TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(0, 0)$ से दूरी,नियता $x = 4$ से दूरी की $e$ गुना होती है।
$SP^2 = e^2 \times (\text{नियता से दूरी})^2$
$x^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2 (x - 4)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{4} (x^2 - 8x + 16)$
$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$
$3x^2 + 8x + 4y^2 = 16$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु $3$ से गुणा करने पर:
$9x^2 + 24x + 12y^2 = 48$
$(3x + 4)^2 - 16 + 12y^2 = 48$
$(3x + 4)^2 + 12y^2 = 64$

(A) दिया गया समीकरण $4(x-2y+1)^2 + 9(2x+y+2)^2 = 25$ है।
$25$ से भाग देने पर: $\frac{(x-2y+1)^2}{25/4} + \frac{(2x+y+2)^2}{25/9} = 1$।
माना $X = \frac{x-2y+1}{\sqrt{5}}$ और $Y = \frac{2x+y+2}{\sqrt{5}}$।
समीकरण $\frac{X^2}{5/4} + \frac{Y^2}{5/9} = 1$ हो जाता है।
यहाँ $a^2 = 5/4$ और $b^2 = 5/9$,इसलिए $a = \sqrt{5}/2$ और $b = \sqrt{5}/3$।
दीर्घ अक्ष $X=0$ अर्थात $x-2y+1=0$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - 4/9} = \sqrt{5}/3$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = \sqrt{5}$ है।
केंद्र $(-4/5, -2/5)$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,अंतर्निहित आयत के शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a \cos \theta, \pm b \sin \theta)$ हैं।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2a \cos \theta)(2b \sin \theta) = 2ab \sin 2\theta$ है।
क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,$\sin 2\theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{4}$।
दी गई लंबाई $L = 2a \cos \theta = 2a \cos(\frac{\pi}{4}) = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$,इसलिए $a = 8$।
दी गई चौड़ाई $B = 2b \sin \theta = 2b \sin(\frac{\pi}{4}) = b\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$,इसलिए $b = 4$।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $b > a$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b}$ है और लघु अक्ष की लंबाई $2a$ है।
दिया गया है कि नाभिलंब की लंबाई लघु अक्ष की लंबाई की $\frac{2}{3}$ गुनी है:
$\frac{2a^2}{b} = \frac{2}{3}(2a)$
$\frac{a^2}{b} = \frac{2a}{3}$
$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{4}{9}$
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(i)$ और परवलय का समीकरण $y^2=8ax$ $(ii)$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0 \Rightarrow y'=-\frac{b^2x}{a^2y}$ प्राप्त होता है।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2yy'=8a \Rightarrow y'=\frac{4a}{y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा।
$\left(-\frac{b^2x}{a^2y}\right) \times \left(\frac{4a}{y}\right) = -1$
$\Rightarrow \frac{4b^2x}{a^2y^2} = 1$ $\Rightarrow 4b^2x = a^2y^2$.
$y^2=8ax$ को इस समीकरण में रखने पर:
$4b^2x = a^2(8ax)$ $\Rightarrow 4b^2 = 8a^2$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = 2$ $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{2}$.
दीर्घवृत्त के लिए $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$e^4 = (e^2)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

(A) दिया गया है,दीर्घवृत्त का समीकरण $16 x^2+25 y^2=400$ $\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a=5$ और $b=4$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
माना $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु है।
नाभीय दूरियाँ $P F_1 = 5 - 3 \cos \theta$ और $P F_2 = 5 + 3 \cos \theta$ हैं।
अब,गुणनफल $P F_1 \cdot P F_2 = (5 - 3 \cos \theta)(5 + 3 \cos \theta) = 25 - 9 \cos^2 \theta$ है।
चूँकि $0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$,इसलिए:
$25 - 9(1) \leq 25 - 9 \cos^2 \theta \leq 25 - 9(0)$
$16 \leq P F_1 \cdot P F_2 \leq 25$.
अतः,मान $[16, 25]$ अंतराल में स्थित है।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2+4y^2=36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ (चूंकि $9 > 4$) से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 3$ और $b = 2$ मिलता है।
दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए,उसकी नाभीय दूरियों का योग $PF_1 + PF_2$ दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
यहाँ,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है क्योंकि $a > b$ है।
अतः,नाभीय दूरियों का योग $2a = 2 \times 3 = 6$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=5$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=5$ है ($y$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष)। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ है। नाभियाँ $(0, \pm ae) = (0, \pm 2)$ हैं।
चतुर्भुज के शीर्ष $(2, 0), (0, 2), (-2, 0),$ और $(0, -2)$ हैं।
यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्णों की लंबाई $d_1 = 4$ और $d_2 = 4$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $E: 4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$ और वृत्त $C: x^2 + y^2 - 9 = 0$ है।
बिंदु $A(1, 2)$ के लिए:
$E(1, 2) = 4(1)^2 + 9(2)^2 - 36 = 4 + 36 - 36 = 4 > 0$,अतः $A, E$ के बाहर है।
$C(1, 2) = (1)^2 + (2)^2 - 9 = 1 + 4 - 9 = -4 < 0$,अतः $A, C$ के अंदर है।
बिंदु $B(2, 1)$ के लिए:
$E(2, 1) = 4(2)^2 + 9(1)^2 - 36 = 16 + 9 - 36 = -11 < 0$,अतः $B, E$ के अंदर है।
$C(2, 1) = (2)^2 + (1)^2 - 9 = 4 + 1 - 9 = -4 < 0$,अतः $B, C$ के अंदर है।
अतः,$A, C$ के अंदर है लेकिन $E$ के बाहर है,यह कथन सही है।

