JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) બોહરના મોડેલમાં કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$He^{+}$ $(Z=2)$ માટે,$2^{nd}$ કક્ષાની $(n=2)$ ત્રિજ્યા $r_1 = a_0 \frac{2^2}{2} = 2a_0$ છે.
$Be^{3+}$ $(Z=4)$ માટે,$4^{th}$ કક્ષાની $(n=4)$ ત્રિજ્યા $r_2 = a_0 \frac{4^2}{4} = 4a_0$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_1} = \frac{4a_0}{2a_0} = 2$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $x : 1$ હોવાથી,$x = 2$ મળે છે.

(C) અનંત લાઇન ચાર્જને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_L = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ છે અને અનંત શીટ ચાર્જને કારણે $E_S = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ છે.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ લાઇન અને શીટની વચ્ચે હોવાથી,ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
બિંદુ $P$ પર $(r_P = \frac{3}{\pi} \ m)$: $E_P = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (3/\pi)} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{\lambda}{3} - \sigma)$.
બિંદુ $Q$ પર $(r_Q = \frac{4}{\pi} \ m)$: $E_Q = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (4/\pi)} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{\lambda}{4} - \sigma)$.
આપેલ છે કે $2|\sigma| = |\lambda|$,તેથી આપણે $\lambda = 2\sigma$ લઈએ.
$E_P = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{2\sigma}{3} - \sigma) = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (-\frac{\sigma}{3})$. મૂલ્ય $|E_P| = \frac{\sigma}{6 \varepsilon_0}$.
$E_Q = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{2\sigma}{4} - \sigma) = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (-\frac{\sigma}{2})$. મૂલ્ય $|E_Q| = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}$.
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma / 6 \varepsilon_0}{\sigma / 4 \varepsilon_0} = \frac{4}{6}$.
$\frac{4}{a}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$ મળે છે.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંગ્રહનો દર $P = \frac{dU}{dt} = L I \frac{dI}{dt}$ છે.
$R-L$ સર્કિટ માટે,$t$ સમયે પ્રવાહ $I = \frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L})$ છે.
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt} = \frac{E}{L} e^{-tR/L}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = L \left[ \frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L}) \right] \left[ \frac{E}{L} e^{-tR/L} \right] = \frac{E^2}{R} (e^{-tR/L} - e^{-2tR/L})$.
મહત્તમ દર શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય કરીએ:
$\frac{dP}{dt} = \frac{E^2}{R} \left( -\frac{R}{L} e^{-tR/L} + \frac{2R}{L} e^{-2tR/L} \right) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $e^{-tR/L} = 2 e^{-2tR/L}$,તેથી $e^{tR/L} = 2$,અથવા $t = \frac{L}{R} \ln 2$.
આ સમયે,$e^{-tR/L} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતને પાવરના સમીકરણમાં પાછી મૂકતા:
$P_{max} = \frac{E^2}{R} \left( \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 \right) = \frac{E^2}{R} (\frac{1}{4}) = \frac{E^2}{4R}$.
આપેલ છે કે $R = 25 \, \Omega$,તેથી $P_{max} = \frac{E^2}{4 \times 25} = \frac{E^2}{100}$.
આને $\frac{E^a}{2b}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$ અને $b = 50$ મળે છે.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{50}{2} = 25$.

(C) ધારો કે માછલીનો વેગ $v_f = 8\,ms^{-1}$ (ઉપરની તરફ) છે અને પક્ષીનો વેગ $v_b$ (નીચેની તરફ) છે.
માછલી દ્વારા જોવામાં આવતો પક્ષીનો આભાસી વેગ $v_{b/f} = 12\,ms^{-1}$ (નીચેની તરફ) છે.
સપાટી પરના વક્રીભવનને કારણે આભાસી વેગના સૂત્ર મુજબ,ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી જોતા પાતળા માધ્યમમાં રહેલી વસ્તુનો આભાસી વેગ $v_{app} = \mu \cdot v_{actual}$ થાય છે.
અહીં,પક્ષી હવા $(\mu_1 = 1)$ માં છે અને માછલી પાણી $(\mu_2 = 4/3)$ માં છે.
પાણીની સપાટીની સાપેક્ષે પક્ષીનો વેગ $v_b$ છે. પાણીની સપાટીની સાપેક્ષે માછલીનો વેગ $v_f = 8\,ms^{-1}$ છે.
માછલીની સાપેક્ષે પક્ષીનો આભાસી વેગ $v_{b/f} = v_{b,app} + v_f$ થાય (કારણ કે બંને વિરુદ્ધ દિશામાં છે).
પક્ષી હવામાં હોવાથી,પાણીમાંથી જોતા તેનો આભાસી વેગ $v_{b,app} = \mu \cdot v_b = \frac{4}{3} v_b$ થાય.
આપેલ છે કે $v_{b/f} = 12\,ms^{-1}$,તેથી:
$12 = \frac{4}{3} v_b + 8$
$12 - 8 = \frac{4}{3} v_b$
$4 = \frac{4}{3} v_b$
$v_b = 3\,ms^{-1}$.

