TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है कि $5$ पत्र $5$ अलग-अलग लोगों को लिखे गए हैं और $5$ लिफाफे उन्हें संबोधित हैं।
इन पत्रों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी पत्र अपने संबंधित लिफाफे में न जाए,$5$ वस्तुओं के 'derangement' (विस्थापन) की संख्या के बराबर है।
$n$ वस्तुओं के derangement का सूत्र $D_n = n! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right]$ है।
यहाँ,$n = 5$ है।
$D_5 = 5! \left[ 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right] = 44$.
अतः,$5$ पत्रों को $5$ लिफाफों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि सभी गलत लिफाफों में हों,$44$ है।

(B) $k$ का मान प्रथम $20$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग है:
$k = \sum_{n=1}^{20} n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ जहाँ $n=20$.
$k = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 70 \times 41 = 2870$.
हमें $f(y) = \tan(2870y) + \sin(2870y)$ का आवर्तकाल ज्ञात करना है।
$\tan(ky)$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{2870}$ है।
$\sin(ky)$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2870} = \frac{\pi}{1435}$ है।
दो फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
$LCM\left(\frac{\pi}{2870}, \frac{2\pi}{2870}\right) = \frac{2\pi}{2870} = \frac{\pi}{1435}$.

(B) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 9}+\frac{1}{9 \cdot 13}+\ldots$ के $n$ पदों का योग $= \frac{27}{109}$ है।
श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}$ है।
हम $T_k = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$ लिख सकते हैं।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = \frac{1}{4} \left[ (1 - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + \ldots + (\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1}) \right]$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+1-1}{4n+1} \right) = \frac{n}{4n+1}$.
दिया गया है कि $S_n = \frac{27}{109}$,इसलिए $\frac{n}{4n+1} = \frac{27}{109}$.
$109n = 27(4n+1) \implies 109n = 108n + 27$.
अतः,$n = 27$.

(A) माना $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$.
सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम $T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right]$ लिख सकते हैं।
$n=1$ से $n$ तक योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right]$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{(3n+2) - 2}{2(3n+2)} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{3n}{2(3n+2)} \right] = \frac{n}{2(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$.

(B) माना $P(n)$ कथन $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ है।
$n = 1$ के लिए:
$P(1) = 2^{2(1)+1} + 3^{2(1)+1} = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.
चूंकि $35$,$5$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
माना किसी $m \in N$ के लिए $P(m)$ सत्य है,अर्थात $2^{2m+1} + 3^{2m+1} = 5k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
तब $2^{2m+1} = 5k - 3^{2m+1} \quad (i)$.
अब,$P(m+1)$ के लिए:
$P(m+1) = 2^{2(m+1)+1} + 3^{2(m+1)+1} = 2^{2m+3} + 3^{2m+3}$.
$P(m+1) = 2^2 \cdot 2^{2m+1} + 3^2 \cdot 3^{2m+1}$.
$(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P(m+1) = 4(5k - 3^{2m+1}) + 9 \cdot 3^{2m+1}$.
$P(m+1) = 20k - 4 \cdot 3^{2m+1} + 9 \cdot 3^{2m+1}$.
$P(m+1) = 20k + 5 \cdot 3^{2m+1} = 5(4k + 3^{2m+1})$.
चूंकि $5(4k + 3^{2m+1})$,$5$ से विभाज्य है,इसलिए $P(m+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,सभी $n \in N$ के लिए $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$,$5$ से विभाज्य है।

(A) $(a + b)^n$ के विस्तार के लिए,$(r+1)^{\text{th}}$ पद $T_{r+1} = {}^{n}C_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x + 3y)^{11}$ में $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ रखने पर,$a = 2(\frac{1}{2}) = 1$ और $b = 3(\frac{1}{3}) = 1$ प्राप्त होता है।
विस्तार $(1 + 1)^{11}$ हो जाता है।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (1)^{11-r} (1)^r = {}^{11}C_r$ है।
सबसे बड़ा पद ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0, 1, \dots, 11$ के लिए ${}^{11}C_r$ का अधिकतम मान देखते हैं।
द्विपद गुणांक ${}^{n}C_r$ अधिकतम होते हैं जब $n$ विषम हो,तो $r = \frac{n-1}{2}$ और $r = \frac{n+1}{2}$ पर।
यहाँ $n = 11$ है,इसलिए अधिकतम मान $r = 5$ और $r = 6$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सबसे बड़ा पद ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6 = 462$ है।

(C) दिया गया है: ${ }^{22} P_{r+1}:{ }^{20} P_{r+2}=11: 52$
सूत्र ${ }^n P_r=\frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{22!}{(21-r)!} \times \frac{(18-r)!}{20!} = \frac{11}{52}$
$\Rightarrow \frac{22 \times 21}{(21-r)(20-r)(19-r)} = \frac{11}{52}$
$\Rightarrow (21-r)(20-r)(19-r) = 2 \times 21 \times 52 = 2184$
तीन क्रमागत पूर्णांक जिनका गुणनफल $2184$ है,वे $14 \times 13 \times 12$ हैं।
तुलना करने पर,$21-r = 14$,जिससे $r=7$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $(1+x)(1-x)^n = (1-x)^n + x(1-x)^n$ है।
$f(n)$,$(1+x)(1-x)^n$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक है।
$f(n) = ((1-x)^n \text{ में } x^n \text{ का गुणांक}) + ((1-x)^n \text{ में } x^{n-1} \text{ का गुणांक})$.
द्विपद विस्तार $(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k x^k$ का उपयोग करते हुए।
$(1-x)^n$ में $x^n$ का गुणांक $\binom{n}{n}(-1)^n = (-1)^n$ है।
$(1-x)^n$ में $x^{n-1}$ का गुणांक $\binom{n}{n-1}(-1)^{n-1} = n(-1)^{n-1}$ है।
अतः,$f(n) = (-1)^n + n(-1)^{n-1} = (-1)^n - n(-1)^n = (-1)^n(1-n)$.
$n = 2021$ के लिए,$f(2021) = (-1)^{2021}(1-2021) = (-1)(-2020) = 2020$.

(B) $(1+x)^n$ के द्विपद विस्तार में,जब $n$ सम होता है,तो मध्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_r x^r$ होता है,जहाँ $r = \frac{n}{2}$ है।
$(1+x)^{2k}$ के लिए,मध्य पद $T_{k+1} = {}^{2k}C_k x^k$ है।
यह दिया गया है कि मध्य पद एकमात्र सबसे बड़ा पद है,इसलिए $|T_{k+1}| > |T_k|$ और $|T_{k+1}| > |T_{k+2}|$ होना चाहिए।
पहला,$|\frac{T_{k+1}}{T_k}| > 1$ $\Rightarrow |\frac{k+1}{k} x| > 1$ $\Rightarrow |x| > \frac{k}{k+1}$।
दूसरा,$|\frac{T_{k+1}}{T_{k+2}}| > 1$ $\Rightarrow |\frac{k+1}{k x}| > 1$ $\Rightarrow |x| < \frac{k+1}{k}$।
अतः,$x$ अंतराल $(-\frac{k+1}{k}, \frac{k+1}{k})$ में स्थित है।

(B) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ,$n = \frac{1}{2}$ और $z = -\frac{3}{4}x$ है।
$x^3$ वाला पद $\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!} (-\frac{3}{4}x)^3$
$= \frac{\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{3}{2})}{6} \times (-\frac{27}{64}x^3)$
$= \frac{3/8}{6} \times (-\frac{27}{64}x^3)$
$= \frac{1}{16} \times (-\frac{27}{64}x^3) = -\frac{27}{1024}x^3$.
अतः,$x^3$ का गुणांक $-\frac{27}{1024}$ है।

(A) व्यंजक $(7-5 x)^{-\frac{2}{3}} = 7^{-\frac{2}{3}} \left(1 - \frac{5x}{7}\right)^{-\frac{2}{3}}$ है।
द्विपद विस्तार के मान्य होने के लिए,यह आवश्यक है कि $\left| \frac{5x}{7} \right| < 1$ हो।
इसका अर्थ है $-1 < \frac{5x}{7} < 1$।
$7$ से गुणा करने पर,हमें $-7 < 5x < 7$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $-\frac{7}{5} < x < \frac{7}{5}$ हो जाता है।
इसे अंतराल $(-a, a)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$5a + 7 = 5 \times \left(\frac{7}{5}\right) + 7 = 7 + 7 = 14$।

(B) $\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{21}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (x)^{21-r} \left(-\frac{2}{x^{1/2}}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (x)^{21-r} (-2)^r (x)^{-r/2}$
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (-2)^r (x)^{21-3r/2}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$21 - \frac{3r}{2} = 0$
$42 - 3r = 0$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$
$r = 14$ रखने पर:
$T_{14+1} = {}^{21}C_{14} (-2)^{14} = {}^{21}C_{14} 2^{14}$
चूंकि ${}^{21}C_{14} = {}^{21}C_7$,इसलिए पद ${}^{21}C_{14} 2^{14}$ है।

(C) यहाँ,$n = 8$ (सम) है।
अतः,$\left(\frac{n}{2} + 1\right)$-वाँ पद मध्य पद होगा।
$T_{4+1} = {}^8C_4 \cdot (4x^3)^4 \cdot \left(-\frac{15}{4x}\right)^4$
$T_5 = 70 \cdot (4^4 \cdot x^{12}) \cdot \left(\frac{15^4}{4^4 \cdot x^4}\right)$
$T_5 = 70 \cdot 15^4 \cdot x^8 = 70(15x^2)^4$

(D) $(2 \sqrt{3} x^2 + \frac{1}{kx})^{12}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{12}C_r (2 \sqrt{3} x^2)^{12-r} (\frac{1}{kx})^r$ है।
दिया गया पद $x^3 \times T_{r+1} = {}^{12}C_r (2 \sqrt{3})^{12-r} (\frac{1}{k})^r x^{27-3r}$ है।
$x^3$ के गुणांक के लिए,$27 - 3r = 3$ लेने पर,$r = 8$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{12}C_8 (2 \sqrt{3})^4 (\frac{1}{k})^8 = 880$ है।
${}^{12}C_4 = 495$ और $(2 \sqrt{3})^4 = 144$ होने के कारण,$495 \times 144 \times \frac{1}{k^8} = 880$।
$k^8 = \frac{71280}{880} = 81$।
अतः,$k = \sqrt{3}$।

