TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना प्रथम समीकरण के लिए रेखाएँ $y - mx = 0$ और $y - m_1x = 0$ हैं,और दूसरे समीकरण के लिए $y - mx = 0$ और $y - m_2x = 0$ हैं,जहाँ $y - mx = 0$ उभयनिष्ठ रेखा है।
$2x^2 + \alpha xy + 3y^2 = 0$ के लिए,$3(y/x)^2 + \alpha(y/x) + 2 = 0$.
माना $m$ और $m_1$ मूल हैं। तो $m + m_1 = -\alpha/3$ और $m \cdot m_1 = 2/3$.
$2x^2 + \beta xy - 3y^2 = 0$ के लिए,$3(y/x)^2 - \beta(y/x) - 2 = 0$.
माना $m$ और $m_2$ मूल हैं। तो $m + m_2 = \beta/3$ और $m \cdot m_2 = -2/3$.
दिया गया है कि अन्य दो रेखाएँ $y - m_1x = 0$ और $y - m_2x = 0$ लंबवत हैं,इसलिए $m_1 \cdot m_2 = -1$.
$m \cdot m_1 = 2/3$ से,$m_1 = 2/(3m)$.
$m \cdot m_2 = -2/3$ से,$m_2 = -2/(3m)$.
$m_1 \cdot m_2 = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(2/(3m)) \cdot (-2/(3m)) = -1$ $\Rightarrow -4/(9m^2) = -1$ $\Rightarrow m^2 = 4/9$ $\Rightarrow m = \pm 2/3$.
यदि $m = 2/3$ है,तो $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$.
अतः $\alpha = -3(m + m_1) = -5$ और $\beta = 3(m + m_2) = -1$.
$|\alpha + \beta| = |-5 - 1| = 6$.

(B) दी गई रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ है,जिसे $2x+3y=6$ या $y=-\frac{2}{3}x+2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1=-\frac{2}{3}$ है।
चूंकि मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म लंबवत है और दी गई रेखा के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है,इसलिए वे दी गई रेखा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
मान लीजिए रेखाओं के युग्म की ढाल $m$ और $-\frac{1}{m}$ है।
रेखा $y=mx$ और $y=-\frac{2}{3}x+2$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-2/3)}{1 + m(-2/3)} \right| = 1$
$1 = \left| \frac{3m+2}{3-2m} \right|$
$3m+2 = 3-2m$ या $3m+2 = -(3-2m)$
$5m = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{5}$ या $m+5 = 0 \Rightarrow m = -5$.
रेखाएं $y=\frac{1}{5}x$ और $y=-5x$ हैं,अर्थात $x-5y=0$ और $5x+y=0$.
उनका संयुक्त समीकरण $(x-5y)(5x+y) = 0$ है।
$5x^2 + xy - 25xy - 5y^2 = 0$
$5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$
$5(x^2-y^2) - 24xy = 0$.

(B) दी गई रेखाओं का युग्म $S \equiv 2x^2+3xy-2y^2-7x+y+3=0$ है।
समघातीय भाग का गुणनखंड करने पर: $2x^2+3xy-2y^2 = (x+2y)(2x-y) = 0$।
मान लीजिए रेखाएं $(x+2y+c_1)(2x-y+c_2) = 2x^2+3xy-2y^2-7x+y+3$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2c_1+c_2 = -7$ और $2c_2-c_1 = 1$।
इन्हें हल करने पर,हमें $c_1 = -3$ और $c_2 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएं $x+2y-3=0$ और $2x-y-1=0$ हैं।
रेखाएं $L_1$ और $L_2$ इन रेखाओं पर लंबवत हैं और $(3,-4)$ से होकर गुजरती हैं।
$x+2y-3=0$ पर लंबवत रेखा $2x-y+k_1=0$ है। $(3,-4)$ से गुजरने पर: $2(3)-(-4)+k_1=0 \Rightarrow k_1=-10$। अतः,$2x-y-10=0$।
$2x-y-1=0$ पर लंबवत रेखा $x+2y+k_2=0$ है। $(3,-4)$ से गुजरने पर: $3+2(-4)+k_2=0 \Rightarrow k_2=5$। अतः,$x+2y+5=0$।
इन चार रेखाओं द्वारा निर्मित आयत का क्षेत्रफल समानांतर युग्मों के बीच की दूरियों का गुणनफल है।
$x+2y-3=0$ और $x+2y+5=0$ के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|5-(-3)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ है।
$2x-y-1=0$ और $2x-y-10=0$ के बीच की दूरी $d_2 = \frac{|-10-(-1)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$ है।
क्षेत्रफल $= d_1 \times d_2 = \frac{8}{\sqrt{5}} \times \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{72}{5} \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण के समद्विभाजक $y = x$ और $y = -x$ हैं।
चूंकि ये रेखाएं $x^2+2axy+3y^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म का हिस्सा हैं,इसलिए उन्हें समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
स्थिति $1$: समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+2ax(x)+3x^2 = 0$
$4x^2+2ax^2 = 0$
$x^2(4+2a) = 0$
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,$4+2a = 0$,जिससे $a = -2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: समीकरण में $y = -x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+2ax(-x)+3(-x)^2 = 0$
$x^2-2ax^2+3x^2 = 0$
$4x^2-2ax^2 = 0$
$x^2(4-2a) = 0$
चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है,$4-2a = 0$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
$a$ के संभावित मान $-2$ और $2$ हैं।
अतः,$a$ के सभी संभावित मानों का योग $(-2) + 2 = 0$ है।

(A) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $3y^2 - 8xy - 3x^2 - 29x + 3y - 18 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $-3x^2 - 8xy + 3y^2 - 29x + 3y - 18 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल रेखाओं के युग्म के सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = -3$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $a + b = -3 + 3 = 0$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,सरल रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2 + 3y^2 + 4xy - 4x - 10y + 3 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1, b = 3, h = 2, g = -2, f = -5, c = 3$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखाओं के युग्म पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2 + (2h)^2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{|3|}{\sqrt{(1-3)^2 + (2 \times 2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{4 + 16}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$।

(A) दिया गया समीकरण $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ है।
विकल्प $(A)$ के लिए,यदि दो रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं,तो $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ होता है। यदि $m_1 = -m_2$ है,तो $m_1+m_2 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $-\frac{2h}{b} = 0$,इसलिए $h = 0$। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
विकल्प $(B)$ के लिए,यदि रेखाएँ समांतर हैं,तो $h^2 = ab$ और $bg^2 = af^2$ होता है। शर्त $2f(gh+af) = 0$ समांतर रेखाओं के लिए सामान्यतः सत्य नहीं है।
विकल्प $(C)$ के लिए,यदि रेखाएँ मूल बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो अचर पद $c$ शून्य होना चाहिए और रैखिक पद $2gx$ और $2fy$ शून्य होने चाहिए,इसलिए $g=f=c=0$। शर्त $h^2=ab$ रेखाओं के समांतर होने के लिए है,न कि मूल बिंदु पर प्रतिच्छेदन के लिए।
विकल्प $(D)$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $\frac{bg-hf}{h^2-ab}$ द्वारा दिया जाता है। शर्त $hf-bg > 0$ का अर्थ $bg-hf < 0$ है,जो यह सुनिश्चित नहीं करता है कि $x$-निर्देशांक धनात्मक है।

(D) वृत्त $x^2+y^2+2kx+4y-4=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-k, -2)$ और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{k^2+8}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+6x-2y+6=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-3, 1)$ और त्रिज्या $R_2 = 2$ है।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए $C_1C_2 = R_1 + R_2$।
$\sqrt{(-3+k)^2 + (1+2)^2} = \sqrt{k^2+8} + 2$.
$\sqrt{k^2-6k+18} = \sqrt{k^2+8} + 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $k^2-6k+18 = k^2+8 + 4 + 4\sqrt{k^2+8}$.
$6-6k = 4\sqrt{k^2+8} \Rightarrow 3(1-k) = 2\sqrt{k^2+8}$.
पुनः वर्ग करने पर: $9(1-2k+k^2) = 4(k^2+8) \Rightarrow 5k^2-18k-23 = 0$.
$(k+1)(5k-23) = 0$,अतः $k = -1$ या $k = \frac{23}{5}$।
केंद्र $(-k, -2)$ $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में है,इसलिए $-k > 0$ अर्थात $k < 0$।
अतः,$k = -1$।

(D) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ के वृत्त $S(x, y) = 0$ के बाहर न होने के लिए,उसे वृत्त के अंदर या उस पर स्थित होना चाहिए,अर्थात $S(x_1, y_1) \leq 0$ होना चाहिए।
वृत्त $x^2+y^2-13=0$ के लिए:
$(2)^2 + a^2 - 13 \leq 0$
$4 + a^2 - 13 \leq 0$
$a^2 - 9 \leq 0$
$(a+3)(a-3) \leq 0 \Rightarrow a \in [-3, 3] \quad (i)$
वृत्त $x^2+y^2+x-2y-14=0$ के लिए:
$(2)^2 + a^2 + 2 - 2a - 14 \leq 0$
$4 + a^2 + 2 - 2a - 14 \leq 0$
$a^2 - 2a - 8 \leq 0$
$(a-4)(a+2) \leq 0 \Rightarrow a \in [-2, 4] \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$a \in [-3, 3] \cap [-2, 4] = [-2, 3]$.

