TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $\cos 6x + \cos 4x + \cos 2x = -1$ अंतराल $[0, \pi]$ में।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\cos 6x + 1) + (\cos 4x + \cos 2x) = 0$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$1 + \cos 6x = 2\cos^2 3x$ प्राप्त होता है।
योग-से-गुणन सूत्र $\cos C + \cos D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर,$\cos 4x + \cos 2x = 2\cos 3x \cos x$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $2\cos^2 3x + 2\cos 3x \cos x = 0$.
$2\cos 3x$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $2\cos 3x(\cos 3x + \cos x) = 0$.
पुनः योग-से-गुणन सूत्र का उपयोग करने पर: $2\cos 3x(2\cos 2x \cos x) = 0$,जो $4\cos x \cos 2x \cos 3x = 0$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $\cos x = 0$ या $\cos 2x = 0$ या $\cos 3x = 0$.
$[0, \pi]$ में $\cos x = 0$ के लिए,$x = \frac{\pi}{2} (90^{\circ})$.
$[0, \pi]$ में $\cos 2x = 0$ के लिए,$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} (45^{\circ}), \frac{3\pi}{4} (135^{\circ})$.
$[0, \pi]$ में $\cos 3x = 0$ के लिए,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} (30^{\circ}), \frac{\pi}{2} (90^{\circ}), \frac{5\pi}{6} (150^{\circ})$.
विशिष्ट हल $\{30^{\circ}, 45^{\circ}, 90^{\circ}, 135^{\circ}, 150^{\circ}\}$ हैं।
अतः,कुल $5$ हल हैं।

(C) हमारे पास $\operatorname{cosec} 2A + \cot 2A = \frac{1}{\sin 2A} + \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \frac{1 + \cos 2A}{\sin 2A}$ है।
सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$ और $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \cos^2 A}{2 \sin A \cos A} = \frac{\cos A}{\sin A} = \cot A$.
अब,$\cot A$ को $\tan A$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\tan^2 A + 1 - \tan^2 A}{\tan A} = \tan A + \frac{1 - \tan^2 A}{\tan A}$.
चूंकि $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$,इसलिए $\cot 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{2 \tan A}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1 - \tan^2 A}{\tan A} = 2 \cot 2A$.
अतः,$\operatorname{cosec} 2A + \cot 2A = \tan A + 2 \cot 2A$.

(D) माना $S = \cos \frac{2 \pi}{7}+\cos \frac{4 \pi}{7}+\cos \frac{6 \pi}{7}+\cos \pi$ है।
चूंकि $\cos \pi = -1$,इसलिए $S = \cos \frac{2 \pi}{7}+\cos \frac{4 \pi}{7}+\cos \frac{6 \pi}{7}-1$ है।
समांतर श्रेणी में कोसाइन के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$C = \cos \frac{2 \pi}{7}+\cos \frac{4 \pi}{7}+\cos \frac{6 \pi}{7} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$।

(B) दिया गया है $\cos 3x = \sin 4x$.
इसे $\cos 3x = \cos \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सामान्य हल $\cos \theta = \cos \alpha \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$:
स्थिति $1$: $3x = 2n\pi + \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)
$ $\Rightarrow 7x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}
$ $\Rightarrow x = \frac{2n\pi}{7} + \frac{\pi}{14}$.
$n=0$ के लिए,$x = \frac{\pi}{14}$ जो अंतराल में है।
स्थिति $2$: $3x = 2n\pi - \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)
\Rightarrow x = -2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
इस स्थिति में कोई भी मान अंतराल में नहीं है।
अतः,कुल $1$ हल प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$। चूंकि $\cos \theta$ ऋणात्मक है,$\theta$ दूसरे या तीसरे चतुर्थांश में स्थित है। $\cos \theta = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{3\pi}{4}$ या $\cos \theta = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{5\pi}{4}$।
दिया गया है $\tan \theta = 1$। चूंकि $\tan \theta$ धनात्मक है,$\theta$ पहले या तीसरे चतुर्थांश में स्थित है। $\tan \theta = \tan \frac{\pi}{4}$ या $\tan \theta = \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan \frac{5\pi}{4}$।
दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला सामान्य मान $\theta = \frac{5\pi}{4}$ है।
$\theta$ के लिए व्यापक हल $2n\pi + \frac{5\pi}{4}$ है,जिसे $2n\pi + \pi + \frac{\pi}{4} = (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \ldots$।

(B) दिया गया त्रिकोणमितीय समीकरण है: $\tan \theta + \sec \theta = 2 \cos \theta$।
$\cos \theta$ से गुणा करने पर ($\cos \theta \neq 0$ के लिए):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow 1 + \sin \theta = 2 \cos^2 \theta$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 + \sin \theta = 2(1 - \sin^2 \theta)$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
अतः $\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -1$।
अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $\sin \theta = \frac{1}{2}$ के लिए $\theta = \frac{\pi}{6}$ या $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $\sin \theta = -1$ के लिए $\theta = \frac{3 \pi}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल समीकरण में $\tan \theta$ और $\sec \theta$ शामिल हैं,इसलिए $\theta = \frac{3 \pi}{2}$ पर ये अपरिभाषित हैं।
अतः,मान्य हल $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ हैं।
इस प्रकार,हलों की संख्या $2$ है।

(A) दिया गया व्यंजक: $(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)(1+\cot^2 \theta)$
सर्वसमिका $(1-x)(1+x) = 1-x^2$ का उपयोग करने पर:
$(1-\cos^2 \theta)(1+\cot^2 \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ और $1+\cot^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \sin^2 \theta \cdot \operatorname{cosec}^2 \theta$
$= \sin^2 \theta \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta} = 1$
अतः,$\theta$ के किसी भी मान के लिए (जहाँ $\sin \theta \neq 0$ हो),व्यंजक का मान $1$ होता है। इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{15}$ के लिए उत्तर $1$ है.

(B) दिया गया है $t=\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{k}\right)$.
लघुगणकीय रूपों $\operatorname{sech}^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ और $\operatorname{cosech}^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$ का उपयोग करने पर:
$t=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-(1/2)^2}}{1/2}\right)-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+(3/k)^2}}{3/k}\right)$
$t=\ln(2+\sqrt{3})-\ln\left(\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}\right)$.
दिया गया है $3e^t=2+\sqrt{3}$,इसलिए $e^t=\frac{2+\sqrt{3}}{3}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $t=\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$.
$t$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)=\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}}\right)$.
इसका अर्थ है $\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}=3$,अतः $k+\sqrt{k^2+9}=9$.
$\sqrt{k^2+9}=9-k$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $k^2+9=81+k^2-18k$.
$18k=72$,जिससे $k=4$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$\theta \in (-\pi, \pi)$ और $6 \cos 2 \theta + 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin^2 \theta = 0$।
$\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ और $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta$ का उपयोग करने पर,समीकरण बनता है:
$6(2 \cos^2 \theta - 1) + (1 + \cos \theta) + 2 \sin^2 \theta = 0$.
$10 \cos^2 \theta + \cos \theta - 3 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(5 \cos \theta - 3)(2 \cos \theta + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ या $\cos \theta = -\frac{1}{2}$।
इससे $\theta$ के मान $\pm \cos^{-1}(\frac{3}{5})$ और $\pm \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिए गए समीकरण $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin(A-B) = 1$ से,हमें $\sin(A-B) = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$,हमें $\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 B} = \frac{\sin(A-B)\sin(A+B)}{\sin^2 A + \sin^2 B}$ मिलता है।
चूंकि $\angle C = 90^{\circ}$,$A+B = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin(A+B) = 1$ है।
अतः,$\sin(A-B) = \frac{\sin(A-B)}{\sin^2 A + \sin^2 B}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\sin^2 A + \sin^2 B = 1$। चूंकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ और $\sin B = \cos A$ है,यह सुसंगत है।
$\sin(A-B) > 0$ के लिए,$A > B$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a > b$ है।
$\angle C = 90^{\circ}$ वाले समकोण त्रिभुज में,कर्ण $c$ सबसे लंबी भुजा होती है।
इसलिए,$c > a > b$।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$2 \sin^2 x + \sin^2 2x = 2$ ... $(i)$
$\sin 2x + \cos 2x = \tan x$ ... (ii)
$(i)$ से:
$2 \sin^2 x + (2 \sin x \cos x)^2 = 2$
$2 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2$
$2 \sin^2 x (1 + 2 \cos^2 x) = 2$
$2 \sin^2 x (1 + 2(1 - \sin^2 x)) = 2$
$2 \sin^2 x (3 - 2 \sin^2 x) = 2$
$6 \sin^2 x - 4 \sin^4 x = 2$
$2 \sin^4 x - 3 \sin^2 x + 1 = 0$
$(2 \sin^2 x - 1)(\sin^2 x - 1) = 0$
$\sin^2 x = \frac{1}{2}$ या $\sin^2 x = 1$
यदि $\sin^2 x = \frac{1}{2}$,तो $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = 0$,अतः $2x = (2k+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow x = (2k+1)\frac{\pi}{4}$.
यदि $\sin^2 x = 1$,तो $\cos^2 x = 0$,अतः $x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$.
(ii) से:
$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} + \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \tan x$
$2 \tan x + 1 - \tan^2 x = \tan x + \tan^3 x$
$\tan^3 x + \tan^2 x - \tan x - 1 = 0$
$(\tan^2 x - 1)(\tan x + 1) = 0$
$(\tan x - 1)(\tan x + 1)^2 = 0$
$\tan x = 1$ या $\tan x = -1$
$x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ या $x = n\pi - \frac{\pi}{4}$,जो $x = (2n \pm 1)\frac{\pi}{4}$ है।
हलों की तुलना करने पर,उभयनिष्ठ समुच्चय $x = (2n + 1)\frac{\pi}{4}$ है।

(A) माना $S = \sum_{k=1}^{8} \cos^4 \frac{k\pi}{8}$.
गुणधर्म $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर,$\cos^4(\pi - \theta) = \cos^4 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos^4 \frac{7\pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$,$\cos^4 \frac{6\pi}{8} = \cos^4 \frac{2\pi}{8}$,और $\cos^4 \frac{5\pi}{8} = \cos^4 \frac{3\pi}{8}$.
साथ ही,$\cos \frac{4\pi}{8} = 0$ और $\cos \frac{8\pi}{8} = -1$.
अतः,$S = 2(\cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{2\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8}) + 0^4 + (-1)^4$.
$S = 2(\cos^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{\pi}{8} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^4) + 1$.
सूत्र $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\theta)$ का उपयोग करने पर:
$S = 2(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) + 1 = 2(1) + 1 = 3$.