(B) माना $P(n): 4^n+15n-1$,$9$ से विभाज्य है।
$n=1$ के लिए,$P(1)=4^1+15(1)-1=18$,जो $9$ से विभाज्य है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
माना $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है। तब,$4^k+15k-1=9\lambda$ किसी $\lambda \in N$ के लिए।
हमें यह दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $4^{k+1}+15(k+1)-1$,$9$ से विभाज्य है।
$4^{k+1}+15(k+1)-1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1$
$4^k = 9\lambda - 15k + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 4(9\lambda - 15k + 1) + 15k + 14$
$= 36\lambda - 60k + 4 + 15k + 14$
$= 36\lambda - 45k + 18$
$= 9(4\lambda - 5k + 2)$,जो $9$ से विभाज्य है।
अतः,यदि $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$4^n+15n-1$ सभी $n \in N$ के लिए $9$ से विभाज्य है।

(A) माना $P(n) = 3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$.
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 3(5^3) + 2^4 = 3(125) + 16 = 375 + 16 = 391$.
चूंकि $391 = 17 \times 23$,इसलिए यह व्यंजक $17$ से विभाज्य है।
वैकल्पिक रूप से,हम लिख सकते हैं:
$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1} = 15(25^n) + 2(8^n)$
$= 15(25^n) - 15(8^n) + 15(8^n) + 2(8^n)$
$= 15(25^n - 8^n) + 17(8^n)$
चूंकि $(25^n - 8^n)$,$(25 - 8) = 17$ से विभाज्य है,इसलिए पूरा व्यंजक $17$ से विभाज्य है।

(D) दी गई व्यंजक $(1-x-x^2+x^3)^6$ है।
हम इसे $[(1-x)-x^2(1-x)]^6 = [(1-x^2)(1-x)]^6 = (1-x^2)^6(1-x)^6$ के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं।
द्विपद विस्तार $(1+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} y^k$ का उपयोग करते हुए:
$(1-x^2)^6 = 1 - 6x^2 + 15x^4 - \dots$
$(1-x)^6 = 1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4 - \dots$
गुणनफल $(1 - 6x^2 + 15x^4)(1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4)$ में $x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,उन पदों को गुणा करें जो $x^4$ देते हैं:
$1 \times (15x^4) + (-6x^2) \times (15x^2) + (15x^4) \times (1) = 15 - 90 + 15 = -60$.
अतः,$x^4$ का गुणांक $-60$ है।

(C) किसी बहुपद के विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
दिया गया विस्तार $\left(1+\frac{x}{2}\right)^{12}$ है।
$x = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
गुणांकों का योग $= \left(1+\frac{1}{2}\right)^{12} = \left(\frac{3}{2}\right)^{12}$।

(B) दिया गया व्यंजक: ${ }^{34} C_5+\sum_{r=0}^4{ }^{(38-r)} C_4$
योग का विस्तार करने पर: ${ }^{34} C_5+{ }^{38} C_4+{ }^{37} C_4+{ }^{36} C_4+{ }^{35} C_4+{ }^{34} C_4$
सर्वसमिका ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हुए:
${ }^{34} C_5+{ }^{34} C_4 = { }^{35} C_5$
अब,${ }^{35} C_5+{ }^{35} C_4 = { }^{36} C_5$
फिर,${ }^{36} C_5+{ }^{36} C_4 = { }^{37} C_5$
फिर,${ }^{37} C_5+{ }^{37} C_4 = { }^{38} C_5$
अंत में,${ }^{38} C_5+{ }^{38} C_4 = { }^{39} C_5$
अतः,परिणाम ${ }^{39} C_5$ है।

(B) माना $x = (2+\sqrt{3})^{49} + (\sqrt{3}-2)^{49}$.
चूंकि $(\sqrt{3}-2)^{49} = - (2-\sqrt{3})^{49}$,इसलिए $x = (2+\sqrt{3})^{49} - (2-\sqrt{3})^{49}$.
द्विपद विस्तार $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \sum_{k=0, k \text{ is odd}}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=49, x=2, y=\sqrt{3}$.
$x = 2 [ \binom{49}{1} 2^{48} (\sqrt{3})^1 + \binom{49}{3} 2^{46} (\sqrt{3})^3 + \dots + \binom{49}{49} (\sqrt{3})^{49} ]$.
विस्तार के प्रत्येक पद में $\sqrt{3}$ की विषम घात है,जो $\sqrt{3}$ का एक गुणज प्रदान करती है।
अतः,$x = 0 + b\sqrt{3}$,जहाँ $b \neq 0$ और $a = 0$.
इसलिए,सही विकल्प $b \neq 0, a=0$ है।

(B) किसी विस्तार में $x$ की सभी घातों के गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x=1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$(3x-1)^{15}$ के लिए,गुणांकों का योग $(3(1)-1)^{15} = 2^{15}$ है।
अब,दिए गए विकल्पों के लिए गुणांकों का योग जाँचते हैं:
$(a)\ (1+x)^{15}$: $x=1$ रखने पर,$(1+1)^{15} = 2^{15}$ प्राप्त होता है। यह समान है।
$(b)\ (1+x)^{16}+(1-x)^{16}$: $x=1$ रखने पर,$(1+1)^{16} + (1-1)^{16} = 2^{16} + 0 = 2^{16}$ प्राप्त होता है।
$(c)\ (1+x)^{16}-(1-x)^{16}$: $x=1$ रखने पर,$(1+1)^{16} - (1-1)^{16} = 2^{16} - 0 = 2^{16}$ प्राप्त होता है। अतः,$(a)$ और $(c)$ सही हैं।

(D) दिया गया है $x={ }^{16} C_5+{ }^{12} C_4, y=\sum_{r=1}^3{ }^{(20-r)} C_4, z=\sum_{k=1}^4{ }^{(16-k)} C_3$.
अतः $x+y+z={ }^{16} C_5+{ }^{12} C_4+\left({ }^{19} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{17} C_4\right)+\left({ }^{15} C_3+{ }^{14} C_3+{ }^{13} C_3+{ }^{12} C_3\right)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x+y+z={ }^{12} C_3+{ }^{12} C_4+{ }^{13} C_3+{ }^{14} C_3+{ }^{15} C_3+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
सर्वसमिका ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर:
$x+y+z={ }^{13} C_4+{ }^{13} C_3+{ }^{14} C_3+{ }^{15} C_3+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
इसी सर्वसमिका का बार-बार उपयोग करने पर:
$x+y+z={ }^{14} C_4+{ }^{14} C_3+{ }^{15} C_3+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{15} C_4+{ }^{15} C_3+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{16} C_4+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{17} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{18} C_5+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{19} C_5+{ }^{19} C_4={ }^{20} C_5$.
मान ज्ञात करने पर:
${ }^{20} C_5 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 19 \times 3 \times 17 \times 16 = 19 \times 17 \times 48$.

(A) परिमेय घातांक $n$ के लिए द्विपद विस्तार का सामान्य पद $T_{k+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} x^k$ है।
$(1+\frac{3x}{5})^{22/3}$ के विस्तार के लिए,$p^{\text{th}}$ पद $T_p = \frac{n(n-1)\dots(n-p+2)}{(p-1)!} (\frac{3x}{5})^{p-1}$ है।
पद तब ऋणात्मक होता है जब गुणनफल $n(n-1)\dots(n-p+2) < 0$ हो।
चूंकि $n = 22/3 \approx 7.33$,पद तब तक धनात्मक रहते हैं जब तक $n-k+1 > 0$ हो।
$p^{\text{th}}$ पद के लिए,हमें $n-p+2 < 0$ की आवश्यकता है।
$22/3 - p + 2 < 0 \implies 28/3 < p \implies p > 9.33$। अतः,$p=10$।
$(1-\frac{3x}{5})^{22/3}$ के विस्तार के लिए,$r^{\text{th}}$ पद के बाद सभी पद धनात्मक होने के लिए,समान तर्क से $r=10$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,विस्तार $(10x + \frac{10}{x})^{100}$ है।
$(a+b)^n$ में पदों की संख्या $n+1$ होती है।
अतः,पदों की संख्या $100+1 = 101$ है।

(D) $\left(1+\frac{3x}{2}\right)^{-5}$ के विस्तार में $x^{10}$ का गुणांक $\binom{14}{10} \left(\frac{3}{2}\right)^{10}$ है।
$(1+ax)^n$ के विस्तार में $x^{10}$ का गुणांक $\binom{n}{10} a^{10}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$n=14$ और $a=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$na = 14 \times \frac{3}{2} = 21$।

(A) दी गई व्यंजक $\frac{(1-x)^{-1/p}}{(1-x)^n} = (1-x)^{-\frac{np+1}{p}}$ है।
किसी भी घातांक के लिए द्विपद प्रमेय $(1-x)^{-k} = 1 + kx + \frac{k(k+1)}{2!}x^2 + \frac{k(k+1)(k+2)}{3!}x^3 + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $k = \frac{np+1}{p}$ है।
$x^3$ का गुणांक $\frac{k(k+1)(k+2)}{3!}$ है।
$k = \frac{np+1}{p}$ प्रतिस्थापित करने पर:
गुणांक $= \frac{\left(\frac{np+1}{p}\right)\left(\frac{np+1}{p} + 1\right)\left(\frac{np+1}{p} + 2\right)}{3!}$.
$= \frac{\left(\frac{np+1}{p}\right)\left(\frac{np+p+1}{p}\right)\left(\frac{np+2p+1}{p}\right)}{3!}$.
$= \frac{(np+1)(np+p+1)(np+2p+1)}{p^3 \times 3!}$.

