MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|A| = ad - bc$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (3)(2) - (-1)(-4) = 6 - 4 = 2$ શોધો.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિક શોધો: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{4}{2} & \frac{3}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2)(3) - (-2)(4) = 6 + 8 = 14$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ શ્રેણિક) વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મેળવવામાં આવે છે:
$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$ શોધો.
$|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix}$.
આપણને $A^{-1} = xA + yI_2$ આપેલ છે.
શ્રેણિકોની કિંમત મૂકતા:
$\begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y & 2x \\ -5x & x+y \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2x = \frac{-2}{11} \implies x = \frac{-1}{11}$.
$x + y = \frac{1}{11} \implies \frac{-1}{11} + y = \frac{1}{11} \implies y = \frac{2}{11}$.
આમ,$x = \frac{-1}{11}$ અને $y = \frac{2}{11}$.

(B) આપેલ છે કે $B = A^{-1}$,તેથી $BA = I$.
$\begin{bmatrix} -2 & 0 & b \\ 7 & -1 & -2 \\ c & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ડાબી બાજુના શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$,સ્તંભ $1$: $(-2)(1) + (0)(1) + (b)(3) = -2 + 3b = 1 \Rightarrow 3b = 3 \Rightarrow b = 1$.
હાર $2$,સ્તંભ $2$: $(7)(1) + (-1)(a) + (-2)(2) = 7 - a - 4 = 3 - a = 1 \Rightarrow a = 2$.
હાર $3$,સ્તંભ $3$: $(c)(1) + (1)(3) + (1)(2) = c + 3 + 2 = c + 5 = 1 \Rightarrow c = -4$.
હવે,$4a + 2b - c$ ની કિંમત શોધો:
$4(2) + 2(1) - (-4) = 8 + 2 + 4 = 14$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}0.8 & -0.6 \\ 0.6 & 0.8\end{array}\right]$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (0.8)(0.8) - (-0.6)(0.6) = 0.64 + 0.36 = 1$ છે.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ માટે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8\end{array}\right]$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+7 & 2+4 \\ 14+28 & 7+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 42 & 23 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$5A = 5 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 35 & 20 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 42 & 23 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 35 & 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $B = A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|B| = (1)(3) - (1)(7) = 3 - 7 = -4$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -7 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = (1)(4) - (2)(-1) = 4 + 2 = 6 \neq 0$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ હોવાથી,$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $A^{-1} = \alpha I + \beta A$,તેથી:
$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ -\beta & \alpha + 4\beta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$-\beta = \frac{1}{6} \implies \beta = -\frac{1}{6}$.
$\alpha + \beta = \frac{2}{3} \implies \alpha - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \implies \alpha = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
તેથી,$4(\alpha - \beta) = 4(\frac{5}{6} - (-\frac{1}{6})) = 4(\frac{6}{6}) = 4(1) = 4$.

(D) આપેલ છે,$A+B=\left[\begin{array}{cc}1 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right] \dots(i)$
બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$A^T+B^T=\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right]$.
$A$ સંમિત $(A^T=A)$ અને $B$ વિસંમિત $(B^T=-B)$ હોવાથી,$A-B=\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right] \dots(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2A = \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right] \implies A = I = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$2B = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \tan \frac{\theta}{2} \\ -2 \tan \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right] \implies B = \left[\begin{array}{cc}0 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
તેથી $A^{-1} = I^{-1} = I$ અને $B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & -\cot \frac{\theta}{2} \\ \cot \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
હવે,$A^{-1}B + AB^{-1} = B + B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & \tan \frac{\theta}{2} - \cot \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
$\tan \frac{\theta}{2} - \cot \frac{\theta}{2} = -2 \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$A^{-1}B + AB^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & -2 \cot \theta \\ 2 \cot \theta & 0\end{array}\right]$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
આમ,શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \sqrt{3} \\ 2 \sqrt{3} & 0\end{array}\right]$ મળે છે.

