$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x}}{\sqrt[7]{\sin x}+\sqrt[7]{\cos x}} dx =$

मान लीजिए कि $f, f', f''$ अंतराल $[0, \ln 2]$ में सतत हैं और $f(0) = 0, f'(0) = 3, f(\ln 2) = 6, f'(\ln 2) = 4$ तथा $\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f(x) dx = 3$ है,तो $\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f''(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi /2} |\sin x - \cos x| \, dx = $

यदि $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$,जहाँ $0 < t < \pi$,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \, dt}{f(t)}$ का मान .......... है।

यदि $f(x) = \int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt$ और $g(x) = \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ है,तो $f(x) + g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f_n(x) = \min\left(\frac{x^n}{n!}, \frac{(1-x)^n}{n!}\right)$ परिभाषित करें,जहाँ $0 \leq x \leq 1$ है। मान लीजिए $I_n = \int_{0}^{1} f_n(x) dx, n \geq 1$ है। तो,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n$ का मान ज्ञात कीजिए।