TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है,$a:b:c = 4:5:6$. मान लीजिए $a=4x, b=5x, c=6x$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{4x+5x+6x}{2} = \frac{15x}{2}$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15x}{2} \cdot \frac{7x}{2} \cdot \frac{5x}{2} \cdot \frac{3x}{2}} = \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{4x \cdot 5x \cdot 6x}{4 \cdot \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{8x}{\sqrt{7}}$.
हम जानते हैं कि $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$. साथ ही,$r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15x^2\sqrt{7}/4}{15x/2} = \frac{\sqrt{7}x}{2}$.
अतः,$r_1+r_2+r_3 = 4R + \frac{\sqrt{7}x}{2} = 4(\frac{8x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sqrt{7}x}{2} = \frac{32x}{\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{7}x}{2} = \frac{64x+7x}{2\sqrt{7}} = \frac{71x}{2\sqrt{7}}$.
अंत में,$\frac{1}{4R}[r_1+r_2+r_3] = \frac{1}{4(8x/\sqrt{7})} \cdot \frac{71x}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{32x} \cdot \frac{71x}{2\sqrt{7}} = \frac{71}{64}$.

(B) दिया गया है: $r_1=12, r_2=6, r_3=4$.
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$s-a = \frac{\Delta}{12}, s-b = \frac{\Delta}{6}, s-c = \frac{\Delta}{4}$.
इनका योग करने पर,$(s-a)+(s-b)+(s-c) = 3s-(a+b+c) = s = \Delta(\frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}) = \Delta(\frac{1+2+3}{12}) = \frac{6\Delta}{12} = \frac{\Delta}{2}$.
अतः,$\Delta = 2s$.
अब,$s-a = \frac{2s}{12} = \frac{s}{6} \Rightarrow a = s - \frac{s}{6} = \frac{5s}{6}$.
$s-b = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3} \Rightarrow b = s - \frac{s}{3} = \frac{2s}{3}$.
$s-c = \frac{2s}{4} = \frac{s}{2} \Rightarrow c = s - \frac{s}{2} = \frac{s}{2}$.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ का उपयोग करने पर,$(2s)^2 = s(\frac{s}{6})(\frac{s}{3})(\frac{s}{2})$.
$4s^2 = \frac{s^4}{36}$ $\Rightarrow s^2 = 144$ $\Rightarrow s = 12$.
अतः $a = \frac{5 \times 12}{6} = 10, b = \frac{2 \times 12}{3} = 8, c = \frac{12}{2} = 6$.
इसलिए,$a+2b+3c = 10 + 2(8) + 3(6) = 10 + 16 + 18 = 44$.

(A) एक समबाहु त्रिभुज में,मान लीजिए भुजा की लंबाई $a$ है।
तब,अर्ध-परिमाप $s = \frac{3a}{2}$ और क्षेत्रफल $\Delta = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ है।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ है।
बहिःत्रिज्या $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।
अब,अनुपात $r : R : r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}} : \frac{a}{\sqrt{3}} : \frac{\sqrt{3}a}{2} = 1 : 2 : 3$ है।

(A) दिया है: $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$
$\Rightarrow \frac{s-c}{b-c}=\frac{s-a}{a-b}$
$\Rightarrow \frac{s-c}{(s-c)-(s-b)}=\frac{s-a}{(s-b)-(s-a)}$
चूँकि $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
$\Rightarrow \frac{\frac{\Delta}{r_3}}{\frac{\Delta}{r_3}-\frac{\Delta}{r_2}}=\frac{\frac{\Delta}{r_1}}{\frac{\Delta}{r_2}-\frac{\Delta}{r_1}}$
$\Rightarrow \frac{r_2}{r_2-r_3}=\frac{r_2}{r_1-r_2}$
$\Rightarrow r_1-r_2=r_2-r_3$
$\Rightarrow r_1+r_3=2r_2$
अतः,$r_1, r_2, r_3$ समांतर श्रेणी में हैं।

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B = (2R \sin B)^2 (2 \sin C \cos C) + (2R \sin C)^2 (2 \sin B \cos B)$
$= 8R^2 \sin^2 B \sin C \cos C + 8R^2 \sin^2 C \sin B \cos B$
$= 8R^2 \sin B \sin C (\sin B \cos C + \cos B \sin C)$
$= 8R^2 \sin B \sin C \sin (B + C)$
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\sin (B + C) = \sin (\pi - A) = \sin A$ है।
$= 8R^2 \sin A \sin B \sin C$
$= 2(2R \sin B)(2R \sin C) \sin A$
$= 2bc \sin A$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ होता है,इसलिए $bc \sin A = 2\Delta$ है।
अतः,$2bc \sin A = 2(2\Delta) = 4\Delta$.