(C) લીપ વર્ષ દર $4$ વર્ષે આવે છે,તેથી વર્ષ લીપ વર્ષ હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
તેથી,વર્ષ લીપ વર્ષ ન હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
સામાન્ય વર્ષમાં $365$ દિવસ ($52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાનો દિવસ) હોય છે. આ વધારાનો દિવસ સોમવાર હોય તેની સંભાવના $\frac{1}{7}$ છે.
લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસ ($52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો) હોય છે. આ $2$ વધારાના દિવસો માટે શક્ય જોડીઓ (સોમ,મંગળ),(મંગળ,બુધ),(બુધ,ગુરુ),(ગુરુ,શુક્ર),(શુક્ર,શનિ),(શનિ,રવિ) અને (રવિ,સોમ) છે. કુલ $7$ પરિણામો છે,જેમાંથી $2$ માં સોમવાર આવે છે.
તેથી,લીપ વર્ષમાં $53$ સોમવાર હોય તેની સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= P(\text{સામાન્ય વર્ષ}) \times P(\text{સોમવાર} | \text{સામાન્ય વર્ષ}) + P(\text{લીપ વર્ષ}) \times P(\text{સોમવાર} | \text{લીપ વર્ષ})$.
$= \frac{3}{4} \times \frac{1}{7} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{3}{28} + \frac{2}{28} = \frac{5}{28}$.

(C) ધારો કે $R_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે અને $B_1$ એ પ્રથમ દડો કાળો હોવાની ઘટના છે. ધારો કે $R_2$ એ બીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ દડો કાળો છે $(B_1)$.
$P(B_1) = \frac{6}{10}$.
$3$ કાળા દડા ઉમેર્યા પછી,થેલીમાં $4$ લાલ અને $9$ કાળા દડા છે (કુલ $= 13$).
$P(R_2 | B_1) = \frac{4}{13}$.
$P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \times P(R_2 | B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{13} = \frac{24}{130}$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ દડો લાલ છે $(R_1)$.
$P(R_1) = \frac{4}{10}$.
$3$ લાલ દડા ઉમેર્યા પછી,થેલીમાં $7$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે (કુલ $= 13$).
$P(R_2 | R_1) = \frac{7}{13}$.
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) = \frac{4}{10} \times \frac{7}{13} = \frac{28}{130}$.
કુલ સંભાવના $P(R_2) = P(B_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{24}{130} + \frac{28}{130} = \frac{52}{130} = \frac{2}{5} = \frac{26}{65}$.

(C) ધારો કે કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
દરેક પ્રશ્નમાં $3$ વિકલ્પો છે અને માત્ર $1$ સાચો છે,તેથી સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આપણે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે $4$ કે તેથી વધુ સાચા જવાબો મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {}^5C_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$.
તેથી,$P(X \geq 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $4$ પાસાઓના એક ફેંકમાં $3$ અથવા $5$ દર્શાવતા પાસાઓની સંખ્યા છે. એક પાસા પર $3$ અથવા $5$ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$3$ અથવા $5$ ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
પાસા સ્વતંત્ર હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=4, p=1/3)$ ને અનુસરે છે.
ઓછામાં ઓછા બે પાસા પર $3$ અથવા $5$ આવે તેની સંભાવના $P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$ છે.
$P(X=0) = { }^4 C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81}$.
$P(X=1) = { }^4 C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$.
$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{16}{81} + \frac{32}{81}) = 1 - \frac{48}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27}$.
આ પ્રયોગ $27$ વખત કરવામાં આવે છે. તેથી અપેક્ષિત સંખ્યા $E = n \times P = 27 \times \frac{11}{27} = 11$ છે.

(C) $10$ થી $99$ સુધીની બે અંકની કુલ સંખ્યાઓ $99 - 10 + 1 = 90$ છે.
ઘટના $E$ ત્યારે ઉદભવે છે જ્યારે બે અંકોનો ગુણાકાર $18$ થાય. શક્ય સંખ્યાઓ $\{29, 36, 63, 92\}$ છે.
તેથી,એક પ્રયત્નમાં ઘટના $E$ ઉદભવવાની સંભાવના $p = \frac{4}{90}$ છે.
ઘટના $E$ ન ઉદભવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{4}{90} = \frac{86}{90}$ છે.
અહીં $n = 4$ સંખ્યાઓ પુનરાવર્તન સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી આપણે દ્વિપદી વિતરણ $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે ઘટના $E$ ઓછામાં ઓછી $3$ વાર ઉદભવે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$.
$P(X = 3) = \binom{4}{3} \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{86}{90}\right)^1 = 4 \times \frac{4^3}{90^3} \times \frac{86}{90} = \frac{22016}{90^4}$.
$P(X = 4) = \binom{4}{4} \left(\frac{4}{90}\right)^4 \left(\frac{86}{90}\right)^0 = 1 \times \frac{4^4}{90^4} \times 1 = \frac{256}{90^4}$.
$P(X \geq 3) = \frac{22016 + 256}{90^4} = \frac{22272}{90^4}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $P(X \geq 3) = 4 \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{86}{90}\right) + \left(\frac{4}{90}\right)^4 = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(4 \times \frac{86}{90} + \frac{4}{90}\right) = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{344 + 4}{90}\right) = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{348}{90}\right) = \frac{348}{90} \times \left(\frac{4}{90}\right)^3 = 87 \times \frac{4}{90} \times \left(\frac{4}{90}\right)^3 = 87 \left(\frac{4}{90}\right)^4$.

