JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \Delta Q - \Delta W$ છે.
અહીં,$\Delta Q = mL_v = (1\,kg) \times (2257\,kJ/kg) = 2257\,kJ = 2257 \times 10^3\,J$.
વિસ્તરણ દરમિયાન તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = P(V_f - V_i)$ છે.
$\Delta W = (1 \times 10^5\,Pa) \times (1.671\,m^3 - 1.00 \times 10^{-3}\,m^3) = 10^5 \times (1.671 - 0.001) = 10^5 \times 1.670 = 167000\,J = 167\,kJ$.
હવે,$\Delta U = 2257\,kJ - 167\,kJ = 2090\,kJ$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $(x)$ ના વિધેય તરીકે ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$1$. મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ પર,ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે: $KE_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$.
$2$. અંતિમ સ્થાન ($x = A$ અથવા $x = -A$) પર,ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય છે: $KE = 0$.
$3$. સમીકરણ $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ એ $x$ ની સાપેક્ષમાં નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $x = 0$ પર મહત્તમ $KE$ અને $x = A$ પર શૂન્ય $KE$ દર્શાવે છે અને પરવલયાકાર છે,તે વિકલ્પ $(D)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(D) કોઈપણ રેખીય તાપમાન માપક્રમ અને ફેરનહીટ માપક્રમ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{X - X_{\text{freezing}}}{X_{\text{boiling}} - X_{\text{freezing}}} = \frac{F - 32}{212 - 32}$
આપેલ છે:
$X_{\text{boiling}} = 65^{\circ} X$
$X_{\text{freezing}} = -15^{\circ} X$
$X = -95^{\circ} X$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-95 - (-15)}{65 - (-15)} = \frac{F - 32}{180}$
$\frac{-95 + 15}{65 + 15} = \frac{F - 32}{180}$
$\frac{-80}{80} = \frac{F - 32}{180}$
$-1 = \frac{F - 32}{180}$
$-180 = F - 32$
$F = -180 + 32 = -148^{\circ} F$

(B) આપેલા એકમોના મીટરમાં મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$
$1 \text{ ly} = 9.46 \times 10^{15} \text{ m}$
$1 \text{ pc} = 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $1 \text{ AU} < 1 \text{ ly} < 1 \text{ pc}$ મળે છે.
વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે આ અંતરના એકમો છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે સાચો ક્રમ $AU < ly < pc$ છે.

(B) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
ત્રણેય પાત્રો માટે $T$ સમાન હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે:
નિયોન (એકપરમાણ્વીય): $M_1 \approx 20 \text{ g/mol}$.
ક્લોરિન (દ્વિપરમાણ્વીય): $M_2 \approx 71 \text{ g/mol}$.
યુરેનિયમ હેક્ઝાફ્લોરાઇડ (બહુપરમાણ્વીય): $M_3 \approx 352 \text{ g/mol}$.
અહીં $M_1 < M_2 < M_3$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{M_1}} > \frac{1}{\sqrt{M_2}} > \frac{1}{\sqrt{M_3}}$ મળે.
તેથી,$v_{rms}(\text{mono}) > v_{rms}(\text{dia}) > v_{rms}(\text{poly})$ સાચો સંબંધ છે.

(B) મશીનગન દ્વારા લાગતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = n \cdot m \cdot v$
જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે,$m$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે,અને $v$ એ ગોળીઓનો વેગ છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 125\,N$
દળ $m = 10\,g = 10 \times 10^{-3}\,kg = 0.01\,kg$
વેગ $v = 250\,m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$125 = n \times 0.01 \times 250$
$125 = n \times 2.5$
$n = \frac{125}{2.5} = 50$
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા $50$ છે.

(B) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 10^{-2} \sin 2 \pi (160 t - 0.5 x + \frac{\pi}{4})$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 2 \pi \times 160 \, rad/s$
$k = 2 \pi \times 0.5 \, m^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi \times 160}{2 \pi \times 0.5} = \frac{160}{0.5} = 320 \, m/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $\frac{18}{5}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$v = 320 \times \frac{18}{5} = 64 \times 18 = 1152 \, km/h$.

(B) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
અહીં $F(x) = 2 + 3x$,$x_1 = 0$,અને $x_2 = 4$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{4} (2 + 3x) dx$.
પદનું સંકલન કરતા: $W = [2x + \frac{3x^2}{2}]_{0}^{4}$.
સીમાઓ મૂકતા: $W = (2(4) + \frac{3(4)^2}{2}) - (2(0) + \frac{3(0)^2}{2})$.
$W = (8 + \frac{3 \times 16}{2}) - 0$.
$W = 8 + 3 \times 8 = 8 + 24 = 32 \, J$.

(B) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
વ્યાસને અનુલક્ષીને ગોળાનું કોણીય વેગમાન $L = I_d \omega = \frac{2}{5}mR^2 \omega$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ સ્પર્શકને અનુલક્ષીને ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_t = I_{cm} + mR^2 = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_t = (x \times 10^{-2}) \times L$.
પદો મૂકતા: $\frac{7}{5}mR^2 = (x \times 10^{-2}) \times (\frac{2}{5}mR^2 \omega)$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{5}mR^2$ ઉડાડતા: $7 = (x \times 10^{-2}) \times 2 \omega$.
અહીં $\omega = 10\,rad\,s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી: $7 = (x \times 10^{-2}) \times 2 \times 10$.
$7 = x \times 10^{-2} \times 20$.
$7 = x \times 0.2$.
$x = \frac{7}{0.2} = 35$.

(B) ધારો કે તારની મૂળભૂત લંબાઈ $\ell_0$ છે અને બળ અચળાંક $K$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$T = K(\ell - \ell_0)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $100 = K(l_1 - \ell_0)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $120 = K(l_2 - \ell_0)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{100}{120} = \frac{l_1 - \ell_0}{l_2 - \ell_0} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{l_1 - \ell_0}{l_2 - \ell_0}$
$5(l_2 - \ell_0) = 6(l_1 - \ell_0)$
$5l_2 - 5\ell_0 = 6l_1 - 6\ell_0$
$\ell_0 = 6l_1 - 5l_2$
આપેલ છે કે $10l_2 = 11l_1$,તેથી $l_2 = \frac{11}{10}l_1$.
$\ell_0$ ના સમીકરણમાં $l_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\ell_0 = 6l_1 - 5(\frac{11}{10}l_1)$
$\ell_0 = 6l_1 - \frac{11}{2}l_1$
$\ell_0 = \frac{12l_1 - 11l_1}{2} = \frac{1}{2}l_1$
આને $\frac{1}{x}l_1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T$ એ જમીન પર પાછા આવવા માટે લીધેલો કુલ સમય છે. જો કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ બે અલગ-અલગ સમયે $t_1$ અને $t_2$ પર સમાન ઊંચાઈ $h$ પર હોય,તો કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 3 \, s$ અને $t_2 = 5 \, s$,તેથી કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 3 + 5 = 8 \, s$ થાય.
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણનો ખૂણો છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $8 = \frac{2 u \sin 30^{\circ}}{10}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $8 = \frac{2 u (0.5)}{10}$.
$8 = \frac{u}{10}$.
આમ,$u = 80 \, m \, s^{-1}$.

(B) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડતા નાના ટીપાં માટે,ટર્મિનલ વેગ $v$ એ $v = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v \propto r^2$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને $8$ નાના ટીપાં ભેગા થઈને બનતા મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$,જે આપણને $R^3 = 8r^3$ આપે છે,તેથી $R = 2r$.
પ્રમાણસરતા $v \propto r^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{v_1}{v_2} = (\frac{r}{R})^2$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{10}{v_2} = (\frac{r}{2r})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$v_2 = 10 \times 4 = 40\,cm/s$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = f_0 \left( \frac{c + v_o}{c + v_s} \right)$
જ્યાં:
$f_0 = 400\,Hz$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$c = 360\,ms^{-1}$ (ધ્વનિનો વેગ)
$v_o = 40\,ms^{-1}$ (અવલોકનકાર,કાર $Q$ નો વેગ,જે ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે)
$v_s = 20\,ms^{-1}$ (ઉદગમ,કાર $P$ નો વેગ,જે અવલોકનકારથી દૂર જાય છે)
કિંમતો મૂકતા:
$f = 400 \left( \frac{360 + 40}{360 + 20} \right)$
$f = 400 \left( \frac{400}{380} \right)$
$f = 400 \times 1.0526$
$f \approx 421.05\,Hz$
આમ,મુસાફર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ આશરે $421\,Hz$ છે.