(C) त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या उस वृत्त की त्रिज्या होती है जो त्रिभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरती है।
दी गई त्रिभुज की भुजाएँ $3$,$4$ और $5$ हैं।
चूँकि $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की आधी होती है।
यहाँ कर्ण सबसे लंबी भुजा $5$ है।
अतः,परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{\text{कर्ण}}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ होता है।
अतः,$\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}$,$\frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}$,और $\frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$ है।
इसलिए,$\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}\right) = \frac{a+b+c}{2\Delta} = \frac{2s}{2\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}\right)^2 = \frac{1}{r^2}$ प्राप्त होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{r} \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}\right)$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) हम प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं: $|x| < 1$ के लिए $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ और $|x| > 1$ के लिए $\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$।
$\tanh^{-1}(x)$ में $x = \frac{1}{3}$ रखने पर: $\tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3}\right) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \frac{1}{2} \log(2)$।
$\coth^{-1}(x)$ में $x = 2$ रखने पर: $\coth^{-1}(2) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{2+1}{2-1}\right) = \frac{1}{2} \log(3)$।
इन परिणामों को जोड़ने पर: $\frac{1}{2} \log(2) + \frac{1}{2} \log(3) = \frac{1}{2} \log(2 \times 3) = \frac{1}{2} \log(6) = \log(6^{1/2}) = \log \sqrt{6}$।

(D) माना $y = \frac{(x+2)(x+5)}{x+6}$.
$xy + 6y = x^2 + 7x + 10$
$x^2 + (7-y)x + (10-6y) = 0$
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $\Delta \geq 0$ होना चाहिए।
$(7-y)^2 - 4(10-6y) \geq 0$
$y^2 - 14y + 49 - 40 + 24y \geq 0$
$y^2 + 10y + 9 \geq 0$
$(y+1)(y+9) \geq 0$
अतः,$y \in (-\infty, -9] \cup [-1, \infty)$.
$y$ के वे मान जो परिसर में नहीं हैं,वे अंतराल $(-9, -1)$ में स्थित हैं।

(A) मान लीजिए $X$-अक्ष पर बिंदु $S = (x, 0)$ है और दिया गया बिंदु $P = (3, 4)$ है।
$S$ और $P$ के बीच की दूरी $d$ है,इसलिए $d^2 = (x - 3)^2 + (0 - 4)^2$.
$d^2 = (x - 3)^2 + 16$.
$(x - 3)^2 = d^2 - 16$.
यदि $d < 4$ है,तो $d^2 < 16$,जिसका अर्थ है कि $d^2 - 16 < 0$.
चूंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $d < 4$ के लिए $x$ का कोई वास्तविक मान नहीं है।
अतः,यदि $d < 4$ है तो $S$ एक रिक्त समुच्चय है।

