मान लीजिए f(x)=a x^2+b x+c और a, b, c का GCD | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x)=a x^2+b x+c$ और $GCD(a, b, c)=1$ है। चूंकि $\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}$ समीकरण $f(x)=0$ का एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $\frac{-7-\s

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$1, 25$

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(B) दिया गया है $f(x)=a x^2+b x+c$ और $GCD(a, b, c)=1$ है। चूंकि $\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}$ समीकरण $f(x)=0$ का एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}$ भी एक मूल होगा। मूलों का योग $= \frac{-7+\sqrt{11} i}{6} + \frac{-7-\sqrt{11} i}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -\frac{b}{a} \implies \frac{b}{a} = \frac{7}{3}$. मूलों का गुणनफल $= \left(\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}\right) \left(\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}\right) = \frac{49+11}{36} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3} = \frac{c}{a}$. अतः,$a=3, b=7, c=5$,जो $GCD(3, 7, 5)=1$ को संतुष्ट करता है। इसलिए,$f(x) = 3x^2+7x+5$. दिया गया है $f\left(\frac{x}{k}\right)-L = (x+4)(3x-5) = 3x^2+7x-20$. $f\left(\frac{x}{k}\right) = 3\left(\frac{x}{k}\right)^2 + 7\left(\frac{x}{k}\right) + 5$ रखने पर: $3\frac{x^2}{k^2} + \frac{7x}{k} + 5 - L = 3x^2 + 7x - 20$. गुणांकों की तुलना करने पर: $\frac{3}{k^2} = 3 \implies k^2 = 1 \implies k = 1$. $\frac{7}{k} = 7 \implies k = 1$. $5 - L = -20 \implies L = 25$. अतः,$k=1$ और $L=25$.

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