(B) ઘનતા $(\rho)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-3}]$ છે.
ધારો કે પારિમાણિક સૂત્ર $[\rho] = [F]^a [V]^b [T]^c$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $[M L^{-3}] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-1}]^b [T]^c$.
$[M L^{-3}] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-b+c}]$.
બંને બાજુ $M$,$L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$.
$L$ માટે: $a + b = -3 \Rightarrow 1 + b = -3 \Rightarrow b = -4$.
$T$ માટે: $-2a - b + c = 0 \Rightarrow -2(1) - (-4) + c = 0 \Rightarrow -2 + 4 + c = 0 \Rightarrow 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
આમ,પારિમાણિક સૂત્ર $[F^1 V^{-4} T^{-2}]$ થશે.

(A) સમાન ઘનતા ધરાવતા નક્કર ગોળાની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V(r) = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી પર,$r = R$,તેથી $V_{surface} = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - R^2) = \frac{GM}{2R^3}(2R^2) = \frac{GM}{R} = V$.
કેન્દ્ર પર,$r = 0$,તેથી $V_{center} = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - 0) = \frac{3GM}{2R}$.
$V = \frac{GM}{R}$ મૂકતા,આપણને $V_{center} = \frac{3}{2} V$ મળે છે.

(B) આપેલ દળ $m = 500\,g = 0.5\,kg$ છે.
વેગ $v = 10\sqrt{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = 100x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2v \frac{dv}{dx} = 100$ મળે છે.
પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ હોવાથી,આપણે $2a = 100$ લખી શકીએ,જે $a = 50\,m/s^2$ આપે છે.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$F = 0.5\,kg \times 50\,m/s^2 = 25\,N$ મળે છે.

(A) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$u_x = u \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\,m/s$
$u_y = u \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20\,m/s$
$t = 2\,s$ સમયે,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે:
$v_x = u_x = 20\sqrt{3}\,m/s$
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u_y - gt$ દ્વારા મળે છે:
$v_y = 20 - (10 \times 2) = 20 - 20 = 0\,m/s$
શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોવાથી,પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + 0^2} = 20\sqrt{3}\,m/s$ થાય.

(C) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_{\text{orbit}} = \sqrt{gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\text{orbit}} = \sqrt{10 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{64 \times 10^6} = 8000 \, m/s = 8 \, km/s$.
પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{\text{escape}} = \sqrt{2gR} = \sqrt{2} \times v_{\text{orbit}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા: $v_{\text{escape}} = 8\sqrt{2} \, km/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે જરૂરી વધારાનો વેગ $\Delta v = v_{\text{escape}} - v_{\text{orbit}}$ છે.
$\Delta v = 8\sqrt{2} - 8 = 8(\sqrt{2}-1) \, km/s$.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ માત્ર તાપમાન $(T)$ નું વિધેય છે,જે $U = f(T)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે,તો આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય.
કારણ કે $\Delta U = nC_v\Delta T$,આનો અર્થ એ થાય કે $\Delta T = 0$,એટલે કે તાપમાન અચળ રહે છે.
જે પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમનું તાપમાન અચળ રહે છે તેને સમતાપી પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.

(A) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{rms})$ શોધવાનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$.
આપેલ છે:
તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$.
નાઈટ્રોજનના એક અણુનું દળ $m = 4.6 \times 10^{-26} \, kg$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_{B} = 1.4 \times 10^{-23} \, J K^{-1}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.4 \times 10^{-23} \times 300}{4.6 \times 10^{-26}}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1260 \times 10^{-23}}{4.6 \times 10^{-26}}}$
$V_{rms} = \sqrt{273.91 \times 10^{3}} \approx \sqrt{273910} \approx 523.36 \, m/s$.
આમ,આશરે ઝડપ $523 \, m/s$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{B} - \overrightarrow{A} = 2\hat{j}$.
સમીકરણમાં $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\vec{B} - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{j}$
$\vec{B} = 2\hat{j} + (2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{B} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$
સદિશ $\vec{B}$ નું મૂલ્ય $|\vec{B}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{B}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 2^2}$
$|\vec{B}| = \sqrt{4 + 25 + 4}$
$|\vec{B}| = \sqrt{33}$

(A) ભ્રમણકક્ષાની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની માત્રા છે.
સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્યરત ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
તેથી,ગતિ ઊર્જા એ જડત્વની માત્રાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $K \propto \frac{1}{I}$.
ધારો કે $I_i$ અને $K_i = E$ એ અનુક્રમે પ્રારંભિક જડત્વની માત્રા અને પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા છે.
ધારો કે $I_f$ અને $K_f$ એ અનુક્રમે અંતિમ જડત્વની માત્રા અને અંતિમ ગતિ ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $I_f = 3I_i$,તેથી:
$\frac{K_f}{K_i} = \frac{I_i}{I_f} = \frac{I_i}{3I_i} = \frac{1}{3}$.
આમ,$K_f = \frac{K_i}{3} = \frac{E}{3}$.
આને $\frac{E}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5\,kg$,પ્રવેગ $a = 1\,m/s^2$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,સમય $t = 10\,s$,$g = 10\,m/s^2$.
ઢળતા સમતલ પર ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F - mg \sin 30^{\circ} = ma$
$F - 5 \times 10 \times 0.5 = 5 \times 1$
$F - 25 = 5 \Rightarrow F = 30\,N$.
$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને $t = 10\,s$ સમયે વેગની ગણતરી કરતા:
$v = 0 + 1 \times 10 = 10\,m/s$.
પાવર $P = F \times v$ ની ગણતરી કરતા:
$P = 30 \times 10 = 300\,W$.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $T = Y A \frac{\Delta L}{L}$ અને $\mu = \rho A$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ કિંમતોને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y A \Delta L / L}{\rho A}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \Delta L}{\rho L}}$.
આપેલ કિંમતો: $L = 0.5\,m$,$\Delta L = 3.2 \times 10^{-4}\,m$,$Y = 8 \times 10^{10}\,N/m^2$,$\rho = 8 \times 10^3\,kg/m^3$.
$f = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{8 \times 10^{10} \times 3.2 \times 10^{-4}}{8 \times 10^3 \times 0.5}}$.
$f = 1 \times \sqrt{\frac{25.6 \times 10^6}{4 \times 10^3}} = \sqrt{6.4 \times 10^3} = \sqrt{6400} = 80\,Hz$.

(A) પૃષ્ઠતાણ $T = 3.5 \times 10^{-2} \, N m^{-1}$ છે.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4 \pi r_2^2 - 4 \pi r_1^2) = 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A = T \times 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times (0.2^2 - 0.1^2)$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times (0.04 - 0.01) = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times 0.03$.
$W = 0.28 \times 3.14159 \times 0.03 = 0.026389 \, J$.
જરૂરી ફોર્મેટમાં ફેરવતા: $W \approx 264 \times 10^{-4} \, J$.

(D) ધારો કે $M_p$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ $= -\frac{G M_p m}{R}$. $m_A = 2m_B$ હોવાથી,$U_A \neq U_B$.
ગતિ ઊર્જા $(K)$ $= \frac{G M_p m}{2R}$. $m_A = 2m_B$ હોવાથી,$K_A \neq K_B$.
કુલ ઊર્જા $(E)$ $= U + K = -\frac{G M_p m}{2R}$. $m_A = 2m_B$ હોવાથી,$E_A \neq E_B$.
કક્ષીય ઝડપ $(v)$ $= \sqrt{\frac{G M_p}{R}}$.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે,કક્ષીય ઝડપ ઉપગ્રહના દળ $(m)$ પર આધારિત નથી. તેથી,બંને ઉપગ્રહોની ઝડપ સમાન હશે.

(C) વાયુના અણુની r.m.s. ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ મળે.
તેથી,r.m.s. ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_{Ar}}{v_{Cl}} = \sqrt{\frac{M_{Cl}}{M_{Ar}}}$ થાય.
અહીં $v_{Cl} = 490\,m/s$,$M_{Cl} = 70.9\,u$,અને $M_{Ar} = 39.9\,u$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{Ar} = 490 \times \sqrt{\frac{70.9}{39.9}}$.
$v_{Ar} = 490 \times \sqrt{1.7769} \approx 490 \times 1.333 = 653.17\,m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $651.7\,m/s$ મળે છે.

(A) $1$. સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$: $F = kx \implies [k] = [F]/[x] = (MLT^{-2}) / L = MT^{-2}$. તેથી,$A-II$.
$2$. કોણીય ઝડપ $(\omega)$: $\omega = \Delta\theta / \Delta t \implies [\omega] = [1] / T = T^{-1}$. તેથી,$B-I$.
$3$. કોણીય વેગમાન $(L)$: $L = mvr \implies [L] = M(LT^{-1})L = ML^2T^{-1}$. તેથી,$C-IV$.
$4$. જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$: $I = mr^2 \implies [I] = ML^2$. તેથી,$D-III$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(I), (C)-(IV), (D)-(III)$ છે.