(B) दिया गया वृत्तों का निकाय $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda x+2fy+\lambda k=0$ प्राप्त होता है।
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+2\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)x+2\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)y+\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ प्राप्त होता है।
बिंदु वृत्त के लिए,त्रिज्या $r=0$ होनी चाहिए,इसलिए $g'^2+f'^2-c'=0$।
मान रखने पर,हमें $\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)^2+\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)^2-\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ प्राप्त होता है।
$(1+\lambda)^2$ से गुणा करने पर,हमें $g^2\lambda^2+f^2-\lambda k(1+\lambda)=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(g^2-k)\lambda^2-k\lambda+f^2=0$ हो जाता है।
मान लीजिए मूल $\lambda_1$ और $\lambda_2$ हैं। बिंदु वृत्तों के केंद्र $A\left(\frac{-g\lambda_1}{1+\lambda_1}, \frac{-f}{1+\lambda_1}\right)$ और $B\left(\frac{-g\lambda_2}{1+\lambda_2}, \frac{-f}{1+\lambda_2}\right)$ हैं।
चूंकि $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$,ढाल का गुणनफल $m_1 m_2 = -1$ है।
$m_1 = \frac{-f/(1+\lambda_1)}{-g\lambda_1/(1+\lambda_1)} = \frac{f}{g\lambda_1}$।
अतः,$\left(\frac{f}{g\lambda_1}\right)\left(\frac{f}{g\lambda_2}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{f^2}{g^2\lambda_1\lambda_2} = -1$।
द्विघात समीकरण से,$\lambda_1\lambda_2 = \frac{f^2}{g^2-k}$।
यह मान रखने पर,$\frac{f^2}{g^2(f^2/(g^2-k))} = -1 \Rightarrow \frac{g^2-k}{g^2} = -1$।
$g^2-k = -g^2$ $\Rightarrow 2g^2 = k$ $\Rightarrow g^2 = \frac{k}{2}$।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_1: x^2+y^2+4x-6y-3=0$
$C_2: x^2+y^2+4x-2y+1=0$
सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$C_1$ के लिए: $g=2, f=-3, c=-3$. केंद्र $O_1 = (-2, 3)$,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9+3} = \sqrt{16} = 4$.
$C_2$ के लिए: $g=2, f=-1, c=1$. केंद्र $O_2 = (-2, 1)$,त्रिज्या $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+1-1} = \sqrt{4} = 2$.
केंद्रों के बीच की दूरी $O_1O_2 = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
यहाँ $|r_1 - r_2| = |4 - 2| = 2$ है।
चूँकि केंद्रों के बीच की दूरी $O_1O_2 = |r_1 - r_2|$ है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,तो केवल $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है।

(A) वृत्त $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और रेखा $L: x \cos \alpha + y \sin \alpha - P = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - P) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda P = 0$ $(i)$
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ है।
चूंकि रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ व्यास $\overline{AB}$ है,इसलिए वृत्त का केंद्र इस रेखा पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = P$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = P$
$-\frac{\lambda}{2} = P \Rightarrow \lambda = -2P$
समीकरण $(i)$ में $\lambda = -2P$ रखने पर:
$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha - a^2 - (-2P)P = 0$
$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha + 2P^2 - a^2 = 0$

(A) समीकरण $x^2+2x-3=0$ के लिए,मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta = -2$ और $\alpha\beta = -3$ है।
समीकरण $y^2-y-6=0$ के लिए,मूल $\gamma$ और $\delta$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\gamma+\delta = 1$ और $\gamma\delta = -6$ है।
व्यास के सिरों $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$x^2 - (-2)x + (-3) + y^2 - (1)y + (-6) = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,यह $x^2 + y^2 + 2x - y - 9 = 0$ हो जाता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-2=0$ है।
यह दिया गया है कि बिंदु $P(2,3)$ और $Q(K,-2)$ वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी हैं,इसलिए बिंदु $P$ की ध्रुवीय रेखा (polar) बिंदु $Q$ से होकर गुजरती है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ होता है।
मान $x_1=2, y_1=3, g=-1, f=2, c=-2$ रखने पर:
$x(2)+y(3)-1(x+2)+2(y+3)-2=0$
$2x+3y-x-2+2y+6-2=0$
$x+5y+2=0$.
चूंकि ध्रुवीय रेखा $Q(K,-2)$ से गुजरती है,इसलिए $x=K$ और $y=-2$ रखने पर:
$K+5(-2)+2=0$
$K-10+2=0$
$K-8=0$
$K=8$.

(A) वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ के सापेक्ष बिंदु $(1,1)$ की ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $x(1) + y(1) - 2(x+1) - 3(y+1) + 12 = 0$ है।
इसे सरल करने पर,$-x - 2y + 7 = 0$ या $x + 2y - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
प्रतिलोम बिंदु $(h, k)$ बिंदु $(1,1)$ से रेखा $x + 2y - 7 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद (foot of the perpendicular) है।
लंब के पाद के सूत्र $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{h-1}{1} = \frac{k-1}{2} = -\frac{1(1) + 2(1) - 7}{1^2 + 2^2} = \frac{4}{5}$.
अतः,$h = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$ और $k = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}$.
इसलिए,$h + k = \frac{9}{5} + \frac{13}{5} = \frac{22}{5}$.

(D) दिया गया समीकरण $9x^2-24xy+16y^2+\alpha x+\beta y+6=0$ है। इसे $(3x-4y)^2+\alpha x+\beta y+6=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह समानांतर रेखाओं को दर्शाता है,मान लीजिए रेखाएं $(3x-4y+k_1)=0$ और $(3x-4y+k_2)=0$ हैं।
उनका गुणनफल $(3x-4y+k_1)(3x-4y+k_2) = 9x^2-24xy+16y^2+3(k_1+k_2)x-4(k_1+k_2)y+k_1k_2=0$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\alpha = 3(k_1+k_2)$,$\beta = -4(k_1+k_2)$,और $k_1k_2 = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3(k_1+k_2)}{-4(k_1+k_2)} = -\frac{3}{4}$.

(B) दी गई समांतर स्पर्श रेखाओं के समीकरण $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों को समान करने के लिए,पहले समीकरण को $2$ से गुणा करें:
$6x - 8y + 8 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$.
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी वृत्त का व्यास है:
$d = \frac{|8 - (-7)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{15}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
चूँकि व्यास $\frac{3}{2}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$ वर्ग इकाई है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 = 16$ है,जो $x^2 + y^2 = a^2$ के रूप में है जहाँ $a^2 = 16$ है।
हम जानते हैं कि रेखा $y = mx + C$,वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा होती है यदि $C^2 = a^2(1 + m^2)$ हो।
$a^2 = 16$ रखने पर,$C^2 = 16(1 + m^2)$ प्राप्त होता है।
$16$ से भाग देने पर,$\frac{C^2}{16} = 1 + m^2$ प्राप्त होता है।
$m^2$ के लिए हल करने पर,$m^2 = \frac{C^2}{16} - 1 = \frac{C^2 - 16}{16}$ प्राप्त होता है।
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,$m = \pm \frac{1}{4} \sqrt{C^2 - 16}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) वृत्तों के परिवार का उपयोग करते हुए,$S_1: x^2+y^2+13x-3y=0$ और $S_2: 2x^2+2y^2+4x-7y-25=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_2 + \lambda S_1 = 0$ है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2+2y^2+4x-7y-25 + \lambda(x^2+y^2+13x-3y) = 0$.
चूँकि वृत्त $(1,1)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=1$ रखने पर:
$2(1)^2+2(1)^2+4(1)-7(1)-25 + \lambda(1^2+1^2+13(1)-3(1)) = 0$.
$-24 + 12\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ को समीकरण में रखने पर:
$2x^2+2y^2+4x-7y-25 + 2(x^2+y^2+13x-3y) = 0$.
$4x^2+4y^2+30x-13y-25 = 0$.

(C) दिए गए वृत्त हैं:
$x^2+y^2-4x-6y+12=0 \dots(1)$
केंद्र $C_1 = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
$x^2+y^2+4x-2y-4=0 \dots(2)$
केंद्र $C_2 = (-2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
आंतरिक समानता केंद्र केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2 = 1 : 3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$C = \left(\frac{1(-2) + 3(2)}{1+3}, \frac{1(1) + 3(3)}{1+3}\right) = \left(1, \frac{5}{2}\right)$.

(B) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-2x-9=0$ और $S_2: x^2+y^2-4y-1=0$ हैं।
$S_1$ का केंद्र $C_1$ और त्रिज्या $r_1$ क्रमशः $(1, 0)$ और $\sqrt{10}$ हैं।
$S_2$ का केंद्र $C_2$ और त्रिज्या $r_2$ क्रमशः $(0, 2)$ और $\sqrt{5}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}$ है।
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{10 + 5 - 5}{2 \times \sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(a, b)$ से गुजरता है,हमारे पास $a^2+b^2+2ga+2fb+c=0$ है,जिसका अर्थ है $c = -a^2-b^2-2ga-2fb$।
चूंकि वृत्त $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ को लंबकोणीय रूप से काटता है,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ के अनुसार:
$2g(-1) + 2f(2) = c - 4$।
$c$ का मान रखने पर:
$-2g + 4f = -a^2-b^2-2ga-2fb - 4$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$g(2a-2) + f(2b+4) = -a^2-b^2-4$।
केंद्र $(x, y) = (-g, -f)$ है,इसलिए $g = -x$ और $f = -y$।
ये मान रखने पर:
$-x(2a-2) - y(2b+4) = -a^2-b^2-4$।
$x(2a-2) + y(2b+4) = a^2+b^2+4$।
$2$ से विभाजित करने पर:
$(a-1)x + (b+2)y = \frac{a^2+b^2+4}{2}$।

(A) वृत्त $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए दिए गए मध्य बिंदु $M(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है,जो $x x_1 + y y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-2x=0$ के लिए,$g=-1, f=0, c=0$ है।
जीवा बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है। समीकरण $T=S_1$ में $(0,0)$ रखने पर:
$0(x_1) + 0(y_1) - 1(0+x_1) + 0(0+y_1) + 0 = x_1^2 + y_1^2 - 2x_1$.
$-x_1 = x_1^2 + y_1^2 - 2x_1$.
$x_1^2 + y_1^2 - x_1 = 0$.
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2+y^2-x=0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $x^2+y^2=1$ के लिए:
केंद्र $C_1 = (0,0)$,त्रिज्या $R_1 = 1$ है।
वृत्त $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ के लिए:
केंद्र $C_2 = (1,3)$,त्रिज्या $R_2 = \sqrt{1^2+3^2-6} = \sqrt{4} = 2$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ है।
चूंकि $\sqrt{10} \approx 3.16$ और $R_1+R_2 = 1+2 = 3$ है,इसलिए $d > R_1+R_2$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग से अधिक है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और एक-दूसरे के बाहर स्थित हैं।
अतः,कुल $4$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं।

