JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_2$ એ કોલ્ડ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ હોટ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે.
જેમ $T_2$ ઘટે છે,તેમ ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1}$ ઘટે છે,જે કાર્યક્ષમતા $\eta$ માં વધારો કરે છે.
કોલ્ડ રિઝર્વોયર માટે શક્ય સૌથી નીચું તાપમાન નિરપેક્ષ શૂન્ય છે,જે $-273.15^{\circ} C$ (ઘણીવાર $-273^{\circ} C$ તરીકે લેવામાં આવે છે) છે.
$T_2 = 0 \ K$ પર,કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ $1 - 0 = 1$ અથવા $100\%$ થાય છે,જે મહત્તમ શક્ય કાર્યક્ષમતા છે.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
કારણ $R$ કાર્યક્ષમતા માટેનું સૂત્ર યોગ્ય રીતે જણાવે છે અને સમજાવે છે કે તે બંને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,જે $T_2$ ઘટાડવાથી કાર્યક્ષમતા કેમ વધે છે તેનું કારણ આપે છે.
આમ,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ભૌતિક રાશિઓને તેમના $SI$ એકમો સાથે જોડવા માટે:
$1$. ટોર્ક: ટોર્ક એટલે બળ $\times$ અંતર. તેનો $SI$ એકમ $N\,m = (kg\,m\,s^{-2})\,m = kg\,m^2\,s^{-2}$ છે. તેથી,$(A)-(IV)$.
$2$. ઉર્જા ઘનતા: ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા. તેનો $SI$ એકમ $J/m^3 = (kg\,m^2\,s^{-2})/m^3 = kg\,m^{-1}\,s^{-2}$ છે. તેથી,$(B)-(I)$.
$3$. દબાણ પ્રચલન: દબાણ પ્રચલન એટલે એકમ લંબાઈ દીઠ દબાણ. તેનો $SI$ એકમ $Pa/m = (N/m^2)/m = N/m^3 = (kg\,m\,s^{-2})/m^3 = kg\,m^{-2}\,s^{-2}$ છે. તેથી,$(C)-(III)$.
$4$. આઘાત: આઘાત એટલે બળ $\times$ સમય. તેનો $SI$ એકમ $N\,s = (kg\,m\,s^{-2})\,s = kg\,m\,s^{-1}$ છે. તેથી,$(D)-(II)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(III), (D)-(II)$ છે.

(B) દળ-સ્પ્રિંગ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $m$ એ બ્લોકનું દળ છે.
આપેલ છે કે બંને કિસ્સાઓ માટે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ સમાન રહે છે,તેથી:
$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m_1}}$ અને $\omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$
$\omega_2$ અને $\omega_1$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{\sqrt{k/m_2}}{\sqrt{k/m_1}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
આપેલ કિંમતો $m_1 = 1\,kg$ અને $m_2 = 2\,kg$ મૂકતા:
$\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ છે,જ્યાં $F$ બળ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\ell$ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta \ell$ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
પદાર્થ સમાન હોવાથી (સ્ટીલ),$Y$ અચળ રહેશે. સૂત્રને ગોઠવતા,$\Delta \ell = \frac{F \ell}{Y A}$ મળે.
તાર '$A$' માટે: $\Delta \ell_A = \frac{F \ell_A}{Y A_A} = 0.2\,mm$.
તાર '$B$' માટે: $\ell_B = 2 \ell_A$ અને $d_B = 2.4 d_A$. ક્ષેત્રફળ $A = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A_B = (2.4)^2 A_A = 5.76 A_A$.
હવે,$\Delta \ell_B = \frac{F \ell_B}{Y A_B} = \frac{F (2 \ell_A)}{Y (5.76 A_A)} = \frac{2}{5.76} \times \left( \frac{F \ell_A}{Y A_A} \right)$.
$\Delta \ell_A = 0.2\,mm$ કિંમત મૂકતા: $\Delta \ell_B = \frac{2}{5.76} \times 0.2 = \frac{0.4}{5.76} \approx 0.06944\,mm$.
આપેલ ફોર્મેટમાં ફેરવતા: $0.06944\,mm = 6.944 \times 10^{-2}\,mm$. નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $6.9 \times 10^{-2}\,mm$ મળે છે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલો ઘટાડો એ ગતિ ઉર્જામાં થયેલા વધારા જેટલો હોય છે.
$h = R$ ઊંચાઈએ પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R+R} = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(r = R)$ અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R}$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $U_i - U_f = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{2R}$.
ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2}mv^2$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2R}$.
$GM = gR^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{2}v^2 = \frac{gR^2}{2R} = \frac{gR}{2}$ મળે છે.
તેથી,$v^2 = gR$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{gR}$.

(C) ધારો કે $T_f$ એ ખામીયુક્ત થર્મોમીટરનું વાંચન છે અને $T_c$ એ સેલ્સિયસ માપક્રમ પરનું વાંચન છે.
રૂપાંતરણ માટેનું સૂત્ર $\frac{T_f - LFP}{UFP - LFP} = \frac{T_c - 0}{100 - 0}$ છે,જ્યાં $LFP$ એ લોઅર ફિક્સ્ડ પોઈન્ટ અને $UFP$ એ અપર ફિક્સ્ડ પોઈન્ટ છે.
આપેલ છે કે $LFP = 5^{\circ}C$ અને $UFP = 95^{\circ}C$,તેથી $\frac{41 - 5}{95 - 5} = \frac{T_c}{100}$.
$\frac{36}{90} = \frac{T_c}{100}$.
$T_c = \frac{36}{90} \times 100 = 40^{\circ}C$.
નિરપેક્ષ માપક્રમ (કેલ્વિન) માં રૂપાંતર કરવા માટે,$T_K = T_c + 273.15 \approx 40 + 273 = 313 \, K$.

(C) આપેલ સમીકરણ $4v^2 = 50 - x^2$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $v^2 = \frac{50}{4} - \frac{x^2}{4} = 12.5 - \frac{x^2}{4}$ મળે છે.
આને $SHM$ ના પ્રમાણિત વેગના સમીકરણ $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ સાથે સરખાવતા,આપણે સમીકરણને $v^2 = \frac{1}{4}(50 - x^2) = \frac{50}{4}(1 - \frac{x^2}{50})$ તરીકે લખીએ છીએ.
આમ,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,જે આપે છે $\omega = \frac{1}{2} \ rad/s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ થાય છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$T = 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \ s$ મળે છે.
આને આપેલ આવર્તકાળ $\frac{x}{7} \ s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 88$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,દળ $m = 2 \ kg$ અને પાવર $P$ અચળ છે.
સમય $t$ માં સ્ત્રોત દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P \times t$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - 0$.
તેથી,$\frac{1}{2} m v^2 = P t \implies v = \sqrt{\frac{2 P t}{m}}$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot t^{1/2}$ મળે.
$t = 0$ થી $4 \ s$ સુધી સંકલન કરતા:
$x = \int_0^4 \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^4$.
$m = 2 \ kg$ મૂકતા:
$x = \sqrt{\frac{2 P}{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot (4)^{3/2} = \sqrt{P} \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \sqrt{P}$.
આપેલ સ્થાનાંતર $\frac{1}{3} \alpha^2 \sqrt{P}$ છે.
$\frac{16}{3} \sqrt{P} = \frac{1}{3} \alpha^2 \sqrt{P}$ સરખાવતા,$\alpha^2 = 16$,તેથી $\alpha = 4$ મળે.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 180 \, cm = 1.8 \, m$. આવૃત્તિ $f = \frac{28}{60} \, Hz$. કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{28}{60} = \frac{44}{15} \, rad/s$. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega^2 R$ છે. કિંમતો મૂકતા: $a = \left(\frac{44}{15}\right)^2 \times 1.8 = \frac{1936}{225} \times 1.8$. સાદું રૂપ આપતા: $a = \frac{1936 \times 1.8}{225} = \frac{1936}{125} \, m s^{-2}$. આને $\frac{1936}{x} \, m s^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 125$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 0.5\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 18\,m/s$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.3$,$g = 10\,m/s^2$,સમય $t = 2\,s$.
ઘર્ષણને કારણે તકતીનો પ્રવેગ $a = -\mu g = -0.3 \times 10 = -3\,m/s^2$ છે.
$t = 2\,s$ સમયે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = u + at = 18 - 3 \times 2 = 12\,m/s$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,શરત $v = \omega r$ છે,તેથી $\omega = v/r$.
કુલ ગતિઊર્જા $KE$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
તકતી માટે $I = \frac{1}{2}mr^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$KE = \frac{3}{4} \times 0.5 \times (12)^2 = \frac{3}{4} \times 0.5 \times 144 = 3 \times 0.5 \times 36 = 54\,J$.

(C) ગાર્ડન રોલર પર શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળો લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ),વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin 30^{\circ}$ (નીચેની તરફ) છે.
રોલર શિરોલંબ દિશામાં સંતુલનમાં હોવાથી,કુલ બળ શૂન્ય થાય:
$N - mg - F \sin 30^{\circ} = 0$
$N = mg + F \sin 30^{\circ}$
અહીં $m = 70\,kg$,$g = 10\,m s^{-2}$,$F = 200\,N$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ આપેલ છે:
$N = (70 \times 10) + (200 \times \sin 30^{\circ})$
$N = 700 + (200 \times 0.5)$
$N = 700 + 100$
$N = 800\,N$

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને ઝડપ એ વેગના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલી હોય છે,જે $v_x = u \cos \theta$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ $\frac{\sqrt{3}}{2} u$ છે,તેથી $u \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} u$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
$\theta = 30^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $T = \frac{2u \sin 30^{\circ}}{g} = \frac{2u (1/2)}{g} = \frac{u}{g}$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઉર્જા તેની મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે,જે $E = \frac{1}{2} k A^2 = 25 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા મળે છે.
$x = A / 2$ સ્થાને,સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k (A / 2)^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2) = \frac{1}{4} \times 25 \ J = 6.25 \ J$ થાય.
કોઈપણ સ્થાને ગતિ ઉર્જા $K = E - U$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$K = 25 \ J - 6.25 \ J = 18.75 \ J$ મળે છે.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. કારણ કે કોઈ ઉષ્મા આપવામાં આવતી નથી કે લેવામાં આવતી નથી,$\Delta Q = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -W$.
થયેલું કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે. આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $P_A = 10 \times 10^3 \, Pa$ અને $P_B = 50 \times 10^3 \, Pa$ છે,અને ઊંચાઈ $\Delta V = (200 - 50) \, cc = 150 \times 10^{-6} \, m^3$ છે.
$W = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_A - V_B)$
$W = \frac{1}{2} \times (10 + 50) \times 10^3 \times (200 - 50) \times 10^{-6}$
$W = \frac{1}{2} \times 60 \times 10^3 \times 150 \times 10^{-6} = 30 \times 150 \times 10^{-3} = 4.5 \, J$.
પ્રક્રિયા $A$ થી $B$ (સંકોચન) તરફ હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ છે $(W = -4.5 \, J)$.
તેથી,$\Delta U = -W = -(-4.5 \, J) = 4.5 \, J$.