(C) दिया गया है $g(x) = 3x^2 + 4x + 7$. $x=2$ के परितः टेलर विस्तार द्वारा,हमारे पास $g(x) = g(2) + g^{\prime}(2)(x-2) + \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!}(x-2)^2$ है।
समीकरण $\frac{3x^2+4x+7}{(x-2)^3} = \frac{A}{(x-2)^3} + \frac{B}{(x-2)^2} + \frac{C}{(x-2)}$ का अर्थ है $3x^2+4x+7 = A + B(x-2) + C(x-2)^2$.
इसकी तुलना टेलर विस्तार से करने पर,हमें $A = g(2)$,$B = g^{\prime}(2)$,और $C = \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!}$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर: $g(2) = 3(4)+4(2)+7 = 27$,$g^{\prime}(x) = 6x+4 \Rightarrow g^{\prime}(2) = 16$,$g^{\prime \prime}(x) = 6 \Rightarrow \frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!} = \frac{6}{2} = 3$.
अतः,$A=27, B=16, C=3$.
$A+B+C = 27+16+3 = 46$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $g(2)+g^{\prime}(2)+\frac{g^{\prime \prime}(2)}{2!} = 27+16+3 = 46$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिए गए समीकरण $2x^2 + y^2 = 20$ $(1)$ और $4y^2 - x^2 = 8$ $(2)$ हैं।
$(2)$ से,$x^2 = 4y^2 - 8$. इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4y^2 - 8) + y^2 = 20$
$8y^2 - 16 + y^2 = 20$
$9y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
चूंकि प्रतिच्छेदन $4^{th}$ चतुर्थांश में है,इसलिए $y = -2$ लेते हैं।
$y = -2$ को $x^2 = 4y^2 - 8$ में रखने पर:
$x^2 = 4(4) - 8 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}$.
$4^{th}$ चतुर्थांश में $x > 0$ होता है,अतः $x = 2\sqrt{2}$. बिंदु $(2\sqrt{2}, -2)$ है।
$(2)$ का अवकलन करने पर: $8y \frac{dy}{dx} - 2x = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4y}$.
$(2\sqrt{2}, -2)$ पर,$m_1 = \frac{2\sqrt{2}}{4(-2)} = -\frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$(1)$ का अवकलन करने पर: $4x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y}$.
$(2\sqrt{2}, -2)$ पर,$m_2 = -\frac{2(2\sqrt{2})}{-2} = 2\sqrt{2}$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-\frac{1}{2\sqrt{2}}) \times (2\sqrt{2}) = -1$,अतः वक्र लंबकोणीय हैं।
इसलिए,वक्रों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिए गए वक्र $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ $(i)$ और $x^2-y^2=5$ (ii) हैं।
(ii) से,$x^2 = 5+y^2$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5+y^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{20+4y^2+9y^2}{72} = 1 \Rightarrow 13y^2 = 52 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
यदि $y = 2$,तो $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. यदि $y = -2$,तो $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
प्रतिच्छेदन बिंदु: $A(3, 2), B(-3, 2), C(-3, -2), D(3, -2)$.
$(i)$ का अवकलन करने पर: $\frac{2x}{18} + \frac{2yy'}{8} = 0 \Rightarrow y' = -\frac{4x}{9y}$.
(ii) का अवकलन करने पर: $2x - 2yy' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.
$A(3, 2)$ पर: $m_1 = -\frac{4(3)}{9(2)} = -\frac{2}{3}$,$m_2 = \frac{3}{2}$.
$\tan \theta_1 = |\frac{3/2 - (-2/3)}{1 + (3/2)(-2/3)}| = |\frac{13/6}{0}| \to \infty \Rightarrow \theta_1 = 90^\circ$.
दोनों अक्षों के सापेक्ष वक्रों की समरूपता के कारण,चारों बिंदुओं पर प्रतिच्छेदन कोण समान रहेगा।
अतः,$\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta_4$.