(C) કરંટ ગેઇન $\beta$ એ $I_C$ વિરુદ્ધ $I_B$ ના આલેખના ઢાળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$.
આલેખ પરથી,બે બિંદુઓ $(100\,\mu A, 10\,mA)$ અને $(200\,\mu A, 20\,mA)$ લેતા:
$\beta = \frac{(20 - 10) \times 10^{-3} \, A}{(200 - 100) \times 10^{-6} \, A} = \frac{10 \times 10^{-3}}{100 \times 10^{-6}} = 100$.
પાવર ગેઇન $A_P$ એ $A_P = \beta^2 \times \frac{R_C}{R_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $A_P = (100)^2 \times \frac{1 \times 10^3 \, \Omega}{10 \times 10^3 \, \Omega} = 10000 \times 0.1 = 1000 = 10^3$.
આને $10^x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(D) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનો આલેખ દર્શાવે છે કે $30$ થી $170$ ની વચ્ચે દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે, ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા લગભગ અચળ (આશરે $8 \text{ MeV}$ પ્રતિ ન્યુક્લિયોન) રહે છે.
આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા ગાળાનું છે, જેનો અર્થ છે કે ન્યુક્લિયોન ફક્ત તેના નજીકના પડોશીઓ સાથે જ આંતરક્રિયા કરે છે.
જેમ જેમ દળ ક્રમાંક વધે છે, તેમ આપેલ ન્યુક્લિયોન માટે પડોશીઓની સંખ્યા અસરકારક રીતે અચળ રહે છે, જે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાને કુલ ન્યુક્લિયોનની સંખ્યાથી સ્વતંત્ર બનાવે છે.
તેથી, વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે, અને ન્યુક્લિયર બળનો ટૂંકા ગાળાનો સ્વભાવ એ ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાના સંતૃપ્તિનું કારણ છે.

(D) $NAND$ ગેટ ત્યારે જ લો આઉટપુટ $(0)$ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ્સ હાઇ $(1)$ હોય. અન્યથા, તે હાઇ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે. $NAND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $Y = \overline{A \cdot B}$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
વિવિધ સમય અંતરાલો પર $A$ અને $B$ માટેના ઇનપુટ વેવફોર્મનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. પ્રથમ અંતરાલ માટે, $A=1, B=1$, તેથી $Y=0$.
$2$. બીજા અંતરાલ માટે, $A=0, B=0$, તેથી $Y=1$.
$3$. ત્રીજા અંતરાલ માટે, $A=0, B=1$, તેથી $Y=1$.
$4$. ચોથા અંતરાલ માટે, $A=1, B=0$, તેથી $Y=1$.
$5$. પાંચમા અંતરાલ માટે, $A=1, B=1$, તેથી $Y=0$.
$6$. છઠ્ઠા અંતરાલ માટે, $A=0, B=0$, તેથી $Y=1$.
$7$. સાતમા અંતરાલ માટે, $A=0, B=1$, તેથી $Y=1$.
આ ક્રમ $(0, 1, 1, 1, 0, 1, 1)$ ને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, આકૃતિ $D$ માં દર્શાવેલ વેવફોર્મ આ આઉટપુટ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પ્રવાહ $I$ એ $3 \text{ V}$ ની બેટરી અને શ્રેણીમાં રહેલા $6 \,\Omega$ અને $4 \,\Omega$ ના અવરોધ ધરાવતા બાહ્ય લૂપમાંથી વહે છે.
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{6 \,\Omega + 4 \,\Omega} = \frac{3}{10} \text{ A} = 0.3 \text{ A}$.
$6 \,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (જે કેપેસિટર શાખા સાથે સમાંતર છે) નીચે મુજબ છે:
$V_{cap} = I \times R = 0.3 \text{ A} \times 6 \,\Omega = 1.8 \text{ V}$.
કેપેસિટર આ $6 \,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ હોવાથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $1.8 \text{ V}$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q$ નીચે મુજબ મળે છે:
$q = C \times V_{cap} = 4 \,\mu\text{F} \times 1.8 \text{ V} = 7.2 \,\mu\text{C}$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશામાં હોય છે.
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = -E_0 \hat{k}$ (ઋણ $z$-અક્ષની દિશામાં).
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = B_0 \hat{i}$ (ધન $x$-અક્ષની દિશામાં).
પ્રસરણની દિશા $\hat{k}_{prop} = \hat{E} \times \hat{B} = (-\hat{k}) \times (\hat{i})$ થશે.
એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો મુજબ ($\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$):
$(-\hat{k}) \times \hat{i} = -(\hat{k} \times \hat{i}) = -\hat{j}$.
તેથી,પ્રસરણની દિશા ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં છે.