(A) આપેલ છે કે કણ ત્રણ બળો $F_1$,$F_2$ અને $F_3$ ની અસર હેઠળ સંતુલનમાં છે.
ત્યારબાદ $F_2$ અને $F_3$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનું પરિણામી બળ $F_{23} = \sqrt{F_2^2 + F_3^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\,N$ મળે છે.
કણ સ્થિર રહે તે માટે,બધા બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $F_1$ એ $F_2$ અને $F_3$ ના પરિણામી બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
જ્યારે $F_1$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કણ પર માત્ર $F_2$ અને $F_3$ બળો લાગે છે.
કણ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ એ $F_2$ અને $F_3$ નું પરિણામી બળ છે,જે $10\,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$,તેથી $10\,N = 5\,kg \times a$.
આમ,$a = \frac{10}{5} = 2\,m/s^2$.

(A) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે ($80^{\circ} C$ થી $60^{\circ} C$):
$\frac{80 - 60}{5} = k \left( \frac{80 + 60}{2} - 20 \right)$
$\frac{20}{5} = k(70 - 20)$
$4 = 50k \Rightarrow k = \frac{4}{50} = 0.08 \text{ min}^{-1}$.
બીજા અંતરાલ માટે ($60^{\circ} C$ થી $40^{\circ} C$):
$\frac{60 - 40}{t} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 20 \right)$
$\frac{20}{t} = k(50 - 20)$
$\frac{20}{t} = 30k$.
$k = \frac{4}{50}$ મૂકતા:
$\frac{20}{t} = 30 \times \frac{4}{50}$
$\frac{20}{t} = \frac{120}{50} = 2.4$
$t = \frac{20}{2.4} = \frac{200}{24} = \frac{25}{3} \text{ મિનિટ}$.
સેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા:
$t = \frac{25}{3} \times 60 = 25 \times 20 = 500 \text{ સેકન્ડ}$.

(A) તાપમાન $T_1 = 373 \text{ K}$ (ઉત્કલનબિંદુ) અને $T_2 = 273 \text{ K}$ (ઠારબિંદુ) છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{273}{373} \approx 0.268$ અથવા $26.8 \%$ છે.
આ બે તાપમાન વચ્ચે કાર્યરત કોઈપણ વાસ્તવિક એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કાર્નોટ કાર્યક્ષમતા કરતા ઓછી હોવી જોઈએ $(\eta < 26.8 \%)$.
તેથી,કાર્યક્ષમતા $26.8 \%$ થી ઓછી છે,જેનો અર્થ છે કે તે $27 \%$ થી ઓછી છે.
આમ,વિધાન $2$ અને $4$ સાચા છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, અવરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta KE$
અંતિમ ગતિઊર્જા $0$ છે અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ છે, તેથી કાર્ય $W = -F \cdot S = 0 - K$ થાય, જ્યાં $F$ એ અવરોધક બળ છે અને $S$ એ સ્થિર થવા માટેનું અંતર છે.
આમ, $S = \frac{K}{F}$.
ટ્રક અને કાર બંનેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે અને બંને પર સમાન અવરોધક બળ $F$ લાગે છે, તેથી તેઓ સમાન અંતર $S$ કાપીને સ્થિર થશે. તેથી, વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે, જોકે ઝડપ (વેગનું મૂલ્ય) બદલાતી નથી, પરંતુ જ્યારે કાર પૂર્વથી ઉત્તર તરફ વળે છે ત્યારે વેગની દિશા બદલાય છે.
પ્રવેગને વેગમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt})$. વેગની દિશા બદલાતી હોવાથી, વેગ સદિશ બદલાય છે, જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
તેથી, વિધાન $II$ ખોટું છે.

(D) $SHM$ માં રહેલા કણની $x$ સ્થાનાંતર પરની સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2} kx^2$ છે.
$x$ સ્થાનાંતર પર કણની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $P.E. = \frac{1}{2} k(\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{2} k(\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{8} kA^2$.
ગતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - (\frac{A}{2})^2) = \frac{1}{2} k(A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} k(\frac{3A^2}{4}) = \frac{3}{8} kA^2$.
સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{P.E.}{K.E.} = \frac{\frac{1}{8} kA^2}{\frac{3}{8} kA^2} = \frac{1}{3}$ થાય છે.

(B) ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 150\,m/s$,પ્રવેગ $a = -g = -10\,m/s^2$,અને $t$ એ સેકન્ડમાં સમય છે.
તેથી,$v(t) = 150 - 10t$.
$3\,s$ પછીનો વેગ $v(3) = 150 - 10(3) = 150 - 30 = 120\,m/s$ છે.
$5\,s$ પછીનો વેગ $v(5) = 150 - 10(5) = 150 - 50 = 100\,m/s$ છે.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v(3)}{v(5)} = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}$ છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{x+1}{x}$ છે,તેથી $\frac{x+1}{x} = \frac{6}{5}$.
પદોની સરખામણી કરતા,$x = 5$ મળે છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે $M_E$ અને $R_E$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_P$ અને $R_P$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_P = 16 M_E$ અને $R_P = 4 R_E$.
ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_P = \sqrt{\frac{2GM_P}{R_P}} = \sqrt{\frac{2G(16M_E)}{4R_E}} = \sqrt{4 \times \frac{2GM_E}{R_E}} = 2 \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}}$ છે.
કારણ કે $V_E = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}}$,તેથી $V_P = 2 V_E$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{V_P}{V_E} = \frac{2}{1}$ એટલે કે $2:1$ થાય.

(D) અનુનાદ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $1:3:5$ સૂચવે છે કે ઓર્ગન પાઇપ એક છેડે બંધ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n V}{4 \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ $(n = 1, 3, 5, ...)$.
પાંચમો હાર્મોનિક $n = 5$ ને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે કે $f_5 = 405 \, Hz$,$V = 324 \, ms^{-1}$,અને $n = 5$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $405 = \frac{5 \times 324}{4 \ell}$.
$\ell$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\ell = \frac{5 \times 324}{4 \times 405}$.
$\ell = \frac{1620}{1620} = 1 \, m$.

(D) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ગોલીય કવચ માટે,તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3} mR^2$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$,તેથી $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{3} mv^2$.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{\text{total}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{3} mv^2 = \frac{5}{6} mv^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{total}}} = \frac{\frac{1}{3} mv^2}{\frac{5}{6} mv^2} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ થાય.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{x}{5}$ છે,તેથી $\frac{x}{5} = \frac{2}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(D) બસ અચળ ઝડપે ગતિ કરતી હોવાથી,કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ બસ પર થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.
$W_{\text{net}} = W_{\text{engine}} + W_{\text{friction}} = 0$
તેથી,$W_{\text{engine}} = -W_{\text{friction}}$.
ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય $W_{\text{friction}} = -f_k \cdot d = -(\mu mg) \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\mu = 0.04$,$m = 500\,kg$,$g = 9.8\,m/s^2$,અને $d = 4\,km = 4000\,m$.
$W_{\text{engine}} = \mu mgd = 0.04 \times 500 \times 9.8 \times 4000$.
$W_{\text{engine}} = 20 \times 9.8 \times 4000 = 196 \times 4000 = 784000\,J$.
$kJ$ માં ફેરવતા,$W_{\text{engine}} = 784\,kJ$.

(D) આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 1.25 \times 10^3 \, kg \, m^{-3}$, $A_1 = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2$, $A_2 = 5 \, cm^2 = 5 \times 10^{-4} \, m^2$, $\Delta P = P_1 - P_2 = 3 \, N \, m^{-2}$.
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ, $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
તેથી, $v_1 = \frac{A_2}{A_1} v_2 = \frac{5}{10} v_2 = 0.5 v_2$.
ક્ષૈતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
$\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
$v_1 = 0.5 v_2$ મૂકતા:
$3 = \frac{1}{2} \times (1.25 \times 10^3) \times (v_2^2 - (0.5 v_2)^2)$.
$3 = 0.625 \times 10^3 \times (v_2^2 - 0.25 v_2^2) = 0.625 \times 10^3 \times 0.75 v_2^2$.
$3 = 468.75 v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{3}{468.75} = 0.0064$.
$v_2 = \sqrt{0.0064} = 0.08 \, m \, s^{-1}$.
પ્રવાહ દર (ડિસ્ચાર્જ) $Q = A_2 v_2 = (5 \times 10^{-4} \, m^2) \times (0.08 \, m \, s^{-1}) = 40 \times 10^{-6} \, m^3 \, s^{-1} = 4 \times 10^{-5} \, m^3 \, s^{-1}$.
$x \times 10^{-5} \, m^3 \, s^{-1}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 4$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$v_A = 108 \times \frac{5}{18} = 30\,m/s$
$v_B = 72 \times \frac{5}{18} = 20\,m/s$
ટનલ પસાર કરવા માટે,દરેક ટ્રેને ટનલની લંબાઈ અને પોતાની લંબાઈના સરવાળા જેટલું અંતર કાપવું પડે.
ટ્રેન '$A$' દ્વારા લેવાયેલ સમય: $t_A = \frac{L + l}{v_A} = \frac{60l + l}{30} = \frac{61l}{30}$
ટ્રેન '$B$' દ્વારા લેવાયેલ સમય: $t_B = \frac{L + 4l}{v_B} = \frac{60l + 4l}{20} = \frac{64l}{20} = \frac{16l}{5}$
આપેલ છે કે $t_B - t_A = 35\,s$:
$\frac{16l}{5} - \frac{61l}{30} = 35$
$\frac{96l - 61l}{30} = 35$
$\frac{35l}{30} = 35$
$l = 30\,m$
તેથી,$L = 60l = 60 \times 30 = 1800\,m$.