(D) माना शीर्ष $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$,और $C(2, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4} = 2$
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,अंतःकेंद्र और केंद्रक एक ही होते हैं।
केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$G = \left(\frac{1+0+2}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(A) रेखा $L_1$ बिंदु $(2,1)$ और $(3, \frac{5}{2})$ से गुजरती है।
$L_1$ की ढाल $m_1 = \frac{\frac{5}{2} - 1}{3 - 2} = \frac{3}{2}$ है।
$L_1$ का समीकरण $(y - 1) = \frac{3}{2}(x - 2)$ अर्थात $3x - 2y = 4$ है।
रेखा $L_2$,$L_1$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{2}{3}$ है।
$L_2$ बिंदु $(4, -1)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $(y + 1) = -\frac{2}{3}(x - 4)$ अर्थात $2x + 3y = 5$ है।
$L_1$,$y$-अक्ष को $(0, -2)$ पर काटती है।
$L_2$,$y$-अक्ष को $(0, \frac{5}{3})$ पर काटती है।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{22}{13}, \frac{7}{13})$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times |\frac{5}{3} - (-2)| \times |\frac{22}{13}| = \frac{121}{39}$.

(C) दी गई रेखा का समीकरण: $\alpha x + \beta y + \sqrt{\alpha \beta} = 0$.
समीकरण को $-\sqrt{\alpha \beta}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha x}{-\sqrt{\alpha \beta}} + \frac{\beta y}{-\sqrt{\alpha \beta}} = 1$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} x + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} y = -1$.
$x$-अंतःखंड $a = -\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ है और $y$-अंतःखंड $b = -\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $Area = \frac{1}{2} |ab|$ द्वारा दिया जाता है।
$Area = \frac{1}{2} |(-\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}) \times (-\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}})| = \frac{1}{2} |1| = \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{1}{2}$ है,जो $\alpha$ और $\beta$ से स्वतंत्र है,इसलिए रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ स्थिर क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाती है।

(B) दिया गया समीकरण $4x^2+2xy+y^2-8x-4y-12=0$ है। प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,हम मूल बिंदु को $P(a, b)$ पर स्थानांतरित करते हैं।
$x=X+a$ और $y=Y+b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4(X+a)^2+2(X+a)(Y+b)+(Y+b)^2-8(X+a)-4(Y+b)-12=0$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$8a+2b-8=0 \Rightarrow 4a+b=4$
$2a+2b-4=0 \Rightarrow a+b=2$
इन्हें हल करने पर,$a=2/3$ और $b=4/3$ प्राप्त होता है। अतः,$a+b=2$.
अब,समीकरण $4X^2+2XY+Y^2+C=0$ बन जाता है। $XY$-पद को हटाने के लिए,हम अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाते हैं जहाँ $\tan 2\theta = \frac{2h}{A-B}$,जहाँ समीकरण $AX^2+2hXY+BY^2+C=0$ है।
यहाँ $A=4, B=1, h=1$ है। अतः,$\tan 2\theta = \frac{2(1)}{4-1} = \frac{2}{3}$.
अंत में,$a+b+3 \tan 2\theta = 2 + 3 \left(\frac{2}{3}\right) = 2+2=4$.

(C) $AB$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है। अतः,$AB$ की ढाल $m_{AB} = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $AB$,$A(3,2)$ से होकर गुजरती है,इसका समीकरण $y-2 = \frac{3}{2}(x-3) \Rightarrow 3x-2y-5=0$ है।
$AB$ और इसके लंब समद्विभाजक $2x+3y+1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $AB$ का मध्य-बिंदु $E$ देता है। $3x-2y-5=0$ और $2x+3y+1=0$ को हल करने पर,हमें $E(1,-1)$ प्राप्त होता है।
माना $B(x_1, y_1)$ है। चूंकि $E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$\frac{x_1+3}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$ और $\frac{y_1+2}{2} = -1 \Rightarrow y_1 = -4$। अतः,$B(-1,-4)$ है।
$AC$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है। अतः,$AC$ की ढाल $m_{AC} = -\frac{1}{m_2} = 2$ है।
चूंकि $AC$,$A(3,2)$ से होकर गुजरती है,इसका समीकरण $y-2 = 2(x-3) \Rightarrow 2x-y-4=0$ है।
$AC$ और इसके लंब समद्विभाजक $x+2y-12=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $AC$ का मध्य-बिंदु $D$ देता है। $2x-y-4=0$ और $x+2y-12=0$ को हल करने पर,हमें $D(4,4)$ प्राप्त होता है।
माना $C(x_2, y_2)$ है। चूंकि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,$\frac{x_2+3}{2} = 4 \Rightarrow x_2 = 5$ और $\frac{y_2+2}{2} = 4 \Rightarrow y_2 = 6$। अतः,$C(5,6)$ है।
$BC$ की ढाल $\frac{6-(-4)}{5-(-1)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ है।

(A) माना $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं। बिंदुओं के निर्देशांक $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(2, 3)$ रेखाखंड $AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot a}{2 + 3}, \frac{2 \cdot b + 3 \cdot 0}{2 + 3}\right) = \left(\frac{3a}{5}, \frac{2b}{5}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना $(2, 3)$ से करने पर:
$\frac{3a}{5} = 2$ $\Rightarrow 3a = 10$ $\Rightarrow a = \frac{10}{3}$.
$\frac{2b}{5} = 3$ $\Rightarrow 2b = 15$ $\Rightarrow b = \frac{15}{2}$.
अंतःखंडों का गुणनफल $a \cdot b = \left(\frac{10}{3}\right) \cdot \left(\frac{15}{2}\right) = 5 \cdot 5 = 25$.

(A) माना कि नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि मूलबिंदु को $(h, k) = (-1, 2)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
रूपांतरण समीकरण $x = X + h$ और $y = Y + k$ हैं।
अतः,$x = X - 1$ और $y = Y + 2$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X-1)^2 + (Y+2)^2 + 2(X-1) - 4(Y+2) + 1 = 0$
$(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 - 4Y - 8 + 1 = 0$
$X^2 + Y^2 + (-2X + 2X) + (4Y - 4Y) + (1 + 4 - 2 - 8 + 1) = 0$
$X^2 + Y^2 - 4 = 0$
$X^2 + Y^2 = 4$

(A) कर्ण का समीकरण $3x + 4y = 4$ है,जिसे $y = -\frac{3}{4}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,कर्ण की ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
माना कि शेष दो भुजाओं की ढाल $m$ है।
चूंकि यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,कर्ण और अन्य दो भुजाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)} \right| = 1$.
$1 = \left| \frac{4m + 3}{4 - 3m} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = 1$ $\Rightarrow 4m + 3 = 4 - 3m$ $\Rightarrow 7m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{7}$.
स्थिति $2$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = -1$ $\Rightarrow 4m + 3 = -4 + 3m$ $\Rightarrow m = -7$.
अतः,शेष दो भुजाओं की ढाल $\frac{1}{7}$ और $-7$ है।

(A) दिया गया है कि $x-y=0$ भुजा $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि समद्विभाजक की ढाल $1$ है,इसलिए $AB$ की ढाल $-1$ है।
$AB$ का समीकरण $y-3 = -1(x-2)$ है,जो सरल होकर $x+y-5=0$ हो जाता है।
$x-y=0$ और $x+y-5=0$ को हल करने पर $AB$ का मध्य-बिंदु $D(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ प्राप्त होता है।
माना $B = (x_1, y_1)$ है। मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{x_1+2}{2} = \frac{5}{2}$ और $\frac{y_1+3}{2} = \frac{5}{2}$,जिससे $B = (3, 2)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$ (या $x+y-2=0$) $AC$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि समद्विभाजक की ढाल $-1$ है,इसलिए $AC$ की ढाल $1$ है।
$AC$ का समीकरण $y-3 = 1(x-2)$ है,जो सरल होकर $x-y+1=0$ हो जाता है।
$x+y-2=0$ और $x-y+1=0$ को हल करने पर $AC$ का मध्य-बिंदु $E(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ प्राप्त होता है।
माना $C = (x_2, y_2)$ है। मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{x_2+2}{2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{y_2+3}{2} = \frac{3}{2}$,जिससे $C = (-1, 0)$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं $(3, 2)$ और $(-1, 0)$ से गुजरने वाली भुजा $BC$ का समीकरण $\frac{y-0}{2-0} = \frac{x-(-1)}{3-(-1)}$ है।
$\frac{y}{2} = \frac{x+1}{4}$ $\Rightarrow 2y = x+1$ $\Rightarrow x-2y+1=0$.

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy-y^2=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $Ax^2+Bxy+Cy^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $A=1, B=4, C=-1$ प्राप्त होता है।
$XY$ पद को हटाने के लिए,अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाना चाहिए ताकि $\cot(2\theta) = \frac{A-C}{B}$ हो।
मान रखने पर,$\cot(2\theta) = \frac{1-(-1)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\tan(2\theta) = 2$,जिसका अर्थ है $2\theta = \tan^{-1}(2)$।
इस प्रकार,$\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2)$।

(D) माना $A=(2,3,-4), B=(-3,3,-2), C=(-1,4,2), D=(3,5,1)$ है।
$G_1$ फलक $ABD$ का केंद्रक है: $G_1 = \left(\frac{2-3+3}{3}, \frac{3+3+5}{3}, \frac{-4-2+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, -\frac{5}{3}\right)$।
$G_2$ फलक $BCD$ का केंद्रक है: $G_2 = \left(\frac{-3-1+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-2+2+1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, 4, \frac{1}{3}\right)$।
$G_3$ फलक $ACD$ का केंद्रक है: $G_3 = \left(\frac{2-1+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-4+2+1}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, 4, -\frac{1}{3}\right)$।
माना $G$ त्रिभुज $\Delta G_1 G_2 G_3$ का केंद्रक है:
$G = \left(\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}}{3}, \frac{\frac{11}{3} + 4 + 4}{3}, \frac{-\frac{5}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}}{3}\right)$
$G = \left(\frac{\frac{5}{3}}{3}, \frac{\frac{11+24}{3}}{3}, \frac{-\frac{5}{3}}{3}\right) = \left(\frac{5}{9}, \frac{35}{9}, -\frac{5}{9}\right)$।

(A) चूंकि निर्देशांक अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,हम $(x, y)$ को $(x \cos 45^{\circ} - y \sin 45^{\circ}, x \sin 45^{\circ} + y \cos 45^{\circ})$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
यह $\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$ में सरल हो जाता है।
इन मानों को $3x^2 + 3y^2 + 2xy - 2 = 0$ में रखने पर:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) - 2 = 0$
$\Rightarrow \frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + (x^2 - y^2) - 2 = 0$
$\Rightarrow \frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + x^2 - y^2 - 2 = 0$
$\Rightarrow 3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 - 2 = 0$
$\Rightarrow 4x^2 + 2y^2 = 2$
$\Rightarrow 2x^2 + y^2 = 1$.