(B) $\left(x^{1/3} + \frac{1}{2}x^{-1/3}\right)^{21}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{21}C_r (x^{1/3})^{21-r} (\frac{1}{2}x^{-1/3})^r = {}^{21}C_r (\frac{1}{2})^r x^{\frac{21-2r}{3}}$ है।
$p$ के लिए,$x^{-3}$ का गुणांक:
$\frac{21-2r}{3} = -3$ $\Rightarrow 21-2r = -9$ $\Rightarrow 2r = 30$ $\Rightarrow r = 15$.
अतः,$p = {}^{21}C_{15} (\frac{1}{2})^{15}$.
$q$ के लिए,$x^{-5}$ का गुणांक:
$\frac{21-2r}{3} = -5$ $\Rightarrow 21-2r = -15$ $\Rightarrow 2r = 36$ $\Rightarrow r = 18$.
अतः,$q = {}^{21}C_{18} (\frac{1}{2})^{18}$.
अब,$\frac{5p}{4q} = \frac{5 \cdot {}^{21}C_{15} (\frac{1}{2})^{15}}{4 \cdot {}^{21}C_{18} (\frac{1}{2})^{18}} = \frac{5 \cdot {}^{21}C_6}{4 \cdot {}^{21}C_3} \cdot 8 = 408$.

(C) $(1-ax)^{-n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n+r-1}C_r (ax)^r$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n=4$,$a=4$,और हमें $13$ वाँ पद चाहिए,इसलिए $r+1=13$,जिसका अर्थ है $r=12$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$T_{13} = {}^{4+12-1}C_{12} (4x)^{12}$।
$T_{13} = {}^{15}C_{12} (4x)^{12}$।
गुणधर्म ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास ${}^{15}C_{12} = {}^{15}C_{15-12} = {}^{15}C_3$ है।
अतः,$T_{13} = {}^{15}C_3 4^{12} x^{12}$।

(C) हम भिन्न को इस प्रकार व्यक्त करते हैं: $\frac{3x+1}{(x+2)(x-1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$
दोनों पक्षों को $(x+2)(x-1)^2$ से गुणा करने पर:
$3x+1 = A(x-1)^2 + B(x-1)(x+2) + C(x+2)$
पदों का विस्तार करने पर:
$3x+1 = (A+B)x^2 + (-2A + B + C)x + (A - 2B + 2C)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A+B = 0 \Rightarrow A = -B$
$2$) $-2A + B + C = 3$
$3$) $A - 2B + 2C = 1$
$A = -B$ को $(2)$ और $(3)$ में रखने पर:
$2$) $3B + C = 3$
$3$) $-3B + 2C = 1$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $3C = 4 \Rightarrow C = \frac{4}{3}$
$C = \frac{4}{3}$ को $3B + C = 3$ में रखने पर:
$3B = \frac{5}{3} \Rightarrow B = \frac{5}{9}$
अतः $A = -\frac{5}{9}$
इस प्रकार,अपघटन $\frac{-5}{9(x+2)} + \frac{5}{9(x-1)} + \frac{4}{3(x-1)^2}$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $(2a + 5b)^{-4}$ है।
हम इसे $(2a)^{-4} \left(1 + \frac{5b}{2a}\right)^{-4}$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $\left|\frac{5b}{2a}\right| < 1$ है।
$(1+x)^{-n}$ के विस्तार के लिए सामान्य पद $T_{r+1} = \frac{(-n)(-n-1)...(-n-r+1)}{r!} x^r$ है।
$4^{th}$ पद के लिए,$r = 3$ और $n = 4$ है।
$T_{4} = (2a)^{-4} \left[ \frac{(-4)(-5)(-6)}{3!} \left(\frac{5b}{2a}\right)^3 \right]$.
$T_{4} = \frac{1}{2^4 a^4} \left[ -\frac{4 \times 5 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5^3 b^3}{2^3 a^3} \right]$.
संचय सूत्र ${ }^{n+r-1}C_{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $\frac{4 \times 5 \times 6}{3!} = { }^{6}C_{3}$ है।
अतः,$T_{4} = -{ }^{6}C_{3} \frac{5^3 b^3}{2^{4+3} a^{4+3}} = -{ }^{6}C_{3} \frac{5^3 b^3}{2^7 a^7}$।

(B) माना कि दी गई रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ है। $\alpha$ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}r^2\alpha$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल छोटे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का $5$ गुना है:
$\frac{1}{2}r^2(\pi-\theta) = 5 \times \frac{1}{2}r^2\theta$
$\pi-\theta = 5\theta$
$6\theta = \pi \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}$ को संतुष्ट करता है।
$\theta = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|a+b|}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}$.

(D) दिया गया है,$90^{\circ} < A < 180^{\circ}$ और $\sin A = \frac{4}{5}$।
चूँकि $90^{\circ} < A < 180^{\circ}$,इसलिए $45^{\circ} < \frac{A}{2} < 90^{\circ}$ होगा।
इस अंतराल में,$\tan \frac{A}{2}$ का मान $1$ से अधिक होना चाहिए।
सूत्र $\sin A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{4}{5} = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}}$
$4(1 + \tan^2 \frac{A}{2}) = 10 \tan \frac{A}{2}$
$2 \tan^2 \frac{A}{2} - 5 \tan \frac{A}{2} + 2 = 0$
$(2 \tan \frac{A}{2} - 1)(\tan \frac{A}{2} - 2) = 0$
इससे $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{2}$ या $\tan \frac{A}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $45^{\circ} < \frac{A}{2} < 90^{\circ}$,इसलिए $\tan \frac{A}{2} > 1$,अतः $\tan \frac{A}{2} = 2$।

(A) दिया गया है $y = 4 \sin^2 \theta - \cos 2 \theta$।
सर्वसमिका $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = 4 \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 6 \sin^2 \theta - 1$।
चूंकि $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,इसलिए:
$0 \leq 6 \sin^2 \theta \leq 6$।
सभी पदों में से $1$ घटाने पर:
$-1 \leq 6 \sin^2 \theta - 1 \leq 5$।
अतः,न्यूनतम मान $l = -1$ और अधिकतम मान $m = 5$ है।
अब,$lm = (-1)(5) = -5$।
साथ ही,$\frac{m}{l} = \frac{5}{-1} = -5$।
इसलिए,$lm = \frac{m}{l}$।

(B) $\triangle ACB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $C$ पर समकोण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 = AC^2 + BC^2$.
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$.
अतः,$AC = \sqrt{400} = 20$ इकाई।
$\cos \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$ और $\sin \theta = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$.
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \left(\frac{21}{29}\right)^2 - \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{441 - 400}{841} = \frac{41}{841}$.

(B) माना $P = \cot \frac{\pi}{16} \cdot \cot \frac{2 \pi}{16} \cdot \cot \frac{3 \pi}{16} \cdot \cot \frac{4 \pi}{16} \cdot \cot \frac{5 \pi}{16} \cdot \cot \frac{6 \pi}{16} \cdot \cot \frac{7 \pi}{16}$.
गुणधर्म $\cot(\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हम अंतिम तीन पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\cot \frac{5 \pi}{16} = \tan \frac{3 \pi}{16}$,$\cot \frac{6 \pi}{16} = \tan \frac{2 \pi}{16}$,$\cot \frac{7 \pi}{16} = \tan \frac{\pi}{16}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (\cot \frac{\pi}{16} \cdot \tan \frac{\pi}{16}) \cdot (\cot \frac{2 \pi}{16} \cdot \tan \frac{2 \pi}{16}) \cdot (\cot \frac{3 \pi}{16} \cdot \tan \frac{3 \pi}{16}) \cdot \cot \frac{4 \pi}{16}$
चूंकि $\cot \theta \cdot \tan \theta = 1$:
$P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cot \frac{\pi}{4} = 1$.

(B) दिया है,$\frac{\sin(x+y)}{\sin(x-y)} = \frac{a+b}{a-b}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(x+y) + \sin(x-y)}{\sin(x+y) - \sin(x-y)} = \frac{(a+b) + (a-b)}{(a+b) - (a-b)}$
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin x \cos y}{2 \cos x \sin y} = \frac{2a}{2b}$
$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{a}{b}$
$\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{a}{b}$

(A) हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हुए:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए:
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 + (\cos^2 \theta)^2 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 3(1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta)$
$= 2 - 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - 3 + 6 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$
$= -1$।

(B) हम जानते हैं कि $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$। इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\frac{\cot ^2 15^{\circ}-1}{\cot ^2 15^{\circ}+1} = \frac{\frac{\cos ^2 15^{\circ}}{\sin ^2 15^{\circ}}-1}{\frac{\cos ^2 15^{\circ}}{\sin ^2 15^{\circ}}+1}$
$= \frac{\cos ^2 15^{\circ}-\sin ^2 15^{\circ}}{\cos ^2 15^{\circ}+\sin ^2 15^{\circ}}$
सर्वसमिकाओं $\cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x$ और $\cos ^2 x + \sin ^2 x = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\cos(2 \times 15^{\circ})}{1} = \cos 30^{\circ}$
चूँकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(B) दिया गया है $\frac{2 \sin \alpha}{1+\cos \alpha+\sin \alpha}=x$।
अंश और हर को $(1-(\cos \alpha+\sin \alpha))$ से गुणा करने पर:
$\frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{(1+\cos \alpha+\sin \alpha)(1-(\cos \alpha+\sin \alpha))}=x$
$\Rightarrow \frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{1^2-(\cos \alpha+\sin \alpha)^2}=x$
$\Rightarrow \frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{1-(\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha+2 \cos \alpha \sin \alpha)}=x$
$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{1-(1+2 \cos \alpha \sin \alpha)}=x$
$\Rightarrow \frac{2 \sin \alpha(1-\cos \alpha-\sin \alpha)}{-2 \cos \alpha \sin \alpha}=x$
$\Rightarrow \frac{1-\cos \alpha-\sin \alpha}{-\cos \alpha}=x$
$\Rightarrow \frac{1-\cos \alpha-\sin \alpha}{\cos \alpha}=-x$