(D) સરેરાશ પાવર એટલે કુલ કાર્ય અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$
આપેલ પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ છે.
પ્રથમ મોટર માટે: $m_1 = 300 \ kg$,$t_1 = 5 \ minute = 300 \ s$,$h = 100 \ m$.
બીજી મોટર માટે: $m_2 = 50 \ kg$,$t_2 = 2 \ minute = 120 \ s$,$h = 100 \ m$.
પાવરનો ગુણોત્તર ગણતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1 g h / t_1}{m_2 g h / t_2} = \frac{m_1}{t_1} \times \frac{t_2}{m_2}$
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{300}{5} \times \frac{2}{50} = 60 \times 0.04 = 2.4$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = 2.4$
$3 \sqrt{x} = 2.4 \sqrt{x} + 2.4$
$0.6 \sqrt{x} = 2.4$
$\sqrt{x} = 4$
$x = 16$

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$V_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \, km/s$.
ગ્રહ માટે,$V_p = \sqrt{\frac{2G(9M_e)}{4R_e}} = \sqrt{\frac{9}{4}} \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$.
$V_p = \frac{3}{2} \times V_e$.
$V_e = 11.2 \, km/s$ ની કિંમત મૂકતા:
$V_p = 1.5 \times 11.2 \, km/s = 16.8 \, km/s$.

(B) બંદૂકને આપવામાં આવેલ આઘાત એ ગોળીના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
આપેલ છે:
ગોળીનું દળ,$m = 10\,g = 0.01\,kg$
ગોળીનો વેગ,$v = 600\,m/s$
બંદૂકનું દળ,$M = 3\,kg$
આઘાત $J = \Delta p = m \times v$
$J = 0.01\,kg \times 600\,m/s = 6\,Ns$
તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,બંદૂકને મળતો આઘાત એ ગોળી દ્વારા મેળવેલા વેગમાનના મૂલ્ય જેટલો જ હોય છે.

(A) જ્યારે ડિસ્ક સરક્યા વગર ગબડે છે,ત્યારે ડિસ્કનું કેન્દ્ર કાપેલા ચાપની લંબાઈ જેટલું અંતર આગળ વધે છે. અડધા પરિભ્રમણ માટે,કેન્દ્ર $\pi R$ જેટલું આડું અંતર કાપે છે.
બિંદુ $A$,જે શરૂઆતમાં સૌથી ઉપર હતું,તે અડધા પરિભ્રમણ પછી ડિસ્કના તળિયે પહોંચે છે. બિંદુ $A$ નું શિરોલંબ સ્થાનાંતર ડિસ્કના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2R$ થાય છે.
બિંદુ $A$ નું આડું સ્થાનાંતર કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલા અંતર જેટલું એટલે કે $\pi R$ થાય છે.
કુલ સ્થાનાંતર $d$ એ આડા અને શિરોલંબ સ્થાનાંતરનો સદિશ સરવાળો છે:
$d = \sqrt{(\text{આડું સ્થાનાંતર})^2 + (\text{શિરોલંબ સ્થાનાંતર})^2}$
$d = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2}$
$d = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2}$
$d = R \sqrt{\pi^2 + 4}$

(A) વાયુના અણુની rms ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
વાયુના અણુની સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{rms} = \left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{1}{2}} v_{avg}$ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT}{M} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8RT}{\pi M}$.
બંને બાજુથી $\frac{RT}{M}$ દૂર કરતા: $3 = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8}{\pi}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$3 = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8}{22/7} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8 \times 7}{22} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{56}{22} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{28}{11}$.
$\Rightarrow 1+\frac{5}{x} = 3 \times \frac{11}{28} = \frac{33}{28}$.
$\Rightarrow \frac{5}{x} = \frac{33}{28} - 1 = \frac{5}{28}$.
$\Rightarrow x = 28$.

(A) ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
પ્રથમ,ગતિઊર્જાનું સરેરાશ મૂલ્ય શોધો:
$K = \frac{1}{2} \times 5 \times (20)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 = 1000 \ J$.
હવે,ત્રુટિના પ્રસરણના નિયમ મુજબ સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધો:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta K}{1000} = \frac{0.5}{5} + 2 \times \frac{0.4}{20} = 0.1 + 0.04 = 0.14$.
નિપેક્ષ ત્રુટિ $\Delta K$ શોધો:
$\Delta K = 1000 \times 0.14 = 140 \ J$.
તેથી,ગતિઊર્જા $(1000 \pm 140) \ J$ થશે.

(D) $m$ દળ અને $p$ રેખીય વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે રેખીય વેગમાન સમાન છે,એટલે કે $p_1 = p_2 = p$.
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{K_1}{K_2} = \frac{16}{9}$,તેથી $\frac{m_2}{m_1} = \frac{16}{9}$ મળે.
આમ,તેમના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{16}$ થાય.

(A) આપેલ છે:
$A$ આગળ ક્ષેત્રફળ,$A_A = 1.5 \, cm^2 = 1.5 \times 10^{-4} \, m^2$
$B$ આગળ ક્ષેત્રફળ,$A_B = 25 \, mm^2 = 25 \times 10^{-6} \, m^2$
$B$ આગળ વેગ,$v_B = 60 \, cm/s = 0.6 \, m/s$
ઘનતા,$\rho = 1000 \, kg/m^3$
સાતત્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_A v_A = A_B v_B$:
$1.5 \times 10^{-4} \times v_A = 25 \times 10^{-6} \times 0.6$
$v_A = \frac{25 \times 10^{-6} \times 0.6}{1.5 \times 10^{-4}} = \frac{15 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-4}} = 10 \times 10^{-2} = 0.1 \, m/s$
સમક્ષિતિજ નળી માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_A = h_B)$:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$
$P_A - P_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2)$
$P_A - P_B = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.6)^2 - (0.1)^2)$
$P_A - P_B = 500 \times (0.36 - 0.01)$
$P_A - P_B = 500 \times 0.35 = 175 \, Pa$

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -V \frac{dP}{dV}$ છે.
આપેલ સંબંધ $P = aV^{-3}$ છે.
$V$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dV} = a(-3)V^{-4} = -3 \frac{aV^{-3}}{V} = -3 \frac{P}{V}$.
આ કિંમતને બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = -V \left( -3 \frac{P}{V} \right) = 3P$.
તેથી,બલ્ક મોડ્યુલસ $3P$ છે.

(D) $SHM$ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $(TE)$ અચળ હોય છે,જે $TE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત એ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ છે:
$KE = TE - PE$
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
આ સમીકરણ નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે,જેનું શિરોબિંદુ $x = 0$ પર છે અને તેના શૂન્યો $x = \pm A$ પર છે. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકાર સાથે મેળ ખાય છે.

(A) $1$. ફોટોકરંટ એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે કારણ કે તીવ્રતા એ આપાત ફોટોનની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે,જે બદલામાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{\max} = h\nu - \phi$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે. આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $KE_{\max}$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે,જ્યારે વિધાન $B$ અને $E$ ખોટા છે.
$3$. ફોટોઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન માટે લઘુત્તમ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિની જરૂર હોય છે,લઘુત્તમ થ્રેશોલ્ડ તીવ્રતાની નહીં. તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને $C$ સાચા છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ગતિશીલ $emf$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$e = Blv$
આપેલ છે:
$e = 0.08\,V$
$l = 10\,cm = 0.1\,m$
$B = 0.4\,T$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.08 = 0.4 \times 0.1 \times v$
$0.08 = 0.04 \times v$
$v = \frac{0.08}{0.04} = 2\,m/s$
આમ,વેગ $2\,m/s$ છે.

