यदि x, y और z का मान 1 से अधिक है,तो left|beg | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x}y & \log _{x} z \ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{arr

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$0$

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(C) मान लीजिए $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x}y & \log _{x} z \ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}ight|$.आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a}b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करते हुए,हम सारणिक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\log x}{\log x} & \frac{\log y}{\log x} & \frac{\log z}{\log x} \ \frac{\log x}{\log y} & \frac{\log y}{\log y} & \frac{\log z}{\log y} \ \frac{\log x}{\log z} & \frac{\log y}{\log z} & \frac{\log z}{\log z}\end{array}ight|$.अब,$R_{1}$ से $\frac{1}{\log x}$,$R_{2}$ से $\frac{1}{\log y}$ और $R_{3}$ से $\frac{1}{\log z}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:$\Delta = \frac{1}{\log x \cdot \log y \cdot \log z} \left|\begin{array}{ccc}\log x & \log y & \log z \ \log x & \log y & \log z \ \log x & \log y & \log z\end{array}ight|$.चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

यदि $x, y$ और $z$ का मान $1$ से अधिक है,तो $\left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x} y & \log _{x} z \\ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \\ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

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सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|=0$.

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & ab & ac \\ ba & -b^{2} & bc \\ ca & cb & -c^{2}\end{array}\right|=4a^{2}b^{2}c^{2}$

$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & x & y \\ 2 & \sin x + 2x & \sin y + 2y \\ 3 & \cos x + 3x & \cos y + 3y \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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