(A) दिया है,$\cot A=\frac{11}{60}$। चूंकि $A$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\cot A > 0$ है,इसलिए $A$ को तीसरे चतुर्थांश $(Q_3)$ में होना चाहिए। अतः,$\tan A = \frac{60}{11}$।
दिया है $\cos B = \frac{7}{25}$। चूंकि $B$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\cos B > 0$ है,इसलिए $B$ को चौथे चतुर्थांश $(Q_4)$ में होना चाहिए।
$Q_4$ में,$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = -\frac{24}{25}$।
अतः,$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{-24/25}{7/25} = -\frac{24}{7}$।
सूत्र $\tan B = \frac{2 \tan(B/2)}{1 - \tan^2(B/2)}$ का उपयोग करते हुए,$-\frac{24}{7} = \frac{2 \tan(B/2)}{1 - \tan^2(B/2)}$।
माना $t = \tan(B/2)$। तब $-\frac{24}{7} = \frac{2t}{1-t^2}$ $\Rightarrow -24 + 24t^2 = 14t$ $\Rightarrow 12t^2 - 7t - 12 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $12t^2 - 16t + 9t - 12 = 0$ $\Rightarrow 4t(3t - 4) + 3(3t - 4) = 0$ $\Rightarrow (4t + 3)(3t - 4) = 0$।
अतः,$t = \frac{4}{3}$ या $t = -\frac{3}{4}$।
चूंकि $B \in Q_4$,$\frac{3\pi}{2} < B < 2\pi \Rightarrow \frac{3\pi}{4} < \frac{B}{2} < \pi$। इसका अर्थ है कि $\frac{B}{2}$ दूसरे चतुर्थांश $(Q_2)$ में है,जहाँ $\tan(B/2)$ ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$\tan(B/2) = -\frac{3}{4}$।
अब,$\tan(A + B/2) = \frac{\tan A + \tan(B/2)}{1 - \tan A \cdot \tan(B/2)} = \frac{\frac{60}{11} - \frac{3}{4}}{1 - (\frac{60}{11})(-\frac{3}{4})} = \frac{\frac{240 - 33}{44}}{1 + \frac{180}{44}} = \frac{207/44}{224/44} = \frac{207}{224}$।
चूंकि $\tan(A + B/2) > 0$ है,इसलिए कोण $(A + B/2)$ प्रथम चतुर्थांश $(Q_1)$ में स्थित है।

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ और $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 - (1 - 2 \sin^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta}{1 + (2 \cos^2 \theta - 1) + 2 \sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{2 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta}{2 \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{2 \sin \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2 \cos \theta (\cos \theta + \sin \theta)}$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(C) दिया गया है,$\sin x + \sin y = 3(\cos y - \cos x)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = 3 \left( -2 \sin \left(\frac{y+x}{2}\right) \sin \left(\frac{y-x}{2}\right) \right)$
चूंकि $x \neq -y$,$\sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \neq 0$,इसलिए दोनों पक्षों को $2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)$ से विभाजित करने पर:
$\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -3 \sin \left(\frac{y-x}{2}\right) = 3 \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$
$\tan \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{3}$
अब,$\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(x-y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x-y}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{x-y}{2}\right)}$
$\tan(x-y) = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{3}{4}$

(B) दिया गया व्यंजक: $\left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\cos 55^{\circ}}\right)^2+\left(\frac{\cos 55^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\right)^2-2 \cos 30^{\circ}$
चूंकि $\cos 55^{\circ} = \cos(90^{\circ}-35^{\circ}) = \sin 35^{\circ}$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$= \left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\right)^2 + \left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\right)^2 - 2 \cos 30^{\circ}$
$= (1)^2 + (1)^2 - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$= 1 + 1 - \sqrt{3}$
$= 2 - \sqrt{3}$

(D) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$

(C) हम सर्वसमिका $\sin A \cdot \sin(60^{\circ}-A) \cdot \sin(60^{\circ}+A) = \frac{1}{4} \sin 3A$ का उपयोग करते हैं।
$A = 20^{\circ}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin 20^{\circ} \cdot \sin 40^{\circ} \cdot \sin 80^{\circ} = \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 60^{\circ}$.
अब,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$(\sin 20^{\circ} \cdot \sin 40^{\circ} \cdot \sin 80^{\circ}) \cdot \sin 60^{\circ} = (\frac{1}{4} \sin 60^{\circ}) \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{1}{4} \sin^2 60^{\circ}$.
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin^2 60^{\circ} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$.

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$.
$\theta = 15^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1-\tan^2 15^{\circ}}{1+\tan^2 15^{\circ}} = \cos(2 \times 15^{\circ})$
$= \cos 30^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) दिया है,$\theta \in \left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$.
चूंकि $\pi < \theta < \frac{3 \pi}{2}$,$2$ से भाग देने पर $\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3 \pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल में,$\tan \left(\frac{\theta}{2}\right)$ ऋणात्मक होता है।
सूत्र $\cos \theta = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} = \frac{-3}{5}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर $5 - 5 \tan^2(\theta/2) = -3 - 3 \tan^2(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर $8 = 2 \tan^2(\theta/2)$,जिसका अर्थ है $\tan^2(\theta/2) = 4$।
अतः,$\tan(\theta/2) = \pm 2$।
चूंकि $\frac{\theta}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\tan(\theta/2)$ ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$\tan(\theta/2) = -2$।

(D) दिया गया है $A+B+C=4S$।
अब,व्यंजक $\cos (2S-A)+\cos (2S-B)-\cos (2S-C)-\cos 2S$ पर विचार करें।
$= [\cos (2S-A)+\cos (2S-B)] - [\cos (2S-C)+\cos 2S]$।
सूत्र $\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos \left(\frac{4S-A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - 2 \cos \left(\frac{4S-C}{2}\right) \cos \left(\frac{-C}{2}\right)$।
चूंकि $A+B+C=4S$,इसलिए $4S-A-B=C$ और $4S-C=A+B$ है।
$= 2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$।
$= 2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \right]$।
$\cos \theta - \cos \phi = 2 \sin \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \sin \left(\frac{\phi-\theta}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \left[ 2 \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{A}{2}\right) \right]$।
$= 4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$।

(C) दी गई व्यंजक: $\cos \frac{7 \pi}{8}+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \left(\frac{-\pi}{8}\right)-1$.
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cos \frac{7 \pi}{8} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos \frac{\pi}{8} - 1$ हो जाता है।
चूंकि $\cos \frac{7 \pi}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8}$,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण:
$-\cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos \frac{\pi}{8} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$.
अब,विकल्प $(C)$ का मूल्यांकन करने पर: $4 \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{8} \cos \frac{9 \pi}{16}$.
$= 2 \left(2 \cos \frac{9 \pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}\right) \cos \frac{3 \pi}{8}$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \left(\cos \frac{10 \pi}{16} + \cos \frac{8 \pi}{16}\right) \cos \frac{3 \pi}{8} = 2 \left(\cos \frac{5 \pi}{8} + \cos \frac{\pi}{2}\right) \cos \frac{3 \pi}{8}$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,यह $2 \cos \frac{5 \pi}{8} \cos \frac{3 \pi}{8}$ हो जाता है।
$= \cos(\frac{5 \pi}{8} + \frac{3 \pi}{8}) + \cos(\frac{5 \pi}{8} - \frac{3 \pi}{8}) = \cos \pi + \cos \frac{\pi}{4} = -1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(D) हम जानते हैं कि $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x}$ होता है।
दिया गया है $\cosh 2x = 241$,इसलिए:
$\frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x} = 241$
$1 + \tanh^2 x = 241(1 - \tanh^2 x)$
$1 + \tanh^2 x = 241 - 241 \tanh^2 x$
$242 \tanh^2 x = 240$
$\tanh^2 x = \frac{240}{242} = \frac{120}{121}$
$\tanh x = \sqrt{\frac{120}{121}} = \frac{2 \sqrt{30}}{11}$
चूंकि $\operatorname{coth} x = \frac{1}{\tanh x}$,इसलिए:
$\operatorname{coth} x = \frac{11}{2 \sqrt{30}}$

(D) $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos A + \cos B + \cos C = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + 1 - 2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 2 \sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + 1 - 2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 1 + 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) - \sin \frac{C}{2} \right]$
$= 1 + 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) - \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \right]$
$= 1 + 2 \sin \frac{C}{2} \left[ 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \right]$
$= 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$।
इसे $a + b \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = 1 + 4 = 5$।

(A) चूँकि $f(x)$ हर जगह सतत है,इसलिए इसे $x = 0, 1, 2$ पर भी सतत होना चाहिए।
$x = 0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} \cos(2x + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
$\lim_{x \to 0^+} (ax^2 + b) = b$.
अतः,$b = -1$.
$x = 1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\lim_{x \to 1^-} (ax^2 + b) = a + b = a - 1$.
$\lim_{x \to 1^+} (cx + 4) = c + 4$.
अतः,$a - 1 = c + 4 \implies a = c + 5$.
$x = 2$ पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$.
$\lim_{x \to 2^-} (cx + 4) = 2c + 4$.
$\lim_{x \to 2^+} (3a + 1) = 3a + 1$.
अतः,$2c + 4 = 3a + 1$.
$a = c + 5$ रखने पर: $2c + 4 = 3(c + 5) + 1 \implies 2c + 4 = 3c + 16 \implies c = -12$.
तब $a = -12 + 5 = -7$.
अब,$b^2 - bc + c^2 = (-1)^2 - (-1)(-12) + (-12)^2 = 1 - 12 + 144 = 133$.