(A) આપેલ છે કે $P(A)=\frac{3}{10}$ અને $P(B)=\frac{2}{5}$.
કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $A^{\prime}$ અને $B$ પણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ થશે.
સૌ પ્રથમ,$P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ મેળવો.
બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર વાપરતા: $P(A^{\prime} \cup B) = P(A^{\prime}) + P(B) - P(A^{\prime} \cap B)$.
$A^{\prime}$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A^{\prime} \cap B) = P(A^{\prime}) \times P(B)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{7}{10} + \frac{2}{5} - (\frac{7}{10} \times \frac{2}{5})$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{7}{10} + \frac{4}{10} - \frac{14}{50}$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{11}{10} - \frac{7}{25}$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{55 - 14}{50} = \frac{41}{50}$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
$P(A^{\prime}) = 0.75$,તેથી $P(A) = 1 - P(A^{\prime}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.65 = 0.25 + p - (0.25 \cdot p)$
$0.65 - 0.25 = p(1 - 0.25)$
$0.40 = 0.75p$
$p = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$.

(C) આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ જોડીમાં સ્વતંત્ર છે.
કારણ કે $A, B, C$ જોડીમાં સ્વતંત્ર છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(B \cap C) = P(B)P(C)$,અને $P(A \cap C) = P(A)P(C)$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B \cap C) = 0$.
જોડીમાં સ્વતંત્રતાને કારણે,$P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B)P(C) = P(A)P(B)P(C) = 0$.
$P(C) > 0$ હોવાથી,$P(A)P(B) = 0$ થાય.
હવે,$P((\overline{A} \cap \overline{B}) / C) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)}{P(C)}$.
$A, B, C$ સ્વતંત્ર હોવાથી,ઘટનાઓ $\overline{A}, \overline{B}, C$ પણ સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)$.
તેથી,$P((\overline{A} \cap \overline{B}) / C) = \frac{P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)}{P(C)} = P(\overline{A})P(\overline{B})$.
$P(\overline{A})P(\overline{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$.
$P(A)P(B) = 0$ હોવાથી,આપણને $1 - P(A) - P(B) = P(\overline{A}) - P(B)$ મળે છે.

(B) લક્ષ્યને વીંધવાની આપેલી સંભાવનાઓ $P(P) = \frac{3}{4}$,$P(Q) = \frac{1}{2}$,અને $P(R) = \frac{5}{8}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,લક્ષ્ય ન વીંધવાની સંભાવનાઓ $P(P') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$,$P(Q') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,અને $P(R') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ થશે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે લક્ષ્ય $P$ અથવા $Q$ દ્વારા વીંધાય પણ $R$ દ્વારા નહીં. આ ઘટના $(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ ને અનુરૂપ છે.
આ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,સંભાવના:
$P = P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$
$P = \left(\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right) + \left(\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right)$
$P = \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(C) ધારો કે $X$ એ $n = 10$ પ્રયત્નોમાં પસંદ કરેલા ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
અહીં,$n = 10$ અને બલ્બ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = 10 \% = \frac{1}{10}$ છે.
બલ્બ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક બલ્બ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના $P(X \ge 1)$ શોધવી છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
$10$ પ્રયત્નોમાં $0$ ખામીયુક્ત બલ્બ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{10-0} = 1 \times 1 \times \left(\frac{9}{10}\right)^{10}$.
તેથી,$P(X \ge 1) = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^{10}$.