(D) ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g_0 \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે,જ્યાં $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ છે.
$h = 3R$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R+3R)^2} = \frac{GM}{(4R)^2} = \frac{GM}{16R^2} = \frac{g_0}{16}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_d = 4 \times g_h$.
કિંમતો મૂકતા: $g_0 \left(1 - \frac{d}{R}\right) = 4 \times \left(\frac{g_0}{16}\right)$.
$1 - \frac{d}{R} = \frac{1}{4}$.
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$d = \frac{3}{4} \times R = \frac{3}{4} \times 6400 \ km = 4800 \ km$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આપેલ છે: $r = 1\,mm = 10^{-3}\,m$,$n = 1000$,અને પૃષ્ઠતાણ $T = 0.07\,N/m$.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી: $n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$1000 \times r^3 = R^3 \implies R = 10r = 10 \times 10^{-3}\,m = 10^{-2}\,m$.
મુક્ત થતી પૃષ્ઠ ઉર્જા $\Delta E$ એ પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ અને અંતિમ પૃષ્ઠફળના તફાવતને $T$ વડે ગુણવાથી મળે છે.
$\Delta E = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) = 4 \pi T (n r^2 - R^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 4 \times \frac{22}{7} \times 0.07 \times (1000 \times (10^{-3})^2 - (10^{-2})^2)$.
$\Delta E = 4 \times 22 \times 0.01 \times (1000 \times 10^{-6} - 100 \times 10^{-6})$.
$\Delta E = 0.88 \times (10^{-3} - 10^{-4}) = 0.88 \times (900 \times 10^{-6}) = 0.88 \times 9 \times 10^{-4} = 7.92 \times 10^{-4}\,J$.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ ને $1 + \frac{2}{f}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ વાયુના અણુની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) છે.
આદર્શ વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f$ માત્ર વાયુની પરમાણ્વિકતા (એકપરમાણ્વિક,દ્વિપરમાણ્વિક અથવા બહુપરમાણ્વિક) પર આધાર રાખે છે,તાપમાન $T$ પર નહીં.
તેથી,$\gamma$ એ તાપમાન $T$ થી સ્વતંત્ર છે,જેને $\gamma \propto T^0$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(B) અવરોધ $(R)$,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ના પરિમાણો સમાન હોય છે,જે અવરોધનું પરિમાણ $([M L^2 T^{-3} A^{-2}])$ છે.
કારણ કે ત્રણેય રાશિઓના પરિમાણો સમાન છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{R}{\sqrt{X_L X_C}}$ નું પરિમાણ $\frac{[R]}{\sqrt{[R][R]}} = \frac{[R]}{[R]} = 1$ થશે.
તેથી,પદ $\frac{R}{\sqrt{X_L X_C}}$ પરિમાણરહિત છે.

(B) $100$ દડાઓનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 100mv$ છે (દીવાલ તરફની દિશાને ધન લેતા).
પરાવર્તન પછી,દડાઓનું અંતિમ વેગમાન $P_f = -100mv$ છે (કારણ કે તેઓ સમાન ઝડપ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
દડાઓના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = P_f - P_i = -100mv - 100mv = -200mv$ છે.
દીવાલ દ્વારા દડાઓ પર લાગતું બળ $F_{wall} = \frac{\Delta P}{t} = -\frac{200mv}{t}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દડાઓ દ્વારા દીવાલ પર લાગતું બળ એ દીવાલ દ્વારા દડાઓ પર લાગતા બળના મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,દડાઓ દ્વારા દીવાલ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $|F| = \frac{200mv}{t}$ છે.

(A) ઠંડકને કારણે લંબાઈમાં થતો ઘટાડો $\Delta l = l \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l = 1\;m$,$\alpha = 2 \times 10^{-5}\;K^{-1}$,અને $\Delta T = (210 - 160) = 50\;K$ આપેલ છે.
તેથી,$\Delta l = 1 \times 2 \times 10^{-5} \times 50 = 10^{-3}\;m$.
મૂળ લંબાઈ પાછી મેળવવા માટે,દળ $M$ એ $\Delta l$ જેટલો વધારો ઉત્પન્ન કરવો જોઈએ.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$,જ્યાં $F = Mg$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{11} = \frac{Mg / (3 \times 10^{-6})}{10^{-3} / 1}$.
$Mg = 2 \times 10^{11} \times 3 \times 10^{-9} = 600\;N$.
તેથી,$M = \frac{600}{10} = 60\;kg$.

(A) ધારો કે નદીની પહોળાઈ $w = 1\,km = 1000\,m$ છે. સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાની ઝડપ $v_{sm} = 4\,km\,h^{-1}$ છે.
તરવૈયો નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં તરતો હોવાથી,નદી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{w}{v_{sm}} = \frac{1\,km}{4\,km\,h^{-1}} = 0.25\,h$ થાય.
આ સમય દરમિયાન,તરવૈયો નદીના પ્રવાહને કારણે નીચેની તરફ જાય છે. ડ્રિફ્ટ (સ્થળાંતર) $x = 750\,m = 0.75\,km$ આપેલ છે.
આ ડ્રિફ્ટ નદીના વેગ $v_r$ ને કારણે થાય છે,તેથી $x = v_r \times t$.
કિંમતો મૂકતા: $0.75\,km = v_r \times 0.25\,h$.
તેથી,$v_r = \frac{0.75}{0.25} = 3\,km\,h^{-1}$.
નદીના પાણીની ઝડપ $3\,km\,h^{-1}$ છે.

(A) અહીં બંને સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{\text{eff}} = K + K$ થશે.
$K_{\text{eff}} = 2K = 2 \times 2 = 4 \, N \, m^{-1}$.
બ્લોકનું દળ $M = 490 \, g = 0.49 \, kg$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{K_{\text{eff}}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.49}{4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{49}{400}} = 2 \pi \left( \frac{7}{20} \right) = \frac{7 \pi}{10} \, s$.
સમય $t = 14 \pi \, s$ માં પૂર્ણ દોલનોની સંખ્યા $N = \frac{t}{T}$ થશે.
$N = \frac{14 \pi}{7 \pi / 10} = 14 \pi \times \frac{10}{7 \pi} = 20$.

(A) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $K = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $K = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$.
અહીં $K = 7 \times 10^{-3}\,J$ અને $M = 1\,kg$ આપેલ છે,તેથી $\frac{7}{10} (1) v^2 = 7 \times 10^{-3}$.
$v^2 = 10^{-2} \implies v = 0.1\,m/s$.
$cm/s$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = 0.1 \times 100 = 10\,cm/s$.

(A) આપેલ છે: દળ $M = 500 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \, ms^{-1}$,પ્રવેગ $a = 2 \, ms^{-2}$,અને અંતર $s = 6 \, m$.
અંતિમ વેગ $v$ શોધવા માટે ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = (2)^2 + 2(2)(6)$
$v^2 = 4 + 24 = 28 \, m^2s^{-2}$.
ગતિઊર્જા $KE$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} \times 500 \times 28$
$KE = 250 \times 28 = 7000 \, J$.
કિલોજૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $7000 \, J = 7 \, kJ$.

(D) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 10 \ m$ છે. એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = 4 \ s$ છે.
પદાર્થનો કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$ છે.
$t = 3 \ s$ સમયે,પદાર્થ દ્વારા કપાયેલ ખૂણો $\theta = \omega t = (\frac{\pi}{2}) \times 3 = \frac{3\pi}{2} \ rad$ છે.
આ પ્રારંભિક બિંદુથી $270^{\circ}$ ના સ્થાનને અનુરૂપ છે. જો પ્રારંભિક બિંદુ $(r, 0)$ હોય,તો $3 \ s$ પછીનું સ્થાન $(0, -r)$ થશે.
સ્થાનાંતર સદિશ એ પ્રારંભિક બિંદુ $(r, 0)$ અને અંતિમ બિંદુ $(0, -r)$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે.
સ્થાનાંતર $d = \sqrt{(r - 0)^2 + (0 - (-r))^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$.
$r = 10 \ m$ મૂકતા,આપણને $d = 10\sqrt{2} \ m$ મળે છે.

(A) સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં પરિભ્રમણ કરતા પથ્થર (શંકુ આકારનું લોલક) માટે,પથ્થર પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos \theta = mg$ $(1)$
કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડતો સમક્ષિતિજ ઘટક: $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$,જ્યાં $r = l \sin \theta$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$T \sin \theta = \frac{mv^2}{l \sin \theta}$ $(2)$
$(1)$ પરથી,$\cos \theta = \frac{mg}{T} = \frac{1 \times 10}{400} = 0.025$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin^2 \theta = 1 - (0.025)^2 = 1 - 0.000625 = 0.999375$.
$(2)$ પરથી,$v^2 = \frac{T l \sin^2 \theta}{m} = \frac{400 \times 1 \times 0.999375}{1} = 399.75$.
વર્ગમૂળ લેતા,$v = \sqrt{399.75} \approx 19.99 \approx 20\,ms^{-1}$.