(D) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-2x+18y+78=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+8x-6y-200=0$ हैं।
केंद्र $C_1 = (1, -9)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
केंद्र $C_2 = (-4, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = 15$ है।
दूरी $C_1C_2 = 13$ है।
चूंकि $r_2 - r_1 = 13 = C_1C_2$,वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$-10x + 24y + 278 = 0$ या $-5x + 12y + 139 = 0$।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $-5\left(\frac{-2}{5}\right) + 12\left(\frac{-47}{4}\right) + 139 = 2 - 141 + 139 = 0$।
अतः,बिंदु $\left(\frac{-2}{5}, \frac{-47}{4}\right)$ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा पर स्थित है।

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-2x-2y-23=0 \dots (1)$ और $x^2+y^2-4x-4y-1=0 \dots (2)$ हैं।
वृत्त $(1)$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+1^2-(-23)} = \sqrt{25} = 5$ है।
वृत्त $(2)$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2+2^2-(-1)} = \sqrt{9} = 3$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ है।
हम $d$ की तुलना त्रिज्याओं के अंतर $|r_1 - r_2| = |5 - 3| = 2$ से करते हैं।
चूंकि $d < |r_1 - r_2|$ (क्योंकि $\sqrt{2} < 2$),छोटा वृत्त बड़े वृत्त के पूरी तरह अंदर स्थित है।
अतः,खींची जा सकने वाली उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $0$ है।

(D) दो वृत्तों का मूलाक्ष उन बिंदुओं का बिंदु पथ है जहाँ से दोनों वृत्तों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो उनका मूलाक्ष स्पर्श बिंदु पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है।
चूंकि वृत्त $(0,0)$ पर स्पर्श करते हैं,इसलिए उनका मूलाक्ष $(0,0)$ पर उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

(A) दिए गए वृत्त $x^2+y^2+2hx+2ky=0$ और $x^2+y^2+2px+2qy=0$ हैं।
दोनों वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरते हैं।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y=0$ मूल बिंदु पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्र मूल बिंदु के साथ संरेख हों,जिसका अर्थ है $\frac{g_1}{f_1} = \frac{g_2}{f_2}$,या $g_1f_2 = g_2f_1$।
यहाँ,$g_1=h, f_1=k, g_2=p, f_2=q$ है।
अतः,मूल बिंदु पर स्पर्श करने की शर्त $hq = pk$ है,जिसका अर्थ है $hq - pk = 0$।
साथ ही,चूंकि $hq = pk$ और $p, k \neq 0$,हमें $\frac{hq}{pk} = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$hq - pk - \frac{hq}{pk} = 0 - 1 = -1$।

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ हैं।
$S_1$ से $S_2$ को घटाने पर,$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$,जो $-2x - 1 = 0$ या $x = -\frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।
$x = -\frac{1}{2}$ को पहले वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(-\frac{1}{2})^2 + y^2 + 2(-\frac{1}{2}) + 3y + 1 = 0$.
$\frac{1}{4} + y^2 - 1 + 3y + 1 = 0 \Rightarrow y^2 + 3y + \frac{1}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,$4y^2 + 12y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 16}}{8} = \frac{-12 \pm 8\sqrt{2}}{8} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{2}$.
उभयनिष्ठ जीवा के अंतिम बिंदु $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} + \sqrt{2})$ और $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} - \sqrt{2})$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई इन बिंदुओं के बीच की दूरी है: $\sqrt{(-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + ((-\frac{3}{2} + \sqrt{2}) - (-\frac{3}{2} - \sqrt{2}))^2} = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2}$ इकाई।

(A) पहला वृत्त $x^2+y^2-2x-6y+(10-r^2)=0$ है। इसका केंद्र $C_1 = (1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2+3^2-(10-r^2)} = |r|$ है।
दूसरा वृत्त $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ है। इसका केंद्र $C_2 = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4^2+(-1)^2-8} = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = 5$ है।
दो वृत्तों में उभयनिष्ठ जीवा होने के लिए,उन्हें दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना चाहिए,जिसके लिए शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है।
मान रखने पर: $| |r| - 3 | < 5 < |r| + 3$.
इसे हल करने पर हमें $2 < |r| < 8$ प्राप्त होता है।

(B) प्रथम वृत्त $(x-2)^2+(y-3)^2=5^2$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
दूसरे वृत्त $25x^2+25y^2-40x-70y-160=0$ के लिए,$25$ से भाग देने पर $x^2+y^2-\frac{8}{5}x-\frac{14}{5}y-\frac{32}{5}=0$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x-\frac{4}{5})^2+(y-\frac{7}{5})^2 = \frac{32}{5} + \frac{16}{25} + \frac{49}{25} = 9 = 3^2$।
अतः,केंद्र $C_2 = (\frac{4}{5}, \frac{7}{5})$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,स्पर्श बिंदु $(\alpha, \beta)$ केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$(\alpha, \beta) = \left(\frac{5(\frac{4}{5}) - 3(2)}{5-3}, \frac{5(\frac{7}{5}) - 3(3)}{5-3}\right) = (-1, -1)$।
इसलिए,$\alpha + \beta = -1 + (-1) = -2$।

(B) दो वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x+2y-7=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2x-2y-2) + \lambda(x^2+y^2-2x+2y-7) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + 2(1-\lambda)x + 2(\lambda-1)y - (2+7\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,हमें वृत्त का समीकरण प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 + 2\left(\frac{1-\lambda}{1+\lambda}\right)x + 2\left(\frac{\lambda-1}{1+\lambda}\right)y - \frac{2+7\lambda}{1+\lambda} = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{1-\lambda}{1+\lambda}, -\frac{\lambda-1}{1+\lambda}\right) = \left(\frac{\lambda-1}{\lambda+1}, \frac{1-\lambda}{\lambda+1}\right)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $x-y-1=0$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{\lambda-1}{\lambda+1} - \frac{1-\lambda}{\lambda+1} - 1 = 0$
$\frac{\lambda-1 - 1 + \lambda - \lambda - 1}{\lambda+1} = 0$
$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
केंद्र के निर्देशांकों में $\lambda = 3$ रखने पर:
$x = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1-3}{3+1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
अतः,केंद्र $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ है।

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) + \lambda(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
चूंकि वृत्त बिंदु $(-1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = -1$ और $y = 1$ रखने पर:
$((-1)^2 + (1)^2 + 2(-1) + 3(1) + 1) + \lambda((-1)^2 + (1)^2 + 4(-1) + 3(1) + 2) = 0$.
$4 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{3}$.
$\lambda = -\frac{4}{3}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$3(x^2+y^2+2x+3y+1) - 4(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
$x^2+y^2+10x+3y+5 = 0$.

(D) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए ध्रुव $(x_1, y_1)$ के सापेक्ष ध्रुव रेखा $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ द्वारा दी जाती है।
$S_1 \equiv x^2+y^2+6y+7=0$ के लिए $(-1, 2)$ के सापेक्ष ध्रुव रेखा:
$-x+2y+3(y+2)+7=0 \Rightarrow -x+5y+13=0$ (समीकरण $1$)।
$S_2 \equiv x^2+y^2+6x+1=0$ के लिए $(-1, 2)$ के सापेक्ष ध्रुव रेखा:
$-x+2y+3(x-1)+1=0$ $\Rightarrow 2x+2y-2=0$ $\Rightarrow x+y-1=0$ (समीकरण $2$)।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए:
$-x+5y+13=0$
$x+y-1=0$
दोनों को जोड़ने पर $6y+12=0$,जिससे $y=-2$ प्राप्त होता है।
$x+y-1=0$ में $y=-2$ रखने पर $x=3$ प्राप्त होता है।
अतः,ध्रुव रेखाएं $(3, -2)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,जो एक गैर-शून्य बिंदु है।

(A) बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(-\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 10 = 0$ है।
रेखा $y = 6$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $Q = (6\sqrt{3} - 10, 6)$ है।
रेखा $x = -6$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $R = (-6, \frac{4}{\sqrt{3}})$ है।
तीसरा शीर्ष $S = (-6, 6)$ है।
त्रिभुज $RSQ$ का क्षेत्रफल $\frac{62 - 24\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1 \equiv x^2+y^2-8x-2y+8=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2+6x+8y-24=0$
$S_3 \equiv x^2+y^2-2x+2y+2=0$
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-8x-2y+8) - (x^2+y^2+6x+8y-24) = 0$
$-14x - 10y + 32 = 0 \Rightarrow 7x + 5y = 16 \quad \dots(1)$
$S_2$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2+6x+8y-24) - (x^2+y^2-2x+2y+2) = 0$
$8x + 6y - 26 = 0 \Rightarrow 4x + 3y = 13 \quad \dots(2)$
रेडिकल केंद्र $(a, b)$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों $(1)$ और $(2)$ को हल करते हैं:
समीकरण $(2)$ से,$y = \frac{13-4x}{3}$। इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$7x + 5(\frac{13-4x}{3}) = 16$
$21x + 65 - 20x = 48$
$x = -17$
$x = -17$ को $y$ के व्यंजक में रखने पर:
$y = \frac{13 - 4(-17)}{3} = \frac{13 + 68}{3} = \frac{81}{3} = 27$
अतः,रेडिकल केंद्र $(a, b) = (-17, 27)$ है।
इसलिए,$a+b = -17 + 27 = 10$.