(C) ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
અહીં $n = 5$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો આપેલા છે.
$X$ સફળતાની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે.
આપણને $P(X=1) = 0.4096$ અને $P(X=2) = 0.2048$ આપેલ છે.
${}^5C_1 p^1 q^4 = 5pq^4 = 0.4096$ (સમીકરણ $1$).
${}^5C_2 p^2 q^3 = 10p^2q^3 = 0.2048$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{10p^2q^3}{5pq^4} = \frac{0.2048}{0.4096} = \frac{1}{2}$.
$\frac{2p}{q} = \frac{1}{2} \Rightarrow 4p = q$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$4p = 1 - p \Rightarrow 5p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{5}$.
તેથી $q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
હવે,બરાબર $3$ સફળતાની સંભાવના:
$P(X=3) = {}^5C_3 p^3 q^2 = 10 \times (\frac{1}{5})^3 \times (\frac{4}{5})^2$.
$P(X=3) = 10 \times \frac{1}{125} \times \frac{16}{25} = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(C) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n=6$ અને $p=1/2$. તેથી $q = 1-p = 1/2$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{6}{k} (1/2)^6 = \frac{\binom{6}{k}}{64}$ છે.
આપણે $P(|X-4| \leq 2)$ શોધવાનું છે.
અસમતા $|X-4| \leq 2$ એટલે કે $-2 \leq X-4 \leq 2$,જેનું સાદું રૂપ $2 \leq X \leq 6$ થાય છે.
તેથી,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
$P(X=0) = \binom{6}{0} (1/2)^6 = 1/64$.
$P(X=1) = \binom{6}{1} (1/2)^6 = 6/64$.
આમ,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - (1/64 + 6/64) = 1 - 7/64 = 57/64$.

(C) ધારો કે $X$ એ $2$ પ્રયત્નોમાં મળતા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. પત્તા બદલી સાથે (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$.
એક પત્તું ખેંચતા રાજા મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાજા ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E[X] = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
મધ્યક $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(D) એક પત્તું ખેંચતી વખતે રાજા આવવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાજા ન આવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ (binomial distribution) ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$ છે.
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
$X=1$ માટે: $P(X=1) = \binom{2}{1} \left(\frac{1}{13}\right)^1 \left(\frac{12}{13}\right)^1 = 2 \times \frac{12}{169} = \frac{24}{169}$.
$X=2$ માટે: $P(X=2) = \binom{2}{2} \left(\frac{1}{13}\right)^2 \left(\frac{12}{13}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{169} = \frac{1}{169}$.
તેથી,$P(X=1) + P(X=2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(D) ધારો કે $X \sim B(n, p)$.
આપેલ છે કે મધ્યક $np = 8$ અને વિચરણ $npq = 4$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$8q = 4$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$ અને $p = \frac{1}{2}$.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 8$ માં મૂકતા,આપણને $n = 16$ મળે છે.
આપણે $P(X \leqslant 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{1}{2^{16}}$.
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = \frac{16}{2^{16}}$.
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{120}{2^{16}}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \leqslant 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$.
આને $\frac{k}{2^{16}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 137$ મળે છે.

(D) ધારો કે $p$ એ એક પ્રશ્ન માટે સાચો જવાબ અનુમાનિત કરવાની સંભાવના છે. અહીં $3$ વિકલ્પો છે અને માત્ર $1$ સાચો છે,તેથી $p = \frac{1}{3}$.
પરિણામે,ખોટા જવાબની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ છે.
ધારો કે $X$ એ $n = 5$ પ્રશ્નોમાં સાચા જવાબોની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(5, \frac{1}{3})$ ને અનુસરે છે.
$k$ સાચા જવાબો મેળવવાની સંભાવના $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $4$ કે તેથી વધુ સાચા જવાબો મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {}^5C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{3^5}$.
તેથી,$P(X \geq 4) = \frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.

