવે છે.
તે જ રીતે,દ્વિતીય ચતુર્થક ${Q_2}$ ડેટાને બે ભાગમાં વહેંચે છે,પાંચમો દશાંશક ${D_5}$ ડેટાનો $50\%$ ભાગ દર્શાવે છે અને $50^{th}$ શતાંશક ${P_{50}}$ એ વ્યાખ્યા મુજબ તે મૂલ્ય છે જેની નીચે $50\%$ અવલોકનો આવે છે.
તેથી,આ તમામ માપ સમાન છે: $M = {Q_2} = {D_5} = {P_{50}}$.

(C) સંમિત વિતરણ માટે,મધ્યસ્થ એ પ્રથમ અને તૃતીય ચતુર્થકનો સરેરાશ છે.
${Median} = \frac{{Q_1 + Q_3}}{2}$
આપેલ છે કે ${Q_1} = 25$ અને ${Q_3} = 45$.
${Median} = \frac{{25 + 45}}{2} = \frac{{70}}{2} = 35$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપેલી $8$ કિંમતોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$\alpha - 4, \alpha - 3.5, \alpha - 3, \alpha - 2.5, \alpha - 2, \alpha - 0.5, \alpha + 0.5, \alpha + 5$
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 8$ (જે બેકી સંખ્યા છે),તેથી મધ્યસ્થ એ $4$ થા અને $5$ મા પદની સરેરાશ થશે.
$4$ થું પદ $= \alpha - 2.5 = \alpha - \frac{5}{2}$
$5$ મું પદ $= \alpha - 2$
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{(\alpha - \frac{5}{2}) + (\alpha - 2)}{2}$
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{2\alpha - 4.5}{2} = \alpha - 2.25 = \alpha - \frac{9}{4}$

(C) અસતત વિતરણ માટે ઉપલું ચતુર્થક $(Q_3)$ એ $\left[ 3\frac{(n + 1)}{4} \right]^{th}$ અવલોકનનું માપ છે.
પ્રથમ,કુલ આવૃત્તિ $(n = \Sigma f)$ શોધો:
$n = 2 + 4 + 5 + 8 + 7 + 3 + 2 = 31$.
સૂત્રમાં $n = 31$ મૂકતા:
$Q_3 = \left[ 3\left( \frac{31 + 1}{4} \right) \right]^{th}$ અવલોકનનું માપ.

(D) આપેલ છે કે અવલોકનોની સંખ્યા $n = 9$ છે.
$9$ અવલોકનોનો મધ્યસ્થ $\left( \frac{9+1}{2} \right)^{th} = 5^{th}$ અવલોકન છે.
ધારો કે ક્રમબદ્ધ અવલોકનો $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 < x_7 < x_8 < x_9$ છે.
મધ્યસ્થ $x_5 = 20.5$ છે.
જો સૌથી મોટા $4$ અવલોકનો $(x_6, x_7, x_8, x_9)$ ને $2$ થી વધારવામાં આવે,તો નવા અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, (x_6+2), (x_7+2), (x_8+2), (x_9+2)$ થશે.
કારણ કે $x_5$ એ $x_6$ કરતા નાનું છે,અને $x_6 < x_6+2$,તેથી પ્રથમ $5$ અવલોકનોનો ક્રમ બદલાતો નથી.
તેથી,$5^{th}$ અવલોકન $x_5$ જ રહે છે,જે $20.5$ છે.
આમ,મધ્યસ્થ મૂળ સમૂહના મધ્યસ્થ જેટલો જ રહે છે.

(A) મધ્યકને કેન્દ્રીય પ્રવૃત્તિનું સૌથી સ્થિર માપ માનવામાં આવે છે કારણ કે તે આપેલ વિતરણમાં દરેક અવલોકનનો ઉપયોગ કરે છે,જે તેને મધ્યસ્થ અથવા બહુલકની તુલનામાં નમૂનાના વધઘટ માટે ઓછું સંવેદનશીલ બનાવે છે.