(B) नाभियाँ $(-2,0)$ और $(8,0)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8 - (-2) = 10$ है।
$\Rightarrow ae = 5$.
दिया गया है $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $a \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 5 \Rightarrow a = 5\sqrt{2}$।
अब,$b^2 = a^2(1 - e^2) = (5\sqrt{2})^2 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 50 \left(\frac{1}{2}\right) = 25$।
अतः,$b = 5$।
दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों को जोड़ने वाली रेखा का मध्य-बिंदु है: $\left(\frac{-2+8}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3,0)$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-3)^2}{a^2} + \frac{(y-0)^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{(x-3)^2}{50} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $(x, y) = (h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ होते हैं,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
मान रखने पर,हमें $(3 + 5\sqrt{2} \cos \theta, 5 \sin \theta)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वृत्त $(x-1)^2+y^2=r^2 \dots (i)$ है।
यहाँ,वृत्त का केंद्र $(1,0)$ है और त्रिज्या $r$ है।
दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=16$ है,जिसे $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a=4$ और $b=2$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त दीर्घवृत्त को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,इसलिए स्पर्श बिंदु $P$ पर दीर्घवृत्त का अभिलंब वृत्त के केंद्र $(1,0)$ से होकर गुजरेगा।
माना स्पर्श बिंदु $P(4\cos\theta, 2\sin\theta)$ है।
दीर्घवृत्त के अभिलंब का समीकरण $ax\sec\theta - by\operatorname{cosec}\theta = a^2-b^2$ है।
$a=4, b=2$ और $a^2-b^2 = 12$ रखने पर,$4x\sec\theta - 2y\operatorname{cosec}\theta = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह अभिलंब $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $4(1)\sec\theta - 2(0)\operatorname{cosec}\theta = 12$,जिसका अर्थ है $4\sec\theta = 12$,अतः $\sec\theta = 3$।
इस प्रकार,$\cos\theta = \frac{1}{3}$ और $\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$।
बिंदु $P$ का मान $\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,0)$ और बिंदु $P\left(\frac{4}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$ के बीच की दूरी है।
$r^2 = \left(\frac{4}{3}-1\right)^2 + \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-0\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{32}{9} = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$।
अतः,$r = \sqrt{\frac{11}{3}}$।

(B) शांकव का दिया गया समीकरण:
$a^2 x^2 + b^2 y^2 = a^2(a^2 + b^2 - y^2)$
$\Rightarrow a^2 x^2 + y^2(a^2 + b^2) = a^2(a^2 + b^2)$
$\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
यह एक दीर्घवृत्त है जिसकी उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{a^2 + b^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
शांकव की परिभाषा के अनुसार,$SP = e \cdot PM$ होता है।
अतः,$PM = \frac{1}{e} SP$।
इस प्रकार,$K = \frac{1}{e} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $S = 4x^2 - 3y^2 - 1 = 0$ है।
अतिपरवलय के आंतरिक भाग में बिंदु $(\alpha, \beta)$ होने के लिए शर्त $S_1 < 0$ है।
बिंदु $(\alpha, -1)$ को $S < 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4\alpha^2 - 3(-1)^2 - 1 < 0$
$4\alpha^2 - 3 - 1 < 0$
$4\alpha^2 - 4 < 0$
$\alpha^2 < 1$
$-1 < \alpha < 1$
अतः,$\alpha \in (-1, 1)$।