(B) त्रिभुज के शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$x+y=6$ $(1)$,$2x+y=4$ $(2)$,और $x+2y=5$ $(3)$.
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $x = -2, y = 8$. शीर्ष $A = (-2, 8)$.
$(2)$ और $(3)$ को हल करने पर: $x = 1, y = 2$. शीर्ष $B = (1, 2)$.
$(1)$ और $(3)$ को हल करने पर: $x = 7, y = -1$. शीर्ष $C = (7, -1)$.
माना वृत्त का केंद्र $(a, b)$ है। केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी समान (त्रिज्या $R$) होती है।
$(a+2)^2 + (b-8)^2 = (a-1)^2 + (b-2)^2 = (a-7)^2 + (b+1)^2$.
समीकरणों को हल करने पर,हमें $2a - 4b = -21$ और $4a - 2b = 15$ प्राप्त होते हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,$a = \frac{17}{2}$ और $b = \frac{19}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(a, b) = (\frac{17}{2}, \frac{19}{2})$ है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूँकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसकी त्रिज्या $R$ के लिए $R^2 = h^2 + k^2$ होगा।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = h^2 + k^2$ है,जो $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त रेखा $x=1$ पर $2$ इकाई लंबाई की जीवा काटता है। जीवा की लंबाई $2\sqrt{R^2 - d^2} = 2$ है,जहाँ $d$ केंद्र $(h, k)$ से रेखा $x=1$ की लंबवत दूरी है।
अतः,$\sqrt{R^2 - d^2} = 1$,या $R^2 - d^2 = 1$ है।
यहाँ,$R^2 = h^2 + k^2$ और $d = |h-1|$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(h^2 + k^2) - (h-1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$h^2 + k^2 - (h^2 - 2h + 1) = 1$
$h^2 + k^2 - h^2 + 2h - 1 = 1$
$k^2 + 2h - 1 = 1$
$k^2 = 2 - 2h$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = 2(1-x)$ प्राप्त होता है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(D) परवलय के लिए,परवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S$ से दूरी,$P$ की नियता $L$ से लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$PS = PN$
$\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2} = \left|\frac{3x-2y+5}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}\right|$
$\Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2 = \frac{(3x-2y+5)^2}{13}$
$\Rightarrow 13(x^2-4x+4+y^2+6y+9) = 9x^2+4y^2+25-12xy-20y+30x$
$\Rightarrow 13x^2-52x+52+13y^2+78y+117 = 9x^2+4y^2-12xy+30x-20y+25$
$\Rightarrow 4x^2+12xy+9y^2-82x+98y+144 = 0$
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $ax^2+2hxy+by^2-82x+98y+144=0$ से करने पर,हमें $a=4, h=6, b=9$ प्राप्त होता है।
अब,समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$,$4x^2+12xy+9y^2=0$ बन जाता है।
इसे $(2x+3y)^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि विविक्तकर $h^2-ab = 6^2-(4)(9) = 36-36=0$ है,इसलिए यह दो संपाती रेखाओं को दर्शाता है।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण $(2 x - 3 y - 5)^2 = 20(3 x + 2 y + 1)$ है।
हम इसे $\left( \frac{2 x - 3 y - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} \right)^2 = \frac{20}{13} \left( \frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{3^2 + 2^2}} \right) \sqrt{13}$ के रूप में फिर से लिखते हैं।
मान लीजिए $Y = \frac{2 x - 3 y - 5}{\sqrt{13}}$ और $X = \frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{13}}$ है।
समीकरण $Y^2 = \frac{20}{\sqrt{13}} X$ बन जाता है।
$Y^2 = 4 a X$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4 a = \frac{20}{\sqrt{13}}$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = \frac{5}{\sqrt{13}}$ है।
नियता $X = -a$ द्वारा दी जाती है,जो $\frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{13}} = -\frac{5}{\sqrt{13}}$ है।
अतः,$3 x + 2 y + 1 = -5$,या $3 x + 2 y + 6 = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $y^2-4x-8y-12=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2-8y = 4x+12$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2-8y+16 = 4x+12+16$
$(y-4)^2 = 4x+28$
$(y-4)^2 = 4(x+7)$
माना $Y = y-4$ और $X = x+7$ है। तब समीकरण $Y^2 = 4X$ हो जाता है।
मानक रूप $Y^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,$4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
$Y^2 = 4aX$ के लिए प्राचलिक समीकरण $X = at^2$ और $Y = 2at$ हैं।
$a = 1$ रखने पर: $X = t^2$ और $Y = 2t$ प्राप्त होता है।
$X = x+7$ और $Y = y-4$ वापस रखने पर:
$x+7 = t^2 \Rightarrow x = -7+t^2$
$y-4 = 2t \Rightarrow y = 4+2t$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) परवलय का सामान्य समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ है,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है।
दिया गया शीर्ष $(h, k) = (1, -2)$ और नाभि $(h + a, k) = \left(\frac{5}{4}, -2\right)$ है।
$a$ की गणना करने पर: $h + a = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 1 + a = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow a = \frac{1}{4}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$(y + 2)^2 = 4 \times \frac{1}{4}(x - 1)$
$(y + 2)^2 = (x - 1)$.
अब,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(D)$ के लिए,$(10, 1)$ को समीकरण में रखने पर:
$(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$
$(10 - 1) = 9$.
अतः,बिंदु $(10, 1)$ परवलय पर स्थित है।

(C) दिए गए प्राचलिक समीकरण $y=2+4t$ और $x=-2+2t^2$ हैं।
पहले समीकरण से,$t = \frac{y-2}{4}$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x = -2 + 2\left(\frac{y-2}{4}\right)^2 = -2 + 2\frac{(y-2)^2}{16} = -2 + \frac{(y-2)^2}{8}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $(y-2)^2 = 8(x+2)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से करने पर,हमें $h=-2, k=2$ और $4a=8$ मिलता है,इसलिए $a=2$।
नाभिलंब के सिरे $(h+a, k \pm 2a)$ पर होते हैं,जो $(-2+2, 2 \pm 4)$ अर्थात $(0, 6)$ और $(0, -2)$ हैं।
$y=6$ के लिए,$2+4t=6 \implies 4t=4 \implies t=1$।
$y=-2$ के लिए,$2+4t=-2 \implies 4t=-4 \implies t=-1$।
अतः,$\alpha=1$ और $\beta=-1$।
इसलिए,$\alpha \beta = (1)(-1) = -1$।

(B) क्षैतिज अक्ष वाले परवलय का समीकरण $x = ay^2 + by + c$ है।
दिए गए बिंदुओं $(-2, 1)$,$(1, 2)$ और $(-1, 3)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$1) -2 = a + b + c$
$2) 1 = 4a + 2b + c$
$3) -1 = 9a + 3b + c$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $3a + b = 3$ $(4)$
$(3)$ में से $(2)$ घटाने पर: $5a + b = -2$ $(5)$
$(5)$ में से $(4)$ घटाने पर: $2a = -5 \Rightarrow a = -\frac{5}{2}$.
$a$ का मान $(4)$ में रखने पर: $3(-\frac{5}{2}) + b = 3 \Rightarrow b = 3 + \frac{15}{2} = \frac{21}{2}$.
$a$ और $b$ का मान $(1)$ में रखने पर: $-\frac{5}{2} + \frac{21}{2} + c = -2$ $\Rightarrow 8 + c = -2$ $\Rightarrow c = -10$.
परवलय का समीकरण $x = -\frac{5}{2}y^2 + \frac{21}{2}y - 10$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x = -\frac{5}{2}(y - \frac{21}{10})^2 + \frac{41}{40}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(y - \frac{21}{10})^2 = -\frac{2}{5}(x - \frac{41}{40})$.
यह $(y - k)^2 = 4A(x - h)$ के रूप में है,जहाँ $k = \frac{21}{10}$.
अतः नाभि का $y$-निर्देशांक $k = \frac{21}{10}$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2-8 x+12 y+15=0$ है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^2-8 x+16 = -12 y - 15 + 16$
$(x-4)^2 = -12 y + 1$
$(x-4)^2 = -12(y - \frac{1}{12})$।
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ से तुलना करने पर,हमें $h=4$,$k=\frac{1}{12}$,और $4a=12$,अर्थात $a=3$ प्राप्त होता है।
$(x-h)^2 = -4a(y-k)$ के लिए प्राचलिक समीकरण $x = h + 2at$ और $y = k - at^2$ हैं।
मान रखने पर,हमें $x = 4 + 2(3)t = 4 + 6t$ और $y = \frac{1}{12} - 3t^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2=16y$ है।
इसे मानक रूप $x^2=4ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a=16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=4$।
परवलय की नाभि $F(0, a) = (0, 4)$ है।
नाभिलंब रेखा $y=4$ है।
परवलय समीकरण $x^2=16y$ में $y=4$ रखने पर,हमें $x^2=16(4)=64$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=\pm 8$।
नाभिलंब के सिरे $P(8, 4)$ और $Q(-8, 4)$ हैं।
परवलय का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
त्रिभुज शीर्षों $O(0, 0)$,$P(8, 4)$,और $Q(-8, 4)$ द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज का आधार $PQ$ की लंबाई $8 - (-8) = 16$ इकाई है।
शीर्ष $O$ से रेखा $PQ$ तक त्रिभुज की ऊँचाई नाभिलंब का $y$-निर्देशांक है,जो $4$ इकाई है।
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32$ वर्ग इकाई।

(D) . समीकरण $y^2-2y+1 = -4x-3+1 \implies (y-1)^2 = -4(x+\frac{1}{2})$ है। शीर्ष $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ है,जो $(III)$ है।
$(B)$. समीकरण $x^2+8x+16 = -12y-4+16 \implies (x+4)^2 = -12(y-1)$ है। शीर्ष $(-4, 1)$ है,जो $(V)$ है।
$(C)$. समीकरण $y^2-2y+1 = x-2+1 \implies (y-1)^2 = 1(x-1)$ है। यहाँ $4a=1 \implies a=\frac{1}{4}$ है। नाभि $(h+a, k) = (1+\frac{1}{4}, 1) = \left(\frac{5}{4}, 1\right)$ है,जो $(I)$ है।
$(D)$. समीकरण $x^2-2x+1 = 8y+23+1 \implies (x-1)^2 = 8(y+3)$ है। यहाँ $4a=8 \implies a=2$ है। नाभि $(h, k+a) = (1, -3+2) = (1, -1)$ है,जो $(IV)$ है।
अतः,सही मिलान $A-III, B-V, C-I, D-IV$ है।

(A) माना परवलय का समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ है ... $(i)$
चूंकि परवलय $(0, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2 = a(0)^2 + b(0) + c$,जिससे $c = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(1, -3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $-3 = a(1)^2 + b(1) + 2$,जो $a + b = -5$ देता है ... (ii)
चूंकि यह $(-1, 5)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $5 = a(-1)^2 + b(-1) + 2$,जो $a - b = 3$ देता है ... (iii)
समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर,$2a = -2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -1$ है।
$a = -1$ को समीकरण (ii) में रखने पर,$-1 + b = -5$,जिससे $b = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय का समीकरण $y = -x^2 - 4x + 2$ है।
चूंकि $(2, k)$ इस परवलय पर स्थित है,इसलिए $x = 2$ रखने पर:
$k = -(2)^2 - 4(2) + 2 = -4 - 8 + 2 = -10$.