(C) सबसे पहले,अंतिम बिंदुओं पर मानों की गणना करें:
$f(2) = \frac{1}{2}(2-6)^2 - 3 = \frac{1}{2}(16) - 3 = 8 - 3 = 5$.
$f(10) = 10 - 5 = 5$.
चूंकि $f(2) = f(10) = 5$,रोले के प्रमेय की पहली शर्त पूरी होती है।
इसके बाद,$x=4$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बायां सीमा: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \frac{1}{2}(4-6)^2 - 3 = \frac{1}{2}(4) - 3 = 2 - 3 = -1$.
दायां सीमा: $\lim_{x \to 4^+} f(x) = 4 - 5 = -1$.
चूंकि $f(4) = -1$,फलन $x=4$ पर संतत है।
अंत में,$x=4$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बायां अवकलज: $f'(x) = (x-6)$,इसलिए $f'(4^-) = 4-6 = -2$.
दायां अवकलज: $f'(x) = 1$,इसलिए $f'(4^+) = 1$.
चूंकि $f'(4^-) \neq f'(4^+)$,फलन $x=4$ पर अवकलनीय नहीं है।
चूंकि फलन अंतराल $(2, 10)$ में अवकलनीय नहीं है,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{2^x - 2^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ है।
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ होगा।
अतः,$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x - 2^{-x}}{x}$.
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(2^x - 2^{-x})}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2(-1)}{1} = \lim_{x \rightarrow 0} (2^x \ln 2 + 2^{-x} \ln 2)$.
$x = 0$ रखने पर:
$k = 2^0 \ln 2 + 2^0 \ln 2 = \ln 2 + \ln 2 = 2 \ln 2 = \ln(2^2) = \ln 4$.
अब,$e^k = e^{\ln 4} = 4$ प्राप्त होता है।

(C) सूची $A$ में प्रत्येक फलन का विश्लेषण करते हैं:
$(A)$ $|x| + |x - 2|$: यह दो सतत फलनों का योग है,इसलिए यह सभी वास्तविक $x$ के लिए सतत है। यह $IV$ के साथ मेल खाता है।
$(B)$ $\text{cosech } x = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$: यह फलन सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ के लिए परिभाषित है। अतः,यह सभी गैर-शून्य वास्तविक $x$ के लिए सतत है। यह $II$ के साथ मेल खाता है।
$(C)$ $x - [x] = \{x\}$ (भिन्नात्मक भाग फलन): यह फलन सभी पूर्णांकों पर असतत होता है। यह $V$ के साथ मेल खाता है।
$(D)$ $\sqrt{2 - x}$: यह फलन $x \le 2$ के लिए परिभाषित है। जैसे $x \to 2^+$,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए वास्तविक संख्या प्रणाली में दाईं ओर की सीमा मौजूद नहीं है। यह $I$ के साथ मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-II, C-V, D-I$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+x-2}$,$x = -2$ पर सतत है।
चूंकि फलन $x = -2$ पर सतत है,इसलिए $f(-2) = \lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ होगा।
सबसे पहले,$f(x)$ के व्यंजक को सरल करते हैं:
$f(x) = \frac{x^2(x+2) + 1(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{(x^2+1)(x+2)}{(x+2)(x-1)}$.
$x \neq -2$ के लिए,हम $(x+2)$ पद को काट सकते हैं:
$f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$.
अब,सीमा (limit) की गणना करते हैं:
$f(-2) = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^2+1}{x-1} = \frac{(-2)^2+1}{-2-1} = \frac{4+1}{-3} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = x(x+3)e^{-x/2}$ है।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए कम से कम एक $c \in (-3, 0)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[x(x+3)] \cdot e^{-x/2} + x(x+3) \cdot \frac{d}{dx}[e^{-x/2}]$
$f'(x) = (2x+3)e^{-x/2} + (x^2+3x) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)e^{-x/2}$
$f'(x) = e^{-x/2} \left[ 2x+3 - \frac{x^2+3x}{2} \right]$
$f'(x) = e^{-x/2} \left[ \frac{4x+6-x^2-3x}{2} \right] = \frac{-x^2+x+6}{2} e^{-x/2}$
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$\frac{-(x^2-x-6)}{2} e^{-x/2} = 0$
चूंकि $e^{-x/2} \neq 0$,इसलिए $x^2-x-6 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x-3)(x+2) = 0$
अतः,$x = 3$ या $x = -2$ है।
चूंकि मूल को अंतराल $(-3, 0)$ में होना चाहिए,इसलिए मान्य मूल $x = -2$ है।

(B) कथन $(a)$ गलत है क्योंकि यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है,तो उसे उस बिंदु पर संतत होना चाहिए।
कथन $(b)$ सही है क्योंकि अवकलनीयता निरंतरता (संततता) को दर्शाती है; इसलिए,इसका प्रतिधनात्मक (यदि संतत नहीं है तो अवकलनीय भी नहीं है) भी सत्य है।
कथन $(c)$ सही है क्योंकि $f(x) = |x|$,सभी $x \in R$ के लिए संतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
कथन $(d)$ गलत है क्योंकि $f(x) = x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन है,जो सभी पूर्णांकों पर असंतत होता है,जिसमें $x = 1$ भी शामिल है। चूँकि यह $x = 1$ पर असंतत है,इसलिए यह $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(B) सबसे पहले,हम $|g(x)|$ निर्धारित करते हैं:
$|g(x)| = \begin{cases} |-1| = 1, & -2 \le x < 0 \\ |x^2 - 1|, & 0 \le x \le 2 \end{cases} = \begin{cases} 1, & -2 \le x < 0 \\ 1 - x^2, & 0 \le x < 1 \\ x^2 - 1, & 1 \le x \le 2 \end{cases}$
इसके बाद,हम $g(|x|)$ निर्धारित करते हैं:
चूंकि सभी $x \in [-2, 2]$ के लिए $|x| \ge 0$ है,हम $g(x)$ के दूसरे भाग का उपयोग करते हैं:
$g(|x|) = |x|^2 - 1 = x^2 - 1$ सभी $x \in [-2, 2]$ के लिए।
अब,$f(x) = |g(x)| + g(|x|) + 2$ की गणना करें:
$-2 \le x < 0$ के लिए: $f(x) = 1 + (x^2 - 1) + 2 = x^2 + 2$.
$0 \le x < 1$ के लिए: $f(x) = (1 - x^2) + (x^2 - 1) + 2 = 2$.
$1 \le x \le 2$ के लिए: $f(x) = (x^2 - 1) + (x^2 - 1) + 2 = 2x^2$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & -2 \le x < 0 \\ 2, & 0 \le x < 1 \\ 2x^2, & 1 \le x \le 2 \end{cases}$।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करना:
$LHD = \lim_{x \to 0^-} \frac{d}{dx}(x^2 + 2) = 2(0) = 0$.
$RHD = \lim_{x \to 0^+} \frac{d}{dx}(2) = 0$.
चूंकि $LHD = RHD$,$f$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करना:
$LHD = \lim_{x \to 1^-} \frac{d}{dx}(2) = 0$.
$RHD = \lim_{x \to 1^+} \frac{d}{dx}(2x^2) = 4(1) = 4$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,$f$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) रोले का प्रमेय एक फलन $y = f(x), x \in [a, b]$ के लिए लागू होता है,यदि:
$(i)$ $f(x)$ सभी $x \in [a, b]$ के लिए सतत है
$(ii)$ $f(x)$ सभी $x \in (a, b)$ के लिए अवकलनीय है
$(iii)$ $f(a) = f(b)$
यहाँ,$f(0) = 0$ और $f(2) = 2 - 2 = 0$ है। अतः,$f(0) = f(2)$ है।
$f(x)$ सभी $x \in [0, 2]$ के लिए सतत है।
हालाँकि,$x = 1$ पर $f(x)$ का एक तीक्ष्ण कोना (sharp corner) है।
$x = 1$ पर बायां अवकलज: $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1-h) - 1}{-h} = 1$.
$x = 1$ पर दायां अवकलज: $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2-(1+h)) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h} = -1$.
चूंकि बायां अवकलज $\neq$ दायां अवकलज है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(A) अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(x) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ है।
दिए गए फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y) - 3xy$ में $y = h$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x+h) = f(x) + f(h) - 3xh$ प्राप्त होता है।
इस मान को अवकलज के सूत्र में रखने पर:
$f^{\prime}(x) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x) + f(h) - 3xh - f(x)}{h}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$f^{\prime}(x) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - 3xh}{h} = \lim _{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(h)}{h} - 3x \right)$।
चूंकि $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = 7$ दिया गया है,इसलिए:
$f^{\prime}(x) = 7 - 3x$।

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(a)-a f(x)}{x-a}$ है।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग कर सकते हैं या व्यंजक को सरल कर सकते हैं।
अंश में $a f(a)$ जोड़ने और घटाने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow a} \frac{x f(a) - a f(a) + a f(a) - a f(x)}{x-a}$
$L = \lim _{x \rightarrow a} \left[ \frac{f(a)(x-a)}{x-a} - a \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \right]$
$L = f(a) - a \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f^{\prime}(a)$ होता है।
अतः,$L = f(a) - a f^{\prime}(a)$।
दिया गया है कि $f^{\prime}(a) = a f(a)$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$L = f(a) - a(a f(a))$
$L = f(a) - a^2 f(a)$
$L = (1-a^2) f(a)$।

(D) दिया गया है कि $g(x) = f^{-1}(x)$.
प्रतिलोम फलन की परिभाषा के अनुसार,$f(g(x)) = x$ होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हमें $f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{g^{\prime}(x)}$.
हमें $g(5) = 6$ और $g^{\prime}(5) = \frac{3}{4}$ दिया गया है।
$x = 5$ रखने पर,$f^{\prime}(g(5)) = \frac{1}{g^{\prime}(5)}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(5) = 6$,इसलिए $f^{\prime}(6) = \frac{1}{g^{\prime}(5)}$ होगा।
$g^{\prime}(5) = \frac{3}{4}$ का मान रखने पर,$f^{\prime}(6) = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = |x+1| + |x-1|$ है।
हम जानते हैं कि फलन $g(x) = |x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसी प्रकार,$|x+1|$,$x = -1$ पर अवकलनीय नहीं है और $|x-1|$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
दो फलनों का योग उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ उनमें से कोई भी फलन अवकलनीय नहीं होता है।
अतः,$f(x)$,$x = -1$ और $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} [\cos \pi x], & x \leq 1 \\ 2\{x\} - 1, & x > 1 \end{cases}$.
$x > 1$ के लिए,हमारे पास $f(x) = 2(x - [x]) - 1$ है। चूंकि $x$,$1$ से थोड़ा बड़ा है,इसलिए $[x] = 1$ होगा,जिससे $f(x) = 2(x - 1) - 1 = 2x - 3$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर दायां अवकलज $f'(1^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,$f(1) = [\cos \pi] = [-1] = -1$.
अतः,$f'(1^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(1+h) - 3 - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2 + 2h - 3 + 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
इस प्रकार,$x = 1$ पर दायां अवकलज $2$ है।