(A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$. વેગ સદિશ $\overrightarrow{v} = v\hat{i}$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = -B\hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\overrightarrow{F} = -e(v\hat{i} \times -B\hat{k}) = evB(\hat{i} \times \hat{k}) = evB(-\hat{j})$.
આમ,બળ ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં લાગે છે ($B$ સાચું છે).
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,તે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે ($E$ સાચું છે).
તેથી,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $E$ છે.

(A) વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે $AC$ સર્કિટમાં વિદ્યુત અનુનાદ માટે ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ બંનેની હાજરી જરૂરી છે,જેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L = \omega L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C = 1/\omega C)$ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરી શકે,જેના પરિણામે ફેઝ એંગલ $\phi = 0$ થાય છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર અથવા શુદ્ધ કેપેસિટર માટે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\pi/2$ હોય છે. પાવર ફેક્ટર $\cos(\pi/2) = 0$ છે. તેથી,શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર અથવા શુદ્ધ કેપેસિટર દ્વારા વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi) = 0$ છે. તેઓ વધુ પાવર વાપરતા નથી; તેઓ શૂન્ય પાવર વાપરે છે.
આમ,બંને વિધાનો ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) એન્ટેના દ્વારા ઉચ્ચ કાર્યક્ષમતા સાથે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું ઉત્સર્જન કરવા માટે,તેની લંબાઈ સિગ્નલની તરંગલંબાઈ સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ. ખાસ કરીને,એન્ટેના અસરકારક રીતે કાર્ય કરી શકે તે માટે તેની લઘુત્તમ લંબાઈ $\frac{\lambda}{4}$ હોવી જરૂરી છે,જેને ક્વાર્ટર-વેવ એન્ટેના તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) વિધાન $I$: ફોટોનની ઊર્જા $E = hf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ કિરણોની આવૃત્તિ ઇન્ફ્રારેડ કિરણો અને માઇક્રોવેવ્સની તુલનામાં વધારે હોય છે. $E = hf$ હોવાથી,$UV$ કિરણો પ્રતિ ફોટોન વધુ ઊર્જા ધરાવે છે,જે તેમને ધાતુના વર્ક ફંક્શનને દૂર કરીને ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે વધુ અસરકારક બનાવે છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{\max} = hf - \phi$,જ્યાં $hf$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi = hf_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે. આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $KE_{\max}$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $f$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે,વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નહીં. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) ધારો કે કુલ વીજભાર $q = 10\,\mu C$ ને બે ભાગ $x$ અને $(q - x)$ માં વહેંચવામાં આવે છે.
$r$ અંતરે તેમની વચ્ચે લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{K x(q - x)}{r^2}$
મહત્તમ બળ મેળવવા માટે,આપણે $F$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dF}{dx} = \frac{K}{r^2} \frac{d}{dx} (qx - x^2) = 0$
$\frac{K}{r^2} (q - 2x) = 0$
અહીં $\frac{K}{r^2} \neq 0$ હોવાથી,$q - 2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{q}{2}$.
આપેલ $q = 10\,\mu C$ માટે,બે ભાગ:
$x = \frac{10\,\mu C}{2} = 5\,\mu C$
$(q - x) = 10\,\mu C - 5\,\mu C = 5\,\mu C$.
આમ,બંને વીજભાર $5\,\mu C$ અને $5\,\mu C$ છે.