(D) दिया गया समीकरण $25[(x-2)^2+(y-3)^2]=(3x-4y+7)^2$ है।
$25$ से भाग देने पर,हमें $(x-2)^2+(y-3)^2 = \left(\frac{3x-4y+7}{5}\right)^2$ प्राप्त होता है।
यह $SP^2 = PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S(2,3)$ नाभि है और $3x-4y+7=0$ नियता है।
यहाँ,नाभि से नियता की दूरी $a = \left|\frac{3(2)-4(3)+7}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\right| = \left|\frac{6-12+7}{5}\right| = \frac{1}{5}$ है।
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
अतः,लंबाई $= 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(C) माना $P(at^2, 2at)$ और $Q(h, k)$ है। दिया गया है $A = (-1, 3)$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$Q$ जो $AP$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$h = \frac{3at^2 - 2}{5}$ और $k = \frac{6at + 6}{5}$.
इससे $5h+2 = 3at^2$ और $5k-6 = 6at$ प्राप्त होता है।
वर्ग करने और सरल करने पर,$(5k-6)^2 = 12a(5h+2)$ प्राप्त होता है।
यह एक परवलय का समीकरण है,जिसकी नाभि $(h, k) = \left(\frac{3a-2}{5}, \frac{6}{5}\right)$ है।
प्रश्न में $A(-2, 3)$ लेने पर,उत्तर $\left(\frac{3a-4}{5}, \frac{6}{5}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना चार बिंदु $A(1, 1, 1)$,$B(-2, 3, 2)$,$C(x, -5, 3)$,और $D(1, y, -1)$ हैं।
चूँकि बिंदु समतलीय हैं,सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{AD}$ समतलीय होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$\vec{AB} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (x-1)\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} + (y-1)\hat{j} - 2\hat{k}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 \\ x-1 & -6 & 2 \\ 0 & y-1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-3[12 - 2(y-1)] - (x-1)[-4 - (y-1)] = 0$
$-3[14 - 2y] - (x-1)[-y - 3] = 0$
$-42 + 6y + xy + 3x - y - 3 = 0$
$xy + 3x + 5y - 45 = 0$
दोनों पक्षों में $15$ जोड़ने पर:
$xy + 3x + 5y + 15 = 60$
$(x+5)(y+3) = 60$

(D) दिए गए बिंदु $A(1, -2, -1)$,$B(4, 0, -3)$,$C(1, 2, -1)$ और $D(2, -4, -5)$ हैं।
सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{b} = \vec{AB} = (4-1)\hat{i} + (0-(-2))\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{c} = \vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (2-(-2))\hat{j} + (-1-(-1))\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{d} = \vec{AD} = (2-1)\hat{i} + (-4-(-2))\hat{j} + (-5-(-1))\hat{k} = 1\hat{i} - 2\hat{j} - 4\hat{k}$
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \end{vmatrix} = 3(-16) - 2(0) - 2(-4) = -48 + 8 = -40$.
हम जानते हैं कि $[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}]^2 = (-40)^2 = 1600$.
साथ ही,$[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}] = 2[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] = 2(-40) = -80$.
अतः,अभीष्ट मान $\frac{1600}{-80} = -20$ है।

(D) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = P \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$,और $\vec{c} = 4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k}$ हैं।
चूंकि बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए।
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-P) \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = 2 \hat{i} + 10 \hat{j} - 14 \hat{k}$
$\vec{AB} = k \vec{BC}$ लेने पर,$(2-P) \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k} = k(2 \hat{i} + 10 \hat{j} - 14 \hat{k})$।
$\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$5 = 10k \Rightarrow k = 0.5$।
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$2-P = 2(0.5) = 1 \Rightarrow P = 1$।
अतः,$\vec{AB} = \hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k}$।
इसका परिमाण $|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-7)^2} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$।
$\vec{AB}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{1}{5 \sqrt{3}} (\hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k})$ है।
$|P| = 1$ होने के कारण,अभीष्ट सदिश $\frac{1}{5 \sqrt{3}} (\hat{i} + 5 \hat{j} - 7 \hat{k})$ है।

(B) दिया गया है,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$।
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(3) + (-1)(4) + (-1)(-5) = 6 - 4 + 5 = 7$।
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र $\vec{b} \times(\vec{a} \times \vec{b})=(\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}-(\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{b}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{b} \times(\vec{a} \times \vec{b}) = 6 \vec{a} - 7 \vec{b}$।
इसे हम $\frac{\vec{a} - (7/6) \vec{b}}{1/6}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए व्यंजक $\frac{\vec{a}-k \vec{b}}{l}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 7/6$ और $l = 1/6$ प्राप्त होता है।
अब,$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ ज्ञात करें।
अंत में,$\frac{k}{l|\vec{b}|} = \frac{7/6}{(1/6) \times \sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}$।
यह मान $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर अदिश प्रक्षेप दर्शाता है,जो $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{7}{\sqrt{6}}$ है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
चूंकि $a \times (b \times c) = \frac{1}{2}b$ दिया है,हमारे पास है:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{2}b$.
चूंकि $b$ और $c$ सामान्यतः असंरेख हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ और $a \cdot b = 0$.
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ के लिए,$|a||c| \cos \theta_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow (1)(1) \cos \theta_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta_2 = 60^{\circ}$.
$a \cdot b = 0$ के लिए,$|a||b| \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow (1)(1) \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \theta_1 = 90^{\circ}$.
अतः,$\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ}$.

(D) एक चतुष्फलक का केंद्रक जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)$ और $(x_4, y_4, z_4)$ हैं,का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ है।
दिए गए शीर्ष $(a, 2, 1), (1, b, 4), (4, 0, c)$ और $(1, 1, 7)$ हैं।
अतः,केंद्रक $\left(\frac{a+1+4+1}{4}, \frac{2+b+0+1}{4}, \frac{1+4+c+7}{4}\right) = \left(\frac{a+6}{4}, \frac{b+3}{4}, \frac{c+12}{4}\right)$ होगा।
इसे दिए गए केंद्रक $\left(\frac{9}{4}, \frac{5}{4}, \frac{15}{4}\right)$ के साथ तुलना करने पर:
$x$-निर्देशांक के लिए: $\frac{a+6}{4} = \frac{9}{4} \Rightarrow a+6 = 9 \Rightarrow a = 3$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $\frac{b+3}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow b+3 = 5 \Rightarrow b = 2$.
$z$-निर्देशांक के लिए: $\frac{c+12}{4} = \frac{15}{4} \Rightarrow c+12 = 15 \Rightarrow c = 3$.
इस प्रकार,$a=3, b=2, c=3$ है। इन मानों की तुलना करने पर,हमें $a=c=b+1$ प्राप्त होता है (क्योंकि $3=3=2+1$)।

(D) माना कि $\vec{a} = \frac{-9}{2} \bar{i} - 6 \bar{j} + \frac{1}{2} \bar{k}$ स्थिति सदिश वाला बिंदु $A$,रेखाखंड $PQ$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$A$ का स्थिति सदिश:
$\vec{a} = \frac{\lambda \vec{q} + 1 \vec{p}}{\lambda + 1}$
दिए गए सदिशों $\vec{p} = -2 \bar{i} - 3 \bar{j} + \bar{k}$ और $\vec{q} = 3 \bar{i} + 3 \bar{j} + 2 \bar{k}$ का मान रखने पर:
$\frac{-9}{2} \bar{i} - 6 \bar{j} + \frac{1}{2} \bar{k} = \frac{\lambda(3 \bar{i} + 3 \bar{j} + 2 \bar{k}) + 1(-2 \bar{i} - 3 \bar{j} + \bar{k})}{\lambda + 1}$
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$\frac{-9}{2} = \frac{3 \lambda - 2}{\lambda + 1}$
$-9(\lambda + 1) = 2(3 \lambda - 2)$
$-9 \lambda - 9 = 6 \lambda - 4$
$-15 \lambda = 5$
$\lambda = -\frac{5}{15} = -\frac{1}{3}$
चूंकि $\lambda$ ऋणात्मक है,इसलिए बिंदु $A$,रेखाखंड $PQ$ को $1 : 3$ के अनुपात में बाह्य रूप से (externally) विभाजित करता है।

(A) चूंकि बिंदु $A(1, x, 3)$,$B(3, 4, 7)$,और $C(y, -2, -5)$ संरेख हैं,इसलिए सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ समानांतर होने चाहिए.\\
$\overrightarrow{AB} = (3-1)\hat{i} + (4-x)\hat{j} + (7-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$\\
$\overrightarrow{BC} = (y-3)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (-5-7)\hat{k} = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$\\
किसी अदिश $k$ के लिए $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC}$ होने के कारण:\\
$2 = k(y-3)$\\
$4-x = k(-6)$\\
$4 = k(-12)$\\
तीसरे समीकरण से,$k = \frac{4}{-12} = -\frac{1}{3}$.\\
$k = -\frac{1}{3}$ को पहले समीकरण में रखने पर: $2 = -\frac{1}{3}(y-3) \Rightarrow -6 = y-3 \Rightarrow y = -3$.\\
$k = -\frac{1}{3}$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $4-x = -\frac{1}{3}(-6) \Rightarrow 4-x = 2 \Rightarrow x = 2$.\\
अतः,$x+y = 2 + (-3) = -1$.