(D) $l$ લંબાઈના ટૂંકા રેખીય એન્ટેના દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ $P \propto \left(\frac{l}{\lambda}\right)^2$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દર્શાવે છે કે ઉત્સર્જિત પાવર એ એન્ટેનાની લંબાઈ અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઈના ગુણોત્તરના વર્ગના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથ માટે અનુનાદ સમયે ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
આપેલ કિંમતો:
અવરોધ $R = 100\,\Omega$
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1\,H$
કેપેસિટન્સ $C = 6.25 \times 10^{-6}\,F$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{1}{6.25 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{10^6}{6.25}}$
$Q = \frac{1}{100} \times \frac{1000}{2.5}$
$Q = \frac{10}{2.5} = 4$
આમ,પરિપથનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $4$ છે.

(A) $H$-પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ છે.
$H_\alpha$ રેખા માટે,$n_2 = 3$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{H_\alpha}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$ થાય.
$H_\beta$ રેખા માટે,$n_2 = 4$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{H_\beta}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$ થાય.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{H_\alpha}}{\lambda_{H_\beta}} = \frac{\lambda_{H_\beta}^{-1}}{\lambda_{H_\alpha}^{-1}} = \frac{3R/16}{5R/36} = \frac{3}{16} \times \frac{36}{5} = \frac{3 \times 9}{4 \times 5} = \frac{27}{20}$ મળે.
આને $\frac{x}{20}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 27$ મળે છે.

(A) આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા,$n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2 \times 10^{-6} \ m^2$
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 3.2 \ A$
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$ માટેનું સૂત્ર:
$I = n e A v_d$
$v_d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$v_d = \frac{I}{n e A}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_d = \frac{3.2}{(8 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{3.2}{25.6 \times 10^3}$
$v_d = 0.125 \times 10^{-3} \ m/s$
$v_d = 125 \times 10^{-6} \ m/s$
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગ $125 \times 10^{-6} \ m/s$ છે.

(A) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $Q = CV = 600 \times 10^{-12} \, F \times 200 \, V = 12 \times 10^{-8} \, C$.
સંગ્રહિત પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-12} \times (200)^2 = 12 \times 10^{-6} \, J = 12 \, \mu J$.
જ્યારે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે અને સમાન કેપેસિટન્સ ધરાવે છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર: $Q' = \frac{Q}{2} = 6 \times 10^{-8} \, C$.
તંત્રમાં સંગ્રહિત અંતિમ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા: $U_f = 2 \times \left( \frac{Q'^2}{2C} \right) = \frac{Q'^2}{C} = \frac{(6 \times 10^{-8})^2}{600 \times 10^{-12}} = \frac{36 \times 10^{-16}}{600 \times 10^{-12}} = 6 \times 10^{-6} \, J = 6 \, \mu J$.
આ પ્રક્રિયામાં ગુમાવેલી ઉર્જા: $\Delta U = U_i - U_f = 12 \, \mu J - 6 \, \mu J = 6 \, \mu J$.

(A) આપેલ છે: પાતળા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1.0$,ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = 1.5$. વક્રતા ત્રિજ્યા $R = +30\,cm$ (કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર પ્રકાશના પ્રસરણની દિશામાં છે). વસ્તુ અંતર $u = -15\,cm$ (પ્રકાશની દિશાની વિરુદ્ધ માપવામાં આવે છે).
ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
કિંમતો મુકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1.0}{-15} = \frac{1.5 - 1.0}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{1}{60}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1 - 4}{60} = \frac{-3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30\,cm$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પ્રતિબિંબ વસ્તુની બાજુએ જ ધ્રુવથી $30\,cm$ અંતરે રચાય છે.

(A) કોઈલના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલની અક્ષ પર $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + d^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $d = r$ આપેલ છે,તેથી $B_2$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2^{3/2} r^3)} = \frac{\mu_0 I}{2(2\sqrt{2})r} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I}{2r} \times \frac{4\sqrt{2}r}{\mu_0 I} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{8}$.
આને $\sqrt{x}: 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{x} = \sqrt{8}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 8$.

(C) ઝેનર ડાયોડનું પાવર રેટિંગ $P = 1.6\,W$ છે અને બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_z = 8\,V$ છે.
ઝેનર ડાયોડમાંથી વહી શકતો મહત્તમ પ્રવાહ $I_{z,max} = \frac{P}{V_z} = \frac{1.6\,W}{8\,V} = 0.2\,A$ છે.
ઝેનર ડાયોડ વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે કાર્ય કરે તે માટે, ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in}$ એ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_z$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. અહીં, ઇનપુટ વોલ્ટેજ $3\,V$ થી $10\,V$ ની વચ્ચે બદલાય છે. ઝેનર ડાયોડ ફક્ત ત્યારે જ રેગ્યુલેટ કરશે જ્યારે $V_{in} \geq 8\,V$ હોય. તેથી, ડાયોડ તેના પાવર રેટિંગને ઓળંગે નહીં તેની ખાતરી કરવા માટે આપણે મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in,max} = 10\,V$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ પર શ્રેણી અવરોધ $R_s$ માં વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{R_s} = V_{in,max} - V_z = 10\,V - 8\,V = 2\,V$ છે.
સુરક્ષિત સંચાલન સુનિશ્ચિત કરવા માટે, શ્રેણી અવરોધ $R_s$ માંથી વહેતો પ્રવાહ એ ઝેનર ડાયોડ સહન કરી શકે તેવા મહત્તમ પ્રવાહ જેટલો હોવો જોઈએ (ધારી લઈએ કે કોઈ લોડ પ્રવાહ જોડાયેલ નથી, જે ડાયોડ માટે સૌથી ખરાબ સ્થિતિ છે).
આમ, $R_s = \frac{V_{R_s}}{I_{z,max}} = \frac{2\,V}{0.2\,A} = 10\,\Omega$.

(B) આપેલ છે,કેરિયર તરંગનો કંપનવિસ્તાર $A_c = 15\,V$.
બેઝબેન્ડ સિગ્નલનો કંપનવિસ્તાર $A_m = 3\,V$.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગનો મહત્તમ કંપનવિસ્તાર $A_{\max} = A_c + A_m = 15 + 3 = 18\,V$ છે.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગનો ન્યૂનતમ કંપનવિસ્તાર $A_{\min} = A_c - A_m = 15 - 3 = 12\,V$ છે.
તેથી,મહત્તમ કંપનવિસ્તાર અને ન્યૂનતમ કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{\max}}{A_{\min}} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ થાય.

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L_n = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_1 = L = \frac{1 \cdot h}{2\pi}$ છે.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_2 = \frac{2h}{2\pi} = 2 \left( \frac{h}{2\pi} \right) = 2L$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_2 - L_1 = 2L - L = L$ થાય.

(D) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટર માટે,ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta = k \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ પ્રવાહ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $k$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે.
પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $S_i = \frac{\phi}{I} = \frac{NBA}{k}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો $N$ બમણું કરવામાં આવે,તો $S_i$ એ $2 \times \frac{NBA}{k}$ થાય છે,તેથી વિધાન $I$ સાચું છે.
વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $S_v = \frac{\phi}{V} = \frac{\phi}{IR} = \frac{S_i}{R} = \frac{NBA}{kR}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જ્યારે આંટાની સંખ્યા $N$ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળામાં તારની લંબાઈ પણ બમણી થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ગૂંચળાનો અવરોધ $R$ પણ બમણો થાય છે $(R \propto N)$.
તેથી,$S_v = \frac{(2N)BA}{k(2R)} = \frac{NBA}{kR}$.
આમ,$S_v$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક કેન્દ્રિય નોડ છે જે બિંદુ $a$,$b$ અને ઉપરના શિરોબિંદુ સાથે જોડાયેલ છે.
ધારો કે ઉપરનું શિરોબિંદુ $c$ છે. $c$ સાથે જોડાયેલા અવરોધો એ $a$ અને $b$ સાથે જોડાયેલા અવરોધો સાથે શ્રેણીમાં છે.
ચોક્કસ રીતે,$a$ થી $c$ સુધીની શાખામાં બે $4\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $4+4=8\,\Omega$ આપે છે.
$b$ થી $c$ સુધીની શાખામાં બે $4\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $4+4=8\,\Omega$ આપે છે.
આ બંને શાખાઓ એકબીજા સાથે સમાંતર છે,અને તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{8 \times 8}{8+8} = 4\,\Omega$ છે.
છેલ્લે,આ $4\,\Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ એ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે સીધો જોડાયેલ $16\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે.
$R_{eq} = \frac{4 \times 16}{4+16} = \frac{64}{20} = 3.2\,\Omega$.

