int_0^{pi / 2} sin ^5left(frac{x}{2}right) cd | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \sin x \, dx$. નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{14 \sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \sin x \, dx$. નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx$ $I = 2 \int_0^{\pi / 2} \sin ^6 \left(\frac{x}{2}\right) \cos \frac{x}{2} \, dx$ ધારો કે $t = \sin \frac{x}{2}$. તેથી $dt = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $2 \, dt = \cos \frac{x}{2} \, dx$. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin(0) = 0$. જ્યારે $x = \pi / 2$,ત્યારે $t = \sin(\pi / 4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = 2 \int_0^{1/\sqrt{2}} t^6 (2 \, dt) = 4 \int_0^{1/\sqrt{2}} t^6 \, dt$ $I = 4 \left[ \frac{t^7}{7} \right]_0^{1/\sqrt{2}} = \frac{4}{7} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^7$ કારણ કે $(\sqrt{2})^7 = 2^3 \cdot \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$,તેથી: $I = \frac{4}{7 \cdot 8 \sqrt{2}} = \frac{1}{7 \cdot 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{14 \sqrt{2}}$.

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^5\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \sin x \, dx =$

Similar Questions

$\int_0^{1.5} {[x^2] \, dx}$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તેની કિંમત શોધો.

જો તમામ વાસ્તવિક ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ માટે,$f(x) = a + bx + cx^2$ હોય,તો $\int_{0}^{1} f(x) dx$ ની કિંમત શું થાય?

$\int_0^1 {{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}} \right)\,dx = } $

$\int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} d x$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-1}^1 \left( \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} \right) dx$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module