(D) ઘન સળિયામાં લંબગત તરંગનો વેગ શોધવાનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે.
આપેલ કિંમતો $Y = 3.2 \times 10^{11} \, N m^{-2}$ અને $\rho = 8 \times 10^3 \, kg m^{-3}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{3.2 \times 10^{11}}{8 \times 10^3}}$
$v = \sqrt{0.4 \times 10^8}$
$v = \sqrt{40 \times 10^6}$
$v = \sqrt{40} \times 10^3 \, m s^{-1}$
કારણ કે $\sqrt{40} \approx 6.32$,તેથી વેગ $6.32 \times 10^3 \, m s^{-1}$ થશે.

(A) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે જ્યાં અણુઓ ફરે છે પણ દોલન કરતા નથી,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{f+2}{2}R = \frac{5+2}{2}R = \frac{7}{2}R$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $Q = nC_p\Delta T = 735\,J$ છે.
તેથી,$n\left(\frac{7}{2}R\right)\Delta T = 735$,જે આપણને $nR\Delta T = 735 \times \frac{2}{7} = 210\,J$ આપે છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = nC_v\Delta T = n\left(\frac{5}{2}R\right)\Delta T$ દ્વારા મળે છે.
$nR\Delta T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta U = \frac{5}{2} \times 210 = 5 \times 105 = 525\,J$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = G \frac{Mm}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ,વજન $W'$ એ $W' = mg' = G \frac{Mm}{(R+h)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $h = 9R$,તેથી આપણે આ કિંમત $W'$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$W' = G \frac{Mm}{(R + 9R)^2} = G \frac{Mm}{(10R)^2} = G \frac{Mm}{100R^2}$.
કારણ કે $W = G \frac{Mm}{R^2}$,આપણે લખી શકીએ કે $W' = \frac{W}{100}$.
તેથી,તે ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W/100$ થશે.

(B) આપેલ ભૌતિક રાશિઓ માટેના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$1$. કોણીય વેગમાન $(L = mvr)$: તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M][LT^{-1}][L] = [ML^2T^{-1}]$ છે. તેથી, $(A)-(III)$.
$2$. ટોર્ક $(\tau = r \times F)$: તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L][MLT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]$ છે. તેથી, $(B)-(II)$.
$3$. પ્રતિબળ $(\sigma = \text{બળ} / \text{ક્ષેત્રફળ})$: તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે. તેથી, $(C)-(III)$.
$4$. દબાણ પ્રચલન $(\Delta P / \Delta x)$: તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}] / [L] = [ML^{-2}T^{-2}]$ છે. તેથી, $(D)-(IV)$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ ભાર છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે ભાર $F$ અને લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ સમાન છે,તેથી $Y \propto \frac{L}{A}$.
તાર $A$ માટે: $L_A = 5.0 \, m$,$A_A = 2.5 \times 10^{-5} \, m^2$.
તાર $B$ માટે: $L_B = 6.0 \, m$,$A_B = 3.0 \times 10^{-5} \, m^2$.
યંગ મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{L_A / A_A}{L_B / A_B} = \frac{L_A}{A_A} \times \frac{A_B}{L_B}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{5.0}{2.5 \times 10^{-5}} \times \frac{3.0 \times 10^{-5}}{6.0} = \frac{5.0}{2.5} \times \frac{3.0}{6.0} = 2 \times 0.5 = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20\,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\,m/s$,સમય $t = 5\,s$,અને $g = 10\,m/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગ $a$ શોધી શકીએ છીએ:
$0 = 20 + a(5) \implies 5a = -20 \implies a = -4\,m/s^2$.
અવરોધક બળ ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,તેથી $F_f = ma = -\mu mg$.
આમ,$-\mu g = a$.
$-\mu(10) = -4$.
$\mu = \frac{4}{10} = 0.4$.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ છે।
તેથી, $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$.
આપેલ છે કે, $V_1 = 8 \ L$, $V_2 = 27 \ L$, અને $\frac{P_2}{P_1} = \frac{16}{81}$.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{16}{81} = \left( \frac{8}{27} \right)^{\gamma}$.
આપણે $\frac{16}{81}$ ને $\left( \frac{2}{3} \right)^4$ તરીકે અને $\frac{8}{27}$ ને $\left( \frac{2}{3} \right)^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી, $\left( \frac{2}{3} \right)^4 = \left( \left( \frac{2}{3} \right)^3 \right)^{\gamma} = \left( \frac{2}{3} \right)^{3\gamma}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા, આપણને $4 = 3\gamma$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\gamma = \frac{4}{3}$.

(C) પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = m \cdot s \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m = 2\,kg$,$s = 4200\,J\,kg^{-1}K^{-1}$,અને $\Delta T = 60^{\circ}C - 10^{\circ}C = 50^{\circ}C$ છે.
$Q = 2 \times 4200 \times 50 = 420,000\,J$.
હીટર દ્વારા આપવામાં આવતો અસરકારક પાવર $P_{eff} = \eta \times P = 0.70 \times 2000\,W = 1400\,W$ છે.
જરૂરી સમય $\Delta t = \frac{Q}{P_{eff}} = \frac{420,000}{1400} = 300\,s$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે અને તે $e$ પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક સાથે ભોંયતળિયા સાથે અથડાય,ત્યારે તે જે ઊંચાઈ $h^{\prime}$ સુધી ઉછળે છે તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h^{\prime} = e^2 h$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = 20\,m$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 0.5$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$h^{\prime} = (0.5)^2 \times 20\,m$.
$h^{\prime} = 0.25 \times 20\,m$.
$h^{\prime} = 5\,m$.
તેથી,દડો $5\,m$ ની ઊંચાઈ સુધી ઉછળશે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્કની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{4}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે દળ $M_1$ અને $M_2$ સમાન છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ થશે.
ડિસ્કનું દળ $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \pi R^2 t$ છે,જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે અને $t$ જાડાઈ છે.
$M_1 = M_2$ આપેલ હોવાથી,$\rho_1 R_1^2 t_1 = \rho_2 R_2^2 t_2$ થાય.
તેથી,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{\rho_2 t_2}{\rho_1 t_1}$.
$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{3}{5}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{5}{3}$.
$t_1 = 1\,cm$ અને $t_2 = 0.5\,cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{t_2}{t_1} = \frac{0.5}{1} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{5}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{5}{6}$ છે.
આને $\frac{x}{6}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(C) આપેલ પ્રથમ તરંગનું સમીકરણ: $y_1 = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
બીજા તરંગનું સમીકરણ: $y_2 = 5[\sin (\omega t) + \sqrt{3} \cos \omega t]$.
કૌંસની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $y_2 = 5 \times 2 \left[\frac{1}{2} \sin (\omega t) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\omega t)\right]$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin(\omega t + \frac{\pi}{3}) = \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\omega t) \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin(\omega t) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\omega t)$.
તેથી,$y_2 = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
બંને તરંગોનો કંપવિસ્તાર $A_1 = A_2 = 10 \text{ cm}$ સમાન છે અને કળા $\phi_1 = \phi_2 = \frac{\pi}{3}$ સમાન હોવાથી,તેઓ સમાન કળામાં છે.
સમાન કળામાં રહેલા બે તરંગો માટે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = A_1 + A_2$ થાય.
$A_R = 10 + 10 = 20 \text{ cm}$.

(C) સમાન પ્રારંભિક ઝડપ સાથે બે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થોની અવધિ સમાન હોય,તો તેમના પ્રક્ષેપણ ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
આપેલ છે $\theta_1 = 60^{\circ}$,તેથી $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈઓનો સરવાળો $H_1 + H_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} + \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g} = \frac{u^2}{2g} (\sin^2 60^{\circ} + \sin^2 30^{\circ})$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $H_1 + H_2 = \frac{40^2}{2 \times 10} ((\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2) = \frac{1600}{20} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 80 \times 1 = 80 \ m$.

(C) ધારો કે $AB = x$.
આપેલ છે કે $AB = BC$,તેથી $BC = x$.
આપેલ છે કે $AD = 3 AB$,તેથી $AD = 3x$.
$AD = AB + BC + CD$ હોવાથી,$3x = x + x + CD$,જેનો અર્થ છે કે $CD = x$.
કુલ કાપેલું અંતર $D_{total} = AB + BC + CD = x + x + x = 3x$ છે.
કુલ લાગતો સમય $T_{total} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{AB}{v_1} + \frac{BC}{v_2} + \frac{CD}{v_3} = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} + \frac{x}{v_3}$ છે.
સરેરાશ ઝડપની વ્યાખ્યા મુજબ $v_{avg} = \frac{D_{total}}{T_{total}} = \frac{3x}{\frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} + \frac{x}{v_3}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $v_{avg} = \frac{3x}{x(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3})} = \frac{3}{\frac{v_2 v_3 + v_1 v_3 + v_1 v_2}{v_1 v_2 v_3}} = \frac{3 v_1 v_2 v_3}{v_1 v_2 + v_2 v_3 + v_3 v_1}$ મળે છે.

(C) વિધાન-$I$ સાચું છે કારણ કે પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી (તે ઉપગ્રહ જેવો ગોળાકાર છે) અને તે તેની ધરી પર ફરે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ એ અક્ષાંશ $\phi$ સાથે $g_{\phi} = g - \omega^2 R_e \cos^2 \phi$ મુજબ બદલાય છે. તેથી,તે અલગ-અલગ જગ્યાએ અલગ હોય છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે કારણ કે પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R_e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ ઊંડાઈ $d$ વધે છે,તેમ $(1 - d/R_e)$ પદ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે જેમ આપણે પૃથ્વીમાં ઊંડે જઈએ છીએ તેમ $g_d$ ઘટે છે.

