यदि $A$ और $B$ दो ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(A \cup B) \geq \frac{3}{4}$ और $\frac{1}{8} \leq P(A \cap B) \leq \frac{3}{8}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$12$ गेंदों को $3$ बक्सों में वितरित किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि पहले बक्से में ठीक $3$ गेंदें होंगी?

चार मशीनें हैं और यह ज्ञात है कि उनमें से ठीक दो मशीनें खराब हैं। उन्हें एक-एक करके,यादृच्छिक क्रम में तब तक परखा जाता है जब तक कि दोनों खराब मशीनें पहचानी न जाएं। तो,केवल दो परीक्षणों की आवश्यकता होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए कि तीन स्वतंत्र घटनाएँ $E_{1}, E_{2}$ और $E_{3}$ हैं। केवल $E_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $E_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $E_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए $p$ उस प्रायिकता को दर्शाता है कि कोई भी घटना घटित नहीं होती है,जो समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती है। सभी दी गई प्रायिकताएँ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी जाती हैं। तो,$\frac{\text{Probability of occurrence of } E_{1}}{\text{Probability of occurrence of } E_{3}}$ का मान .......... है।

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे कि $P(B) > P(A)$। यदि $A$ और $B$ दोनों के होने की प्रायिकता $\frac{1}{12}$ है और न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है,तो:

एक पक्षपाती पासे के फलकों पर $2, 4, 8, 16, 32, 32$ अंक अंकित हैं और $n$ अंक वाला फलक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{n}$ है। यदि पासे को तीन बार फेंका जाता है,तो प्राप्त संख्याओं का योग $48$ होने की प्रायिकता क्या है?