(C) $AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ માટે, ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે, $X_L = X_C$ થાય છે, જે ઈમ્પીડન્સ $Z$ ને ન્યૂનતમ $(Z = R)$ બનાવે છે અને કળા તફાવત $\phi = 0$ થાય છે. આમ, $\cos \phi = 1$ થાય છે, અને પાવરનો વ્યય મહત્તમ થાય છે. તેથી, વિધાન $I$ સાચું છે.
શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટમાં, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે $(\phi = 0)$, તેથી $\cos \phi = 1$ થાય છે. આના પરિણામે આપેલ વોલ્ટેજ માટે મહત્તમ પાવરનો વ્યય થાય છે. તેથી, વિધાન $II$ સાચું છે.
આમ, બંને વિધાનો સાચા છે.

(NONE) આ પરિપથ સમાંતરમાં જોડાયેલી બે શાખાઓનો બનેલો છે.
$1$. ઉપરની શાખામાં $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ એ $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $C_1 = \frac{C}{2}$.
$2$. નીચેની શાખામાં પણ $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2$ એ $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $C_2 = \frac{C}{2}$.
$3$. આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં જોડાયેલી છે. તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = C$ થાય છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊર્જા ઘનતા $u$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $u \propto E^2$.
તેથી,$u \propto \sin^2(\omega t - kx)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $u \propto \frac{1 - \cos(2(\omega t - kx))}{2}$ મળે છે.
ઊર્જા ઘનતાના દોલનની આવૃત્તિ $2\omega t$ પદ દ્વારા નક્કી થાય છે.
તરંગની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,ઊર્જાના દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega = 2(2\pi f) = 2\pi(2f)$ થાય છે.
તેથી,ઊર્જાના દોલનની આવૃત્તિ $2f$ છે,જે તરંગની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે.

(B) શરૂઆતમાં,વસ્તુ $x = -12\,cm$ પર છે અને અરીસો $x = 0$ પર છે. પ્રતિબિંબ $x = +12\,cm$ પર રચાય છે.
જ્યારે અરીસાને વસ્તુ તરફ $4\,cm$ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે અરીસાનું નવું સ્થાન $x = -4\,cm$ થાય છે.
નવા અરીસાના સ્થાનથી વસ્તુનું અંતર $u = |-12 - (-4)| = 8\,cm$ છે.
પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ સમાન અંતરે રચાતું હોવાથી,પ્રતિબિંબનું નવું સ્થાન $x_i$ એ $|x_i - (-4)| = 8\,cm$ નું પાલન કરે છે,તેથી $x_i = 4\,cm$.
પ્રતિબિંબનું પ્રારંભિક સ્થાન $12\,cm$ હતું અને અંતિમ સ્થાન $4\,cm$ છે.
તેથી,પ્રતિબિંબના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર $12\,cm - 4\,cm = 8\,cm$ અરીસાની તરફ છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ ($K$.$T$.$G$.) મુજબ,વાયુના અણુનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $v_{RMS} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_{RMS}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ થશે.
અહીં $T_1 = 300 \ K$ અને $T_2 = 600 \ K$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{300}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$ થશે.

(D) ધારો કે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0 = 32 \, W m^{-2}$ છે.
પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થયા પછી,તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2} = 16 \, W m^{-2}$ થાય છે.
ધારો કે પ્રથમ અને બીજા પોલેરોઇડની પાસ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
બીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$ છે.
બીજા અને ત્રીજા પોલેરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ} - \theta)$ છે કારણ કે પ્રથમ અને ત્રીજા પોલેરોઇડ એકબીજાને લંબ છે.
ત્રીજા પોલેરોઇડ પછીની તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$ છે.
$I_2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_3 = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \frac{I_0}{8} (2 \sin \theta \cos \theta)^2 = \frac{I_0}{8} \sin^2(2 \theta)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $I_3 = 3 \, W m^{-2}$ અને $I_0 = 32 \, W m^{-2}$,તેથી $3 = \frac{32}{8} \sin^2(2 \theta) = 4 \sin^2(2 \theta)$.
$\sin^2(2 \theta) = \frac{3}{4} \implies \sin(2 \theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$2 \theta = 60^{\circ}$ અથવા $120^{\circ}$,જે $\theta = 30^{\circ}$ અથવા $60^{\circ}$ આપે છે.

(D) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ નું સૂત્ર $H = ni$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
સોલેનોઈડની લંબાઈ $\ell = 15\,cm = 0.15\,m$
આંટાની સંખ્યા $N = 60$
ચુંબકીય તીવ્રતા $H = 2.4 \times 10^3\,A/m$
પ્રથમ,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ શોધો:
$n = \frac{N}{\ell} = \frac{60}{0.15} = 400\,turns/m$
હવે,વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ શોધવા માટે $H = ni$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$2.4 \times 10^3 = 400 \times i$
$i = \frac{2400}{400} = 6\,A$
તેથી,જરૂરી વિદ્યુતપ્રવાહ $6\,A$ છે.

(D) સળિયામાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય ઈ.એમ.એફ. $(EMF)$ $\varepsilon = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 0.15\,T$,$\ell = 1\,m$,$v = 4\,m/s$,અને $R = 5\,\Omega$.
પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell v}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = i \ell B$ છે.
$i$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $F = \left( \frac{B \ell v}{R} \right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 v}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{(0.15)^2 \times (1)^2 \times 4}{5}$.
$F = \frac{0.0225 \times 4}{5} = \frac{0.09}{5} = 0.018\,N$.
જરૂરી એકમોમાં રૂપાંતર કરતા: $0.018\,N = 18 \times 10^{-3}\,N$.

(D) આપેલ છે: ક્ષય અચળાંક $\lambda = 1.5 \times 10^{-5} \, s^{-1}$.
પદાર્થનું દળ $m = 1.0 \, \mu g = 1.0 \times 10^{-6} \, g$.
મોલર દળ $M = 60 \, g \, mol^{-1}$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{1.0 \times 10^{-6}}{60} = \frac{1}{6} \times 10^{-7} \, mol$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $N = n \times N_A = (\frac{1}{6} \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^{23}) = 10^{16}$ પરમાણુઓ.
એક્ટિવિટી $A = N \lambda = 10^{16} \times 1.5 \times 10^{-5} \, Bq$.
$A = 1.5 \times 10^{11} \, Bq = 15 \times 10^{10} \, Bq$.
તેથી,જવાબ $15$ છે.

(D) કવચ પરના વિદ્યુતભારો:
$q_x = \sigma(4\pi a^2)$
$q_y = -\sigma(4\pi b^2)$
$q_z = \sigma(4\pi c^2)$
કવચ $X$ અને $Z$ સમાન સ્થિતિમાન પર હોવાથી $(V_x = V_z)$:
$V_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_x}{a} + \frac{q_y}{b} + \frac{q_z}{c} \right)$
$V_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_x}{c} + \frac{q_y}{c} + \frac{q_z}{c} \right)$
$V_x$ અને $V_z$ ને સરખાવતા:
$\frac{\sigma 4\pi a^2}{a} - \frac{\sigma 4\pi b^2}{b} + \frac{\sigma 4\pi c^2}{c} = \frac{\sigma 4\pi a^2}{c} - \frac{\sigma 4\pi b^2}{c} + \frac{\sigma 4\pi c^2}{c}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$a - b + c = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{c}$
$c(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2$
$c(a - b) + c^2 = a^2 - b^2 + c^2$
$c(a - b) = a^2 - b^2$
$c(a - b) = (a - b)(a + b)$
$c = a + b$
અહીં $a = 2\,cm$ અને $b = 3\,cm$ આપેલ છે:
$c = 2 + 3 = 5\,cm$.

(D) જ્યારે બધા અવરોધકોને શ્રેણી જોડાણમાં જોડવામાં આવે ત્યારે મહત્તમ અવરોધ મળે છે.
$R_{\max} = n \times R$,જ્યાં $n = 10$ અને $R = 10\,\Omega$.
$R_{\max} = 10 \times 10 = 100\,\Omega$.
જ્યારે બધા અવરોધકોને સમાંતર જોડાણમાં જોડવામાં આવે ત્યારે ન્યૂનતમ અવરોધ મળે છે.
$R_{\min} = \frac{R}{n}$,જ્યાં $n = 10$ અને $R = 10\,\Omega$.
$R_{\min} = \frac{10}{10} = 1\,\Omega$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ સમતુલ્ય અવરોધનો ગુણોત્તર:
$\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{100}{1} = 100$.

(A) પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $t_{1/2} = T$ આપેલ છે.
જો મૂળ દળ $N_0$ હોય,તો તેના $\frac{7}{8}$ ભાગના વિઘટન પછી બાકી રહેતું દળ $N$ નીચે મુજબ છે:
$N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેતું દળ $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{8}N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
કુલ લાગતો સમય $t = n \times T = 3T$ થશે.