(A) કોઈપણ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_e$ અને $R_e$ છે,અને ગ્રહ $P$ નું દળ અને ત્રિજ્યા $M_p$ અને $R_p$ છે.
આપેલ છે: $M_e = 9M_p$ (તેથી $M_p = \frac{M_e}{9}$) અને $R_e = 2R_p$ (તેથી $R_p = \frac{R_e}{2}$).
પૃથ્વી પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ છે.
ગ્રહ $P$ પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2G(M_e/9)}{(R_e/2)}} = \sqrt{\frac{4GM_e}{9R_e}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{GM_e}{R_e}}$.
કારણ કે $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$,તેથી $\sqrt{\frac{GM_e}{R_e}} = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમત $v_p$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $v_p = \frac{2}{3} \left( \frac{v_e}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{2} v_e}{3} = \frac{v_e}{3} \sqrt{2}$.
આને $\frac{v_e}{3} \sqrt{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે:
તણાવ $T = 70 \, N$
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = 7.0 \times 10^{-3} \, kg \, m^{-1}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{70}{7.0 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{\frac{70}{0.007}}$
$v = \sqrt{10000}$
$v = 100 \, m/s$
તેથી,લંબગત તરંગની ઝડપ $100 \, m/s$ છે.

(B) પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 5 \ m/s$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $u_y = 0 \ m/s$ છે.
જ્યારે પથ્થર જમીન સાથે અથડાય ત્યારે તેનો ઉર્ધ્વ વેગ $v_y$ એ સમીકરણ $v_y^2 = u_y^2 + 2gh$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v_y^2 = 0^2 + 2 \times 10 \times 10 = 200$,તેથી $v_y = \sqrt{200} \ m/s$.
સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે,એટલે કે $v_x = 5 \ m/s$.
જમીન સાથે અથડાતી વખતે કુલ ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ થશે.
$v = \sqrt{5^2 + 200} = \sqrt{25 + 200} = \sqrt{225} = 15 \ m/s$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
અહીં $T_1 = T$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,અને $\gamma = 3/2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T V^{3/2-1} = T_2 (2V)^{3/2-1} \implies T V^{1/2} = T_2 (2V)^{1/2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = T / \sqrt{2}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{1/2} = 2R(T - T/\sqrt{2}) = 2RT(1 - 1/\sqrt{2}) = RT(2 - \sqrt{2})$.

(A) પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R = 10^{-3} \ m$. પૃષ્ઠતાણ $T = 0.45 \ Nm^{-1}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4 \pi R^2$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_i = T \times 4 \pi R^2$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 125 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$R^3 = 125 r^3 \implies R = 5r \implies r = \frac{R}{5} = \frac{10^{-3}}{5} \ m$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 125 \times 4 \pi r^2 = 125 \times 4 \pi \left(\frac{R}{5}\right)^2 = 125 \times 4 \pi \frac{R^2}{25} = 5 \times 4 \pi R^2$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં વધારો $\Delta E = E_f - E_i = T(A_f - A_i) = T(5 \times 4 \pi R^2 - 4 \pi R^2) = T(4 \times 4 \pi R^2) = 16 \pi T R^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 16 \times 3.14159 \times 0.45 \times (10^{-3})^2$.
$\Delta E = 16 \times 3.14159 \times 0.45 \times 10^{-6} \approx 22.619 \times 10^{-6} \ J = 2.26 \times 10^{-5} \ J$.

(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં $b$ ને $V$ માંથી બાદ કરવામાં આવે છે,તેથી $b$ ના પરિમાણો એ કદ $V$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોય:
$[b] = [V] = [L^3]$
તે જ રીતે,$\frac{a}{V^2}$ ને $P$ માં ઉમેરવામાં આવે છે,તેથી $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણો એ દબાણ $P$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોય:
$[\frac{a}{V^2}] = [P] \implies [a] = [P][V^2] = [ML^{-1}T^{-2}][L^6] = [ML^5T^{-2}]$
હવે,આપણે $\frac{b^2}{a}$ ના પરિમાણો શોધીએ:
$[\frac{b^2}{a}] = \frac{[L^3]^2}{[ML^5T^{-2}]} = \frac{[L^6]}{[ML^5T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
આપણે જાણીએ છીએ કે સંકોચનીયતા (Compressibility) $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નો વ્યસ્ત છે:
$[K] = \frac{1}{[B]} = \frac{1}{[ML^{-1}T^{-2}]} = [M^{-1}LT^2]$
આમ,$\frac{b^2}{a}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર એ સંકોચનીયતાના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે.

(A) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K.E. = \frac{3}{2} kT$
જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ ગતિઊર્જા એ વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તે દબાણ,કદ અથવા વાયુના સ્વભાવ (આણ્વીય દળ અથવા બંધારણ) પર આધાર રાખતું નથી.

(C) ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S = 50\,m$,$u = 0\,m/s$,અને $t = 10\,s$ છે:
$50 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (10)^2$
$50 = 50a$
$a = 1\,m/s^2$
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ચોખ્ખું બળ $F - f_k = ma$ છે,જ્યાં $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$:
$30 - \mu_k \times 5 \times 10 = 5 \times 1$
$30 - 50\mu_k = 5$
$50\mu_k = 25$
$\mu_k = \frac{25}{50} = 0.50$

(B) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i$ ના ડોટ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
બળ $\vec{F} = 5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k} \text{ N}$
પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_i = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$
અંતિમ સ્થાન $\vec{r}_f = 5 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (5-2) \hat{i} + (-2-3) \hat{j} + (1 - (-4)) \hat{k} = 3 \hat{i} - 5 \hat{j} + 5 \hat{k}$
કરેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 5 \hat{j} + 5 \hat{k})$
$W = (5 \times 3) + (2 \times -5) + (7 \times 5)$
$W = 15 - 10 + 35 = 40 \text{ J}$.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ છે.
પાણી માટે,કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V_w}{V_w} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$ છે.
તેથી,$B_w = \frac{P}{10^{-4}} = 10^4 P$.
પ્રવાહી માટે,કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V_l}{V_l} = 0.03 \% = \frac{0.03}{100} = 3 \times 10^{-4}$ છે.
તેથી,$B_l = \frac{P}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10^4 P}{3}$.
પાણીના બલ્ક મોડ્યુલસ અને પ્રવાહીના બલ્ક મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $\frac{B_w}{B_l} = \frac{10^4 P}{10^4 P / 3} = 3$ થાય છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{3}{x}$ છે,તેથી $\frac{3}{x} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(B) પ્રકાશના પલ્સ દ્વારા સ્થાનાંતરિત વેગમાન $p$ એ $p = \frac{E}{c}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ પલ્સની ઉર્જા છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
ઉર્જા $E = \text{પાવર} \times \text{સમય} = P \times t$.
આપેલ છે: $P = 20\,mW = 20 \times 10^{-3}\,W$,$t = 300\,ns = 300 \times 10^{-9}\,s$,અને $c = 3 \times 10^8\,m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{(20 \times 10^{-3}\,W) \times (300 \times 10^{-9}\,s)}{3 \times 10^8\,m/s}$
$p = \frac{6000 \times 10^{-12}}{3 \times 10^8}\,kg\,m/s$
$p = 2000 \times 10^{-20}\,kg\,m/s$
$p = 2 \times 10^{-17}\,kg\,m/s$.
આમ,વેગમાન $2 \times 10^{-17}\,kg\,m/s$ છે.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $V_n \propto \frac{Z}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે,તેથી $V_n \propto \frac{1}{n}$.
તેથી,$3^{\text{rd}}$ અને $7^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_3}{V_7} = \frac{7}{3}$ થાય.
આપેલ કિંમત $V_7 = 3.6 \times 10^6\,m/s$ મૂકતા:
$V_3 = \frac{7}{3} \times 3.6 \times 10^6\,m/s$.
$V_3 = 7 \times 1.2 \times 10^6\,m/s = 8.4 \times 10^6\,m/s$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી લૂપની બાજુ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m$ એ દળના વજન $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_m = mg$
ચુંબકીય બળ $F_m = ILB$ હોવાથી,$ILB = mg$ મળે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R}$,તેથી સમીકરણ $\left(\frac{V}{R}\right)LB = mg$ બને છે.
$V$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$V = \frac{mgR}{LB}$ મળે.
આપેલ મૂલ્યો:
$m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$
$g = 10\,m/s^2$
$R = 10\,\Omega$
$L = 10\,cm = 0.1\,m$
$B = 10^3\,G = 10^3 \times 10^{-4}\,T = 0.1\,T$
આ મૂલ્યો મૂકતા:
$V = \frac{(10^{-3}\,kg)(10\,m/s^2)(10\,\Omega)}{(0.1\,m)(0.1\,T)} = \frac{10^{-1}}{10^{-2}} = 10\,V$.

(D) ગોળાઓ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$Q_1 = \sigma(4\pi R^2) = 4\pi R^2\sigma$
$Q_2 = \sigma(4\pi(2R)^2) = 16\pi R^2\sigma$
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Q_1 + Q_2 = 20\pi R^2\sigma$.
જ્યારે તેમને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન થાય છે:
$V_1 = V_2 \implies \frac{kQ_1^{\prime}}{R} = \frac{kQ_2^{\prime}}{2R} \implies Q_2^{\prime} = 2Q_1^{\prime}$.
વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$Q_1^{\prime} + Q_2^{\prime} = 20\pi R^2\sigma$.
$Q_1^{\prime} = \frac{Q_2^{\prime}}{2}$ મૂકતા,$\frac{Q_2^{\prime}}{2} + Q_2^{\prime} = 20\pi R^2\sigma \implies \frac{3}{2}Q_2^{\prime} = 20\pi R^2\sigma \implies Q_2^{\prime} = \frac{40}{3}\pi R^2\sigma$.
મોટા ગોળાની નવી વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma^{\prime} = \frac{Q_2^{\prime}}{4\pi(2R)^2} = \frac{Q_2^{\prime}}{16\pi R^2}$.
$Q_2^{\prime}$ ની કિંમત મૂકતા,$\sigma^{\prime} = \frac{40\pi R^2\sigma}{3 \cdot 16\pi R^2} = \frac{40\sigma}{48} = \frac{5}{6}\sigma$.
તેથી,$\frac{\sigma^{\prime}}{\sigma} = \frac{5}{6}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = \frac{A}{x^2} \hat{i} + \frac{B}{y^3} \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ નો $SI$ એકમ $N \, C^{-1}$ (ન્યૂટન પ્રતિ કુલંબ) છે.
પ્રથમ પદ માટે: $[\frac{A}{x^2}] = N \, C^{-1}$. અહીં $x$ એ અંતર છે જે મીટર $(m)$ માં માપવામાં આવે છે,તેથી $[A] = N \, C^{-1} \cdot m^2 = N \, m^2 \, C^{-1}$.
બીજા પદ માટે: $[\frac{B}{y^3}] = N \, C^{-1}$. અહીં $y$ એ અંતર છે જે મીટર $(m)$ માં માપવામાં આવે છે,તેથી $[B] = N \, C^{-1} \cdot m^3 = N \, m^3 \, C^{-1}$.
આમ,$A$ અને $B$ ના એકમો અનુક્રમે $N \, m^2 \, C^{-1}$ અને $N \, m^3 \, C^{-1}$ છે.