(D) समीकरण $\frac{x^2}{\alpha+3} + \frac{y^2}{2-\alpha} = 1$ के अतिपरवलय होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि उनका गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए:
$(\alpha+3)(2-\alpha) < 0$
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$(\alpha+3)(\alpha-2) > 0$
इस असमिका को हल करने पर,हमें मूल $\alpha = -3$ और $\alpha = 2$ प्राप्त होते हैं।
यह व्यंजक मूलों के बीच के अंतराल के बाहर धनात्मक है।
अतः,$\alpha \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$।

(D) अतिपरवलय की नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।
$S$ से गुजरने वाले नाभिलंब के अंतिम बिंदु $A(ae, \frac{b^2}{a})$ और $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
$AB$ द्वारा $S'$ पर अंतरित कोण $60^{\circ}$ है।
चूँकि त्रिभुज $\triangle AS'B$ समद्विबाहु है,रेखा $S'S$ कोण $\angle AS'B$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle AS'S = 30^{\circ}$।
$S'A$ की ढाल $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,$\frac{b^2/a}{ae - (-ae)} = \frac{b^2}{2a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इससे $\frac{b^2}{a^2} = \frac{2e}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$\frac{b^2}{a^2} = e^2 - 1$ मिलता है।
दोनों पदों की तुलना करने पर: $e^2 - 1 = \frac{2e}{\sqrt{3}}$,जो सरल होकर $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(\sqrt{3}e + 1)(e - \sqrt{3}) = 0$।
चूँकि उत्केंद्रता $e > 1$ होती है,इसलिए $e = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $5x^2 - 6y^2 - 10x - 24y - 34 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $5(x^2 - 2x) - 6(y^2 + 4y) = 34$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $5(x^2 - 2x + 1) - 6(y^2 + 4y + 4) = 34 + 5 - 24$
$5(x - 1)^2 - 6(y + 2)^2 = 15$
$15$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^2}{3} - \frac{(y + 2)^2}{2.5} = 1$
यहाँ,$a^2 = 3$ और $b^2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5/2}{3}} = \sqrt{1 + \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{11}{6}}$ है।
नाभियाँ $(h \pm ae, k)$ द्वारा प्राप्त होती हैं,जहाँ $(h, k) = (1, -2)$ है।
$ae = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{11}{6}} = \sqrt{\frac{33}{6}} = \sqrt{\frac{11}{2}}$ है।
अतः,नाभियाँ $\left(1 \pm \sqrt{\frac{11}{2}}, -2\right)$ हैं।

(C) अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होती है।
दिया गया है $e = \frac{5}{4}$,इसलिए $1 + \frac{b^2}{a^2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$।
अतः,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{9}{16} a^2$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 9$ है।
$b^2 = \frac{9}{16} a^2$ को नाभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$\frac{2}{a} \left(\frac{9}{16} a^2\right) = 9$
$\frac{9}{8} a = 9 \Rightarrow a = 8$।
अब,$b^2 = \frac{9}{16} (8)^2 = \frac{9}{16} \times 64 = 36$,इसलिए $b = 6$।
अतः,$ab = 8 \times 6 = 48$।

(C) रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण अतिपरवलय के समीकरण को समघात बनाकर प्राप्त किया जा सकता है: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = (\frac{x \cos \alpha + y \sin \alpha}{P})^2$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + y^2(-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) - \frac{2xy \cos \alpha \sin \alpha}{P^2} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखाएँ मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए: $(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + (-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) = 0$.
यह सरल होकर $\frac{1}{12} - \frac{1}{P^2} = 0$ हो जाता है,इसलिए $P^2 = 12$.
अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ के सापेक्ष बिंदु $(h, k)$ का ध्रुव $\frac{xh}{9} - \frac{yk}{36} = 1$ है।
इसकी तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ से करने पर,हमें $\frac{h/9}{\cos \alpha} = \frac{-k/36}{\sin \alpha} = \frac{1}{P}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \alpha = \frac{Ph}{9}$ और $\sin \alpha = -\frac{Pk}{36}$.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{P^2 h^2}{81} + \frac{P^2 k^2}{1296} = 1$ प्राप्त होता है।
$P^2 = 12$ रखने पर,$\frac{12h^2}{81} + \frac{12k^2}{1296} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{4h^2}{27} + \frac{k^2}{108} = 1$ हो जाता है।
$108$ से गुणा करने पर,$16h^2 + k^2 = 108$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $16x^2 + y^2 = 108$ है।

(B) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\log x}{1-x}$ है।
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\log 1}{1-1} = \frac{0}{0}$ का अनिर्धारित रूप प्राप्त होता है।
$L'\text{Hospital's Rule}$ का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(\log x)}{\frac{d}{dx}(1-x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1}$.
$x \rightarrow 1$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर:
$\frac{\frac{1}{1}}{-1} = -1$.