(B) ધારો કે $X$ એ ઉમેદવાર ઉકેલી ન શકે તેવી સમસ્યાઓની સંખ્યા છે. સમસ્યા ઉકેલવાની સંભાવના $s = \frac{3}{7}$ છે,તેથી સમસ્યા ઉકેલી ન શકવાની સંભાવના $p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ છે.
અહીં,$n = 20$ સમસ્યાઓ આપવામાં આવી છે. યાદચ્છિક ચલ $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(20, \frac{4}{7})$ ને અનુસરે છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે તે વધુમાં વધુ $2$ સમસ્યાઓ ઉકેલી ન શકે,એટલે કે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
દ્વિપદી સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $q = \frac{3}{7}$:
$P(X \leq 2) = {}^{20}C_0 (\frac{4}{7})^0 (\frac{3}{7})^{20} + {}^{20}C_1 (\frac{4}{7})^1 (\frac{3}{7})^{19} + {}^{20}C_2 (\frac{4}{7})^2 (\frac{3}{7})^{18}$.
આ ગણતરી વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
આપણે સંભાવના $P(X \geq 1)$ શોધવાની છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = {}^4C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(B) આપેલ છે કે મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n \left( \frac{1}{2} \right) = 2$,તેથી $n = 4$ મળે.
આપણે $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ શોધવાનું છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$P(X > 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
$P(X = 0) = {}^4 C_0 \left( \frac{1}{2} \right)^0 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
$P(X = 1) = {}^4 C_1 \left( \frac{1}{2} \right)^1 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{4}{16}$.
તેથી,$P(X > 1) = 1 - \left( \frac{1}{16} + \frac{4}{16} \right) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$.

(D) ધારો કે $P(X=1)$ એ એક સફળતાની સંભાવના છે અને $P(X=2)$ એ બે સફળતાની સંભાવના છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે.
આપેલ છે $n=5$,તેથી:
$P(X=1) = { }^5 C_1 p^1 q^4 = 5pq^4 = 0.4096$ ...$(i)$
$P(X=2) = { }^5 C_2 p^2 q^3 = 10p^2 q^3 = 0.2048$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{5pq^4}{10p^2q^3} = \frac{0.4096}{0.2048} = 2$
$\frac{q}{2p} = 2 \Rightarrow q = 4p$.
કારણ કે $p+q=1$,તેથી $p+4p=1 \Rightarrow 5p=1 \Rightarrow p=\frac{1}{5}$ અને $q=\frac{4}{5}$.
હવે,બરાબર $4$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના:
$P(X=4) = { }^5 C_4 p^4 q^1 = 5 \times (\frac{1}{5})^4 \times (\frac{4}{5}) = 5 \times \frac{1}{625} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{625}$.

(C) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
એક વખત ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે.
છાપ ન મળવાની (કાંટો મળવાની) સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત ઉછાળતા ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ છે.
આપેલ છે કે $P(X \geq 1) > \frac{99}{100}$.
તેથી,$1 - P(X = 0) > \frac{99}{100}$.
અહીં $P(X = 0) = (\frac{1}{2})^n$ હોવાથી,$1 - (\frac{1}{2})^n > \frac{99}{100}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 - \frac{99}{100} > (\frac{1}{2})^n$,એટલે કે $\frac{1}{100} > (\frac{1}{2})^n$.
વ્યસ્ત લેતા,$100 < 2^n$ મળે.
જો $n = 6$ હોય,તો $2^6 = 64$,જે $100$ કરતા નાનું છે.
જો $n = 7$ હોય,તો $2^7 = 128$,જે $100$ કરતા મોટું છે.
આમ,જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $7$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ સાજા થતા દર્દીઓની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = 0.6$ છે.
અહીં,$q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$ છે.
આપણે $6$ દર્દીઓમાંથી અડધા દર્દીઓ સાજા થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X = 3)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 3) = ^6C_3 \times (0.6)^3 \times (0.4)^{6-3}$
$P(X = 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times (0.6)^3 \times (0.4)^3$
$P(X = 3) = 20 \times 0.216 \times 0.064$
$P(X = 3) = 0.27648 \approx 0.2762$ (આપેલ વિકલ્પ મુજબ).

(D) ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા છે,જે દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 100$.
$k$ છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X=50) = P(X=51)$.
કિંમતો મૂકતા:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$.
બંને બાજુને $p^{50} (1-p)^{49}$ વડે ભાગતા:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$.
$p$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1-p}{p} = \frac{{}^{100}C_{51}}{{}^{100}C_{50}} = \frac{100!}{51! 49!} \times \frac{50! 50!}{100!} = \frac{50}{51}$.
તેથી,$51(1-p) = 50p$.
$51 - 51p = 50p$.
$101p = 51$.
$p = \frac{51}{101}$.