(A) दिए गए वक्र हैं:
$x^2+y^2=2020 \sqrt{2} \quad (i)$
$x^2-y^2=2020 \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2x^2 = 2020(\sqrt{2}+1) \implies x^2 = 1010(\sqrt{2}+1)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$2y^2 = 2020(\sqrt{2}-1) \implies y^2 = 1010(\sqrt{2}-1)$
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2yy' = 0 \implies y' = -\frac{x}{y} = m_1$
वक्र $(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x - 2yy' = 0 \implies y' = \frac{x}{y} = m_2$
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{1 + (-\frac{x}{y})(\frac{x}{y})} \right| = \left| \frac{-\frac{2x}{y}}{1 - \frac{x^2}{y^2}} \right| = \left| \frac{-2xy}{y^2 - x^2} \right|$
$(ii)$ से,$y^2 - x^2 = -2020$. साथ ही $x^2y^2 = (1010)^2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (1010)^2$,इसलिए $xy = \pm 1010$.
$\tan \theta = \left| \frac{-2(\pm 1010)}{-2020} \right| = |\pm 1| = 1$
चूंकि $\theta$ न्यून कोण है,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\tan \theta} = \frac{\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)}{\tan(\pi/4)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) हम जानते हैं कि $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ होता है।
माना $u = \cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ है।
$u$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\cosh y$ फलन का विश्लेषण करते हैं।
$\cosh y$ एक मानक हाइपरबोलिक फलन है जिसे $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$e^y > 0$ और $e^{-y} > 0$ होता है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमानता के अनुसार,$\frac{e^y + e^{-y}}{2} \ge \sqrt{e^y \cdot e^{-y}} = \sqrt{e^0} = 1$ होता है।
समानता तब प्राप्त होती है जब $e^y = e^{-y}$ हो,जिसका अर्थ है $e^{2y} = 1$,इसलिए $y = 0$ है।
चूंकि $y = \log_2 \sin x$ है,हम जांचते हैं कि क्या $y=0$ संभव है। $y=0 \implies \log_2 \sin x = 0 \implies \sin x = 2^0 = 1$ है।
चूंकि $x = \frac{\pi}{2}$ के लिए $\sin x = 1$ संभव है,इसलिए $y=0$ मान प्राप्त किया जा सकता है।
अतः,$\cosh y$ का न्यूनतम मान $1$ है।

(A) दिया गया है $\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
$(x-1)(x-2)(x-3)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $1=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)$.
$x=1$ के लिए,$1=A(1-2)(1-3) \Rightarrow A=\frac{1}{2}$.
$x=2$ के लिए,$1=B(2-1)(2-3) \Rightarrow B=-1$.
$x=3$ के लिए,$1=C(3-1)(3-2) \Rightarrow C=\frac{1}{2}$.
अतः,$A+2B+3C = \frac{1}{2} + 2(-1) + 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$.
अब,$\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{P}{x-1}+\frac{Q}{x-2}+\frac{R}{x-3}$ के लिए,हमारे पास है $x=P(x-2)(x-3)+Q(x-1)(x-3)+R(x-1)(x-2)$.
$x=1$ के लिए,$1=P(1-2)(1-3) \Rightarrow P=\frac{1}{2}$.
$x=2$ के लिए,$2=Q(2-1)(2-3) \Rightarrow Q=-2$.
$x=3$ के लिए,$3=R(3-1)(3-2) \Rightarrow R=\frac{3}{2}$.
$P+Q+R = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$ की गणना करने पर.
चूंकि दोनों व्यंजक $0$ के बराबर हैं,इसलिए $A+2B+3C = P+Q+R$.

(D) $\frac{px+q}{(x+a)(x^2+b^2)}$ के लिए आंशिक भिन्न का रूप $\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+b^2}$ होता है।
$\frac{9x-7}{(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ रखें।
दोनों पक्षों को $(x+3)(x^2+1)$ से गुणा करने पर,हमें $9x-7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+3)$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $9x-7 = Ax^2 + A + Bx^2 + 3Bx + Cx + 3C = (A+B)x^2 + (3B+C)x + (A+3C)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B = 0 \implies B = -A$
$3B+C = 9$
$A+3C = -7$
दूसरे समीकरण में $B = -A$ रखने पर: $3(-A) + C = 9 \implies -3A + C = 9 \implies C = 9 + 3A$.
तीसरे समीकरण में $C$ का मान रखने पर: $A + 3(9 + 3A) = -7 \implies A + 27 + 9A = -7 \implies 10A = -34 \implies A = -\frac{34}{10} = -\frac{17}{5}$.
अतः $B = -A = \frac{17}{5}$ और $C = 9 + 3(-\frac{17}{5}) = \frac{45-51}{5} = -\frac{6}{5}$.
इन मानों को वापस रखने पर,हमें $\frac{-17}{5(x+3)} + \frac{\frac{17}{5}x - \frac{6}{5}}{x^2+1} = \frac{-17}{5(x+3)} + \frac{17x-6}{5(x^2+1)}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया है,$\frac{9x-7}{(x+3)(x^2+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
अंशों की तुलना करने पर:
$9x-7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+3)$
$9x-7 = (A+B)x^2 + (3B+C)x + (A+3C)$
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B = 0$
$3B+C = 9$
$A+3C = -7$
समीकरणों को हल करने पर,$A = -\frac{17}{5}, B = \frac{17}{5}, C = -\frac{6}{5}$
अतः,$A+B+C = -\frac{17}{5} + \frac{17}{5} - \frac{6}{5} = -\frac{6}{5}$