(A) આપેલ છે કે બે સ્લિટ્સમાંથી આવતા પ્રકાશના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{1}$ છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto A^2$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના ગુણોત્તરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $9:1$ છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f(m)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂળ લેન્સ માટે,$f = 10\,cm = 0.1\,m$,તેથી પાવર $P = \frac{1}{0.1} = 10\,D$ થાય.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ મૂળ કેન્દ્રલંબાઈ કરતા બમણી થાય છે $(f' = 2f = 20\,cm = 0.2\,m)$.
દરેક નવા લેન્સનો પાવર $P' = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0.2} = 5\,D$ થાય.

(B) પરમાણુ દ્વારા શોષાયેલી ચોખ્ખી ઉર્જા એ શોષાયેલા ફોટોન અને ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે.
$E_{\text{net}} = E_{\text{absorbed}} - E_{\text{emitted}} = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E_{\text{net}} = (6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8) \left( \frac{1}{500 \times 10^{-9}} - \frac{1}{600 \times 10^{-9}} \right)$
$E_{\text{net}} = 19.8 \times 10^{-26} \left( \frac{600 - 500}{300000 \times 10^{-18}} \right) = 19.8 \times 10^{-26} \left( \frac{100}{3 \times 10^{-13}} \right)$
$E_{\text{net}} = 19.8 \times 10^{-26} \times 33.33 \times 10^{13} = 6.6 \times 10^{-20}\,J$
આ ઉર્જાને $eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$1.6 \times 10^{-19}\,J/eV$ વડે ભાગો:
$E_{\text{net}} = \frac{6.6 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4.125 \times 10^{-1}\,eV$
$E_{\text{net}} = 4125 \times 10^{-4}\,eV$
આને $n \times 10^{-4}\,eV$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 4125$ મળે છે.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = q$ ($x=0$ પર),$q_2 = -2q$ ($x=\frac{3}{4}R$ પર) અને $q_3 = 2q$ ($x=R$ પર) છે.
$q_1$ ને કારણે $q_2$ પર લાગતું બળ $F_{21} = \frac{k |q_1 q_2|}{r_{21}^2} = \frac{k |q(-2q)|}{(\frac{3}{4}R)^2} = \frac{2kq^2}{\frac{9}{16}R^2} = \frac{32kq^2}{9R^2}$ (ઉગમબિંદુ તરફ,એટલે કે $-x$ દિશામાં).
$q_3$ ને કારણે $q_2$ પર લાગતું બળ $F_{23} = \frac{k |q_2 q_3|}{r_{23}^2} = \frac{k |(-2q)(2q)|}{(R - \frac{3}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{(\frac{1}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{\frac{1}{16}R^2} = \frac{64kq^2}{R^2}$ ($x=R$ તરફ,એટલે કે $+x$ દિશામાં).
$-2q$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_{23} - F_{21} = \frac{64kq^2}{R^2} - \frac{32kq^2}{9R^2} = \frac{576kq^2 - 32kq^2}{9R^2} = \frac{544kq^2}{9R^2}$.
કિંમતો મૂકતા $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$q = 2 \times 10^{-6} \, C$,અને $R = 0.02 \, m$:
$F_{net} = \frac{544 \times 9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6})^2}{9 \times (0.02)^2} = \frac{544 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-4}} = 544 \times 10^1 = 5440 \, N$.

(B) પરિપથમાં $12\,V$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
શાખા $1$ માં $3\,\Omega$ અને $9\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. આ શાખામાં પ્રવાહ $I_1 = \frac{12}{3+9} = 1\,A$ છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $C$ નો સ્થિતિમાન તફાવત $V_A - V_C = I_1 \times 3 = 1 \times 3 = 3\,V$ છે.
શાખા $2$ માં $4\,\Omega$ અને $2\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. આ શાખામાં પ્રવાહ $I_2 = \frac{12}{4+2} = 2\,A$ છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $D$ નો સ્થિતિમાન તફાવત $V_A - V_D = I_2 \times 4 = 2 \times 4 = 8\,V$ છે.
કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાન તફાવત $V_{CD} = |(V_A - V_D) - (V_A - V_C)| = |8 - 3| = 5\,V$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times 6\,\mu F \times (5\,V)^2 = 3 \times 25 = 75\,\mu J$ છે.
આમ,$n = 75$.