(A) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$.
આ $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x$ સ્વરૂપની એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે,જ્યાં $r = \frac{1}{5}$.
શ્રેણી $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = \frac{1}{(1-r)^2}$ નો સરવાળો થાય છે.
$r = \frac{1}{5}$ મૂકતા: $\frac{1}{(1 - 1/5)^2} = \frac{1}{(4/5)^2} = \frac{1}{16/25} = \frac{25}{16}$.
આમ,$k \times \frac{25}{16} = 1$,જે આપણને $k = \frac{16}{25}$ આપે છે.
આપણે $P(X=0)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = k \times 1 \times 1 = k$.
તેથી,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(B) આપેલ છે કે $P(X=x) = k(x+1) 5^{-x}$ જ્યાં $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) (\frac{1}{5})^x = 1$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેનું સ્વરૂપ $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1) r^x$ છે,જ્યાં $r = \frac{1}{5}$.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{1}{(1-r)^2}$ થાય છે.
તેથી,$k \times \frac{1}{(1 - \frac{1}{5})^2} = 1$.
$k \times \frac{1}{(\frac{4}{5})^2} = 1$.
$k \times \frac{25}{16} = 1$,જે આપણને $k = \frac{16}{25}$ આપે છે.
હવે,$P(X=0) = k(0+1) 5^{-0} = k(1)(1) = k$.
તેથી,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(B) મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) = 1(0.2) + 2(0.4) + 3(0.3) + 4(0.1) = 0.2 + 0.8 + 0.9 + 0.4 = 2.3$
વિચરણ $\operatorname{Var}(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i) = 1^2(0.2) + 2^2(0.4) + 3^2(0.3) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0.2 + 1.6 + 2.7 + 1.6 = 6.1$
$\operatorname{Var}(X) = 6.1 - (2.3)^2 = 6.1 - 5.29 = 0.81$

(A) અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0(0.4) + 1(0.3) + 2(0.1) + 3(0.1) + 4(0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$
યાદચ્છિક ચલના વર્ગનું અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X^2)$ નીચે મુજબ છે:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2(0.4) + 1^2(0.3) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0(0.4) + 1(0.3) + 4(0.1) + 9(0.1) + 16(0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$
$X$ નું વિચરણ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$

(C) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. પેકમાં ગલ્લા (jacks) ની સંખ્યા $4$ છે.
પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં ગલ્લો મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે,અને ગલ્લો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=2$ અને $p=\frac{1}{13}$ છે.
$P(X=1) = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$P(X=2) = \binom{2}{2} \times p^2 \times q^0 = 1 \times \left(\frac{1}{13}\right)^2 \times 1 = \frac{1}{169}$.
તેથી,$P(X=1) + P(X=2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(D) ધારો કે યાદચ્છિક ચલ $X$ એ નફો અથવા નુકસાન દર્શાવે છે.
જ્યારે નિષ્પક્ષ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,જે દરેકની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
જો સંખ્યા બેકી હોય,તો નફો એ દેખાતી સંખ્યા જેટલો છે $(X = x)$.
જો સંખ્યા એકી હોય,તો નુકસાન એ દેખાતી સંખ્યા જેટલું છે $(X = -x)$.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X = x$	$-1$	$2$	$-3$	$4$	$-5$	$6$
$P(X = x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ એ $\sum x \cdot P(X=x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E(X) = (-1) \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + (-3) \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$
$E(X) = \frac{-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6}{6}$
$E(X) = \frac{3}{6} = 0.5$
આમ,અપેક્ષિત કિંમત ₹ $0.5$ છે.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\sum_{x=0}^{8} P(X=x) = 1$
$\Rightarrow k + 2k + 3k + 4k + 4k + 3k + 2k + k + k = 1$
$\Rightarrow 21k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{21}$
હવે,આપણે $P(3 < X \leq 6)$ શોધવાની જરૂર છે. આમાં $X = 4, 5, 6$ કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે.
$\therefore P(3 < X \leq 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$
$= 4k + 3k + 2k = 9k$
$k = \frac{1}{21}$ મૂકતા:
$= 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$
આમ,$k = \frac{1}{21}$ અને $P(3 < X \leq 6) = \frac{3}{7}$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = 1$
$0 + 2p + 2p + 3p + p^2 + 2p^2 + 7p^2 + 2p = 1$
પદોને ભેગા કરતા,આપણને મળે છે:
$10p^2 + 9p = 1$
$10p^2 + 9p - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$10p^2 + 10p - p - 1 = 0$
$10p(p + 1) - 1(p + 1) = 0$
$(10p - 1)(p + 1) = 0$
આથી $p = \frac{1}{10}$ અથવા $p = -1$ મળે છે.
સંભાવના $P(X)$ હંમેશા અઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $p = -1$ શક્ય નથી.
તેથી,$p = \frac{1}{10}$.