(A) दी गई असमिकाएं $x^2 < 4x + 77$ और $x^2 > 4$ हैं।
पहले,$x^2 - 4x < 77$ को हल करें।
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर,$x^2 - 4x + 4 < 77 + 4$,जो $(x - 2)^2 < 81$ हो जाता है।
वर्गमूल लेने पर,$-9 < x - 2 < 9$,जिससे $-7 < x < 11$ प्राप्त होता है।
अगला,$x^2 > 4$ को हल करें,जिसका अर्थ है $x^2 - 4 > 0$,यानी $(x - 2)(x + 2) > 0$।
यह स्थिति $x > 2$ या $x < -2$ के लिए सत्य है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $(-7 < x < 11)$ और $(x > 2 \text{ या } x < -2)$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ समुच्चय $(-7, -2) \cup (2, 11)$ है।
इस समुच्चय में ऋणात्मक पूर्णांक $\{-6, -5, -4, -3\}$ हैं।
इस समुच्चय में सबसे छोटा ऋणात्मक पूर्णांक $-6$ है।

(B) माना कि दिए गए बिंदु $A(2,-1,3), B(4,-2,1), C(4,5,-7)$ और $D(2,6,-5)$ हैं।
सबसे पहले,हम विकर्णों $AC$ और $BD$ के मध्य-बिंदु ज्ञात करते हैं:
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{2+4}{2}, \frac{-1+5}{2}, \frac{3-7}{2}\right) = (3, 2, -2)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-2+6}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 2, -2)$.
चूंकि विकर्णों के मध्य-बिंदु समान हैं,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,भुजाओं की लंबाई की जाँच करते हैं:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (-2 - (-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(4-4)^2 + (5 - (-2))^2 + (-7-1)^2} = \sqrt{0^2 + 7^2 + (-8)^2} = \sqrt{0+49+64} = \sqrt{113}$.
चूंकि $AB \neq BC$,यह वर्ग या समचतुर्भुज नहीं है।
अब,आसन्न भुजाओं का डॉट गुणनफल ज्ञात करके जाँचें कि क्या यह एक आयत है:
$\vec{AB} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = 0\hat{i} + 7\hat{j} - 8\hat{k}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (2)(0) + (-1)(7) + (-2)(-8) = 0 - 7 + 16 = 9 \neq 0$.
चूंकि डॉट गुणनफल शून्य नहीं है,इसलिए भुजाएं लंबवत नहीं हैं।
अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(A) माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $D, E, F$ क्रमशः $AB, BC, CA$ के मध्य बिंदु हैं:
$D = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right) = (1, 2, -3) \Rightarrow x_1+x_2=2, y_1+y_2=4, z_1+z_2=-6$
$E = \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}, \frac{z_2+z_3}{2}\right) = (3, 0, 1) \Rightarrow x_2+x_3=6, y_2+y_3=0, z_2+z_3=2$
$F = \left(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}, \frac{z_1+z_3}{2}\right) = (-1, 1, -4) \Rightarrow x_1+x_3=-2, y_1+y_3=2, z_1+z_3=-8$
$x_1, x_2, x_3$ के लिए हल करने पर: $(x_1+x_2)+(x_2+x_3)+(x_1+x_3) = 2+6-2 = 6 \Rightarrow 2(x_1+x_2+x_3)=6 \Rightarrow x_1+x_2+x_3=3$. अतः $x_3=3-2=1, x_1=3-6=-3, x_2=3-(-2)=5$.
इसी प्रकार $y$ के लिए: $y_1+y_2+y_3 = \frac{4+0+2}{2} = 3$. अतः $y_3=3-4=-1, y_1=3-0=3, y_2=3-2=1$.
इसी प्रकार $z$ के लिए: $z_1+z_2+z_3 = \frac{-6+2-8}{2} = -6$. अतः $z_3=-6-(-6)=0, z_1=-6-2=-8, z_2=-6-(-8)=2$.
अतः,$A(-3, 3, -8)$,$D(1, 2, -3)$,और $F(-1, 1, -4)$.
$\triangle ADF$ का केंद्रक $\left(\frac{-3+1-1}{3}, \frac{3+2+1}{3}, \frac{-8-3-4}{3}\right) = \left(\frac{-3}{3}, \frac{6}{3}, \frac{-15}{3}\right) = (-1, 2, -5)$ है।