(B) વિધાન $I$ સાચું છે: ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ ઋણ હોય છે અને તે $-1 \leq \chi < 0$ ની શ્રેણીમાં હોય છે. આ દર્શાવે છે કે પદાર્થ લાગુ કરેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્બળ ચુંબકત્વ પ્રાપ્ત કરે છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: ઋણ સસેપ્ટિબિલિટીને કારણે,ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબક દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે. જ્યારે તેમને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ એવા બળનો અનુભવ કરે છે જે તેમને પ્રબળ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી નિર્બળ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તાર તરફ ધકેલે છે.

(C) હવા માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $t = \frac{2d}{3}$ જાડાઈની ધાતુની શીટ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર ઘટે છે.
$t$ જાડાઈના ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ (અથવા ધાતુની શીટ) ધરાવતા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ધાતુની શીટ માટે,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = \infty$ હોય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3} + \frac{2d/3}{\infty}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3} + 0} = \frac{\epsilon_0 A}{d/3} = 3 \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
કારણ કે $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,તેથી $C_2 = 3C_1$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{C_2}{C_1} = 3:1$ થાય છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ ના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $E_0 = B_0 c$,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$B_0 = 6.0 \times 10^{-7} \, T$
$c = 3.0 \times 10^8 \, ms^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = (6.0 \times 10^{-7} \, T) \times (3.0 \times 10^8 \, ms^{-1})$
$E_0 = 18 \times 10^1 \, Vm^{-1}$
$E_0 = 180 \, Vm^{-1}$

(C) સમાન તીવ્રતા $I_0$ ધરાવતા બે તરંગો માટે કળા તફાવત $\phi$ હોય ત્યારે પરિણામી તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર: $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi) = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ છે.
બિંદુ $P$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = \pi/3$ છે. તેથી તીવ્રતા $I_P$:
$I_P = 2I_0(1 + \cos(\pi/3)) = 2I_0(1 + 0.5) = 3I_0$.
બિંદુ $Q$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = \pi/2$ છે. તેથી તીવ્રતા $I_Q$:
$I_Q = 2I_0(1 + \cos(\pi/2)) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$.
બિંદુ $P$ અને $Q$ આગળ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_P}{I_Q} = \frac{3I_0}{2I_0} = \frac{3}{2}$ એટલે કે $3:2$ થાય.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_0 = h\nu - \phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આલેખ પરથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ (જ્યાં $V_0 = 0$) $5 \times 10^{14} \ Hz$ છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ પર,$h\nu_0 = \phi$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (5 \times 10^{14} \ Hz)$
$\phi = 33.15 \times 10^{-20} \ J$
આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ઈલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ વડે ભાગતા:
$\phi = \frac{33.15 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 2.07 \ eV$.

(B) જ્યારે ધાત્વિક વાહક પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = -eE$ અનુભવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ઊંચા પોટેન્શિયલથી નીચા પોટેન્શિયલ તરફ હોય છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા પોટેન્શિયલ તરફ પ્રવેગિત થાય છે.
જોકે,ધાતુના લેટિસના ધન આયનો સાથે સતત અથડામણને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરતા નથી પરંતુ ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે યાદચ્છિક,વક્ર માર્ગો પર ગતિ કરે છે.
સરેરાશ રીતે,તેઓ ઊંચા પોટેન્શિયલ તરફ ચોખ્ખો ડ્રિફ્ટ વેગ દર્શાવે છે.
આમ,અથડામણો વચ્ચે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ વક્ર માર્ગે હોય છે.

(D) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ $(AM)$ તરંગની બેન્ડવિડ્થ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
બેન્ડવિડ્થ $= 2 f_{m}$
જ્યાં $f_{m}$ એ મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે,$f_{m} = 3\,kHz$.
તેથી,બેન્ડવિડ્થ $= 2 \times 3\,kHz = 6\,kHz$.

(B) આ સર્કિટમાં ત્રણ સમાંતર શાખાઓ છે,જેમાં દરેક ડાયોડ $(25\,\Omega)$ અને અવરોધ $(125\,\Omega)$ ધરાવે છે.
દરેક શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{branch} = 25\,\Omega + 125\,\Omega = 150\,\Omega$ છે.
ત્રણ શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{150}{3} = 50\,\Omega$ થાય.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + 25\,\Omega = 50\,\Omega + 25\,\Omega = 75\,\Omega$ છે.
કુલ પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5\,V}{75\,\Omega} = \frac{1}{15}\,A$ છે.
ત્રણ સમાંતર શાખાઓ સમાન અવરોધ ધરાવતી હોવાથી,પ્રવાહ $I_1$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,$I_2 = I_3 = I_4 = \frac{I_1}{3} = \frac{1}{45}\,A$ થાય.
આમ,$I_2 = I_3 = I_4$ હોવાથી,$\frac{I_3}{I_4} = 1$ અને $\frac{I_2}{I_3} = 1$ બંને સાચા છે.

(A) જ્યારે ગજિયો ચુંબક તાંબાની નળીમાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે નળીમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાને કારણે ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ તાંબાની દીવાલોમાં એડી પ્રવાહો (eddy currents) ઉત્પન્ન થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ એડી પ્રવાહો એક ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે જે ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
આ વિરોધક બળ ઉપરની તરફ લાગે છે,જે નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ ની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે.
જેમ જેમ ચુંબકની ઝડપ વધે છે,તેમ તેમ પ્રેરિત એડી પ્રવાહો અને પરિણામી વિરોધક ચુંબકીય બળ પણ વધે છે.
અંતે,ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું થઈ જાય છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થાય છે.
આ બિંદુએ,ચુંબક ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે અને લગભગ અચળ ઝડપ સાથે નીચે ગતિ કરે છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $n = 50\,turns/cm = 5000\,turns/m$,$I = I_0 \sin(\omega t)$,જ્યાં $I_0 = 2.5\,A$ અને $\omega = 700\,rad\,s^{-1}$.
ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = (2.0\,cm)^2 = (0.02\,m)^2 = 4 \times 10^{-4}\,m^2$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A = \mu_0 n I A$ છે.
પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -\mu_0 n A \frac{dI}{dt} = -\mu_0 n A I_0 \omega \cos(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત emf નો કંપનવિસ્તાર $\varepsilon_0 = \mu_0 n A I_0 \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_0 = (4\pi \times 10^{-7}) \times (5000) \times (4 \times 10^{-4}) \times (2.5) \times (700)$.
$\varepsilon_0 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3 \times 4 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 700$.
$\varepsilon_0 = 4 \times 22 \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3 \times 4 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 100$.
$\varepsilon_0 = 44 \times 10^{-4}\,V$.
આમ,$x = 44$.

(C) વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ (શ્રેણી સીમા) માટે,$n_2 = \infty$ લેતા.
લાયમન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R Z^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R Z^2$.
આપેલ છે કે $\lambda_L = 917 \mathring A$,તેથી $R Z^2 = \frac{1}{917}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R Z^2}{4}$.
$R Z^2 = \frac{1}{917}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{\lambda_B} = \frac{1}{4 \times 917}$ મળે છે.
તેથી,$\lambda_B = 4 \times 917 = 3668 \mathring A$.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{4R}$
આપેલ છે:
$I = 14\,A$
$R = 2.2\,cm = 2.2 \times 10^{-2}\,m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 14}{4 \times 2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{\pi \times 10^{-7} \times 14}{2.2 \times 10^{-2}}$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$B = \frac{(22/7) \times 14 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{22 \times 2 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{44 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}} = 20 \times 10^{-5}\,T = 2 \times 10^{-4}\,T$
આમ,જવાબ $2$ છે.

(C) પ્રથમ લેન્સ $L_1$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_1 = -6\,cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +24\,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-6} = \frac{1}{24}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{24} - \frac{1}{6} = \frac{1-4}{24} = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$
તેથી,$v_1 = -8\,cm$. આનો અર્થ એ છે કે આભાસી પ્રતિબિંબ $I_1$ એ $L_1$ ની ડાબી બાજુએ $8\,cm$ અંતરે રચાય છે.
બીજા લેન્સ $L_2$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_2$ એ $L_2$ થી $I_1$ નું અંતર છે. $I_1$ એ $L_1$ ની ડાબી બાજુ $8\,cm$ પર છે અને $L_1$ એ $L_2$ ની ડાબી બાજુ $10\,cm$ પર છે,તેથી $u_2 = -(8 + 10) = -18\,cm$. કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = +9\,cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-18} = \frac{1}{9}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{18} = \frac{2-1}{18} = \frac{1}{18}$
તેથી,$v_2 = +18\,cm$. આનો અર્થ એ છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ $L_2$ ની જમણી બાજુએ $18\,cm$ અંતરે રચાય છે.
વસ્તુ $L_1$ ની ડાબી બાજુ $6\,cm$ પર છે. અંતિમ પ્રતિબિંબ $L_2$ ની જમણી બાજુ $18\,cm$ પર છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $10\,cm$ છે.
વસ્તુ અને અંતિમ પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર $6\,cm + 10\,cm + 18\,cm = 34\,cm$ છે.