(D) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^2-a x+5 b}{x-2}=17$.
चूंकि सीमा मौजूद है और हर $x \rightarrow 2$ पर $0$ हो जाता है,इसलिए अंश को भी $x=2$ पर $0$ होना चाहिए।
$3(2)^2 - a(2) + 5b = 0$ $\Rightarrow 12 - 2a + 5b = 0$ $\Rightarrow 2a - 5b = 12$.
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{d}{dx}(3x^2 - ax + 5b) / \frac{d}{dx}(x-2) = 17$.
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 2} (6x - a) = 17$ $\Rightarrow 6(2) - a = 17$ $\Rightarrow 12 - a = 17$ $\Rightarrow a = -5$.
$a = -5$ को $2a - 5b = 12$ में रखने पर:
$2(-5) - 5b = 12$ $\Rightarrow -10 - 5b = 12$ $\Rightarrow -5b = 22$ $\Rightarrow b = -\frac{22}{5}$.
अतः,$ab = (-5) \times (-\frac{22}{5}) = 22$.

(C) दिया गया है $f(x) = -(\sin^2 x + \cos^5 x)$.
ज्ञात करना है: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{x}$.
$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = -[2 \sin x \cos x + 5 \cos^4 x(-\sin x)]$
$f'(x) = -\sin x (2 \cos x - 5 \cos^4 x)$
अब,सीमा का मान ज्ञात करें:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin x (2 \cos x - 5 \cos^4 x)}{x}$
$= -(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}) \times (\lim_{x \rightarrow 0} (2 \cos x - 5 \cos^4 x))$
$= -1 \times (2(1) - 5(1)^4)$
$= -1 \times (2 - 5) = -1 \times (-3) = 3$.
अतः,सीमा का अस्तित्व है और यह $3$ के बराबर है।

(D) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(2^x - \sin x - 1)}{3^x(1 - \cos x) - (1 - \cos x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(2^x - \sin x - 1)}{(3^x - 1)(1 - \cos x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x - \sin x - 1}{(3^x - 1) \frac{(1 - \cos x)}{x^2}}$
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(2^x - \sin x - 1)}{3^x - 1}$
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(2^x \ln 2 - \cos x)}{3^x \ln 3}$
$= \frac{2(\ln 2 - 1)}{\ln 3}$
$= \frac{2}{\log 3}(\log 2 - 1)$

(D) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3|x|^3-x^2+2|x|-5}{-5|x|^3+3 x^2-2|x|+7}$
चूंकि $x \rightarrow -\infty$,इसलिए $|x| = -x$ है। मान लीजिए $x = -t$,जहाँ $t \rightarrow \infty$ है। अतः $|x| = t$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{3t^3 - (-t)^2 + 2t - 5}{-5t^3 + 3(-t)^2 - 2t + 7}$
$= \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{3t^3 - t^2 + 2t - 5}{-5t^3 + 3t^2 - 2t + 7}$
अंश और हर को $t^3$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{t}$ ${\rightarrow \infty} \frac{3 - \frac{1}{t} + \frac{2}{t^2} - \frac{5}{t^3}}{-5 + \frac{3}{t} - \frac{2}{t^2} + \frac{7}{t^3}}$
जैसे $t \rightarrow \infty$,हर में $t$ वाले सभी पद $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।
$= \frac{3 - 0 + 0 - 0}{-5 + 0 - 0 + 0} = -\frac{3}{5}$