(B) अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$
इन्हें $X^2+Y^2-6X+8Y+21=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 6\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right) + 21 = 0$
$\frac{X^2+Y^2-2XY}{2} + \frac{X^2+Y^2+2XY}{2} - 3\sqrt{2}(X-Y) + 4\sqrt{2}(X+Y) + 21 = 0$
$X^2 + Y^2 - 3\sqrt{2}X + 3\sqrt{2}Y + 4\sqrt{2}X + 4\sqrt{2}Y + 21 = 0$
$X^2 + Y^2 + \sqrt{2}X + 7\sqrt{2}Y + 21 = 0$
$ax^2+by^2+cx+dy+e=0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=1, c=\sqrt{2}, d=7\sqrt{2}, e=21$ प्राप्त होता है।
अब,$(a+b+c^2+d^2-5e)^2$ की गणना करने पर:
$(1+1+(\sqrt{2})^2+(7\sqrt{2})^2-5(21))^2$
$= (2 + 2 + 98 - 105)^2$
$= (102 - 105)^2 = (-3)^2 = 9$.

(B) रेखा का ढाल $m$ है। रेखा $x + y - 3 = 0$ का ढाल $m_2 = -1$ है।
दिया गया है $\tan \theta = \left|\frac{m - m_2}{1 + m m_2}\right| = \frac{5}{7}$।
$m_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left|\frac{m + 1}{1 - m}\right| = \frac{5}{7}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $7|m + 1| = 5|1 - m|$।
स्थिति $1$: $7(m + 1) = 5(1 - m)$ $\Rightarrow 7m + 7 = 5 - 5m$ $\Rightarrow 12m = -2$ $\Rightarrow m = -1/6$।
स्थिति $2$: $7(m + 1) = -5(1 - m)$ $\Rightarrow 7m + 7 = -5 + 5m$ $\Rightarrow 2m = -12$ $\Rightarrow m = -6$।
चूँकि $m \in \mathbb{Z}$,इसलिए $m = -6$ लेना होगा।
$(1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = -6$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = -6(x - 1)$ है।
$y - 1 = -6x + 6 \Rightarrow 6x + y - 7 = 0$।
$ax + y + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 6$ और $c = -7$ प्राप्त होता है।
अतः,$ac = 6 \times (-7) = -42$।

(D) दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m'}{1 + m m'} \right|$ है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $m' = 2$ दिया गया है,इसलिए $\tan \frac{\pi}{6} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$.
चूँकि $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{3} = \frac{(m - 2)^2}{(1 + 2m)^2}$.
$(1 + 2m)^2 = 3(m - 2)^2$.
$1 + 4m + 4m^2 = 3(m^2 - 4m + 4)$.
$1 + 4m + 4m^2 = 3m^2 - 12m + 12$.
$m^2 + 16m - 11 = 0$.
यह $m$ में एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल $m_1$ और $m_2$ हैं।
मूलों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{16}{1} = -16$ होगा।

(C) माना अंतःखंड $5C$ और $3C$ हैं। समीकरण $\frac{x}{5C} + \frac{y}{3C} = 1$ है। यह $(-4, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $-\frac{4}{5C} + \frac{3}{3C} = 1$ $\Rightarrow \frac{-4+5}{5C} = 1$ $\Rightarrow 5C = 1$ $\Rightarrow C = \frac{1}{5}$. अतः,$3x + 5y = 3$. इसलिए,$A-2$.
$(B)$ रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। अंतःखंड $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं। $P(2, -5)$ मध्यबिंदु है,इसलिए $a = 4$ और $b = -10$. समीकरण $5x - 2y - 20 = 0$ है। इसलिए,$B-5$.
$(C)$ $2x - 3y + 5 = 0$ के समानांतर रेखा $2x - 3y + k = 0$ है। $x$-अंतःखंड $\frac{2}{5}$ है,इसलिए $k = -\frac{4}{5}$. समीकरण $10x - 15y = 4$ है। इसलिए,$C-4$.
$(D)$ $5x + 2y + 7 = 0$ के लंबवत रेखा $2x - 5y + \mu = 0$ है। $y$-अंतःखंड $\frac{4}{5}$ है,इसलिए $\mu = 4$. समीकरण $2x - 5y + 4 = 0$ है। इसलिए,$D-1$.

(C) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{\cos \theta}=\frac{y-y_1}{\sin \theta}=\gamma$ है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = \tan \theta$ है।
माना इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
अतः,$m_2 = -\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta$।
आवश्यक रेखा का समीकरण $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ दिया गया है,जिसे $y = -\frac{b}{a}x + b$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{b}{a}$ है।
ढालों की तुलना करने पर,$-\frac{b}{a} = -\cot \theta$।
अतः,$\frac{b}{a} = \cot \theta$।

(D) सबसे पहले,रेखाओं $2x + 3y + 1 = 0$ और $x + y - 3 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
समीकरणों को हल करने पर:
$x + y = 3 \Rightarrow y = 3 - x$.
पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2x + 3(3 - x) + 1 = 0$ $\Rightarrow 2x + 9 - 3x + 1 = 0$ $\Rightarrow -x + 10 = 0$ $\Rightarrow x = 10$.
तब $y = 3 - 10 = -7$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(10, -7)$ है।
रेखा $L$ की ढाल $m = \tan(\tan^{-1} \frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$ है।
$(10, -7)$ से गुजरने वाली और $\frac{2}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-7) = \frac{2}{3}(x - 10)$ $\Rightarrow 3(y + 7) = 2(x - 10)$ $\Rightarrow 3y + 21 = 2x - 20$ $\Rightarrow 2x - 3y = 41$.
अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में लिखने पर:
$\frac{2x}{41} - \frac{3y}{41} = 1 \Rightarrow \frac{x}{41/2} + \frac{y}{-41/3} = 1$.
अतः,$a = \frac{41}{2}$ और $b = -\frac{41}{3}$.
अंतःखंडों का योग $a + b = \frac{41}{2} - \frac{41}{3} = \frac{123 - 82}{6} = \frac{41}{6}$.

(A) दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखाएँ $3x - 2y + 5 = 0$ और $3x - 2y + C = 0$ हैं।
यहाँ,$a = 3$,$b = -2$,$c_1 = 5$,$c_2 = C$,और $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \frac{|C - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}}$
$5 = \frac{|C - 5|}{\sqrt{9 + 4}}$
$5 = \frac{|C - 5|}{\sqrt{13}}$
$|C - 5| = 5\sqrt{13}$
$C - 5 = \pm 5\sqrt{13}$
$C = 5 \pm 5\sqrt{13} = 5(1 \pm \sqrt{13})$.

(B) माना $L_1(x, y) = x+2y-5$ और $L_2(x, y) = 3x-4y+5$ है। मूलबिंदु $(0,0)$ के लिए $L_1(0,0) = -5$ और $L_2(0,0) = 5$ प्राप्त होता है। चूँकि इनके चिह्न विपरीत हैं,मूलबिंदु रेखाओं के बीच स्थित है।
बिंदु $P = ((\alpha-1)^2, \alpha)$ के उसी क्षेत्र में होने के लिए $L_1(P) < 0$ और $L_2(P) > 0$ होना चाहिए।
शर्त $1$: $(\alpha-1)^2 + 2\alpha - 5 < 0$ $\Rightarrow \alpha^2 - 4 < 0$ $\Rightarrow -2 < \alpha < 2$.
शर्त $2$: $3(\alpha-1)^2 - 4\alpha + 5 > 0$ $\Rightarrow 3\alpha^2 - 10\alpha + 8 > 0$ $\Rightarrow \alpha < \frac{4}{3}$ या $\alpha > 2$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $\alpha \in (-2, \frac{4}{3})$.
चूँकि $\alpha \in \mathbb{Z}$,संभावित मान $\alpha \in \{-1, 0, 1\}$ हैं।
अतः,कुल $3$ बिंदु हैं।

(C) बिंदु $P(x_1, y_1)$ का रेखा $ax+by+c=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $(h, k)$ सूत्र $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -2 \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों $P(-1, 2)$ और रेखा $x-2y+3=0$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{a-(-1)}{1} = \frac{b-2}{-2} = -2 \frac{1(-1) - 2(2) + 3}{1^2 + (-2)^2} = -2 \frac{-2}{5} = \frac{4}{5}$.
अतः,$a = -\frac{1}{5}$ और $b = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P^{\prime}$ का निर्देशांक $(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ है।
$P^{\prime}$ से रेखा $2x+y-7=0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|2(-\frac{1}{5}) + \frac{2}{5} - 7|}{\sqrt{5}} = \frac{|-7|}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}}$ है।

(B) माना रेखा $4x - y - 2 = 0$ पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ है।
माना $A = (-5, 6)$ और $B = (3, 2)$ है।
चूंकि $P$,$A$ और $B$ से समान दूरी पर है,इसलिए $AP = PB$,जिसका अर्थ है $AP^2 = PB^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$ है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$ है।
सरल करने पर: $16x - 8y + 48 = 0$,जो $2x - y + 6 = 0$ (समीकरण $2$) में बदल जाता है।
हमें रेखा $4x - y - 2 = 0$ (समीकरण $1$) दी गई है।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(4x - y - 2) - (2x - y + 6) = 0$ है।
$2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ है।
$x = 4$ को $4x - y - 2 = 0$ में रखने पर: $4(4) - y - 2 = 0$ $\Rightarrow 16 - y - 2 = 0$ $\Rightarrow y = 14$ है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(4, 14)$ है।

(B) दिया गया है कि दो रेखाएँ $L_1: \frac{3}{2}x + (2a - 1)y = 3$ और $L_2: 2x + a^2y = -3$ लंबवत हैं।
चूँकि $L_1 \perp L_2$,उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
$L_1$ की प्रवणता $m_1 = -\frac{3}{4a - 2}$ और $L_2$ की प्रवणता $m_2 = -\frac{2}{a^2}$ है।
अतः,$(-\frac{3}{4a - 2}) \times (-\frac{2}{a^2}) = -1 \Rightarrow 2a^3 - a^2 + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$a = -1$ रखने पर,समीकरण संतुष्ट होता है।
$a = -1$ रखने पर,रेखाएँ $x - 2y = 2$ और $2x + y = -3$ प्राप्त होती हैं।
इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{4}{5}, -\frac{7}{5})$ है।
बिंदु $(1, 1)$ से दूरी $\sqrt{(1 + \frac{4}{5})^2 + (1 + \frac{7}{5})^2} = \sqrt{(\frac{9}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{\frac{225}{25}} = 3$ इकाई है।

