$\int_{0}^{1} \log \left(\frac{1}{x}-1\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx = $

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2, \forall x \in R$ को संतुष्ट करता है। तो $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$ का मान $...........$ है।

$\int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x=$

यदि $\int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}=k$ है,तो $k$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

माना $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{19}(\log |x|)^{n} dx$,जहाँ $n \in N$ है। यदि $(20) I_{10} = \alpha I_{9} + \beta I_{8}$,प्राकृत संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए है,तो $\alpha - \beta$ का मान ..... है।