(B) दिया है,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \tan 2 x+\frac{2 x}{3} \tan 3 x}$
सर्वसमिका $1-\cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 x}{x \tan 2 x + \frac{2 x}{3} \tan 3 x}$
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 (\frac{\sin x}{x})^2}{\frac{\tan 2 x}{x} + \frac{2}{3} \frac{\tan 3 x}{x}}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 (\frac{\sin x}{x})^2}{2 (\frac{\tan 2 x}{2 x}) + 2 (\frac{\tan 3 x}{3 x})}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan kx}{kx} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2(1)^2}{2(1) + 2(1)} = \frac{2}{2+2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(B) हमें $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ का मान ज्ञात करना है।
$x \in (-1, 0)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = -1$ होता है।
इसलिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin[x]}{[x]}$।
$[x] = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sin(-1)}{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(-\theta) = -\sin\theta$,इसलिए हमें $\frac{-\sin 1}{-1} = \sin 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x - \sin 2x}{x^3}$ (जो $\frac{0}{0}$ रूप में है)।
$L$-Hospital नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x - 2 \cos 2x}{3x^2}$ (जो $\frac{0}{0}$ रूप में है)।
पुनः $L$-Hospital नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin x + 4 \sin 2x}{6x}$ (जो $\frac{0}{0}$ रूप में है)।
पुनः $L$-Hospital नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \cos x + 8 \cos 2x}{6}$.
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{-2 \cos(0) + 8 \cos(0)}{6} = \frac{-2(1) + 8(1)}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

(B) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos ^2 x)}}{x}$ है।
सर्वसमिका $1-\cos ^2 x = \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{\frac{1}{2} \sin ^2 x}}{x} = \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} |\sin x|}{x}$.
चूँकि $x \rightarrow 0^{-}$,$x < 0$,जिसका अर्थ है कि $\sin x < 0$। इसलिए,$|\sin x| = -\sin x$।
$L = \frac{1}{\sqrt{2}} \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\sin x}{x} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x}$।
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए $L = -\frac{1}{\sqrt{2}} \times 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।

(D) माना $f(x) = px^2 + qx + r$ है। चूँकि $a$ और $b$ मूल हैं,इसलिए $f(x) = p(x - a)(x - b)$ होगा।
हमें $L = \lim_{x \rightarrow b} \frac{1 - \cos 2(f(x))}{2(px - pb)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$1 - \cos 2(f(x)) = 2 \sin^2(f(x))$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = \lim_{x \rightarrow b} \frac{2 \sin^2(f(x))}{2 p^2(x - b)^2} = \frac{1}{p^2} \lim_{x \rightarrow b} \left( \frac{\sin(f(x))}{x - b} \right)^2$ होगा।
चूँकि $f(x) = p(x - a)(x - b)$ है,इसलिए $\frac{f(x)}{x - b} = p(x - a)$ होगा।
जैसे ही $x \rightarrow b$,$p(x - a) \rightarrow p(b - a)$ होगा।
इस प्रकार,$L = \frac{1}{p^2} \lim_{x \rightarrow b} \left( \frac{\sin(p(x - a)(x - b))}{p(x - a)(x - b)} \cdot p(x - a) \right)^2$ होगा।
चूँकि $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए $L = \frac{1}{p^2} \cdot (p(b - a))^2 = \frac{p^2(b - a)^2}{p^2} = (b - a)^2$ प्राप्त होता है।
नोट: दिए गए विकल्पों में त्रुटि प्रतीत होती है। $(b - a)^2$ का मान $a^2 - 2ab + b^2$ के बराबर है,जो विकल्प $D$ है।

(C) माना $y = \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(1+\frac{r}{100 n}\right)^{t n}$ है।
हम मानक सीमा सूत्र $\lim _{k \rightarrow \infty} (1+\frac{x}{k})^k = e^x$ जानते हैं।
यहाँ,$k = n$ लेने पर,व्यंजक $P \left[ \lim _{n \rightarrow \infty} (1+\frac{r/100}{n})^n \right]^t$ हो जाता है।
सीमा सूत्र का उपयोग करने पर,$\lim _{n \rightarrow \infty} (1+\frac{r/100}{n})^n = e^{r/100}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = P \left( e^{r/100} \right)^t = P e^{\frac{rt}{100}}$।

(B) $10$ अवलोकनों का माध्य $\bar{x} = 10$ दिया गया है:
$\frac{2+3+5+18+17+15+13+x+9+7}{10} = 10$
$\Rightarrow 89 + x = 100$
$\Rightarrow x = 11$
आंकड़ों का समूह ${2, 3, 5, 18, 17, 15, 13, 11, 9, 7}$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ के रूप में गणना की जाती है:

$x_i$	$|x_i - 10|$
$2$	$8$
$3$	$7$
$5$	$5$
$18$	$8$
$17$	$7$
$15$	$5$
$13$	$3$
$11$	$1$
$9$	$1$
$7$	$3$