(B) माना मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरने वाली रेखा $L_1$ है। यह $L_2: 10x - 8y - 10 = 0$ (जो $5x - 4y - 5 = 0$ में सरल हो जाती है) को बिंदु $P$ पर समकोण पर काटती है।
यह $L_3: \frac{x}{4} - \frac{y}{5} + 1 = 0$ (जो $5x - 4y + 20 = 0$ में सरल हो जाती है) को बिंदु $Q$ पर समकोण पर काटती है।
$L_2$ और $L_3$ समांतर रेखाएँ हैं।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से रेखा $L_2$ की लंबवत दूरी $OP = \frac{|5(0) - 4(0) - 5|}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}} = \frac{5}{\sqrt{41}}$ है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से रेखा $L_3$ की लंबवत दूरी $OQ = \frac{|5(0) - 4(0) + 20|}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}} = \frac{20}{\sqrt{41}}$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ मूल बिंदु के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं,इसलिए $O$,रेखाखंड $PQ$ को $OP : OQ = 1 : 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(C) द्विघात का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है यदि $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $2x^2 - xy + ky^2 + 6x + y + 4 = 0$ के लिए,$a=2, h=-1/2, b=k, g=3, f=1/2, c=4$ है।
रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $\Delta = 2(4k - 1/4) + 1/2(-2 - 3/2) + 3(-1/4 - 3k) = 0$ है।
सरल करने पर,$8k - 1/2 - 7/4 - 3/4 - 9k = 0$,जिससे $-k - 3 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $k = -3$ है।
रेखाओं का युग्म $(2x - 3y + 4)(x + y + 1) = 0$ है।
$(-1, 5)$ से इन रेखाओं की लंबवत दूरियाँ $d_1 = \sqrt{13}$ और $d_2 = \frac{5}{\sqrt{2}}$ हैं।
उनका गुणनफल $\frac{65}{\sqrt{26}}$ है जो दी गई शर्त को पूरा करता है।
अंत में,$37k^2 + 92k = 37(-3)^2 + 92(-3) = 333 - 276 = 57$।

(C) बिंदु $B$ के लिए,$2x - 3y + 5 = 0$ के सापेक्ष $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-3} = -2 \frac{2(1) - 3(-2) + 5}{2^2 + (-3)^2} = -2 \frac{13}{13} = -2$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x - 1 = -4 \Rightarrow x = -3$ और $y + 2 = 6 \Rightarrow y = 4$। इसलिए,$B \equiv (-3, 4)$।
$A(1, -2)$ और $B(-3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण $y - (-2) = \frac{4 - (-2)}{-3 - 1}(x - 1) \Rightarrow 3x + 2y + 1 = 0$ है।
$P(-4, -1)$ से $3x + 2y + 1 = 0$ पर डाले गए लंब के पाद $R(x, y)$ के लिए,$\frac{x - (-4)}{3} = \frac{y - (-1)}{2} = - \frac{3(-4) + 2(-1) + 1}{3^2 + 2^2} = 1$।
अतः,$x + 4 = 3 \Rightarrow x = -1$ और $y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1$।
इसलिए,$R \equiv (-1, 1)$।

(D) चरण $1$: रेखा $x + 2y + 2 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, 1)$ का प्रतिबिंब $B$ ज्ञात करें।
सूत्र $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = -2 \frac{1(1) + 2(1) + 2}{1^2 + 2^2} = -2 \frac{5}{5} = -2$.
$x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1$.
$y - 1 = -4 \Rightarrow y = -3$.
अतः,$B = (-1, -3)$.
चरण $2$: बिंदु $B(-1, -3)$ से रेखा $3x + 4y - 10 = 0$ पर लंब का पाद $C$ ज्ञात करें।
सूत्र $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = - \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{x - (-1)}{3} = \frac{y - (-3)}{4} = - \frac{3(-1) + 4(-3) - 10}{3^2 + 4^2} = - \frac{-3 - 12 - 10}{25} = - \frac{-25}{25} = 1$.
$x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$.
$y + 3 = 4 \Rightarrow y = 1$.
अतः,$C = (2, 1)$.
चरण $3$: बिंदु $A(1, 1)$ और $C(2, 1)$ के बीच की दूरी $AC$ ज्ञात करें।
$AC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$.

(A) दिए गए शीर्ष $A(1,7)$,$B(-5,-1)$ और $C(7,4)$ हैं।
माना $\angle ABC$ का आंतरिक कोण समद्विभाजक भुजा $AC$ को बिंदु $D$ पर मिलता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$D$ भुजा $AC$ को $\frac{AD}{DC} = \frac{BA}{BC}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
भुजाओं $BA$ और $BC$ की लंबाई की गणना करने पर:
$BA = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (7 - (-1))^2} = 10$.
$BC = \sqrt{(7 - (-5))^2 + (4 - (-1))^2} = 13$.
अतः,$\frac{AD}{DC} = \frac{10}{13}$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{83}{23}, \frac{131}{23} \right)$.
बिंदु $B(-5, -1)$ और $D\left(\frac{83}{23}, \frac{131}{23}\right)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y + 1 = \frac{7}{9} (x + 5)$
$7x - 9y + 26 = 0$.

(A) माना $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ छड़ के अंतिम बिंदु हैं और $P(h, k)$ मध्य-बिंदु है।
चूंकि $P$ मध्य-बिंदु है,इसलिए $h = \frac{a}{2}$ और $k = \frac{b}{2}$ है।
अतः,$a = 2h$ और $b = 2k$ है।
छड़ की लंबाई $6$ इकाई दी गई है,इसलिए $\sqrt{a^2 + b^2} = 6$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 + b^2 = 36$ प्राप्त होता है।
$a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,$(2h)^2 + (2k)^2 = 36$ प्राप्त होता है।
$4h^2 + 4k^2 = 36$ है।
$4$ से विभाजित करने पर,$h^2 + k^2 = 9$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 9$ है।

(C) माना $A$ के निर्देशांक $(p, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, q)$ हैं।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(3, 5)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{3}{p} + \frac{5}{q} = 1$ है।
$A(p, 0), O(0, 0), B(0, q)$ और $C(x, y)$ द्वारा बनने वाले आयत के लिए,बिंदु $C$ के निर्देशांक $(p, q)$ होने चाहिए।
अतः,$p = x$ और $q = y$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 1$ प्राप्त होता है।
$xy$ से गुणा करने पर,$3y + 5x = xy$,अर्थात $5x - xy + 3y = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए रूप $ax + 2hxy + by = 0$ से तुलना करने पर,$a = 5, b = 3$ और $2h = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = -\frac{1}{2}$।
अतः,$a + b + h = 5 + 3 - \frac{1}{2} = 8 - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएं $x$-अक्ष और $y$-अक्ष हैं। बिंदु को $P(x, y)$ मानिए। $P$ की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ है,इसलिए $|x| + |y| = 1$ है।
यह समीकरण चार चतुर्थांशों में चार रेखाखंडों को दर्शाता है:
$1$. प्रथम चतुर्थांश में $(x \geq 0, y \geq 0)$,$x + y = 1$ है।
$2$. द्वितीय चतुर्थांश में $(x \leq 0, y \geq 0)$,$-x + y = 1$ है।
$3$. तृतीय चतुर्थांश में $(x \leq 0, y \leq 0)$,$-x - y = 1$ है।
$4$. चतुर्थ चतुर्थांश में $(x \geq 0, y \leq 0)$,$x - y = 1$ है।
ये चार रेखाएं $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाला एक वर्ग बनाती हैं।

(C) माना $P(x, y)$ कोई बिंदु है।
दिया गया है कि इसके निर्देशांकों के वर्गों का योग उनके गुणनफल के बराबर है:
$x^2 + y^2 = xy$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $x \neq 0$ और $y \neq 0$ क्योंकि मूल बिंदु को बाहर रखा गया है):
$\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{xy}{xy}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 1$
अतः,$P$ का बिंदुपथ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 1$ है।

(B) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$A(1, 0)$,$B(0, 2)$,और $C(1, 2)$ के लिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} |1(2 - 2) + 0(2 - 0) + 1(0 - 2)| = 1$.
दिया गया है कि $\text{Area}(\triangle PAB) = 2 \times \text{Area}(\triangle ABC) = 2$.
$P(x, y)$,$A(1, 0)$,और $B(0, 2)$ के लिए:
$\text{Area}(\triangle PAB) = \frac{1}{2} |x(0 - 2) + 1(2 - y) + 0(y - 0)| = \frac{1}{2} |-2x - y + 2|$.
अतः,$\frac{1}{2} |-2x - y + 2| = 2 \Rightarrow |-2x - y + 2| = 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(-2x - y + 2)^2 = 16 \Rightarrow (2x + y - 2)^2 = 16$.
$4x^2 + 4xy + y^2 - 8x - 4y - 12 = 0$.

(C) दी गई शर्त $|PA - PB| = 2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर $PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}$ और $PB = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$ है।
अतः,$|\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} - \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}| = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 + (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + 4\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$.
सरलीकरण करने पर:
$2x - 10y - 4 = 4\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$.
$2$ से विभाजित करने पर:
$x - 5y - 2 = 2\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$.
पुनः वर्ग करने पर:
$(x - 5y - 2)^2 = 4[(x - 3)^2 + (y + 2)^2]$.

(A) दिया गया है कि मूल बिंदु $(0, 0)$ से $(h, k) = (-1, 2)$ पर स्थानांतरित होता है।
हम रूपांतरण समीकरणों $x = X + h$ और $y = Y + k$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर,हमें $x = X - 1$ और $y = Y + 2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण $2x^2 + y^2 - 3x + 5y - 8 = 0$ में रखने पर:
$2(X - 1)^2 + (Y + 2)^2 - 3(X - 1) + 5(Y + 2) - 8 = 0$
$2(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 4Y + 4) - 3X + 3 + 5Y + 10 - 8 = 0$
$2X^2 - 4X + 2 + Y^2 + 4Y + 4 - 3X + 5Y + 5 = 0$
समान पदों को जोड़ने पर: $2X^2 + Y^2 - 7X + 9Y + 11 = 0$.
$(X, Y)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,रूपांतरित समीकरण $2x^2 + y^2 - 7x + 9y + 11 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $3ax^2 - 16xy - (a^2 - 10)y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = 3a$,$H = -8$,और $B = -(a^2 - 10)$ प्राप्त होता है।
समानांतर रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $H^2 = AB$ है।
मान रखने पर: $(-8)^2 = 3a(-(a^2 - 10))$ $\Rightarrow 64 = -3a^3 + 30a$ $\Rightarrow 3a^3 - 30a + 64 = 0$।
लंबवत रेखाओं के युग्म के लिए शर्त $A + B = 0$ है।
मान रखने पर: $3a - (a^2 - 10) = 0 \Rightarrow a^2 - 3a - 10 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(a - 5)(a + 2) = 0$,जिससे $a = 5$ या $a = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1 \equiv 4x + 5y - 6 = 0 \dots(1)$
$L_2 \equiv 2x + 3y - 4 = 0 \dots(2)$
$L_3 \equiv 3x - y + 2 = 0 \dots(3)$
बिंदु $A$,$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$4x + 5y = 6$
$4x + 6y = 8$
घटाने पर $y = 2$ प्राप्त होता है,फिर $x = -1$। अतः,$A = (-1, 2)$।
बिंदु $B$,$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $(1)$ और $(3)$ को हल करने पर:
$4x + 5y = 6$
$15x - 5y = -10$
जोड़ने पर $19x = -4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -4/19$। फिर $y = 3x + 2 = 3(-4/19) + 2 = 26/19$। अतः,$B = (-4/19, 26/19)$।
रेखा $OA$ का समीकरण (जो $(0,0)$ और $(-1,2)$ से गुजरती है) $y = -2x$ या $2x + y = 0$ है।
रेखा $OB$ का समीकरण (जो $(0,0)$ और $(-4/19, 26/19)$ से गुजरती है) $y = -13/2 x$ या $13x + 2y = 0$ है।
$OA$ और $OB$ का संयुक्त समीकरण $(2x + y)(13x + 2y) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $26x^2 + 4xy + 13xy + 2y^2 = 0$,जो सरल होकर $26x^2 + 17xy + 2y^2 = 0$ हो जाता है।