(B) ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = N A (B_2 - B_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $N = 100$,$A = 24\,cm^2 = 24 \times 10^{-4}\,m^2$,$R = 12\,\Omega$,$B_1 = 1.5\,T$,અને $B_2 = -1.5\,T$.
તેથી,$\Delta \phi = 100 \times 24 \times 10^{-4} \times (-1.5 - 1.5) = 0.24 \times (-3) = -0.72\,Wb$.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $Q = \frac{|\Delta \phi|}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = \frac{0.72}{12} = 0.06\,C$.
$mC$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.06\,C = 60\,mC$.

(B) આપેલ છે:
તારનું દળ,$m = 40\,g = 40 \times 10^{-3}\,kg$
તારની લંબાઈ,$\ell = 50\,cm = 50 \times 10^{-2}\,m = 0.5\,m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.40\,T$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$g = 10\,ms^{-2}$
આધારભૂત વાયરમાં તણાવ દૂર કરવા માટે,તાર પર લાગતું ઉપરની તરફનું ચુંબકીય બળ તારના નીચેની તરફના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ચુંબકીય બળ,$F_m = I\ell B$
તારનું વજન,$W = mg$
સંતુલન માટે,$F_m = W$
$I\ell B = mg$
કિંમતો મૂકતા:
$I \times 0.5 \times 0.4 = 40 \times 10^{-3} \times 10$
$I \times 0.2 = 0.4$
$I = \frac{0.4}{0.2} = 2\,A$
આમ,જરૂરી પ્રવાહનું મૂલ્ય $2\,A$ છે.

(C) ટૂંકા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે તેના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર $r$ અંતરે રહેલા બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{kp}{r^3}$
જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે અને $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
અહીં $k$ અને $p$ અચળ હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\frac{1}{r^3}$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર અંતર સાથે $\frac{1}{r^3}$ મુજબ બદલાય છે.

(D) ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_t$ અને રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_r$ વચ્ચેનું મહત્તમ લાઇન-ઓફ-સાઇટ અંતર $d_{\max}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d_{\max} = \sqrt{2Rh_t} + \sqrt{2Rh_r}$
આપેલ છે:
$R = 6400\,km = 64 \times 10^5\,m$
$h_t = 180\,m$
$h_r = 245\,m$
કિંમતો મૂકતા:
$d_{\max} = \sqrt{2 \times 64 \times 10^5 \times 180} + \sqrt{2 \times 64 \times 10^5 \times 245}$
$d_{\max} = \sqrt{128 \times 180 \times 10^5} + \sqrt{128 \times 245 \times 10^5}$
$d_{\max} = \sqrt{23040 \times 10^5} + \sqrt{31360 \times 10^5}$
$d_{\max} = \sqrt{2304 \times 10^6} + \sqrt{3136 \times 10^6}$
$d_{\max} = (48 \times 10^3) + (56 \times 10^3)\,m$
$d_{\max} = 48\,km + 56\,km = 104\,km$.

(C) અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 5$ વર્ષ છે.
કુલ સમય $t = 15$ વર્ષ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ થાય.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસનો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ છે.
ક્ષય પામેલા નમૂનાનો અંશ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ થાય.

(C) $E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
જ્યારે ગતિઊર્જા $E' = \frac{E}{4}$ થાય,ત્યારે નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mE'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{E}{4})}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mE}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mE}} = 2 \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right)$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda' = 2\lambda$.

(C) વોલ્ટમીટર માટે:
શ્રેણીમાં જોડવા માટેનો અવરોધ $R = \frac{V}{I_g} - G$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 50\,V$,$I_g = 1\,mA = 10^{-3}\,A$,અને $G = 54\,\Omega$ આપેલ છે.
$R = \frac{50}{10^{-3}} - 54 = 50000 - 54 = 49946\,\Omega \approx 50\,k\Omega$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
એમીટર માટે:
સમાંતરમાં જોડવા માટેનો શંટ અવરોધ $r = \frac{I_g G}{I - I_g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I = 10\,mA = 10^{-2}\,A$,$I_g = 1\,mA = 10^{-3}\,A$,અને $G = 54\,\Omega$ આપેલ છે.
$r = \frac{10^{-3} \times 54}{10 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}} = \frac{54 \times 10^{-3}}{9 \times 10^{-3}} = 6\,\Omega$.
આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ છે.