(C) અંકગણિતીય મધ્યકની ગણતરી તમામ અવલોકનોના સરવાળાને કુલ અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગીને કરવામાં આવે છે.
તે દરેક ડેટા પોઈન્ટના મૂલ્યનો સમાવેશ કરતું હોવાથી,અત્યંત મૂલ્ય (આઉટલાયર) ઉમેરવાથી સરવાળામાં નોંધપાત્ર ફેરફાર થાય છે,જે મધ્યકને બદલે છે.
તેની સરખામણીમાં,મધ્યસ્થ અને બહુલક એ સ્થાન-આધારિત અથવા આવૃત્તિ-આધારિત માપ છે જે અત્યંત મૂલ્યો સામે વધુ સ્થિર છે.
તેથી,અંકગણિતીય મધ્યક અત્યંત અવલોકનોથી સૌથી વધુ પ્રભાવિત થાય છે.

(B) અવલોકનોના સમૂહનું બિંદુ $k$ ની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન ત્યારે ન્યૂનતમ થાય છે જ્યારે $k$ એ અવલોકનોનો મધ્યસ્થ હોય.
ચડતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા $n$ અવલોકનો માટે,મધ્યસ્થ એ મધ્યમ પદ છે.
અહીં,$n = 101$,જે એકી સંખ્યા છે.
મધ્યસ્થનું સ્થાન $\frac{n + 1}{2} = \frac{101 + 1}{2} = 51$ દ્વારા મળે છે.
આમ,મધ્યસ્થ એ $51$ મું અવલોકન છે,જે ${x_{51}}$ છે.

(B) પ્રારંભિક સરેરાશ $M$ એ $M = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $nM = x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n$ છે.
જ્યારે $x_n$ ને $x'$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે સંખ્યાઓનો નવો સરવાળો $S' = (x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{n-1} + x_n) - x_n + x'$ થાય છે.
મૂળ સંખ્યાઓ માટે સરવાળો $nM$ મૂકતા,આપણને $S' = nM - x_n + x'$ મળે છે.
નવી સરેરાશ એ નવો સરવાળો ભાગ્યા $n$ છે,જે $\frac{nM - x_n + x'}{n}$ છે.

(B) ડેટાને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:

ઊંચાઈ ($cm$ માં)	$150$	$152$	$154$	$155$	$156$	$160$	$161$
વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા	$8$	$4$	$3$	$7$	$3$	$12$	$4$
સંચયી આવૃત્તિ	$8$	$12$	$15$	$22$	$25$	$37$	$41$

અહીં,કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $N = 41$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યસ્થ = $\left(\frac{N + 1}{2}\right)^{th}$ અવલોકન.
મધ્યસ્થ = $\left(\frac{41 + 1}{2}\right)^{th} = 21^{st}$ અવલોકન.
સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક પરથી,$21^{st}$ અવલોકન $155$ $cm$ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ $155$ $cm$ છે.

(C) ધારો કે $n$ અવલોકનોનો ગણ $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકન $x_i$ ને $\alpha$ વડે ભાગવામાં આવે અને $10$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવા અવલોકનો $y_i = \frac{x_i}{\alpha} + 10$ બને છે.
નવો મધ્યક $\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{\sum (\frac{x_i}{\alpha} + 10)}{n}$
$= \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{\sum x_i}{n} + \frac{\sum 10}{n}$
$= \frac{\bar{x}}{\alpha} + 10 = \frac{\bar{x} + 10\alpha}{\alpha}$.

(A) મધ્યસ્થ એ ક્રમબદ્ધ માહિતીનો મધ્યમ મૂલ્ય છે. $21$ અવલોકનો માટે,ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા $11$ મું પદ મધ્યસ્થ છે.
માત્ર મધ્યસ્થ કરતા મોટા અવલોકનોમાં વધારો કરવામાં આવે છે,તેથી $11$ મું પદ (મધ્યસ્થ પોતે) બદલાતું નથી.
તેથી,નવો મધ્યસ્થ $40$ જ રહેશે.

(D) પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $3 \times 14 = 42$ છે.
પછીના બે પદોનો સરવાળો $2 \times 18 = 36$ છે.
બધા જ પાંચ પદોનો કુલ સરવાળો $42 + 36 = 78$ છે.
બધા જ પાંચ પદોનો મધ્યક $\frac{78}{5} = 15.6$ થાય.
આમ,માંગેલો મધ્યક $15.6$ છે.

(C) $n$ અવલોકનોનો સરવાળો $= n\bar{x}$ છે.
$n - 4$ અવલોકનોનો સરવાળો $K$ છે.
બાકી રહેલા $4$ અવલોકનોનો સરવાળો $= n\bar{x} - K$ થાય.
તેથી,બાકીના $4$ અવલોકનોનો મધ્યક $= \frac{n\bar{x} - K}{4}$ થાય.