(C) रेखा का समीकरण $x+y=1$ $\ldots(i)$ है और वक्र का समीकरण $x^2+y^2+2hxy+gx+fy+1=0$ $\ldots(ii)$ है।
समीकरण $(i)$ का उपयोग करके समीकरण $(ii)$ को समघातीय बनाने पर,हमें मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण प्राप्त होता है:
$x^2+y^2+2hxy+(gx+fy)(x+y)+1(x+y)^2=0$
$\Rightarrow x^2+y^2+2hxy+gx^2+gxy+fxy+fy^2+x^2+y^2+2xy=0$
$\Rightarrow (2+g)x^2+(2+f)y^2+xy(g+f+2h+2)=0$ $\ldots(iii)$
समीकरण $(iii)$ द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे पर लंब होंगी यदि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य हो:
$(2+g)+(2+f)=0$
$\Rightarrow g+f+4=0$
अतः,$(g, f)$ का बिंदुपथ $x+y+4=0$ है।

(D) माना $I = \int \left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}}{1+x} + \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} - \frac{1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx$.
पहले और तीसरे पद को संयोजित करने पर:
$I = \int \left( \frac{1+x+x^2-1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
अंश को सरल करने पर:
$I = \int \frac{x(1+x)}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
पहले समाकलन को $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \int \frac{2x}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{2x+1-1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
समाकलन को अलग करने पर:
$I = \int \frac{2x+1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx - \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{2x+1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
माना $t = x^2+x+1$,तब $dt = (2x+1) dx$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \sqrt{t} + C = \sqrt{x^2+x+1} + C$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx$ है।
माना $t = \sin x$,तब $dt = \cos x \, dx$ होगा।
अतः समाकलन $I = \int \sqrt{t} \, dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{3} (\sin x)^{3/2} + C$ प्राप्त होता है।
वास्तविक संख्याओं में $\sqrt{\sin x}$ को परिभाषित होने के लिए,$\sin x \ge 0$ होना चाहिए।
यहाँ $\sin x > 0$ होना आवश्यक है ताकि वर्गमूल फलन अवकलनीय रहे।
ज्या फलन $\sin x$ प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में धनात्मक होता है,जो अंतराल $(2n\pi, (2n+1)\pi)$ को दर्शाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} d x$ है।
अंश और हर को $x^{15}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{2 x^{-3} + 5 x^{-6}}{(1 + x^{-2} + x^{-5})^3} d x$.
माना $t = 1 + x^{-2} + x^{-5}$ है।
तब $dt = (-2x^{-3} - 5x^{-6}) dx$,जिसका अर्थ है कि $-(2x^{-3} + 5x^{-6}) dx = dt$ है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = -\int \frac{dt}{t^3} = -\int t^{-3} dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{1}{2} f(x) + C$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{t^2} = \frac{1}{(1 + x^{-2} + x^{-5})^2} = \frac{x^{10}}{(x^5 + x^3 + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$f(1) - f(0)$ की गणना करें।
$f(1) = \frac{1^{10}}{(1^5 + 1^3 + 1)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$।
$f(0)$ के लिए,$x=0$ पर व्यंजक $\frac{x^{10}}{(x^5 + x^3 + 1)^2}$ का मान $0$ है।
अतः,$f(1) - f(0) = \frac{1}{9} - 0 = \frac{1}{9}$।

(A) माना $I = \int \frac{x e^{\left(\frac{x^2}{x^2-2}\right)}}{x^4-4 x^2+4} d x$.
ध्यान दें कि $x^4-4x^2+4 = (x^2-2)^2$.
अतः,$I = \int \frac{x e^{\left(\frac{x^2}{x^2-2}\right)}}{(x^2-2)^2} d x$.
माना $t = x^2$,तो $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{e^{\left(\frac{t}{t-2}\right)}}{(t-2)^2} dt$.
अब,माना $p = \frac{t}{t-2}$.
तो $dp = \frac{(t-2)(1) - t(1)}{(t-2)^2} dt = \frac{-2}{(t-2)^2} dt$.
इसका अर्थ है $\frac{1}{(t-2)^2} dt = -\frac{1}{2} dp$.
समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int e^p \left(-\frac{1}{2} dp\right) = -\frac{1}{4} \int e^p dp = -\frac{1}{4} e^p + C$.
$p = \frac{x^2}{x^2-2}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{4} e^{\frac{x^2}{x^2-2}} + C$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2 - a^2)^{3/2}}$.
$x = a \sec \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{(a^2 \tan^2 \theta)^{3/2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{a^3 \tan^3 \theta} = \frac{1}{a^2} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta$.
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} d\theta = \frac{1}{a^2} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} d\theta$.
$u = \sin \theta$ लेने पर,$du = \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{a^2} \int u^{-2} du = \frac{1}{a^2} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{a^2 \sin \theta} + C$.
चूंकि $x = a \sec \theta$,इसलिए $\sec \theta = \frac{x}{a}$ और $\cos \theta = \frac{a}{x}$ है।
अतः $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x}$।
यह मान रखने पर:
$I = -\frac{1}{a^2 \left( \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x} \right)} + C = -\frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 - a^2}} + C$.

(B) माना $I = \int \frac{x^2}{1 + (x^3)^2} dx$.
प्रतिस्थापन $z = x^3$ लेने पर,$dz = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{1}{3} dz$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + z^2} dz$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{1 + z^2} dz = \tan^{-1}(z) + C$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(z) + C$ प्राप्त होता है।
अंत में,$z = x^3$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(x^3) + C$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास $5+2 x+x^2 = (x+1)^2 + 4$ है।
माना $x+1 = z$,तब $dx = dz$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{dz}{(z^2+4)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।
माना $z = 2 \tan \theta$,तब $dz = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$ होगा।
साथ ही,$(z^2+4)^{3/2} = (4 \tan^2 \theta + 4)^{3/2} = (4 \sec^2 \theta)^{3/2} = 8 \sec^3 \theta$।
अतः,$I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{8 \sec^3 \theta} = \frac{1}{4} \int \cos \theta \ d\theta = \frac{1}{4} \sin \theta + C$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{z}{2}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{z}{\sqrt{z^2+4}}$।
अतः,$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{z}{\sqrt{z^2+4}} + C = \frac{x+1}{4 \sqrt{(x+1)^2+4}} + C = \frac{x+1}{4 \sqrt{5+2x+x^2}} + C$।

(B) दिया गया है कि $\tan^0 x = 1$ है। हमें $\int \left( \sum_{k=0}^7 \tan^k x \right) dx = \sum_{k=0}^7 \int \tan^k x dx$ का मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $I_n = \int \tan^n x dx$ है। हम रिडक्शन फॉर्मूला जानते हैं: $I_n + I_{n-2} = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1}$।
योग का विस्तार करने पर: $\sum_{k=0}^7 I_k = I_0 + I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 + I_6 + I_7$।
रिडक्शन फॉर्मूला का उपयोग करने पर:
$I_0 + I_2 = \tan x$
$I_1 + I_3 = \frac{\tan^2 x}{2}$
$I_2 + I_4 = \frac{\tan^3 x}{3}$
$I_3 + I_5 = \frac{\tan^4 x}{4}$
$I_4 + I_6 = \frac{\tan^5 x}{5}$
$I_5 + I_7 = \frac{\tan^6 x}{6}$
इनका योग करने पर: $\sum_{k=1}^7 A_k \tan^k x = \tan x + \frac{\tan^2 x}{2} + \frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\tan^4 x}{4} + \frac{\tan^5 x}{5} + \frac{\tan^6 x}{6}$।
तुलना करने पर,$A_1 = 1, A_2 = 1/2, A_3 = 1/3, A_4 = 1/4, A_5 = 1/5, A_6 = 1/6, A_7 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sum_{k=1}^7 A_k = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{147}{60} = \frac{49}{20}$।

(D) दिया गया है $f(y) = \frac{3-8y}{3y-1}$.
हमें $\int \frac{3-8y}{3y-1} dy$ का मान ज्ञात करना है.
बीजगणितीय सरलीकरण करने पर:
$\frac{3-8y}{3y-1} = \frac{-\frac{8}{3}(3y-1) + 3 - \frac{8}{3}}{3y-1} = -\frac{8}{3} + \frac{1/3}{3y-1}$.
अब,$y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int (-\frac{8}{3} + \frac{1}{3(3y-1)}) dy = -\frac{8}{3}y + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \log |3y-1| + C = -\frac{8}{3}y + \frac{1}{9} \log |3y-1| + C$.
इसकी तुलना $Ay + B \log |3y-1| + C$ से करने पर,हमें $A = -\frac{8}{3}$ और $B = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है.
अतः,$\frac{A-3B}{2} = \frac{-\frac{8}{3} - 3(\frac{1}{9})}{2} = \frac{-\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{2} = \frac{-3}{2}$.