निरपेक्ष विचलनों का योग $= 8+7+5+8+7+5+3+1+1+3 = 48$।
माध्य विचलन $= \frac{48}{10} = 4.8$।

(C) दिया गया डेटा $50, 70, 60, B, 20, 40$ है। परिसर अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर होता है,जो $65$ दिया गया है।
स्थिति $1$: यदि $B$ अधिकतम मान है,तो $B - 20 = 65$,जिसका अर्थ है $B = 85$।
स्थिति $2$: यदि $B$ न्यूनतम मान है,तो $70 - B = 65$,जिसका अर्थ है $B = 5$।
$B$ के संभावित मान $85$ और $5$ हैं।
इन मानों का निरपेक्ष अंतर $|85 - 5| = 80$ है।

(B) प्रथम पाँच विषम प्राकृतिक संख्याएँ $1, 3, 5, 7, 9$ हैं। उनका माध्य $\bar{x} = \frac{1+3+5+7+9}{5} = \frac{25}{5} = 5$ है।
माध्य विचलन $O = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{5} = \frac{|1-5| + |3-5| + |5-5| + |7-5| + |9-5|}{5} = \frac{4+2+0+2+4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ है।
प्रथम पाँच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं। उनका माध्य $\bar{y} = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$ है।
माध्य विचलन $P = \frac{\sum |y_i - \bar{y}|}{5} = \frac{|2-5.6| + |3-5.6| + |5-5.6| + |7-5.6| + |11-5.6|}{5} = \frac{3.6 + 2.6 + 0.6 + 1.4 + 5.4}{5} = \frac{13.6}{5} = 2.72$ है।
अतः,$P - O = 2.72 - 2.4 = 0.32$।

(B) प्रथम $15$ सम पूर्णांक $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+4+6+\dots+30}{15} = 16$.
माध्यिका $\tilde{x} = \left(\frac{15+1}{2}\right)^{\text{वां}}$ पद $= 8^{\text{वां}}$ पद $= 16$.
$M_1 = \text{माध्य से माध्य विचलन} = \frac{\sum_{i=1}^{15} |x_i - \bar{x}|}{15} = \frac{112}{15}$.
चूंकि माध्य और माध्यिका समान हैं,$M_2 = \text{माध्यिका से माध्य विचलन} = M_1 = \frac{112}{15}$.
अतः,$M_1 + M_2 = \frac{112}{15} + \frac{112}{15} = \frac{224}{15}$.

(A) दिए गए डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: $4, 4, 7, 12, 14, 15, 15, 23$।
यहाँ,पदों की संख्या $n = 8$ है,जो कि सम है।
अतः,माध्यिका $4$ थे और $5$ वें पद का औसत होगी।
माध्यिका $= \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$।
अब,हम सूत्र $\frac{\sum |x_i - \text{Median}|}{n}$ का उपयोग करके माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना करते हैं।

$x_i$	$|x_i - 13|$
$4$	$9$
$4$	$9$
$7$	$6$
$12$	$1$
$14$	$1$
$15$	$2$
$15$	$2$
$23$	$10$

निरपेक्ष विचलनों का योग $\sum |d_i| = 9 + 9 + 6 + 1 + 1 + 2 + 2 + 10 = 40$।
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $= \frac{40}{8} = 5$।

(D) दिया है,$\angle B = \frac{\pi}{4}$,$\angle C = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle ABC$ में,$\angle A = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{12} = 75^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C = 18(3 + \sqrt{3})$.
मान रखने पर,$R^2 \frac{3 + \sqrt{3}}{4} = 18(3 + \sqrt{3})$ $\Rightarrow R^2 = 72$ $\Rightarrow R = 6\sqrt{2}$.
अतः,$a = 2R \sin A = 2(6\sqrt{2}) \sin 75^{\circ} = 6(\sqrt{3} + 1)$.