(B) दिया गया है कि $x=5(1-\sin t)$ और $y=5(t+\cos t)$ है।
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 5(0 - \cos t) = -5\cos t$ ... $(i)$
इसके बाद,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = 5(1 - \sin t)$ ... $(ii)$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके,हम $\frac{dx}{dy}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{-5\cos t}{5(1-\sin t)}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{-\cos t}{1-\sin t} = \frac{\cos t}{\sin t-1}$

(A) दिया गया समीकरण $x^2+xy+y^2=k$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$
$(x+2y)\frac{dy}{dx} = -(2x+y)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+y}{x+2y}$
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(x+2y)\frac{d}{dx}(2x+y) - (2x+y)\frac{d}{dx}(x+2y)}{(x+2y)^2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(x+2y)(2+\frac{dy}{dx}) - (2x+y)(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+y}{x+2y}$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(x+2y)(2-\frac{2x+y}{x+2y}) - (2x+y)(1-\frac{4x+2y}{x+2y})}{(x+2y)^2}$
सरल करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3y(x+2y) + 3x(2x+y)}{(x+2y)^3} = -\frac{6(x^2+xy+y^2)}{(x+2y)^3}$
चूँकि $x^2+xy+y^2=k$,अतः:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-6k}{(x+2y)^3}$

(B) माना $y = \frac{x \cdot 2^x-x}{1-\cos x}$ है। तो दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} = y(f(x) + \log 2)$ है।
इसका अर्थ है $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = f(x) + \log 2$,या $\frac{d}{dx}(\ln |y|) = f(x) + \log 2$ है।
अतः,$f(x) = \frac{d}{dx}(\ln |y|) - \log 2$ है।
चूँकि $y = \frac{x(2^x-1)}{1-\cos x}$ है,हमारे पास $\ln |y| = \ln |x| + \ln |2^x-1| - \ln |1-\cos x|$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln |y|) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2^x-1} \cdot (2^x \log 2) - \frac{\sin x}{1-\cos x}$ प्राप्त होता है।
इसे $f(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2^x \log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x} - \log 2$ है।
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2^x \log 2 - (2^x-1) \log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x}$ है।
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2^x \log 2 - 2^x \log 2 + \log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x}$ है।
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{\log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x}$ है।

(D) दिया गया है $f(x)=\frac{\cos ^2 x}{1+\sin ^2 x}$.
सबसे पहले,$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करें:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos ^2(\pi/4)}{1+\sin ^2(\pi/4)}=\frac{(1/\sqrt{2})^2}{1+(1/\sqrt{2})^2}=\frac{1/2}{1+1/2}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$.
अब,लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करके $f(x)$ का अवकलन करें:
$\ln(f(x)) = 2\ln(\cos x) - \ln(1+\sin^2 x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 2\left(\frac{-\sin x}{\cos x}\right) - \frac{2\sin x \cos x}{1+\sin^2 x} = -2\tan x - \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\frac{f'(\pi/4)}{f(\pi/4)} = -2\tan(\pi/4) - \frac{\sin(\pi/2)}{1+\sin^2(\pi/4)} = -2(1) - \frac{1}{1+1/2} = -2 - \frac{1}{3/2} = -2 - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$.
चूंकि $f(\pi/4) = 1/3$,इसलिए $f'(\pi/4) = -\frac{8}{3} \times \frac{1}{3} = -\frac{8}{9}$.
अंत में,$f(\pi/4) - 3f'(\pi/4)$ की गणना करें:
$\frac{1}{3} - 3\left(-\frac{8}{9}\right) = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

(D) दिया गया समीकरण $x e^{xy} = y + \sin^2 x$ है।
$x = 0$ पर,हमें $0 \cdot e^{0 \cdot y} = y + \sin^2(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 0$।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x e^{xy}) = \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\sin^2 x)$।
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$x e^{xy} \left( x \frac{dy}{dx} + y \right) + e^{xy} = \frac{dy}{dx} + 2 \sin x \cos x$।
$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 \cdot e^0 (0 \cdot \frac{dy}{dx} + 0) + e^0 = \frac{dy}{dx} + 2 \sin(0) \cos(0)$।
$0 + 1 = \frac{dy}{dx} + 0$।
अतः,$x = 0$ पर $\frac{dy}{dx} = 1$ है।

(A) दिया गया है,$x=a(t-\sin t)$ और $y=a(1+\cos t)$.
सबसे पहले,$x$ और $y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a(1-\cos t)$ और $\frac{dy}{dt} = -a \sin t$.
अब,$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-a \sin t}{a(1-\cos t)} = \frac{-2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \sin^2(t/2)} = -\cot(t/2)$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt}(-\cot(t/2)) \cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(-\csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{a(2 \sin^2(t/2))} = \frac{\csc^2(t/2)}{4a \sin^2(t/2)}$.
चूंकि $\csc^2(t/2) = \frac{1}{\sin^2(t/2)}$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4a \sin^4(t/2)}$.
अतः,विकल्प $A$ सही है.

(D) दिया है,$(a+b x) e^{y / x}=x$
$\Rightarrow e^{y / x}=\frac{x}{a+b x}$
दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर:
$\frac{y}{x}=\log x-\log (a+b x)$
$\Rightarrow y=x \log x-x \log (a+b x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(x \log x) - \frac{d}{dx}(x \log (a+b x))$
$y^{\prime} = (1 + \log x) - [\log (a+b x) + x \cdot \frac{b}{a+b x}]$
$y^{\prime} = 1 + \log x - \log (a+b x) - \frac{b x}{a+b x}$
चूंकि $\frac{y}{x} = \log x - \log (a+b x)$,इसलिए:
$y^{\prime} = 1 + \frac{y}{x} - \frac{b x}{a+b x}$
$x y^{\prime} = x + y - \frac{b x^2}{a+b x}$
$x y^{\prime} - y = x - \frac{b x^2}{a+b x} = \frac{a x + b x^2 - b x^2}{a+b x} = \frac{a x}{a+b x}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x y^{\prime\prime} + y^{\prime} - y^{\prime} = \frac{d}{dx} \left( \frac{a x}{a+b x} \right)$
$x y^{\prime\prime} = \frac{(a+b x)a - a x(b)}{(a+b x)^2} = \frac{a^2}{(a+b x)^2}$
$x^3 y^{\prime\prime} = \frac{a^2 x^2}{(a+b x)^2} = \left( \frac{a x}{a+b x} \right)^2$
चूंकि $x y^{\prime} - y = \frac{a x}{a+b x}$,इसलिए:
$x^3 y^{\prime\prime} = (x y^{\prime} - y)^2$
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{1}{x^3} (x y^{\prime} - y)^2$

(C) माना $f(x) = (\log x)^{\sin x}$ और $g(x) = \cos x$ है।
हमें $\frac{df}{dg} = \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ज्ञात करना है।
$f(x)$ का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log(f(x)) = \sin x \cdot \log(\log x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = \cos x \cdot \log(\log x) + \sin x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$।
अतः,$f'(x) = (\log x)^{\sin x} \left[ \cos x \cdot \log(\log x) + \frac{\sin x}{x \log x} \right]$।
साथ ही,$g'(x) = -\sin x$ है।
इसलिए,$\frac{df}{dg} = \frac{(\log x)^{\sin x} [ \cos x \cdot \log(\log x) + \frac{\sin x}{x \log x} ]}{-\sin x}$।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$\sin x = 1$,$\cos x = 0$,और $\log x = \log(\frac{\pi}{2})$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{df}{dg} = \frac{(\log(\frac{\pi}{2}))^1 [ 0 \cdot \log(\log(\frac{\pi}{2})) + \frac{1}{(\frac{\pi}{2}) \log(\frac{\pi}{2})} ]}{-1}$।
$= - \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}$।

(D) दिया गया है,$y=x^{\sqrt{x}}$.
दोनों पक्षों का $\ln$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \sqrt{x} \ln x$.
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2 + \ln x}{2\sqrt{x}}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y(2 + \ln x)}{2\sqrt{x}}$.
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है $y = \cos^{-1}(\tanh x) + \sinh(\sin 6x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(\tanh x)) + \frac{d}{dx}(\sinh(\sin 6x))$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1 - \tanh^2 x}} \cdot \frac{d}{dx}(\tanh x) + \cosh(\sin 6x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin 6x)$
सर्वसमिका $1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x$ और $\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{\text{sech}^2 x}} \cdot \text{sech}^2 x + \cosh(\sin 6x) \cdot (6 \cos 6x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\text{sech} x} \cdot \text{sech}^2 x + 6 \cos 6x \cosh(\sin 6x)$
$\frac{dy}{dx} = -\text{sech} x + 6 \cos 6x \cosh(\sin 6x)$ (नोट: $\text{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$)
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\cosh x} + 6 \cos 6x \cosh(\sin 6x)$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $y = \tan(\cos^{-1} x)$।
माना $\cos^{-1} x = \theta$,तो $\cos \theta = x$।
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$।
अतः,$y = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$।
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} - \sqrt{1 - x^2}}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-x^2}{\sqrt{1 - x^2}} - \sqrt{1 - x^2}}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 - (1 - x^2)}{x^2 \sqrt{1 - x^2}} = \frac{-1}{x^2 \sqrt{1 - x^2}}$।