(B) माना $I_1 = \int \frac{x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} dx$ है। अंश और हर को $(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})$ से गुणा करने पर,हमें $I_1 = \int \frac{x(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{(1+x)-(1-x)} dx = \frac{1}{2} \int (\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) dx$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार $I_2$ के लिए गणना करने पर,हमें $A = \frac{1}{3}, B = \frac{1}{3}, f(y) = \frac{3y-2}{15}, g(y) = -\frac{3y+2}{15}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Af(y) + Bg(y) = \frac{1}{3}(\frac{3y-2}{15}) - \frac{1}{3}(\frac{3y+2}{15}) = \frac{3y-2-3y-2}{45} = \frac{-4}{45}$।

(A) माना $I = \int \frac{x^3}{(1+x^2)^3} dx$.
विधि $1$: $x = \tan \theta$ का उपयोग करने पर,$dx = \sec^2 \theta d\theta$.
$I = \int \frac{\tan^3 \theta \sec^2 \theta}{(1+\tan^2 \theta)^3} d\theta = \int \frac{\tan^3 \theta \sec^2 \theta}{\sec^6 \theta} d\theta = \int \sin^3 \theta \cos \theta d\theta$.
माना $\sin \theta = p$,तब $\cos \theta d\theta = dp$.
$I = \int p^3 dp = \frac{p^4}{4} + k = \frac{\sin^4 \theta}{4} + k$.
चूंकि $\tan \theta = x$,$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$,इसलिए $I = \frac{x^4}{4(1+x^2)^2} + k$. अतः $f(x) = \frac{x^4}{4(1+x^2)^2}$.
विधि $2$: $1+x^2 = z$ का उपयोग करने पर,$2x dx = dz \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} dz$.
$I = \int \frac{x^2 \cdot x dx}{(1+x^2)^3} = \int \frac{(z-1) \cdot \frac{1}{2} dz}{z^3} = \frac{1}{2} \int (z^{-2} - z^{-3}) dz = \frac{1}{2} [-\frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2}] + c = -\frac{1}{2(1+x^2)} + \frac{1}{4(1+x^2)^2} + c$.
अतः $g(x) = -\frac{1}{2(1+x^2)} + \frac{1}{4(1+x^2)^2}$.
अब,$f(x) - g(x) = \frac{x^4}{4(1+x^2)^2} + \frac{1}{2(1+x^2)} - \frac{1}{4(1+x^2)^2} = \frac{x^4 - 1 + 2(1+x^2)}{4(1+x^2)^2} = \frac{x^4 + 2x^2 + 1}{4(1+x^2)^2} = \frac{(x^2+1)^2}{4(1+x^2)^2} = \frac{1}{4}$.
इसलिए,$f(x) - g(x) + k - c = \frac{1}{4} + k - c$,जो एक अचर है।

(A) माना $I = \int \frac{1}{(x-2)^5(x-1)^4} dx$.
हम समाकल्य को $I = \int \frac{1}{(x-2)^9 \left(\frac{x-1}{x-2}\right)^4} dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t = \frac{x-1}{x-2}$. तब $dt = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-2)^2} dx = \frac{-1}{(x-2)^2} dx$,इसलिए $dx = -(x-2)^2 dt$.
चूंकि $t = \frac{x-1}{x-2} = 1 + \frac{1}{x-2}$,हमारे पास $\frac{1}{x-2} = t-1$ है,इसलिए $x-2 = \frac{1}{t-1}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{-(t-1)^2 dt}{(t-1)^{-7} t^4} = -\int (t-1)^9 t^{-4} dt$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(t-1)^9$ का विस्तार करने पर,हमें $t^k$ के रूप के पद प्राप्त होते हैं जहाँ $k \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
$t^{-1}$ पद का समाकलन $\log |t| = \log |\frac{x-1}{x-2}| = \log |x-1| - \log |x-2|$ देता है।
इसे दिए गए रूप $\sum A_r (\frac{x-2}{x-1})^r + B f(x)$ के साथ तुलना करने पर,हम $f(x) = \log |\frac{x-2}{x-1}| = \log (x-2) - \log (x-1)$ प्राप्त करते हैं।

(B) सबसे पहले,हम द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं: $x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$.
पहला समाकलन $\int \sqrt{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \, dx = \frac{x+\frac{1}{2}}{2} \sqrt{x^2+x+1} + \frac{3}{8} \sinh^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C_1$ है।
दूसरा समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} \, dx = \sinh^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C_2$ है।
इन दोनों परिणामों का गुणा करने पर,हमें $\left(\frac{2x+1}{4} \sqrt{x^2+x+1} + \frac{3}{8} \sinh^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) \sinh^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_5^9 \frac{\log_3 x^2}{\log_3 x^2 + \log_3(588 - 84x + 3x^2)} dx$.
गुणधर्म $\log_3(588 - 84x + 3x^2) = \log_3(3(196 - 28x + x^2)) = \log_3(3(14 - x)^2)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_5^9 \frac{\log_3 x^2}{\log_3 x^2 + \log_3(3(14 - x)^2)} dx \dots (1)$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=5$ और $b=9$,$a+b-x = 14-x$:
$I = \int_5^9 \frac{\log_3(14 - x)^2}{\log_3(14 - x)^2 + \log_3(3(14 - (14 - x))^2)} dx$.
$I = \int_5^9 \frac{\log_3(14 - x)^2}{\log_3(14 - x)^2 + \log_3(3x^2)} dx \dots (2)$.
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_5^9 \frac{\log_3 x^2 + \log_3(3(14 - x)^2)}{\log_3 x^2 + \log_3(3(14 - x)^2)} dx$.
$2I = \int_5^9 1 dx = [x]_5^9 = 9 - 5 = 4$.
$I = \frac{4}{2} = 2$.

(B) हमें निश्चित समाकल $\int_0^2 |1-x^2| dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हम निरपेक्ष मान फलन $|1-x^2|$ का विश्लेषण करते हैं। अंतराल $[0, 2]$ में $x=1$ पर पद $1-x^2$ अपना चिह्न बदलता है।
$0 \leq x < 1$ के लिए,$1-x^2 \geq 0$,इसलिए $|1-x^2| = 1-x^2$ है।
$1 \leq x \leq 2$ के लिए,$1-x^2 \leq 0$,इसलिए $|1-x^2| = -(1-x^2) = x^2-1$ है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम समाकल को $x=1$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_0^2 |1-x^2| dx = \int_0^1 (1-x^2) dx + \int_1^2 (x^2-1) dx$
अब,प्रत्येक भाग का समाकलन करते हैं:
$\int_0^1 (1-x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_0^1 = (1 - \frac{1}{3}) - 0 = \frac{2}{3}$
$\int_1^2 (x^2-1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_1^2 = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$

(B) भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ को $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अंतराल $[0, 2)$ के लिए,हमारे पास है:
$\{x\} = x$,जब $0 \leq x < 1$
$\{x\} = x - 1$,जब $1 \leq x < 2$
इसलिए,समाकलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है:
$\int_0^2 \{x\} dx = \int_0^1 x dx + \int_1^2 (x - 1) dx$
पहले भाग का मूल्यांकन: $\int_0^1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $\int_1^2 (x - 1) dx$. मान लीजिए $u = x - 1$,तो $du = dx$. जब $x=1, u=0$; जब $x=2, u=1$.
$\int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$
दोनों भागों को जोड़ने पर: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\pi \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$.
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x d x = d t$,या $\sin x d x = -d t$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = \cos(0) = 1$.
जब $x = \pi / 2$,तब $t = \cos(\pi / 2) = 0$.
अतः समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \pi \int_1^0 \frac{-d t}{1+t^2} = \pi \int_0^1 \frac{d t}{1+t^2}$.
मानक समाकलन $\int \frac{1}{1+t^2} d t = \tan^{-1}(t)$ का उपयोग करने पर:
$I = \pi [\tan^{-1}(t)]_0^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0))$.
चूँकि $\tan^{-1}(1) = \pi / 4$ और $\tan^{-1}(0) = 0$ है:
$I = \pi (\pi / 4 - 0) = \frac{\pi^2}{4}$.

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)} d x$
चूँकि $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\cos ^{\frac{3}{2}} x+\sin ^{\frac{3}{2}} x} d x \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x + \cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x + \cos ^{\frac{3}{2}} x} d x$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d x$
$2I = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) माना $I = \int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi} (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) \, dx$.
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_0^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) \, dx = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) \, dx - \int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$.
$I = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) \, dx - I$.
$2I = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर,यदि $f(2a-x) = f(x)$,यहाँ $2a = \pi$,अतः $a = \frac{\pi}{2}$.
चूंकि $f(\sin(\pi - x)) = f(\sin x)$,इसलिए:
$2I = \pi \cdot 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx$.
$I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx$.

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{dx}{1+\cos x} \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,यहाँ $a+b = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$ है।
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{dx}{1+\cos(\pi-x)} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{dx}{1-\cos x} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \left( \frac{1}{1+\cos x} + \frac{1}{1-\cos x} \right) dx$
$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{1-\cos x + 1+\cos x}{1-\cos^2 x} dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{2}{\sin^2 x} dx$
$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \operatorname{cosec}^2 x dx$
$I = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}}$
$I = -(\cot \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4}) = -(-1 - 1) = 2$
चूंकि $2 \sin \frac{\pi}{2} = 2(1) = 2$,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$ है।
समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करने पर:
$I = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$.
माना $I_1 = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$.
$x = -t$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = -d t$. जब $x = -1, t = 1$ और जब $x = 0, t = 0$.
$I_1 = \int_1^0 \frac{\log (1-t)}{1+(-t)^2} (-d t) = \int_0^1 \frac{\log (1-t)}{1+t^2} d t$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(t) d t = \int_a^b f(x) d x$ के अनुसार,$I_1 = \int_0^1 \frac{\log (1-x)}{1+x^2} d x$.
दिए गए समीकरण $\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{\log (1-x)}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n n!}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+1)(n+2)\dots(n+n)}{n^n} = \prod_{r=1}^n \left(\frac{n+r}{n}\right) = \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ है।
लघुगणक लेने पर,$\log \left(\prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r}{n}\right)\right) = \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \frac{r}{n}\right)$ है।
निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n g\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 g(x) dx$ होता है।
यहाँ,$g(x) = \log(1+x)$,इसलिए $l = \int_0^1 \log(1+x) dx$ है।
माना $1+x = t$,तो $dx = dt$ होगा। जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$ होगा।
अतः,$l = \int_1^2 \log t dt = \int_1^2 \log x dx$ है।
इसकी तुलना $\int_1^2 f(x) dx$ से करने पर,हमें $f(x) = \log x$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x-[x]) d x$ है। चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,हम अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.57, 1.57]$ में $[x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं।
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} \sin (x + 2) d x + \int_{-1}^{0} \sin (x + 1) d x + \int_{0}^{1} \sin x d x + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x - 1) d x$
$I = [-\cos (x + 2)]_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} + [-\cos (x + 1)]_{-1}^{0} + [-\cos x]_{0}^{1} + [-\cos (x - 1)]_{1}^{\frac{\pi}{2}}$
$I = -(\cos 1 - \cos(2 - \frac{\pi}{2})) - (\cos 1 - \cos 0) - (\cos 1 - \cos 0) - (\cos(\frac{\pi}{2} - 1) - \cos 0)$
$I = -\cos 1 + \sin 2 - \cos 1 + 1 - \cos 1 + 1 - \sin 1 + 1$
$I = 3 - 3\cos 1 + \sin 2 - \sin 1 = 3(1 - \cos 1) + \sin 2 - \sin 1$.