(B) પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$6, 8, 9, 10, 11, 12, 14$
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 7$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
એકી સંખ્યા માટે મધ્યસ્થનું સૂત્ર $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ મું અવલોકન છે.
મધ્યસ્થ $= \left(\frac{7+1}{2}\right)$ મું અવલોકન $= 4$ થું અવલોકન.
ચડતા ક્રમમાં $4$ થું અવલોકન $10$ છે.

(A) આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યક $\bar{x}$ શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ છે.
પ્રથમ,$\sum f_i x_i$ ની ગણતરી કરો:
$\sum f_i x_i = (3 \times 1) + (6 \times 2) + (9 \times 3) + (12 \times 4)$
$= 3 + 12 + 27 + 48 = 90$.
ત્યારબાદ,$\sum f_i$ ની ગણતરી કરો:
$\sum f_i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
છેલ્લે,મધ્યક શોધો:
$\bar{x} = \frac{90}{10} = 9$.

(C) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $N = 100$.
બધા વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો મધ્યક $\bar{X} = 72$.
બધા વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $= 100 \times 72 = 7200$.
છોકરાઓની સંખ્યા $n_1 = 70$.
છોકરાઓના ગુણનો મધ્યક $\bar{X}_1 = 75$.
છોકરાઓના કુલ ગુણ $= 70 \times 75 = 5250$.
છોકરીઓની સંખ્યા $n_2 = 100 - 70 = 30$.
છોકરીઓના કુલ ગુણ $= 7200 - 5250 = 1950$.
છોકરીઓના ગુણનો મધ્યક $\bar{X}_2 = \frac{1950}{30} = 65$.

(A) આપેલ મૂલ્યોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$\alpha - \frac{7}{2}, \alpha - 3, \alpha - \frac{5}{2}, \alpha - 2, \alpha - \frac{1}{2}, \alpha + \frac{1}{2}, \alpha + 4, \alpha + 5$
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 8$ (યુગ્મ) છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{1}{2} [(\alpha - 2) + (\alpha - \frac{1}{2})] = \frac{1}{2} [2\alpha - \frac{5}{2}] = \alpha - \frac{5}{4}$.

(A) પ્રથમ $n$ વર્ગોનો મધ્યક $\frac{\sum_{i=1}^{n} i^2}{n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $\frac{46n}{11}$ છે,તેથી:
$\frac{(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{46n}{11}$
$11(2n^2 + 3n + 1) = 276n$
$22n^2 + 33n + 11 = 276n$
$22n^2 - 243n + 11 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 11)(22n - 1) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 11$.

(C) પ્રથમ,અવલોકનોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવો અને સંચયી આવૃત્તિ $(c.f.)$ ગણો:

$x_i$	$3$	$6$	$7$	$10$	$12$	$15$
$f_i$	$3$	$4$	$13$	$2$	$8$	$10$
$c.f.$	$3$	$7$	$20$	$22$	$30$	$40$

અહીં,$N = 40$,જે યુગ્મ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{(\frac{N}{2})^{th} \text{ પદ} + (\frac{N}{2} + 1)^{th} \text{ પદ}}{2}$.
મધ્યસ્થ $= \frac{20^{th} \text{ પદ} + 21^{st} \text{ પદ}}{2}$.
કોષ્ટક પરથી,$20^{th}$ પદ $7$ છે અને $21^{st}$ પદ $10$ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{7 + 10}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$.

(B) $50$ અવલોકનોનો સરવાળો $= 36 \times 50 = 1800$.
બે અવલોકનો $30$ અને $42$ દૂર કર્યા બાદ બાકી રહેલા $48$ અવલોકનોનો સરવાળો:
સરવાળો $= 1800 - (30 + 42) = 1800 - 72 = 1728$.
માંગેલો મધ્યક $= \frac{1728}{48} = 36$.

(B) આપેલ અવલોકનો $29, 32, 48, 50, x, x + 2, 72, 78, 84, 95$ છે.
કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા બેકી હોય,ત્યારે મધ્યસ્થ એ $\left(\frac{n}{2}\right)$ માં અને $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$ માં પદનો સરેરાશ હોય છે.
અહીં,$5$ મું પદ $x$ છે અને $6$ ઠું પદ $x + 2$ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{x + (x + 2)}{2} = 63$.
$\frac{2x + 2}{2} = 63$.
$x + 1 = 63$.
$x = 62$.