(D) આ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ્સ $NOT$ ગેટ તરીકે (કારણ કે બંને ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડાયેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $A$ અને $A$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો પ્રથમ $NAND$ ગેટ $Y_1 = \overline{A \cdot A} = \overline{A}$ આઉટપુટ આપે છે.
$2$. $B$ અને $B$ ઇનપુટ્સ ધરાવતો બીજો $NAND$ ગેટ $Y_2 = \overline{B \cdot B} = \overline{B}$ આઉટપુટ આપે છે.
$3$. અંતિમ $NAND$ ગેટ $Y_1$ અને $Y_2$ ને ઇનપુટ તરીકે લે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ થાય છે.
$4$. ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$ મળે છે.
$5$. આમ,આ સર્કિટ $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$6$. ઇનપુટ વેવફોર્મનું વિશ્લેષણ કરતા:
- $t < t_1$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
- $t_1 < t < t_2$ માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$.
- $t_2 < t < t_3$ માટે: $A=1, B=1 \implies Y = 1+1 = 1$.
- $t_3 < t < t_4$ માટે: $A=0, B=1 \implies Y = 0+1 = 1$.
- $t_4 < t < t_5$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
- $t_5 < t < t_6$ માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$.
- $t > t_6$ માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વેવફોર્મ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ છે કે,મહત્તમ એમ્પ્લિટ્યુડ $A_{max} = A_c + A_m = 120 \, V$ અને ન્યૂનતમ એમ્પ્લિટ્યુડ $A_{min} = A_c - A_m = 80 \, V$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2A_c = 200 \, V \implies A_c = 100 \, V$.
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2A_m = 40 \, V \implies A_m = 20 \, V$.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = \frac{A_m}{A_c} = \frac{20}{100} = 0.2$.
દરેક સાઇડબેન્ડનો એમ્પ્લિટ્યુડ $\frac{\mu A_c}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Amplitude} = \frac{0.2 \times 100}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, V$.

(A) $AC$ પરિપથમાં પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતના $LR$ પરિપથ માટે, $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$. આપેલ છે કે $X_L = R$, તેથી $Z_1 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
આમ, $P_1 = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે $X_C = X_L$ ધરાવતો કેપેસિટર શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં $LCR$ પરિપથ બને છે.
અનુનાદ સમયે, $X_L - X_C = 0$, તેથી ઈમ્પીડન્સ $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R$.
નવો પાવર ફેક્ટર $P_2 = \frac{R}{Z_2} = \frac{R}{R} = 1$.
ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 900\,\mu F = 900 \times 10^{-6}\,F$,વોલ્ટેજ $V = 100\,V$.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વીજભાર: $Q = CV = 900 \times 10^{-6} \times 100 = 9 \times 10^{-2}\,C = 90\,mC$.
સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times (900 \times 10^{-6}) \times (100)^2 = 4.5\,J$.
જ્યારે તેને સમાંતરમાં સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વીજભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે. કેપેસિટરો સમાન હોવાથી,દરેક પરનો અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{90\,mC}{900\,\mu F + 900\,\mu F} = 50\,V$ થશે.
સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા: $U_f = 2 \times \left( \frac{1}{2} C V_f^2 \right) = 900 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 900 \times 10^{-6} \times 2500 = 2.25\,J$.
ઉર્જાનો વ્યય: $\Delta U = U_i - U_f = 4.5\,J - 2.25\,J = 2.25\,J$.
આપેલ છે કે $\Delta U = x \times 10^{-2}\,J$,તેથી $2.25 = x \times 10^{-2} \implies x = 225$.

(D) સ્લેબ દાખલ કરવાને કારણે બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત $\Delta x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta x = |(\mu_2 - 1)t - (\mu_1 - 1)t| = |\mu_2 - \mu_1|t$
અહીં $t = 0.1 \, mm = 10^{-4} \, m$, $\mu_1 = 1.51$, અને $\mu_2 = 1.55$ આપેલ છે:
$\Delta x = |1.55 - 1.51| \times 10^{-4} \, m = 0.04 \times 10^{-4} \, m = 4 \times 10^{-6} \, m$
મધ્યસ્થ અધિક્તમનું સ્થાનાંતર $y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$y = \frac{\Delta x D}{d} = \frac{4 \times 10^{-6} D}{d}$
શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{\lambda D}{d} = \frac{4000 \times 10^{-10} \times D}{d} = 4 \times 10^{-7} \frac{D}{d} \, m$
સ્થાનાંતરિત શલાકાઓની સંખ્યા $N$:
$N = \frac{y}{\beta} = \frac{4 \times 10^{-6} \frac{D}{d}}{4 \times 10^{-7} \frac{D}{d}} = \frac{10^{-6}}{10^{-7}} = 10$
આમ, મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા $10$ શલાકા જેટલી ખસશે.

(NONE) ધારો કે નીચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $0 \, V$ છે. $2 \, V$ ની બેટરીની ઉપરના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $2 \, V$ છે. ધારો કે $1 \, \Omega$ ના અવરોધો વચ્ચેના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $y \, V$ છે અને ડાબી બાજુના નોડ પરનું સ્થિતિમાન $x \, V$ છે.
નોડ $A$ (ડાબો નોડ) પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
$\frac{x-2}{2} + \frac{x-y-5}{1} + \frac{x-0}{2} = 0$
$x - 2 + 2x - 2y - 10 + x = 0$
$4x - 2y = 12 \implies 2x - y = 6 \quad (1)$
નોડ $B$ (વચ્ચેનો નોડ) પર $KCL$ લાગુ કરતા:
$\frac{y-x+5}{1} + \frac{y-2}{1} + \frac{y-0}{1} = 0$
$y - x + 5 + y - 2 + y = 0$
$3y - x = -3 \implies x = 3y + 3 \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2(3y + 3) - y = 6$
$6y + 6 - y = 6 \implies 5y = 0 \implies y = 0 \, V$
$y=0$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$x = 3(0) + 3 = 3 \, V$
પ્રવાહ $I_1$ એ $2 \, V$ ની બેટરીની શાખામાંથી વહે છે. નીચેના નોડ $D$ (સ્થિતિમાન $0 \, V$) પર, પ્રવાહ $I_1$ એ ડાબી શાખા અને વચ્ચેની શાખામાંથી આવતા પ્રવાહોનો સરવાળો છે:
$I_1 = \frac{x-0}{2} + \frac{y-0}{1} = \frac{3-0}{2} + \frac{0-0}{1} = 1.5 \, A$.

(D) સપાટી પરનું રેડિયેશન દબાણ $P$ એ શોષણ માટે $P = \frac{I}{c}$ અને પરાવર્તન માટે $P = \frac{2I}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
અંદરની સપાટી સંપૂર્ણપણે પરાવર્તક હોવાથી,નાના ક્ષેત્રફળના ઘટક $dA$ પર લાગતું બળ $dF = (2 \frac{I}{c}) dA \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ લંબ સાથેનો ખૂણો છે.
$P_0$ પાવરના બિંદુવત ઉદગમથી $R$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P_0}{4 \pi R^2}$ છે.
સમપ્રમાણતાની ધરી પર બળનો ઘટક $dF_z = dF \cos \theta = \frac{2I}{c} dA \cos^2 \theta$ છે.
અર્ધગોળા પર સંકલન કરતા,કુલ બળ $F = \int \frac{2}{c} (\frac{P_0}{4 \pi R^2}) \cos^2 \theta (R^2 \sin \theta d\theta d\phi)$.
$F = \frac{P_0}{2 \pi c} \int_0^{2 \pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \sin \theta d\theta = \frac{P_0}{2 \pi c} (2 \pi) [-\frac{\cos^3 \theta}{3}]_0^{\pi/2} = \frac{P_0}{2c}$.
આપેલ $P_0 = 24 \, W$ અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ માટે,
$F = \frac{24}{2 \times 3 \times 10^8} = 4 \times 10^{-8} \, N$.

(D) આપેલ છે: $\frac{ dI }{ dt } = -1 \text{ A/s}$,$I = 2 \text{ A}$,$R = 12 \, \Omega$,$L = 6 \text{ H}$,$E = 12 \text{ V}$.
પ્રવાહની દિશામાં બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - IR - L \frac{ dI }{ dt } - E = V_B$
$V_A - V_B = IR + L \frac{ dI }{ dt } + E$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{AB} = (2 \times 12) + (6 \times -1) + 12$
$V_{AB} = 24 - 6 + 12$
$V_{AB} = 30 \text{ V}$.