(B) વિધાન $I$ માટે: શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા અવરોધો ધન હોવાથી,$R_{eq}$ હંમેશા જોડાણમાં રહેલા કોઈપણ વ્યક્તિગત અવરોધ કરતા મોટો હોય છે. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ માટે: દ્રવ્યની અવરોધકતા તાપમાન પર આધારિત છે. ધાતુઓ માટે,તાપમાન વધવાથી અવરોધકતા વધે છે,જે સંબંધ $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ મુજબ છે. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાન $I$ અને વિધાન $II$ બંને ખોટા છે.

(D) પરિપથમાં પ્રારંભિક પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{V}{R} = \frac{12\,V}{6\,\Omega} = 2\,A$.
જ્યારે સ્વીચ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $1\,ms = 10^{-3}\,s$ ના સમયગાળામાં $2\,A$ થી ઘટીને $0\,A$ થાય છે.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|\varepsilon| = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $20 = L \times \frac{2 - 0}{10^{-3}}$.
$20 = L \times \frac{2}{10^{-3}}$.
$20 = L \times 2000$.
$L = \frac{20}{2000} = 0.01\,H$.
મિલીહેનરી $(mH)$ માં ફેરવતા: $L = 0.01 \times 1000\,mH = 10\,mH$.

(B) આપેલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે તરંગલંબાઈના ગાળા નીચે મુજબ છે:
$(A)$ માઇક્રોવેવ: તરંગલંબાઈનો ગાળો $0.1\,m$ થી $1\,mm$ છે (જે $(IV)$ સાથે જોડાય છે).
$(B)$ અલ્ટ્રાવાયોલેટ: તરંગલંબાઈનો ગાળો $400\,nm$ થી $1\,nm$ છે (જે $(I)$ સાથે જોડાય છે).
$(C)$ $X$-રે: તરંગલંબાઈનો ગાળો $1\,nm$ થી $10^{-3}\,nm$ છે (જે $(II)$ સાથે જોડાય છે).
$(D)$ ઇન્ફ્રારેડ: તરંગલંબાઈનો ગાળો $1\,mm$ થી $700\,nm$ છે (જે $(III)$ સાથે જોડાય છે).
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(II), (D)-(III)$ છે.

(B) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$a \sin \theta = n \lambda$
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે, $n = 1$, તેથી સમીકરણ આ મુજબ થશે:
$a \sin \theta = \lambda$
આપેલ છે:
$\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$
$\theta = 30^{\circ}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$a \sin 30^{\circ} = 600 \times 10^{-9} \, m$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$:
$a \times 0.5 = 600 \times 10^{-9} \, m$
$a = 1200 \times 10^{-9} \, m$
$a = 1.2 \times 10^{-6} \, m$
$a = 1.2 \, \mu m$

(A) આપેલ પરિપથમાં,ડાયોડ $D_1$ અને $D_3$ ફોરવર્ડ બાયસમાં જોડાયેલા છે,જ્યારે ડાયોડ $D_2$ રિવર્સ બાયસમાં જોડાયેલ છે.
તેથી,$D_2$ ધરાવતી શાખા ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
પરિપથ $10\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓમાં સરળ બને છે.
પ્રથમ શાખામાં $D_1$ સાથે શ્રેણીમાં $10\,\Omega$ નો અવરોધ અને બીજો $10\,\Omega$ નો અવરોધ છે,જેનો કુલ અવરોધ $R_1 = 10\,\Omega + 10\,\Omega = 20\,\Omega$ થાય છે.
બીજી શાખામાં $D_3$ સાથે શ્રેણીમાં $10\,\Omega$ નો અવરોધ છે,જેનો અવરોધ $R_2 = 10\,\Omega$ થાય છે.
આ બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20}$
$R_{eq} = \frac{20}{3}\,\Omega$
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I)$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10}{20/3} = \frac{30}{20} = 1.5\,A$.

