यदि $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}|=1$ है,तो $|z_{1}+z_{2}+z_{3}|$ का मान क्या है?

मान लीजिए कि $\omega_1=(8+i) \sin \theta+(7+4 i) \cos \theta$ और $\omega_2=(1+8 i ) \sin \theta+(4+7 i ) \cos \theta$ का गुणनफल $\alpha+ i \beta$ है,जहाँ $i =\sqrt{-1}$ है। यदि $p$ और $q$ क्रमशः $\alpha+\beta$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं,तो $p+q$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z| \geq 3$,तो $|z + \frac{3}{z}|$ का न्यूनतम मान $1$ है।
कारण $(R)$: $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$,किन्हीं भी दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए।
निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

यदि $z_1$ और $z_2$ दो एकमापी (unimodular) सम्मिश्र संख्याएँ हैं जो $z_1^2 + z_2^2 = 5$ को संतुष्ट करती हैं,तो $(z_1 - \bar{z}_1)^2 + (z_2 - \bar{z}_2)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दो संख्याएँ $k_1$ और $k_2$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। तो,इस बात की प्रायिकता कि $i^{k_1} + i^{k_2}$ (जहाँ $i = \sqrt{-1}$) का मान शून्य न हो,बराबर है:

मान लीजिए $z$ और $w$ दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|z| \le 1$,$|w| \le 1$ और $|z + iw| = |z - i\overline{w}| = 2$ है। तो $z$ का मान ज्ञात कीजिए।