(C) લંબચોરસ સમાંતરબાજુ પદાર્થના પરિમાણો $1\,cm \times 1\,cm \times 100\,cm$ છે. વિદ્યુતપ્રવાહ $1\,cm \times 100\,cm$ માપના બે સામસામેના લંબચોરસ ફલકો વચ્ચે વહે છે.
આમ,વિદ્યુતપ્રવાહના માર્ગની લંબાઈ $\ell = 1\,cm = 10^{-2}\,m$ છે.
જે આડછેદમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે તેનું ક્ષેત્રફળ $A = 1\,cm \times 100\,cm = 10^{-2}\,m \times 1\,m = 10^{-2}\,m^2$ છે.
વિશિષ્ટ અવરોધકતા $\rho = 3 \times 10^{-7}\,\Omega\,m$ છે.
અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \rho \frac{\ell}{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = (3 \times 10^{-7}) \times \frac{10^{-2}}{10^{-2}} = 3 \times 10^{-7}\,\Omega$.
તેથી,અવરોધ $3 \times 10^{-7}\,\Omega$ થશે.

(C) સ્થિત-વિદ્યુત બળ ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_e = F_c$
$eE = \frac{mV^2}{r}$
અનંત રેખીય વિદ્યુતભાર માટે,$r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2k\lambda}{r}$ છે.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$e \left( \frac{2k\lambda}{r} \right) = \frac{mV^2}{r}$
$V^2 = \frac{e \cdot 2k\lambda}{m}$
$V = \sqrt{\frac{e \cdot 2k\lambda}{m}}$
આપેલ છે: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$,$\lambda = 2 \times 10^{-8} \, C \cdot m^{-1}$,$m = 9 \times 10^{-31} \, kg$.
$V = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-8}}{9 \times 10^{-31}}}$
$V = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 36 \times 10^1}{9 \times 10^{-31}}}$
$V = \sqrt{6.4 \times 10^{13} \times 10^{-18} \times 10^{31}}$
$V = \sqrt{64 \times 10^{12}} = 8 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$.
આમ,વેગ $8 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \sin \omega (t - \frac{x}{c}) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0 = 20 \text{ V/m}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $(u_{avg})$ નું સૂત્ર $u_{avg} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ છે.
કદ $(V)$ માં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $(U)$ એ $U = u_{avg} \times V$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{Nm}^2) \times (20 \text{ V/m})^2 \times (5 \times 10^{-4} \text{ m}^3)$.
$U = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 400 \times 5 \times 10^{-4} \text{ J}$.
$U = 8.85 \times 10^{-12} \times 200 \times 5 \times 10^{-4} \text{ J}$.
$U = 8.85 \times 10^{-12} \times 1000 \times 10^{-4} \text{ J}$.
$U = 8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-1} \text{ J} = 8.85 \times 10^{-13} \text{ J}$.
આમ,મૂલ્ય $8.85 \times 10^{-13} \text{ J}$ છે.

(A) આ સર્કિટમાં ઇનપુટ પર $NOT$ ગેટ તરીકે ઉપયોગમાં લેવાયેલા બે $NOR$ ગેટ છે,ત્યારબાદ આઉટપુટ પર એક $NOR$ ગેટ છે.
ઇનપુટ $a$ ને એક $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે,પરિણામે આઉટપુટ $\bar{a}$ મળે છે.
ઇનપુટ $b$ ને એક $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જેના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે,પરિણામે આઉટપુટ $\bar{b}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ને અંતિમ $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{\bar{a} + \bar{b}}$ દ્વારા મળે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{a} + \bar{b}} = \overline{\bar{a}} \cdot \overline{\bar{b}} = a \cdot b$.
આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(B) શરૂઆતમાં,$C = 2\; F$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરમાં $V$ પોટેન્શિયલ પર સંગ્રહિત ઉર્જા:
$E_1 = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} (2) V^2 = V^2$
જ્યારે આ ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને સમાંતર જોડાણમાં સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = CV = 2V$ બંને કેપેસિટર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તે સમાન છે.
દરેક કેપેસિટર પર નવું પોટેન્શિયલ $V'$:
$V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{2V}{2C} = \frac{2V}{4} = \frac{V}{2}$
જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $E_2$:
$E_2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} C (V')^2 \right) = C \left( \frac{V}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{V^2}{4} = \frac{V^2}{2}$
તેથી,ગુણોત્તર $E_2 / E_1$:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{V^2 / 2}{V^2} = \frac{1}{2}$

(A) ધારો કે દરેક હીટર ફિલામેન્ટનો અવરોધ $R$ છે અને લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$ છે. $t$ સમયમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \frac{V^2}{R_{eq}} t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_p = \frac{V^2}{R_p} t = \frac{V^2}{R/2} t = \frac{2V^2 t}{R}$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_s = \frac{V^2}{R_s} t = \frac{V^2}{2R} t$ છે.
સમાંતર અને શ્રેણી જોડાણ માટે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{H_p}{H_s} = \frac{2V^2 t / R}{V^2 t / 2R} = 2 \times 2 = 4$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(A) ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_T$ અને રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_R$ વચ્ચે લાઇન-ઓફ-સાઇટ કોમ્યુનિકેશન માટેનું અંતર $d = \sqrt{2 R h_T} + \sqrt{2 R h_R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેના પૃથ્વીની સપાટી પર હોવાથી,$h_T = 0$ છે.
તેથી,સૂત્ર $d = \sqrt{2 R h_R}$ બને છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$d^2 = 2 R h_R$ મળે છે.
$h_R$ માટે ઉકેલતા,$h_R = \frac{d^2}{2 R}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $d = 4\,km = 4000\,m$ અને $R = 6400\,km = 6400000\,m$.
કિંમતો મૂકતા: $h_R = \frac{(4000)^2}{2 \times 6400000} = \frac{16000000}{12800000} = \frac{160}{128} = 1.25\,m$.
આપણને $h_R = x \times 10^{-2}\,m$ આપેલ છે.
તેથી,$1.25 = x \times 10^{-2} \implies x = 1.25 \times 10^2 = 125$.

(A) શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટનો રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂચવે છે કે $X_{C} \propto \frac{1}{f}$,જે લંબચોરસ હાઇપરબોલા દર્શાવે છે. તેથી,વક્ર $A$ એ $X_{C}$ ને અનુરૂપ છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટનો રિએક્ટન્સ $X_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂચવે છે કે $X_{L} \propto f$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,વક્ર $B$ એ $X_{L}$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચું નિરૂપણ $A = X_{C}$ અને $B = X_{L}$ છે.

(B) ક્રાંતિકોણ $i_C$,વક્રીભવનાંક $\mu$ અને બે માધ્યમોમાં પ્રકાશની ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ $\sin i_C = \frac{1}{\mu} = \frac{v_d}{v_r}$ છે,જ્યાં $v_d$ એ ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v_r$ એ પાતળા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $i_C = 45^{\circ}$ અને $v_r = 3 \times 10^8 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin 45^{\circ} = \frac{v_d}{3 \times 10^8}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{v_d}{3 \times 10^8}$.
આમ,$v_d = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{2}} \approx 2.12 \times 10^8 \, m/s$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
જ્યારે તરંગલંબાઈ બદલીને $2\lambda$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $\frac{V_0}{4}$ થાય છે:
$e\left(\frac{V_0}{4}\right) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણી પાસે $eV_0 = hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0})$ છે. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{4}(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{4\lambda} - \frac{1}{4\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\lambda_0$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{\lambda_0} - \frac{1}{4\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{4\lambda}$
$\frac{3}{4\lambda_0} = \frac{1}{4\lambda}$
તેથી,$\lambda_0 = 3\lambda$.

(A) પદાર્થથી ભરેલા ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_0$ એ મુક્ત અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\mu_r$ એ પદાર્થની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી છે.
આપેલ છે કે મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m = 2 \times 10^{-2}$.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1 + \chi_m = 1 + 0.02 = 1.02$ છે.
તેથી,નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.02 B_0$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{B - B_0}{B_0} \times 100\%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.02 B_0 - B_0}{B_0} \times 100\% = 0.02 \times 100\% = 2\%$.