(D) અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અહીં $u = -40\,cm$ અને $v = -120\,cm$ (અભિસારી અરીસા દ્વારા રચાતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે).
$\frac{1}{-120} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-3}{120} = \frac{1}{f} \implies f = -30\,cm$.
માપપટ્ટીનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ = $\frac{1}{20}\,cm = 0.05\,cm$. તેથી,$du = dv = 0.05\,cm$.
અરીસાના સૂત્રનું વિકલન કરતા: $-\frac{dv}{v^2} - \frac{du}{u^2} = -\frac{df}{f^2}$.
ત્રુટિની ગણતરી માટે માન લેતા: $|df| = f^2 \left( \frac{|dv|}{v^2} + \frac{|du|}{u^2} \right)$.
$|df| = (30)^2 \left( \frac{1/20}{120^2} + \frac{1/20}{40^2} \right) = 900 \times \frac{1}{20} \left( \frac{1}{14400} + \frac{1}{1600} \right)$.
$|df| = 45 \left( \frac{1 + 9}{14400} \right) = 45 \times \frac{10}{14400} = \frac{450}{14400} = \frac{45}{1440} = \frac{1}{32}\,cm$.
$1/K$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 32$ મળે છે.

(A) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલી શાખાઓને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$1$. ઉપરની શાખામાં $1.5 \, \Omega$ અને $0.5 \, \Omega$ ના બે અવરોધ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_1 = 1.5 + 0.5 = 2 \, \Omega$.
$2$. બીજી શાખા $12 \, \Omega$ નો એક અવરોધ છે.
$3$. સરળ બનાવેલી પરિપથ આકૃતિ મુજબ,પાંચ સમાંતર શાખાઓ છે જેના અવરોધો: $2 \, \Omega$,$12 \, \Omega$,$(1.6 + 2.4) = 4 \, \Omega$,$6 \, \Omega$,અને $2 \, \Omega$ છે.
હવે,આ સમાંતર શાખાઓ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6 + 1 + 3 + 2 + 6}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \, \Omega^{-1}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{2}{3} \, \Omega$.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \times m_p$ છે (જ્યાં $m_p$ એ ન્યુક્લિયોનનું દળ છે).
ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho_N = \frac{M}{V} = \frac{A m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi R_0^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $m_p$,$\pi$,અને $R_0$ અચળાંકો છે,તેથી ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho_N$ એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,તમામ ન્યુક્લાઇડ્સ માટે ન્યુક્લિયર ઘનતા લગભગ સમાન હોય છે.
વિધાન $A$ જણાવે છે કે ઘનતા અલગ-અલગ અને ક્રમબદ્ધ છે,જે ખોટું છે.
કારણ $R$ એ ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે,જે સાચું છે.
આમ,$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(D) સરેરાશ વિચલન વગરના વિભાજન માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સરેરાશ વિચલન ન હોવાની શરત $\delta_1 + \delta_2 = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $|\delta_1| = |\delta_2|$.
પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = A(\mu - 1)$ છે.
પ્રિઝમ $P_1$ માટે: $A_1 = 6^{\circ}$,$\mu_1 = 1.54$.
પ્રિઝમ $P_2$ માટે: $A_2 = A$,$\mu_2 = 1.72$.
વિચલનને સરખાવતા: $A_1(\mu_1 - 1) = A_2(\mu_2 - 1)$.
$6^{\circ}(1.54 - 1) = A(1.72 - 1)$.
$6^{\circ}(0.54) = A(0.72)$.
$A = \frac{6^{\circ} \times 0.54}{0.72} = \frac{6 \times 54}{72} = \frac{324}{72} = 4.5^{\circ}$.

(D) આપેલ પરિપથ ચાર $NAND$ ગેટનો બનેલો છે। ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે。
$1$. પ્રથમ $NAND$ ગેટ (ઉપરનો) $A$ અને વચ્ચેના $NAND$ ગેટના આઉટપુટને ઇનપુટ તરીકે લે છે. વચ્ચેના ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A \cdot B}$ છે。
$2$. ઉપરના $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = \overline{A \cdot C} = \overline{A \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{A} + B$ થાય છે。
$3$. તેવી જ રીતે, નીચેના $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = \overline{B \cdot C} = \overline{B \cdot (\overline{A \cdot B})} = \overline{B} + A$ થાય છે。
$4$. અંતિમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(\overline{A} + B) \cdot (\overline{B} + A)} = A \oplus B$ થાય છે。
આમ, આ પરિપથ $XOR$ ગેટ દર્શાવે છે. $XOR$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક વિકલ્પ $D$ માં આપેલ છે。

(B) વિસ્તાર $I$ $(r < a)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે છે. ગૌસના નિયમ મુજબ,$E_I = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \neq 0$ થાય.
વિસ્તાર $II$ $(a < r < b)$: આ વિસ્તાર વાહક કવચના દ્રવ્યની અંદર આવેલો છે. સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં,વાહકના દ્રવ્યની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે $(E_{II} = 0)$.
વિસ્તાર $III$ $(r > b)$: વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે આંતરિક સપાટી $(r=a)$ પર $-Q$ અને બાહ્ય સપાટી $(r=b)$ પર $+Q$ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થાય છે. $r > b$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q + (-Q) + Q = Q$ છે. તેથી,$E_{III} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \neq 0$ થાય.

(D) સીમિત સીધા તારને કારણે લંબ અંતર $d$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $d = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ છે,જ્યાં $a = 4 \sqrt{3} \,cm = 4 \sqrt{3} \times 10^{-2} \,m$.
તેથી,$d = \frac{4 \sqrt{3} \times 10^{-2}}{2 \sqrt{3}} = 2 \times 10^{-2} \,m$.
દરેક બાજુના અંતિમ બિંદુઓ દ્વારા મધ્યકેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi d} \sin 60^{\circ}$ છે.
ત્રણ બાજુઓને કારણે મધ્યકેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{\mu_0 i}{2 \pi d} \sin 60^{\circ}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = 3 \times \frac{2 \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 10^{-2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \times 2 \times 10^{-5} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \times 10^{-5} \,T$.

(A) આપેલ સર્કિટ $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ છે જેમાં $R = 100\,\Omega$,$X_L = 200\,\Omega$,અને $X_C = 100\,\Omega$ છે.
સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + (200 - 100)^2}$
$Z = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{2 \times 100^2} = 100 \sqrt{2}\,\Omega$
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms}$ નું સૂત્ર:
$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$
અહીં $V_{rms} = 200 \sqrt{2}\,V$ આપેલ છે,તેથી:
$I_{rms} = \frac{200 \sqrt{2}}{100 \sqrt{2}} = 2\,A$

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$,અથવા $V \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$V_1 \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
બીજા કિસ્સામાં,તરંગલંબાઈમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda + 0.5\lambda = 1.5\lambda = \frac{3}{2}\lambda$.
આમ,$V_2 \propto \frac{1}{(\frac{3}{2}\lambda)^2} = \frac{1}{\frac{9}{4}\lambda^2}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\lambda^2}{1/(\frac{9}{4}\lambda^2)} = \frac{9}{4}$.

(D) $1$. એટેન્યુએશન $(A)$ એ માધ્યમમાં પ્રસરણ દરમિયાન સિગ્નલની શક્તિમાં થતો ઘટાડો છે,તેથી $A-IV$.
$2$. ટ્રાન્સડ્યુસર $(B)$ એ એક એવું ઉપકરણ છે જે ઉર્જાના એક સ્વરૂપને બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરે છે,તેથી $B-III$.
$3$. ડિમોડ્યુલેશન $(C)$ એ રીસીવર પર કેરિયર વેવમાંથી માહિતી મેળવવાની પ્રક્રિયા છે,તેથી $C-II$.
$4$. રિપીટર $(D)$ એ રીસીવર અને ટ્રાન્સમીટરનું સંયોજન છે,જે ટ્રાન્સમીટર પાસેથી સિગ્નલ મેળવે છે,તેને એમ્પ્લીફાય કરે છે અને રીસીવરને ફરીથી મોકલે છે,તેથી $D-I$.
આમ,સાચી જોડી $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે।

(B) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$
આ લંબચોરસ લૂપમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ બંને તાર $PQ$ અને $RS$ માંથી વહે છે. તેથી,$I_1 = I_2 = I$ (અથવા બીજા કિસ્સામાં $2I$).
આમ,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ એ વિદ્યુતપ્રવાહના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $f \propto I^2$.
પ્રથમ કિસ્સામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માટે,$f_{PQ}^{I} \propto I^2$.
બીજા કિસ્સામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $2I$ માટે,$f_{PQ}^{2I} \propto (2I)^2 = 4I^2$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_{PQ}^{I}}{f_{PQ}^{2I}} = \frac{I^2}{4I^2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(B) સ્ત્રોતનો પાવર $P = 100\,W$ છે. કાર્યક્ષમતા $5\%$ હોવાથી,ઉત્સર્જિત પ્રકાશનો પાવર $P_{light} = 100 \times 0.05 = 5\,W$ થશે.
$r = 5\,m$ અંતરે,કુલ તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{P_{light}}{4 \pi r^2} = \frac{5}{4 \pi \times 5^2} = \frac{5}{100 \pi} = \frac{1}{20 \pi} \, W/m^2$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં ઉર્જા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોવાથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રના ઘટક દ્વારા ઉત્પન્ન થતી તીવ્રતા $(I_{EF})$ એ કુલ તીવ્રતા કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$I_{EF} = \frac{1}{2} I = \frac{1}{2} \times \frac{1}{20 \pi} = \frac{1}{40 \pi} \, W/m^2$ થાય.