(A) हमें $\frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(b + c)^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(b - c)^2}$ का मान ज्ञात करना है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2R(\sin B + \sin C))^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2R(\sin B - \sin C))^2}$
$= \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{\cos^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2})^2} + \frac{\sin^2 \left( \frac{B - C}{2} \right)}{(2 \cos \frac{B+C}{2} \sin \frac{B-C}{2})^2} \right]$
$= \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{1}{4 \sin^2 \frac{B+C}{2}} + \frac{1}{4 \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right]$
$= \frac{1}{16R^2} \left[ \frac{\cos^2 \frac{B+C}{2} + \sin^2 \frac{B+C}{2}}{\sin^2 \frac{B+C}{2} \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right]$
$= \frac{1}{16R^2} \left[ \frac{1}{\sin^2 \frac{B+C}{2} \cos^2 \frac{B+C}{2}} \right] = \frac{1}{4R^2} \left[ \frac{1}{\sin^2 (B+C)} \right]$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A$.
अतः,व्यंजक $\frac{1}{4R^2 \sin^2 A} = \frac{1}{(2R \sin A)^2} = \frac{1}{a^2}$ हो जाता है।

(D) दिया गया व्यंजक $\frac{1+\cos(A-B) \cdot \cos C}{1+\cos(A-C) \cdot \cos B}$ है।
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,इसलिए $C = 180^{\circ} - (A+B)$ और $B = 180^{\circ} - (A+C)$ होगा।
अतः,$\cos C = -\cos(A+B)$ और $\cos B = -\cos(A+C)$।
इन मानों को रखने पर:
$= \frac{1 - \cos(A-B)\cos(A+B)}{1 - \cos(A-C)\cos(A+C)}$
सर्वसमिका $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1 - (\cos^2 A - \sin^2 B)}{1 - (\cos^2 A - \sin^2 C)}$
$= \frac{1 - \cos^2 A + \sin^2 B}{1 - \cos^2 A + \sin^2 C}$
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 C}$
ज्या नियम (Sine Rule) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$ के अनुसार,$\sin A = \frac{a}{k}, \sin B = \frac{b}{k}, \sin C = \frac{c}{k}$ होगा।
$= \frac{(a/k)^2 + (b/k)^2}{(a/k)^2 + (c/k)^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}$।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ हैं जहाँ $a < b < c$,इसलिए $a = b - 1$ और $c = b + 1$ है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$(\cos A + \cos B + \cos C) 2abc = a(b^2 + c^2 - a^2) + b(a^2 + c^2 - b^2) + c(a^2 + b^2 - c^2)$ प्राप्त होता है।
$a = b - 1$ और $c = b + 1$ रखने पर:
$= (b - 1)(b^2 + (b + 1)^2 - (b - 1)^2) + b((b - 1)^2 + (b + 1)^2 - b^2) + (b + 1)((b - 1)^2 + b^2 - (b + 1)^2)$
$= (b - 1)(b^2 + 4b) + b(b^2 + 2) + (b + 1)(b^2 - 4b)$
$= 3b^3 - 6b = 3b(b^2 - 2)$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right) = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$
$= \frac{(b+c)^2-a^2}{bc} = \frac{b^2+c^2-a^2+2bc}{bc}$
$= \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} + 2 = 2\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) + 2$
$= 2\cos A + 2$
चूँकि $A+B+C = 180^{\circ}$ और $B+C = 72^{\circ}$,इसलिए $A = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$.
अतः,व्यंजक $2\cos 108^{\circ} + 2 = 2\cos(90^{\circ} + 18^{\circ}) + 2$
$= -2\sin 18^{\circ} + 2 = -2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) + 2$
$= \frac{1-\sqrt{5}}{2} + 2 = \frac{1-\sqrt{5}+4}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$.

(A) दिया है,$a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right) = \frac{3b}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A) = 3b$
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$
$(a + c) + (a \cos C + c \cos A) = 3b$
प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार,$a \cos C + c \cos A = b$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(a + c) + b = 3b$
$a + c = 2b$

(B) प्रोजेक्शन सूत्र का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $b = c \cos A + a \cos C$ और $c = b \cos A + a \cos B$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b - c \cos A}{c - b \cos A} = \frac{(c \cos A + a \cos C) - c \cos A}{(b \cos A + a \cos B) - b \cos A}$
$= \frac{a \cos C}{a \cos B}$
$= \frac{\cos C}{\cos B}$