(A) ધારો કે $X$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$P(X)$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}$
$E(X) = \frac{1}{36} (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12)$
$E(X) = \frac{252}{36} = 7$

(D) આપેલ સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $0.3$ | $0.4$ | $0.3$ |
પ્રથમ,આપણે મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2(0.3) + 3(0.4) + 4(0.3) = 0.6 + 1.2 + 1.2 = 3.0$
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 2^2(0.3) + 3^2(0.4) + 4^2(0.3) = 4(0.3) + 9(0.4) + 16(0.3) = 1.2 + 3.6 + 4.8 = 9.6$
અંતે,વિચરણ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{Variance}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 9.6 - (3)^2 = 9.6 - 9 = 0.6$

(D) બધી સંભાવનાઓ $0 \leq P(X=x_i) \leq 1$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$0 \leq \frac{1+3p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1-p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1+2p}{4} \leq 1$,અને $0 \leq \frac{1-4p}{4} \leq 1$.
આ અસમતાઓ ઉકેલતા:
$1$) $1+3p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/3$
$2$) $1-p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1$
$3$) $1+2p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/2$
$4$) $1-4p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1/4$
આ બધાને ભેગા કરતા,$-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ મળે છે.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = (-1)\left(\frac{1+3p}{4}\right) + 0\left(\frac{1-p}{4}\right) + 1\left(\frac{1+2p}{4}\right) + 2\left(\frac{1-4p}{4}\right)$.
$E(X) = \frac{-1-3p+1+2p+2-8p}{4} = \frac{2-9p}{4}$.
આપેલ $-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ માટે,$E(X)$ નો વિસ્તાર શોધીએ:
જો $p = 1/4$,તો $E(X) = \frac{2-9(1/4)}{4} = \frac{2-2.25}{4} = -\frac{0.25}{4} = -\frac{1}{16}$.
જો $p = -1/3$,તો $E(X) = \frac{2-9(-1/3)}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{16}$ અને મહત્તમ કિંમત $\frac{5}{4}$ છે.