(C) माना बिंदु $A(2, 3, -1)$ और $O(0, 0, 0)$ हैं।
रेखा $OA$ के दिक्अनुपात $(2-0, 3-0, -1-0) = (2, 3, -1)$ हैं।
दूरी $OA = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ है।
दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ को $\frac{a}{r}, \frac{b}{r}, \frac{c}{r}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है,जहाँ $(a, b, c)$ दिक्अनुपात हैं और $r$ दूरी है।
अतः,$l = \frac{2}{\sqrt{14}}, m = \frac{3}{\sqrt{14}}, n = \frac{-1}{\sqrt{14}}$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,रेखा $AO$ के लिए,दिक्अनुपात $(0-2, 0-3, 0-(-1)) = (-2, -3, 1)$ हैं।
अतः दिक्कोसाइन $\frac{-2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}$ प्राप्त होते हैं।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(B) मान लीजिए कि $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं।
चूँकि रेखा $L_1$ के दिक्-अनुपात $(1, -2, -2)$ हैं,लंबवत होने की शर्त के अनुसार:
$l - 2m - 2n = 0$ $(i)$
चूँकि रेखा $L_2$ के दिक्-अनुपात $(0, 2, 1)$ हैं,लंबवत होने की शर्त के अनुसार:
$0l + 2m + n = 0 \Rightarrow n = -2m$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l - 2m - 2(-2m) = 0$
$l - 2m + 4m = 0$
$l + 2m = 0 \Rightarrow l = -2m$
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के लिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
$l = -2m$ और $n = -2m$ रखने पर:
$(-2m)^2 + m^2 + (-2m)^2 = 1$
$4m^2 + m^2 + 4m^2 = 1$
$9m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow |m| = \frac{1}{3}$
चूँकि $l = -2m$,इसलिए $|l| = |-2m| = 2|m| = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
चूँकि $n = -2m$,इसलिए $|n| = |-2m| = 2|m| = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
अतः,$|l| + |m| + |n| = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

(C) दिया गया है कि दो रेखाओं के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, -1, 2)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (K, -3, -5)$ हैं,और उनके बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ वाली दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos 60^{\circ} = \frac{|2K + (-1)(-3) + 2(-5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{K^2 + (-3)^2 + (-5)^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|2K + 3 - 10|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{K^2 + 9 + 25}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|2K - 7|}{3 \sqrt{K^2 + 34}}$
$3 \sqrt{K^2 + 34} = 2 |2K - 7|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9(K^2 + 34) = 4(2K - 7)^2$
$9K^2 + 306 = 4(4K^2 - 28K + 49)$
$9K^2 + 306 = 16K^2 - 112K + 196$
$7K^2 - 112K - 110 = 0$

(C) रेखा $OP$ मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती है और इसके दिक्-अनुपात $3, -2, 6$ हैं।
अतः,इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक को किसी अदिश $\lambda$ के लिए $(3\lambda, -2\lambda, 6\lambda)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $O$ से बिंदु $P$ की दूरी $|OP| = \sqrt{(3\lambda)^2 + (-2\lambda)^2 + (6\lambda)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $|OP| = 63$,इसलिए:
$\sqrt{9\lambda^2 + 4\lambda^2 + 36\lambda^2} = 63$
$\sqrt{49\lambda^2} = 63$
$7|\lambda| = 63$
$|\lambda| = 9$
यदि $\lambda = 9$ लें,तो $P$ के निर्देशांक $(3(9), -2(9), 6(9)) = (27, -18, 54)$ प्राप्त होते हैं।
यदि $\lambda = -9$ लें,तो $P$ के निर्देशांक $(-27, 18, -54)$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही निर्देशांक $(27, -18, 54)$ हैं।

(A) माना सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (1, 1, -2)$ हैं।
सदिश का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ है।
दिक्कोसाइन $(l, m, n)$ को $\left(\frac{a}{|\vec{a}|}, \frac{b}{|\vec{a}|}, \frac{c}{|\vec{a}|}\right)$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) समतल $AOB$ के अभिलंब के दिक अनुपात किरणों $OA$ और $OB$ को दर्शाने वाले सदिशों के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होते हैं। मान लीजिए $\vec{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ और $\vec{b} = \langle -1, 0, 1 \rangle$ है। अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(0+2) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
अतः,अभिलंब के दिक अनुपात $\langle 2, -4, 2 \rangle$ हैं,जिन्हें $\langle 1, -2, 1 \rangle$ या $\langle -1, 2, -1 \rangle$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
सदिश $\langle -1, 2, -1 \rangle$ का परिमाण $\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ है।
इसलिए,दिक कोसाइन $\frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}$ हैं।

(C) दो विषमतलीय रेखाओं $\vec{r}=\vec{a}_1+\lambda \vec{b}_1$ और $\vec{r}=\vec{a}_2+\mu \vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \left| \frac{(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} \right|$।
दी गई रेखाएं $\vec{r}=(3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})+\lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ और $\vec{r}=(\hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k})+\mu(\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k})$ हैं।
यहाँ,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = -\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k}$,और $\vec{b}_2 = \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (1-3)\hat{i} + (-7-4)\hat{j} + (-2-(-2))\hat{k} = -2\hat{i} - 11\hat{j}$ की गणना करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(-3-2) = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ निकालें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$ है।
अब,अदिश गुणनफल $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-2\hat{i} - 11\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) = (-2)(1) + (-11)(3) + (0)(-5) = -2 - 33 = -35$ है।
अंत में,$d = \left| \frac{-35}{\sqrt{35}} \right| = \sqrt{35}$ प्राप्त होता है।

(C) दो रेखाएँ $\vec{r}=\vec{a}_1+t\vec{b}_1$ और $\vec{r}=\vec{a}_2+s\vec{b}_2$ समांतर होती हैं यदि $\vec{b}_1=m\vec{b}_2$ किसी अदिश $m \in \mathbb{R}$ के लिए हो।
वे लंबवत होती हैं यदि $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = 0$ हो।
वे प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो।
दिया गया है $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+5 \hat{j}+5 \hat{k})+t(4 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k})$ और $L_2: \vec{r}=(2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+s(8 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$.
यहाँ,$\vec{b}_1 = 4\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 8\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$.
चूँकि $\vec{b}_1$,$\vec{b}_2$ का अदिश गुणज नहीं है,रेखाएँ समांतर नहीं हैं।
लंबवतता की जाँच: $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (4)(8) + (-4)(-3) + (5)(1) = 32 + 12 + 5 = 49 \neq 0$. अतः,वे लंबवत नहीं हैं।
यह जाँचने के लिए कि क्या वे विषमतलीय हैं,हम न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ की गणना करते हैं।
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} - \hat{j}$.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = 11\hat{i} + 36\hat{j} + 20\hat{k}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = 11 - 36 = -25 \neq 0$.
चूँकि न्यूनतम दूरी शून्य नहीं है,इसलिए रेखाएँ विषमतलीय हैं।

(A) बिंदु $A(2, 1, 0)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{5} = \frac{z-0}{2} = t$ है।
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $R$ को $R(t+2, 5t+1, 2t)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
माना $P(3, 5, 2)$ दिया गया बिंदु है। सदिश $\vec{PR} = (t+2-3)\hat{i} + (5t+1-5)\hat{j} + (2t-2)\hat{k} = (t-1)\hat{i} + (5t-4)\hat{j} + (2t-2)\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PR}$ रेखा के लंबवत है,इसलिए दिशा सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ के साथ इसका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(t-1)(1) + (5t-4)(5) + (2t-2)(2) = 0$.
$t - 1 + 25t - 20 + 4t - 4 = 0$.
$30t - 25 = 0 \implies t = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.
$t = \frac{5}{6}$ को $R$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $R = (\frac{17}{6}, \frac{31}{6}, \frac{10}{6})$ प्राप्त होता है।
लंबवत दूरी $d$,सदिश $\vec{PR}$ का परिमाण है:
$d = \sqrt{(\frac{17}{6}-3)^2 + (\frac{31}{6}-5)^2 + (\frac{10}{6}-2)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2 + (-\frac{2}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(D) दी गई दो विषम तलीय रेखाएं $r = b + ta$ और $r = d + sc$ हैं।
दो विषम तलीय रेखाओं $r = a_1 + \lambda b_1$ और $r = a_2 + \mu b_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \left| \frac{(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)}{|b_1 \times b_2|} \right|$ है।
यहाँ,$a_1 = b$,$b_1 = a$,$a_2 = d$,और $b_2 = c$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,न्यूनतम दूरी $\left| \frac{(d - b) \cdot (a \times c)}{|a \times c|} \right|$ प्राप्त होती है।
चूंकि $|x| = |-x|$,यह $\left| \frac{(b - d) \cdot (a \times c)}{|a \times c|} \right|$ के बराबर है।
यह व्यंजक सदिश $(b - d)$ का सदिश $(a \times c)$ पर लंबवत प्रक्षेप का परिमाण दर्शाता है।

(D) समतलों $2x-2y+z=0$ और $x-y+2z=4$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ हैं।
समतल $ax+by+cz+1=0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।
चूंकि समतल दिए गए दो समतलों के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{n_1}$ और $\vec{n_2}$ के सदिश गुणनफल के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(-2+2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
अतः,अभिलंब सदिश $(-3, -3, 0)$ के समानुपाती है,जिसे $(1, 1, 0)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
समतल का समीकरण $1(x-1) + 1(y+2) + 0(z-1) = 0$ है,जो $x+y+1=0$ में सरल हो जाता है।
इसे $ax+by+cz+1=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1, b=1, c=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a+b-c = 1+1-0 = 2$.