(C) माना $I = \int_0^\pi \sqrt{1+4 \sin^2 \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2}} \, dx$.
चूंकि $(1 + 2 \sin \frac{x}{2})^2 = 1 + 4 \sin^2 \frac{x}{2} + 4 \sin \frac{x}{2}$,इसलिए समाकलन होगा:
$I = \int_0^\pi (1 + 2 \sin \frac{x}{2}) \, dx$.
पदवार समाकलन करने पर:
$I = [x - 2 \cdot 2 \cos \frac{x}{2}]_0^\pi$.
$I = [x - 4 \cos \frac{x}{2}]_0^\pi$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = (\pi - 4 \cos \frac{\pi}{2}) - (0 - 4 \cos 0)$.
$I = (\pi - 4(0)) - (0 - 4(1))$.
$I = \pi - 0 + 4 = \pi + 4$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{-2x}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int e^{-2x} dx$
$y = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$ $(i)$
दी गई शर्त $y(\log 2) = \frac{1}{16}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{16} = -\frac{1}{2}e^{-2(\log 2)} + C$
चूंकि $e^{-2\log 2} = e^{\log(2^{-2})} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$:
$\frac{1}{16} = -\frac{1}{2}(\frac{1}{4}) + C$
$\frac{1}{16} = -\frac{1}{8} + C$
$C = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{3}{16}$
$C$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y = -\frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{3}{16}$
$y = \frac{-8e^{-2x} + 3}{16} = \frac{3 - 8e^{-2x}}{16}$

(A) दिया गया समीकरण: $y^2 = 4a(x + a)$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + 0) = 4a$
$2y y^{\prime} = 4a$
$a = \frac{1}{2} y y^{\prime}$
अब,$a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y y^{\prime} \right) \left( x + \frac{1}{2} y y^{\prime} \right)$
$y^2 = 2y y^{\prime} \left( \frac{2x + y y^{\prime}}{2} \right)$
$y^2 = y y^{\prime} (2x + y y^{\prime})$
दोनों पक्षों को $y$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $y \neq 0$):
$y = y^{\prime} (2x + y y^{\prime})$
$y = 2x y^{\prime} + y (y^{\prime})^2$
$y - y (y^{\prime})^2 = 2x y^{\prime}$

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1-y^2}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \int dx$ प्राप्त होता है।
यह $\sin^{-1}(y) = x + C$ के रूप में हल देता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$\sin^{-1}(1) = 0 + C$,जिससे $C = \sin^{-1}(1)$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट हल $\sin^{-1}(y) = x + \sin^{-1}(1)$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (3x + y + 4)^2$ है।
माना $3x + y + 4 = t$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$3 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 3$।
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 3 = t^2$।
$\frac{dt}{dx} = t^2 + 3$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dt}{t^2 + 3} = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{3})^2} = \int dx$।
सूत्र $\int \frac{dt}{t^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{t}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}}) = x + k$ प्राप्त होता है।
$t = 3x + y + 4$ का मान वापस रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{3x + y + 4}{\sqrt{3}}) - x = k$।
इसकी तुलना दिए गए रूप $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(f(x, y)) - x = k$ से करने पर,हमें $f(x, y) = \frac{3x + y + 4}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अब,$f(1, 2) = \frac{3(1) + 2 + 4}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$।

(A) दिया गया है,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[2y^{-2/3} + 3x^2y^{-2/3}\right]^{3/2}} = \frac{x^3(y^4+1)}{\left[y^{-2/3}(2+3x^2)\right]^{3/2}} = \frac{x^3 y(y^4+1)}{(2+3x^2)^{3/2}}$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\int \frac{1}{y(y^4+1)} dy = \int \frac{x^3}{(2+3x^2)^{3/2}} dx$.
बाईं ओर के लिए,$I_1 = \int \frac{1}{y(y^4+1)} dy = \int \frac{y^3}{y^4(y^4+1)} dy$. मान लीजिए $u = y^4$,तो $du = 4y^3 dy$,इसलिए $I_1 = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u(u+1)} = \frac{1}{4} \int \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}\right) du = \frac{1}{4} \log \left|\frac{u}{u+1}\right| = \frac{1}{4} \log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right)$.
दाईं ओर के लिए,$I_2 = \int \frac{x^3}{(2+3x^2)^{3/2}} dx$. मान लीजिए $t^2 = 2+3x^2$,तो $2t dt = 6x dx$,इसलिए $x dx = \frac{1}{3} t dt$ और $x^2 = \frac{t^2-2}{3}$.
$I_2 = \int \frac{x^2 \cdot x dx}{(t^2)^{3/2}} = \int \frac{(\frac{t^2-2}{3}) \cdot \frac{1}{3} t dt}{t^3} = \frac{1}{9} \int \frac{t^2-2}{t^2} dt = \frac{1}{9} \int (1 - 2t^{-2}) dt = \frac{1}{9} (t + \frac{2}{t}) = \frac{1}{9} \left(\frac{t^2+2}{t}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{2+3x^2+2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right)$.
$I_1 = I_2 + C$ को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{4} \log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C'$.
$4$ से गुणा करने पर,$\log \left(\frac{y^4}{1+y^4}\right) = \frac{4}{9} \left(\frac{4+3x^2}{\sqrt{2+3x^2}}\right) + C$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = x + \sin x \cos y + x \cos y + \sin x$
दाहिनी ओर गुणनखंड करने पर: $\frac{dy}{dx} = x(1 + \cos y) + \sin x(1 + \cos y)$
$\frac{dy}{dx} = (x + \sin x)(1 + \cos y)$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{1 + \cos y} = (x + \sin x) dx$
सर्वसमिका $1 + \cos y = 2 \cos^2 \frac{y}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{dy}{2 \cos^2 \frac{y}{2}} = (x + \sin x) dx$
$\frac{1}{2} \sec^2 \frac{y}{2} dy = (x + \sin x) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \frac{y}{2} dy = \int (x + \sin x) dx$
$\tan \frac{y}{2} = \frac{x^2}{2} - \cos x + C$

(A) माना $V$ आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $\frac{dV}{dt} = 2 \ cm^3/sec$.
हम जानते हैं कि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2 \pi r^2}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dS}{dt}$ के समीकरण में $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2 \pi r^2}$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{1}{2 \pi r^2} \right) = \frac{4}{r}$.
जब $r = 4 \ cm$ है,तो पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{4}{4} = 1 \ cm^2/sec$ होगी।
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(D) दो सदिश $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$।
दिए गए सदिश $-3 \hat{i} + 4 \hat{j} + \lambda \hat{k}$ और $\mu \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}$ हैं।
चूंकि वे संरेख हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{-3}{\mu} = \frac{4}{8} = \frac{\lambda}{6}$
चूंकि $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$,हम अन्य अनुपातों की तुलना करते हैं:
$1) \frac{-3}{\mu} = \frac{1}{2} \Rightarrow \mu = -6$
$2) \frac{\lambda}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \lambda = 3$
अतः,$\lambda - \mu = 3 - (-6) = 3 + 6 = 9$।

(A) तीन सदिश एक त्रिभुज बनाते हैं यदि उनका योग शून्य हो,अर्थात $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$।
योग की गणना करने पर: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2+6+3)\hat{i} + (3-2-6)\hat{j} + (-6+3-2)\hat{k} = 11\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$।
चूंकि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \neq \vec{0}$,सदिश त्रिभुज नहीं बनाते हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
यह जांचने के लिए कि क्या वे असमतलीय हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ की गणना करते हैं।
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & -2 & 3 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+18) - \hat{j}(-12-9) + \hat{k}(-36+6) = 22\hat{i} + 21\hat{j} - 30\hat{k}$।
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (2)(22) + (3)(21) + (-6)(-30) = 44 + 63 + 180 = 287 \neq 0$।
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,सदिश असमतलीय हैं। अतः,$(R)$ सत्य है।
चूंकि सदिश असमतलीय हैं,वे एक समतल में त्रिभुज नहीं बना सकते हैं। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) हमें सदिशों का योग ज्ञात करना है: $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AE} + \vec{BC} + \vec{DC} + \vec{ED} + \vec{AC}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{S} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{AE} + \vec{ED}) + (\vec{DC} + \vec{AC})$.
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ और $\vec{AE} + \vec{ED} = \vec{AD}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{AD} + (\vec{DC} + \vec{AC})$.
चूंकि $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$ ($\triangle ADC$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार),
$\vec{S} = \vec{AC} + (\vec{AD} + \vec{DC}) + \vec{AC} = \vec{AC} + \vec{AC} + \vec{AC} = 3 \vec{AC}$.

(D) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-2) - \hat{j}(-6-1) + \hat{k}(4+3) = 7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}$
इसके बाद,$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ की गणना करें:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 7 & 7 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-7)) - \hat{j}(0 - 7) + \hat{k}(-7 - 7) = 7\hat{i} + 7\hat{j} - 14\hat{k}$
यह दिया गया है कि $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$,$\vec{d}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(7\hat{i} + 7\hat{j} - 14\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + x\hat{k}) = 0$
$7(1) + 7(1) - 14(x) = 0$
$14 - 14x = 0$
$14x = 14$
$x = 1$

(C) दिया गया है,$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{j}-\hat{k}$.
माना $\vec{b}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b}=3$ से,$(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot (x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})=3$,जिसका अर्थ है $x+y+z=3$ ... $(1)$.
$\vec{a} \times \vec{b}=\vec{c}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j}-\hat{k}$
$\hat{i}(z-y) - \hat{j}(z-x) + \hat{k}(y-x) = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$z-y=0 \Rightarrow z=y$
$-(z-x)=1 \Rightarrow x-z=1 \Rightarrow x=z+1$
$y-x=-1 \Rightarrow x=y+1$.
$y=z$ और $x=z+1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(z+1) + z + z = 3 \Rightarrow 3z+1=3 \Rightarrow 3z=2 \Rightarrow z=\frac{2}{3}$.
अतः,$y=\frac{2}{3}$ और $x=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$.
इसलिए,$\vec{b}=\frac{5}{3}\hat{i}+\frac{2}{3}\hat{j}+\frac{2}{3}\hat{k}$.

(B) दिया गया है,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 0$.
सर्वसमिका $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ का उपयोग करने पर.
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2+4^2+2^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$9+16+4+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$29+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{29}{2}$.
अब,हमें $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}+2(|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|)$ का मान ज्ञात करना है।
$= -\frac{29}{2} + 2(3+4+2) = -\frac{29}{2} + 2(9) = -\frac{29}{2} + 18 = \frac{-29+36}{2} = \frac{7}{2}$.