(B) माना $\triangle ABC$ के कोण $(A-d), A, (A+d)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$(A-d) + A + (A+d) = 180^{\circ}$
$3A = 180^{\circ} \Rightarrow A = 60^{\circ}$।
कोण $A$ के लिए कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\frac{1}{2} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$bc = b^2+c^2-a^2$
$a^2 = b^2+c^2-bc$।
अतः,सही संबंध $a^2 = b^2+c^2-bc$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
दोनों पक्षों को $(a+b+c)$ से गुणा करने पर:
$\frac{a+b+c}{a+b} + \frac{a+b+c}{c+a} = 3$
$1 + \frac{c}{a+b} + 1 + \frac{b}{c+a} = 3$
$\frac{c}{a+b} + \frac{b}{c+a} = 1$
$c(c+a) + b(a+b) = (a+b)(c+a)$
$c^2 + ac + ab + b^2 = ac + a^2 + bc + ab$
$b^2 + c^2 - a^2 = bc$
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos A = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos A = \frac{1}{2}$,इसलिए $A = 60^{\circ}$
अतः,$\sin A = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(A) माना त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ इकाई हैं और संबंधित शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ इकाई हैं।
परिमाप $a + b + c = 2S$ है और क्षेत्रफल $P = \frac{1}{2}(ah_1) = \frac{1}{2}(bh_2) = \frac{1}{2}(ch_3)$ है।
अतः $h_1 = \frac{2P}{a}, h_2 = \frac{2P}{b}, h_3 = \frac{2P}{c}$ है।
अब,$P^2 \left[ \frac{(h_1 h_2 + h_2 h_3 + h_3 h_1)^2}{h_1^2 h_2^2 h_3^2} - 2 \right]$ में मान रखने पर:
$= P^2 \left[ \frac{(\frac{4P^2}{ab} + \frac{4P^2}{bc} + \frac{4P^2}{ca})^2}{(\frac{8P^3}{abc})^2} - 2 \right]$
$= P^2 \left[ \frac{16P^4 (\frac{2S}{abc})^2}{\frac{64P^6}{a^2b^2c^2}} - 2 \right] = S^2 - 2P^2$.

(C) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-c)^2}} = \frac{s}{s-c} = K$.
यहाँ $K = 1 + \frac{c}{s-c} = 1 + \frac{2c}{a+b-c}$.
त्रिभुज असमिका के अनुसार $a+b > c$ है,इसलिए $a+b-c > 0$,जिसका अर्थ है $K > 1$.
जैसे-जैसे $C \to 180^{\circ}$,$K \to \infty$.
अतः,$K$ का परिसर $(1, \infty)$ है.

(D) दिया है,$4 \Delta = c^2 - (a - b)^2$.
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर:
$4 \Delta = (c - a + b)(c + a - b)$.
$4$ से भाग देने पर:
$\Delta = \left(\frac{b + c - a}{2}\right) \left(\frac{a + c - b}{2}\right) = (s - a)(s - b)$,जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है।
हेरोन के सूत्र से,$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
अतः,$\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = (s - a)(s - b)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $s(s - a)(s - b)(s - c) = (s - a)^2(s - b)^2$.
$\frac{s(s - c)}{(s - a)(s - b)} = 1$.
हम जानते हैं कि $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)}$.
इसलिए,$\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = 1$,जिसका अर्थ है $\tan\left(\frac{C}{2}\right) = 1$.
$\frac{C}{2} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$\sin C = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-a)^2}{s^2}} = \frac{s-a}{s}$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर,$\frac{s-a}{s} = \frac{\frac{a+b+c}{2} - a}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{b+c-a}{b+c+a}$.
दिया है $b+c = 4a$,इसलिए:
$\frac{4a-a}{4a+a} = \frac{3a}{5a} = \frac{3}{5}$.

(A) हमें दिया गया है $r r_2 = r_1 r_3$।
सूत्रों $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-b}\right) = \left(\frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{\Delta}{s-c}\right)$
$\Rightarrow s(s-b) = (s-a)(s-c)$
इस समीकरण को हल करने पर हमें $B = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos 2B = \cos \pi = -1$।

(C) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $2s = a+b+c$ है।
अतः,$\frac{s}{s-b} = \frac{2s}{2s-2b} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2b} = \frac{(a+c)+b}{(a+c)-b}$।
दिया गया है कि $a+c=5b$,इसलिए $\frac{5b+b}{5b-b} = \frac{6b}{4b} = \frac{3}{2}$।

(B) त्रिभुज की दी गई भुजाएँ $a=12, b=16, c=20$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12+16+20}{2} = 24$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(12)(8)(4)} = 96$ है।
बाह्य-त्रिज्याएँ $r_A = \frac{\Delta}{s-a}, r_B = \frac{\Delta}{s-b}, r_C = \frac{\Delta}{s-c}$ हैं।
$r_C = \frac{96}{4} = 24, r_B = \frac{96}{8} = 12, r_A = \frac{96}{12} = 8$ है।
अनुपात $r_C : r_B : r_A = 24 : 12 : 8 = 6 : 3 : 2$ है।