(A) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ,$\ell = 20\,cm = 0.2\,m$
કોણીય વેગ,$\omega = 210\,rpm = 210 \times \frac{2\pi}{60}\,rad/s = 7\pi\,rad/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.2\,T$
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતા સળિયામાં પ્રેરિત ગતિકીય emf નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (7\pi) \times (0.2)^2$
$\varepsilon = 0.1 \times 7 \times \frac{22}{7} \times 0.04$
$\varepsilon = 0.1 \times 22 \times 0.04$
$\varepsilon = 0.088\,V$
મિલીવોલ્ટ $(mV)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\varepsilon = 0.088 \times 1000\,mV = 88\,mV$

(A) આ પરિપથ $9\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓનો બનેલો છે.
શાખા $1$ (ડાબી બાજુ) નો કુલ અવરોધ $2\,\Omega + 4\,\Omega = 6\,\Omega$ છે. આ શાખામાં પ્રવાહ $I_1 = \frac{9\,V}{6\,\Omega} = 1.5\,A$ છે.
ડાબી બાજુના જંકશન (ધારો કે $C$) ની સાપેક્ષે બિંદુ $A$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_C - V_A = I_1 \times 2\,\Omega = 1.5 \times 2 = 3\,V$ છે.
શાખા $2$ (જમણી બાજુ) નો કુલ અવરોધ $4\,\Omega + 2\,\Omega = 6\,\Omega$ છે. આ શાખામાં પ્રવાહ $I_2 = \frac{9\,V}{6\,\Omega} = 1.5\,A$ છે.
ડાબી બાજુના જંકશન $C$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $B$ પરનો પોટેન્શિયલ $V_C - V_B = I_1 \times 4\,\Omega = 1.5 \times 4 = 6\,V$ છે.
હવે,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $|V_A - V_B| = |(V_C - 3) - (V_C - 6)| = |6 - 3| = 3\,V$ થાય.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે ઊર્જા સ્તરો $n=1$ (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ),$n=2$ (પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા),$n=3$ (દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા) અને $n=4$ (તૃતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,$A$ એ $n=2$ ને અનુરૂપ છે,$B$ એ $n=3$ ને અનુરૂપ છે અને $C$ એ $n=4$ ને અનુરૂપ છે.
$n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$\lambda_1$ સંક્રમણ માટે ($n=3$ થી $n=2$): $\frac{1}{\lambda_1} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda_2$ સંક્રમણ માટે ($n=4$ થી $n=3$): $\frac{1}{\lambda_2} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{R(7/144)}{R(5/36)} = \frac{7}{144} \times \frac{36}{5} = \frac{7}{4 \times 5} = \frac{7}{20}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{7}{4n}$ છે,તેથી $\frac{7}{20} = \frac{7}{4n}$,જેનો અર્થ છે કે $4n = 20$,તેથી $n = 5$.

(A) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((D_{\min} + A)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રિઝમ સમબાજુ છે,તેથી પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{\sin(30^{\circ})}$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 1/2$,આપણને મળે છે:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{1/2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)$
કારણ કે $\sin(45^{\circ}) = 1/\sqrt{2}$,આપણને મળે છે:
$(D_{\min} + 60^{\circ})/2 = 45^{\circ}$
$D_{\min} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$
$D_{\min} = 30^{\circ}$.

(D) વર્તુળાકાર લૂપમાં વહેતા પ્રવાહ $I$ ને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ફરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
આપેલ કિંમતો: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$v = 6.76 \times 10^6 \, m/s$,$r = 0.52 \times 10^{-10} \, m$,અને $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$B = 10^{-7} \times \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 6.76 \times 10^6}{(0.52 \times 10^{-10})^2}$.
$B = 10^{-7} \times \frac{10.816 \times 10^{-13}}{0.2704 \times 10^{-20}} = 10^{-7} \times 40 \times 10^7 = 40 \, T$.

(A) કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે,$V = 10\,V$.
દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V = 2\,\mu F \times 10\,V = 20\,\mu C$ છે.
$C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 V = x\,\mu F \times 10\,V = 10x\,\mu C$ છે.
$C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_3 = C_3 V = 3\,\mu F \times 10\,V = 30\,\mu C$ છે.
સંયોજનમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 + Q_3$ છે.
આપેલ છે કે $Q_{total} = 100\,\mu C$,તેથી:
$20 + 10x + 30 = 100$
$50 + 10x = 100$
$10x = 50$
$x = 5$.