int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{1-cot x}{operatorn | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cot x}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x$.साइन और कोसाइन में परिवर्तित करने पर:$I = \int_{0}^{\frac{\

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(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cot x}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x$.साइन और कोसाइन में परिवर्तित करने पर:$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x}+\cos x} d x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x \quad ...(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{1+\sin(\frac{\pi}{2}-x)\cos(\frac{\pi}{2}-x)} d x$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x-\sin x}{1+\cos x \sin x} d x \quad ...(2)$समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x + \cos x-\sin x}{1+\sin x \cos x} d x$$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 0 d x = 0$अतः,$I = 0$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cot x}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x=$

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$\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} dx =$

$\int_5^9 \frac{\log_3 x^2}{\log_3 x^2 + \log_3(588 - 84x + 3x^2)} dx =$

यदि $n \geq 1$ के लिए,$P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$ है,तो $P_{10} - 90P_8$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x > 0$ के लिए,यदि $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\tan x} \,dx} $ का मान है

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