यदि अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + y = x e^x का | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x e^x$.$x$ से भाग देने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y

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$x-1$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x e^x$.$x$ से भाग देने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = e^x$.यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = e^x$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ है।हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$xy = \int x e^x dx + C$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x = e^x(x-1)$.अतः,$xy = e^x(x-1) + C$.इसे दिए गए रूप $xy = e^x \phi(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\phi(x) = x-1$ प्राप्त होता है।

यदि अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y = x e^x$ का हल $xy = e^x \phi(x) + C$ है,तो $\phi(x)$ किसके बराबर है?

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