(A) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का केंद्रक $(G)$ सूत्र $G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $A(3,4,5)$,$B(6,7,2)$ और $C(x, y, z)$ हैं और केंद्रक $(3,2,3)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3 = \frac{3+6+x}{3} \implies 9 = 9+x \implies x = 0$.
$2 = \frac{4+7+y}{3} \implies 6 = 11+y \implies y = -5$.
$3 = \frac{5+2+z}{3} \implies 9 = 7+z \implies z = 2$.
अतः,$x+y+z = 0 + (-5) + 2 = -3$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि बिंदु $B$,रेखाखंड $AC$ को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ के निर्देशांक हैं:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
दिया गया है कि $B = \left( \frac{33}{5}, \frac{28}{5}, \frac{38}{5} \right)$,इसलिए $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{9k + 3}{k + 1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$45k - 33k = 33 - 15$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
अतः,अनुपात $k: 1$ का मान $3: 2$ है।

(D) माना कि $B$,रेखाखंड $\overline{AC}$ को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$B$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$\frac{9k + 3}{k+1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
अतः,अनुपात $k: 1$ का मान $\frac{3}{2}: 1$ अर्थात $3: 2$ है।

(A) मान लीजिए $P(A)$ छात्र $A$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता है और $P(B)$ छात्र $B$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता है।
दिया गया है कि $P(A) = \frac{2}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$।
समस्या तब हल होती है यदि उनमें से कम से कम एक इसे हल कर ले।
$P(\text{समस्या हल होती है}) = 1 - P(\text{समस्या हल नहीं होती है})$।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी इसे हल न करे,$P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$ है।
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$।
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
$P(\text{समस्या हल होती है}) = 1 - (\frac{3}{5} \times \frac{1}{4}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$।

(C) $3n$ क्रमागत पूर्णांकों को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर तीन समूहों में विभाजित करें:
$G_1 = \{x, x+3, \dots, x+3(n-1)\}$
$G_2 = \{x+1, x+4, \dots, x+3(n-1)+1\}$
$G_3 = \{x+2, x+5, \dots, x+3(n-1)+2\}$
प्रत्येक समूह में $n$ पूर्णांक हैं।
तीन पूर्णांकों का योग $3$ से विभाज्य होने के लिए,या तो तीनों एक ही समूह से होने चाहिए या प्रत्येक समूह से एक पूर्णांक चुना जाना चाहिए।
एक ही समूह से $3$ चुनने के तरीके: $3 \times \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{2}$.
प्रत्येक समूह से एक चुनने के तरीके: $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^3$.
कुल अनुकूल तरीके: $\frac{n(n-1)(n-2)}{2} + n^3 = \frac{3n^3-3n^2+2n}{2}$.
कुल प्रतिदर्श समष्टि: $\binom{3n}{3} = \frac{n(3n-1)(3n-2)}{2}$.
प्रायिकता: $\frac{3n^2-3n+2}{(3n-1)(3n-2)}$.

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 8 + 3 + 9 = 20$.
$20$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके $n(S) = {}^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$8$ लाल गेंदों में से $2$ और $3$ सफेद गेंदों में से $1$ गेंद चुनने के तरीके $n(E) = {}^{8}C_2 \times {}^{3}C_1 = 28 \times 3 = 84$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{84}{1140} = \frac{7}{95}$.