(B) माना $\vec{a} = -3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2 \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल का सूत्र $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (-3)(0) + (2)(-2) = -4$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
अतः,$|\vec{a}| |\vec{b}| = \sqrt{13} \times \sqrt{5} = \sqrt{65}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-4}{\sqrt{65}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-4}{\sqrt{65}}\right)$।

(B) दिए गए चार सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ है।
यह दिया गया है कि $\vec{b}$,$(\vec{c} - \vec{d})$ के समानांतर है,इसलिए एक अदिश $\lambda$ मौजूद है ताकि $\lambda \vec{b} = \vec{c} - \vec{d}$ हो।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर,हमें $\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{d})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,यह समीकरण $\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = -(\vec{a} \cdot \vec{d})$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\lambda = -\frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ प्राप्त होता है।
अब $\lambda$ का मान $\vec{c} = \vec{d} + \lambda \vec{b}$ में रखने पर,हमें $\vec{c} = \vec{d} - \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right) \vec{b}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\vec{a}$ अभीष्ट इकाई सदिश है। चूँकि $\vec{a}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{d} = 2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{n} = \vec{c} \times \vec{d}$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(-1-2) = 0\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
चूँकि $\vec{a}$,$\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के भी लंबवत है,इसलिए $\vec{a}$,$\vec{b} \times \vec{n}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{b} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-9) - \hat{j}(-3-0) + \hat{k}(3-0) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{b} \times \vec{n}}{|\vec{b} \times \vec{n}|} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2}} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{27}} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{3\sqrt{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
नोट: सदिश $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$ और $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ समान हैं।

(D) भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ है।
चूंकि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$,जहां $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है:
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
दिया गया है $|\vec{b}| = 6$ और $\theta = \frac{\pi}{6}$.
इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |\vec{a}| \times |\vec{b}| \times \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \frac{1}{2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) लैग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,हमारे पास $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ है।
दिया गया है कि $\vec{a} = x \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 6 \hat{i} - y \hat{j} + 2 \hat{k}$।
$|\vec{a}|^2 = x^2 + 2^2 + (-1)^2 = x^2 + 5$।
$|\vec{b}|^2 = 6^2 + (-y)^2 + 2^2 = 36 + y^2 + 4 = y^2 + 40$।
अतः,$|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = (x^2 + 5)(y^2 + 40) = f(x) g(y)$।
इसलिए,$f(x) = x^2 + 5$ और $g(y) = y^2 + 40$।
दिया गया समीकरण $f(x) + g(y) - 46 = 0$ है।
मान रखने पर: $(x^2 + 5) + (y^2 + 40) - 46 = 0$।
$x^2 + y^2 + 45 - 46 = 0$।
$x^2 + y^2 = 1$।
यह $(0, 0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।

(B) सदिश $\vec{u}$ का सदिश $\vec{v}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
$l = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{|(3)(2) + (5)(-3) + (2)(-5)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-5)^2}} = \frac{|6 - 15 - 10|}{\sqrt{4 + 9 + 25}} = \frac{|-19|}{\sqrt{38}} = \frac{19}{\sqrt{38}}$.
$m = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{c}|}{|\vec{c}|} = \frac{|(2)(-5) + (-3)(-2) + (-5)(3)|}{\sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 3^2}} = \frac{|-10 + 6 - 15|}{\sqrt{25 + 4 + 9}} = \frac{|-19|}{\sqrt{38}} = \frac{19}{\sqrt{38}}$.
$n = \frac{|\vec{c} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|} = \frac{|(-5)(3) + (-2)(5) + (3)(2)|}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 2^2}} = \frac{|-15 - 10 + 6|}{\sqrt{9 + 25 + 4}} = \frac{|-19|}{\sqrt{38}} = \frac{19}{\sqrt{38}}$.
चूंकि $l = \frac{19}{\sqrt{38}}$,$m = \frac{19}{\sqrt{38}}$,और $n = \frac{19}{\sqrt{38}}$,इसलिए $l = m = n$ है।

(A) दिया गया है $2 \vec{a}+3 \vec{b}+4 \vec{c}=\vec{0}$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=1, |\vec{c}|=1$ है।
हमारे पास $3 \vec{b}+4 \vec{c}=-2 \vec{a}$ है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर: $|3 \vec{b}+4 \vec{c}|^2=|-2 \vec{a}|^2$.
$(3 \vec{b}+4 \vec{c}) \cdot (3 \vec{b}+4 \vec{c}) = 4|\vec{a}|^2$.
$9|\vec{b}|^2 + 16|\vec{c}|^2 + 24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 4$.
$9(1) + 16(1) + 24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 4$.
$25 + 24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 4$.
$24(\vec{b} \cdot \vec{c}) = -21 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{21}{24} = -\frac{7}{8}$.
सर्वसमिका $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + (\vec{b} \cdot \vec{c})^2 = |\vec{b}|^2 |\vec{c}|^2$ का उपयोग करने पर.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + (-\frac{7}{8})^2 = (1)^2(1)^2$.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 + \frac{49}{64} = 1$.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

(A) माना कि $b=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
सदिश गुणनफल $a \times b$ सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{i}(z-y) - \hat{j}(z-x) + \hat{k}(y-x) = (z-y) \hat{i} + (x-z) \hat{j} + (y-x) \hat{k}$.
दिया गया है कि $a \times b = c = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}$,अतः घटकों की तुलना करने पर:
$z-y = 0 \Rightarrow y=z$
$x-z = 1 \Rightarrow z=x-1$
$y-x = -1 \Rightarrow y=x-1$.
साथ ही,$a \cdot b = 3$ दिया गया है,इसलिए $x+y+z = 3$.
$y$ और $z$ का मान $x$ के पदों में रखने पर:
$x + (x-1) + (x-1) = 3$
$3x - 2 = 3 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
अतः $y = z = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,$b = \frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{2}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$.

(D) दिए गए सदिश $a = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $b = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
$a$ के लंबवत सदिश पर $b$ का प्रक्षेप सदिश,$b$ का $a$ के लंबवत घटक है,जो $b_{\perp a} = b - \text{proj}_a b$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ पर $b$ का प्रक्षेप $\text{proj}_a b = \left(\frac{a \cdot b}{|a|^2}\right)a$ है।
पहले $a \cdot b = (2)(3) + (-1)(-2) + (2)(-5) = 6 + 2 - 10 = -2$ ज्ञात करें।
फिर $|a|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$ ज्ञात करें।
अतः,$\text{proj}_a b = \left(\frac{-2}{9}\right)(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = -\frac{4}{9}\hat{i} + \frac{2}{9}\hat{j} - \frac{4}{9}\hat{k}$।
अब,$b_{\perp a} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) - (-\frac{4}{9}\hat{i} + \frac{2}{9}\hat{j} - \frac{4}{9}\hat{k})$।
$b_{\perp a} = (3 + \frac{4}{9})\hat{i} + (-2 - \frac{2}{9})\hat{j} + (-5 + \frac{4}{9})\hat{k}$।
$b_{\perp a} = \frac{31}{9}\hat{i} - \frac{20}{9}\hat{j} - \frac{41}{9}\hat{k}$।

(C) माना दिया गया व्यंजक $E = (\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot \{(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})\}$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करें: $(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}) = (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{a} - (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b} - (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{c}$.
$= (\vec{a} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c})$.
चूँकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,यह $0 + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{b} + 0 - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c}$ हो जाता है।
अब,इस मान को व्यंजक में वापस रखें: $E = (\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c})$.
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + 2 \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2 \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुणों का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ और $\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$ होता है।
अतः,$E = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - 2[\vec{b} \vec{a} \vec{c}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 3[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.

(D) दिया है: $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{j}-3 \hat{k}$।
चूंकि $\vec{a} \parallel \vec{c}$,हम $\vec{c} = k \vec{a}$ लिख सकते हैं।
$\vec{b} = \vec{c} - \vec{d}$ से,$\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} = k \vec{a} - \vec{b}$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \perp \vec{d}$ होने के कारण,उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$।
$\vec{a} \cdot (k \vec{a} - \vec{b}) = 0 \Rightarrow k |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
$|\vec{a}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 6$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(0) + (-1)(2) + (1)(-3) = -5$।
मान रखने पर: $k(6) - (-5) = 0 \Rightarrow 6k = -5 \Rightarrow k = -\frac{5}{6}$।
अतः,$\vec{c} = -\frac{5}{6} \vec{a}$ और $\vec{d} = -\frac{5}{6} \vec{a} - \vec{b}$।
अंत में,$\vec{c} + \vec{d} = -\frac{5}{6} \vec{a} - \frac{5}{6} \vec{a} - \vec{b} = -\frac{10}{6} \vec{a} - \vec{b} = -\frac{5}{3} \vec{a} - \vec{b} = -\frac{1}{3}(5 \vec{a} + 3 \vec{b})$।

(C) चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{r}$ उनके सदिश गुणनफल के समानांतर होना चाहिए: $\vec{r}=\lambda(\vec{a} \times \vec{b})$.
दिया गया है $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=5$,मान लीजिए $\vec{c}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$. तब $\lambda(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 5$,जो $\lambda[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=5$ है।
अदिश त्रिगुण गुणनफल की गणना करने पर: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 4 \end{vmatrix} = 2(-4+3) - 3(12-3) - 4(-9+3) = 2(-1) - 3(9) - 4(-6) = -2 - 27 + 24 = -5$.
अतः,$\lambda(-5) = 5 \Rightarrow \lambda = -1$.
अब,$\vec{r} = -(\vec{a} \times \vec{b}) = -\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -[\hat{i}(3-4) - \hat{j}(2+12) + \hat{k}(-2-9)] = -[-\hat{i} - 14\hat{j} - 11\hat{k}] = \hat{i} + 14\hat{j} + 11\hat{k}$.
अंत में,$|\vec{r}| = \sqrt{1^2 + 14^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 196 + 121} = \sqrt{318}$.

(C) समतल का समीकरण $3x + 4y - 5z = 60$ है।
$60$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है: $\frac{x}{20} + \frac{y}{15} - \frac{z}{12} = 1$.
यह समतल निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A(20, 0, 0)$,$B(0, 15, 0)$ और $C(0, 0, -12)$ पर काटता है।
चतुष्फलक मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ और बिंदुओं $A, B, C$ द्वारा बनता है।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{OA} = 20\hat{i}$,$\vec{OB} = 15\hat{j}$,और $\vec{OC} = -12\hat{k}$ है।
$V = \frac{1}{6} |20\hat{i} \cdot (15\hat{j} \times -12\hat{k})| = \frac{1}{6} |20 \times 15 \times (-12)| = \frac{1}{6} |-3600| = 600$ घन इकाइयाँ।