(D) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા એક થાય છે.
$\therefore k + 3k + 3k + k = 1$
$\Rightarrow 8k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{8}$
હવે,મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0\left(\frac{1}{8}\right) + 1\left(\frac{3}{8}\right) + 2\left(\frac{3}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
આગળ,$E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2\left(\frac{1}{8}\right) + 1^2\left(\frac{3}{8}\right) + 2^2\left(\frac{3}{8}\right) + 3^2\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X^2) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$
છેલ્લે,વિચરણ $\operatorname{Var}(X)$ ની ગણતરી કરીએ:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \left(\frac{3}{2}\right)^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$
આમ,$k = \frac{1}{8}$ અને $\operatorname{Var}(X) = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(B) ગાણિતિક અપેક્ષા $E(X)$ એ દરેક પરિણામ અને તેની અનુરૂપ સંભાવનાના ગુણાકારના સરવાળા તરીકે ગણવામાં આવે છે: $E(X) = \sum x_i p_i$.
આપેલ માહિતી:
- ચોખ્ખું: $x = 300, p = 0.50$
- સામાન્ય: $x = 250, p = 0.30$
- શંકાસ્પદ: $x = 150, p = 0.15$
- વરસાદ: $x = 100, p = 0.05$
ગણતરી:
$E(X) = (300 \times 0.50) + (250 \times 0.30) + (150 \times 0.15) + (100 \times 0.05)$
$E(X) = 150 + 75 + 22.5 + 5$
$E(X) = 252.5$
આમ,ગાણિતિક અપેક્ષા ₹ $252.5$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ $3$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નોમાં કાળો દડો કાઢવાની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=3$.
એક પ્રયત્નમાં કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $p = \frac{3}{4+3} = \frac{3}{7}$ છે.
કાળો દડો ન કાઢવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ છે.
સંભાવના વિતરણ $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા $k = 0, 1, 2, 3$ માટે આપવામાં આવે છે.
$k=0$ માટે: $P(X=0) = \binom{3}{0} (\frac{3}{7})^0 (\frac{4}{7})^3 = 1 \times 1 \times (\frac{4}{7})^3 = (\frac{4}{7})^3$.
$k=1$ માટે: $P(X=1) = \binom{3}{1} (\frac{3}{7})^1 (\frac{4}{7})^2 = 3 \times \frac{3}{7} \times (\frac{4}{7})^2 = \frac{9}{7} \times (\frac{4}{7})^2$.
$k=2$ માટે: $P(X=2) = \binom{3}{2} (\frac{3}{7})^2 (\frac{4}{7})^1 = 3 \times (\frac{3}{7})^2 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7} \times (\frac{3}{7})^2$.
$k=3$ માટે: $P(X=3) = \binom{3}{3} (\frac{3}{7})^3 (\frac{4}{7})^0 = 1 \times (\frac{3}{7})^3 \times 1 = (\frac{3}{7})^3$.
આ કિંમતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ આપેલ છે:
$P(X=1)=0.15, P(X=2)=0.23, P(X=3)=0.12, P(X=4)=0.10, P(X=5)=0.20, P(X=6)=0.08, P(X=7)=0.07, P(X=8)=0.05$.
ઘટના $E = \{X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\} = \{2, 3, 5, 7\}$.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
ઘટના $F = \{X < 4\} = \{1, 2, 3\}$.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
ઘટના $E \cap F = \{X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને } X < 4\} = \{2, 3\}$.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(B) એક રમતમાં,$3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
$P(\text{બધા છાપા અથવા બધા કાંટા મળે}) = P(HHH, TTT) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$P(\text{એક છાપો અથવા બે છાપા મળે}) = P(HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $X$ એ જીતેલી અથવા હારેલી રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
$P(X = 100) = \frac{1}{4}$.
$P(X = -40) = \frac{3}{4}$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x_i p_i$.
$E(X) = 100 \times \frac{1}{4} + (-40) \times \frac{3}{4}$.
$E(X) = 25 - 30 = -5$.
પરિણામ ઋણ હોવાથી,વ્યક્તિને રમત દીઠ ₹ $5$ નું નુકસાન થવાની અપેક્ષા છે.

(C) સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X=x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\ldots$ | $n$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | $\ldots$ | $\frac{1}{n}$ |
$E(X) = \sum x P(X=x) = \frac{1}{n} (1 + 2 + \ldots + n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$
$E(X^2) = \sum x^2 P(X=x) = \frac{1}{n} (1^2 + 2^2 + \ldots + n^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$
$= \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{4n+2 - 3n - 3}{6} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$
આપેલ છે કે $\frac{\operatorname{Var}(X)}{E(X)} = \frac{4}{1}$,તેથી:
$\frac{(n^2-1)/12}{(n+1)/2} = 4$
$\frac{(n+1)(n-1)}{12} \cdot \frac{2}{n+1} = 4$
$\frac{n-1}{6} = 4$
$n-1 = 24$
$n = 25$

(C) ધારો કે યાદચ્છિક ચલ $X$ એ ત્રણ નિષ્પક્ષ સિક્કા ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે. $X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X = x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P(X = x)$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$E(X) = \sum x P(X=x) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$
અપેક્ષિત કિંમત $E(X^2)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$E(X^2) = \sum x^2 P(X=x) = 0^2 \times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$
વિચરણ $V(X)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$V(X) = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$

(D) આપેલ સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{\binom{5}{x}}{2^5}$ છે,જ્યાં $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
$P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}}{32} = \frac{1}{32}$ અને $P(X=5) = \frac{\binom{5}{5}}{32} = \frac{1}{32}$. તેથી,$P(X=0) = P(X=5)$ સાચું છે.
$P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} = \frac{6}{32}$.
$P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32}$. તેથી,$P(X \leq 1) = P(X \geq 4)$ સાચું છે.
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} + \frac{10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$ અને $P(X \geq 3) = \frac{1}{2}$ છે,તેથી વિધાન $P(X \leq 2) > P(X \geq 3)$ ખોટું છે.