(A) दिया गया है कि मूल बिंदु से समतल की दूरी $d = 6$ इकाई है।
अभिलंब सदिश $\vec{N} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,अभिलंब सदिश का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{N}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7}$ है।
समतल का अभिलंब रूप में समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7} \right) = 6$ प्राप्त होता है।
$7$ से गुणा करने पर,हमें $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ प्राप्त होता है।
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ रखने पर,हमें $(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ प्राप्त होता है।
यह $2x + 6y - 3z = 42$ या $2x + 6y - 3z - 42 = 0$ में सरल हो जाता है।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{b}=-2 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं।
सदिशों का योग $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = (2-2) \hat{i} + (-2+5) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 0 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k} = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{s}$ का $\hat{i}$ घटक $0$ है,इसलिए यह सदिश $YZ$-समतल में स्थित है।
जो सदिश किसी समतल में स्थित होता है,वह उस समतल के समांतर होता है।
अतः,यह सदिश $YZ$-समतल के समांतर है।

(B) दिया गया समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})=1$ है।
इसे कार्तीय रूप में बदलने पर,हमें $2 x+3 y-4 z=1$ प्राप्त होता है,या $2 x+3 y-4 z-1=0$।
इस समतल के समांतर कोई भी समतल $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ के रूप में होता है।
दो समांतर समतलों $Ax+By+Cz+D_1=0$ और $Ax+By+Cz+D_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d=2$,$A=2$,$B=3$,$C=-4$,$D_1=-1$,और $D_2=\lambda$ है।
अतः,$2 = \frac{|\lambda-(-1)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-4)^2}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{4+9+16}} = \frac{|\lambda+1|}{\sqrt{29}}$।
इसका अर्थ है $|\lambda+1| = 2 \sqrt{29}$,इसलिए $\lambda+1 = \pm 2 \sqrt{29}$,जिसका अर्थ है $\lambda = -1 \pm 2 \sqrt{29}$।
$\lambda$ का मान $2 x+3 y-4 z+\lambda=0$ में रखने पर,हमें $2 x+3 y-4 z-1 \pm 2 \sqrt{29} = 0$ प्राप्त होता है,या $2 x+3 y-4 z = 1 \mp 2 \sqrt{29}$।
चूंकि विकल्पों में $1 \pm 2 \sqrt{29}$ दिया गया है,इसलिए सही समीकरण $2 x+3 y-4 z = 1 \pm 2 \sqrt{29}$ है।

(B) बिंदुओं $A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, -4)$ और $C(3, -4, 5)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2-1 & 3-2 & -4-3 \\ 3-1 & -4-2 & 5-3 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & 1 & -7 \\ 2 & -6 & 2 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)(2 - 42) - (y-2)(2 - (-14)) + (z-3)(-6 - 2) = 0$
$(x-1)(-40) - (y-2)(16) + (z-3)(-8) = 0$
$-40x + 40 - 16y + 32 - 8z + 24 = 0$
$-40x - 16y - 8z + 96 = 0$
$-8$ से विभाजित करने पर:
$5x + 2y + z - 12 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|-12|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{12}{\sqrt{25 + 4 + 1}} = \frac{12}{\sqrt{30}}$.

(A) तीन बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदुओं $A(1,1,-1)$,$B(2,-1,0)$ और $C(-1,0,2)$ का मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z+1 \\ 2-1 & -1-1 & 0+1 \\ -1-1 & 0-1 & 2+1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z+1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)(-6+1) - (y-1)(3+2) + (z+1)(-1-4) = 0$
$-5(x-1) - 5(y-1) - 5(z+1) = 0$
$-5$ से भाग देने पर:
$(x-1) + (y-1) + (z+1) = 0$
$x + y + z - 1 = 0$
अब,विकल्पों को समीकरण $x + y + z - 1 = 0$ में रखकर जाँच करने पर:
$(1,2,-2)$ के लिए: $1 + 2 - 2 - 1 = 0$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है.
अतः,बिंदु $(1,2,-2)$ समतल पर स्थित है।

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दो समांतर सदिशों $\vec{v_1} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9-2) - \hat{j}(-6+1) + \hat{k}(4+3) = -11\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
बिंदु $(1, 2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = -11\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण है:
$-11(x-1) + 5(y-2) + 7(z-1) = 0$
$-11x + 11 + 5y - 10 + 7z - 7 = 0$
$-11x + 5y + 7z - 6 = 0$
$-11x + 5y + 7z = 6$
$6$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{11}{6}x + \frac{5}{6}y + \frac{7}{6}z = 1$
इसकी तुलना $ax+by+cz=1$ से करने पर,$a = -\frac{11}{6}$,$b = \frac{5}{6}$,$c = \frac{7}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$18(a+b+c) = 18 \left(-\frac{11}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6}\right) = 18 \left(\frac{1}{6}\right) = 3$.

(A) बिंदु $(2,-3,4)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-2) + b(y+3) + c(z-4) = 0$ है,जिसे $ax + by + cz - 2a + 3b - 4c = 0$ ... $(i)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह समतल दोनों समतलों $2x-3y+5z=2$ और $x+y+2z=3$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, -3, 5)$ और $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ के सदिश गुणनफल (cross product) के समानांतर होगा।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-5) - \hat{j}(4-5) + \hat{k}(2+3) = -11\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k}$.
अतः,$(a, b, c) = (-11, 1, 5)$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $-11x + y + 5z - 2(-11) + 3(1) - 4(5) = 0$
$-11x + y + 5z + 22 + 3 - 20 = 0$
$-11x + y + 5z + 5 = 0 \Rightarrow 11x - y - 5z = 5$
दोनों पक्षों को $11$ से विभाजित करने पर,हमें $x - \frac{1}{11}y - \frac{5}{11}z = \frac{5}{11}$ प्राप्त होता है।
$x + py + qz = r$ के साथ तुलना करने पर,$r = \frac{5}{11}$ प्राप्त होता है।

(D) समतल का दिया गया सदिश समीकरण: $\vec{r} = (2+\alpha-3\beta) \hat{i} + (\beta-3) \hat{j} + (2\alpha-5\beta-1) \hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर:
$x = 2 + \alpha - 3\beta$ $(i)$
$y = \beta - 3 \implies \beta = y + 3$ (ii)
$z = 2\alpha - 5\beta - 1$ (iii)
$\beta = y + 3$ को (iii) में रखने पर:
$z = 2\alpha - 5(y + 3) - 1$
$z = 2\alpha - 5y - 15 - 1$
$z = 2\alpha - 5y - 16$
$2\alpha = z + 5y + 16 \implies \alpha = \frac{z + 5y + 16}{2}$.
अब,$\alpha$ और $\beta$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$x = 2 + \left(\frac{z + 5y + 16}{2}\right) - 3(y + 3)$
$2$ से गुणा करने पर:
$2x = 4 + z + 5y + 16 - 6y - 18$
$2x = z - y + 2$
$2x + y - z = 2$.

(B) दिया गया मैट्रिक्स समीकरण: $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{bmatrix}$
पहले दो मैट्रिक्स का गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{bmatrix}$
इससे रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$x - y + 2z = 5$
$-x + y - 2z = -5$
$2x - 2y + 4z = 10$
ये तीनों समीकरण एक ही समतल समीकरण $x - y + 2z = 5$ के बराबर हैं।
चूंकि $x, y, z$ के गुणांक शून्य नहीं हैं,इसलिए यह समतल किसी भी निर्देशांक समतल $(XY, YZ, ZX)$ के समानांतर नहीं है।
अतः,सभी हल एक ऐसे समतल पर स्थित हैं जो किसी भी निर्देशांक समतल के समानांतर नहीं है।

(A) दी गई रेखा $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c}) \quad \dots(1)$ और समतल $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) \quad \dots(2)$ है।
$\vec{r}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\vec{a}+2 \vec{b}+p \vec{a}-2p \vec{c} = 3 \vec{a}-q \vec{c}+q \vec{b}+k \vec{a}-k \vec{b}+k \vec{c}$
$\vec{a}(1+p) + 2 \vec{b} - 2p \vec{c} = \vec{a}(3+k) + \vec{b}(q-k) + \vec{c}(k-q)$
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$1+p = 3+k \Rightarrow p-k = 2$
$2 = q-k \Rightarrow q-k = 2$
$-2p = k-q \Rightarrow q-k = 2p$
$q-k=2$ और $q-k=2p$ से,$2p=2 \Rightarrow p=1$ प्राप्त होता है।
$p=1$ को $p-k=2$ में रखने पर,$1-k=2 \Rightarrow k=-1$ प्राप्त होता है।
$k=-1$ को $q-k=2$ में रखने पर,$q-(-1)=2 \Rightarrow q=1$ प्राप्त होता है।
अब,स्थिति सदिश $\vec{r}$ ज्ञात करने के लिए $p=1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\vec{r} = \vec{a}+2 \vec{b}+1(\vec{a}-2 \vec{c}) = 2 \vec{a}+2 \vec{b}-2 \vec{c}$.
इसकी तुलना $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ से करने पर,$x=2, y=2, z=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x y z = 2 \times 2 \times (-2) = -8$.

(B) दिया गया है $P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{10} \implies P(A \cap B) = \frac{3}{10} P(B)$.
$P(B / A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{4}{5} \implies P(A) = \frac{5}{4} P(A \cap B) = \frac{5}{4} \times \frac{3}{10} P(B) = \frac{3}{8} P(B)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिया है $P(A \cup B) = K P(B)$,इसलिए $K P(B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(B)$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $K = \frac{P(A)}{P(B)} + 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मान रखने पर: $K = \frac{3}{8} + 1 - \frac{3}{10}$.
$K = \frac{15 + 40 - 12}{40} = \frac{43}{40}$.
अतः,$\frac{1}{K} = \frac{40}{43}$.