(B) શ્રેણી $^{2n}C_0, ^{2n}C_1, ^{2n}C_2, \dots, ^{2n}C_n$ છે.
શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા $n + 1$ છે.
$n$ યુગ્મ હોવાથી,$n + 1$ એકી સંખ્યા છે.
એકી સંખ્યા ધરાવતી શ્રેણીનો મધ્યસ્થ $\frac{N+1}{2}$ માં ક્રમે રહેલું પદ છે.
અહીં,$N = n + 1$,તેથી મધ્યસ્થ $\frac{(n+1)+1}{2} = \frac{n+2}{2} = \frac{n}{2} + 1$ માં ક્રમે રહેલું પદ છે.
શ્રેણી $^{2n}C_0, ^{2n}C_1, \dots, ^{2n}C_n$ માં $\frac{n}{2} + 1$ માં ક્રમે રહેલું પદ $^{2n}C_{n/2}$ છે.

(A) ત્રણ વિષયોમાં મેળવેલા કુલ ગુણ $300$ માંથી $= 75 + 80 + 85 = 240$ છે.
જો ચોથા વિષયના ગુણ ઉમેરવામાં આવે,તો કુલ ગુણ $400$ માંથી ગણાય.
ન્યૂનતમ સરેરાશ ટકાવારી શોધવા માટે,આપણે ધારીએ કે વિદ્યાર્થી ચોથા વિષયમાં $0$ ગુણ મેળવે છે.
ન્યૂનતમ સરેરાશ ટકાવારી $= \frac{240 + 0}{400} \times 100 = \frac{240}{400} \times 100 = 60\%$.

(A) પગલું-$1$: મધ્યસ્થનું સ્થાન નક્કી કરવું.
$n = 9$ અવલોકનો માટે (જ્યાં $n$ એકી સંખ્યા છે),મધ્યસ્થ એ $\frac{n+1}{2}$ મું પદ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{9+1}{2} = 5$ મું પદ.
પગલું-$2$: ફેરફારની અસર તપાસવી.
સૌથી મોટા ચાર અવલોકનો એ $6$ઠું,$7$મું,$8$મું અને $9$મું પદ છે.
આ પદો $5$મા પદ કરતા મોટા હોવાથી,તેમાં $2$ નો વધારો કરવાથી $5$મા પદની કિંમત કે સ્થાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
પગલું-$3$: નિષ્કર્ષ.
$5$મું પદ બદલાતું ન હોવાથી,નવા ગણનો મધ્યસ્થ મૂળ મધ્યસ્થ $20.5$ જેટલો જ રહેશે.

(A) મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$\sum f_i = 12 + 18 + 27 + 20 + 17 + 6 = 100$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\sum f_i x_i = (12 \times 5) + (18 \times 15) + (27 \times 25) + (20 \times 35) + (17 \times 45) + (6 \times 55)$ શોધો.
$\sum f_i x_i = 60 + 270 + 675 + 700 + 765 + 330 = 2800$.
તેથી,$\bar{x} = \frac{2800}{100} = 28$.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n + 1}{2}$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $\frac{n + 7}{3}$ છે,તેથી:
$\frac{n + 1}{2} = \frac{n + 7}{3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3(n + 1) = 2(n + 7)$
$3n + 3 = 2n + 14$
$3n - 2n = 14 - 3$
$n = 11$

(D) મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર $\text{Mean} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}$ છે.
અહીં $x_i = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}\}$ અને આવૃત્તિ $f_i = \{1, 2, 3, \dots, n\}$ છે.
ગુણાકારનો સરવાળો $\sum x_i f_i = (1 \times 1) + (\frac{1}{2} \times 2) + (\frac{1}{3} \times 3) + \dots + (\frac{1}{n} \times n) = 1 + 1 + 1 + \dots + 1$ ($n$ વખત) $= n$.
આવૃત્તિનો સરવાળો $\sum f_i = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
તેથી,$\text{Mean} = \frac{n}{\frac{n(n + 1)}{2}} = \frac{2n}{n(n + 1)} = \frac{2}{n + 1}$.