(C) આ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. $B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવા માટે,બ્રિજ સંતુલિત હોવો જોઈએ.
ડાબી બાજુના નોડને $A$ અને જમણી બાજુના નોડને $C$ કહો. ડાબી શાખામાં સમાંતર જોડાયેલા અવરોધો $6 \Omega$ અને $3 \Omega$ છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = \frac{6 \times 3}{6+3} = 2 \Omega$ છે.
નીચેની ડાબી શાખામાં સમાંતર જોડાયેલા અવરોધો $1 \Omega$ અને $2 \Omega$ છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AD} = \frac{1 \times 2}{1+2} = \frac{2}{3} \Omega$ છે.
ઉપરની જમણી શાખામાં સમાંતર જોડાયેલા અવરોધો $x \Omega$ અને $1 \Omega$ છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC} = \frac{x \times 1}{x+1} = \frac{x}{x+1} \Omega$ છે.
નીચેની જમણી શાખામાં $x \Omega$ અવરોધ છે,તેથી $R_{DC} = x \Omega$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{2/3} = \frac{x/(x+1)}{x}$.
$3 = \frac{1}{x+1} \Rightarrow x+1 = 1/3 \Rightarrow x = -2/3$ (ભૌતિક રીતે અશક્ય).
જો આપણે શાખાઓની અદલાબદલી કરીએ,તો $3 = x+1 \Rightarrow x = 2 \Omega$. તેથી $x = 2 = \frac{1}{0.5}$. પ્રશ્ન મુજબ $x = 1/n$,તેથી $n = 0.5$ અથવા $n=2$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પરિણામી તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\Delta\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$I_1 = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi/2}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4I_0 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}$ માટે,કળા તફાવત $\Delta\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
તેથી,$I_2 = 4I_0 \cos^2\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4I_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = I_0$.
તેથી,$\frac{I_1 + I_2}{I_0} = \frac{2I_0 + I_0}{I_0} = 3$.

(C) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ છે.
બે એકસાથે થતી ક્ષય પ્રક્રિયાઓ માટે, અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે.
અહીં $T_1 = 5\, \text{min} = 300\, s$ અને $T_2 = 30\, s$ આપેલ છે.
તેથી, $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{300}$ અને $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{30}$ થાય.
$\lambda_{\text{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{\ln 2}{300} + \frac{\ln 2}{30}$.
$\ln 2$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{300} + \frac{1}{30} = \frac{1 + 10}{300} = \frac{11}{300}$ મળે છે.
તેથી, $T_{\text{eff}} = \frac{300}{11}\, s$.
આને $\frac{\alpha}{11}\, s$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\alpha = 300$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 2x^2 \hat{i} - 4y \hat{j} + 6 \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
લંબઘન માટે,$x, y$ અને $z$ દિશામાં ફ્લક્સની ગણતરી કરતા:
$x$-દિશામાં: $x=0$ પાસે $\phi=0$,$x=1$ પાસે $\phi = 2(1)^2 \times (2 \times 3) = 12$.
$y$-દિશામાં: $y=0$ પાસે $\phi=0$,$y=2$ પાસે $\phi = -4(2) \times (1 \times 3) = -24$.
$z$-દિશામાં: $z=0$ પાસે $\phi=0$,$z=3$ પાસે $\phi = 6 \times (1 \times 2) = 12$.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = 12 - 24 + 12 = 0$. જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ $n=12$ સાચો જવાબ છે.

(C) $AC$ જનરેટરમાં ઉત્પન્ન થતા મહત્તમ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નું સૂત્ર: $\varepsilon_{\max} = NAB\omega$ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા,$N = 100$.
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ,$A = 14 \times 10^{-2} \, m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 3.0 \, T$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ,$f = 360 \, rev/min = \frac{360}{60} \, rev/s = 6 \, Hz$.
કોણીય વેગ,$\omega = 2\pi f = 2 \times \frac{22}{7} \times 6 \, rad/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon_{\max} = 100 \times (14 \times 10^{-2}) \times 3.0 \times (2 \times \frac{22}{7} \times 6)$
$\varepsilon_{\max} = 100 \times 0.14 \times 3.0 \times (12 \times \frac{22}{7})$
$\varepsilon_{\max} = 14 \times 3.0 \times \frac{264}{7}$
$\varepsilon_{\max} = 42 \times \frac{264}{7}$
$\varepsilon_{\max} = 6 \times 264 = 1584 \, V$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -MB \cos \theta$ છે.
ચુંબકને $\theta_1$ ખૂણેથી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = U_2 - U_1 = -MB \cos \theta_2 - (-MB \cos \theta_1) = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક સ્થિતિ ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
અંતિમ સ્થિતિ ક્ષેત્રને પ્રતિ-સમાંતર છે,તેથી $\theta_2 = 180^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$.
$\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 180^{\circ} = -1$ હોવાથી,$W = MB(1 - (-1)) = 2MB$ મળે.
અહીં $M = 5.0\,Am^2$ અને $B = 0.4\,T$ આપેલ છે,તેથી કાર્ય $W = 2 \times 5.0 \times 0.4 = 4.0\,J$ થાય.

(C) સ્ત્રોતનો પાવર $P = 15 \text{ kW} = 15 \times 10^3 \text{ W}$ છે.
દર સેકન્ડે ઉત્પન્ન થતા ફોટોનની સંખ્યા $n = 10^{16} \text{ s}^{-1}$ છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{P}{n} = \frac{15 \times 10^3}{10^{16}} = 15 \times 10^{-13} \text{ J}$ થાય.
સંબંધ $E = h\nu$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે આવૃત્તિ $\nu$ શોધી શકીએ:
$\nu = \frac{E}{h} = \frac{15 \times 10^{-13}}{6 \times 10^{-34}} = 2.5 \times 10^{21} \text{ Hz}$.
$2.5 \times 10^{21} \text{ Hz}$ ની આવૃત્તિ ધરાવતું વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ ગામા કિરણોના વિસ્તારમાં આવે છે (જે સામાન્ય રીતે $10^{19} \text{ Hz}$ થી વધુ આવૃત્તિ ધરાવે છે).

(B) કેરિયર તરંગ $V_c(t) = 15 \sin(1000 \pi t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $V_c(t) = A_c \sin(2 \pi f_c t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2 \pi f_c = 1000 \pi$ મળે છે,તેથી $f_c = 500 \text{ Hz}$.
મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલ $V_m(t) = 10 \sin(4 \pi t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $V_m(t) = A_m \sin(2 \pi f_m t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2 \pi f_m = 4 \pi$ મળે છે,તેથી $f_m = 2 \text{ Hz}$.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલમાં કેરિયર આવૃત્તિ $f_c$ અને બે સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $(f_c - f_m)$ અને $(f_c + f_m)$ હોય છે.
સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:
લોઅર સાઇડબેન્ડ: $f_c - f_m = 500 - 2 = 498 \text{ Hz}$.
અપર સાઇડબેન્ડ: $f_c + f_m = 500 + 2 = 502 \text{ Hz}$.
આમ,હાજર આવૃત્તિઓ $500 \text{ Hz}$,$498 \text{ Hz}$ અને $502 \text{ Hz}$ છે,જે વિકલ્પો $A, D$ અને $E$ ને અનુરૂપ છે.

(B) જ્યારે ધાતુનો દડો પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાને કારણે ધાતુમાં એડી પ્રવાહો (eddy currents) ઉત્પન્ન થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,આ એડી પ્રવાહો એક ચુંબકીય બળ ઉત્પન્ન કરે છે જે દડાની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,ધાતુના દડા પર અવરોધક બળ લાગે છે,જેના કારણે તે અવાહક દડાની સરખામણીમાં જમીન પર પહોંચવામાં વધુ સમય લે છે,કારણ કે અવાહક દડામાં આવું કોઈ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ડેમ્પિંગ જોવા મળતું નથી.
તેથી,અવાહક દડો ધાતુના દડા કરતા વહેલો પૃથ્વીની સપાટી પર પહોંચે છે.

(D) કણનો ક્ષય એ ઉર્જા અને દળના સંરક્ષણના નિયમો દ્વારા સંચાલિત થાય છે. મુક્ત ન્યુટ્રોનનું સ્થિર દળ $(m_n \approx 939.57 \ MeV/c^2)$ એ મુક્ત પ્રોટોનના સ્થિર દળ $(m_p \approx 938.27 \ MeV/c^2)$ કરતા વધારે છે.
સિસ્ટમની કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થવું જરૂરી હોવાથી,એક કણ માત્ર હળવા કણોમાં જ ક્ષય પામી શકે છે (સાથે વીજભાર અને લેપ્ટોન નંબરના સંરક્ષણ માટે જરૂરી લેપ્ટોન).
કારણ કે $m_n > m_p$,ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં ક્ષય પામી શકે છે $(n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e)$.
તેનાથી વિપરીત,મુક્ત પ્રોટોન ન્યુટ્રોનમાં ક્ષય પામી શકતો નથી કારણ કે તેની પાસે ન્યુટ્રોન માટે જરૂરી વધારાનું દળ બનાવવા માટે પૂરતી દળ-ઉર્જા હોતી નથી.

(C) અર્ધવાહકમાં,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનને મળતી ઉષ્મીય ઉર્જા વધે છે.
આના કારણે વધુ ઇલેક્ટ્રોન એનર્જી બેન્ડ ગેપને ઓળંગીને વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં જાય છે.
પરિણામે,કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n_e)$ વધે છે.
અર્ધવાહકની વાહકતા એ ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,વાહકતા વધે છે.
અવરોધ એ વાહકતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,અર્ધવાહકનો અવરોધ ઘટે છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર વાહક માટે,વાહકની અંદર (જ્યારે $r < R$ હોય) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$ અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે,જે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાહકની બહાર (જ્યારે $r \geq R$ હોય),સ્થિતિમાન અંતર સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે,જે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$ છે.
આમ,કેન્દ્રથી સપાટી સુધી સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને ત્યારબાદ ત્રિજ્યા કરતા વધારે અંતર માટે તે $1/r$ મુજબ ઘટે છે.
આલેખ $C$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જે $r \leq R$ માટે અચળ મૂલ્ય અને $r > R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે.