(B) $t$ के सापेक्ष $\tan t + t^2 \operatorname{cosech} t$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम योग नियम और गुणन नियम का उपयोग करते हैं।
$\tan t$ का अवकलन $\sec^2 t$ होता है।
$t^2 \operatorname{cosech} t$ के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dt}(t^2 \operatorname{cosech} t) = \frac{d}{dt}(t^2) \cdot \operatorname{cosech} t + t^2 \cdot \frac{d}{dt}(\operatorname{cosech} t)$.
चूंकि $\frac{d}{dt}(t^2) = 2t$ और $\frac{d}{dt}(\operatorname{cosech} t) = -\operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$2t \operatorname{cosech} t + t^2(-\operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t) = 2t \operatorname{cosech} t - t^2 \operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t$.
इन दोनों को जोड़ने पर,अंतिम परिणाम $\sec^2 t + 2t \operatorname{cosech} t - t^2 \operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$y=x+\tan x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = 1 + \sec^2 x$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0 + 2 \sec x \cdot (\sec x \tan x) = 2 \sec^2 x \tan x$।
अब,इस मान को व्यंजक $\cos^2 x \frac{d^2y}{dx^2} + 2x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 x (2 \sec^2 x \tan x) + 2x$।
चूंकि $\cos^2 x \cdot \sec^2 x = 1$,व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$2 \tan x + 2x = 2(x + \tan x)$।
चूंकि $y = x + \tan x$,इसलिए यह व्यंजक $2y$ के बराबर है।

(C) दिया गया है $y = \frac{1}{x} + \cos 2x$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} - 2 \sin 2x$।
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{x^3} - 4 \cos 2x$।
मूल समीकरण से,हमारे पास $\cos 2x = y - \frac{1}{x}$ है।
इस मान को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{x^3} - 4(y - \frac{1}{x}) = \frac{2}{x^3} - 4y + \frac{4}{x}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{2}{x^3} + \frac{4}{x} - 4y$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3+x & x+1 & x-2 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow R_1 + R_3 - R_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} (x^3+x) + (x^3+2x+3) - (2x^3+3x-1) & (x+1) + (2x-1) - 3x & (x-2) + (2x-1) - (3x-3) \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 4 [ (3x)(2x-1) - (3x-3)(2x-1) ]$
$f(x) = 4 [ (2x-1)(3x - (3x-3)) ]$
$f(x) = 4 [ (2x-1)(3) ] = 12(2x-1) = 24x - 12$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(f(x)) = \frac{d}{dx}(24x - 12) = 24$.

(D) वक्र का दिया गया समीकरण $y=\pi e^{\frac{-x}{\pi}}$ है।
वह बिंदु जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $x=0$ रखते हैं।
समीकरण में $x=0$ रखने पर,हमें $y = \pi e^{0} = \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, \pi)$ है।
अब,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \pi \cdot e^{\frac{-x}{\pi}} \cdot \left(-\frac{1}{\pi}\right) = -e^{\frac{-x}{\pi}}$.
बिंदु $(0, \pi)$ पर ढाल $m$:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, \pi)} = -e^{0} = -1$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ और ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर,$y - \pi = -1(x - 0)$.
$y - \pi = -x$,जिसे सरल करने पर $x + y = \pi$ प्राप्त होता है।

(B) वह बिंदु जिस पर वक्र की स्पर्श रेखा क्षैतिज होती है,इसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा की ढाल शून्य है।
वक्र का दिया गया समीकरण: $y = \frac{16}{x} - x^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{16}{x} - x^2) = -\frac{16}{x^2} - 2x$.
स्पर्श रेखा के क्षैतिज होने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें:
$-\frac{16}{x^2} - 2x = 0$.
$-\frac{16 + 2x^3}{x^2} = 0$.
$16 + 2x^3 = 0 \implies 2x^3 = -16 \implies x^3 = -8$.
अतः,$x = -2$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण में $x = -2$ रखें:
$y = \frac{16}{-2} - (-2)^2 = -8 - 4 = -12$.
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $(-2, -12)$ है।

(A) दिए गए वक्र $x=y^2 \dots(i)$ और $xy=k \dots(ii)$ हैं।
$(i)$ से,$x=y^2$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$y^2 \cdot y = k$,अतः $y^3 = k$,जिसका अर्थ है $y = k^{1/3}$ और $x = k^{2/3}$।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} = m_1$।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} = m_2$।
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 m_2 = -1$।
$\left(\frac{1}{2y}\right) \left(-\frac{y}{x}\right) = -1 \Rightarrow \frac{1}{2x} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$।
चूंकि $x = y^2$,इसलिए $y^2 = \frac{1}{2}$,अतः $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$xy=k$ से,$k^2 = x^2 y^2 = x^2 (x) = x^3$।
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,$k^2 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$।
अतः,$8k^2 = 8 \times \frac{1}{8} = 1$।

(B) दिया गया वक्र: $x y^5+2 x^2 y-x^3+y+1=0$
$x=0$ रखने पर,समीकरण $0+0-0+y+1=0$ हो जाता है,जिससे $y=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, -1)$ है।
समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x y^5) + \frac{d}{dx}(2 x^2 y) - \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(1) = 0$
$y^5 + 5 x y^4 \frac{d y}{d x} + 4 x y + 2 x^2 \frac{d y}{d x} - 3 x^2 + \frac{d y}{d x} = 0$
$(x, y) = (0, -1)$ रखने पर:
$(-1)^5 + 5(0)(-1)^4 \frac{d y}{d x} + 4(0)(-1) + 2(0)^2 \frac{d y}{d x} - 3(0)^2 + \frac{d y}{d x} = 0$
$-1 + 0 + 0 + 0 - 0 + \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x} = 1$
$(0, -1)$ बिंदु पर और $m=1$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - (-1) = 1(x - 0)$
$y + 1 = x$
$y = x - 1$

(B) दिया गया वक्र $xy+ax+by=0$ है।
चूंकि वक्र $(1,1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $1(1)+a(1)+b(1)=0$,जिसका अर्थ है $a+b=-1$ (समीकरण $1$)।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $x \frac{dy}{dx} + y + a + b \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx}(x+b) = -(y+a)$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{y+a}{x+b}$।
बिंदु $(1,1)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,1)} = -\frac{1+a}{1+b}$ है।
यह दिया गया है कि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\tan^{-1} 2$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m = \tan(\tan^{-1} 2) = 2$ है।
ढाल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-\frac{1+a}{1+b} = 2$,जो $-(1+a) = 2(1+b)$,या $a+2b = -3$ (समीकरण $2$) में सरल हो जाता है।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(a+2b) - (a+b) = -3 - (-1)$,जिससे $b = -2$ प्राप्त होता है।
$b = -2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $a - 2 = -1$,इसलिए $a = 1$।
अंत में,$\frac{a+b}{ab} = \frac{1+(-2)}{(1)(-2)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया वक्र $y = \sin 3x$ है ... $(i)$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$y = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,बिंदु $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cos 3x$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = 3 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 3 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{2}}$.
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{-3/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{12} + \frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{12} + \frac{6\sqrt{2}}{12}$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3}x + \frac{\sqrt{2}(6-\pi)}{12}$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3} \left(x + \frac{6-\pi}{4}\right)$.

(A) दिया गया वक्र का समीकरण $y^2=(2x+1)^3$ ... $(i)$ है।
माना $P(x_1, y_1)$ वक्र पर कोई बिंदु है। अतः,$y_1^2=(2x_1+1)^3$.
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3(2x+1)^2 \times 2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1)^2}{y}$
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{3(2x_1+1)^2}{y_1}$ है।
अधःस्पर्शरेखा (subtangent) की लंबाई $(ST)$ = $\left| \frac{y_1}{m} \right| = \left| \frac{y_1}{\frac{3(2x_1+1)^2}{y_1}} \right| = \frac{y_1^2}{3(2x_1+1)^2}$.
अधोलंब (subnormal) की लंबाई $(SN)$ = $|y_1 m| = \left| y_1 \times \frac{3(2x_1+1)^2}{y_1} \right| = 3(2x_1+1)^2$.
हमें अनुपात $\frac{SN}{(ST)^2}$ ज्ञात करना है:
$\frac{SN}{(ST)^2} = \frac{3(2x_1+1)^2}{\left[ \frac{y_1^2}{3(2x_1+1)^2} \right]^2} = \frac{3(2x_1+1)^2 \times 9(2x_1+1)^4}{y_1^4} = \frac{27(2x_1+1)^6}{y_1^4}$.
चूंकि $y_1^2 = (2x_1+1)^3$,इसलिए $y_1^4 = (2x_1+1)^6$.
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{SN}{(ST)^2} = \frac{27(2x_1+1)^6}{(2x_1+1)^6} = 27$.

(D) माना $f(x) = x^{4/3} + x^2$. हमें $f(8.01)$ का सन्निकट मान ज्ञात करना है।
माना $x = 8$ और $\Delta x = 0.01$ है।
तब $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ होता है।
सबसे पहले,$f(8) = 8^{4/3} + 8^2 = (2^3)^{4/3} + 64 = 2^4 + 64 = 16 + 64 = 80$ की गणना करें।
इसके बाद,अवकलज $f'(x) = \frac{4}{3} x^{1/3} + 2x$ ज्ञात करें।
$f'(8) = \frac{4}{3} (8)^{1/3} + 2(8) = \frac{4}{3}(2) + 16 = \frac{8}{3} + 16 = 2.6667 + 16 = 18.6667$ का मान निकालें।
अब,परिवर्तन $\Delta f \approx f'(8) \Delta x = 18.6667 \times 0.01 = 0.186667$ की गणना करें।
अतः,$f(8.01) \approx f(8) + 0.186667 = 80 + 0.186667 = 80.186667$ है।
$3$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $80.187$ प्राप्त होता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$80.180$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(C) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ inch/min}$ है।
जब त्रिज्या $r = 10 \text{ inches}$ है।
गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 10$ और $\frac{dr}{dt} = 5$ रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (10)^2 (5) = 4 \pi (100) (5) = 2000 \pi \text{ cubic inches/min}$.