(A) थैले $B$ में $4$ सफेद गेंदें और $2$ काली गेंदें हैं। थैले $B$ में कुल गेंदें $= 4 + 2 = 6$ हैं।
थैले $B$ से $1$ सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
दूसरे थैले $C$ में $3$ सफेद गेंदें और $5$ काली गेंदें हैं। थैले $C$ में कुल गेंदें $= 3 + 5 = 8$ हैं।
थैले $C$ से $1$ सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P_2 = \frac{3}{8}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता $P = P_1 \times P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ है।

(C) माना $E$ विज्ञान की पुस्तक चुनने की घटना है।
माना $A$ समूह $A$ से पुस्तक चुनने की घटना है,और $B$ समूह $B$ से पुस्तक चुनने की घटना है।
पासे पर $2$ या $5$ आने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
$2$ या $5$ न आने की प्रायिकता $P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
समूह $A$ में $8$ विज्ञान और $5$ इंजीनियरिंग की पुस्तकें हैं,कुल $13$ पुस्तकें हैं। अतः,$P(E|A) = \frac{8}{13}$।
समूह $B$ में $6$ विज्ञान और $7$ इंजीनियरिंग की पुस्तकें हैं,कुल $13$ पुस्तकें हैं। अतः,$P(E|B) = \frac{6}{13}$।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(E) = P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B)$
$P(E) = \frac{1}{3} \times \frac{8}{13} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{13}$
$P(E) = \frac{8}{39} + \frac{12}{39} = \frac{20}{39}$

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि $A$ और $B$ पार्टी में मिलते हैं,$E_2$ वह घटना है कि $A$ और $B$ स्पोर्ट्स क्लब में मिलते हैं,और $D$ वह घटना है कि $A$ और $B$ साथ भोजन करते हैं।
दिया गया है $P(E_2) = \frac{4}{9}$,इसलिए $P(E_1) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएँ $P(D|E_2) = \frac{2}{5}$ और $P(D|E_1) = \frac{1}{3}$ हैं।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,उनके साथ भोजन करने की प्रायिकता है:
$P(D) = P(E_1) \cdot P(D|E_1) + P(E_2) \cdot P(D|E_2)$
$P(D) = \frac{5}{9} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \times \frac{2}{5} = \frac{5}{27} + \frac{8}{45} = \frac{25 + 24}{135} = \frac{49}{135}$.
उनके साथ भोजन किए बिना अलग होने की प्रायिकता $P(D') = 1 - P(D) = 1 - \frac{49}{135} = \frac{86}{135}$ है।

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है और इक्कों की संख्या $4$ है।
जब पहला पत्ता निकाला जाता है,तो इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि पत्ता बिना प्रतिस्थापन के निकाला गया है,इसलिए अब गड्डी में $51$ पत्ते बचे हैं,जिनमें से $3$ इक्के हैं।
पहला पत्ता इक्का होने की स्थिति में दूसरे पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता $P(A_2|A_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ है।
दोनों पत्तों के इक्के होने की प्रायिकता $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1)$ है।
$P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$.

(C) दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होती हैं यदि और केवल यदि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ हो।
हम विकल्प $(C)$ की जाँच करते हैं:
$P(A^C \cap B^C) = P((A \cup B)^C)$ (डी मॉर्गन के नियम द्वारा)
$= 1 - P(A \cup B)$
$= 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)]$
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
$= 1 - P(A) - P(B) + P(A) \cdot P(B)$
$= (1 - P(A)) - P(B)(1 - P(A))$
$= (1 - P(A))(1 - P(B))$
अतः,यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,तो $P(A^C \cap B^C) = (1 - P(A))(1 - P(B))$ होता है।

(B) $n$ परीक्षणों में $k$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n=15$,$p=1/2$ (टेल आने की प्रायिकता),और $q=1/2$ (हेड आने की प्रायिकता) है।
हमें कम से कम $3$ बार टेल आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X \geq 3)$।
इसकी गणना $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ के रूप में की जा सकती है।
$P(X=0) = {}^{15}C_0 (1/2)^0 (1/2)^{15} = 1 \times (1/2)^{15} = 1/2^{15}$।
$P(X=1) = {}^{15}C_1 (1/2)^1 (1/2)^{14} = 15 \times (1/2)^{15} = 15/2^{15}$।
$P(X=2) = {}^{15}C_2 (1/2)^2 (1/2)^{13} = \frac{15 \times 14}{2} \times (1/2)^{15} = 105/2^{15}$।
इन प्रायिकताओं का योग: $P(X < 3) = \frac{1 + 15 + 105}{2^{15}} = \frac{121}{2^{15}}$।
अतः,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{121}{2^{15}}$।

(A) यह प्रश्न पॉइसन वितरण का पालन करता है क्योंकि परीक्षणों की संख्या $n = 2000$ बड़ी है और सफलता की संभावना $p = 0.001$ बहुत कम है।
पॉइसन वितरण के लिए,पैरामीटर $\lambda$ को $\lambda = n \times p$ द्वारा दिया जाता है।
$\lambda = 2000 \times 0.001 = 2$।
पॉइसन वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}$ है।
हमें ठीक $x = 3$ व्यक्तियों के लिए प्रायिकता ज्ञात करनी है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P(X = 3) = \frac{e^{-2} \times 2^{3}}{3!}$।
$P(X = 3) = \frac{e^{-2} \times 8}{6} = \frac{4}{3 e^{2}}$।

(C) माध्य '$m$' वाले पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(x = k) = \frac{m^k \cdot e^{-m}}{k!}$ है,जहाँ $k = 0, 1, 2, \dots$ है।
हमें $P(x > 0)$ ज्ञात करना है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(x > 0) = 1 - P(x = 0)$।
सूत्र में $k = 0$ रखने पर,हमें $P(x = 0) = \frac{m^0 \cdot e^{-m}}{0!} = \frac{1 \cdot e^{-m}}{1} = e^{-m}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(x > 0) = 1 - e^{-m} = 1 - \frac{1}{e^m}$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $P(x > 0) = \frac{e^m - 1}{e^m}$ प्राप्त होता है।

(C) एक यादृच्छिक चर के लिए सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1$
$3c^3 + (4c - 10c^2) + (5c - 1) = 1$
$3c^3 - 10c^2 + 9c - 2 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(c - 1)(c - 2)(3c - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \le P(X) \le 1$,हम मानों की जांच करते हैं। यदि $c = 1$ है,तो $P(X = 2) = 5(1) - 1 = 4$,जो असंभव है। यदि $c = 2$ है,तो $P(X = 2) = 5(2) - 1 = 9$,जो असंभव है। अतः,$c = \frac{1}{3}$.
अब,$P(X = 0) = 3(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{9}$,$P(X = 1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{3} - \frac{10}{9} = \frac{2}{9}$,और $P(X = 2) = 5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3}$.
हमें $P(0 < X \le 2) = P(X = 1) + P(X = 2)$ ज्ञात करना है।
$P(0 < X \le 2) = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{6}{9} = \frac{8}{9}$.

(A) एक असतत प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum_{x=1}^{\infty} P(X = x) = 1$
$\sum_{x=1}^{\infty} 5r^x = 1$
$5(r + r^2 + r^3 + \dots) = 1$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = r$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत श्रेणी का योग $|r| < 1$ के लिए $\frac{a}{1-r}$ होता है।
$5 \left( \frac{r}{1 - r} \right) = 1$
$5r = 1 - r$
$6r = 1$
$r = \frac{1}{6}$

(D) किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum_{x=0}^{7} P(x) = 1$
$\Rightarrow 0.01 + 0.10 + 0.26 + 0.33 + 0.18 + 0.06 + K + 0.04 = 1$
$\Rightarrow 0.98 + K = 1$
$\Rightarrow K = 1 - 0.98 = 0.02$
अब,हमें $P(X \geq 3) - P(X < 6)$ की गणना करनी है।
$P(X \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 0.33 + 0.18 + 0.06 + 0.02 + 0.04 = 0.63$
$P(X < 6) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 0.01 + 0.10 + 0.26 + 0.33 + 0.18 + 0.06 = 0.94$
अतः,$P(X \geq 3) - P(X < 6) = 0.63 - 0.94 = -0.31$.

(A) मास्क के खराब होने की प्रायिकता $p = \frac{1}{500} = 0.002$ है।
$n = 100$ मास्क के एक पैकेट में,खराब मास्क की अपेक्षित संख्या $\lambda = np = 100 \times 0.002 = 0.2$ है।
पॉइसन वितरण का उपयोग करते हुए,एक पैकेट में $r$ खराब मास्क होने की प्रायिकता $P(X = r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ है।
पैकेट में कोई भी खराब मास्क न होने के लिए,हम $r = 0$ रखते हैं:
$P(X = 0) = \frac{e^{-0.2} (0.2)^0}{0!} = e^{-0.2}$.
$10,000$ पैकेट की खेप में,बिना खराब मास्क वाले पैकेटों की संख्या $10,000 \times P(X = 0) = 10,000 \times e^{-0.2} = \frac{10,000}{e^{0.2}}$ है।

(D) सफलताओं का वितरण एक द्विपद वितरण (binomial distribution) का पालन करता है जिसके पैरामीटर $n$ और $p$ हैं।
द्विपद वितरण का प्रसरण $Var(X) = npq$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रयासों की संख्या है,$p$ सफलता की प्रायिकता है,और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है।
पासे के एक उछाल में,संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं। विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
इसलिए,सफलता की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
यहाँ पासे को $n = 5$ बार उछाला गया है।
इन मानों को प्रसरण के सूत्र में रखने पर:
$Var(X) = n \times p \times q = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(D) दिया गया प्रायिकता फलन $P(X=r) = K r^2$ है,जहाँ $r \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ है।
चूँकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए:
$\sum P(X=r) = 1$
$K((-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2) = 1$
$K(4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9) = 1$
$19K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{19}$
हमें प्रसरण $\sigma^2$ और माध्य के वर्ग $\mu^2$ का योग ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,इसलिए $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$ होगा।
$E(X^2) = \sum r^2 P(X=r) = \sum r^2 (K r^2) = K \sum r^4$
$E(X^2) = K((-2)^4 + (-1)^4 + 0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4)$
$E(X^2) = K(16 + 1 + 0 + 1 + 16 + 81) = K(115)$
$K = \frac{1}{19}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E(X^2) = \frac{115}{19}$
अतः,$\sigma^2 + \mu^2 = \frac{115}{19}$।

(B) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X = 2) = 2 \cdot P(X = 1)$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!} = 2 \cdot \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}$।
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda} \cdot \lambda$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\lambda \neq 0$):
$\frac{\lambda}{2} = 2 \cdot 1$।
$\lambda = 4$।
पॉइसन वितरण में,प्रसरण (variance) प्राचल $\lambda$ के बराबर होता है,इसलिए $\sigma^2 = \lambda = 4$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{4} = 2$ है।

(C) हम जानते हैं कि एक वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होता है।
$\sum P(X = x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + 7k^2 + k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि प्रायिकता हमेशा धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $k = \frac{1}{10}$।
हमें $P(0 < X < 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$ ज्ञात करना है।
$P(0 < X < 4) = k + 2k + 2k = 5k$।
$k = \frac{1}{10}$ रखने पर,$P(0 < X < 4) = 5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{2}$।