(D) $1$. વિધાન $A$ જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનનો બીમ તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે,જેમાં વ્યતિકરણ અને વિવર્તનનો સમાવેશ થાય છે. આ ડી બ્રોગ્લી દ્વારા સૂચિત દ્રવ્ય તરંગોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.
$2$. કારણ $R$ જણાવે છે કે ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગે ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિને પ્રાયોગિક રીતે ચકાસી હતી. આ એક ઐતિહાસિક તથ્ય છે.
$3$. ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિ (વિધાન $A$) ડેવિસન-ગર્મર પ્રયોગમાં જોવા મળતા વિવર્તન ભાત દ્વારા પુષ્ટિ પામે છે (કારણ $R$). તેથી,પ્રાયોગિક ચકાસણી એ ભૌતિક પુરાવો પૂરો પાડે છે જે સમજાવે છે કે શા માટે આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોન વ્યતિકરણ અને વિવર્તન જેવા તરંગ જેવા ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
$4$. આમ,બંને વિધાનો સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d}$ નું સૂત્ર $V_{d} = \frac{eE}{m}\tau$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
અહીં $E = \frac{V}{L}$ હોવાથી,જ્યાં $V$ એ લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ છે અને $L$ એ વાહકની લંબાઈ છે,આપણે લખી શકીએ કે $V_{d} = \frac{eV}{mL}\tau$.
આ પ્રશ્નમાં,લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$,લંબાઈ $L$,દ્રવ્ય (જે $\tau$ નક્કી કરે છે) અને ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર/દળ અચળ રહે છે.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d}$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d}$ જ રહેશે.

(C) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = N/\ell$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 2\,cm^2 = 2 \times 10^{-4}\,m^2$
લંબાઈ $\ell = 40\,cm = 0.4\,m$
આંટાની સંખ્યા $N = 400$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 0.4\,A$
કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 4\pi \times 10^{-6}\,Wb$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
ચુંબકીય ફ્લક્સનું સૂત્ર $\phi = B \cdot A = (\mu_r \mu_0 \frac{N}{\ell} I) A$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4\pi \times 10^{-6} = \mu_r \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{400}{0.4}) \times 0.4 \times (2 \times 10^{-4})$
$4\pi \times 10^{-6} = \mu_r \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 400 \times (2 \times 10^{-4})$
$10^{-6} = \mu_r \times 10^{-7} \times 400 \times 2 \times 10^{-4}$
$10^{-6} = \mu_r \times 10^{-7} \times 8 \times 10^{-2}$
$10^{-6} = \mu_r \times 8 \times 10^{-9}$
$\mu_r = \frac{10^{-6}}{8 \times 10^{-9}} = \frac{1000}{8} = 125$.

(C) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડ $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_A = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
પોલેરોઇડ $C$ ની પાસ-એક્સિસ એ $A$ ની પાસ-એક્સિસ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. મેલસના નિયમ મુજબ,$C$ માંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશની તીવ્રતા $I_C = I_A \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{4}$ થાય છે.
પોલેરોઇડ $B$ ની પાસ-એક્સિસ $A$ ને લંબ છે,તેથી તે $C$ ની પાસ-એક્સિસ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આમ,$B$ માંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશની તીવ્રતા $I_B = I_C \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{4} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{8}$ મળે છે.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $V$ અને મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $C$ વચ્ચેનો સંબંધ વક્રીભવનાંક $\mu$ દ્વારા $V = \frac{C}{\mu}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 0.2C$,તેથી $\mu = \frac{C}{V} = \frac{C}{0.2C} = 5$.
વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ છે.
અહીં $\mu_r = 1$ આપેલ હોવાથી,$\mu = \sqrt{\epsilon_r}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\epsilon_r = \mu^2$.
$\mu = 5$ મૂકતા,આપણને $\epsilon_r = 5^2 = 25$ મળે છે.
સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $\epsilon_r$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ નો ગુણોત્તર $\frac{\epsilon_r}{\mu} = \frac{25}{5} = 5$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $5:1$ છે,તેથી $x = 5$.

(A) જ્યારે પ્રવાહ $EMF$ સાથે સમાન કળામાં હોય,ત્યારે સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી,સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો થાય છે,એટલે કે $Z = R = 20\,\Omega$.
સર્કિટમાં $RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{220\,V}{20\,\Omega} = 11\,A$ દ્વારા મળે છે.
કંપવિસ્તાર (પીક કરંટ) $I_0$ એ $RMS$ પ્રવાહ સાથે $I_0 = I_{rms} \sqrt{2}$ સંબંધ ધરાવે છે.
કિંમત મૂકતા,$I_0 = 11 \sqrt{2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242}\,A$.
આને $\sqrt{x}\,A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 242$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 4000 x^2 \hat{i} \text{ V/m}$ છે. સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ ફક્ત $x$-અક્ષને લંબ સપાટીઓમાંથી જ મળે છે.
$x = 0$ આગળની સપાટી માટે,ફ્લક્સ $\phi_1 = \vec{E} \cdot \vec{A} = (4000(0)^2 \hat{i}) \cdot (-A \hat{i}) = 0$ થાય.
$x = 0.2 \text{ m}$ આગળની સપાટી માટે,ફ્લક્સ $\phi_2 = \vec{E} \cdot \vec{A} = (4000(0.2)^2 \hat{i}) \cdot (A \hat{i}) = 4000 \times 0.04 \times (0.2 \times 0.2) = 160 \times 0.04 = 6.4 \text{ V m}$ થાય.
તેને $\text{V cm}$ માં ફેરવતા: $6.4 \text{ V m} = 6.4 \times 100 \text{ V cm} = 640 \text{ V cm}$ મળે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$ છે.
સંક્રમણ $1$ એ $n = 3$ થી $n = 1$ સુધીનું છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_1} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = \frac{8R}{9}$ થાય.
સંક્રમણ $2$ એ $n = 2$ થી $n = 1$ સુધીનું છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_2} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$ થાય.
હવે,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ નો ગુણોત્તર શોધીએ:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_1}{1} \times \frac{1}{\lambda_2} = \left( \frac{9}{8R} \right) \times \left( \frac{3R}{4} \right) = \frac{27}{32}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{x}{32}$,તેથી $\frac{x}{32} = \frac{27}{32}$ થાય.
આમ,$x = 27$ મળે.

(A) ધારો કે દરેક કોષનું $EMF$ $\varepsilon$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે,કુલ $EMF$ $2\varepsilon$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r$ છે. $R = 5\,\Omega$ ના બાહ્ય અવરોધમાં પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{2\varepsilon}{R + 2r} = \frac{2\varepsilon}{5 + 2r} \dots (1)$
સમાંતર જોડાણ માટે,કુલ $EMF$ $\varepsilon$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{r}{2}$ છે. $R = 5\,\Omega$ ના બાહ્ય અવરોધમાં પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{\varepsilon}{R + \frac{r}{2}} = \frac{\varepsilon}{5 + \frac{r}{2}} \dots (2)$
બંને કિસ્સામાં પ્રવાહ સમાન હોવાથી,$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2\varepsilon}{5 + 2r} = \frac{\varepsilon}{5 + \frac{r}{2}}$
બંને બાજુ $\varepsilon$ વડે ભાગતા અને ક્રોસ ગુણાકાર કરતા:
$2(5 + \frac{r}{2}) = 5 + 2r$
$10 + r = 5 + 2r$
$r = 5\,\Omega$
આમ,દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ $5\,\Omega$ છે.

(B) જ્યારે $I$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ $R$ અવરોધ ધરાવતા અવરોધકમાંથી $t$ સમય માટે પસાર થાય,ત્યારે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $H$ એ જૂલના તાપીય નિયમ મુજબ આપવામાં આવે છે: $H = I^2Rt$.
પ્રથમ કિસ્સામાં આપેલ છે: $I_1 = 4\,A$,$t = 10\,s$,અને ઉર્જા $H_1 = H$ છે.
તેથી,$H = (4)^2 \times R \times 10 = 160R$.
બીજા કિસ્સામાં: $I_2 = 16\,A$,$t = 10\,s$,અને ધારો કે ઉર્જા $H_2$ છે.
તેથી,$H_2 = (16)^2 \times R \times 10 = 256 \times R \times 10 = 2560R$.
હવે,બંને ઉર્જાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{H_2}{H} = \frac{2560R}{160R} = 16$.
તેથી,$H_2 = 16H$.

(A) જ્યારે $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતું પ્રવાહી $h$ ઊંચાઈ સુધી ડોલમાં ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તળિયે રહેલી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ બદલાય છે.
વસ્તુના સ્થાનમાં થતું આભાસી સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = h \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $\Delta x = 30\,cm$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{5}{3}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$30 = h \left(1 - \frac{1}{5/3}\right)$
$30 = h \left(1 - \frac{3}{5}\right)$
$30 = h \left(\frac{2}{5}\right)$
$h = \frac{30 \times 5}{2} = 15 \times 5 = 75\,cm$.
આમ,ડોલમાં રહેલા પ્રવાહીની ઊંચાઈ $75\,cm$ છે.

(C) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે।
$N$ આંટા અને $R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળા માટે, પરિઘ $2\pi R_1 = L/N$ થાય, તેથી $R_1 = L/(2\pi N)$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 N I}{2 R_1} = \frac{\mu_0 N I}{2 (L / 2\pi N)} = \frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}$ મળે.
તે જ રીતે, $n$ આંટા અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળા માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 n^2 \pi I}{L}$ મળે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $B_1 / B_2 = (\frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}) / (\frac{\mu_0 \pi n^2 I}{L}) = N^2 / n^2$ થાય.

(D) વિધાન $I$ સાચું છે: વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના કાર્યક્ષમ પ્રસારણ અને ગ્રહણ માટે,એન્ટેનાની લંબાઈ સિગ્નલની તરંગલંબાઇ સાથે તુલનાત્મક હોવી જોઈએ,સામાન્ય રીતે $l = \frac{\lambda}{4}$.
વિધાન $II$ ખોટું છે: એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશન $(AM)$ માં,કેરિયર તરંગનો કંપવિસ્તાર મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલ (માહિતી સિગ્નલ) ના ત્વરિત કંપવિસ્તાર અનુસાર બદલાય છે. તેથી,કેરિયર તરંગનો કંપવિસ્તાર અચળ રહેતો નથી.