(B) कण का विस्थापन $S(t) = t^3 - 4t^2 + 7t$ द्वारा दिया गया है।
तात्कालिक वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{dS}{dt}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$S(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - 4t^2 + 7t) = 3t^2 - 8t + 7$।
$t = 4 \ sec$ पर वेग ज्ञात करने के लिए,$v$ के व्यंजक में $t = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v = 3(4)^2 - 8(4) + 7$
$v = 3(16) - 32 + 7$
$v = 48 - 32 + 7$
$v = 16 + 7 = 23 \ m/sec$।

(D) दिया गया है: शंकु की ऊँचाई $h = 6.125 \text{ cm}$ और अर्ध-शीर्ष कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
शंकु के आधार की त्रिज्या $R$ और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध: $\tan \theta = \frac{R}{h}$ है।
मान रखने पर: $\tan 30^{\circ} = \frac{R}{6.125} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{6.125} \Rightarrow R = \frac{6.125}{\sqrt{3}} \text{ cm}$।
लंबवृत्तीय शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ होता है।
$R$ और $h$ के मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{6.125}{\sqrt{3}} \right)^2 (6.125) = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{6.125^2}{3} \right) (6.125) = \frac{\pi}{9} (6.125)^3$।
$(6.125)^3$ की गणना करने पर: $6.125 \times 6.125 \times 6.125 \approx 229.996$।
अतः,$V \approx \frac{229.996}{9} \pi \approx 25.555 \pi \text{ cm}^3$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,अनुमानित मान $(25.5) \pi \text{ cm}^3$ है।

(A) माना $A$ क्षेत्रफल है और $x$ समबाहु त्रिभुज की भुजा है।
क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} x$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में अनुमानित परिवर्तन $\Delta A$ को $\Delta A \approx \frac{dA}{dx} \cdot \Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2} x \cdot \Delta x)}{(\frac{\sqrt{3}}{4} x^2)} \times 100 = \frac{2 \Delta x}{x} \times 100$.
दिया गया है $x = 5$ और $\Delta x = 0.05$,तो प्रतिशत त्रुटि $\frac{2 \times 0.05}{5} \times 100 = \frac{0.1}{5} \times 100 = 0.02 \times 100 = 2\%$ है।
अतः,प्रतिशत त्रुटि $2$ है।

(A) दिया गया है: $f(x) = \tan x - x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \sec^2 x - 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि प्रांत $R^*$ में सभी $x$ के लिए $\sec^2 x \geq 1$ होता है।
अतः,$f'(x) = \sec^2 x - 1 \geq 0$.
चूँकि अवकलज $f'(x) \geq 0$ सभी $x \in R^*$ के लिए सत्य है,इसलिए फलन $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया फलन $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+1$ अंतराल $[0,2]$ पर है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करके उसे $0$ के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु प्राप्त करें:
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$6(x^2 - 3x + 2) = 0$
$6(x-1)(x-2) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x=1$ और $x=2$ हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[0,2]$ के अंतिम बिंदुओं पर फलन $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$x=0$ पर: $f(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) + 1 = 1$
$x=1$ पर: $f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 1 = 2 - 9 + 12 + 1 = 6$
$x=2$ पर: $f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 1 = 16 - 36 + 24 + 1 = 5$
मानों ${1, 6, 5}$ की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $6$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x)=a x^3+b x^2-\frac{18}{5} x+\frac{19}{10}$ है।
अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x)=3 a x^2+2 b x-\frac{18}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ का $x=-3$ पर अधिकतम मान है,इसलिए $f^{\prime}(-3)=0$:
$3 a(-3)^2+2 b(-3)-\frac{18}{5}=0 \Rightarrow 27 a-6 b=\frac{18}{5} \Rightarrow 9 a-2 b=\frac{6}{5} \cdots (1)$.
चूंकि $f(x)$ का $x=2$ पर न्यूनतम मान है,इसलिए $f^{\prime}(2)=0$:
$3 a(2)^2+2 b(2)-\frac{18}{5}=0 \Rightarrow 12 a+4 b=\frac{18}{5} \Rightarrow 6 a+2 b=\frac{9}{5} \cdots (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(9 a-2 b)+(6 a+2 b)=\frac{6}{5}+\frac{9}{5} \Rightarrow 15 a=\frac{15}{5} \Rightarrow 15 a=3 \Rightarrow a=\frac{1}{5}$.
$a=\frac{1}{5}$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$6(\frac{1}{5})+2 b=\frac{9}{5} \Rightarrow 2 b=\frac{9}{5}-\frac{6}{5}=\frac{3}{5} \Rightarrow b=\frac{3}{10}$.
अतः,$f(x)=\frac{1}{5} x^3+\frac{3}{10} x^2-\frac{18}{5} x+\frac{19}{10}$ प्राप्त होता है।
$f(1)$ की गणना करने पर:
$f(1)=\frac{1}{5}(1)^3+\frac{3}{10}(1)^2-\frac{18}{5}(1)+\frac{19}{10} = \frac{2}{10}+\frac{3}{10}-\frac{36}{10}+\frac{19}{10} = \frac{2+3-36+19}{10} = \frac{-12}{10} = \frac{-6}{5}$.
इसलिए,$f(1)=\frac{-6}{5}$.

(A) माना $y = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-x+1)(2x+1) - (x^2+x+1)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \frac{(2x^3 - 2x^2 + 2x + x^2 - x + 1) - (2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \frac{(2x^3 - x^2 + x + 1) - (2x^3 + x^2 + x - 1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \frac{-2x^2 + 2}{(x^2-x+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2-x+1)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $1-x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$.
$x = 1$ के लिए,$y = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$ (अधिकतम मान).
$x = -1$ के लिए,$y = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$ (न्यूनतम मान).
अतः,न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$,$l = -1$ पर और अधिकतम मान $3$,$m = 1$ पर प्राप्त होता है।
इसलिए,$l+m = -1 + 1 = 0$.

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin 2x} dx$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{2 \sin x \cos x} dx$.
अंश और हर को $\sin^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{2 \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x} \cdot \sin^2 x} dx = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{2 \cot x \sin^2 x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sqrt{\cot x}} dx$.
माना $t = \cot x$,तब $dt = -\operatorname{cosec}^2 x dx$,अर्थात $\operatorname{cosec}^2 x dx = -dt$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{-dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt$.
$I = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\sqrt{t} + C$.
$t = \cot x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = -\sqrt{\cot x} + C$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \sqrt{x^2+2x} \, dx$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2+2x = (x+1)^2 - 1$.
अतः,$I = \int \sqrt{(x+1)^2 - 1} \, dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{u^2-a^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{u^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \cosh^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x+1$ और $a = 1$:
$I = \frac{x+1}{2} \sqrt{(x+1)^2-1} - \frac{1^2}{2} \cosh^{-1} \left( \frac{x+1}{1} \right) + C$.
इस प्रकार,$I = \frac{x+1}{2} \sqrt{x^2+2x} - \frac{1}{2} \cosh^{-1}(x+1) + C$.

(A) माना $I = \int \frac{(1-\cos x)^{2 / 7}}{(1+\cos x)^{9 / 7}} dx$.
सर्वसमिकाओं $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{(2 \sin^2 \frac{x}{2})^{2/7}}{(2 \cos^2 \frac{x}{2})^{9/7}} dx$
$I = \int \frac{2^{2/7} \sin^{4/7} \frac{x}{2}}{2^{9/7} \cos^{18/7} \frac{x}{2}} dx$
$I = \int \frac{1}{2} \frac{\sin^{4/7} \frac{x}{2}}{\cos^{4/7} \frac{x}{2} \cdot \cos^2 \frac{x}{2}} dx$
$I = \int \frac{1}{2} \tan^{4/7} \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$.
माना $t = \tan \frac{x}{2}$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int t^{4/7} dt = \frac{t^{4/7 + 1}}{4/7 + 1} + C = \frac{t^{11/7}}{11/7} + C = \frac{7}{11} t^{11/7} + C$.
$t = \tan \frac{x}{2}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{7}{11} \left(\tan \frac{x}{2}\right)^{11/7} + C$.

(B) माना $I = \int(x+2) \sqrt{x+3} \, dx$.
$t = \sqrt{x+3}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $t^2 = x+3$ और $x = t^2-3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int(t^2-3+2) \cdot t \cdot (2t \, dt)$
$I = \int(t^2-1) \cdot 2t^2 \, dt$
$I = 2 \int(t^4-t^2) \, dt$
$I = 2 \left( \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} \right) + C$
$I = 2 \left( \frac{3t^5 - 5t^3}{15} \right) + C$
$I = \frac{2}{15} t^3 (3t^2 - 5) + C$
चूंकि $t = \sqrt{x+3}$,इसलिए $t^2 = x+3$ और $t^3 = (x+3)\sqrt{x+3}$।
$I = \frac{2}{15} (x+3)\sqrt{x+3} (3(x+3) - 5) + C$
$I = \frac{2}{15} \sqrt{x+3} (x+3) (3x + 9 - 5) + C$
$I = \frac{2}{15} \sqrt{x+3} (x+3) (3x + 4) + C$
$I = \frac{2}{15} \sqrt{x+3} (3x^2 + 4x + 9x + 12) + C$
$I = \frac{2}{15} \sqrt{x+3} (3x^2 + 13x + 12) + C$.

(A) माना $I = \int \frac{d x}{\sin x + \cos x}$ है।
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x}$।
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)}$।
$\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{2 \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)}$।
अंश और हर को $\cos^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)$ से भाग देने पर:
$I = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{\sec^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) d x}{\tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)}$।
माना $t = \tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) d x$,अतः $\sec^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) d x = 2 dt$।
$I = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{2 dt}{t} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{\sqrt{2}} \log |t| + C$।
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) \right| + C$।