(A) माना $M$ गणित की कक्षा में भाग लेने वाले छात्रों का समुच्चय है और $P$ भौतिकी की कक्षा में भाग लेने वाले छात्रों का समुच्चय है। दिया गया है: $P(M) = 40 \%$,$P(P) = 30 \%$,और $P(M \cap P) = 20 \%$.
केवल गणित की कक्षा में भाग लेने वाले छात्रों की प्रायिकता $P(M) - P(M \cap P) = 40 \% - 20 \% = 20 \%$ है।
केवल भौतिकी की कक्षा में भाग लेने वाले छात्रों की प्रायिकता $P(P) - P(M \cap P) = 30 \% - 20 \% = 10 \%$ है।
छात्र द्वारा केवल एक कक्षा में भाग लेने की प्रायिकता केवल गणित और केवल भौतिकी में भाग लेने वाले छात्रों की प्रायिकताओं का योग है: $20 \% + 10 \% = 30 \%$.
भिन्न में बदलने पर,$30 \% = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$.

(B) पूर्णांकों का समुच्चय $S = \{x \in Z \mid -25 \leq x \leq 25, x \neq 0\}$ है। कुल अवयवों की संख्या $50$ है।
असमिका $x + 6 \leq \frac{135}{x}$ को हल करने पर,हमें $\frac{x^2 + 6x - 135}{x} \leq 0$ प्राप्त होता है।
अंश का गुणनखंड करने पर,$\frac{(x + 15)(x - 9)}{x} \leq 0$ प्राप्त होता है।
चिह्न विधि का उपयोग करने पर,असमिका का हल समुच्चय $x \in (-\infty, -15] \cup (0, 9]$ है।
इसे दिए गए समुच्चय $S$ के साथ प्रतिच्छेद करने पर,हमें $x \in [-25, -15] \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ प्राप्त होता है।
$[-25, -15]$ में पूर्णांकों की संख्या $11$ है और $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में पूर्णांकों की संख्या $9$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 11 + 9 = 20$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$.

(A) $2520$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ है।
कुल भाजकों की संख्या $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48$ है।
उचित भाजकों की संख्या $48 - 2 = 46$ है।
विषम भाजकों की संख्या $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$ है।
इन $12$ भाजकों में $1$ भी शामिल है,जो उचित भाजकों में गिना जाता है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{12-1}{46} = \frac{11}{46}$ है।

(D) दिया है,$P(A \cup B)=0.8$ और $P(A \cap B)=0.3$।
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
अतः,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$।
हमें $P(A^C) + P(B^C)$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $P(E^C) = 1 - P(E)$ का उपयोग करने पर:
$P(A^C) + P(B^C) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
$P(A) + P(B)$ का मान रखने पर:
$P(A^C) + P(B^C) = 2 - 1.1 = 0.9$।

(C) मान लीजिए $P(A), P(B), P(C)$ क्रमशः $A, B, C$ द्वारा गुब्बारे को निशाना बनाने की प्रायिकताएं हैं।
$P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$,इसलिए $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$P(B) = \frac{3}{5}$,इसलिए $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
$P(C) = \frac{2}{3}$,इसलिए $P(\bar{C}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
कम से कम दो लोगों द्वारा निशाना लगाने का अर्थ है कि ठीक दो लोग निशाना लगाएं या तीनों लोग निशाना लगाएं।
प्रायिकता (ठीक दो निशाना लगाएं) = $P(A)P(B)P(\bar{C}) + P(A)P(\bar{B})P(C) + P(\bar{A})P(B)P(C)$
$= (\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3})$
$= \frac{6}{45} + \frac{8}{45} + \frac{6}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.
प्रायिकता (तीनों निशाना लगाएं) = $P(A)P(B)P(C) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$.
कुल प्रायिकता = $\frac{20}{45} + \frac{12}{45} = \frac{32}{45}$.

(B) $40$ पूर्णांकों में से $2$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके संचय सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल परिणाम $= {}^{40}C_{2} = \frac{40 \times 39}{2 \times 1} = 20 \times 39 = 780$.
दो पूर्णांकों का योग विषम होने के लिए,एक संख्या सम और दूसरी विषम होनी चाहिए।
$40$ क्रमागत पूर्णांकों में $20$ सम और $20$ विषम पूर्णांक होते हैं।
$20$ में से एक सम पूर्णांक चुनने के तरीके $= {}^{20}C_{1} = 20$.
$20$ में से एक विषम पूर्णांक चुनने के तरीके $= {}^{20}C_{1} = 20$.
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $= 20 \times 20 = 400$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{400}{780}$.
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $G$ एक लड़की को और $B$ एक लड़के को दर्शाता है। प्रत्येक समूह के लिए प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
समूह $A$: $P(G_A) = \frac{3}{4}$,$P(B_A) = \frac{1}{4}$
समूह $B$: $P(G_B) = \frac{2}{4}$,$P(B_B) = \frac{2}{4}$
समूह $C$: $P(G_C) = \frac{1}{4}$,$P(B_C) = \frac{3}{4}$
हमें $1$ लड़की और $2$ लड़के चुनने हैं। संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:

स्थिति	$A, B, C$ से चयन	प्रायिकता
$1$	$G, B, B$	$\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{64}$
$2$	$B, G, B$	$\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{64}$
$3$	$B, B, G$	$\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{64}$

कुल प्रायिकता $= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(A) मान लीजिए कि बक्से $Q$ से निकाली गई पर्ची पर संख्या $x$ है और बक्से $P$ से निकाली गई पर्ची पर संख्या $y$ है। $x$ और $y$ दोनों पूर्णांक हैं जैसे कि $1 \leq x, y \leq 100$।
हमें शर्त दी गई है कि $y = x^2$।
चूंकि $y \leq 100$,इसलिए $x^2 \leq 100$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $x \leq 10$।
अतः,संभावित जोड़े $(x, y)$ हैं: $(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36), (7, 49), (8, 64), (9, 81), (10, 100)$।
ऐसे $10$ अनुकूल परिणाम हैं।
प्रत्येक बक्से से एक पर्ची निकालते समय कुल संभावित परिणामों की संख्या $100 \times 100 = 10000$ है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000}$।
इसे प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{1}{1000} \times 100\% = 0.1\%$।

(D) जब एक पासे को $3$ बार फेंका जाता है तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
दी गई शर्त $\omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} = -\omega^{\beta_3}$ को $\omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} + \omega^{\beta_3} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,$\omega^n$ का मान $n \equiv 1, 2, 0 \pmod{3}$ के आधार पर $\omega, \omega^2, 1$ हो सकता है।
योग शून्य होने के लिए,${\omega^{\beta_1}, \omega^{\beta_2}, \omega^{\beta_3}}$ को ${1, \omega, \omega^2}$ का एक क्रमचय (permutation) होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ में से एक $3k$ रूप की,एक $3k+1$ रूप की और एक $3k+2$ रूप की होनी चाहिए।
समुच्चय ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ में प्रत्येक प्रकार की दो संख्याएँ हैं:
प्रकार $0$ $(n \equiv 0 \pmod{3})$: ${3, 6}$
प्रकार $1$ $(n \equiv 1 \pmod{3})$: ${1, 4}$
प्रकार $2$ $(n \equiv 2 \pmod{3})$: ${2, 5}$
प्रत्येक समुच्चय से एक संख्या चुनने के तरीके $2 \times 2 \times 2 = 8$ हैं।
चूंकि $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ का क्रम मायने रखता है,हम $3! = 6$ से गुणा करेंगे।
अनुकूल परिणाम $= 8 \times 6 = 48$।
प्रायिकता $= \frac{48}{216} = \frac{2}{9}$।

(A) आवृत्ति वितरण $f_i = 2i$ है,जहाँ $x_i = i$ और $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f_i$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$

कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 2(1+2+3+4+5+6) = 2(21) = 42$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)}{42} = \frac{2(91)}{42} = \frac{182}{42} = \frac{13}{3}$.
माध्य से माध्य विचलन $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N}$.
$MD = \frac{2|1-\frac{13}{3}| + 4|2-\frac{13}{3}| + 6|3-\frac{13}{3}| + 8|4-\frac{13}{3}| + 10|5-\frac{13}{3}| + 12|6-\frac{13}{3}|}{42}$.
$MD = \frac{2(\frac{10}{3}) + 4(\frac{7}{3}) + 6(\frac{4}{3}) + 8(\frac{1}{3}) + 10(\frac{2}{3}) + 12(\frac{5}{3})}{42}$.
$MD = \frac{20 + 28 + 24 + 8 + 20 + 60}{3 \times 42} = \frac{160}{126} = \frac{80}{63}$.